Онлайн калькулятор слау методом гаусса онлайн: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса.

Содержание

Решебник Систем Уравнений Онлайн – Telegraph


>>> ПОДРОБНЕЕ ЖМИТЕ ЗДЕСЬ <<<

Решебник Систем Уравнений Онлайн

Решение систем уравнений . Онлайн калькулятор для решения любых уравнений , неравенств, интегралов . Помощь школьникам, студентам в решении : Решение систем уравнений, можно заказать дипломную работу . 

Решение систем уравнений онлайн . Рассмотрим систему из двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными  Точки пересечения прямой с эллипсом M1(x1,y1) и M2(x2,y2) являются решениями исходной системы уравнений . 

Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными .  С помощью данной математической программы вы можете решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки и методом сложения . 

Теперь решить систему уравнений с двумя неизвестными стало проще простого с сервисом Math34 .biz . В отличие от других калькуляторов, наш предоставляет пошаговые решения в удобном для учеников виде . 

Онлайн калькулятор для вычисления систем уравнений . Калькулятор решает системы : линейных, квадратных, кубических, тригонометрических, логарифмических, показательных уравнений . Если система имеет общие методы решения, то калькулятор выдает полное . . 

Воспользовавшись онлайн калькулятором для решения систем линейных уравнений методом Гаусса, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на решения систем линейных . . 

Системы уравнений по-шагам . Результат . Примеры систем уравнений . Метод Гаусса .  Чтобы увидеть подробное решение – помогите рассказать об этом сайте . 

Решение систем линейных уравнений . Эта страничка поможет решить Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом Гаусса, матричным методом или методом Крамера, исследовать их на совместность (теорема . . 

Решить систему линейных уравнений можно различными способами, нимер используя метод  Используя наш сервис, вы можете бесплатно в режиме онлайн получить решения разными способами с пошаговыми действиями и пояснениями . 

Система линейных алгебраических уравнений . Как решать линейные уравнения . Каждое уравнение в системе является линейным  Решение систем линейных алгебраических уравнений входит в число обычных задач линейной алгебры и имеет ряд всевозможных . . 

Решение системы M линейных уравнений с N неизвестными (СЛУ) методом Гаусса – OnLine Калкулятор . Система уравнений (СЛУ) будет решена методом Гаусса, прямо на сайте, с выводом всех промежуточных результатов и комментариями, вам . . 

Решение систем уравнений 2-го, 3-го, 4-го порядков . 23 аль 2019, Пятница . 2 826 .  Решение систем уравнений 2-го, 3-го, 4-го порядков онлайн с помощью калькулятора на сайте . Используйте для проверки ваших навыков решения . 

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса online .  Онлайн -калькулятор предназначен для решения системы линейных уравнений методом Гаусса, а также методом Гаусса-Жордано (чем они отличаются) . 

Первое уравнение . X . + y . = Второе уравнение . X . + y . = Система линейных уравнений . Система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными в общем виде записывается как: A_11 x_1+a_12 x_2=b_1 . A_21 x_1+a_22 x_2=b_2 .
Данный онлайн калькулятор находит решение системы линейных уравнений (СЛУ) методом Гаусса . Дается подробное решение . Для вычисления выбирайте количество переменных и количество уравнений . 

Решение систем уравнений . Онлайн калькулятор для решения любых уравнений , неравенств, интегралов . Помощь школьникам, студентам в решении : Решение систем уравнений, можно заказать дипломную работу . 

Решение систем уравнений онлайн . Рассмотрим систему из двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными  Точки пересечения прямой с эллипсом M1(x1,y1) и M2(x2,y2) являются решениями исходной системы уравнений . 

Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными .  С помощью данной математической программы вы можете решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки и методом сложения . 

Теперь решить систему уравнений с двумя неизвестными стало проще простого с сервисом Math34 .biz . В отличие от других калькуляторов, наш предоставляет пошаговые решения в удобном для учеников виде . 

Онлайн калькулятор для вычисления систем уравнений . Калькулятор решает системы : линейных, квадратных, кубических, тригонометрических, логарифмических, показательных уравнений . Если система имеет общие методы решения, то калькулятор выдает полное . . 

Воспользовавшись онлайн калькулятором для решения систем линейных уравнений методом Гаусса, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на решения систем линейных . . 

Системы уравнений по-шагам . Результат . Примеры систем уравнений . Метод Гаусса .  Чтобы увидеть подробное решение – помогите рассказать об этом сайте . 

Решение систем линейных уравнений . Эта страничка поможет решить Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом Гаусса, матричным методом или методом Крамера, исследовать их на совместность (теорема . . 

Решить систему линейных уравнений можно различными способами, нимер используя метод  Используя наш сервис, вы можете бесплатно в режиме онлайн получить решения разными способами с пошаговыми действиями и пояснениями . 

Система линейных алгебраических уравнений . Как решать линейные уравнения . Каждое уравнение в системе является линейным  Решение систем линейных алгебраических уравнений входит в число обычных задач линейной алгебры и имеет ряд всевозможных . . 

Решение системы M линейных уравнений с N неизвестными (СЛУ) методом Гаусса – OnLine Калкулятор . Система уравнений (СЛУ) будет решена методом Гаусса, прямо на сайте, с выводом всех промежуточных результатов и комментариями, вам . . 

Решение систем уравнений 2-го, 3-го, 4-го порядков . 23 аль 2019, Пятница . 2 826 .  Решение систем уравнений 2-го, 3-го, 4-го порядков онлайн с помощью калькулятора на сайте . Используйте для проверки ваших навыков решения . 

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса online .  Онлайн -калькулятор предназначен для решения системы линейных уравнений методом Гаусса, а также методом Гаусса-Жордано (чем они отличаются) . 

Первое уравнение . X . + y . = Второе уравнение . X . + y . = Система линейных уравнений . Система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными в общем виде записывается как: A_11 x_1+a_12 x_2=b_1 . A_21 x_1+a_22 x_2=b_2 .
Данный онлайн калькулятор находит решение системы линейных уравнений (СЛУ) методом Гаусса . Дается подробное решение . Для вычисления выбирайте количество переменных и количество уравнений . 

ГДЗ По Математике 6 2014
ГДЗ По Английскому Языку Афанасьева Ответы
ГДЗ 9 Клас Мова
ГДЗ 5 Класс География Ответы Баринова
Решебник Английский 6 Класс Учебник Вирджиния Эванс
ГДЗ По Физике 7 Класс Синий
Решебник По Английскому Языку Кауфман 7 Класс
ГДЗ По Математике 4 Учебник 1
Решебник По Математике 4 Класс Аргинская Ивановская
ГДЗ По Математике 3 Класс Петерсон Рабочая
ГДЗ По Английскому Языку 9 Класс Вербицкая
ГДЗ Рабочая Тетрадь 4 Класс Ответы
ГДЗ 7 Класс По Алгебре Номер 1
ГДЗ Спотлайт Рабочая
ГДЗ Быстрова 8 Класс 1 Часть
ГДЗ По Алгебре 7 Класс Мордкович 5
Решебник По Физике 9 Лукашик
ГДЗ По Математике 6 Класс 53
Решебник Математика 6 Класс Виленкин Хохлов
ГДЗ По Английскому Языку Учебник Четвертый Класс
ГДЗ По Английскому 6 Класс Старый

Решебник Муравин 8 Класс
ГДЗ По Физике 9 Перышкин 2020
ГДЗ По Алгебре 10 Класс Мордкович Углубленка
М М Моро Решебник
ГДЗ По Математике 6 Виленкин 2 Часть
ГДЗ Horizonte 5 Класс Тетрадь
Бим Садомова 8 Класс ГДЗ
ГДЗ По Математике 8 Класс Дидактический Материал
ГДЗ Математика 6 Класс Е А Бунимович
ГДЗ П Алгебре 8 Класс Никольский
ГДЗ По Математике 11 Класс Жижченко
Решебник По Математике 4 Нефедова
ГДЗ Русский Язык 3 21 Век
Решебник Литературное Чтение 2 Класс Часть 1
ГДЗ Естествознание 6 Класс Тетрадь
Решебник По Русскому Языку 5 Класс Беларусь
ГДЗ Русский 2 Рамзаева
Решебник По Русскому Третий Класс
ГДЗ По Математике 6 Мерзляк Дидактика
ГДЗ По Алгебре 8 Класс Номер 174
ГДЗ По Английскому 8 Класса Биболетова Учебник
ГДЗ Англ 5 Класс Кузовлев Учебник
ГДЗ По Биологии Рабочая Тетрадь Тихонова
ГДЗ По Алгебра 9 Учебник Колягин
Математик 4 Класс Решебник
ГДЗ По Литературе 3 Тетрадь
ГДЗ 3 Класс Автор Петерсон
ГДЗ Английский В Фокусе 6 Класс
ГДЗ Активити Бук 6 Класс

Решебник Мерзляк 10

Решебник По Русскому 10 Класс Гусарова

ГДЗ Бойкина Литературное Чтение Тетрадь

Контрольные Решебник Алгебра

История 7 Класс Данилова Учебник ГДЗ


Решить систему тремя способами

Любые системы уравнений

Этот онлайн калькулятор в два шага:

  • Добавить нужное кол-во уравнений
  • Ввести уравнения

Решение системы линейных уравнений методом Крамера

Это он-лайн сервис в два шага:

  • Ввести количество уравнений в системе
  • Ввести коэффициенты при неизвестных слагаемых

Методом Гаусса

Этот онлайн калькулятор в

три шага:

  • Ввести количество уравнений в системе
  • Ввести количество незвестных
  • Ввести коэффициенты при неизвестных слагаемых

© Контрольная работа РУ – калькуляторы онлайн

В данной статье мы расскажем о матричном методе решения системы линейных алгебраических уравнений, найдем его определение и приведем примеры решения.

Метод обратной матрицы — это метод, использующийся при решении СЛАУ в том случае, если число неизвестных равняется числу уравнений.

Найти решение системы n линейных уравнений с n неизвестными:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n

Матричный вид записи: А × X = B

где А = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а n 1 а n 2 ⋯ а n n – матрица системы.

X = x 1 x 2 ⋮ x n – столбец неизвестных,

B = b 1 b 2 ⋮ b n – столбец свободных коэффициентов.

Из уравнения, которое мы получили, необходимо выразить X . Для этого нужно умножить обе части матричного уравнения слева на A – 1 :

A – 1 × A × X = A – 1 × B .

Так как А – 1 × А = Е , то Е × X = А – 1 × В или X = А – 1 × В .

Обратная матрица к матрице А имеет право на существование только, если выполняется условие d e t A н е р а в е н н у л ю . Поэтому при решении СЛАУ методом обратной матрицы, в первую очередь находится d e t А .

В том случае, если d e t A н е р а в е н н у л ю , у системы имеется только один вариант решения: при помощи метода обратной матрицы. Если d e t А = 0 , то систему нельзя решить данным методом.

Пример решения системы линейных уравнений с помощью метода обратной матрицы

Решаем СЛАУ методом обратной матрицы:

2 x 1 – 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 – 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 – x 2 + 5 x 3 = 2

  • Записываем систему в виде матричного уравнения А X = B , где

А = 2 – 4 3 1 – 2 4 3 – 1 5 , X = x 1 x 2 x 3 , B = 1 3 2 .

  • Выражаем из этого уравнения X :
  • Находим определитель матрицы А :

d e t A = 2 – 4 3 1 – 2 4 3 – 1 5 = 2 × ( – 2 ) × 5 + 3 × ( – 4 ) × 4 + 3 × ( – 1 ) × 1 – 3 × ( – 2 ) × 3 – – 1 × ( – 4 ) × 5 – 2 × 4 – ( – 1 ) = – 20 – 48 – 3 + 18 + 20 + 8 = – 25

d e t А не равняется 0, следовательно для этой системы подходит метод решения обратной матрицей.

  • Находим обратную матрицу А – 1 при помощи союзной матрицы. Вычисляем алгебраические дополнения А i j к соответствующим элементам матрицы А :

А 11 = ( – 1 ) ( 1 + 1 ) – 2 4 – 1 5 = – 10 + 4 = – 6 ,

А 12 = ( – 1 ) 1 + 2 1 4 3 5 = – ( 5 – 12 ) = 7 ,

А 13 = ( – 1 ) 1 + 3 1 – 2 3 – 1 = – 1 + 6 = 5 ,

А 21 = ( – 1 ) 2 + 1 – 4 3 – 1 5 = – ( – 20 + 3 ) = 17 ,

А 22 = ( – 1 ) 2 + 2 2 3 3 5 – 10 – 9 = 1 ,

А 23 = ( – 1 ) 2 + 3 2 – 4 3 – 1 = – ( – 2 + 12 ) = – 10 ,

А 31 = ( – 1 ) 3 + 1 – 4 3 – 2 4 = – 16 + 6 = – 10 ,

А 32 = ( – 1 ) 3 + 2 2 3 1 4 = – ( 8 – 3 ) = – 5 ,

А 33 = ( – 1 ) 3 + 3 2 – 4 1 – 2 = – 4 + 4 = 0 .

  • Записываем союзную матрицу А * , которая составлена из алгебраических дополнений матрицы А :

А * = – 6 7 5 17 1 – 10 – 10 – 5 0

  • Записываем обратную матрицу согласно формуле:

A – 1 = 1 d e t A ( A * ) T : А – 1 = – 1 25 – 6 17 – 10 7 1 – 5 5 – 10 0 ,

  • Умножаем обратную матрицу А – 1 на столбец свободных членов В и получаем решение системы:

X = A – 1 × B = – 1 25 – 6 17 – 10 7 1 – 5 5 – 10 0 1 3 2 = – 1 25 – 6 + 51 – 20 7 + 3 – 10 5 – 30 + 0 = – 1 0 1

Ответ: x 1 = – 1 ; x 2 = 0 ; x 3 = 1

Эта страничка поможет решить Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом Гаусса, матричным методом или методом Крамера, исследовать их на совместность (теорема Кронекера-Капелли), определить количество решений, найти общее, частное и базисные решения.

Введите коэффициенты при неизвестных в поля. Если Ваше уравнение имеет меньшее количество неизвестных, то оставьте пустыми поля при переменных, не входящих в ваше уравнение. Можно использовать дроби ( 13/31 ).

qusivaf онлайн калькулятор решение неоднородной системы линейных алгебраических

онлайн калькулятор решение неоднородной системы линейных алгебраических Решение системы M линейных уравнений с N неизвестными (СЛУ) методом Гаусса – OnLine Калкулятор. Система уравнений (СЛУ) будет решена методом Гаусса, прямо на сайте, с выводом всех промежуточных результатов и комментариями. Общее и базисное решения системы линейных алгебраических уравнений. Итак, система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется однородной , если все свободные члены этой системы равны нулю. Сервисы по высшей математике для студентов и преподавателей. Бесплатное решение системы линейных уравнений с выводом всех промежуточных . Данный онлайн калькулятор находит общее решение однородной системы линейных уравнений. Дается подробное решение. Для вычисления . Онлайн-калькулятор предназначен для исследования системы линейных уравнений. единственное решение (используются метод Крамера, метод обратной матрицы. Перейти: Онлайн калькулятор Решение произвольной системы уравнений →. Решение системы линейных уравнений методом Крамера. Это он -лайн сервис в два шага: Ввести количество уравнений в системе. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений онлайн. Данный онлайн калькулятор находит общее решение однородной системы линейных уравнений. Решение системы линейных уравнений методом Крамера, онлайн сервис . решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) . Онлайн Калькуляторы. Любое решение исходной системы есть линейная комбинация решений ФСР. Общее решение неоднородной СЛАУ равно сумме частного решения неоднородной СЛАУ и общего решения соответствующей однородной СЛАУ. Решение системы линейных уравнений метод Крамера (определителей). Решение СЛУ матричный метод (обратной матрицы) Решение и исследование систем линейных уравнений. Решение проводится в онлайн режиме и оформляется в формате Word. Приведение к треугольной. Транспонирование матрицы. Алгебраические дополнения. Системы линейных неоднородных уравнений (количество. Онлайн калькуляторы . Введите данные вашей задачи, и вы получите подробное решение. Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Обратная матрица (метод алгебраических дополнений). Решение системы линейных уравнений методом Крамера. Взаимосвязь решений неоднородной и соответствующей однородной системы уравнений. Пример 5. Дана система линейных алгебраических уравнений. Требуется: 1) найти общее решение Наш калькулятор умеет решать онлайн как обычную определенную, так и неопределенную систему линейных уравнений методом Гаусса, которая имеет бесконечное множество решений. Используя этот онлайн калькулятор для решения систем линейных уравнений (СЛУ) методом Гаусса, вы сможете очень просто и быстро найти . Онлайн Калькуляторы . Примеры Подробных Решений. Теория. Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) онлайн. Решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений матричным методом из коллекции онлайн калькуляторов Planetcalc. Решение систем линейных уравнений. Эта страничка поможет решить Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом Гаусса, матричным методом или методом Крамера, исследовать их на совместность (теорема Кронекера-Капелли), определить количество. Данный онлайн калькулятор находит общее решение однородной системы линейных уравнений. Дается подробное решение. Теоретическую часть нахождения общего решения неоднородной системы линейных уравнений смотрите здесь. Решение системы линейных уравнений методом Крамера, онлайн сервис . решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) .

Решить систему тремя способами

Любые системы уравнений

Этот онлайн калькулятор в два шага:

  • Добавить нужное кол-во уравнений
  • Ввести уравнения

Решение системы линейных уравнений методом Крамера

Это он-лайн сервис в два шага:

  • Ввести количество уравнений в системе
  • Ввести коэффициенты при неизвестных слагаемых

Методом Гаусса

Этот онлайн калькулятор в три шага:

  • Ввести количество уравнений в системе
  • Ввести количество незвестных
  • Ввести коэффициенты при неизвестных слагаемых

© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн

В данной статье мы расскажем о матричном методе решения системы линейных алгебраических уравнений, найдем его определение и приведем примеры решения.

Метод обратной матрицы — это метод, использующийся при решении СЛАУ в том случае, если число неизвестных равняется числу уравнений.

Найти решение системы n линейных уравнений с n неизвестными:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n

Матричный вид записи: А × X = B

где А = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а n 1 а n 2 ⋯ а n n — матрица системы.

X = x 1 x 2 ⋮ x n — столбец неизвестных,

B = b 1 b 2 ⋮ b n — столбец свободных коэффициентов.

Из уравнения, которое мы получили, необходимо выразить X . Для этого нужно умножить обе части матричного уравнения слева на A — 1 :

A — 1 × A × X = A — 1 × B .

Так как А — 1 × А = Е , то Е × X = А — 1 × В или X = А — 1 × В .

Обратная матрица к матрице А имеет право на существование только, если выполняется условие d e t A н е р а в е н н у л ю . Поэтому при решении СЛАУ методом обратной матрицы, в первую очередь находится d e t А .

В том случае, если d e t A н е р а в е н н у л ю , у системы имеется только один вариант решения: при помощи метода обратной матрицы. Если d e t А = 0 , то систему нельзя решить данным методом.

Пример решения системы линейных уравнений с помощью метода обратной матрицы

Решаем СЛАУ методом обратной матрицы:

2 x 1 — 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 — 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 — x 2 + 5 x 3 = 2

  • Записываем систему в виде матричного уравнения А X = B , где

А = 2 — 4 3 1 — 2 4 3 — 1 5 , X = x 1 x 2 x 3 , B = 1 3 2 .

  • Выражаем из этого уравнения X :
  • Находим определитель матрицы А :

d e t A = 2 — 4 3 1 — 2 4 3 — 1 5 = 2 × ( — 2 ) × 5 + 3 × ( — 4 ) × 4 + 3 × ( — 1 ) × 1 — 3 × ( — 2 ) × 3 — — 1 × ( — 4 ) × 5 — 2 × 4 — ( — 1 ) = — 20 — 48 — 3 + 18 + 20 + 8 = — 25

d e t А не равняется 0, следовательно для этой системы подходит метод решения обратной матрицей.

  • Находим обратную матрицу А — 1 при помощи союзной матрицы. Вычисляем алгебраические дополнения А i j к соответствующим элементам матрицы А :

А 11 = ( — 1 ) ( 1 + 1 ) — 2 4 — 1 5 = — 10 + 4 = — 6 ,

А 12 = ( — 1 ) 1 + 2 1 4 3 5 = — ( 5 — 12 ) = 7 ,

А 13 = ( — 1 ) 1 + 3 1 — 2 3 — 1 = — 1 + 6 = 5 ,

А 21 = ( — 1 ) 2 + 1 — 4 3 — 1 5 = — ( — 20 + 3 ) = 17 ,

А 22 = ( — 1 ) 2 + 2 2 3 3 5 — 10 — 9 = 1 ,

А 23 = ( — 1 ) 2 + 3 2 — 4 3 — 1 = — ( — 2 + 12 ) = — 10 ,

А 31 = ( — 1 ) 3 + 1 — 4 3 — 2 4 = — 16 + 6 = — 10 ,

А 32 = ( — 1 ) 3 + 2 2 3 1 4 = — ( 8 — 3 ) = — 5 ,

А 33 = ( — 1 ) 3 + 3 2 — 4 1 — 2 = — 4 + 4 = 0 .

  • Записываем союзную матрицу А * , которая составлена из алгебраических дополнений матрицы А :

А * = — 6 7 5 17 1 — 10 — 10 — 5 0

  • Записываем обратную матрицу согласно формуле:

A — 1 = 1 d e t A ( A * ) T : А — 1 = — 1 25 — 6 17 — 10 7 1 — 5 5 — 10 0 ,

  • Умножаем обратную матрицу А — 1 на столбец свободных членов В и получаем решение системы:

X = A — 1 × B = — 1 25 — 6 17 — 10 7 1 — 5 5 — 10 0 1 3 2 = — 1 25 — 6 + 51 — 20 7 + 3 — 10 5 — 30 + 0 = — 1 0 1

Ответ: x 1 = — 1 ; x 2 = 0 ; x 3 = 1

Эта страничка поможет решить Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом Гаусса, матричным методом или методом Крамера, исследовать их на совместность (теорема Кронекера-Капелли), определить количество решений, найти общее, частное и базисные решения.

Введите коэффициенты при неизвестных в поля. Если Ваше уравнение имеет меньшее количество неизвестных, то оставьте пустыми поля при переменных, не входящих в ваше уравнение. Можно использовать дроби ( 13/31 ).

Решение системы линейных уравнений методом гаусса-жордана

В данной статье мы рассмотрим метод Жордана-Гаусса для решения систем линейных уравнений, отличие метода Гаусса от метода Жордана-Гаусса, алгоритм действий, а также приведем примеры решений СЛАУ.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Основные понятия

Определение 1

Метод Жордана-Гаусса – один из методов, предназначенный для решения систем линейных алгебраических уравнений.

Этот метод является модификацией метода Гаусса – в отличие от исходного (метода Гаусса) метод Жордана-Гаусса позволяет решить СЛАУ в один этап (без использования прямого и обратного ходов).

Примечание

Матричная запись СЛАУ: вместо обозначения А в методе Жордана-Гаусса для записи используют обозначение Ã – обозначение расширенной матрицы системы.

Пример 1

4 x 1 – 7 x 2 + 8 x 3 = – 23 2 x 1 – 4 x 2 + 5 x 3 = – 13 – 3 x 1 + 11 x 2 + x 3 = 16

Как решить?

Записываем расширенную матрицу системы:

à = 4 – 7 8 | – 23 2 – 4 5 | – 13 – 3 11 1 | 16

Напоминаем, что слева от черты записывается матрица системы А:

A = 4 – 7 8 2 – 4 5 – 3 11 1

Замечание 1

На каждом шаге решения необходимо выбирать разрешающие элементы матрицы. Процесс выбора может быть различным – в зависимости от того, как выбираются элементы, решения будут отличаться. Можно выбирать в качестве разрешающих элементов диагональные элементы матрицы, а можно выбирать произвольно.

В этой статье мы покажем оба способа решения.

Произвольный способ выбора разрешающих элементов

Следует обратиться к 1-му столбцу матрицы Ã – необходимо выбрать ненулевой (разрешающий) элемент.

В 1-ом столбце есть 3 ненулевых элемента: 4, 2, -3. Можно выбрать любой, но, по правилам, выбирается тот, чей модуль ближе всего к единице. В нашем примере таким числом является 2.

Цель: обнулить все элементы, кроме разрешающего, т.е. необходимо обнулить 4 и -3:

4 – 7 8 2 – 4 5 – 3 11 1

Произведем преобразование: необходимо сделать разрешающий элемент равным единице. Для этого делим все элементы 2-ой строки на 2. Такое преобразование имеет обозначение: I I: 2:

4 – 7 8 | – 23 2 – 4 5 | – 13 – 3 11 1 | 16 I I ÷ 2 → 4 – 7 8 | – 23 2 – 4 5 / 2 | – 13 / 2 – 3 11 1 | 16

Теперь обнуляем остальные элементы: 4 и -3:

4 – 7 8 | – 23 2 – 4 5 / 2 | – 13 / 2 – 3 11 1 | 16 I – 4 × I I I I I – (- 3) × I I

Необходимо выполнить преобразования:

I – 4 × I I и I I I – (- 3) × I I = I I I + 3 × I I

Запись I – 4 × I I означает, что от элементов 1-ой строки вычитаются соответствующие элементы 2-ой строки, умноженные на 4.

Запись I I I + 3 × I I означает, что к элементам 3-ей строки прибавляются соответствующие элементы 2-ой строки, умноженные на 3.

I – 4 × I I = 4 – 7 8 – 23 – 4 1 – 2 5 / 2 – 13 / 2 = = 4 – 7 8 – 23 – 4 – 8 10 – 26 = 0 1 – 2 3

Записываются такие изменения следующим образом:

4 – 7 8 | – 23 2 – 4 5 / 2 | – 13 / 2 – 3 11 1 | 16 I – 4 × I I I I I – (- 3) × I I → 0 1 – 2 | 3 1 – 2 5 / 2 | – 13 / 2 0 5 17 / 2 | – 7 / 2

Необходимо обнулить 2-ой столбец, следовательно, нужно выбрать разрешающий элемент: 1, -2, 5. Однако 2-ую строку матрицы мы использовали в первом этапе, так что элемент -2 не может быть использован.

Поскольку необходимо выбирать число, чей модуль ближе всего к единице, то выбор очевиден – это 1. Обнуляем остальные элементы 2-го столбца:

0 1 – 2 | 3 1 – 2 5 / 2 | – 13 / 2 0 5 17 / 2 | – 7 / 2 I I – (- 2) × I I I I – 5 × I

0 1 – 2 | 3 1 – 2 5 / 2 | – 13 / 2 0 5 17 / 2 | – 7 / 2 I I + 2 × I I I I – 5 × I → 0 1 – 2 | 3 1 0 – 3 / 2 | – 1 / 2 0 0 37 / 2 | – 37 / 2

Теперь требуется обнулить элементы 3-го столбца. Поскольку первая и вторая строки уже использованы, поэтому остается только один вариант: 37 / 2 . Обнуляем с его помощью элементы третьего столбца:

0 1 – 2 | 3 1 0 – 3 / 2 | – 1 / 2 0 0 37 / 2 | – 37 / 2

Выполнив преобразования

I – (- 2) × I I I = I + 2 × I I I и I I – (- 3 2) × I I I = I I + 3 2 × I I

получим следующий результат:

0 1 – 2 | 3 1 0 – 3 / 2 | – 1 / 2 0 0 1 | – 1 I + 2 × I I I I I + 3 / 2 × I I I → 0 1 0 | 1 1 0 0 | – 2 0 0 1 | – 1

Ответ : x 1 = – 2 ; x 2 = 1 ; x 3 = – 1 .

Полное решение:

4 – 7 8 | – 23 2 – 4 5 | – 13 – 3 11 1 | 16 I I ÷ 2 → 4 – 7 8 | – 23 2 – 4 5 / 2 | – 13 / 2 – 3 11 1 | 16 I – 4 × I I I I I – (- 3) × I I →

→ 0 1 – 2 | 3 1 – 2 5 / 2 | – 13 / 2 0 5 17 / 2 | – 7 / 2 I I – (- 2) × I I I I – 5 × I → 0 1 – 2 | 3 1 0 – 3 / 2 | – 1 / 2 0 0 37 / 2 | – 37 / 2 I I I ÷ 37 2 →

→ 0 1 – 2 | 3 1 0 – 3 / 2 | – 1 / 2 0 0 1 | – 1 I + 2 × I I I I I + 3 / 2 × I I I → 0 1 0 | 1 1 0 0 | – 2 0 0 1 | – 1 .

Выбор разрешающих элементов на главной диагонали матрицы системы

Определение 2

Принцип выбора разрешающих элементов строится на простом отборе соответствующих элементов: в 1-ом столбце выбирается элемент 1-го столбца, во 2-ом – второй, в 3-ем – третий и т.д.

В первом столбце необходимо выбрать элемент первой строки, т.е. 4. Но поскольку в первом столбце есть число 2, чей модуль ближе к единице, чем 4, то можно поменять местами первую и вторую строку:

4 – 7 8 | – 23 2 – 4 5 | – 13 – 3 11 1 | 16 → 2 – 4 5 | – 13 4 – 7 8 | – 23 – 3 11 1 | 16

Теперь разрешающий элемент – 2. Как показано в первом способе, делим первую строку на 2, а затем обнуляем все элементы:

4 – 7 8 | – 23 2 – 4 5 | – 13 – 3 11 1 | 16 I ÷ 2 → 2 – 4 5 / 2 | – 13 / 2 4 – 7 8 | – 23 – 3 11 1 | 16 I I – 4 × I I I I + 3 × I → 1 – 2 5 / 2 | – 13 / 2 0 1 – 2 | 3 0 5 17 / 2 | – 7 / 2

На втором этапе требуется обнулить элементы второго столбца. Разрешающий элемент – 1, поэтому никаких изменений производить не требуется:

0 1 – 2 | 3 1 – 2 5 / 2 | – 13 / 2 0 5 17 / 2 | – 7 / 2 I + 2 × I I I I I – 5 × I I → 0 1 – 2 | 3 1 0 – 3 / 2 | – 1 / 2 0 0 37 / 2 | – 37 / 2

На третьем этапе необходимо обнулить элементы третьего столбца. Разрешающий элемент – 37/2. Делим все элементы на 37/2 (чтобы сделать равными 1), а затем обнуляем:

0 1 – 2 | 3 1 0 – 3 / 2 | – 1 / 2 0 0 37 / 2 | – 37 / 2 I I I ÷ 37 2 → 1 0 – 3 / 2 | – 1 / 2 0 1 – 2 | 3 0 0 1 | – 1 I + 2 × I I I I I + 3 / 2 × I I I → 1 0 0 | – 2 0 1 0 | 1 0 0 1 | – 1

Ответ: x 1 = – 2 ; x 2 = 1 ; x 3 = – 1 .

4 – 7 8 | – 23 2 – 4 5 | – 13 – 3 11 1 | 16 I ÷ 2 → 2 – 4 5 / 2 | – 13 / 2 4 – 7 8 | – 23 – 3 11 1 | 16 I I – 4 × I I I I + 3 × I → 0 1 – 2 | 3 1 – 2 5 / 2 | – 13 / 2 0 5 17 / 2 | – 7 / 2 I + 2 × I I I I I – 5 × I I →

→ 0 1 – 2 | 3 1 0 – 3 / 2 | – 1 / 2 0 0 37 / 2 | – 37 / 2 I I I ÷ 37 2 → 1 0 – 3 / 2 | – 1 / 2 0 1 – 2 | 3 0 0 1 | – 1 I + 2 × I I I I I + 3 / 2 × I I I → 1 0 0 | – 2 0 1 0 | 1 0 0 1 | – 1

Пример 2

Решить СЛАУ методом Жордана-Гаусса:

3 x 1 + x 2 + 2 x 3 + 5 x 4 = – 6 3 x 1 + x 2 + 2 x 4 = – 10 6 x 1 + 4 x 2 + 11 x 3 + 11 x 4 = – 27 – 3 x 1 – 2 x 2 – 2 x 3 – 10 x 4 = 1

Как решить?

Записать расширенную матрицу данной системы Ã :

3 1 2 5 | – 6 3 1 0 2 | 10 6 4 11 11 | – 27 – 3 – 2 – 2 – 10 | 1

Для решения используем второй способ: выбор разрешающих элементов на главной диагонали системы. На первом этапе выбираем элемент первой строки, на втором – второй строки, на третьем – третьей и т.д.

Необходимо выбрать разрешающий элемент первой строки, т.е. 3. Затем обнуляем все элементы столбца, разделяя на 3 все элементы:

3 1 2 5 | – 6 3 1 0 2 | – 10 6 4 11 11 | – 27 – 3 – 2 – 2 – 10 | 1 I ÷ 3 → 1 1 / 3 2 / 3 5 / 3 | – 2 3 1 0 2 | – 10 6 4 11 11 | – 27 – 3 – 2 – 2 – 10 | 1 I I – 3 × I I I I – 6 × I I V + 3 × I →

→ 1 1 / 3 2 / 3 5 / 3 | – 2 0 0 – 2 – 3 | – 4 0 2 7 1 | – 15 0 – 1 0 – 5 | – 5

Необходимо обнулить элементы второго столбца. Для этого выделяем разрешающий элемент, но элемент первой строки второго столбца равен нулю, поэтому необходимо менять строки местами.

Поскольку в четвертой строке есть число -1, то меняем местами вторую и четвертую строки:

1 1 / 3 2 / 3 5 / 3 | – 2 0 0 – 2 – 3 | – 4 0 2 7 1 | – 15 0 – 1 0 – 5 | – 5 → 1 1 / 3 2 / 3 5 / 3 | – 2 0 – 1 0 – 5 | – 5 0 2 7 1 | – 15 0 0 – 2 – 3 | – 4

Теперь разрешающий элемент равен -1. Делим элементы второго столбца на -1, а затем обнуляем:

1 1 / 3 2 / 3 5 / 3 | – 2 0 – 1 0 – 5 | – 5 0 2 7 1 | – 15 0 0 – 2 – 3 | – 4 I I ÷ (- 1) → 1 1 / 3 2 / 3 5 / 3 | – 2 0 1 0 5 | 5 0 2 7 1 | – 15 0 0 – 2 – 3 | – 4 I – 1 / 3 × I I I I I – 2 × I →

→ 1 0 2 / 3 0 | – 11 / 3 0 1 0 5 | 5 0 0 7 – 9 | – 25 0 0 – 2 – 3 | – 4

На третьем этапе необходимо также обнулить элементы третьего столбца. Для этого находим разрешающий элемент в третьей строке – это 7. Но на 7 делить неудобно, поэтому необходимо менять строки местами, чтобы разрешающий элемент стал -2:

1 0 2 / 3 0 | – 11 / 3 0 1 0 5 | 5 0 0 7 – 9 | – 25 0 0 – 2 – 3 | – 4 → 1 0 2 / 3 0 | – 11 / 3 0 1 0 5 | 5 0 0 – 2 – 3 | – 4 0 0 7 – 9 | – 25

Теперь делим все элементы третьего столбца на -2 и обнуляем все элементы:

1 0 2 / 3 0 | – 11 / 3 0 1 0 5 | 5 0 0 – 2 – 3 | – 4 0 0 7 – 9 | – 25 I I I ÷ (- 2) → 1 0 2 / 3 0 | – 11 / 3 0 1 0 5 | 5 0 0 1 3 / 2 | 2 0 0 0 – 9 | – 25 I – 2 / 3 × I I I I V – 7 × I I I →

1 0 0 – 1 | – 5 0 1 0 5 | 5 0 0 1 3 / 2 | 2 0 0 0 – 39 / 2 | – 39

  • Четвертый этап

Обнуляем четвертый столбец. Разрешающий элемент – – 39 2:

1 0 0 – 1 | – 5 0 1 0 5 | 5 0 0 1 3 / 2 | 2 0 0 0 – 39 / 2 | – 39 I V ÷ (- 39 2) → 1 0 0 – 1 | – 5 0 1 0 5 | 5 0 0 1 3 / 2 | 2 0 0 0 1 | 2 I + I V I I – 5 × I V I I I – 3 / 2 × I V →

→ 1 0 0 0 | – 3 0 1 0 0 | – 5 0 0 1 0 | – 1 0 0 0 1 | 2 .

Ответ : x 1 = – 3 ; x 2 = – 5 ; x 3 = – 1 ; x 4 = 2

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Метод Гаусса-Жордана предназначен для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он является модификацией метода Гаусса . Если метод Гаусса осуществляется в два этапа (прямой ход и обратный) то метод Гаусса-Жордана позволяет решить систему в один этап. Подробности и непосредственная схема применения метода Гаусса-Жордана описаны в примерах.

Во всех примерах $A$ обозначает матрицу системы, $\widetilde{A}$ – расширенную матрицу системы. О матричной форме записи СЛАУ можно прочесть .

Пример №1

Решить СЛАУ $ \left\{ \begin{aligned} & 4x_1-7x_2+8x_3=-23;\\ & 2x_1-4x_2+5x_3=-13;\\ & -3x_1+11x_2+x_3=16. \end{aligned} \right.$ методом Гаусса-Жордана.

Давайте перейдём от последней полученной нами матрице к системе:

$$ \left\{ \begin{aligned} & 0\cdot x_1+1\cdot x_2+0\cdot x_3=1;\\ & 1\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3=-2;\\ & 0\cdot x_1+0\cdot x_2+1\cdot x_3=-1. \end{aligned} \right. $$

Упрощая полученную систему, имеем:

$$ \left\{ \begin{aligned} & x_2=1;\\ & x_1=-2;\\ & x_3=-1. \end{aligned} \right. $$

Полное решение без пояснений выглядит так:

Хоть этот способ выбора разрешающих элементов вполне допустим, но предпочтительнее выбирать в качестве разрешающих элементов диагональные элементы матрицы системы. Мы рассмотрим этот способ ниже.

Выбор разрешающих элементов на главной диагонали матрицы системы.

Так как этот способ решения полностью аналогичен предыдущему (за исключением выбора разрешающих элементов), то подробные пояснения пропустим. Принцип выбора разрешающих элементов прост: в первом столбце выбираем элемент первой строки, во втором столбце берём элемент второй строки, в третьем столбце – элемент третьей строки и так далее.

Первый шаг

В первом столбце выбираем элемент первой строки, т.е. в качестве разрешающего имеем элемент 4. Понимаю, что выбор числа 2 кажется более предпочтительным, так как это число всё-таки меньше, нежели 4. Для того, чтобы число 2 в первом столбце переместилось на первое место, поменяем местами первую и вторую строки:

$$ \left(\begin{array} {ccc|c} 4 & -7 & 8 & -23\\ 2 & -4& 5 & -13 \\ -3 & 11 & 1 & 16 \end{array} \right)\rightarrow \left(\begin{array} {ccc|c} 2 & -4& 5 & -13\\ 4 & -7 & 8 & -23 \\ -3 & 11 & 1 & 16 \end{array} \right) $$

Итак, разрешающий элемент представлен числом 2. Точно так же, как и ранее, разделим первую строку на 2, а затем обнулим элементы первого столбца:

$$ \left(\begin{array} {ccc|c} 2 & -4& 5 & -13\\ 4 & -7 & 8 & -23 \\ -3 & 11 & 1 & 16 \end{array} \right) \begin{array} {l} I:2 \\\phantom{0} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow \left(\begin{array} {ccc|c} 1 & -2& 5/2 & -13/2 \\4 & -7 & 8 & -23\\ -3 & 11 & 1 & 16 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ II-4\cdot I\\ III+3\cdot I \end{array} \rightarrow \left(\begin{array} {ccc|c} 1 & -2& 5/2 & -13/2\\0 & 1 & -2 & 3\\ 0 & 5 & 17/2 & -7/2 \end{array} \right). $$

Второй шаг

На втором шаге требуется обнулить элементы второго столбца. В качестве разрешающего элемента выбираем элемент второй строки, т.е. 1. Разрешающий элемент уже равен единице, поэтому никаких строк менять местами не будем. Кстати сказать, если бы мы захотели поменять местами строки, то первую строку трогать не стали бы, так как она уже была использована на первом шаге. А вот вторую и третью строки запросто можно менять местами. Однако, повторюсь, в данной ситуации менять местами строки не нужно, ибо разрешающий элемент уже оптимален – он равен единице.

$$ \left(\begin{array} {ccc|c} 1 & -2& 5/2 & -13/2\\0 & 1 & -2 & 3\\ 0 & 5 & 17/2 & -7/2 \end{array} \right) \begin{array} {l} I+2\cdot II \\ \phantom{0}\\ III-5\cdot II \end{array} \rightarrow \left(\begin{array} {ccc|c} 1 & 0 & -3/2 & -1/2 \\ 0 & 1 & -2 & 3\\ 0 & 0 & 37/2 & -37/2 \end{array} \right). $$

Второй шаг окончен. Переходим к третьему шагу.

Третий шаг

На третьем шаге требуется обнулить элементы третьего столбца. В качестве разрешающего элемента выбираем элемент третьей строки, т.е. 37/2. Разделим элементы третьей строки на 37/2 (чтобы разрешающий элемент стал равен 1), а затем обнулим соответствующие элементы третьего столбца:

$$ \left(\begin{array} {ccc|c} 1 & 0 & -3/2 & -1/2 \\ 0 & 1 & -2 & 3\\ 0 & 0 & 37/2 & -37/2 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ III:\frac{37}{2} \end{array} \rightarrow \left(\begin{array} {ccc|c} 1 & 0 & -3/2 & -1/2 \\ 0 & 1 & -2 & 3\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{array} \right) \begin{array} {l} I+2\cdot III\\II+3/2\cdot III\\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow \left(\begin{array} {ccc|c} 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{array} \right). $$

Ответ получен: $x_1=-2$, $x_2=1$, $x_3=-1$. Полное решение без пояснений выглядит так:

Все остальные примеры на этой странице будут решены именно вторым способом: в качестве разрешающих будем выбирать диагональные элементы матрицы системы.

Ответ : $x_1=-2$, $x_2=1$, $x_3=-1$.

Пример №2

Решить СЛАУ $ \left\{ \begin{aligned} & 3x_1+x_2+2x_3+5x_4=-6;\\ & 3x_1+x_2+2x_4=-10;\\ & 6x_1+4x_2+11x_3+11x_4=-27;\\ & -3x_1-2x_2-2x_3-10x_4=1. \end{aligned} \right.$ методом Гаусса-Жордана.

Запишем расширенную матрицу данной системы : $\widetilde{A}=\left(\begin{array} {cccc|c} 3 & 1 & 2 & 5 & -6\\ 3 & 1& 0 & 2 & -10 \\ 6 & 4 & 11 & 11 & -27 \\ -3 & -2 & -2 & -10 & 1 \end{array} \right)$.

В качестве разрешающих элементов станем выбирать диагональные элементы матрицы системы: на первом шаге возьмём элемент первой строки, на втором шаге элемент второй строки и так далее.

Первый шаг

Нам нужно обнулить соответствующие элементы первого столбца. В качестве разрешающего элемента возьмём элемент первой строки, т.е. 3. Соответственно первую строку придётся разделить на 3, чтобы разрешающий элемент стал равен единице. А затем обнулить все элементы первого столбца, кроме разрешающего:

$$ \left(\begin{array}{cccc|c} 3 & 1 & 2 & 5 & -6\\ 3 & 1 & 0 & 2 & -10\\ 6 & 4 & 11 & 11 & -27\\ -3 & -2 & -2 & -10 & 1\end{array}\right) \begin{array} {l} I:3\\ \phantom{0}\\\phantom{0}\\\phantom{0}\end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 3 & 1 & 0 & 2 & -10\\ 6 & 4 & 11 & 11 & -27\\ -3 & -2 & -2 & -10 & 1\end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ II-3\cdot I\\III-6\cdot I\\IV+3\cdot I\end{array} \rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & -1 & 0 & -5 & -5\end{array}\right). $$

Второй шаг

Переходим к обнулению соответствующих элементов второго столбца. В качестве разрешающего элемента мы уславливались взять элемент второй строки, но сделать этого мы не в силах, так как нужный элемент равен нулю. Вывод: будем менять местами строки. Первую строку трогать нельзя, так как она уже использовалась на первом шаге. Выбор небогат: или меняем местами вторую и третью строки, или же меняем местами четвёртую и вторую. Так как в четвёртой строке наличествует (-1), то пусть в “обмене” поучавствует именно четвёртая строка. Итак, меняем местами вторую и четвёртую строки:

$$ \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & -1 & 0 & -5 & -5\end{array}\right)\rightarrow \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & -1 & 0 & -5 & -5\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end{array}\right) $$

Вот теперь всё в норме: разрешающий элемент равен (-1). Бывает, кстати, что смена мест строк невозможна, но это обговорим в следующем примере №3. А пока что делим вторую строку на (-1), а затем обнуляем элементы второго столбца. Обратите внимание, что во втором столбце элемент, расположенный в четвёртой строке, уже равен нулю, поэтому четвёртую строку трогать не будем.

$$ \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & -1 & 0 & -5 & -5\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\II:(-1) \\\phantom{0}\\\phantom{0}\end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end{array}\right) \begin{array} {l} I-1/3\cdot II\\ \phantom{0} \\III-2\cdot II\\\phantom{0}\end{array} \rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 7 & -9 & -25\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end{array}\right). $$

Третий шаг

Приступаем к обработке третьего столбца. В качестве разрешающего элемента мы условились брать диагональные элементы матрицы системы. Для третьего шага это означает выбор элемента, расположенного в третьей строке. Однако если мы просто возьмём элемент 7 в качестве разрешающего, то всю третью строку придётся делить на 7. Мне кажется, что разделить на (-2) попроще. Поэтому поменяем местами третью и четвёртую строки, и тогда разрешающим элементом станет (-2):

$$ \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 7 & -9 & -25\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end{array}\right) \rightarrow \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\\ 0 & 0 & 7 & -9 & -25\end{array}\right) $$

Разрешающий элемент – (-2). Делим третью строку на (-2) и обнуляем соответствующие элементы третьего столбца:

$$ \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\\ 0 & 0 & 7 & -9 & -25\end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0} \\III:(-2)\\\phantom{0}\end{array}\rightarrow \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 1 & 3/2 & 2\\ 0 & 0 & 7 & -9 & -25\end{array}\right) \begin{array} {l} I-2/3\cdot III\\ \phantom{0} \\ \phantom{0}\\IV-7\cdot III\end{array}\rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & -1 & -5\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 1 & 3/2 & 2\\ 0 & 0 & 0 & -39/2 & -39\end{array}\right). $$

Четвёртый шаг

Переходим к обнулению четвёртого столбца. Разрешающий элемент расположен в четвёртой строке и равен числу $-\frac{39}{2}$.

$$ \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & -1 & -5\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 1 & 3/2 & 2\\ 0 & 0 & 0 & -39/2 & -39\end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0} \\ \phantom{0}\\IV:\left(-\frac{39}{2}\right) \end{array}\rightarrow \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & -1 & -5\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 1 & 3/2 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2\end{array}\right) \begin{array} {l} I+IV\\ II-5\cdot IV \\ III-3/2\cdot IV \\ \phantom{0} \end{array}\rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & -3\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -5\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2\end{array}\right). $$

Решение окончено. Ответ таков: $x_1=-3$, $x_2=-5$, $x_3=-1$, $x_4=2$. Полное решение без пояснений:

Ответ : $x_1=-3$, $x_2=-5$, $x_3=-1$, $x_4=2$.

Пример №3

Решить СЛАУ $\left\{\begin{aligned} & x_1-2x_2+3x_3+4x_5=-5;\\ & 2x_1+x_2+5x_3+2x_4+9x_5=-3;\\ & 3x_1+4x_2+7x_3+4x_4+14x_5=-1;\\ & 2x_1-4x_2+6x_3+11x_5=2;\\ & -2x_1+14x_2-8x_3+4x_4-7x_5=20;\\ & -4x_1-7x_2-9x_3-6x_4-21x_5=-9. \end{aligned}\right.$ методом Гаусса-Жордана. Если система является неопределённой, указать базисное решение.

Подобные примеры разбираются в теме “Общее и базисное решения СЛАУ” . Во второй части упомянутой темы данный пример решён с помощью метод Гаусса . Мы же решим его с помощью метода Гаусса-Жордана. Пошагово разбивать решение не станем, так как это уже было сделано в предыдущих примерах.

$$ \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & -2 & 3 & 0 & 4 & -5\\ 2 & 1 & 5 & 2 & 9 & -3\\ 3 & 4 & 7 & 4 & 14 & -1\\ 2 & -4 & 6 & 0 & 11 & 2\\ -2 & 14 & -8 & 4 & -7 & 20\\ -4 & -7 & -9 & -6 & -21 & -9 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ II-2\cdot I\\ III-3\cdot I\\ IV-2\cdot I\\ V+2\cdot I\\VI+4\cdot I \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & -2 & 3 & 0 & 4 & -5\\ 0 & 5 & -1 & 2 & 1 & 7\\ 0 & 10 & -2 & 4 & 2 & 14\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 12\\ 0 & 10 & -2 & 4 & 1 & 10\\ 0 & -15 & 3 & -6 & -5 & -29 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ II:5 \\ \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ \phantom{0} \\ \phantom{0}\end{array} \rightarrow \\ \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & -2 & 3 & 0 & 4 & -5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 1/5 & 7/5\\ 0 & 10 & -2 & 4 & 2 & 14\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 12\\ 0 & 10 & -2 & 4 & 1 & 10\\ 0 & -15 & 3 & -6 & -5 & -29 \end{array}\right) \begin{array} {l} I+2\cdot II \\ \phantom{0}\\ III-10\cdot II\\ IV:3\\ V-10\cdot II\\VI+15\cdot II \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 22/5 & -11/5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 1/5 & 7/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & -8 \end{array}\right). $$

Полагаю, что одно из сделанных преобразований всё-таки требует пояснения: $IV:3$. Все элементы четвёртой строки нацело делились на три, поэтому сугубо из соображений упрощения мы разделили все элементы этой строки на три. Третья строка в преобразованной матрице стала нулевой. Вычеркнем нулевую строку:

$$ \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 22/5 & -11/5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 1/5 & 7/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & -8 \end{array}\right) $$

Нам пора переходить к третьему шагу, на котором должны быть обнулены элементы третьего столбца. Однако диагональный элемент (третья строка) равен нулю. И смена мест строк ничего не даст. Первую и вторую строки мы уже использовали, поэтому их трогать мы не можем. А четвёртую и пятую строки трогать нет смысла, ибо проблема равенства нулю разрешающего элемента никуда не денется.

В этой ситуации проблема решается крайне незамысловато. Мы не можем обработать третий столбец? Хорошо, перейдём к четвёртому. Может, в четвёртом столбце элемент третьей строки будет не равен нулю. Однако четвёртый столбец “болеет” той же проблемой, что и третий. Элемент третьей строки в четвёртом столбце равен нулю. И смена мест строк опять-таки ничего не даст. Четвёртый столбец тоже не можем обработать? Ладно, перейдём к пятому. А вот в пятом столбце элемент третьей строки очень даже не равен нулю. Он равен единице, что довольно-таки хорошо. Итак, разрешающий элемент в пятом столбце равен 1. Разрешающий элемент выбран, поэтому осуществим дальшейшие преобразования метода Гаусса-Жордана:

$$ \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 22/5 & -11/5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 1/5 & 7/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & -8 \end{array}\right) \begin{array} {l} I-22/5\cdot III \\ II-1/5\cdot III \\ \phantom{0}\\ IV+III\\ V+2\cdot III \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 0 & -99/5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 0 & 3/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \rightarrow \\ \rightarrow\left|\text{Удаляем нулевые строки}\right|\rightarrow \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 0 & -99/5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 0 & 3/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right)$$

Мы привели матрицу системы и расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Ранги обеих матриц равны $r=3$, т.е. надо выбрать 3 базисных переменных. Количество неизвестных $n=5$, поэтому нужно выбрать $n-r=2$ свободных переменных. Так как $r

На “ступеньках” стоят элементы из столбцов №1, №2, №5. Следовательно, базисными будут переменные $x_1$, $x_2$, $x_5$. Свободными переменными, соответственно, будут $x_3$, $x_4$. Столбцы №3 и №4, соответствующие свободным переменным, перенесём за черту, при этом, конечно, не забыв сменить им знаки.

$$ \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 0 & -99/5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 0 & 3/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right)\rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -99/5 & -13/5 & -4/5\\ 0 & 1 & 0 & 3/5 & 1/5 & -2/5\\ 0 & 0 & 1 & 4 & 0 & 0\end{array}\right). $$

Из последней матрицы получим общее решение: $\left\{\begin{aligned} & x_1=-\frac{99}{5}-\frac{13}{5}x_3-\frac{4}{5}x_4;\\ & x_2=\frac{3}{5}+\frac{1}{5}x_3-\frac{2}{5}x_4;\\ & x_3 \in R;\\ & x_4\in R;\\ & x_5=4. \end{aligned}\right.$. Базисное решение найдём, приняв свободные переменные равными нулю, т.е. $x_3=0$, $x_4=0$:

$$ \left\{\begin{aligned} & x_1=-\frac{99}{5};\\ & x_2=\frac{3}{5};\\ & x_3=0;\\ & x_4=0;\\ & x_5=4. \end{aligned}\right. $$

Задача решена, осталось лишь записать ответ.

Ответ : Общее решение: $\left\{\begin{aligned} & x_1=-\frac{99}{5}-\frac{13}{5}x_3-\frac{4}{5}x_4;\\ & x_2=\frac{3}{5}+\frac{1}{5}x_3-\frac{2}{5}x_4;\\ & x_3 \in R;\\ & x_4\in R;\\ & x_5=4. \end{aligned}\right.$, базисное решение: $\left\{\begin{aligned} & x_1=-\frac{99}{5};\\ & x_2=\frac{3}{5};\\ & x_3=0;\\ & x_4=0;\\ & x_5=4. \end{aligned}\right.$.

4. Метод Жордана – Гаусса.

Схема с выбором главного элемента состоит в том, что требование неравенства нулю диагональных элементов akk, на которые происходит деление в процессе исключения, заменятся более жестким: из всех элементов К-го столба выбрать наибольший по модулю и переставить уравнения так, чтобы этот элемент оказался на месте элемента акк. Выбор главного элемента и связанная с ним перестановка строк необходимы в тех случаях, когда на каком-либо i-ом шаге акк=0 либо же акк очень мало по остальными элементами i- го столбца: при делении на такое «малое» акк будут получаться большие числа с большими абсолютными погрешностями, в результате чего решение может сильно исказиться.

Ниже излагается алгоритм полного исключения неизвестных или метод Жордана – Гаусса. Суть метода состоит в том, что, рассмотрев первое уравнение, в нем неизвестное с коеффициэнтом, отличным от нуля (в дальнейшем разрешающий элемент), и разделив первое уравнение на этот коэффициент, с помощью первого уравнения исключают это неизвестное из всех уравнений, кроме первого. Выбрав во втором уравнении неизвестное с коэффициентом, отличным от нуля, и разделив на него второе уравнение, с помощью второго исключают другие неизвестные из всех уравнений, кроме второго и т.д., т.е. с помощью одного уравнения производят полное исключение одного неизвестного. Процесс продолжается до тех пор, пока не будут использованы все уравнения.

Как известно, системы линейных алгебраических уравнений могут имеет одно решение, множество решений или системы несовместны. При элементарных преобразованиях элементов матрицы системы эти случаи выявляются в следующем:

1. В процессе исключений левая часть I –го уравнения системы обращается в нуль, а правая часть равна некоторому числу, отличному от нуля. т.е. 02+=bc0.

Это означает, что система не имеет решений, так как I – му уравнению не могут удовлетворять никакие значения неизвестных;

2. Левая и правая части I – го уравнения обращаются в нуль. Это означает, что I – ое уравнение является линейной комбинацией остальных, ему удовлетворяет любое найденное решение системы, поэтому оно может быть отброшено. В системе количество неизвестных больше количества уравнений и, следовательно, такая система имеет множество решений;

3. После того как все уравнения использованы для исключения неизвестных получено решение системы.

Таким образом, конечной целью преобразований Жордана-Гаусса является получение из заданной линейной системы

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1,n+1

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2,n+1

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm.n+1

Здесь x1, x2, …, xn – неизвестные, которые надо определить. a11, a12, …, amn – коэффициенты системы – и b1, b2, … bm – свободные члены – предполагаются известными. Индексы коэффициентов (aij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно.

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b1 = b2 = … = bm = 0), иначе – неоднородной.

Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы (1) – совокупность n чисел c1, c2, …, cn, таких что подстановка каждого ci вместо xi в систему (1) обращает все ее уравнения в тождества.

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее нет ни одного решения.

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Решения c1(1), c2(1), …, cn(1) и c1(2), c2(2), …, cn(2) совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

c1(1) = c1(2), c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2).

Совместная система вида (1) называется определенной, если она имеет единственное решение; если же у нее есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределенной. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

Решим следующую систему уравнений:

Запишем её в виде матрицы 3×4, где последний столбец является свободным членом:

Проведём следующие действия:

· К строке 2 добавим: -4 * Строку 1.

· К строке 3 добавим: -9 * Строку 1.

· К строке 3 добавим: -3 * Строку 2.

· Строку 2 делим на -2

· К строке 1 добавим: -1 * Строку 3.

· К строке 2 добавим: -3/2 * Строку 3.

· К строке 1 добавим: -1 * Строку 2.

В правом столбце получаем решение:

.

В методе Ньютона наблюдается ускорение сходимости процесса приближений. 5. Метод касательных (метод Ньютона) Метод касательных, связанный с именем И. Ньютона, является одним из наиболее эффективных численных методов решения уравнений. Идея метода очень проста. Возьмём производную точку x0 и запишем в ней уравнение касательной к графику функции f(x): y=f(x0)+ f ¢(x) (x-x0) (1.5) Графики…

Решения от численных методов расчёта. Для определения корней уравнения не требуется знания теорий групп Абеля, Галуа, Ли и пр. и применения специальной математической терминологии: колец, полей, идеалов, изоморфизмов и т.д. Для решения алгебраического уравнения n – ой степени нужно только умение решать квадратные уравнения и извлекать корни из комплексного числа. Корни могут быть определены с…



Математики тригонометрической подстановки и проверка эффективности разработанной методики преподавания. Этапы работы: 1. Разработка факультативного курса на тему: «Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач» с учащимися классов с углубленным изучением математики. 2. Проведение разработанного факультативного курса. 3. Проведение диагностирующей контрольной…

… «проявляется» лишь в процессе преобразований. Очевидность и «завуалированность» новой переменной мы рассмотрим на конкретных примерах во второй главе данной работы. 2. Возможности применения метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений В этой главе выявим возможности применения метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений в стандартных и нестандартных…

Здесь вы сможете бесплатно решить систему линейных уравнений методом Гаусса онлайн больших размеров в комплексных числах с очень подробным решением. Наш калькулятор умеет решать онлайн как обычную определенную, так и неопределенную систему линейных уравнений методом Гаусса, которая имеет бесконечное множество решений. В этом случае в ответе вы получите зависимость одних переменных через другие, свободные. Также можно проверить систему уравнений на совместность онлайн, используя решение методом Гаусса.

О методе

При решении системы линейных уравнений онлайн методом Гаусса выполняются следующие шаги.

  1. Записываем расширенную матрицу.
  2. Фактически решение разделяют на прямой и обратный ход метода Гаусса. Прямым ходом метода Гаусса называется приведение матрицы к ступенчатому виду. Обратным ходом метода Гаусса называется приведение матрицы к специальному ступенчатому виду. Но на практике удобнее сразу занулять то, что находится и сверху и снизу рассматриваемого элемента. Наш калькулятор использует именно этот подход.
  3. Важно отметить, что при решении методом Гаусса, наличие в матрице хотя бы одной нулевой строки с НЕнулевой правой частью (столбец свободных членов) говорит о несовместности системы. Решение линейной системы в таком случае не существует.

Чтобы лучше всего понять принцип работы алгоритма Гаусса онлайн введите любой пример, выберите “очень подробное решение” и посмотрите его решение онлайн.

Решатель уравнений: Wolfram | Alpha

О решении уравнений

Значение называется корнем полинома if.

Наибольший показатель степени появления называется степенью. Если имеет степень, то хорошо известно, что есть корни, если учесть множественность. Чтобы понять, что подразумевается под множественностью, возьмем, например,. Считается, что этот многочлен имеет два корня, оба равны 3.

Человек изучает «теорему о факторах», обычно во втором курсе алгебры, как способ найти все корни, являющиеся рациональными числами.Также можно научиться находить корни всех квадратичных многочленов, используя при необходимости квадратные корни (полученные из дискриминанта). Существуют более сложные формулы для выражения корней многочленов кубической и четвертой степени, а также ряд численных методов аппроксимации корней произвольных многочленов. В них используются методы комплексного анализа, а также сложные численные алгоритмы, и это действительно область постоянных исследований и разработок.

Системы линейных уравнений часто решаются с использованием метода исключения Гаусса или связанных методов.Это также обычно встречается в программах средней школы или колледжа по математике. Для нахождения корней одновременных систем нелинейных уравнений необходимы более совершенные методы. Аналогичные замечания относятся к работе с системами неравенств: линейный случай может быть обработан с использованием методов, описанных в курсах линейной алгебры, тогда как полиномиальные системы более высокой степени обычно требуют более сложных вычислительных инструментов.

Как Wolfram | Alpha решает уравнения

Для решения уравнений Wolfram | Alpha вызывает функции Solve и Reduce языка Wolfram Language, которые содержат широкий спектр методов для всех видов алгебры, от основных линейных и квадратных уравнений до многомерных нелинейных систем.В некоторых случаях используются методы линейной алгебры, такие как исключение Гаусса, с оптимизацией для повышения скорости и надежности. Другие операции полагаются на теоремы и алгоритмы из теории чисел, абстрактной алгебры и других сложных областей для вычисления результатов. Эти методы тщательно спроектированы и выбраны, чтобы позволить Wolfram | Alpha решать самые разнообразные проблемы, а также минимизировать время вычислений.

Хотя такие методы полезны для прямых решений, для системы также важно понимать, как человек мог бы решить ту же проблему.В результате в Wolfram | Alpha также есть отдельные алгоритмы для пошагового отображения алгебраических операций с использованием классических методов, которые легко распознаются людьми и которым легко следовать. Это включает в себя исключение, замену, квадратную формулу, правило Крамера и многое другое.

Калькулятор нормального распределения

Калькулятор нормального распределения упрощает вычисление кумулятивного вероятность при нормальной случайной величине; и наоборот. За помощью в использовании калькулятор, прочтите Часто задаваемые вопросы или просмотрите примеры проблем.

Чтобы узнать больше о нормальном распределении, перейдите в Stat Trek’s учебник по нормальному распределению.

  • Введите значение в три из четырех текстовых полей.
  • Оставьте четвертое текстовое поле пустым.
  • Нажмите кнопку Рассчитать , чтобы вычислить значение для пустого поля. текстовое окно.

Примечание : Таблица нормального распределения, приведенная в приложении к большинство статистических текстов основано на стандартное нормальное распределение, которое имеет среднее значение 0 и стандартное отклонение 1.Для производства продукции из стандартного нормального распределения с помощью этого калькулятора, установите среднее значение равным 0 и стандартное отклонение равным 1.

Часто задаваемые вопросы

Инструкции: Чтобы найти ответ на часто задаваемый вопрос, просто нажмите на вопрос. Если вы не видите нужного ответа, попробуйте Глоссарий статистики или ознакомьтесь с учебником Stat Trek по обычному распределение.

Почему так важно нормальное распределение?

Нормальное распределение важно, потому что оно описывает статистическое поведение многих реальных событий.Форма нормального распределение полностью описывается средним значением и стандартным отклонением.

Таким образом, учитывая среднее значение и стандартное отклонение, вы можете использовать свойства нормального распределения для быстрого вычисления кумулятивного вероятность для любого значения. Этот процесс проиллюстрирован ниже в примерах проблем.

Что такое стандартное нормальное распределение?

Существует бесконечное количество нормальных распределений. Хотя каждое нормальное распределение имеет колоколообразную кривую, некоторые нормальные распределения иметь высокий и узкий изгиб; в то время как у других кривая короткая и широкий.

Точная форма нормального распределения определяется его среднее значение и его стандартное отклонение. Стандартное нормальное распределение – это нормальное распределение со средним нулевым и единичным стандартным отклонением.

Нормальный случайная величина стандартного нормального распределения называется стандартом . оценка или z-оценка . Нормальная случайная величина X из любого нормального распределения может быть преобразовано в оценку z из стандартное нормальное распределение с помощью следующего уравнения:

z = ( X – μ) / σ

, где X – нормальная случайная величина, μ – среднее, а σ – стандартное отклонение.

Потому что любую нормальную случайную величину можно «преобразовать» в z оценка, стандартное нормальное распределение обеспечивает полезную систему отсчета. Фактически, это нормальное распределение, которое обычно появляется в приложении. учебников по статистике.

Что такое нормальная случайная величина?

Нормальное распределение определяется следующим уравнением:

Нормальное уравнение . Значение случайной величины Y составляет:

Y = {1 / [σ * sqrt (2π)]} * e – (x – μ) 2 / 2σ 2

где X – нормальная случайная величина, μ – среднее, σ – стандартное отклонение, π приблизительно равно 3.14159, а e составляет примерно 2,71828.

В этом уравнении случайная величина X называется нормальной случайной величиной. Уникальный кумулятивная вероятность может быть связана с каждой нормальной случайной величиной. Учитывая нормальную случайную величину, стандартное отклонение нормальной распределения и среднего нормального распределения, мы можем вычислить кумулятивная вероятность (то есть вероятность того, что случайный выбор из нормальное распределение будет меньше или равно нормальной случайной величине.)

Что такое стандартный балл?

Стандартная оценка (также известная как z-оценка) – это нормальная случайная величина из стандартное нормальное распределение.

Для преобразования нормальной случайной величины (x) в эквивалентную стандартная оценка (z), используйте следующую формулу:

z = ( x – μ) / σ

, где μ – среднее значение, а σ – стандартное отклонение.

Какова вероятность?

Вероятность – это число, выражающее шансы того, что конкретная событие произойдет.Это число может принимать любое значение от 0 до 1. Вероятность 0 означает, что вероятность того, что событие произойдет, равна нулю; вероятность 1 означает, что событие обязательно произойдет.

Числа от 0 до 1 определяют количественно неопределенность, связанная с событием. Например, вероятность Подбрасывание монеты, в результате которого выпадет орел (а не решка), составит 0,50. Пятьдесят процентов в некоторых случаях подбрасывание монеты приводило к выпадению орлов; и пятьдесят процентов время, это приведет к Tails.

Какова совокупная вероятность?

Совокупная вероятность – это сумма вероятностей.В связи с нормальным распределением совокупная вероятность относится к вероятность того, что случайно выбранная оценка будет меньше или равна указанное значение, называемое нормальной случайной величиной.

Предположим, например, что у нас есть школа с 100 первоклассники. Если мы спросим о вероятности того, что случайно выбранный первый грейдер весит ровно 70 фунтов, мы спрашиваем о простой вероятности – а не о совокупная вероятность.

Но если мы спросим о вероятности того, что случайно выбранный первоклассник на меньше или равен до 70 фунтов, мы действительно спрашиваем о сумме вероятностей (т.е. вероятность того, что студент точно 70 фунтов плюс вероятность того, что он / она 69 фунтов плюс вероятность что он / она 68 фунтов и т. д.). Таким образом, мы спрашиваем о совокупном вероятность.

Что такое средний балл?

Средний балл – это средний балл. Это сумма индивидуальных баллы, разделенные на количество людей.

Что такое стандартное отклонение?

Стандартное отклонение – это числовое значение, используемое для обозначения того, как широко оценки в наборе данных различаются.Это мера среднего расстояния индивидуальные наблюдения из группы в среднем.

% PDF-1.6 % 1 0 объект > / Контуры 2 0 R / Метаданные 3 0 R / Страницы 4 0 R / OCProperties> / OCGs [5 0 R 6 0 R] >> / StructTreeRoot 7 0 R / Тип / Каталог >> эндобдж 8 0 объект > эндобдж 2 0 obj > эндобдж 3 0 obj > поток 2007-08-16T13: 51: 37 + 01: 002007-05-03T12: 05: 08 + 01: 002007-08-16T13: 51: 37 + 01: 00 Acrobat PDFMaker 7.0.5 для Wordapplication / pdf

  • Рэйчел Праудфут
  • uuid: 39724b39-e7e7-4f79-9767-c40ef47a2f6fuuid: 2459d88d-891a-4e9f-be47-ff14164fca84 Acrobat Distiller 7.0.5 (Windows) конечный поток эндобдж 4 0 obj > эндобдж 5 0 obj > / PageElement> >> / Имя (верхний колонтитул) / Тип / OCG >> эндобдж 6 0 obj > / PageElement> >> / Имя (верхний колонтитул) / Тип / OCG >> эндобдж 7 0 объект > эндобдж 9 0 объект > эндобдж 10 0 obj > эндобдж 11 0 объект > эндобдж 12 0 объект > эндобдж 13 0 объект > эндобдж 14 0 объект > эндобдж 15 0 объект > эндобдж 16 0 объект > эндобдж 17 0 объект > эндобдж 18 0 объект > эндобдж 19 0 объект >> эндобдж 20 0 объект > эндобдж 21 0 объект >> эндобдж 22 0 объект > эндобдж 23 0 объект > / XObject> / Шрифт> >> / MediaBox [0 0 612 792] / Аннотации [619 0 R 620 0 R 621 0 R 622 0 R 623 0 R 624 0 R 625 0 R 626 0 R 627 0 R 628 0 R 629 0 R 630 0 R 631 0 R 632 0 R 633 0 R 634 0 R 635 0 R 636 0 R 637 0 R 638 0 R 639 0 R 640 0 R] / Содержание 641 0 руб. / StructParents 0 / Родитель 11 0 R >> эндобдж 24 0 объект > / ColorSpace> / Шрифт> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC / ImageI] / Свойства> / ExtGState> >> / Тип / Страница >> эндобдж 25 0 объект > / Шрифт> / ProcSet [/ PDF / Text] / Свойства> / ExtGState> >> / Тип / Страница >> эндобдж 26 0 объект > / Шрифт> / ProcSet [/ PDF / Text] / Свойства> / ExtGState> >> / Тип / Страница >> эндобдж 27 0 объект > / Шрифт> / ProcSet [/ PDF / Text] / Свойства> / ExtGState> >> / Тип / Страница >> эндобдж 28 0 объект > / Шрифт> / ProcSet [/ PDF / Text] / Свойства> / ExtGState> >> / Тип / Страница >> эндобдж 29 0 объект > / Шрифт> / ProcSet [/ PDF / Text] / Свойства> / ExtGState> >> / Тип / Страница >> эндобдж 30 0 объект > / Шрифт> / ProcSet [/ PDF / Text] / Свойства> / ExtGState> >> / Тип / Страница >> эндобдж 31 0 объект > / ColorSpace> / Шрифт> / ProcSet [/ PDF / Text] / Свойства> / ExtGState> >> / Тип / Страница >> эндобдж 32 0 объект > / Шрифт> / ProcSet [/ PDF / Text] / Свойства> / ExtGState> >> / Тип / Страница >> эндобдж 33 0 объект > / Шрифт> / ProcSet [/ PDF / Text] / Свойства> / ExtGState> >> / Тип / Страница >> эндобдж 34 0 объект > / Шрифт> / ProcSet [/ PDF / Text] / Свойства> / ExtGState> >> / Тип / Страница >> эндобдж 35 0 объект > / Шрифт> / ProcSet [/ PDF / Text] / Свойства> / ExtGState> >> / Тип / Страница >> эндобдж 36 0 объект > / Шрифт> / ProcSet [/ PDF / Text] / Свойства> / ExtGState> >> / Тип / Страница >> эндобдж 37 0 объект > / Шрифт> / ProcSet [/ PDF / Text] / Свойства> / ExtGState> >> / Тип / Страница >> эндобдж 38 0 объект > / Шрифт> / ProcSet [/ PDF / Text] / Свойства> / ExtGState> >> / Тип / Страница >> эндобдж 39 0 объект > / Шрифт> / ProcSet [/ PDF / Text] / Свойства> / ExtGState> >> / Тип / Страница >> эндобдж 40 0 объект > / Шрифт> / ProcSet [/ PDF / Text] / Свойства> / ExtGState> >> / Тип / Страница >> эндобдж 41 0 объект > / Шрифт> / ProcSet [/ PDF / Text] / Свойства> / ExtGState> >> / Тип / Страница >> эндобдж 42 0 объект > / Шрифт> / ProcSet [/ PDF / Text] / Свойства> / ExtGState> >> / Тип / Страница >> эндобдж 43 0 объект > / Шрифт> / ProcSet [/ PDF / Text] / Свойства> / ExtGState> >> / Тип / Страница >> эндобдж 44 0 объект > эндобдж 45 0 объект > эндобдж 46 0 объект > эндобдж 47 0 объект > эндобдж 48 0 объект > эндобдж 49 0 объект > эндобдж 50 0 объект > эндобдж 51 0 объект > эндобдж 52 0 объект > эндобдж 53 0 объект > эндобдж 54 0 объект > эндобдж 55 0 объект > эндобдж 56 0 объект > эндобдж 57 0 объект > эндобдж 58 0 объект > эндобдж 59 0 объект > эндобдж 60 0 объект > эндобдж 61 0 объект > эндобдж 62 0 объект > эндобдж 63 0 объект > эндобдж 64 0 объект > эндобдж 65 0 объект >> эндобдж 66 0 объект > эндобдж 67 0 объект > эндобдж 68 0 объект > эндобдж 69 0 объект > эндобдж 70 0 объект > эндобдж 71 0 объект >> эндобдж 72 0 объект > эндобдж 73 0 объект > эндобдж 74 0 объект > эндобдж 75 0 объект > эндобдж 76 0 объект > эндобдж 77 0 объект > эндобдж 78 0 объект > эндобдж 79 0 объект > эндобдж 80 0 объект > эндобдж 81 0 объект > эндобдж 82 0 объект > эндобдж 83 0 объект > эндобдж 84 0 объект > эндобдж 85 0 объект > эндобдж 86 0 объект > эндобдж 87 0 объект > эндобдж 88 0 объект > эндобдж 89 0 объект > эндобдж 90 0 объект > эндобдж 91 0 объект > эндобдж 92 0 объект > эндобдж 93 0 объект > эндобдж 94 0 объект > эндобдж 95 0 объект > эндобдж 96 0 объект > эндобдж 97 0 объект > эндобдж 98 0 объект > эндобдж 99 0 объект > эндобдж 100 0 объект > эндобдж 101 0 объект > эндобдж 102 0 объект > эндобдж 103 0 объект > эндобдж 104 0 объект > эндобдж 105 0 объект > эндобдж 106 0 объект > эндобдж 107 0 объект > эндобдж 108 0 объект > эндобдж 109 0 объект > эндобдж 110 0 объект > эндобдж 111 0 объект > эндобдж 112 0 объект > эндобдж 113 0 объект > эндобдж 114 0 объект > эндобдж 115 0 объект > эндобдж 116 0 объект > эндобдж 117 0 объект > эндобдж 118 0 объект > эндобдж 119 0 объект > эндобдж 120 0 объект > эндобдж 121 0 объект > эндобдж 122 0 объект > эндобдж 123 0 объект > эндобдж 124 0 объект > эндобдж 125 0 объект > эндобдж 126 0 объект > эндобдж 127 0 объект > эндобдж 128 0 объект > эндобдж 129 0 объект > эндобдж 130 0 объект > эндобдж 131 0 объект > эндобдж 132 0 объект > эндобдж 133 0 объект > эндобдж 134 0 объект > эндобдж 135 0 объект > эндобдж 136 0 объект > эндобдж 137 0 объект > эндобдж 138 0 объект > эндобдж 139 0 объект > эндобдж 140 0 объект > эндобдж 141 0 объект > эндобдж 142 0 объект > эндобдж 143 0 объект > эндобдж 144 0 объект > эндобдж 145 0 объект > эндобдж 146 0 объект > эндобдж 147 0 объект > эндобдж 148 0 объект > эндобдж 149 0 объект > эндобдж 150 0 объект > эндобдж 151 0 объект > эндобдж 152 0 объект > эндобдж 153 0 объект > эндобдж 154 0 объект > эндобдж 155 0 объект > эндобдж 156 0 объект > эндобдж 157 0 объект > эндобдж 158 0 объект > эндобдж 159 0 объект > эндобдж 160 0 объект > эндобдж 161 0 объект > эндобдж 162 0 объект > эндобдж 163 0 объект > эндобдж 164 0 объект > эндобдж 165 0 объект > эндобдж 166 0 объект > эндобдж 167 0 объект > эндобдж 168 0 объект > эндобдж 169 0 объект > эндобдж 170 0 объект > эндобдж 171 0 объект > эндобдж 172 0 объект > эндобдж 173 0 объект > эндобдж 174 0 объект > эндобдж 175 0 объект > эндобдж 176 0 объект > эндобдж 177 0 объект > эндобдж 178 0 объект > эндобдж 179 0 объект > эндобдж 180 0 объект > эндобдж 181 0 объект > эндобдж 182 0 объект > эндобдж 183 0 объект > эндобдж 184 0 объект > эндобдж 185 0 объект > эндобдж 186 0 объект > эндобдж 187 0 объект > эндобдж 188 0 объект > эндобдж 189 0 объект > эндобдж 190 0 объект > эндобдж 191 0 объект > эндобдж 192 0 объект > эндобдж 193 0 объект > эндобдж 194 0 объект > эндобдж 195 0 объект > эндобдж 196 0 объект > эндобдж 197 0 объект > эндобдж 198 0 объект > эндобдж 199 0 объект > эндобдж 200 0 объект > эндобдж 201 0 объект > эндобдж 202 0 объект > эндобдж 203 0 объект > эндобдж 204 0 объект > эндобдж 205 0 объект > эндобдж 206 0 объект > эндобдж 207 0 объект > эндобдж 208 0 объект > эндобдж 209 0 объект > эндобдж 210 0 объект > эндобдж 211 0 объект > эндобдж 212 0 объект > эндобдж 213 0 объект > эндобдж 214 0 объект > эндобдж 215 0 объект > эндобдж 216 0 объект > эндобдж 217 0 объект > эндобдж 218 0 объект > эндобдж 219 0 объект > эндобдж 220 0 объект > эндобдж 221 0 объект > эндобдж 222 0 объект > эндобдж 223 0 объект > эндобдж 224 0 объект > эндобдж 225 0 объект > эндобдж 226 0 объект > эндобдж 227 0 объект > эндобдж 228 0 объект > эндобдж 229 0 объект > эндобдж 230 0 объект > эндобдж 231 0 объект > эндобдж 232 0 объект > эндобдж 233 0 объект > эндобдж 234 0 объект > эндобдж 235 0 объект > эндобдж 236 0 объект > эндобдж 237 0 объект > эндобдж 238 0 объект > эндобдж 239 0 объект > эндобдж 240 0 объект > эндобдж 241 0 объект > эндобдж 242 0 объект > эндобдж 243 0 объект > эндобдж 244 0 объект > эндобдж 245 0 объект > эндобдж 246 0 объект > эндобдж 247 0 объект > эндобдж 248 0 объект > эндобдж 249 0 объект > эндобдж 250 0 объект > эндобдж 251 0 объект > эндобдж 252 0 объект > эндобдж 253 0 объект > эндобдж 254 0 объект > эндобдж 255 0 объект > эндобдж 256 0 объект > эндобдж 257 0 объект > эндобдж 258 0 объект > эндобдж 259 0 объект > эндобдж 260 0 объект > эндобдж 261 0 объект > эндобдж 262 0 объект > эндобдж 263 0 объект > эндобдж 264 0 объект > эндобдж 265 0 объект > эндобдж 266 0 объект > эндобдж 267 0 объект > эндобдж 268 0 объект > эндобдж 269 ​​0 объект > эндобдж 270 0 объект > эндобдж 271 0 объект > эндобдж 272 0 объект > эндобдж 273 0 объект > эндобдж 274 0 объект > эндобдж 275 0 объект > эндобдж 276 0 объект > эндобдж 277 0 объект > эндобдж 278 0 объект > эндобдж 279 0 объект > эндобдж 280 0 объект > эндобдж 281 0 объект > эндобдж 282 0 объект > эндобдж 283 0 объект > эндобдж 284 0 объект > эндобдж 285 0 объект > эндобдж 286 0 объект > эндобдж 287 0 объект > эндобдж 288 0 объект > эндобдж 289 0 объект > эндобдж 290 0 объект > эндобдж 291 0 объект > эндобдж 292 0 объект > эндобдж 293 0 объект > эндобдж 294 0 объект > эндобдж 295 0 объект > эндобдж 296 0 объект > эндобдж 297 0 объект > эндобдж 298 0 объект > эндобдж 299 0 объект > эндобдж 300 0 объект > эндобдж 301 0 объект > эндобдж 302 0 объект > эндобдж 303 0 объект > эндобдж 304 0 объект > эндобдж 305 0 объект > эндобдж 306 0 объект > эндобдж 307 0 объект > эндобдж 308 0 объект > эндобдж 309 0 объект > эндобдж 310 0 объект > эндобдж 311 0 объект > эндобдж 312 0 объект > эндобдж 313 0 объект > эндобдж 314 0 объект > эндобдж 315 0 объект > эндобдж 316 0 объект > эндобдж 317 0 объект > эндобдж 318 0 объект > эндобдж 319 0 объект > эндобдж 320 0 объект > эндобдж 321 0 объект > эндобдж 322 0 объект > эндобдж 323 0 объект > эндобдж 324 0 объект > эндобдж 325 0 объект > эндобдж 326 0 объект > эндобдж 327 0 объект > эндобдж 328 0 объект > эндобдж 329 0 объект > эндобдж 330 0 объект > эндобдж 331 0 объект > эндобдж 332 0 объект > эндобдж 333 0 объект > эндобдж 334 0 объект > эндобдж 335 0 объект > эндобдж 336 0 объект > эндобдж 337 0 объект > эндобдж 338 0 объект > эндобдж 339 0 объект > эндобдж 340 0 объект > эндобдж 341 0 объект > эндобдж 342 0 объект > эндобдж 343 0 объект > эндобдж 344 0 объект > эндобдж 345 0 объект > эндобдж 346 0 объект > эндобдж 347 0 объект > эндобдж 348 0 объект > эндобдж 349 0 объект > эндобдж 350 0 объект > эндобдж 351 0 объект > эндобдж 352 0 объект > эндобдж 353 0 объект > эндобдж 354 0 объект > эндобдж 355 0 объект > эндобдж 356 0 объект > эндобдж 357 0 объект > эндобдж 358 0 объект > эндобдж 359 0 объект > эндобдж 360 0 объект > эндобдж 361 0 объект > эндобдж 362 0 объект > эндобдж 363 0 объект > эндобдж 364 0 объект > эндобдж 365 0 объект > эндобдж 366 0 объект > эндобдж 367 0 объект > эндобдж 368 0 объект > эндобдж 369 0 объект > эндобдж 370 0 объект > эндобдж 371 0 объект > эндобдж 372 0 объект > эндобдж 373 0 объект > эндобдж 374 0 объект > эндобдж 375 0 объект > эндобдж 376 0 объект > эндобдж 377 0 объект > эндобдж 378 0 объект > эндобдж 379 0 объект > эндобдж 380 0 объект > эндобдж 381 0 объект > эндобдж 382 0 объект > эндобдж 383 0 объект > эндобдж 384 0 объект > эндобдж 385 0 объект > эндобдж 386 0 объект > эндобдж 387 0 объект > эндобдж 388 0 объект > эндобдж 389 0 объект > эндобдж 390 0 объект > эндобдж 391 0 объект > эндобдж 392 0 объект > эндобдж 393 0 объект > эндобдж 394 0 объект > эндобдж 395 0 объект > эндобдж 396 0 объект > эндобдж 397 0 объект > эндобдж 398 0 объект > эндобдж 399 0 объект > эндобдж 400 0 объект > эндобдж 401 0 объект > эндобдж 402 0 объект > эндобдж 403 0 объект > эндобдж 404 0 объект > эндобдж 405 0 объект > эндобдж 406 0 объект > эндобдж 407 0 объект > эндобдж 408 0 объект > эндобдж 409 0 объект > эндобдж 410 0 объект > эндобдж 411 0 объект > эндобдж 412 0 объект > эндобдж 413 0 объект > эндобдж 414 0 объект > эндобдж 415 0 объект > эндобдж 416 0 объект > эндобдж 417 0 объект > эндобдж 418 0 объект > эндобдж 419 0 объект > эндобдж 420 0 объект > эндобдж 421 0 объект > эндобдж 422 0 объект > эндобдж 423 0 объект > эндобдж 424 0 объект > эндобдж 425 0 объект > эндобдж 426 0 объект > эндобдж 427 0 объект > эндобдж 428 0 объект > эндобдж 429 0 объект > эндобдж 430 0 объект > эндобдж 431 0 объект > эндобдж 432 0 объект > эндобдж 433 0 объект > эндобдж 434 0 объект > эндобдж 435 0 объект > эндобдж 436 0 объект > эндобдж 437 0 объект > эндобдж 438 0 объект > эндобдж 439 0 объект > эндобдж 440 0 объект > эндобдж 441 0 объект > эндобдж 442 0 объект > эндобдж 443 0 объект > эндобдж 444 0 объект > эндобдж 445 0 объект > эндобдж 446 0 объект > эндобдж 447 0 объект > эндобдж 448 0 объект > эндобдж 449 0 объект > эндобдж 450 0 объект > эндобдж 451 0 объект > эндобдж 452 0 объект > эндобдж 453 0 объект > эндобдж 454 0 объект > эндобдж 455 0 объект > эндобдж 456 0 объект > эндобдж 457 0 объект > эндобдж 458 0 объект > эндобдж 459 0 объект > эндобдж 460 0 объект > эндобдж 461 0 объект > эндобдж 462 0 объект > эндобдж 463 0 объект > эндобдж 464 0 объект > эндобдж 465 0 объект > эндобдж 466 0 объект > эндобдж 467 0 объект > эндобдж 468 0 объект > эндобдж 469 0 объект > эндобдж 470 0 объект > эндобдж 471 0 объект > эндобдж 472 0 объект > эндобдж 473 0 объект > эндобдж 474 0 объект > эндобдж 475 0 объект > эндобдж 476 0 объект > эндобдж 477 0 объект > эндобдж 478 0 объект > эндобдж 479 0 объект > эндобдж 480 0 объект > эндобдж 481 0 объект > эндобдж 482 0 объект > эндобдж 483 0 объект > эндобдж 484 0 объект > эндобдж 485 0 объект > эндобдж 486 0 объект > эндобдж 487 0 объект > эндобдж 488 0 объект > эндобдж 489 0 объект > эндобдж 490 0 объект > эндобдж 491 0 объект > эндобдж 492 0 объект > эндобдж 493 0 объект > эндобдж 494 0 объект > эндобдж 495 0 объект > эндобдж 496 0 объект > эндобдж 497 0 объект > эндобдж 498 0 объект > эндобдж 499 0 объект > эндобдж 500 0 объект > эндобдж 501 0 объект > эндобдж 502 0 объект > эндобдж 503 0 объект > эндобдж 504 0 объект > эндобдж 505 0 объект > эндобдж 506 0 объект > эндобдж 507 0 объект > эндобдж 508 0 объект > эндобдж 509 0 объект > эндобдж 510 0 объект > эндобдж 511 0 объект > эндобдж 512 0 объект > эндобдж 513 0 объект > эндобдж 514 0 объект > эндобдж 515 0 объект > эндобдж 516 0 объект > эндобдж 517 0 объект > эндобдж 518 0 объект > эндобдж 519 0 объект > эндобдж 520 0 объект > эндобдж 521 0 объект > эндобдж 522 0 объект > эндобдж 523 0 объект > эндобдж 524 0 объект > эндобдж 525 0 объект > эндобдж 526 0 объект > эндобдж 527 0 объект > эндобдж 528 0 объект > эндобдж 529 0 объект > эндобдж 530 0 объект > эндобдж 531 0 объект > эндобдж 532 0 объект > эндобдж 533 0 объект > эндобдж 534 0 объект > эндобдж 535 0 объект > эндобдж 536 0 объект > эндобдж 537 0 объект > эндобдж 538 0 объект > эндобдж 539 0 объект > эндобдж 540 0 объект > эндобдж 541 0 объект > эндобдж 542 0 объект > эндобдж 543 0 объект > эндобдж 544 0 объект > эндобдж 545 0 объект > эндобдж 546 0 объект > эндобдж 547 0 объект > эндобдж 548 0 объект > эндобдж 549 0 объект > эндобдж 550 0 объект > эндобдж 551 0 объект > эндобдж 552 0 объект > эндобдж 553 0 объект > эндобдж 554 0 объект > эндобдж 555 0 объект > эндобдж 556 0 объект > эндобдж 557 0 объект > эндобдж 558 0 объект > эндобдж 559 0 объект > эндобдж 560 0 объект > эндобдж 561 0 объект > эндобдж 562 0 объект > эндобдж 563 0 объект > эндобдж 564 0 объект > эндобдж 565 0 объект > эндобдж 566 0 объект > эндобдж 567 0 объект > эндобдж 568 0 объект > эндобдж 569 0 объект > эндобдж 570 0 объект > эндобдж 571 0 объект > эндобдж 572 0 объект > эндобдж 573 0 объект > эндобдж 574 0 объект > эндобдж 575 0 объект > эндобдж 576 0 объект > эндобдж 577 0 объект > эндобдж 578 0 объект > эндобдж 579 0 объект > эндобдж 580 0 объект > эндобдж 581 0 объект > эндобдж 582 0 объект > эндобдж 583 0 объект > эндобдж 584 0 объект > эндобдж 585 0 объект > эндобдж 586 0 объект > эндобдж 587 0 объект > эндобдж 588 0 объект > эндобдж 589 0 объект > эндобдж 590 0 объект > эндобдж 591 0 объект > эндобдж 592 0 объект > эндобдж 593 0 объект > эндобдж 594 0 объект > эндобдж 595 0 объект > эндобдж 596 0 объект > эндобдж 597 0 объект > эндобдж 598 0 объект > эндобдж 599 0 объект > эндобдж 600 0 объект > поток Акробат Дистиллятор 7.0.5 (Windows) WRR – Пароли и т. Д. 01: 002007-05-03T12: 04: 40 + 01: 00uuid: d1ddb97f-d199-4edd-af20-95fb34403a3duuid: ce83fe22-7060-4f41-91e6-cba474dc5ecf
  • 38
  • application / pdf
  • Рэйчел Праудфут
  • конечный поток эндобдж 601 0 объект > эндобдж 602 0 объект >> эндобдж 603 0 объект > эндобдж 604 0 объект >> эндобдж 605 0 объект > эндобдж 606 0 объект > эндобдж 607 0 объект > поток Акробат Дистиллятор 7.0.5 (Windows) ITSD: 200703011040482007-05-03T11: 56: 26 + 01: 00 Acrobat PDFMaker 7.0.5 для Word2007-05-03T11: 59: 42 + 01: 002007-05-03T11: 59: 42 + 01: 00uuid: 6e3f5373-7ae4-4652-93d5-f262194f1d1fuid: 97560169-1b4f-49a1-a1c4-9717998cf69a
  • 2
  • application / pdf
  • dcarslaw
  • конечный поток эндобдж 608 0 объект > эндобдж 609 0 объект > эндобдж 610 0 объект > эндобдж 611 0 объект > поток xyp} h, если & i22S4dIҤMIv1M6N2iCMdhJƷ | `cc | bԧ $> uCƦHZmp: ˫ ߻ Z ~ Ϯ} ww? ~ _R ​​

    .
  • Оставить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *