Онлайн решение матриц метод крамера: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Уравнение по формуле крамера. Линейные уравнения

Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными

Используя определители 3-го порядка, решение такой системы можно записать в таком же виде, как и для системы двух уравнений, т.е.

(2.4)

если 0. Здесь

Это есть правило Крамера решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными .

Пример 2.3. Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера:

Решение . Находим определитель основной матрицы системы

Поскольку 0, то для нахождения решения системы можно применить правило Крамера, но предварительно вычислим еще три определителя:

Проверка:

Следовательно, решение найдено правильно. 

Правила Крамера, полученные для линейных систем 2-го и 3-го порядка, наводят на мысль, что такие же правила можно сформулировать и для линейных систем любого порядка. Действительно имеет место

Теорема Крамера.

Квадратная система линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы системы (0) имеет одно и только одно решение и это решение вычисляется по формулам

(2.5)

где  – определитель основной матрицы ,  i – определитель матрицы , полученной из основной, заменой i -го столбца столбцом свободных членов .

Отметим, что если =0, то правило Крамера не применимо. Это означает, что система либо не имеет вообще решений, либо имеет бесконечно много решений.

Сформулировав теорему Крамера, естественно возникает вопрос о вычислении определителей высших порядков.

2.4. Определители n-го порядка

Дополнительным минором M ij

элемента a ij называется определитель, получаемый из данного путем вычеркивания i -й строки и j -го столбца. Алгебраическим дополнением A ij элемента a ij называется минор этого элемента, взятого со знаком (–1) i + j , т.

е. A ij = (–1) i + j M ij .

Например, найдем миноры и алгебраические дополнения элементов a 23 и a 31 определителя

Получаем



Используя понятие алгебраического дополнения можно сформулировать

теорему о разложении определителя n -го порядка по строке или столбцу .

Теорема 2.1. Определитель матрицы A равен сумме произведений всех элементов некоторой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:

(2.6)

Данная теорема лежит в основе одного из основных методов вычисления определителей, т.н. метода понижения порядка . В результате разложения определителя n -го порядка по какой-либо строке или столбцу, получается n определителей (n –1)-го порядка. Чтобы таких определителей было меньше, целесообразно выбирать ту строку или столбец, в которой больше всего нулей. На практике формулу разложения определителя обычно записывают в виде:

т. е. алгебраические дополнения записывают в явном виде через миноры.

Примеры 2.4. Вычислить определители, предварительно разложив их по какой-либо строке или столбцу. Обычно в таких случаях выбирают такой столбец или строку, в которой больше всего нулей. Выбранную строку или столбец будем обозначать стрелкой.



2.5. Основные свойства определителей

Разлагая определитель по какой-либо строке или столбцу, мы получим n определителей (n –1)-го порядка. Затем каждый из этих определителей (

n –1)-го порядка также можно разложить в сумму определителей (n –2)-го порядка. Продолжая этот процесс, можно дойти до определителей 1-го порядка, т.е. до элементов матрицы, определитель которой вычисляется. Так, для вычисления определителей 2-го порядка придется вычислить сумму двух слагаемых, для определителей 3-го порядка – сумму 6 слагаемых, для определителей 4-го порядка – 24 слагаемых. Число слагаемых будет резко возрастать по мере увеличения порядка определителя.

Это означает, что вычисление определителей очень высоких порядков становится довольно трудоемкой задачей, непосильной даже для ЭВМ. Однако вычислять определители можно и по-другому, используя свойства определителей.

Свойство 1 . Определитель не изменится, если в нем поменять местами строки и столбцы, т.е. при транспонировании матрицы :

Данное свойство свидетельствует о равноправии строк и столбцов определителя. Иначе говоря, любое утверждение о столбцах определителя справедливо и для его строк и наоборот.

Свойство 2 . Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов).

Следствие . Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

Свойство 3 .

Общий множитель всех элементов в какой-либо строке (столбце) можно вынести за знак определителя .

Например,

Следствие . Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю .

Свойство 4 . Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца), прибавить элементы другой строки (столбца), умноженной на какое-либо число .

Например,

Свойство 5 .

Определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц:

Метод Крамера или так называемое правило Крамера – это способ поиска неизвестных величин из систем уравнений. Его можно использовать только если число искомых значений эквивалентно количеству алгебраических уравнений в системе, то есть образуемая из системы основная матрица должна быть квадратной и не содержать нулевых строчек, а также если её детерминант не должен являться нулевым.

Теорема 1

Теорема Крамера Если главный определитель $D$ основной матрицы, составленной на основе коэффициентов уравнений, не равен нулю, то система уравнений совместна, причём решение у неё существует единственное.

Решение такой системы вычисляется через так называемые формулы Крамера для решения систем линейных уравнений: $x_i = \frac{D_i}{D}$

В чем заключается метод Крамера

Суть метода Крамера в следующем:

Чтобы найти решение системы методом Крамера, первым делом вычисляем главный определитель матрицы $D$. Когда вычисленный детерминант основной матрицы при подсчёте методом Крамера оказался равен нулю, то система не имеет ни одного решения или имеет нескончаемое количество решений. В этом случае для нахождения общего или какого-либо базисного ответа для системы рекомендуется применить метод Гаусса.

Затем нужно заменить крайний столбец главной матрицы на столбец свободных членов и высчитать определитель $D_1$.
Повторить то же самое для всех столбцов, получив определители от $D_1$ до $D_n$, где $n$ – номер крайнего справа столбца.
После того как найдены все детерминанты $D_1$…$D_n$, можно высчитать неизвестные переменные по формуле $x_i = \frac{D_i}{D}$.

Приёмы для вычисления определителя матрицы

Для вычисления определителя матрицы с размерностью больше чем 2 на 2, можно использовать несколько способов:

Правило треугольников, или правило Саррюса, напоминающее это же правило. Суть метода треугольников в том, что при вычислении определителя произведения всех чисел, соединённых на рисунке красной линией справа, записываются со знаком плюс, а все числа, соединённые аналогичным образом на рисунке слева – со знаком минус. B то, и другое правило подходит для матриц размером 3 х 3. В случае же правила Саррюса сначала переписывается сама матрица, а рядом с ней рядом переписываются ещё раз её первый и второй столбец. Через матрицу и эти дополнительные столбцы проводятся диагонали, члены матрицы, лежащие на главной диагонали или на параллельной ей записываются со знаком плюс, а элементы, лежащие на побочной диагонали или параллельно ей – со знаком минус.

Рисунок 1. Правило треугольников для вычисления определителя для метода Крамера

С помощью метода, известного как метод Гаусса, также иногда этот метод называют понижением порядка определителя. В этом случае матрица преобразуется и приводится к треугольному виду, а затем перемножаются все числа, стоящие на главной диагонали. Следует помнить, что при таком поиске определителя нельзя домножать или делить строчки или столбцы на числа без вынесения их как множителя или делителя. В случае поиска определителя возможно только вычитать и складывать строки и столбы между собой, предварительно помножив вычитаемую строку на ненулевой множитель. Также при каждой перестановке строчек или столбцов матрицы местами следует помнить о необходимости смены конечного знака у матрицы.

При решении методом Крамера СЛАУ с 4 неизвестными, лучше всего будет применять именно метод Гаусса для поиска и нахождения определителей или опредлять детерминант через поиск миноров.

Решение систем уравнений методом Крамера

Применим метод Крамера для системы из 2 уравнений и двумя искомыми величинами:

$\begin{cases} a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end{cases}$

Отобразим её в расширенной форме для удобства:

$A = \begin{array}{cc|c} a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end{array}$

Найдём определитель основной матрицы, также называемый главным определителем системы:

$D = \begin{array}{|cc|} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end{array} = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Если главный определитель не равен нулю, то для решения слау методом Крамера необходимо высчитать ещё парочку определителей от двух матриц с заменёнными столбцами основной матрицы на строчку свободных членов:

$D_1 = \begin{array}{|cc|} b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end{array} = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin{array}{|cc|} a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end{array} = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Теперь найдём неизвестные $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = \frac {D_1}{D}$

$x_2 = \frac {D_2}{D}$

Пример 1

Метод Крамера для решения СЛАУ с основной матрицей 3 порядка (3 x 3) и тремя искомыми.

Решите систему уравнений:

$\begin{cases} 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 – x_3 = 10 \\ \end{cases}$

Сосчитаем главный детерминант матрицы пользуясь вышеизложенным под пунктом номер 1 правилом:

$D = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot (-1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) – (-1) \cdot 2 \cdot 3 = – 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = – 64$

А теперь три других детерминанта:

$D_1 = \begin{array}{|ccc|} 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end{array} = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) – (-1) \cdot 2 \cdot 21 = – 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = – 296$

$D_2 = \begin{array}{|ccc|} 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = – 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108$

$D_3 = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 – (-2) \cdot 3 \cdot 10 – (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = – 60$

Найдём искомые величины:

$x_1 = \frac{D_1} {D} = \frac{- 296}{-64} = 4 \frac{5}{8}$

$x_2 = \frac{D_1} {D} = \frac{108} {-64} = – 1 \frac {11} {16}$

$x_3 = \frac{D_1} {D} = \frac{-60} {-64} = \frac {15} {16}$

2. Решение систем уравнений матричным методом (при помощи обратной матрицы).
3. Метод Гаусса решения систем уравнений.

Метод Крамера.

Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ ).

Формулы на примере системы из двух уравнений с двумя переменными.
Дано: Решить методом Крамера систему

Относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы Вычисление определителей. :

Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Пример 1:
Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .
Решение:

Заменим в этом определителе первый столбец столбцом коэффициентов из правой части системы и найдем его значение:

Сделаем аналогичное действие, заменив в первом определителе второй столбец:

Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Ответ:
Замечание: Этим методом можно решать системы и большей размерности.

Замечание: Если получается, что , а делить на ноль нельзя, то говорят, что система не имеет единственного решения. В этом случае система имеет или бесконечно много решений или не имеет решений вообще.

Пример 2 (бесконечное количество решений):

Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:

Решение систем методом подстановки.

Первое из уравнений системы — равенство, верное при любых значениях переменных (потому что 4 всегда равно 4). Значит, остается только одно уравнение. Это уравнение связи между переменными .
Получили, решением системы являются любые пары значений переменных, связанных между собой равенством .
Общее решение запишется так:
Частные решения можно определять выбирая произвольное значение у и вычисляя х по этому равенству связи.

и т.д.
Таких решений бесконечно много.
Ответ: общее решение
Частные решения:

Пример 3 (решений нет, система несовместна):

Решить систему уравнений:

Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:

Применять формулы Крамера нельзя. Решим эту систему методом подстановки

Второе уравнение системы — равенство, неверное ни при каких значениях переменных (конечно же, так как -15 не равно 2). Если одно из уравнений системы не верно ни при каких значениях переменных, то и вся системы не имеет решений.
Ответ: решений нет

Методы Крамера и Гаусса – одни из самых популярных методов решения СЛАУ . К тому же, в ряде случаев целесообразно использовать именно конкретные методы. Сессия близка, и сейчас самое время повторить или освоить их с нуля. Сегодня разбираемся с решением методом Крамера. Ведь решение системы линейных уравнений методом Крамера – весьма полезный навык.

Системы линейных алгебраических уравнений

Система линейных алгебраических уравнений – система уравнений вида:

Набор значений x , при котором уравнения системы обращаются в тождества, называется решением системы, a и b – вещественные коэффициенты. Простенькую систему, состоящую из двух уравнений с двумя неизвестными, можно решить в уме либо выразив одну переменную через другую. Но переменных (иксов) в СЛАУ может быть гораздо больше двух, и здесь простыми школьными манипуляциями не обойтись. Что же делать? Например, решать СЛАУ методом Крамера!

Итак, пусть система состоит из n уравнений с n неизвестными.

Такую систему можно переписать в матричном виде

Здесь A – основная матрица системы, X и B , соответственно, матрицы-столбцы неизвестных переменных и свободных членов.

Решение СЛАУ методом Крамера

Если определитель главной матрицы не равен нулю (матрица невырожденная), систему можно решать по методу Крамера.

Согласно методу Крамера, решение находится по формулам:

Здесь дельта – определитель главной матрицы, а дельта x n-ное – определитель, полученный из определителя главной матрицы путем заменой n-ного столбца на столбец свободных членов.

В этом и заключается вся суть метода Крамера. Подставляя найденные по вышеприведенным формулам значения x в искомую систему, убеждаемся в правильности (или наоборот) нашего решения. Чтобы Вы быстрее уловили суть, приведем ниже пример подробного решения СЛАУ методом Крамера:

Даже если у Вас не получится с первого раза, не расстраивайтесь! Немного практики, и Вы начнете щелкать СЛАУ как орешки. Более того, сейчас совершенно необязательно корпеть над тетрадью, решая громоздкие выкладки и исписывая стержень. Можно легко решить СЛАУ методом Крамера в режиме онлайн, лишь подставив в готовую форму коэффициенты. Испробовать онлайн калькулятор решения методом Крамера можно, к примеру, на этом сайте .

А если система оказалась упорной и не сдается, Вы всегда можете обратиться за помощью к нашим авторам, например, чтобы . Будь в системе хоть 100 неизвестных, мы обязательно решим ее верно и точно в срок!

В первой части мы рассмотрели немного теоретического материала, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы. Всем, кто зашел на сайт через эту страницу рекомендую ознакомиться с первой частью. Возможно, некоторым посетителям покажется материал слишком простым, но по ходу решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.

А сейчас мы разберём правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы изложены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут научиться решать системы вышеуказанными способами.

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

Ответ : ,

Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.

Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса) .

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

Решение системы уравнений в Excel

11182 16. 10.2022 Скачать пример

Возможно вы слышали о нобелевском лауреате, психологе и исследователе по имени Дэниель Канеман. Канеман занимался наукой, которую называют термином “поведенческая экономика”, т.е. изучал реакции, поведение и суждения людей в типовых жизненных (и экономических) ситуациях и условиях неопределенности.

В его книге, которая называется “Думай медленно – решай быстро” (очень рекомендую, кстати) в качестве одного из примеров когнитивных искажений – несознательной автоматической реакции – приводится следующая задача:

Бейсбольная бита и мяч стоят вместе 1 доллар 10 центов.
Бита дороже мяча на 1 доллар.
Сколько стоит мяч?

Подозреваю, что вашей первой рефлекторной мыслью, скорее всего, будет “10 центов!” 🙂 Но весьма скоро, я уверен, вы сообразите, что на самом деле всё не так примитивно и для получения ответа нужно решить простую систему уравнений (здесь b – это бита, а m – это мяч):

Конечно можно “тряхнуть стариной” и решить всё вручную на бумажке через подстановку переменных – как-то так:

Но, во-первых, на практике уравнения могут быть сложнее и переменных может оказаться сильно больше двух и, во-вторых, у нас с вами есть Microsoft Excel – универсальный мега-инструмент, величайшее изобретение человечества. Так что давайте-ка лучше разберём как решить нашу задачу с его помощью.

Способ 1. Матричные функции МУМНОЖ и МОБР

Само собой, изобретать велосипед тут не надо – прогрессивное человечество в лице математиков давным-давно придумало кучу способов для решения подобных задач. В частности, если уравнения в нашей системе линейные (т.е. не используют степени, логарифмы, тригонометрические функции типа sin, cos и т.д.), то можно использовать метод Крамера.

Сначала записываем числовые коэффициенты, стоящие перед нашими переменными в виде матрицы (в нашем случае – размером 2х2, в общем случае – может быть и больше).

Затем находим для неё так называемую обратную матрицу , т.е. матрицу, при умножении которой на исходную матрицу коэффициентов получается единица. В Excel это легко сделать с помощью стандартной математической функции МОБР (MINVERSE):

Здесь важно отметить, что если у вас свежая версия Excel 2021 или Excel 365, то достаточно ввести эту функцию обычным образом в первую ячейку (G7) – сразу получится динамический массив с обратной матрицей 2х2. Если же у вас более старая версия Excel, то эту функцию нужно обязательно вводить как формулу массива, а именно:

Выделить диапазон для результатов – G7:H8
Ввести функцию =МОБР(B7:C8) в строку формул
Нажать на клавиатуре сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter

Замечательное свойство обратной матрицы состоит в том, что если умножить её на значения правых частей наших уравнений (свободные члены), то мы получим значения переменных, при которых левые и правые части уравнений будут равны, т.е. решения нашей задачи. Выполнить такое матричное умножение можно с помощью ещё одной стандартной экселевской функции МУМНОЖ (MMULT):

Если у вас старая версия Excel, то не забудьте также ввести её в режиме формулы массива, т.е. сначала выделить диапазон K7:K8, а после ввода функции нажать сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Само собой, уравнений и переменных может быть больше, да и посчитать всё можно сразу в одной формуле, вложив используемые функции одна в другую:

Не так уж и сложно, правда? Однако надо понимать, что этот метод подходит только для решения систем линейных уравнений. Если у вас в уравнениях используются функции посложнее четырех базовых математических действий, то зачастую проще будет пойти другим путем – через подбор.

Способ 2. Подбор надстройкой “Поиск решения” (Solver)

Принципиально другой способ решения подобных задач – это итерационные методы, т.е. последовательный подбор значений переменных, чтобы после подстановки их в наши уравнения мы получили верные равенства. Само собой, подбор имеется ввиду не тупой и долгий (брутфорс), а умный и быстрый, благо математики, опять же, давным-давно придумали кучу различных методов для решения таких задач буквально за несколько итераций.

В Microsoft Excel некоторые из этих методов реализованы в стандартной надстройке Поиск решения (Solver). Её можно подключить через Файл – Параметры – Надстройки – Перейти (File – Options – Add-ins – Go to) или на вкладке Разработчик – Надстройки (Developer – Add-ins).

Давайте рассмотрим её использование на следующей задаче. Предположим, что нам с вами нужно решить вот такую систему из двух нелинейных уравнений:

Подготавливаем основу для оптимизации в Excel:

Здесь:

В жёлтых ячейках C9:C10 лежат текущие значения наших переменных, которые и будут подбираться в процессе оптимизации. В качестве стартовых можно взять любые значения, например, нули или единицы – роли не играет. Для удобства, кстати, этим ячейкам можно дать имена, назвав их именами переменных x и y, – для этого выделите диапазон C9:C10 и выберите команду Формулы – Создать из выделенного – Слева (Formulas – Create from selection – Left column).
В зелёных ячейках E9:E10 введены наши уравнения с использованием либо прямых ссылок на жёлтые ячейки переменных, либо созданных имён (так нагляднее). В результате мы видим, чему равны наши уравнения при текущих значениях переменных.
В синих ячейках F9:F10 введены значения правых частей наших уравнений, к которым мы должны стремиться.

Теперь запускаем нашу надстройку на вкладке Данные – Поиск решения (Data – Solver) и вводим в появившемся диалоговом окне следующие параметры:

Оптимизировать целевую функцию (Set target cell) – любая из двух наших зелёных ячеек с уравнениями, например E9.
Изменяя ячейки переменных (By changing cells) – жёлтые ячейки с текущими значениями переменных, которыми мы “играем”.
Добавляем ограничение с помощью кнопки Добавить (Add) и задаём равенство левой и правой части наших уравнений, т.е. зелёного и голубого диапазонов.
В качестве метода решения выбираем Поиск решения нелинейных задач методом ОПГ, т.к. уравнения у нас нелинейные. Для линейных можно смело выбирать симплекс-метод.

После нажатия на кнопку Найти решение (Solve) через пару мгновений (или не пару – это зависит от сложности задачи) мы должны увидеть окно с результатами. Если решение найдено, то в жёлтых ячейках отобразятся подобранные значения наших переменных:

Обратите внимание, что поскольку мы здесь используем итерационные, а не аналитические методы, то зеленые ячейки не совсем равны голубым, т.е. найденное решение не абсолютно точно. На практике, конечно же, такой точности вполне достаточно для большинства задач, и если необходимо, её можно настроить, вернувшись в окно Поиск решения и нажав кнопку Параметры (Options).

Используйте правило Крамера, чтобы найти y в следующей системе уравнений

Алгебра 2

Бриттани С.

спросил 13.11.16

х + 4у – 2z = 3
х + 3у + 7z = 1
2х + 9у + z = 8

Подписаться І 2

Подробнее

Отчет

1 ответ эксперта

Лучший Новейшие Самый старый

Автор: Лучшие новыеСамые старые

Майкл Дж. ответил 13.11.16

Репетитор

5 (5)

Лучший репетитор после школы, который подготовит вас к регентам

См. таких репетиторов

Смотрите таких репетиторов

При использовании правила Крамера необходимо вычислить определитель матриц. Мы использовали коэффициенты левой части уравнений, чтобы сформировать эту матрицу.

позвонить в эту матрицу A:

1 4 -2

1 3 7

2 9 10003

Далее, вам необходимо найти определение матрикса А. Назовите определитель det(A). Я оставляю это вам.

Теперь найдем определитель для каждой переменной x, y и z. Для этого заменим правый столбец уравнения столбцами в матрице A. Левый столбец для x, средний для y, правый для z. я буду использовать жирный шрифт , чтобы показать вам, как я продолжу.

Матрица X:

3 4 -2

1 3 7

8 9 10003

FIND DEGINANTAINT of MATRIX X. Назовите это Dx.

Матрица Y:

1 3 -2

1 1 7

2 8 1

Найдите определитель матрицы y. Назовите это Дай.

Матрикс Z:

1 4 3

1 3 1

2 8

Найдите. Назовите это Дз.

Тогда ваши решения следуют:

x = Dx / det(A)

y = Dy / det(A)

z = Dz / det(A)

Голосовать за 1 голос против

Подробнее

Отчет

Все еще ищете помощь? Получите правильный ответ, быстро.

Задайте вопрос бесплатно

Получите бесплатный ответ на быстрый вопрос.
Ответы на большинство вопросов в течение 4 часов.

ИЛИ

Найдите онлайн-репетитора сейчас

Выберите эксперта и встретьтесь онлайн. Никаких пакетов или подписок, платите только за то время, которое вам нужно.

Матричные решения для линейных систем Видеоучебник и практика

Матричные решения для линейных систем Видеоучебник и практика | Каналы для Pearson+

Recent Channels

College Algebra

Chemistry

General Chemistry
Organic Chemistry
Analytical Chemistry
GOB Chemistry
Biochemistry

Biology

General Biology
Microbiology
Anatomy & Физиология
Генетика
Клеточная биология

Математика

Колледж Алгебра
Trigonometry
Precalculus

Physics

Physics

Business

Microeconomics
Macroeconomics
Financial Accounting

Social Sciences

Psychology

Start typing, then use the up and down arrows чтобы выбрать вариант из списка.

Изучите самые сложные понятия алгебры с помощью пошаговых видеоуроков и попрактикуйтесь в решении задач с помощью преподавателей мирового уровня

Матриксные решения для линейных систем

Напишите дополненную матрицу для линейной системы

3 Вопросы

Практика 3

ВОПРОС
SOLVE для X в Matrix Advation 3X+A = B
2
2
SOLVE для X в Matrix Advation 3X+A = B+A = B+A = B+A = B+A = B+A = B+A = B+A = B+B+A = B+A = B+A = B+A = B+A = B+A = B+A = B+A = B+A = B+A = B+A = B+A = B+A = B+A = B+A = B+A = B+A = B+A = B+A = B+A = B+A = B+A = B+A = B+A = B. 64views
Вопрос из учебника
В упражнениях 14–27 выполните указанные матричные операции, учитывая, что и D определены следующим образом. Если операция не определена, укажите причину. Д-А
37просмотров
Вопрос из учебника
В упражнениях 3–5 решите каждую систему уравнений с помощью матриц. Используйте исключение Гаусса с обратной заменой или исключение Гаусса-Жордана.
64views

Матричные решения линейных систем

Выполнение операций над строками матриц

3 видео | 3 вопроса

ВИДЕО 3

Предыдущие видео для

Следующие видео для

Matrix Operations
by patrickJMT
150views
05:25
Multiplying Matrices – Example 1
by patrickJMT
92views
09:38
Multiplying Matrices – Example 2
by patrickJMT
97views
05:27

ПРАКТИКА 3

Вопрос из учебника
В упражнениях 14–27 выполните указанные матричные операции, учитывая, что и D определены следующим образом. Если операция не определена, укажите причину. БД
37views
Вопрос из учебника
В упражнениях 14–27 выполните указанные матричные операции, учитывая, что и D определены следующим образом. Если операция не определена, укажите причину. A+D
32 представления
Вопрос из учебника
В упражнениях 1–2 выполните каждую операцию со строками матрицы и напишите новую матрицу.
94views

Матричные решения линейных систем

Использование матриц и исключения Гаусса для решения систем

5 видео | 2 вопроса

Видео 5

Предыдущие видео для

Следующие видео для

Гауссовая элиминация с заменой спины
по математике Mario
126views
12:45

Solysianian Lines Lines Lineriansiansianianciansianiansianiansiansiansiansian Solidance. обратная замена

от Study Force

155просмотров

06:33

Исключение по Гауссу и форма эшелона строк
от The Organic Chemistry Tutor
216просмотров
18:40
❤︎² Исключение по Гауссу. . Как? (mathbff)
by mathbff
147views
09:54
❖ Gaussian Elimination ❖
by patrickJMT
80views
08:55

PRACTICE 2

Textbook Question
In Упражнения 14–27, выполните указанные матричные операции, учитывая, что и D определены следующим образом. Если операция не определена, укажите причину. -5(А+Г)
38просмотров
Вопрос из учебника
В упражнениях 3–5 решите каждую систему уравнений с помощью матриц. Используйте исключение Гаусса с обратной заменой или исключение Гаусса-Жордана.
34views

Матричные решения линейных систем

Использование матриц и исключения Гаусса-Жордана для решения систем

3 видео | 2 вопроса

ВИДЕО 3

Предыдущие видео для

Следующие видео для

Использование Гаусса-Джордана для решения системы из трех линейных уравнений-Пример 2
от Patrickjmt
104Views
05:37
Обратная матрица с использованием GAUSS-JORDAN / ROW CRED, Пример 10003
. Patrickjmt
142Views
05:09
Обратная матрица с использованием Гаусс-Джордана / Руксан0002 ПРАКТИКА 2
- Вопрос из учебника
  В упражнениях 14–27 выполните указанные матричные операции, учитывая, что и D определены следующим образом. Если операция не определена, укажите причину. 3A+2D
  32 представления
- Вопрос из учебника
  В упражнениях 3–5 решите каждую систему уравнений с помощью матриц. Используйте исключение Гаусса с обратной заменой или исключение Гаусса-Жордана.
  46просмотров
Несогласованные и зависимые системы
Применение исключения Гаусса к системам без уникальных решений
4 видео | 1 вопрос
ВИДЕО 4
Предыдущие видео для
Следующие видео для
- Уникальное решение, Нет решения или Бесконечно много решений | Ax=b
  by Mulkek
  348views
  13:08
- 0003
  от Michel van Biezen
  210views
  05:43
- СЕД 1,2 Гаусс -Джордан Элиминация (многие растворы)
  от CBLISSMATH
  21010102. IX -MATRIX – MAT 9 из 330003
  В упражнениях 8–11 используйте метод исключения Гаусса, чтобы найти полное решение для каждой системы, или покажите, что их не существует.
  63views
Несогласованные и зависимые системы
Применение исключения Гаусса к системам с большим количеством переменных, чем в уравнениях
4 видео | 1 вопрос
ВИДЕО 4
Предыдущие видео для
Следующие видео для
- Переопределенные системы: больше уравнений, чем переменных
  Майкл Кинг
  126views
  13:02
- Метод элиминации 3 Неизвестные 2 Уравнения
  от Kevinsmath
  92Views
  07:16
- Решение системы 2 уравнений с 3 неизвестными – бесконечно много решений
  9 от patrickJMT
  161views
  05:49
ПРАКТИКА 1
- Вопрос из учебника
  В упражнениях 8–11 используйте систему исключения Гаусса, чтобы найти полное решение для каждой задачи.
  19views
Несогласованные и зависимые системы
Решение проблем с участием систем без уникальных решений
4 видео | 1 вопрос
ВИДЕО 4
Предыдущие видео за
Следующие видеоролики для
- 02-1. :58
- Линейная алгебра 1.3 Примеры систем
  Франк Форте
  135просмотров
  22:49
- Алгебра 6
  от Mywhyu
  134Views
  24:22
Практика 1
- Учебник ВОПРОС
  В упражнениях 8–11, Использовать ликвидацию Gaussian, чтобы найти полное решение для каждой системы, или показывать, что не является экспонентом.
  47 представлений
Матричные операции и приложения
Использование матричных обозначений
Матричные операции и приложения
Понимание того, что подразумевается под равными матрицами
4 videos
VIDEOS 4
Previous videos for
Next videos for
- Equal matrices
  by Melissa Sherman
  54views
  03:08
- Equality of Matrices
  by ThinkwellVids
  69Views
  04:36
- Матрикс Эвенс
  от Джоэла Сперанса Матема
  67Views
  02:08
- Lecture 02: Equality 20203 20203
- Lecture 02: Equality 2020303
- . Равная матрица с примерами | Матрицы равны или нет!
  по работе с образованием
  92Views
  08:53
Матричные операции и приложения
Добавить и вычитать матрицы
1 0003
Videos 1
.
Операции с матрицами
by patrickJMT
87views
05:25

Операции с матрицами и приложения

Выполнение скалярного умножения

1 Видео

Видео 1

Предыдущие видео для

Следующие видеоролики для

Matrix Operations
от Patrickjmt
96Views
05:25
3
9191919191919191919191919191919191919191919191919191919191919191919191919191919. Уравнения
3 видео
ВИДЕО 3
Предыдущее видео для
Следующее видео для
- Матрицы урок 3 – Скалярное умножение, решение простых уравнений
  от Magic Monk
  101views
  12:14
- Уравнения решающей матрицы
  от Orgic Hemistry Tutor
  76views
  06:31
  .
  04:10
Матричные операции и приложения
Умножение матриц
3 видео
ВИДЕО 3
2 Предыдущие видео для
20003
Next videos for
- Multiplying Matrices – Example 1
  by patrickJMT
  145views
  09:38
- Multiplying Matrices – Example 2
  by patrickJMT
  167views
  05:27
- Умножение матриц — пример 3 [2 x 3] и [3 x 2]0003
  Примеры прикладных ситуаций с матричными операциями
  4 видео
  ВИДЕО 4
  Предыдущие видео для
  Следующие видео для
  - Matrix Word Problems Pt. 1
    от Nicole Schmitz
    353Views
    03:18
  - 3,6 СЛОВА СЛОВА СЛОВА
    MATH SMITH 314
    612VIEWS
    02:21
  - Матрица Умножение матрицы и слов.
    Найдите мультипликативную обратную квадратную матрицу
    5 видео | 1 вопрос
    ВИДЕО 5
    Предыдущие видео для
    Следующие видео для
    - Нахождение обратной матрицы 3 x 3 с использованием детерминантов и кофакторов – Пример 1
      от Patrickjmt
      92Views
      06:46
    - Inverse Matrix с использованием Gauss -Jord / row Roder / row Roder / row Roder / row Roder / row Rod -Jordan / row Rod -Jordan / rown. Нахождение обратной матрицы 3 x 3 с использованием детерминантов и кофакторов. Пример 20003
    - Нахождение обратной матрицы 3 x 3 с использованием детерминантов и кофакторов – Пример 3
      от Patrickjmt
      143Views
      05:28
    - Inverse Matrix Использование Gauss -Jord / row Roder / row Roder / row Roder / row Roder / row Roydan / row Roydan / row Roder / rown / row Royn / rown / rown. by patrickJMT
      117views
      15:48
    ПРАКТИКА 1
    - Вопрос из учебника
      В упражнениях 43–44 матрицы B = линейная система aAX, (a) Решите систему, используя обратную матрицу коэффициентов.
      25views
    Мультипликативные обратные матрицы и матричные уравнения
    Использование обратных для решения матричных уравнений
    4 видео | 1 Вопрос
    Видео 4
    Предыдущие видео для
    Следующие видео для
    - 4,5 Решающие системы с использованием обратных матриц 3×3
      от Academyofbailey
      247Views
      09:42
    Мультипликативные обратные матрицы и матричные уравнения
    Кодирование и декодирование сообщений
    4 видео | 1 question
    VIDEOS 4
    Previous videos for
    Next videos for
    - Algebra 2 – Inverse Matrices to Encrypt and Decrypt Messages
      by yaymath
      140views
      14:55
    - Coding and decoding using матрицы
      от Дэвида Пятница
      148Views
      08:15
    - ПК: 7,8 Примечания: Пример 8 – Декодирование сообщения
      от Mrklinetl
      88Views
      03:33
    Практика 1
    - ВОПРОС
      В упражнениях 37–38.0003
      32Views
    Детерминанты и правило Cramer
    Оценка определения второго и третьего порядка
    2 Вопросы
    Практика 2
    - . каждой системы.
      69просмотров
    - Вопрос из учебника
      В упражнениях 46–51 оцените каждый определитель.
      48просмотров
    Детерминанты и правило Крамера
    Решение системы линейных уравнений с двумя и тремя переменными с помощью правила Крамера
    3 видео | 1 question
    VIDEOS 3
    Previous videos for
    Next videos for
    - Cramer’s Rule : A Proof / Justification for a System of 2 Linear Equations, 2 Unknowns
      by patrickJMT
      218views
      10:13
    - Правило Крамера для решения системы трех линейных уравнений — пример 1
      by patrickJMT
      205views
      10:50
    - Cramer’s Rule to Solve a System of 3 Linear Equations – Example 2
      by patrickJMT
      341views
      09:39
    PRACTICE 1
    - Учебник Вопрос
      В упражнениях 46–51 оцените каждый определитель.