Частные производные онлайн
Примеры решенийНайти производную Найти интеграл Пределы онлайн Экстремумы функцииИнтервалы возрастания функции Точки перегиба Диф уравнения онлайн Асимптоты функцииГрадиент функции
Частные производные функции z(x,y) находятся по следующим формулам:
Вторые частные производные функции z(x,y) находятся по формулам:
Смешанные частные производные функции z(x,y) находятся по формулам:
Назначение сервиса. Сервис используется для нахождения частных производных функции (см.
Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
- Точки разрыва функции
- Производная функции:
- Найти градиент функции gradu(M0) и du/dl(M0)
- Экстремум функции двух переменных
- Вычисление интегралов
Δxz=f(x+Δx,y)-f(x,y) – это Δyz=f(x,y+Δy)-f(x,y) – это частное приращение функции z по аргументу у.
Частной производной функции нескольких переменных по одному из её аргументов называется предел отношения частного приращения функции по этому аргументу к соответствующему приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:
– это частная производная функции z по аргументу x;
– это частная производная функции z по аргументу у.
Чтобы вычислить частную производную ФНП по одному из её аргументов, нужно все другие её аргументы считать постоянными и проводить дифференцирование по правилам дифференцирования функции одного аргумента.
Пример 1. z=2x5+3x2y+y2–4x+5y-1
Пример 2. Найти частные производные функции z = f(x;y) в точке A(x0;y0).
Находим частные производные:
Найдем частные производные в точке А(1;1)
Находим вторые частные производные:
Найдем смешанные частные производные:
Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).
Как найти производную? Примеры решений
Как найти производную, как взять производную? На данном уроке мы научимся находить производные функций.
Но перед изучением данной страницы я настоятельно рекомендую ознакомиться с методическим материалом Горячие формулы школьного курса математики. Справочное пособие можно открыть или закачать на странице Математические формулы и таблицы. Также оттуда нам потребуется Таблица производных, ее лучше распечатать, к ней часто придется обращаться, причем, не только сейчас, но и в оффлайне.
Есть? Приступим. У меня для Вас есть две новости: хорошая и очень хорошая. Хорошая новость состоит в следующем: чтобы научиться находить производные, совсем не обязательно знать и понимать, что такое производная. Более того, определение производной функции, математический, физический, геометрический смысл производной целесообразнее переварить позже, поскольку качественная проработка теории, по моему мнению, требует изучения ряда других тем, а также некоторого практического опыта.
И сейчас наша задача освоить эти самые производные технически. Очень хорошая новость состоит в том, что научиться брать производные не так сложно, существует довольно чёткий алгоритм решения (и объяснения) этого задания, интегралы или пределы, например, освоить труднее.
Советую следующий порядок изучения темы: во-первых, эта статья. Затем нужно прочитать важнейший урок Производная сложной функции. Эти два базовых занятия позволят поднять Ваши навыки с полного нуля. Далее можно будет ознакомиться с более сложными производными в статье Сложные производные.
Логарифмическая производная. Если планка окажется слишком высока, то сначала прочитайте вещь Простейшие типовые задачи с производной. Помимо нового материала, на уроке рассмотрены другие, более простые типы производных, и есть прекрасная возможность улучшить свою технику дифференцирования. Кроме того, в контрольных работах почти всегда встречаются задания на нахождение производных функций, которые заданы неявно или параметрически. Такой урок тоже есть: Производные неявных и параметрически заданных функций.
Я попытаюсь в доступной форме, шаг за шагом, научить Вас находить производные функций. Вся информация изложена подробно, простыми словами.
Собственно, сразу рассмотрим пример: Пример 1
Найти производную функции Решение:
Это простейший пример, пожалуйста, найдите его в таблице производных элементарных функций.
Теперь посмотрим на решение и проанализируем, что же произошло? А произошла следующая вещь:
у нас была функция , которая в результате решения превратилась в функцию .
Говоря совсем просто, для того чтобы найти производную
функции, нужно по определенным правилам превратить её в другую функцию. Посмотрите еще раз на таблицу производных – там функции превращаются в другие функции. Единственным
исключением является экспоненциальная функция , которая
превращается сама в себя. Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Обозначения: Производную обозначают или .
ВНИМАНИЕ, ВАЖНО! Забыть поставить штрих (там, где надо), либо нарисовать лишний штрих (там, где не надо) – ГРУБАЯ ОШИБКА! Функция и её производная – это две разные функции!
Вернемся к нашей таблице производных. Из данной таблицы желательно запомнить наизусть: правила дифференцирования и производные некоторых элементарных функций, особенно:
производную константы:
, где – постоянное число; производную степенной функции:
, в частности: , , .
Зачем запоминать? Данные знания являются элементарными знаниями о производных. И если Вы не сможете ответить преподавателю на вопрос «Чему равна производная числа?», то учеба в ВУЗе может для Вас закончиться (лично знаком с двумя реальными случаями из жизни). Кроме того, это наиболее распространенные формулы, которыми приходится пользоваться практически каждый раз, когда мы сталкиваемся с производными.
Вреальности простые табличные примеры – редкость, обычно при нахождении производных сначала используются правила дифференцирования, а затем – таблица производных элементарных функций.
Вэтой связи переходим к рассмотрению правил дифференцирования:
1) Постоянное число можно (и нужно) вынести за знак производной
, где – постоянное число (константа) Пример 2
Найти производную функции
Смотрим в таблицу производных. Производная косинуса там есть, но у нас .
Решаем:
Самое время использовать правило, выносим постоянный множитель за знак производной:
А теперь превращаем наш косинус по таблице:
Ну и результат желательно немного «причесать» – ставим минус на первое место, заодно избавляясь от скобок:
Готово.
2) Производная суммы равна сумме производных
Пример 3
Найти производную функции
Решаем. Как Вы, наверное, уже заметили, первое действие, которое всегда выполняется при нахождении производной, состоит в том, что мы заключаем в скобки всё выражение и ставим штрих справа вверху:
Применяем второе правило:
Обратите внимание, что для дифференцирования все корни, степени нужно представить в виде , а если они находятся в знаменателе, то
переместить их вверх. Как это сделать – рассмотрено в моих методических материалах.
Теперь вспоминаем о первом правиле дифференцирования – постоянные множители (числа) выносим за знак производной:
Обычно в ходе решения эти два правила применяют одновременно (чтобы не переписывать лишний раз длинное выражение).
Все функции, находящиеся под штрихами, являются элементарными табличными функциями, с помощью таблицы осуществляем превращение:
Можно всё оставить в таком виде, так как штрихов больше нет, и производная найдена.
Тем не менее, подобные выражения обычно упрощают:
Все степени вида желательно снова представить в виде корней,
степени с отрицательными показателями – сбросить в знаменатель. Хотя этого можно и не делать, ошибкой не будет.
Пример 4
Найти производную функции
Попробуйте решить данный пример самостоятельно (ответ в конце урока).
3) Производная произведения функций
Вроде бы по аналогии напрашивается формула …., но неожиданность состоит в том, что:
Эта необычное правило (как, собственно, и другие) следует из определения производной. Но с теорией мы пока повременим – сейчас важнее научиться решать:
Пример 5
Найти производную функции
Здесь у нас произведение двух функций, зависящих от . Сначала применяем наше странное правило, а затем превращаем функции по таблице производных:
Сложно? Вовсе нет, вполне доступно даже для чайника.
Пример 6
Найти производную функции
В данной функции содержится сумма и произведение двух функций – квадратного трехчлена и логарифма .
Со школы мы помним, что умножение и деление имеют приоритет перед сложением и вычитанием.
Здесь всё так же. СНАЧАЛА мы используем правило дифференцирования произведения:
Теперь для скобки используем два первых правила:
В результате применения правил дифференцирования под штрихами у нас остались только элементарные функции, по таблице производных превращаем их в другие функции:
Готово.
При определенном опыте нахождения производных, простые производные вроде не обязательно расписывать так подробно. Вообще, они обычно решаются устно, и сразу записывается, что .
Пример 7
Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока)
4) Производная частного функций
В потолке открылся люк, не пугайся, это глюк. А вот это вот суровая действительность:
Пример 8
Найти производную функции
Чего здесь только нет – сумма, разность, произведение, дробь…. С чего бы начать?! Есть сомнения, нет сомнений, но, В ЛЮБОМ СЛУЧАЕ для начала рисуем скобочки и справа вверху ставим штрих:
Теперь смотрим на выражение в скобках, как бы его упростить? В данном случае замечаем множитель, который согласно первому правилу целесообразно вынести за знак производной:
Заодно избавляемся от скобок в числителе, которые теперь не нужны.
Вообще говоря, постоянные множители при нахождении производной
можно и не выносить, но в этом случае они будут «путаться под ногами», что загромождает и затрудняет решение.
Смотрим на наше выражение в скобках. У нас есть сложение, вычитание и деление. Со школы мы помним, что деление выполняется в первую очередь. И здесь – сначала применяем правило дифференцирования частного:
Таким образом, наша страшная производная свелась к производным двух простых выражений. Применяем первое и второе правило, здесь это сделаем устно, надеюсь, Вы уже немного освоились в производных:
Штрихов больше нет, задание выполнено.
На практике обычно (но не всегда) ответ упрощают «школьными» методами:
Пример 9
Найти производную функции
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Время от времени встречаются хитрые задачки:
Пример 10
Найти производную функции
Смотрим на данную функцию. Здесь снова дробь. Однако перед тем как использовать правило дифференцирования частного (а его можно использовать), всегда имеет смысл посмотреть, а нельзя ли упростить саму дробь, или вообще избавиться от нее?
Дело в том, что формула достаточно громоздка, и применять ее совсем не хочется.
В данном случае можно почленно поделить числитель на знаменатель. Преобразуем функцию:
Ну вот, совсем другое дело, теперь дифференцировать просто и приятно:
Готово.
Пример 11
Найти производную функции
Здесь ситуация похожа, превратим нашу дробь в произведение, для этого поднимем экспоненту в числитель, сменив у показателя знак:
Произведение все-таки дифференцировать проще:
Пример 12
Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
5) Производная сложной функции
Данное правило также встречается очень часто. Но о нём рассказать можно очень много, поэтому я создал отдельный урок на тему Производная сложной функции.
Желаю успехов!
Ответы:
Пример 4: . В ходе решения
данного примера следует обратить внимание, на тот факт, что и – постоянные числа, не важно чему они равны, важно, что это – константы. Поэтому выносится за знак производной, а .
Пример 7:
Пример 9:
Пример 12:
Решение математических уравнений с помощью Math Assistant в OneNote
Одна запись
Делать заметки
Делать заметки
Решение математических уравнений с помощью Math Assistant в OneNote
OneNote для Microsoft 365 OneNote для Интернета OneNote для Windows 10 OneNote для iOS Math Assistant Дополнительно.
.. Меньше
Напишите или введите любую математическую задачу, и помощник по математике в OneNote решит ее за вас, помогая быстро найти решение или отображая пошаговые инструкции, которые помогут вам научиться решать самостоятельно. После решения вашего уравнения есть много вариантов продолжить изучение математики с помощью Math Assistant.
Примечание. OneNote Desktop и OneNote для iPad имеют новый вид! Убедитесь, что вы выбрали вкладку с инструкциями для используемой версии OneNote. Решение уравнений доступно только при наличии подписки Microsoft 365. Если вы являетесь подписчиком Microsoft 365, убедитесь, что у вас установлена последняя версия Office.
Шаг 1: Введите уравнение
На вкладке Draw напишите или введите свое уравнение.
С помощью инструмента Lasso Select нарисуйте круг вокруг уравнения. Затем выберите Math . Откроется панель Math Assistant.
Подробнее: Создайте уравнение с помощью рукописного ввода или текста.
Шаг 2. Решите уравнение
Чтобы решить текущее уравнение, выполните одно из следующих действий:
Нажмите или коснитесь поля Выберите действие , а затем выберите действие, которое должен выполнить Math Assistant. Доступные варианты в этом раскрывающемся меню зависят от выбранного уравнения.
Узнать больше: проверить Поддерживаемые уравнения на этой странице.
Просмотрите решение, которое OneNote отображает под выбранным действием. В приведенном ниже примере выбранная опция Решить для x отображает решение.
Чтобы узнать, как OneNote решил проблему, нажмите или коснитесь Показать шаги , а затем выберите сведения о том, что вы хотите просмотреть. Доступные варианты в этом раскрывающемся меню зависят от выбранного уравнения.
Чтобы прослушать шаги решения вслух, выберите Immersive Reader , чтобы запустить его из OneNote.
Создайте практический тест, чтобы продолжать практиковать этот тип уравнения.
Предупреждение: Создать практический тест в настоящее время нельзя, так как мы работаем над его оптимизацией.
Возможность создавать тренировочные викторины вернется позже в этом году.
Совет: Шаги решения можно перетаскивать в любое место на странице.
Узнать больше
Создавайте математические уравнения с помощью рукописного ввода или текста с помощью помощника по математике в OneNote.
Типы задач, поддерживаемые Math Assistant
Рисование графиков математических функций с помощью Math Assistant в OneNote
Примечание. Эта функция доступна только при наличии подписки Microsoft 365 для предприятий или образовательных учреждений. Если вы являетесь подписчиком Microsoft 365, убедитесь, что у вас установлена последняя версия Office.
Шаг 1: Введите уравнение
На вкладке Draw напишите или введите свое уравнение.
С помощью инструмента Lasso Select нарисуйте круг вокруг уравнения.
Затем на вкладке Draw выберите Math . Откроется панель Math Assistant.
Узнать больше:
Напишите уравнение или формулу
Шаг 2: Решите уравнение
На основе вашего уравнения будут предложены варианты действий.
Ваше уравнение и решение будут отображаться на панели Math.
Совет: Выберите Вставить математику на страницу , чтобы перенести результаты на страницу OneNote, над которой вы работаете.
Подробнее: Проверьте вкладку Поддерживаемые уравнения на этой странице.
Шаг 3. Учитесь у Math Assistant
Чтобы узнать, как OneNote решил проблему, выберите нужный метод из предоставленных вариантов.
Узнать больше
Создавайте математические уравнения с помощью рукописного ввода или текста с помощью помощника по математике в OneNote.
Типы задач, поддерживаемые Math Assistant
Рисование графиков математических функций с помощью Math Assistant в OneNote
Включение и отключение помощника по математике в записной книжке OneNote для занятий
Типы задач, поддерживаемые Math Assistant
При использовании Math Assistant в OneNote вы заметите, что Выберите действие.
раскрывающийся список под уравнением меняется в зависимости от выбранного вами уравнения. Вот некоторые из поддерживаемых типов задач в зависимости от уравнения, которое вы пытаетесь решить.
Примечание. Эта функция доступна только при наличии подписки на Microsoft 365. Если вы являетесь подписчиком Microsoft 365, убедитесь, что у вас установлена последняя версия Office.
Массивы | Для списка действительных чисел поддерживаются все перечисленные ниже.
 org/ListItem”>Сорт  org/ListItem”>Наибольший общий делитель |
Выражения | Для любого выражения доступны следующие действия:
 org/ListItem”>Коэффициент (если применимо) |
Уравнения и неравенства | Для уравнений и неравенств доступны следующие действия:
 org/ListItem”>Решите для {вашей переменной} |
Системы | Важно иметь одинаковое количество уравнений и переменных, чтобы гарантировать наличие правильных функций.
|
Производные и интегралы | Производные могут быть записаны либо с d/dx перед функцией, либо со штрихом. Действия, доступные для производных и интегралов: |
Матрицы | Матрицы можно записывать в квадратных или круглых скобках. Для матриц поддерживаются следующие действия: Матричные уравнения в настоящее время не поддерживаются. |
Графики в полярных координатах | Чтобы построить график функции в полярных координатах, r необходимо выразить как функцию тета. |
Сложный режим | Примечание: Выберите Настройки для переключения между действительными числами и комплексными числами. Для сложных выражений и чисел, содержащих мнимую единицу i, доступны следующие действия. |
Вы также можете выбрать График в 2D, чтобы просмотреть графики всех ваших функций.
Системы могут быть записаны двумя способами: 
Подробнее
Создание викторины по математике в Microsoft Forms
Создание практического математического теста с помощью помощника по математике в OneNote
Решайте математические уравнения с помощью Math Assistant в OneNote
Производные – исчисление 2
Все ресурсы исчисления 2
9 Диагностические тесты 308 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept
← Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 62 63 Следующая →
Исчисление 2 Помощь » Производные
Оцените предел, используя одно из определений производной.
Возможные ответы:
Не существует
9003
7 0003
Объяснение:
Непосредственная оценка предела даст неопределенное решение .
Предельное определение производной . Однако альтернативная форма лучше соответствует заданному пределу.
Пусть и заметят . Следует, что .
Таким образом, предел равен
Сообщить об ошибке
Оценить предел, используя одно из определений производной.
Возможные ответы:
Не существует
9003
7 0003
Объяснение:
Прямое вычисление производной даст неопределенное решение .
Предельное определение производной . Однако альтернативная форма лучше соответствует заданному пределу.
Пусть и заметят . Следует, что . Таким образом, предел равен .
Сообщить об ошибке
Предположим, что и являются дифференцируемыми функциями, и . Вычислите производную от , at
Возможные ответы:
Ни один из других ответов
Правильный ответ:
Ни один из других ответов
Объяснение:
Правильный ответ: 11.
Получение производной включает правило произведения и правило цепочки.
Подставляя в обе части производной получаем
.
Сообщить об ошибке
Оценить предел
без использования правила Лопиталя.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Если мы вспомним определение производной функции в точке, одно из определений будет
.
Если мы сравним это определение с пределом
, мы увидим, что это предельное определение производной, поэтому нам нужно найти функцию и точку, в которой мы оцениваем производную. Легко видеть, что функция есть и суть есть. Таким образом, нахождение вышеуказанного предела эквивалентно нахождению .
Мы знаем, что производная равна , поэтому у нас есть
.
Сообщить об ошибке
Аппроксимировать производную, если где .
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Запишите определение лимита.
Замена .
Поскольку приближается к нулю, было бы лучше оценить, когда мы предполагаем, что постепенно уменьшается. Предположим и проверим закономерность.
Лучший ответ:
Сообщить об ошибке 8
Правильный ответ:
Объяснение:
Вычисление производной требует использования правила произведения и правила цепочки.
Правило произведения используется в сценарии, когда есть две дифференцируемые функции, умноженные друг на друга:
Это можно легко выразить словами: «Первое умножение на производную от второго плюс второе умножение на производную от первого».
В постановке задачи нам дано:
это “Первая” функция, – это “Вторая” функция.
Функция “Вторая” требует использования цепного правила.
Когда:
Применение этих формул дает:
Упрощение терминов в скобках дает:
Мы замечаем, что есть общий термин, который можно выделить в наборах уравнений по обе стороны от знака «+». Давайте учтем их и сделаем уравнение более «чистым».
В скобках можно свести термины в одну расширенную функцию. Давайте сделаем это:
Упрощение приводит к одному из вариантов ответа:
Сообщить об ошибке
Каково значение приведенного ниже предела?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Вспомним, что одно из определений производной функции есть .
Это означает, что в этом вопросе нам предлагается найти значение производной при .
Начиная с
и , значение ограничения равно .
Сообщить об ошибке
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Вычисление этого интеграла требует использования правила произведения. Нужно также вспомнить вид производной от .
Правило продукта:
Результат применения этих двух правил:
2 02
Это соответствует одному из вариантов ответа.
Сообщить об ошибке
Используйте определение производной для решения .
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы найти, нам нужно помнить, как найти, используя определение производной.
Определение производной:
Теперь применим это к нашей задаче.
Теперь расширим числитель.
Мы можем упростить это до
Теперь вычтем h, чтобы получить
Мы можем упростить, а затем вычислить предел.
Сообщить об ошибке
Используйте определение производной для решения .
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы найти, нам нужно помнить, как найти, используя определение производной.
Определение производной:
Теперь применим это к нашей задаче.
Теперь расширим числитель.
Мы можем упростить это до
Теперь вычтем h, чтобы получить
Мы можем упростить, а затем вычислить предел.