Онлайн пределы функции: Правило Лопиталя онлайн - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Предел функции в точке – онлайн справочник для студентов

Определение предела функции в точке Гейне

Это определение предела функции на языке последовательностей.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Число \(\ \mathrm{b} \) называется пределом функции \(\ y=f(x) \) для \(\ x \), стремящимся к (или, что то же самое, в точке a), если для любой последовательности \(\ \left\{x_{n}\right\} \) , сходящейся к \(\ x_{n} \neq a \forall n \) , последовательность соответствующих значений Функции \(\ \left\{f\left(x_{n}\right)\right\} \) сходится к \(\ \mathrm{b} \):

\(\ \lim _{x \rightarrow a} f(x)=b : \forall\left\{x_{n}\right\} \subset D[f] :\left\{x_{n}\right\}_{n \rightarrow \infty} a \Rightarrow\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n \rightarrow \infty} b \)

ПРИМЕР

Задача

доказать равенство \(\ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x}=0 \) , используя определение предела функции по Гейне.

Доказательство.

Согласно определению предела функции Гейне:

\(\ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x}=0 : \forall\left\{x_{n}\right\} \subset D[f] : \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\infty \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=0 \)

Пусть \(\ \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\infty \) , докажем, что \(\ \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=0 \) .

Предел функции

\(\ \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{x_{n}} \)

Так как последовательность \(\ \left\{x_{n}\right\} \) бесконечно велика (ее предел бесконечен), то последовательность \(\ \left\{\frac{1}{x_{n}}\right\} \) бесконечно мала, что означает, что ее предел равен нулю. затем

\(\ \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{x_{n}}=0 \)

Что и требовалось доказать

Определение предела функции в точке Коши

Это определение предельной функции в языке \(\ \varepsilon-\delta \)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Число \(\ \mathrm{b} \) называется пределом функции \(\ y=f(x) \) для \(\ x \), стремящимся к a, если для любого положительного числа \(\ \varepsilon \) существует такое положительное число \(\ \delta \) , что для всех \(\ x \neq a \) таких, что неравенство \(\ |x-a|\(\ \lim _{x \rightarrow a} f(x)=b : \forall \varepsilon>0 \exists \delta>0 : \forall x \in(a-\delta ; a+\delta) \bigcap D[f] : 0ПРИМЕР

Задача

Чтобы доказать равенство \(\ \lim _{x \rightarrow 3}\left(x^{2}-1\right)=8 \) , используя определение предела функции по Коши. {2}Итак, мы имеем это, с одной стороны

\(\ |x-3|а с другой (по определению) –

\(\ |x-3|Тогда заключаем, что в качестве \(\ \delta \) можно взять

\(\ \delta=\sqrt{\varepsilon+9}-3>0 \)

В этом случае: \(\ \forall \varepsilon>0 \exists \delta(\varepsilon)=\sqrt{\varepsilon+9}-3>0 : \forall x \in D[f] : 0Что и требовалось доказать

Теорема

Определения предела функции в точке Коши и точки Гейне эквивалентны, т. е. Если число \(\ \mathrm{b} \) является пределом для одного из них, то это верно для второго.

Замечание 1. Из определения предела функции по Гейне следует, что функция не может иметь двух разных пределов в точке.

Замечание 2. Понятие предела функции в точке является локальным понятием: существование и значение предела полностью определяются значениями функции в сколь угодно малой окрестности этой точки.

Замечание 3. Геометрически существование предела функции в точке Коши означает, что для любого числа \(\ \varepsilon>0 \) на координатной плоскости можно указать такой прямоугольник с базой \(\ 2 \delta>0 \) и высотой \(\ 2 \varepsilon \) с пересечением диагоналей \(\ (a ; b) \) , что все точки графа этой функции на отрезке \(\ (a-\delta ; a+\delta) \) , за исключением, быть может, точек \(\ (a ; f(a)) \) лежат в этом прямоугольнике (рис. 1).

Рис.1

Учитывая, как будут раскрыты модули, а также тот факт, что x стремится к левому или правому значению a, для выражений, написанных выше, можно построить следующую таблицу:

\(\ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & & Гейне& Коши\\ \hline 1 & x \rightarrow a & x_{n} \rightarrow a & 0 a& a \delta\\ \hline 7 & f(x) \rightarrow b& f\left(x_{n}\right) \rightarrow b& |f(x)-b| \varepsilon\\ \hline 11 & f(x) \rightarrow -\infty & f\left(x_{n}\right) \rightarrow-\infty& f(x) \varepsilon\\ \hline \end{array} \)

Второй столбец содержит условия, налагаемые на переменную и функцию, а третий и четвертый столбцы соответствуют тому, как эти условия должны интерпретироваться в определениях функций Гейне и Коши соответственно.

Примеры решения проблем

ПРИМЕР

Задача

Формулировать с помощью утверждения неравенств \(\ \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=b-0 \) . Приведите соответствующий пример.

Решение

Из таблицы мы берем строки 4 (соответствует \(\ x \rightarrow \infty \) и 9 (соответствует \(\ f(x) \rightarrow b-0 \) ). Тогда утверждение для определения предела функции по Гейне с помощью неравенств записывается в виде:

\(\ \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=b-0 : \forall\left\{x_{n}\right\} \subset D[f] : x_{n}, \rightarrow \infty \Rightarrow\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n \rightarrow \infty} b \wedge f\left(x_{n}\right) \leq b \)

Аналогично, чтобы определить предел функции по Коши, имеем:

\(\ \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=b-0 : \forall \varepsilon>0 \exists \delta > 0 : \forall x \in D[f] :|x| > \delta \Rightarrow b-\varepsilon Приведем соответствующий пример функции, для которой выполняется равенство \(\ \lim _ { x \rightarrow \infty} f(x)=b-0 \) (рис.2)

Рис. 2

Физика

166

Реклама и PR

Педагогика

Психология

Социология

Астрономия

Биология

Культурология

Экология

Право и юриспруденция

Политология

Экономика

Финансы

История

Философия

Информатика

Право

Информационные технологии

Экономическая теория

Менеджент

719

Математика

338

Химия

Микро- и макроэкономика

Медицина

Государственное и муниципальное управление

География

542

Информационная безопасность

Аудит

Безопасность жизнедеятельности

Архитектура и строительство

Банковское дело

Рынок ценных бумаг

Менеджмент организации

Маркетинг

238

Кредит

Инвестиции

Журналистика

Конфликтология

Этика

Формулы дифференцирования Правило Лопиталя для вычисления пределов Свойства пределов функции Второй замечательный предел Первый замечательный предел

Узнать цену работы

Узнай цену

своей работы

Имя

Выбрать тип работыЧасть дипломаДипломнаяКурсоваяКонтрольнаяРешение задачРефератНаучно – исследовательскаяОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерскаяНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация в ВАКПубликация в ScopusДиплом MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Принимаю Политику конфиденциальности

Подпишись на рассылку, чтобы не пропустить информацию об акциях

Страница не найдена — ПриМат

По данному адресу ничего не найдено. Попробуйте воспользоваться поиском.

Искать:

© 2012-2016: Нохум-Даниэль Блиндер (11), Анастасия Лозинская (10), Валентин Малявко (8), Елизавета Савицкая (8), Игорь Любинский (8), Юлия Стерлянко (8), Денис Стехун (8), Александр Базан (7), Анна Чалапчий (7), Константин Берков (7), Олег Шпинарев (7), Кирилл Волков (6), Татьяна Корнилова (6), Влад Радзивил (6), Максим Швандт (6), Людмила Рыбальченко (6), Вадим Покровский (5), Даниил Радковский (5), Влад Недомовный (5), Александр Онищенко (5), Андрей Метасов (5), Денис Базанов (5), Александр Ковальский (5), Александр Земсков (5), Марина Чайковская (5), Екатерина Шибаева (5), Мария Корень (5), Анна Семененко (5), Мария Илларионова (5), Сергей Черкес (5), Алиса Ворохта (5), Валерия Заверюха (5), Елизавета Снежинская (5), Ольга Слободянюк (4), Руслан Авсенин (4), Екатерина Фесенко (4), Дмитрий Заславский (4), Алина Малыхина (4), Андрей Лисовой (4), Полина Сорокина (4), Кирилл Демиденко (4), Дмитрий Стеценко (4), Александр Рапчинский (4), Святослав Волков (4), Иван Мясоедов (4), Владислав Стасюк (4), Алёна Гирняк (4), Николай Царев (4), Валентин Цушко (4), Павел Жуков (4), Роман Бронфен-Бова (4), Артём Романча (4), Анна Шохина (4), Иван Киреев (4), Никита Савко (4), Кондрат Воронов (4), Алина Зозуля (4), Иван Чеповский (4), Артем Рогулин (4), Игорь Чернега (4), Даниил Кубаренко (4), Ольга Денисова (4), Татьяна Осипенко (4), Яков Юсипенко (4), Иван Василевский (3), Руслан Масальский (3), Даниил Кулык (3), Стас Коциевский (3), Елизавета Севастьянова (3), Павел Бакалин (3), Антон Локтев (3), Андрей-Святозар Чернецкий (3), Николь Метри (3), Евелина Алексютенко (3), Константин Грешилов (3), Марина Кривошеева (3), Денис Куленюк (3), Константин Мысов (3), Мария Карьева (3), Константин Григорян (3), Колаев Демьян (3), Станислав Бондаренко (3), Ильдар Сабиров (3), Владимир Дроздин (3), Кирилл Сплошнов (3), Карина Миловская (3), Дмитрий Козачков (3), Мария Жаркая (3), Алёна Янишевская (3), Александра Рябова (3), Дмитрий Байков (3), Павел Загинайло (3), Томас Пасенченко (3), Виктория Крачилова (3), Таисия Ткачева (3), Владислав Бебик (3), Илья Бровко (3), Максим Носов (3), Филип Марченко (3), Катя Романцова (3), Илья Черноморец (3), Евгений Фищук (3), Анна Цивинская (3), Михаил Бутник (3), Станислав Чмиленко (3), Катя Писова (3), Дмитрий Дудник (3), Дарья Кваша (3), Игорь Стеблинский (3), Артем Чернобровкин (3), Виктор Булгаков (3), Дмитрий Мороз (3), Богдан Павлов (3), Игорь Вустянюк (3), Андрей Яроцкий (3), Лаура Казарян (3), Екатерина Мальчик (3), Анатолий Осецимский (3), Иван Дуков (3), Дмитрий Робакидзе (3), Вячеслав Зелинский (3), Данила Савчак (3), Дмитрий Воротов (3), Стефания Амамджян (3), Валерия Сиренко (3), Георгий Мартынюк (3), Виктор Иванов (3), Вячеслав Иванов (3), Валерия Ларикова (3), Евгений Радчин (3), Андрей Бойко (3), Милан Карагяур (3), Александр Димитриев (3), Настя Панько (2), Кирилл Веремьев (2), Даниил Мозгунов (2), Андрей Зиновьев (2), Андрей Данилов (2), Даниил Крутоголов (2), Наталия Писаревская (2), Дэвид Ли (2), Александр Коломеец (2), Александра Филистович (2), Евгений Рудницкий (2), Олег Сторожев (2), Евгения Максимова (2), Алексей Пожиленков (2), Юрий Молоканов (2), Даниил Кадочников (2), Александр Колаев (2), Александр Гутовский (2), Павел Мацалышенко (2), Таня Спичак (2), Радомир Сиденко (2), Владислав Шиманский (2), Илья Балицкий (2), Алина Гончарова (2), Владислав Шеванов (2), Андрей Сидоренко (2), Александр Мога (2), Юлия Стоева (2), Александр Розин (2), Надежда Кибакова (2), Майк Евгеньев (2), Евгений Колодин (2), Денис Карташов (2), Александр Довгань (2), Нина Хоробрых (2), Роман Гайдей (2), Антон Джашимов (2), Никита Репнин (2), Инна Литвиненко (2), Яна Юрковская (2), Гасан Мурадов (2), Богдан Подгорный (2), Алексей Никифоров (2), Настя Филипчук (2), Гук Алина (2), Михаил Абабин (2), Дмитрий Калинин (2), Бриткариу Ирина (2), Никита Шпилевский (2), Алексей Белоченко (2), Юлиана Боурош (2), Никита Семерня (2), Владимир Захаренко (2), Дмитрий Лозинский (2), Яна Колчинская (2), Юрий Олейник (2), Кирилл Бондаренко (2), Елена Шихова (2), Татьяна Таран (2), Наталья Федина (2), Настя Кондратюк (2), Никита Гербали (2), Сергей Запорожченко (2), Николай Козиний (2), Георгий Луценко (2), Владислав Гринькив (2), Александр Дяченко (2),

Пределы – геометрические и алгебраические

Ограничения геометрического и численного подхода

Ограничения с использованием таблиц

Рассмотрим функцию

х ² – 1
f(x) =
х + 1

Обратите внимание, что эта функция не определена при x = -1. В исчислении undefined не максимально точно. Вместо этого спрашиваешь, что значит y ценность «похоже», когда значение x близко к -1. В таблице ниже показано:

х	-0,9	-1,1	-0,99	-1.01	-0,999	-1,001
г	-1,9	-2,1	-1,99	-2.01	-1,999	-2.001

Мы видим, что если x близко к -1, то f(x) близко к -2. Мы говорим ” предел f(x) по мере приближения x -1 равно -2″ и напишите

Если значение y не стремится к одному числу, как х стремится к а, то мы говорим, что предел не существует, когда x приближается а.

Упражнение

Используйте таблицу, чтобы найти следующий предел, если он существует.

Пределы и графики

Глядя на график функции — еще один удобный способ определить предел. Например, компьютер использовался для построения графика функции

х ² – 1
f(x) =
х + 1

Обратите внимание, что компьютер указывает, что значение y приближается к -2, поскольку значение x приближается к -1. На самом деле компьютер игнорирует тот факт, что функция не определена при x = -1.

Упражнение:

Используйте графический калькулятор, чтобы найти пределы от предыдущее упражнение, если они существуют.

Игра Эпсилон-Дельта

Выберите функцию и число. Пусть партнер А выбирает диапазон y. Партнер B должен найти диапазон x, чтобы график вышел за рамки. стороны, а не верх и низ. Если партнер Б всегда может выиграть, то функция имеет предел на этом числе. Мы будем играть в эту игру первым со мной в качестве Партнера Б и классом в качестве Партнера А.

Другие сайты о лимитах

исчисление Карла

визуальный Исчисление

Огайо Государственный расчет

Мир Вайсштейна Математика

Др. Исчисление Слоунса

Назад к домашней странице Math 105

электронная почта Вопросы и Предложения

Как нарисовать график функции с ограничениями

Как нарисовать график функции с ограничениями :

Здесь мы увидим, как нарисовать график функции с ограничениями.

Вопрос 1 :

Нарисуйте график функции f, удовлетворяющей заданным значениям:

f(0) не определено

lim _{x -> 0} f(x) = 5 4

8 2) = 6

lim _{x -> 2} f(x) = 3

Решение:

Из заданного вопроса

Мы поняли, что функция не определена, когда x = 0.
Когда значение x приближается к 0 слева и справа, предельное значение приближается к 4.
Когда x = 2, значение y будет равно 6.
Когда значение x приближается к 2 слева и справа, предельное значение приближается к 3.

Значение x приближается слева и справа, предел приблизится к значению 4.

Когда x приближается к 2 слева и справа, предел приближается к 3. Рисунок, приведенный выше, иллюстрирует условие.

Когда x = 2, f(x), то есть значение y, будет равно 6.

Следовательно, приведенное выше изображение является требуемым графом данных утверждений.

Вопрос 2:

Нарисуйте график функции f, удовлетворяющей заданным значениям:0154 f(x) = 0

lim _{x -> 2} f(x) не существует

Решение:

Из данного вопроса,

Когда x = -2, быть 0.

Когда x = 2, значение y будет равно 0.

Когда x стремится к 2, функция не существует. Чтобы показать это, мы должны показать график с различными значениями y.

Вопрос 3 :

Напишите краткое описание значения обозначения lim _{x -> 8} f(x) = 25

Решение:

Когда x приближается слева и справа, значение предела будет приближаться к 25.

lim _{х -> 8} – f(x) = 25

lim _{x -> 8} + f(x) = 25

Вопрос 4:

Если f(2) = 4, можете ли вы сделать вывод о пределе f(x) при приближении x к 2?

Решение:

Данное выражение представляет, когда x = 2, значение y будет равно 4.

Случай 1:

Когда x приближается с левой и правой стороны, мы получим примерно одинаковые значения, или

Случай 2:

Когда x приближается слева и справа, мы получим разные значения.

Следовательно, мы не можем ничего сказать о пределе f(x) при приближении x к 2?

Вопрос 5 :

Если предел f(x) при приближении x к 2 равен 4, можете ли вы сделать какой-нибудь вывод о f(2)? Объясните рассуждения.

Решение:

Дано:

lim _{x -> 2} f(x) = 4

Отсюда мы можем понять, что

lim _{х -> 2} – f(x) = 4

lim _{х -> 2} + f(x) = 4

когда x приближается к 2 слева и справа, предел приближается к 4.

Следовательно, мы ничего не можем сказать о f(2).

Вопрос 6 :

Оценить:

lim x->3 (x ² -9)/(x – 3), если он существует, найдя f(3 ⁺ ) и f(3 ^– )

Решение :

= im _x->3 (x ² -9)/(x – 3)

( = im _{x->4 3)/(x – 3)}

= im _x->3 (x + 3)

im _x->3+ f(x) = 3 + 3

= 6

im _x->3- f(x) = 3 + 3

= 6

Вопрос 7:

Проверьте существование LIM _{x -> 1} F (x)

Решение:

, если предел x -> 1, затем

Lim _{X – > 1} – f(x) = lim _{x-> 1} + f(x)

f(x) = (x – 1)/(x – 1)

f(x) = 1

lim _{x -> 1} + f(x) = 1

f(x) = -(x – 1)/(x – 1)

f(x) = -1

lim _{x-> 1} – f(x) = -1

Так как lim _{x -> 1} – f(x) ≠ lim _{x -> 1} + f(x), предела не существует.

Предел функции в точке – онлайн справочник для студентов

Страница не найдена — ПриМат

Пределы – геометрические и алгебраические

Как нарисовать график функции с ограничениями

8 2) = 6

Оставить комментарий Отменить ответ