Онлайн решение матриц по гауссу: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса. - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Решение СЛАУ методом Гаусса – online presentation

1. Решение СЛАУ методом Гаусса

2. Иоганн Карл Фридрих Гаусс (30 апреля 1777, Брауншвейг — 23 февраля 1855, Гёттинген)

Имя Гаусса известно почти во всех областях
математики, а также в геодезии, астрономии,
механике. За глубину и оригинальность мысли, за
требовательность к себе и гениальность ученый и
получил звание «король математиков».
Метод решения системных уравнений, открытый
ученым, был назван методом Гаусса. Метод
состоит в последовательном исключении
переменных до приведения уравнения к
ступенчатому виду. Решение методом Гаусса
считается классическим и активно используется и
сейчас.
Память о Гауссе навсегда осталась в
математических и физических терминах (метод
Гаусса, дискриминанты Гаусса, прямая Гаусса,
Гаусс – единица измерения магнитной индукции
и др.). Имя Гаусса носит лунный кратер, вулкан в
Антарктиде и малая планета.

3. Метод Гаусса

Метод Гаусса — классический метод решения системы
линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Это метод последовательного исключения переменных,
когда с помощью элементарных преобразований система
уравнений приводится к равносильной системе
ступенчатого (или треугольного) вида, из которого
последовательно, начиная с последних (по номеру)
переменных, находятся все остальные переменные.

4. Пример. Решить СЛАУ методом Гаусса:

Запишем расширенную матрицу системы, составленную из
коэффициентов системы и свободных слагаемых.

5. С помощью элементарных преобразований сведем расширенную матрицу к подобной матрице ступенчатого вида:

6. Получаем систему линейных уравнений, эквивалентную исходной системе уравнений.

Ответ:

7. Ощутим свежее дыхание моря…

9. Самостоятельная работа

1 вариант
Решить СЛАУ
методом Гаусса:
2 вариант
Решить СЛАУ
методом Гаусса:

10. Домашнее задание

Решить СЛАУ:

в чем суть, решение системы уравнений, примеры с объяснением

Благодаря великим ученым было открыто множество эффективных теорем для работы со сложными математическими задачами. Один из таких примеров — метод Гаусса.

Метод Гаусса — что это такое

Метод Гаусса представляет собой методику эквивалентного преобразования исходной системы линейных уравнений в систему, решаемую существенно проще, чем исходный вариант.

Метод Гаусса используют для решения систем линейных алгебраических формул. Такой способ обладает рядом важных преимуществ:

Нет необходимости сравнивать уравнения для оценки совместимости.
Решение систем равенств, в которых число определителей совпадает или не совпадает с количеством неизвестных переменных.
Поиск решений для уравнений с нулевым определителем.
Сравнительно небольшое количество вычислительных операций для получения результата.

Основные определения и обозначения

Матрицы: определение и свойства

Такие системы являются наиболее удобным способом представления данных, с которыми впоследствии производят манипуляции. Матрица имеет вид прямоугольника для удобства расчетов. При использовании метода Гаусса работа осуществляется с треугольными матрицами, при записи которых применяется прямоугольник с нулями на тех местах, где числа отсутствуют. Часто нули не записывают, а только подразумевают.

Важным параметром матрицы является размер:

ширина — это количество строк, обозначают буквой m;
длину выражают числом столбцов, записывают буквой n.

Источник: bigpicture.ru

Размер матрицы будет записан в формате А m*n. В случае, когда m=n, матрица является квадратной, а m=n служит ее порядком. Номера строк и столбцов изменяются.

Определитель

Матрица обладает крайне важной характеристикой. Таким параметром является определитель. Данную величину рассчитывают с помощью диагонали. Для этого в матрице необходимо провести воображаемые диагональные линии. Затем следует найти произведение элементов, которые располагаются на этих диагоналях, а полученные значения суммировать таким образом:

Если диагональ обладает наклоном в правую сторону, то знак «+».
Для диагоналей, наклоненных влево, знак «–».

Источник: wp.com

Рассчитать определитель представляется возможным лишь в случае работы с квадратной матрицей.

Если необходимо определить данный параметр для прямоугольной матрицы, то следует выполнить следующие манипуляции:

из числа строк и числа столбцов выбрать наименьшее и обозначить его k;
отметить в матрице произвольным образом k столбцов и k строк.

Элементы, которые расположены на пересечении отмеченных столбцов и строк, образуют новую квадратную матрицу. В случае, когда определитель является числом, не равным нулю, то данный параметр будет обозначен как базисный минор первоначальной прямоугольной матрицы. Перед решением систем уравнений методом Гаусса полезно рассчитать определитель. Если данная характеристика равна нулю, то матрица имеет бесконечное множество решений либо не имеет их вовсе. В таком случае потребуется определить ранг матрицы.

Классификация систем

Ранг матрицы является распространенным понятием. Он обозначает максимальный порядок ее определителя, который не равен нулю. По-другому можно сказать, что ранг матрицы представляет собой порядок базисного минора. Исходя из данного критерия, СЛАУ классифицируют на несколько типов. В совместных системах, которые состоят лишь из коэффициентов, ранг основной матрицы совпадает с рангом расширенной. Для подобных систем характерно одно или множество решений. По этой причине совместные системы подразделяют на следующие типы:

определенные, обладающие одним решением, в которых наблюдается равенство ранга матрицы и количество неизвестных;
неопределенные;
обладающие бесконечным числом решений с рангом матрицы, который меньше количества неизвестных.

В несовместных системах ранги, характеризующие основную и расширенную матрицы, отличаются. С помощью метода Гаусса в процессе решения можно прийти либо к однозначному доказательству несовместности системы, либо к решению общего вида для системы, обладающей бесконечным количеством решений.

Источник: asiaplustj.info

Основные правила и разрешаемые преобразования при использовании метода Гаусса

Перед тем, как решать систему, необходимо ее упростить. На данном этапе выполняют элементарные преобразования, которые не влияют на конечный результат. Определенные манипуляции справедливы лишь в случае матриц, исходниками которых являются СЛАУ. Список элементарных преобразований:

Перестановка строк. При перемене записей в системе местами ее решение не меняется. Можно менять место строк в матрице, учитывая столбец со свободными членами.
Произведение всех элементов строк и некоторого коэффициента. Сокращаются большие числа в матрице, и исключаются нули. При этом множество решений сохраняется без изменений, а дальнейшие манипуляции существенно упрощаются. Важным условием является отличие от нуля коэффициента.

Удаление строк, которые содержат пропорциональные коэффициенты. Данное преобразование следует из предыдущего пункта. При условии, что две или более строк в матрице обладают пропорциональными коэффициентами, то при произведении или делении одной из строк на коэффициент пропорциональности получают две или более абсолютно одинаковые строки. В этом случае лишние строки исключают, оставляя только одну.
Удаление нулевой строки. Бывают случаи, когда в процессе манипуляций с уравнениями возникает строка, все элементы которой, в том числе свободный член, равны нулю. Нулевую строку допустимо исключать из матрицы.

Суммирование элементов одной строки с элементами другой, умноженными на некоторый коэффициент, в соответствующих столбцах. Данное преобразование имеет наиболее важное значение из всех перечисленных.

Особенности использования метода Гаусса для решения СЛАУ

На первом этапе система уравнений записывается в определенном виде. Пример выглядит следующим образом:

Источник: wp.com

Коэффициенты необходимо представить в виде таблицы. С правой стороны в отдельном столбце записаны свободные члены. Данный блок отделен для удобства решения. Матрицу со столбцом со свободными членами называют расширенной.

Источник: wp.com

Затем основная матрица с коэффициентами приводится к верхней треугольной форме. Данное действие является ключевым моментом при решении системы уравнений с помощью метода Гаусса. По итогам преобразований матрица должна приобрести такой вид, чтобы слева внизу находились одни нули:

Источник: wp.com

При записи новой матрицы в виде системы уравнений можно отметить, что последняя строка уже содержит значение одного из корней, которое в дальнейшем подставляется в уравнение выше для нахождения следующего корня и так далее. Подобное описание позволяет разобраться в методе Гаусса в общих чертах.

Обратный и прямой ход метода Гаусса

В первом случае необходимо представить запись расширенной матрицы системы. При выполнении обратного метода Гаусса далее в главную матрицу добавляют столбец со свободными членами.

Источник: wp.com

Суть такого способа заключается в выполнении элементарных преобразований, по итогам которых данная матрица приводится к ступенчатому или треугольному виду. В этом случае над или под главной диагональю матрицы располагаются только нули.

Источник: wp.com

Варианты дальнейших действий:

перемена строк матрицы местами, при наличии одинаковых или пропорциональных строк их можно исключить, кроме одной;

деление либо умножение строки на любое число, не равное нулю;
удаление нулевых строк;
добавление строки, умноженной на число, не равное нулю, к другой строке.

Имея преобразованную систему с одной неизвестной Xn, которая становится известной, можно выполнить поиск в обратном порядке остальных неизвестных с помощью подстановки известных х в уравнения системы, вплоть до первого. Данный способ называют обратным методом Гаусса.

Примеры решений с объяснением

Пример 1

Требуется решить с помощью метода Гаусса систему линейных уравнений, которая выглядит следующим образом:

Источник: wp.com

Решение

Необходимо записать расширенную матрицу:

Источник: wp.com

Затем нужно выполнить преобразования. В результате матрица должна приобрести треугольный вид. Для этого следует умножить первую строку на (3) и умножить вторую строку на (-1). В результате суммирования второй и первой строк получается следующее:

Источник: wp.com

Далее следует умножить третью строку на (-1). После добавления третьей строки ко второй получаем следующие преобразования:

Источник: wp.com

После этого необходимо умножить первую строку на (6) и вторую строку на (13). Далее следует добавить вторую строку к первой:

Источник: wp.com

После того, как система преобразована, остается вычислить неизвестные:

$x_{3}=\frac{98}{49}=2$

$x_{2}=\frac{14-7x_{3}}{6}=\frac{14-7*2}{6}=0$

$x_{3}=\frac{-9+5x_{2}+6x_{3}}{3}=\frac{-9+5*0+6*2}{3}=1$

Данный пример демонстрирует единственное решение системы.

Источник: supertics.com

Пример 2

Необходимо решить систему уравнений, которая выглядит следующим образом:

Источник: wp.com

Решение

Необходимо составить матрицу:

Источник: wp.com

Согласно методу Гаусса уравнение первой строки по итогам преобразований не меняется. Удобнее, когда левый верхний элемент матрицы обладает наименьшим значением. В таком случае первые элементы остальных строк после преобразований будут равны нулю. Таким образом, составленная матрица будет решаться проще, если на место первой строки поставить вторую:

вторая строка:

$k = (-a_{21} /a_{11}) = (-3/1) = -3$

$a”_{21} = a_{21} + k×a_{11} = 3 + (-3)×1 = 0$

$a” _{22} = a_{22} + k×a _{12} = -1 + (-3)×2 = -7$

$a”_{ 23} = a_{23} + k×a_{13} = 1 + (-3)×4 = -11$

b” 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

третья строка:

$k = (-a_{31} /a_{11}) = (-5/1) = -5$

$a”_{31} = a_{31} + k×a_{11} = 5 + (-5)×1 = 0$

$a”_{32} = a_{32} + k×a_{12} = 1 + (-5)×2 = -9$

$ a”_{33} = a_{33} + k×a_{13} = 2 + (-5)×4 = -18$

$ b”_3 = b_3 + k×b_1 = 3 + (-5)×12 = -57$

Матрица с промежуточными результатами манипуляций будет иметь следующий вид:

Источник: wp.com

Благодаря некоторым операциям можно придать матрице наиболее удобный вид. К примеру, вторую строку можно избавить от всех «минусов» путем умножения каждого элемента на «-1». Можно заметить, что для третьей строки характерны все элементы, кратные трем. В этом случае строка сокращается с помощью произведения каждого элемента на «-1/3». Минус позволит удалить отрицательные значения.

Источник: wp.com

Далее следует приступить к манипуляциям со второй и третьей строками. Необходимо суммировать третью и вторую строки. Вторая строка при этом умножается на такой коэффициент, при котором элемент а 32 будет равен нулю.

$k = (-a_{32} /a_{22}) = (-3/7) = -3/7$

В случае, когда некоторые преобразования приводят в результате к получению не целого числа, следует оставить его в этом виде. Таким образом, вычисления будут более точными. Затем при получении ответов можно определиться с его дальнейшем округлением или переводом в другую форму записи.

$a”_{32} = a_{32} + k×a_{22} = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0$

$a”_{33} = a_{33} + k×a_{23} = 6 + (-3/7)×11 = -9/7$

$b”_3 = b_3 + k×b_2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7$

Преобразованная матрица будет иметь следующий вид:

Матрица обладает ступенчатым видом. Дальнейшие преобразования с помощью метода Гаусса нецелесообразны. В этом случае можно удалить из третьей строки общий коэффициент «-1/7».

Источник: wp.com

Затем необходимо представить запись матрицы в виде системы уравнений для вычисления корней.

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Найти корни можно обратным методом Гаусса. Уравнение (3) содержит значение z:

y = (24 – 11×(61/9))/7 = -65/9

С помощью первого уравнения можно определить х:

x = (12 – 4z – 2y)/1 = 12 – 4×(61/9) – 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Подобная система является совместной и определенной, для которого характерно единственное решение. Ответ будет следующим:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Метод Гаусса предполагает последовательное исключение неизвестных. Методика справедлива в случае решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений. Несмотря на простоту метода, многие студенты сталкиваются с некоторыми трудностями в процессе поиска правильного решения. Это связано с наличием знаков «+» и «-». Поэтому для решения СЛАУ требуется проявить внимательность. А получить квалифицированную помощь можно на ресурсе Феникс.Хелп.

Численные методы: решение систем линейных уравнений

В прикладных задачах часто возникает необходимость решать системы линейных уравнений.

Система линейных алгебраических уравнений с n неизвестными – это система уравнений вида

(1)

Слово система означает, что все уравнения рассматриваются как одно целое.

В общем случае у нас имеется m – уравнений, n – количество неизвестных. x₁, x₂,…, x_n – неизвестные, которые следует определить.

В системе (1) – фиксированные коэффициенты, b₁, b₂, …, b_m – свободные члены – предполагаются известными.

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b₁ = b₂ = … = b_m = 0), иначе – неоднородной.

Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Задача состоит в том, чтобы найти такие которые удовлетворяют всем уравнениям (1).

В частном случае мы имеем одно линейное уравнение:

Конечно, такое уравнение легко решить, если предположить, что коэффициент не равен 0, имеем: = .

Очевидно, в общем случае имеются 3 варианта решений: система имеет ни одного решения, имеет одно решение, более одного решения.

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если нет ни одного решения.

Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как:

или:

Ax = b

Здесь A – это матрица системы, x – столбец неизвестных, а b – столбец свободных членов.

Если к матрице A приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной.

Рассмотрим, например, систему вида и поймем, как найти ее решение:

(2)

Предположим на минуту, что в первом уравнении y отсутствует, а во втором отсутствует x, тогда мы имели бы решение именно то решение, которое нам нужно.

Вопрос: как исходную систему привести к такому виду и можно ли это сделать.

Заметим, что с тождествами мы можем делать следующие вещи: домножать на одно и то же число, отличное от 0, складывать, вычитать и тд, это похоже с тем, что вы раскладываете монеты по своим карманам, не меняя общей суммы.

От этих операций тождество не меняется.

В системе (2) у нас два тождества, домножим второе тождество на 2 и вычтем из первого, получим:

(3)

Формально у нас есть еще старое тождество , но оно нам не понадобится (подумайте, почему).

Система (3) точно такая же, как система (2).

Из второго уравнения системы (3) сразу получим:

Никто не мешает нам подставить это значение в первое уравнение:

Отсюда сразу находим, что

Итак, путем простых действий мы нашли, что система (2) может быть представлена в виде:

Именно такие естественные соображения приводят к общему методу решения систем линейных уравнений, известному как метод исключения или метод Гаусса.

Метод Гаусса является одним из самых распространенных прямых методов решения систем линейных уравнений Ax = b:

Опишем этот метод в общем случае.

Вначале исходная система приводится к верхнетреугольному виду.

Это достигается следующей последовательностью преобразований (прямой ход).

Будем считать для удобства, что элемент a_i_j исходной матрицы и компоненты вектора b_i есть, соответственно, элементы a_i_j ⁽¹⁾ первого шага преобразованной матрицы A₁ и преобразованного вектора b₁:A = A₁, b=b₁.

Далее, на втором шаге прибавим к второй строке первую, умноженную на

Аналогично поступим со всеми оставшимися строками, т.е. прибавим к каждой i-ой строке i=2,3,…,N, первую, умноженную на коэффициент

При этом соответственно изменится и вектор b1.

Таким образом, 2 шаг.

Имеем систему уравнений A₂x = b₂:

где

3 шаг.

Прибавим к новой третьей строке новую вторую, умноженную на

То же самое сделаем с остальными строками 4,5,…,N, т.е. прибавим к i-ой строке вторую, умноженную на

При этом получим систему A₃x = b₃:

(k+1)-ый шаг:

Здесь

Поступая так и далее, на шаге N-1 получаем верхнетреугольную систему:

При этом, мы также получили матрицу C переводных коэффициентов, имеющую вид:

Решение полученной треугольной системы как легко видеть, имеет вид (обратный ход метода Гаусса):

Заметим, что при прямом ходе метода Гаусса может возникнуть ситуация, когда происходит деление на нуль, да и вообще, желательно не делить на малое число, чтобы не накапливалась ошибка.

Поэтому метод Гаусса обычно проводят с частичным выбором главного элемента, то есть после каждого шага (пусть это был k-й шаг) переставляют строки с номерами k,k+1,…,N таким образом, чтобы на месте kk оказался элемент наибольший из всех в k-ом столбце при m>k (при этом, естественно, переставляются и компоненты вектора b).

Можно для максимальной точности переставлять также и столбцы преобразуемой матрицы, чтобы на месте kk оказался максимальный элемент из всех с индексами больше, либо равными k.

Эта процедура называется методом Гаусса с выбором главного элемента. Она несколько повышает точность по сравнению с частичным выбором главного элемента, но весьма неудобна, в том числе для программирования, поскольку при перестановке строк компоненты искомого вектора x переставлять не надо, тогда как при перестановке столбцов надо переставлять и соответствующие компоненты вектора x.

Опишем обратный ход метода Гаусса в несколько иной форме (треугольное разложение).

Введем матрицы M_k по правилу:

На каждом шаге метода Гаусса получается некоторая промежуточная матрица:

и вектор

Нетрудно видеть, что

Вопрос. Почему

Если производить также выбор главных элементов, то необходимо использовать оператор P перестановки индексов l и m, матричные элементы которого равны:

При применении оператора перестановки индексов к матрице слева, меняются местами строки матрицы и компоненты свободного вектора (PAx = Pb), если же его применить справа к матрице, то меняются местами ее столбцы и компоненты решения

Существует большой класс так называемых итерационных методов решения систем уравнений, аналогичных итерационным методам нахождения корней нелинейных уравнений.

Итерационные методы последовательно уточняют решение, отправляясь от начального приближения.

При выполнении условий сходимости они позволяют достичь любой точности просто повторением итераций.

Преимущество этих методов в том, что часто они позволяют достичь решения с заранее заданной точностью быстрее, а также позволяют решать большие системы уравнений.

Идея состоит в том, чтобы найти неподвижную точку матричного уравнения

(5)

эквивалентного начальной системе линейных алгебраических уравнений.

При итерации в правой части уравнения заменяется, например, в методе Якоби (метод простой итерации) приближение, найденное на предыдущем шаге:

Термин неподвижная точка становится ясен, если вы внимательно посмотрите на уравнение (5), по самому своему смыслу величина Х является неподвижной точкой.

Более подробное описание методов решения систем линейных уравнений можно найти в специальной литературе, наша задача дать обзор методов и основные идеи решения такого рода задач.

Обусловленность линейных систем, погрешность

При решении абстрактной задачи Ax = b, где A – оператор произвольной природы, важным моментом является корректность ее постановки.

Задача считается корректной, если решение существует и единственно и , кроме того, решение непрерывно зависит от данных (то есть, при также стремится к нулю).

Однако и непрерывная зависимость от входных данных может иметь свои нюансы.

Чем меньшее (большее) изменение решения вызывает вариация входных данных, тем более хорошо (плохо) обусловленной считается задача.

Понятие обусловленности является тем более существенным для численных методов, поскольку на практике входные данные известны, как правило, с некоторой погрешностью.

Кроме того, существуют ошибки округления, возникающие при вычислениях.

Таким образом, формально корректная задача, являясь плохо обусловленной, может оказаться разрешимой столь неточно, что в этом будет отсутствовать практический смысл.

Чем можно охарактеризовать количественно обусловленность для линейных систем?

Пусть A – квадратная NxN – матрица.

Рассмотрим задачу Ax = b.

Пусть также некоторая норма в пространстве R_N

Норма оператора A определяется стандартно:

Обозначим y = Ax и введем число m по правилу:

Величина называется числом обусловленности.

Очевидно:

если A – диагональная, то (Для какой нормы, или для всех вышеприведенных?). Чем меньше число обусловленности C(A), тем лучше обусловлена система. Действительно, пусть вариация правой части, а соответствующее изменение решения.

Тогда справедливо следующее неравенство:

Доказательство. Имеем:

Так как

то

Аналогично, поскольку

Объединяя два неравенства, окончательно получаем для оценки погрешности:

В начало

Содержание портала

Фундаментальное решение системы линейных уравнений. Взгляд со стороны / Хабр

Добрый день!

В данной статье я попробую взглянуть по новому на алгоритм поиска общего решения системы линейных уравнений.

Задача, которой мы займемся звучит так.
Найти общее решение следующей системы уравнений

Такую задачу решают, приведя исходную систему к треугольному виду по методике Гаусса. Потом выбрав свободные переменные вычисляют общее решение.

Я хочу показать, как можно решать подобные системы другим способом. Насколько она известна и применяется где либо, я узнать не смог. Во всех публичных/популярных материалах, используется метод Гаусса.

Сразу скажу что решение конечно же не оптимально (по быстродействию), так как при вычислении векторного произведения, надо вычислять определитель матрицы, а это так или иначе вычисление треугольной матрицы.

Но решение красиво и наглядно, кроме этого легко видеть критерий при котором система не имеет решений.

В чем же суть методики?

Решая эту систему как произведение двух векторов, мы получим

А следовательно, корни системы равны

Для тех кто не верит, это легко проверяется подстановкой

Используем этот прием и рассмотрим, как же решаются такие системы с помощью векторных произведений.

Итак, у нас есть исходная система

Перенесем свободные члены в левую часть

У нас получилось 6 столбцов.

На этом этапе не будем вводить новых сущностей и не используем в своей работе понятия ранга матрицы. (Прошу отнестись снисходительно)
Мы просто видим что уравнений 3, а переменных 5-ть. Следовательно общее решение будет использовать 5-3=2 независимых переменных.

На этом же шаге, мы можем определить, какие же из переменных будут свободными. Возьмем две переменных, которые будут правее всех, и назначим их свободными.
Note: Для других уравнений не всегда получается, что надо брать именно последние правые коэффициенты

А теперь за три шага определяем фундаментальное решение исходной системы

Шаг 1. Здесь последняя колонка это свободные члены системы

Шаг 2. Здесь последняя колонка это коэффициенты при переменной

Шаг 3. Здесь последняя колонка это коэффициенты при переменной

Нет необходимости подробно рассказывать откуда мы берем данные. Я думаю для читающих это очевидно. (Кто решал систему уравнений методом Крамера, найдут общие черты)

Интереснее то, что мы с этими «векторами» делать будем.

Разделим их на -81

получаем следующие три вектора

выстроим их в вертикаль и таким образом фундаментальное решение принимает вид

Великолепно! Не правда ли…

Для критерия разрешимости заданной системы уравнений в большинстве случаев используется правило Кронекера-Копелли, здесь же просто анализируется результат векторного произведения.

Если результирующий вектор имеет вид

где , а среди всех оставшихся есть хотя бы один не нулевой, то такая система решений не имеет

Если результирующий вектор имеет все нулевые коэффициенты, то это говорит о том, что или как минимум одно из уравнений есть линейное представление другого, и/или одна из переменных пропорциональна другой.

Эта статья первая, и хотелось бы услышать замечания, критику, пожелания в свой адрес.

Алгоритм и калькулятор создан еще в январе 2019 года и только сегодня я решил опубликовать информацию на Хабре.

Если примете в свой коллектив/общество, то следующая тема будет
— как находить общее решение системы диофантовых уравнений.

ⓘ Метод Гаусса – Зейделя решения системы линейных уравнений. М

Пользователи также искали:

метод гаусса – – зейделя онлайн, метод гаусса – зейделя python, метод зейделя алгоритм, метод зейделя – c#, метод зейделя маткад, метод зейделя условие сходимости, решение систем линейных уравнений методом итераций онлайн, Зейделя, методом, зейделя, Метод, метод, Гаусса, гаусса, системы, линейных, онлайн, метод зейделя маткад, метод зейделя c, метод зейделя алгоритм, маткад, решение, систем, уравнений, итераций, алгоритм, python, условие, сходимости, решения, метод зейделя – c, решение систем линейных уравнений методом итераций онлайн, метод зейделя условие сходимости, Метод Гаусса – Зейделя решения системы линейных уравнений, метод гаусса – зейделя python, метод гаусса – – зейделя онлайн, метод гаусса – зейделя решения системы линейных уравнений,

Метод Гаусса – решение систем линейных уравнений, пример – смотреть онлайн видео урок бесплатно! Автор: alWEBra – Линейная алгебра

В этом видео уроке рассказывается о том, как использовать метод Гаусса при решении систем линейных уравнений, пример. Метод Гаусса является универсальным методом решения систем линейных уравнений. Он основан на последовательном исключении неизвестных. Здесь будет рассмотрен простейший случай, т.е. когда система имеет единственное решение. При решении, системе уравнений сопоставляется, так называемая, расширенная матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных и свободных членов. Суть Метода Гаусса заключается в том, что по определенным правилам выполняется преобразование этой матрицы к виду, в котором ниже главной диагонали располагаются только нули. Элементарные преобразования матрицы выполняются по таким правилам как перемена местами двух строк, умножение (деление) строки на число, добавление к строке другой строки, умножение на число и вычеркивание строки из нулей. После такого преобразования система уравнений легко решается. В качестве примера практического применения метода Гаусса, будет рассмотрено задание с решением системы линейных уравнений с тремя неизвестными. Видео урок «Метод Гаусса – решение систем линейных уравнений, пример» вы можете смотреть онлайн в любое время совершенно бесплатно. Удачи Вам!

Автор: alWEBra
Длительность: 5:32
Дата: 22.11.2013
Смотрели: 500
Рейтинг: 5.0/1

Если у Вас есть качественные видео уроки, которых нет на нашем сайте, то Вы можете добавить их в нашу коллекцию. Для этого Вам необходимо загрузить их на видеохостинг (например, YouTube) и добавить код видео в форму добавления уроков. Возможность добавлять свои материалы доступна только для зарегистрированных пользователей.

Учебное пособие по устранению Гаусса и матричным уравнениям

Форма рядового эшелона

Часто при работе с расширенными матрицами мы понимаем, что одни матрицы более интересны, чем другие. Когда матрица имеет только нули под ее диагональными элементами, то говорят, что она находится в эшелоне формы или эшелоне строки формы .

Вот пример

Форма Echelon интересна тем, что позволяет нам более легко решить систему, используя технику, называемую , обратная подстановка .Предполагая, что указанная выше матрица является расширенной матрицей, тогда каждый из первых пяти столбцов представляет переменную, скажем, a, b, c, d, e . Это означает, что, посмотрев на последний столбец, мы сразу увидим, что 4 e = 1 , так что e = 1/4 . Теперь мы можем заменить e во второй предпоследней строке. Это дает нам d + 7e = 5 , так что d + 7/4 = 5 , так что d = 27/4 . Теперь мы можем подставить d и e в третью строку и так далее, пока не получим значения для всех пяти переменных.

Уменьшенная форма ступенчатого эшелона

Другой формой, аналогичной форме эшелона, является форма сокращенного ряда . Для любой матрицы, первая запись отлична от нуля в строке называется стержень. Матрица находится в форме сокращенного эшелона строк, когда каждая точка поворота равна 1, а точка поворота является единственной ненулевой записью в ее столбце . Вот идеальный пример:

Если дана матрица в форме сокращенного эшелона строк, если в каждом столбце есть сводка, мы можем просто прочитать решения, посмотрев на последний столбец.Итак, если мы снова предположим, что первые пять столбцов соответствуют переменным a, b, c, d и e , тогда a = 3 , b = 1 , c = 2 , d = 5 и e = 2 .

Вскоре мы увидим метод, который берет любую матрицу и переводит ее в сокращенную форму эшелона строк, тем самым решая любое уравнение или систему, которые она представляет. Вот еще один пример, который показывает, как решения соотносятся с сокращенной формой эшелона строк.

Исключение Гаусса

Тип 2. Умножьте строку на ненулевую константу.

Тип 3. Добавьте одну строку, кратную одной, в другую.

Цель этих операций – преобразовать – или уменьшить – исходную расширенную матрицу в одну из форм, где A ′ является верхним треугольником ( a _ij ′ = 0 для i> j ), любые нулевые строки появляются внизу матрицы, и первая ненулевая запись в любой строке находится справа от первой ненулевой записи в любой более высокой строке; такая матрица имеет вид эшелон .Решения системы, представленные более простой расширенной матрицей, [ A ′ | b ′], можно найти путем осмотра нижних рядов и обратной подстановки в более высокие ряды. Поскольку операции с элементарными строками не меняют решений системы, векторы x , которые удовлетворяют более простой системе A ′ x = b ′, как раз те, которые удовлетворяют исходной системе, A x = б .

Пример 3 : Решите следующую систему с помощью исключения Гаусса:

Расширенная матрица, которая представляет эту систему:

Первая цель – получить нули под первой записью в первом столбце , что означает исключение первой переменной x из второго и третьего уравнений.Для этого выполняются следующие операции со строками:

Вторая цель – получить ноль под второй записью во втором столбце, что означает исключение второй переменной y из третьего уравнения. Один из способов добиться этого – добавить -1/5 второй строки к третьей строке. Однако, чтобы избежать дробей, есть еще один вариант: сначала поменять местами второй и третий ряды. Замена двух строк просто меняет местами уравнения, что явно не изменит решения системы:

Теперь прибавьте −5 раз вторую строку к третьей строке:

Поскольку матрица коэффициентов преобразована в эшелонированную форму, «прямая» часть исключения Гаусса завершена.Теперь остается использовать третью строку для оценки третьего неизвестного, затем выполнить обратную подстановку во вторую строку для оценки второго неизвестного и, наконец, выполнить обратную замену в первой строке для оценки первого неизвестного.

Третья строка финальной матрицы переводится в 10 z = 10, что дает z = 1. Обратная подстановка этого значения во вторую строку, которая представляет уравнение y – 3 z = – 1, дает y = 2.Обратная подстановка обоих этих значений в первую строку, которая представляет уравнение x – 2 y + z = 0, дает x = 3. Таким образом, решение этой системы: ( x, y, z ) = (3, 2, 1).

Пример 4 : Решите следующую систему с помощью исключения Гаусса:

Для этой системы расширенная матрица (вертикальная линия опущена) –

Сначала умножьте строку 1 на 1/2:

Теперь добавление -1 первой строки ко второй строке дает нули под первой записью в первом столбце:

Перестановка второй и третьей строк дает желаемую матрицу коэффициентов верхней треугольной формы:

В третьей строке теперь указано z = 4.Обратная подстановка этого значения во вторую строку дает y = 1, а обратная подстановка обоих этих значений в первую строку дает x = −2. Следовательно, решение этой системы: ( x, y, z ) = (−2, 1, 4).

Исключение Гаусса-Джордана . Исключение по Гауссу осуществляется путем выполнения элементарных операций со строками для получения нулей ниже диагонали матрицы коэффициентов, чтобы привести ее к эшелонированной форме. (Напомним, что матрица A ′ = [ a _ij ′] имеет эшелонированную форму, когда a _ij ′ = 0 для i> j , любые нулевые строки появляются внизу матрицы , и первая ненулевая запись в любой строке находится справа от первой ненулевой записи в любой более высокой строке.Как только это будет сделано, проверка нижней строки (строк) и обратная подстановка в верхние строки определяют значения неизвестных.

Однако можно сократить (или полностью исключить) вычисления, связанные с обратной подстановкой, выполнив дополнительные операции со строками для преобразования матрицы из эшелонированной формы в сокращенную форму . Матрица находится в форме сокращенного эшелона, когда, помимо того, что она находится в форме эшелона, каждый столбец, содержащий ненулевую запись (обычно равную 1), имеет нули не только под этой записью, но и над этой записью.Грубо говоря, гауссовское исключение работает сверху вниз, чтобы создать матрицу в эшелонированной форме, тогда как Гаусс-Жорданов исключение продолжается с того места, где остановился гауссиан, затем работает снизу вверх для создания матрицы в сокращенной эшелонированной форме. Техника будет проиллюстрирована на следующем примере.

Пример 5 : Известно, что высота, y , брошенного в воздух объекта задается квадратичной функцией от t (время) в форме y = at ² + bt + c .Если объект находится на высоте y = 23/4 в момент времени t = 1/2, при y = 7 в момент времени t = 1 и при y = 2 при t = 2 , определите коэффициенты a, b и c .

Так как t = 1/2 дает y = 23/4

, а два других условия: y ( t = 1) = 7 и y ( t = 2) = 2, дают следующие уравнения для a, b и c :

Следовательно, цель – решить систему

Расширенная матрица для этой системы сокращается следующим образом:

На этом прямая часть исключения Гаусса завершена, поскольку матрица коэффициентов приведена к эшелонированной форме.Однако, чтобы проиллюстрировать исключение Гаусса-Жордана, выполняются следующие дополнительные элементарные операции со строками:

Эта окончательная матрица сразу дает решение: a = −5, b = 10 и c = 2.

Пример 6 : Решите следующую систему с помощью исключения Гаусса:

Расширенная матрица для этой системы –

Кратные значения первой строки добавляются к другим строкам, чтобы получить нули под первой записью в первом столбце:

Затем −1 раз вторая строка добавляется к третьей строке:

В третьей строке теперь указано 0 x + 0 y + 0 z = 1, уравнение, которому не могут удовлетворять никакие значения x, y и z .Процесс останавливается: у этой системы нет решений.

Предыдущий пример показывает, как метод исключения по Гауссу обнаруживает противоречивую систему. Небольшое изменение этой системы (например, изменение постоянного члена «7» в третьем уравнении на «6») проиллюстрирует систему с бесконечным числом решений.

Пример 7 : Решите следующую систему с помощью исключения Гаусса:

Те же операции, которые применяются к расширенной матрице системы в примере 6, применяются к расширенной матрице для данной системы:

Здесь третья строка переводится в 0 x + 0 y + 0 z = 0, уравнение, которому удовлетворяют любые x, y и z .Поскольку здесь нет ограничений на неизвестные, на неизвестные не три условия, а только два (представленные двумя ненулевыми строками в окончательной расширенной матрице). Поскольку есть 3 неизвестных, но только 2 константы, 3–2 = 1 из неизвестных, скажем, z , произвольно; это называется свободной переменной . Пусть z = t , где t – любое действительное число. Обратная подстановка z = t во вторую строку (- y + 5 z = −6) дает

Обратная подстановка z = t и y = 6 + 5 t в первую строку ( x + y – 3 z = 4) определяет x :

Следовательно, каждое решение системы имеет вид

, где t – любое действительное число.Существует бесконечно много решений, поскольку каждое действительное значение т дает отдельное конкретное решение. Например, выбор t = 1 дает ( x, y, z ) = (−4, 11, 1), а t = 3 дает ( x, y, z ) = (4, – 9, −3) и т. Д. Геометрически эта система представляет три плоскости в R ³, которые пересекаются по линии, и (*) является параметрическим уравнением для этой линии.

Пример 7 дает иллюстрацию системы с бесконечным множеством решений, как возникает этот случай и как записывается решение.Каждая линейная система, имеющая бесконечное количество решений, должна содержать хотя бы один произвольный параметр (свободная переменная). После того, как расширенная матрица была приведена к эшелонированной форме, количество свободных переменных равно общему количеству неизвестных минус количество ненулевых строк:

Это согласуется с теоремой B выше, которая утверждает, что линейная система с меньшим количеством уравнений, чем неизвестных, если она согласована, имеет бесконечно много решений. Условие «меньше уравнений, чем неизвестных» означает, что количество строк в матрице коэффициентов меньше количества неизвестных.Следовательно, приведенное выше уравнение в рамке подразумевает, что должна быть хотя бы одна свободная переменная. Поскольку такая переменная по определению может принимать бесконечно много значений, система будет иметь бесконечно много решений.

Пример 8 : Найдите все решения для системы

Во-первых, обратите внимание, что есть четыре неизвестных, но только три уравнения. Следовательно, если система непротиворечива, гарантировано, что у нее будет бесконечно много решений, а это состояние характеризуется по крайней мере одним параметром в общем решении.После того, как соответствующая расширенная матрица построена, исключение Гаусса дает

Тот факт, что в эшелонированной форме расширенной матрицы остаются только две ненулевые строки, означает, что 4-2 = 2 переменных свободны:

Следовательно, выбрав в качестве свободных переменных y и z , пусть y = t ₁ и z = t ₂. Во второй строке сокращенной расширенной матрицы следует

, а первая строка дает

Таким образом, решения системы имеют вид

, где т ₁ т ₂ могут принимать любые реальные значения.

Пример 9 : Пусть b = ( b ₁, b ₂, b ₃) ^T и пусть A будет матрицей

Для каких значений b ₁, b ₂ и b ₃ будет ли система A x = b согласованной?

Расширенная матрица для системы A x = b читает

, который гауссовский элиминатин сокращает следующим образом:

В нижней строке теперь подразумевается, что b ₁ + 3 b ₂ + b ₃ должно быть равно нулю, чтобы эта система была согласованной.Следовательно, в данной системе есть решения (фактически бесконечно много) только для тех векторов-столбцов b = ( b ₁, b ₂, b ₃) ^T, для которых b ₁ + 3 b ₂ + b ₃ = 0,

Пример 10 : Решите следующую систему (сравните с Примером 12):

Такая система, как эта, где постоянный член в правой части каждого уравнения равен 0, называется однородной системой .В матричной форме он читается как A x = 0 . Поскольку каждая однородная система согласована – поскольку x = 0 всегда является решением, – однородная система имеет либо ровно одно решение (простое решение , x = 0 ), либо бесконечно много. Сокращение строки матрицы коэффициентов для этой системы уже было выполнено в примере 12. Нет необходимости явно дополнять матрицу коэффициентов столбцом b = 0 , поскольку никакая элементарная операция со строкой не может повлиять на эти нули.То есть, если A ‘является эшелонированной формой A , то операции элементарной строки преобразуют [ A | 0 ] в [ A ′ | 0 ]. По результатам Примера 12,

Поскольку последняя строка снова подразумевает, что z можно принять как свободную переменную, пусть z = t , где t – любое действительное число. Обратная подстановка z = t во вторую строку (- y + 5 z = 0) дает

и обратная подстановка z = t и y = 5 t в первую строку ( x + y – 3 z = 0) определяет x :

Следовательно, каждое решение этой системы имеет вид ( x, y, z ) = (−2 t , 5 t, t ), где t – любое действительное число.Существует бесконечно много растворяющих веществ, поскольку каждое действительное значение т дает уникальное частное решение.

Обратите внимание на разницу между набором решений для системы в Примере 12 и здесь. Хотя у обеих была одна и та же матрица коэффициентов A, , система в примере 12 была неоднородной ( A x = b , где b ≠ 0 ), а здесь – соответствующая однородная система, A x = 0 .Помещая свои решения рядом,

общее решение для Ax = 0 : ( x, y, z ) = (−2 t , 5 t , t )

общее решение для Ax = b : ( x, y, z ) = (−2 t , 5 t , t ) + (−2, 6, 0)

иллюстрирует важный факт:

Теорема C . Общие решения для согласованной неоднородной лиенарной системы, A x = b , равны общему решению соответствующей однородной системы, A x = 0 , плюс частное решение неоднородная система.То есть, если x = x _h представляет собой общее решение A x = 0 , то x = x _h + x представляет общее решение A x + b , где x – любое конкретное решение (согласованной) неоднородной системы A x = b .

[Техническое примечание: теорема C, которая касается линейной системы , имеет аналог в теории линейных дифференциальных уравнений .Пусть L – линейный дифференциальный оператор; то общее решение разрешимого неоднородного линейного дифференциального уравнения, L (y) = d (где d ≢ 0), равно общему решению соответствующего однородного уравнения, L (y) = 0 плюс частное решение неоднородного уравнения. То есть, если y = y _h повторно отображает общее решение L (y) = 0, то y = y _h + y представляет собой общее решение L (y ) = d , где y – любое частное решение (решаемого) неоднородного линейного уравнения L (y) = d .]

Пример 11 : Определить все решения системы

Запишите расширенную матрицу и выполните следующую последовательность операций:

Поскольку в этой конечной (эшелонированной) матрице остаются только 2 ненулевые строки, есть только 2 ограничения, и, следовательно, 4-2 = 2 из неизвестных, например y и z , являются свободными переменными. Пусть y = t ₁ и z = t ₂.Обратная подстановка y = t ₁ и z = t ₂ во вторую строку ( x – 3 y + 4 z = 1) дает

Наконец, обратная замена x = 1 + 3 t ₁ – 4 ₂, y = t ₁ и z = t ₂ в первую строка (2 w – 2 x + y = −1) определяет w :

Следовательно, каждое решение этой системы имеет вид

, где т ₁ и т ₂ – любые действительные числа.Другой способ написать решение:

, где т ₁, т ₂ ∈ R .

Пример 12 : Определите общее решение

, которая является однородной системой, соответствующей неоднородной в примере 11 выше.

Поскольку решение неоднородной системы в примере 11 равно

Теорема C означает, что решение соответствующей однородной системы (где t ₁, t ₂ ∈ R ) получается из (*), просто отбрасывая конкретное решение, x = (1 / 2,1,0,0) неоднородной системы.

Пример 13 : Докажите теорему A: независимо от ее размера или количества неизвестных, содержащихся в ее уравнениях, линейная система не будет иметь решений, ровно одно решение или бесконечно много решений.

Доказательство . Пусть данная линейная система записана в матричной форме A x = b . Теорема действительно сводится к следующему: если A x = b имеет более одного решения, то на самом деле их бесконечно много.Чтобы установить это, пусть x ₁ и x ₂ будут двумя разными решениями A x = b . Теперь будет показано, что для любого реального значения t вектор x ₁ + t ( x ₁ – x ₂) также является решением A x = b ; Поскольку t может принимать бесконечно много различных значений, из этого следует желаемый вывод.Начиная с A x ₁ = b и A x ₂,

Следовательно, x ₁ + t ( x ₁ – x ₂) действительно является решением A x = b , и теорема доказана.

Матрицы

и исключение Гаусса

Назад Замена

Напомним, что линейная система уравнений состоит из двух или более линейных уравнений с одинаковыми переменными.Линейная система, состоящая из трех уравнений стандартной формы, расположенных так, чтобы переменная x не появлялась ни в одном уравнении после первого, а переменная y не появлялась ни в одном уравнении после второго, называется верхнетреугольной формой. линейная система, состоящая из уравнений с тремя переменными в стандартной форме, расположенная так, что переменная x не появляется после первого уравнения, а переменная y не появляется после второго уравнения.. Например,

Обратите внимание, что система образует треугольник, в котором каждое последующее уравнение содержит на одну переменную меньше. В целом

Линейные системы в верхней треугольной форме {a1x + b1y = c1b2y = c2 {a1x + b1y + c1z = d1b2y + c2z = d2c3z = d3

Если линейная система находится в этой форме, мы можем легко найти одну из переменных, а затем произвести обратную замену, чтобы найти оставшиеся переменные.

Пример 1

Решить: {3x − y = 72y = −2.

Решение:

Напомним, что решения линейных систем с двумя переменными, если они существуют, представляют собой упорядоченные пары ( x , y ). Мы можем легко определить значение y , используя второе уравнение.

2у = −2у = −1

Затем используйте первое уравнение 3x − y = 7 и тот факт, что y = −1, чтобы найти x .

3x − y = 73x – (- 1) = 73x + 1 = 73x = 6x = 2

Ответ: (2, −1)

Пример 2

Решите: {x − 6y + 2z = 163y − 9z = 5z = −1.

Решение:

Напомним, что решения линейных систем с тремя переменными, если они существуют, являются упорядоченными тройками ( x , y , z ). Воспользуйтесь вторым уравнением 3y − 9z = 5 и тем фактом, что z = −1, чтобы найти y .

3y − 9z = 53y − 9 (−1) = 53y + 9 = 53y = −4y = −43

Затем подставьте y и z в первое уравнение.

x − 6y + 2z = 16x − 6 (−43) +2 (−1) = 16x + 8−2 = 16x + 6 = 16x = 10

Ответ: (10, −43, −1)

Попробуй! Решить: {4x − y + 3z = 12y − 9z = −23z = 2.

Ответ: (14, 2, 23)

Матрицы и исключение Гаусса

Цель этого раздела – разработать метод, упрощающий процесс решения линейных систем. Мы начинаем с определения матрицы – прямоугольного массива чисел, состоящего из строк и столбцов., Который представляет собой прямоугольный массив чисел, состоящий из строк и столбцов. Для данной линейной системы в стандартной форме мы создаем матрицу коэффициентов Матрицу коэффициентов линейной системы в стандартной форме, записанную так, как они выглядят выстроенной, без переменных или операций.записывая коэффициенты в том виде, в каком они кажутся выстроенными, без переменных или операций, как показано ниже.

Матрица коэффициентов линейной системы {a1x + b1y + c1z = d1a2x + b2y + c2z = d2a3x + b3y + c3z = d3 ⇒ [a1b1c1a2b2c2a3b3c3]

Строки представляют коэффициенты в уравнениях, а столбцы представляют коэффициенты каждой переменной. Кроме того, если мы включим столбец, представляющий константы, мы получим так называемую расширенную матрицу – матрицу коэффициентов с включенным столбцом констант.. Для линейной системы с двумя переменными

Расширенная матрица линейной системы {a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2 ⇔ [a1b1 | c1a2b2 | c2]

А для линейной системы с тремя переменными имеем

Расширенная матрица линейной системы {a1x + b1y + c1z = d1a2x + b2y + c2z = d2a3x + b3y + c3z = d3 ⇔ [a1b1c1 | d1a2b2c2 | d2a3b3c3 | d3]

Примечание : Пунктирная вертикальная линия обеспечивает визуальное разделение между матрицей коэффициентов и столбцом констант.В других ресурсах по алгебре, с которыми вы можете столкнуться, это иногда опускается.

Пример 3

Постройте расширенную матрицу, которая соответствует: {9x − 6y = 0 − x + 2y = 1.

Решение:

Эта система состоит из двух линейных уравнений стандартной формы; следовательно, коэффициенты в матрице отображаются так же, как и в системе.

{9x − 6y = 0 − x + 2y = 1 ⇔ [9−6 | 0−12 | 1]

Пример 4

Постройте расширенную матрицу, которая соответствует: {x + 2y − 4z = 52x + y − 6z = 84x − y − 12z = 13.

Решение:

Поскольку уравнения представлены в стандартной форме, коэффициенты появляются в матрице так же, как и в системе.

{x + 2y − 4z = 52x + y − 6z = 84x − y − 12z = 13 ⇔ [12−4 | 521−6 | 84−1−12 | 13]

Матрица имеет верхнюю треугольную форму, если все элементы ниже ведущего ненулевого элемента в каждой последующей строке равны нулю. Например,

Обратите внимание, что элементы ниже главной диагонали равны нулю, а коэффициенты выше образуют треугольную форму.В целом

Верхняя треугольная форма [a1b10b2] [a1b1c10b2c200c3]

Это важно, потому что в этом разделе мы очерчиваем процесс, с помощью которого можно выполнить определенные операции для создания эквивалентной линейной системы в верхней треугольной форме, чтобы ее можно было решить с помощью обратной подстановки. Обзор процесса представлен ниже:

Когда система принимает форму верхнего треугольника, мы можем использовать обратную замену, чтобы легко ее решить.Важно отметить, что представленные здесь расширенные матрицы представляют собой линейные системы уравнений в стандартной форме.

Следующие элементарные операции со строками Операции, которые могут быть выполнены для получения эквивалентных линейных систем. приводят к расширенным матрицам, которые представляют эквивалентные линейные системы:

Любые две строки можно поменять местами.
Каждый элемент в строке можно умножить на ненулевую константу.
Любая строка может быть заменена суммой этой строки и кратной другой.

Примечание: Эти операции согласуются со свойствами, используемыми в методе исключения.

Чтобы эффективно решить систему линейных уравнений, сначала постройте расширенную матрицу. Затем примените соответствующие элементарные операции со строками, чтобы получить расширенную матрицу в форме верхнего треугольника. В этой форме эквивалентная линейная система может быть легко решена с помощью обратной подстановки. Этот процесс называется гауссовским устранением. Шаги, используемые для получения эквивалентной линейной системы в верхней треугольной форме, чтобы ее можно было решить с помощью обратной подстановки., названный в честь Карла Фридриха Гаусса (1777–1855).

Рисунок 3.1

Карл Фридрих Гаусс (Википедия)

Шаги для решения линейного уравнения с двумя переменными с использованием исключения Гаусса перечислены в следующем примере.

Пример 5

Решить, используя матрицы и метод исключения Гаусса: {9x − 6y = 0 − x + 2y = 1.

Решение:

Перед началом этого процесса убедитесь, что уравнения в системе имеют стандартную форму.

Шаг 1 : Постройте соответствующую расширенную матрицу.

{9x − 6y = 0 − x + 2y = 1 ⇔ [9−6 | 0−12 | 1]

Шаг 2 : Примените операции элементарной строки, чтобы получить верхнюю треугольную форму. В этом случае нам нужно только удалить первый элемент второй строки, −1. Для этого умножьте вторую строку на 9 и прибавьте ее к первой строке.

Теперь используйте это, чтобы заменить вторую строку.

[9−6 | 0012 | 9]

В результате получается расширенная матрица в форме верхнего треугольника.

Шаг 3 : Преобразуйте обратно к линейной системе и решите, используя обратную подстановку. В этом примере у нас

[9−6 | 0012 | 9] ⇒ {9x − 6y = 012y = 9

Решите второе уравнение относительно y ,

12y = 9y = 912y = 34

Подставьте это значение вместо y в первое уравнение, чтобы найти x ,

9x − 6y = 09x − 6 (34) = 09x − 92 = 09x = 92x = 12

Ответ: (12, 34)

В следующем примере перечислены шаги по использованию исключения Гаусса для решения линейного уравнения с тремя переменными.

Пример 6

Решить, используя матрицы и метод исключения Гаусса: {x + 2y − 4z = 52x + y − 6z = 84x − y − 12z = 13.

Решение:

Перед началом этого процесса убедитесь, что уравнения в системе имеют стандартную форму.

Шаг 1 : Постройте соответствующую расширенную матрицу.

{x + 2y − 4z = 52x + y − 6z = 84x − y − 12z = 13 ⇒ [12−4 | 521−6 | 84−1−12 | 13]

Шаг 2 : Примените операции элементарной строки, чтобы получить верхнюю треугольную форму.Начнем с исключения первого элемента второй строки, в данном случае 2. Для этого умножьте первую строку на −2, а затем добавьте ее во вторую строку.

[12−4 | 521−6 | 84−1−12 | 13] ⇒ × (−2) −2−48−10 + 21−680−32−2

Используйте это, чтобы заменить вторую строку.

[12−4 | 50−32 | −24−1−12 | 13]

Затем удалите первый элемент третьей строки, в данном случае 4, умножив первую строку на −4 и прибавив ее к третьей строке.

[12−4 | 50−32 | −24−1−12 | 13] ⇒ × (−4) −4−816−20 + 4−1−12130−94−7

Используйте это, чтобы заменить третью строку.

[12−4 | 50−32 | −20−94 | −7]

Это приводит к расширенной матрице, в которой элементы под первым элементом первой строки равны нулю. Затем удалите второй элемент в третьей строке, в данном случае –9. Умножьте вторую строку на −3 и прибавьте ее к третьей строке.

Используйте это, чтобы заменить третью строку, и мы видим, что мы получили матрицу в форме верхнего треугольника.

[12−4 | 50−32 | −200−2 | −1]

[12−4 | 50−32 | −200−2 | −1] ⇒ {x + 2y − 4z = 5−3y + 2z = −2−2z = −1

Ответ: Читателю остается убедиться, что решение (5,1,12).

Примечание: Обычно работа по замене строки путем умножения и сложения выполняется сбоку с использованием бумаги для заметок.

Пример 7

Решить, используя матрицы и метод исключения Гаусса: {2x − 9y + 3z = −18x − 2y − 3z = −8−4x + 23y + 12z = 47.

Решение:

Начнем с преобразования системы в расширенную матрицу коэффициентов.

{2x − 9y + 3z = −18x − 2y − 3z = −8−4x + 23y + 12z = 47 ⇒ [2−93 | −181−2−3 | −8−42312 | 47]

Элементарные операции со строками упрощаются, если ведущий ненулевой элемент в строке равен 1.По этой причине начните с того, что поменяйте местами первый и второй ряды.

Заменить строку два суммой −2, умноженной на первую и вторую строку.

Заменить третью строку суммой четырех строк первой и третьей.

Далее разделите 3-ю строку на 15.

Поменяйте местами третий ряд со вторым.

Затем замените строку 3 суммой, умноженной на 5 строк второй и третьей.

В результате получается матрица в форме верхнего треугольника. Матрица находится в виде эшелона строк Матрица в треугольной форме, где ведущий ненулевой элемент каждой строки равен 1., если она находится в верхней треугольной форме, где ведущий ненулевой элемент каждой строки равен 1. Мы можем получить эту форму, заменив третью строку на результат деления на 9.

Преобразуйте в систему линейных уравнений и решите обратной подстановкой.

[1−2−3 | −8010 | 1001 | 13] ⇒ {x − 2y − 3z = −8y = 1z = 13

Здесь y = 1 и z = 13. Подставляем в первое уравнение, чтобы найти x .

x − 2y − 3y = −8x − 2 (1) −3 (13) = – 8x − 2−1 = −8x − 3 = −8x = −5

Ответ: Следовательно, решение (−5, 1, 13).

Технологическое примечание : Многие современные калькуляторы и системы компьютерной алгебры могут выполнять метод исключения Гаусса. Сначала вам нужно узнать, как войти в матрицу.Затем используйте функции калькулятора, чтобы найти форму эшелона строки. Предлагаем вам провести исследование по этой теме для вашей конкретной модели калькулятора.

Попробуй! Решить, используя исключение Гаусса: {x − 3y + 2z = 164x − 11y − z = 692x − 5y − 4z = 36.

Ответ: (6, −4, −1)

Напомним, что некоторые непротиворечивые линейные системы зависимы, то есть у них бесконечно много решений.А некоторые линейные системы не имеют одновременного решения; это несовместимые системы.

Пример 8

Решить, используя матрицы и метод исключения Гаусса: {x − 2y + z = 42x − 3y + 4z = 74x − 7y + 6z = 15.

Решение:

Начнем с преобразования системы в расширенную матрицу коэффициентов.

{x − 2y + z = 42x − 3y + 4z = 74x − 7y + 6z = 15 ⇒ [1−21 | 42−34 | 74−76 | 15]

Заменить вторую строку на −2 (строка 1) + (строка 2) и заменить строку три на −4 (строка 1) + (строка 3).

[1−21 | 4012 | −1012 | −1]

Заменить третью строку на −1 (строка 2) + (строка 3).

[1-21 | 4012 | -1000 | 0]

Последняя строка указывает, что это зависимая система, потому что преобразование расширенной матрицы обратно в уравнения, которые у нас есть,

{x − 2y + z = 4y + 2z = −10x + 0y + 0z = 0

Обратите внимание, что ряд нулей соответствует следующему тождеству,

0x + 0y + 0z = 00 = 0 ✓

В этом случае мы можем выразить бесконечное множество решений через z .Из второго ряда имеем:

y + 2z = −1y = −2z − 1

И из первого уравнения,

x − 2y + z = 4x − 2 (−2z − 1) + z = 4x + 5z + 2 = 4x = −5z + 2

Решения имеют вид (x, y, z) = (- 5z + 2, −2z − 1, z), где z – любое действительное число.

Ответ: (−5z + 2, −2z − 1, z)

Зависимые и несовместимые системы могут быть идентифицированы в расширенной матрице коэффициентов, когда все коэффициенты в одной строке равны нулю.

Если строка нулей имеет соответствующую константу, равную нулю, тогда матрица представляет зависимую систему. Если константа отлична от нуля, матрица представляет собой несовместимую систему.

Попробуй! Решить, используя матрицы и метод исключения Гаусса: {5x − 2y + z = −310x − y + 3z = 0−15x + 9y − 2z = 17.

Ответ: Ø

Ключевые выводы

Линейная система в верхней треугольной форме может быть легко решена с помощью обратной подстановки.
Расширенная матрица коэффициентов и метод исключения Гаусса могут использоваться для упрощения процесса решения линейных систем.
Чтобы решить систему с использованием матриц и исключения Гаусса, сначала используйте коэффициенты для создания расширенной матрицы. Примените операции с элементарными строками как средство для получения матрицы в форме верхнего треугольника. Преобразуйте матрицу обратно в эквивалентную линейную систему и решите ее, используя обратную подстановку.

Тематические упражнения

Часть A: Обратная замена

Решите, используя обратную замену.

{5x − 3y = 2y = −1
{3x + 2y = 1y = 3
{x − 4y = 12y = −3
{x − 5y = 310y = −6
{4x − 3y = −167y = 0
{3x − 5y = −104y = 8
{2x + 3y = −13y = 2
{6x − y = −34y = 3
{х-у = 02у = 0
{2x + y = 23y = 0
{x + 3y − 4z = 1y − 3z = −2z = 3
{x − 5y + 4z = −1y − 7z = 10z = −2
{x − 6y + 8z = 23y − 4z = −42z = −1
{2x − y + 3z = −92y + 6z = −23z = 2
{10x − 3y + z = 1311y − 3z = 92z = −6
{3x − 2y + 5z = −244y + 5z = 34z = −12
{x − y + 2z = 12y + z = 13z = −1
{x + 2y − z = 2y − 3z = 16z = 1
{x − 9y + 5z = −32y = 103z = 27
{4x – z = 33y − 2z = −12z = −8

Часть B: Матрицы и исключение Гаусса

Построить соответствующую расширенную матрицу (не решать).

{х + 2у = 34х + 5у = 6
{6x + 5y = 43x + 2y = 1
{x − 2y = 12x − y = 1
{х-у = 2-х + у = -1
{−x + 8y = 32y = 2
{3x − 2y = 4 − y = 5
{3x − 2y + 7z = 84x − 5y − 10z = 6 − x − 3y + 2z = −1
{x − y − z = 02x − y + 3z = −1 − x + 4y − 3z = −2
{x − 9y + 5z = −32y = 103z = 27
{4x − z = 33y − 2z = −12z = −8
{8x + 2y = −13−2y + z = 112x − 5z = −18
{x − 3z = 2y + 6z = 42x + 3y = 12

Решите, используя матрицы и метод исключения Гаусса.

{x − 5y = 22x − y = 1
{x − 2y = −1x + y = 1
{10x − 7y = 15−2x + 3y = −3
{9x − 10y = 23x + 5y = −1
{3x + 5y = 82x − 3y = 18
{5x − 3y = −147x + 2y = −1
{9x + 15y = 53x + 5y = 7
{6x − 8y = 1−3x + 4y = −1
{х + у = 0х-у = 0
{7x − 3y = 03x − 7y = 0
{2x − 3y = 4−10x + 15y = −20
{6x − 10y = 20−3x + 5y = −10
{x + y − 2z = −1 − x + 2y − z = 1x − y + z = 2
{x − y + z = −2x + 2y − z = 6 − x + y − 2z = 3
{2x − y + z = 2x − y + z = 2−2x + 2y − z = −1
{3x − y + 2z = 7 − x + 2y + z = 6x + 3y − 2z = 1
{x − 3y + z = 6 − x − y + 2z = 42x + y + z = 3
{4x − y + 2z = 12x − 3y + 2z = 7−2x + 3y + 4z = −16
{2x − 4y + 6z = −43x − 2y + 5z = −25x − y + 2z = 1
{3x + 6y + 9z = 62x − 2y + 3z = 0−3x + 18y − 12z = 5
{−x + y − z = −23x − 2y + 5z = 13x − 5y − z = 3
{x + 2y + 3z = 43x + 8y + 13z = 212x + 5y + 8z = 16
{2x − 4y − 5z = 3 − x + y + z = 13x − 4y − 5z = −4
{5x − 3y − 2z = 43x − 6y + 4z = −6 − x + 2y − z = 2
{−2x − 3y + 12z = 44x − 5y − 10z = −1 − x − 3y + 2z = 0
{3x − 2y + 5z = 104x + 3y − 3z = −6x + y + z = 2
{x + 2y + z = −3x + 6y + 3z = 7x + 4y + 2z = 2
{2x − y + z = 14x − y + 3z = 52x + y + 3z = 7
{2x + 3y − 4z = 03x − 5y + 3z = −105x − 2y + 5z = −4
{3x − 2y + 9z = 2−2x − 5y − 4z = 35x − 3y + 3z = 15
{8x + 2y = −13−2y + z = 112x − 5z = −18
{x − 3z = 2y + 6z = 42x + 3y = 12
{9x + 3y − 11z = 62x + y − 3z = 17x + 2y − 8z = 3
{3x − y − z = 4−5x + y + 2z = −36x − 2y − 2z = 8
{2x − 4y + 3z = 153x − 5y + 2z = 185x + 2y − 6z = 0
{3x − 4y − 3z = −144x + 2y + 5z = 12−5x + 8y − 4z = −3

Часть C: Обсуждение

Изучите и обсудите историю метода исключения Гаусса.Кто первым разработал этот процесс? Опубликуйте что-нибудь, что вам показалось интересным в связи с этой историей.
Изучите и обсудите историю современной матричной записи. Кому засчитывается разработка? В каких сферах они используются сегодня? Разместите свои выводы на доске обсуждений.

ответы

(-15, -1)
(-5, -32)
(-32,23)
(−6, −2, −12)
(85,0, −3)
(73,23, −13)

[12 | 345 | 6]
[1-2 | 12-1 | 1]
[−18 | 302 | 2]
[3−27 | 84−5−10 | 6−1−32 | −1]
[1−95 | −3020 | 10003 | 27]
[820 | −130−21 | 1120−5 | −18]
(13, −13)
(32,0)
(х, 23x − 43)
(12,12, −12)
(1,0,12)
(−8, −12z + 52, z)
(-32, -12, 0)

ИСКЛЮЧЕНИЕ ПО ГАУССУ: РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ: ПРИМЕРЫ И РЕШАЕМЫЕ ЗАДАЧИ: СТАРШАЯ ШКОЛА

Содержимое этой страницы:

Введение

Система уравнений (линейная) – это группа (линейных) уравнений с различные неизвестные факторы.Вообще говоря, неизвестные факторы появляются в различных уравнениях.

Уравнение с различными неизвестными факторами связывает их друг с другом.

Решение системы состоит в нахождении значения неизвестных факторов способом, который проверяет все уравнений, составляющих систему.

Если существует одно решение (одно значение для каждого неизвестного фактора), мы будем говорить, что система Consistent Independent System (CIS) .
Если существуют различные решения (система имеет бесконечно много решений), мы говорим, что система является Согласованная зависимая система (CDS). .
Если решения нет, а это произойдет, если есть два или несколько уравнений, которые нельзя проверить одновременно, мы говорим, что это несогласованная система (IS) .Например, следующая система уравнений
$$ \ begin {case} \ begin {array} {lcl} y & = & 0 \\ 2x + y & = & 0 \\ 2x + y & = & 2 \ end {array} \ end {cases} $
долл. США
несовместимо, потому что мы получаем решение x = 0 из второго уравнения и, из третьего, x = 1 .

В этом разделе мы собираемся решать системы с использованием метода исключения Гаусса , который заключается в простом выполнении элементарных операций в строке или столбце расширенной матрицы, чтобы получить свой эшелон из или его пониженный эшелон форма (Гаусс-Джордан).

Метод разрешения

Применяем метод исключения Гаусса-Джордана : получаем сокращенного эшелона строки формы из расширенной матрицы систему уравнений, выполняя элементарные операции в строках (или столбцах).
Получив матрицу, мы применяем теорему Руше-Капелли для определения тип системы и получить решение (я), а именно:
Пусть A · X = B будет системой m линейных уравнений с n неизвестными факторы, m и n натуральные числа (не ноль):
- AX = B соответствует тогда и только тогда, когда,
  $$ ранг (A) = ранг (A | B) $$
- AX = B – это непротиворечивый независимый тогда и только тогда, когда,
  $$ ранг (A) = n = ранг (A | B) $$

Примечание: Элементарные операции в строках или столбцах позволяют получить системы, эквивалентные исходной, но с формой, упрощающей получение решений (если они есть).Также есть более быстрые инструменты для выработки решений в СНГ, такие как правило Крамера.

Система 1

Показать решение

Расширенная матрица системы

того же размера, что и система (2×3). Вертикальная линия, отделяющая матричные коэффициенты от вектора независимых членов.

Выполняем элементарные операции в строках для получения приведенной формы эшелона строк:

Умножаем первую строку на 1/5 а вторую на 1/3

Добавляем вторую строку с первой

Вторую строку умножаем на 5/7

Складываем первую строку со второй, умноженной на -2/5

Эта последняя эквивалентная матрица представлена в сокращенной форме эшелона строк. и это позволяет нам быстро увидеть рейтинг матрица коэффициентов и расширенная.

Считаем ранги:

По теореме Руше-Капелли система непротиворечива Независима. Полученная матрица представляет собой систему

, который является решением исходной системы.

Система 2

Показать решение

Расширенная матрица системы

Проводим элементарные операции в строках для получения приведенных строчная форма эшелона:

Вторую строку умножаем на 1/2

Добавляем первую строку со второй

Умножаем первую строку на 1/3

Эта последняя эквивалентная матрица находится в форме сокращенного эшелона строк и имеет нулевую строку, что означает, что строки в исходной системе линейно зависимы. (любой из них может быть получен путем умножения другого на скаляр, не равный нулю).

Рассчитываем ранги

По теореме Руше-Капелли система непротиворечива. Кроме того, он является зависимым, поскольку ранг (1) ниже количества неизвестных факторов (2).

Полученная матрица представляет систему

Решения

Система 3

Показать решение

Расширенная матрица системы

Выполняем элементарные операции в строках, чтобы получить сокращенную форму строкового эшелона

Мы меняем порядок строк (так у нас уже будет 1 в первой строке без необходимости умножать)

Складываем вторую строку с первой, умноженной на 5 :

Вторую строку умножаем на -1/15

Эта последняя матрица имеет эшелонированную форму (не сокращена).

Мы можем непосредственно заметить, что система несовместима, потому что у нас следующее равенство (вторая строка):

$$ 0x + 0y = 1 $$

, что невозможно равенство.

Рассчитываем ранги матрицы коэффициентов и дополненной:

По теореме Руше-Капелли система несовместна (решения нет). Полученная матрица представляет собой систему

Система непоследовательна, потому что мы имеем невозможное равенство

$$ 0 = 1 $$

Система 4

Показать решение

Расширенная матрица системы

(размер 3х4).

Выполняем элементарные операции в строках, чтобы получить сокращенную форму строкового эшелона

Умножаем первую строку на 1/5

Складываем вторую и третью строки, умножив первую на -2

Вторую и третью строки умножаем на 5

Складываем вторую строку с третьей, умноженной на -1

Умножаем вторую строку на -1/10 и третью на 1/11

Складываем первую строку со второй, умноженной на -2/5 , а третью со второй, умноженной на -1

Третью строку умножаем на -11/5

Эта последняя эквивалентная матрица находится в сокращенной форме эшелона строк (мы знаем ее, потому что это единичная матрица).Имея единичную матрицу, мы знаем, что это непротиворечивая независимая система, и можем получить единственное решение.

Рассчитываем ранги

По теореме Руше-Капелли система непротиворечива Независима. Полученная матрица представляет собой систему

, который является решением системы.

Система 5

Показать решение

Расширенная матрица системы

Выполняем элементарные операции в строках, чтобы получить сокращенную форму строкового эшелона

Мы вычитаем первую строку из второй и добавляем третью строку с первой.

Умножаем первую строку на 1/2 , а вторую на 1/3

Мы складываем первую строку со второй, умноженной на 1/2 , и третью строку со второй, умноженной на -2

Третью строку умножаем на 1/3

Складываем первую строку с третьей, умноженной на -3/2

Эта последняя матрица является эшелонированной матрицей с сокращенной строкой (мы знаем это, потому что у нас есть единичная матрица).

Рассчитываем ранги

По теореме Руше-Капелли система непротиворечива Независима. Полученная матрица представляет собой систему

Система 6

Показать решение

Расширенная матрица системы

Выполняем элементарные операции в строках, чтобы получить сокращенную форму строкового эшелона

Умножаем вторую строку на -1/3 и третью на 1/4

Складываем вторую и третью строки, умножив первую на -1

Умножаем вторую строку на -3/4 и третью на -1

Третью строку складываем со второй, умноженной на -1

Эта последняя матрица имеет эшелонированную форму (но не сокращена) и мы не продолжаем выполнять операции по строкам, потому что можем видим, что последняя строка делает систему непоследовательной.Эта строка сообщает нам:

$$ 0x + 0y + 0z = -1 $$

И все это невозможное равенство.

Фактически у нас есть ранги

По теореме Руше-Капелли система несовместна.

Система 7

Показать решение

Расширенная матрица системы

Выполняем элементарные операции в строках, чтобы получить сокращенную форму строкового эшелона

Умножаем первую и вторую строки на 1/3 и 1/6 соответственно

Вторую строку вычитаем из третьей

Добавляем первую строку со второй

Третью строку умножаем на 3

Эта последняя матрица находится в сокращенном эшелоне строк формы , поэтому мы можем легко вычислить ранги:

Рассчитываем ранги

По теореме Руше-Капелли система непротиворечива.Но он не является независимым, потому что количество неизвестных факторов (3) отличается от ранга. Полученная матрица представляет собой систему

Решения

Система 8

Показать решение

Расширенная матрица системы

Примечание: перед тем, как мы начнем, мы должны прокомментировать, что процедура будет таким же, как и до сих пор.Но у нас есть корни в матрице, а это значит, что операции в строках будут длинными и утомительно. Эта задача не очень интересна в дидактическом смысле, помимо расчетов.

Проводим элементарные операции в строках, чтобы получить пониженный рядный эшелон формы

Мы складываем вторую строку с первой, умноженной на -√5 и, с третья, умноженная на -2/5

Умножаем вторую строку на 1 / √5 и третью на 5/17

К первой прибавляем третью и ко второй вычитаем третью

Переписываем матрицу

Вторую строку умножаем на (√5 / 5-5) ^-1

Складываем первую строку со второй, умноженной на -5

В этой последней матрице она (почти) в строке уменьшена форма эшелона (надо поменять второй и третий ряды так что это правда).Из последней матрицы получаем решения:

Система 9

Показать решение

Расширенная матрица системы

Выполняем элементарные операции в строках, чтобы получить сокращенную форму строкового эшелона

Складываем третью и четвертую строки, умножая первую на 3 и на -2 соответственно

Складываем первую, вторую и третью строки с четвертой, умноженной на 2 , -3 и 5 соответственно

Четвертую строку умножаем на -1 и меняем на вторую

Умножаем третью и четвертую строки на 1/34 и -1/22 соответственно

Вычитаем третью строку из четвертой

Умножаем четвертую на -187/42

К первой строке прибавляем третью, умноженную на -13 , а вторую – на 8

К первой строке прибавляем четвертую, умноженную на 5/34 , ко второй прибавляем первую, умноженную на 5/17 и к третьему добавляем первое, умноженное на -3/34

По теореме Руше-Капелли система является непротиворечивой Независимой и решением является

Система 10

Показать решение

Расширенная матрица системы

Примечание: Эта система была включена в цель отметить, что теория матрицы применима к комплексным числам.Единственное отличие от предыдущих систем в том, что теперь нам нужно действовать путем умножения и деления комплексные числа.

Выполняем элементарные операции в строках для получения приведенной формы эшелона строк

Умножаем вторую строку на 1/2 и меняем ее на первую

Добавляем вторую строку с первой, умноженной на – (1 + i)

Вторую строку умножаем на

Добавляем первую строку ко второй, умножаем на -i / 2

Эта последняя матрица имеет сокращенную форму, потому что это единичная матрица.

По теореме Руше-Капелли система является непротиворечивой Независимой и решением является

Matesfacil.com от J. Llopis под лицензией творческий Международная лицензия Commons Attribution-NonCommercial 4.0.

Игра исключения Гаусса: Введение в линейную алгебру | Бретт Берри | Math Hacks

Точно так же, как начало карточной игры с перетасовки и раздачи, начало нашей игры на исключение Гаусса начинается с преобразования наших уравнений в матрицу.

Вот система, которую мы собираемся решить:

Первое, что вам нужно понять, это то, что в нашей системе много скрытой информации. Красным цветом я добавлю нули и единицы в местозаполнители.

Далее мы отделим всю важную числовую информацию от посторонних символов. Теперь, выделенный красным, вы найдете всю важную информацию, с которой мы будем работать:

Нам нужно переписать числовые значения выше в виде матрицы.Мы отбросим буквы, знаки равенства и символы сложения (но не символы минус!) И просто напишем числа в точном порядке и в строках, которые они появляются выше.

После этого мы добавим символы больших скобок, чтобы сгруппировать их вместе. Это наша матрица:

Как и в любой игре, есть несколько правил, которым мы должны следовать:

Любые две строки можно поменять местами
Любую строку можно умножить или разделить на значение
Вы можете складывать или вычитать любые две строки вместе

* Примечание: вы можете комбинировать эти правила за один ход.

Не волнуйтесь, если они еще не совсем понятны. Вы увидите, как они работают, когда мы рассмотрим наш пример.

Вы выигрываете, когда ваша матрица выглядит так:

Где символы # представляют любые числа, а остальная часть матрицы имеет нули в каждой позиции, кроме диагональных. Это называется формой сокращенного эшелона.

Начните с матрицы, созданной на этапе настройки. Теперь мы собираемся использовать правила, чтобы довести эту матрицу до финишной черты!

Начальная матрица

Движение 1: Поменять местами первую строку и строку 2

Есть много разных способов привести эту матрицу в выигрышную форму, но я думаю, что самый простой способ начать – это поменять местами первую и вторую строки.Таким образом мы получаем 1 в первой позиции первой строки и 0 в первой позиции второй строки.

Движение 2: сложить -2 раза из второй строки в третью

Нам разрешено использовать несколько правил вместе за один шаг. В этом шаге мы возьмем 2 раза в строке два и добавим эти продукты в строку три. Это оставит строку два без изменений, но поможет нам получить ноль во второй позиции третьей строки.

Перемещение 3: разделить третью строку на -3

Затем мы просто разделим третью строку на -3, чтобы получить 1 в третьей позиции третьей строки.

Движение 4: прибавить -2 раза из третьего ряда к второму

Теперь, когда у нас есть все нули в нижнем левом углу, окруженные диагональю 1, мы готовы начать работу над получением нулей в позициях над 1-е.

👉 Но прежде чем мы это сделаем, я хочу сделать небольшое примечание: наша матрица в настоящее время находится в форме эшелона строк. В этой форме вы можете преобразовать вашу матрицу обратно в набор уравнений, если хотите, и легко сможете решить для x, y и z.Сегодня мы работаем над приведением нашего уравнения к уменьшенной форме эшелона строк, что означает, что мы хотим получить нули в позициях над единицами. Часто в линейной алгебре вас просят полностью перейти к сокращенной форме эшелона строк, поскольку это самая легкая форма для чтения ответа.

Хорошо, вернемся к нашей математике. На следующем ходу мы возьмем третью строку в 2 раза и добавим ее ко второй строке, чтобы получить 0 в третьей позиции строки 2.

Перемещение 5: добавить третью строку в первую

Далее , мы просто добавим третью строку к первой, поскольку -1 + 1 = 0, что поможет нам получить 0 в третьей позиции первой строки.

Перемещение 6: прибавить -2 раза строку два к строке один

Наконец, мы добавим строку два раза два к первой строке, чтобы получить ноль во второй позиции первой строки.

Все, что нам осталось сделать, это прочитать ответ! Для этого просто переведите матрицу обратно в систему уравнений, и вы увидите, что нашли решения для x, y и z.

Отбросив все нулевые члены, вы получите:

Это означает, что точка пересечения в трехмерном пространстве, где пересекаются три плоскости, находится в (-1,2, -3).

Помните, что вы всегда можете проверить свое решение, подставив значения обратно в исходные уравнения.

Ничего страшного, вы также можете решать системы 3×3 с хорошей олеалгеброй 😉

Спасибо, что присоединились ко мне!

– Бретт

За обновлениями и математическим вдохновением следите за Бреттом в социальных сетях:

Instagram | Facebook | Twitter

7.3 – Метод исключения

Щелкните здесь, чтобы получить инструкции по использованию Algebra Coach провести метод исключения.

В этом разделе мы объясняем метод исключения. Этот метод использует тот факт, что решение уравнения не меняется, если мы

умножьте обе части уравнения на один и тот же множитель.
вычтите равные величины из обеих частей уравнения.

Это означает, что мы можем взять одно уравнение и вычесть несколько из другого. уравнение из него без изменения решения уравнений.

Метод исключения использует этот факт для решения системы линейных уравнений. Предположим, мы начнем с системы из n уравнений с n неизвестными. Выберите первое уравнение и вычтите из другого подходящие числа, кратные ему. n – 1 уравнение. В каждом случае выбирается кратное так что вычитание отменяет или исключает ту же переменную , скажем x .В результате уравнения n -1 содержат только n – 1 неизвестное ( x больше не отображается).

Мы повторяем этот процесс исключения, пока не получим 1 уравнение из 1 неизвестных, которое затем легко решается.

Последний шаг – обратная замена уже полученного решения на 1 неизвестно в предыдущие уравнения, чтобы найти значения всех остальных неизвестных.

Пример: Решите эту систему уравнений путем исключения:

Решение: Давайте дважды возьмем первое уравнение, а именно:

2 x + 2 y = 8

и вычтите его из второго уравнения, например:

В результате получается одно уравнение из одной неизвестной: y .Другой неизвестный, x , был устранено. Решение этого уравнения дает y = 0,4.

Осталось найти х . Если мы обратно подставим y = 0,4 в любое из исходных уравнений получаем х = 3,6. Таким образом, решение:

{ x = 3,6, y = 0,4}.

(Обратите внимание, что вместо этого мы могли бы найти x без обратной подстановки, если бы мы вычитали 3 раза первое уравнение из второго, так как это исключает y .)

Расширенная матрица

Мы объяснили суть исключения. Для более крупных систем нам понадобится систематическая процедура во избежание путаницы. Две такие процедуры – это исключение Гаусса и исключение Гаусса-Жордана.

Прежде, чем мы их опишем, приведем краткое описание. Система уравнений, такая как:

будет представлен прямоугольным массивом чисел, называемым Расширенная матрица :

Определения:

Отдельные числа в матрице называются элементами .
Столбцы спускаются вниз по матрице. например столбец 4 ^-й содержит элементы 80, 7 и 22.
Ряды переходят поперек. Строка 3 ^ряд содержит 3, −1, 2 и 22. Обратите внимание, что количество столбцов в расширенной матрице всегда на 1 больше. чем количество строк.
Диагональ – это набор элементов, который начинается сверху, слева. угол матрицы и проходит по диагонали вниз и вправо.Диагональ указанной выше матрицы состоит из чисел 4, 1 и 2.
Любые числа в позиции D считаются по диагонали , любые в позиции и на выше диагонали , а любые в позиции b на ниже диагонали .

Помните следующее:

Строка i расширенной матрицы представляет собой i -ое уравнение.
Столбец j (слева от вертикальной линии) содержит коэффициенты переменной j или неизвестно.
Вертикальная линия представляет знаки равенства.
Столбец справа от вертикальной линии представляет правую часть уравнений.

Элементарные операции со строками

Мы видели, что решение системы уравнений не изменится, если мы:

разделите обе части уравнения на константу, или
вычесть кратное одного уравнения из другого уравнения.

Эти же операции можно применить к строкам расширенной матрицы, поскольку каждая строка представляет собой просто уравнение. Затем они называются Операции элементарной строки .

Операции элементарной строки (E.R.O.):

E.R.O. # 1: Выберите строку расширенной матрицы и разделите (каждый элемент) строки константой.
E.R.O. # 2: Выберите любую строку расширенной матрицы и вычтите кратно любой другой строке из него (элемент за элементом).
E.R.O. # 3: Иногда бывает полезно поменять местами две строки. Это допустимая операция, потому что порядок уравнений несущественный.

Вы можете применять эти E.R.O. к расширенной матрице так часто, как захотите. без изменения решения уравнений, представленных матрицей.

Пример: В этом примере показано, как мы применяем E.R.O. # 1 и обозначение мы используем, чтобы обозначить это. Разделим первую строку дополненной матрица слева на 2, чтобы получить новую расширенную матрицу справа:

Примечание: ← ÷ на 2 означает « разделить строку указывается цифрой 2 для создания новой матрицы ».

Пример: В этом примере показано, как мы применяем E.R.O. # 2 и обозначения мы используем, чтобы обозначить это. В расширенной матрице слева мы будем возьмите вторую строку и вычтите из нее 3 раза первую строку, чтобы получить новая расширенная матрица справа:

Примечание: ← R ₂ – 3 · R ₁ означает « возьмите строку, на которую указывает (строка 2), и вычтите 3 раза строку 1 из для создания новой строки 2. ”

Пример: В этом примере показано, как мы применяем E.R.O. # 3 и обозначения мы используем, чтобы обозначить это. В расширенной матрице слева мы меняем местами строки 1 и 2, чтобы получить новая расширенная матрица справа:

Примечание: R ₁ ↔ R ₂ означает « поменять местами строки 1 и 2. »

Исключение по Гауссу

Процедура исключения по Гауссу представляет собой определенную последовательность E.R.O. который преобразует расширенную матрицу в форму Гаусса (также известная как рядная эшелонированная форма ) Эта форма характеризуется единицей на диагонали и нулями под диагональю. и любые числа выше диагонали.Вот пример:

Эта расширенная матрица представляет система уравнений:

Решается обратной подстановкой. Подключение z = 3 к второе уравнение дает y = 5. Затем вставляем как z = 3, так и y = 5 в первом уравнении дает x = 7.

Алгоритм исключения по Гауссу

Мы преобразуем один столбец за раз в форму эшелона строк (или гаусса).Преобразуемый в настоящее время столбец называется ось поворотная . Переходим систематически, позволяя столбец сводной быть первым столбцом, затем вторым столбцом и т. д. до последнего столбца перед вертикальной чертой расширенной матрицы. Для каждого сводного столбца мы делаем следующие два шага, прежде чем перейти к следующему сводному столбцу:

Мы размещаем диагональный элемент в поворотной колонне. Этот элемент называется осью .Строка, содержащая стержень, – называется ведущей строки. Мы делим каждый элемент в сводной строке на pivot (т.е. мы используем E.R.O. # 1), чтобы получить новую строку pivot с 1 в поворотное положение.
Мы получаем 0 в каждой позиции ниже позиции поворота на вычитание подходящего кратного числа сводной строки из каждого строки под ним (т.е. используя E.R.O. # 2).

Когда все столбцы слева от вертикальной линии были преобразованы с помощью процедура исключения Гаусса расширенная матрица будет в форме Гаусса и затем мы решаем систему обратной подстановкой.

Пример: Используйте Исключение Гаусса , чтобы решить систему уравнений:

Решение: Выполните следующую последовательность E.R.O. на расширенной матрице:

Установите столбец сводной таблицы на столбец 1. Получите 1 в диагональном положении (красным):

Затем установите 0 под точкой поворота (красным):

Теперь пусть сводный столбец = второй столбец.

Сначала получите 1 по диагонали:

Затем получите 0 в позиции под точкой поворота:

Теперь пусть сводный столбец = третий столбец. Получите 1 по диагонали:

Эта матрица, которая теперь имеет форму Гаусса, представляет собой систему трех уравнения:

Решается обратной подстановкой. Вставляем z = 3 во вторую уравнение получаем y = 5.И вставка z = 3 и y = 5 в первое уравнение получаем x = 7. Таким образом, решение:

{ x = 7, y = 5, z = 3}.

Гаусс-Джордан Ликвидация

Процедура исключения Гаусса-Жордана представляет собой несколько иную последовательность E.R.O., который преобразует расширенную матрицу в форму Гаусса-Жордана (также известна как сокращенная форма эшелона ).Эта форма характеризуется единицей на диагонали, 0 над и под диагональю слева от вертикальной линии, и любые числа справа от вертикальной линии. Вот пример:

Эта расширенная матрица представляет собой систему уравнений:

Эта система уже решена: x = 7, y = 5, z = 3. Обратная подстановка не требуется. Однако примерно в два раза больше E.R.O. требуются для производства Форма Гаусса-Жордана как форма Гаусса.

Алгоритм исключения Гаусса-Жордана

Мы преобразуем по одному столбцу за раз в сокращенную форму эшелона строк (или форму Гаусса-Жордана). Преобразуемый в настоящее время столбец называется ось поворотная . Переходим систематически, позволяя столбец сводной быть первым столбцом, затем вторым столбцом и т. д. до последнего столбца перед вертикальной чертой расширенной матрицы.Для каждого сводного столбца мы делаем следующие два шага, прежде чем перейти к следующему сводному столбцу:

Мы размещаем диагональный элемент в поворотной колонне. Этот элемент называется осью . Строка, содержащая стержень, – называется ведущей строки. Мы делим каждый элемент в сводной строке на pivot (т.е. мы используем E.R.O. # 1), чтобы получить новую строку pivot с 1 в поворотное положение.
Мы получаем 0 в каждой позиции выше и ниже позиции поворота на вычитание подходящего кратного числа сводной строки из каждого ряды над и под ним (т.е. с помощью E.R.O. №2).

Когда все столбцы слева от вертикальной линии будут преобразованы, расширенная матрица будет в форме Гаусса-Жордана, и мы сможем считать решение из правого столбца.

Обратите внимание, что единственное отличие от процедуры Гаусса состоит в том, что на втором этапе мы получаем 0s выше диагонали , а также ниже диагонали. Важно получить все эти нули, прежде чем переходить к следующему сводному столбцу.

Пример: Используйте метод исключения Гаусса-Жордана для решения системы уравнений:

Решение: Выполните эту последовательность E.R.O. на расширенной матрице. Установите для сводного столбца столбец 1. Получите 1 по диагонали. (красным) с помощью E.R.O. №1:

Затем установите 0 под точкой поворота (красным) с помощью E.R.O. # 2:

Теперь пусть сводный столбец = второй столбец.Сначала получите 1 по диагонали. с помощью E.R.O. №1:

Затем получите 0 в позициях выше и ниже точки поворота (красным) с помощью E.R.O. # 2:

Теперь пусть сводный столбец = третий столбец. Получите 1 в диагональном положении, используя E.R.O. №1:

Затем получите 0 в позициях над точкой поворота (красным) с помощью E.R.O. # 2:

Эта матрица, которая теперь имеет форму Гаусса-Жордана или сокращенную форму эшелона строк, представляет собой решение:

{ x = 49, y = −18, z = 8}.

Резервные и несовместимые системы

Если количество уравнений больше, чем количество неизвестных, то системы гарантированно будут резервными или непоследовательно. Но если количество уравнения равно или меньше количества неизвестных, тогда вы, как правило, не распознавать систему как избыточную или несовместимую до самого конца расчета. Это особенно актуально, если система большая.

Если вы решаете систему уравнений методом подстановки и система избыточна, тогда вы получите окончательное уравнение, в котором 0 = 0. Или, если система непоследовательна, вы получите ту, которая утверждает противоречие вида 0 = 5. Нечто подобное происходит при использовании исключения Гаусса или Гаусса-Джордана. Если система резервная, то по окончании процедуры устранения когда у вас есть расширенная матрица в форме Гаусса или Гаусса-Жордана, последняя строка расширенной матрицы будет:

Эта последняя строка представляет уравнение 0 = 0, бесполезную информацию.

Если система несовместима, то последняя строка расширенной матрицы будет выглядеть примерно так:

Последняя строка представляет уравнение 0 = 5, противоречие. Попробуйте упражнения, которые содержат примеры избыточные и противоречивые системы уравнений.

Пример: Используйте метод исключения Гаусса, чтобы преобразовать эту систему уравнений в форму эшелона строк и интерпретировать результат:

Решение: Выполните эту последовательность E.R.O. на расширенной матрице. Установите столбец поворота на столбец 1. В позиции поворота уже стоит 1, поэтому переходите к получению 0 под поворотом:

Теперь установите сводный столбец во второй столбец. В позиции поворота уже есть 1, поэтому переходите к получению 0 под точкой поворота:

Теперь установите сводный столбец в третий столбец. Первое, что нужно сделать, это получить 1 по диагонали, но нет способа сделать это. Фактически эта матрица уже представлена в виде эшелона строк и представляет:

Эта система уравнений противоречива и не имеет решения.Последнее уравнение утверждает противоречие, а именно 0 = −50.

В общем случае расширенная матрица, которая была помещена в форму эшелона строк и которая содержит одну или несколько нижних строк, состоящих из всех нулей слева от вертикальной линии и ненулевого числа справа, указывает на несовместимую систему уравнения без решения.

Уравнений меньше, чем неизвестных

Если количество уравнений в системе меньше количества неизвестных, то вы достигнете точки Гаусса или Гаусса-Иордана процедура, в которой вы не можете преобразовать стержень столбец, потому что у вас закончились сводные строки.Вот пример:

В третьем столбце нет оси и нет строки сводки, поэтому вам нужно остановиться. Эта расширенная матрица представляет эту систему уравнений:

Во второй форме мы видим, что если для z задано значение, то x и y можно выразить через него. Следующая матрица показывает, что предоставление значения для z , скажем z = 5, составляет другую строку:

Попробуйте упражнения, которые содержат примеры систем с меньшим количеством уравнений. чем неизвестные.

Если вы нашли эту страницу в веб-поиске, вы не увидите
Оглавление в рамке слева.
Щелкните здесь, чтобы отобразить его.

Исключение Гаусса для разреженных матриц: введение

Страница из

НАПЕЧАТАНО ИЗ ОНЛАЙН-СТИПЕНДИИ ОКСФОРДА (oxford.universitypressscholarship.com). (c) Авторские права Oxford University Press, 2021. Все права защищены. Отдельный пользователь может распечатать одну главу монографии в формате PDF в OSO для личного использования.дата: 08 апреля 2021 г.

Глава: (стр.89) 5 Исключение Гаусса для разреженных матриц: введение
Источник:: Прямые методы для разреженных матриц
Автор (ы):: IS Duff
AM Erisman
JK Reid
Publisher:

DOI: 10.1093 / acprof: oso / 9780198508380.003.0005

Эта глава представляет собой введение в использование метода исключения Гаусса для решения разреженных наборов линейных уравнений.Мы исследуем три основных этапа большинства компьютерных программ для этой задачи: АНАЛИЗ, ФАКТОРИЗАЦИЯ и РЕШЕНИЕ. Мы подчеркиваем важность допустимых накладных расходов и числовой стабильности, но не касаемся алгоритмических деталей или деталей реализации, которые являются предметом последующих глав.

Ключевые слова: Разреженное исключение Гаусса, АНАЛИЗ, ФАКТОРИЗАЦИЯ, РЕШЕНИЕ, компьютерные программы

Для получения доступа к полному тексту книг в рамках службы для стипендии

Oxford Online требуется подписка или покупка.

Решение СЛАУ методом Гаусса – online presentation

1. Решение СЛАУ методом Гаусса

2. Иоганн Карл Фридрих Гаусс (30 апреля 1777, Брауншвейг — 23 февраля 1855, Гёттинген)

3. Метод Гаусса

4. Пример. Решить СЛАУ методом Гаусса:

5. С помощью элементарных преобразований сведем расширенную матрицу к подобной матрице ступенчатого вида:

6. Получаем систему линейных уравнений, эквивалентную исходной системе уравнений.

7. Ощутим свежее дыхание моря…

9. Самостоятельная работа

10. Домашнее задание

в чем суть, решение системы уравнений, примеры с объяснением

(adsbygoogle=window.adsbygoogle||[]).push({});Метод Гаусса — что это такое

Основные определения и обозначения

Матрицы: определение и свойства

Определитель

Классификация систем

Основные правила и разрешаемые преобразования при использовании метода Гаусса

Особенности использования метода Гаусса для решения СЛАУ

Обратный и прямой ход метода Гаусса

Примеры решений с объяснением

Численные методы: решение систем линейных уравнений

Обусловленность линейных систем, погрешность

Фундаментальное решение системы линейных уравнений. Взгляд со стороны / Хабр

ⓘ Метод Гаусса – Зейделя решения системы линейных уравнений. М

Пользователи также искали:

Метод Гаусса – решение систем линейных уравнений, пример – смотреть онлайн видео урок бесплатно! Автор: alWEBra – Линейная алгебра

Учебное пособие по устранению Гаусса и матричным уравнениям

Форма рядового эшелона

Уменьшенная форма ступенчатого эшелона

Исключение Гаусса

и исключение Гаусса

Назад Замена

Пример 1

Пример 2

Матрицы и исключение Гаусса

Пример 3

Пример 4

Пример 5

Пример 6

Пример 7

Пример 8

Ключевые выводы

Тематические упражнения

Часть A: Обратная замена

Часть B: Матрицы и исключение Гаусса

Часть C: Обсуждение

ответы

ИСКЛЮЧЕНИЕ ПО ГАУССУ: РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ: ПРИМЕРЫ И РЕШАЕМЫЕ ЗАДАЧИ: СТАРШАЯ ШКОЛА

Введение

Метод разрешения

Система 1

Система 2

Система 3

Система 4

Система 5

Система 6

Система 7

Система 8

Система 9

Система 10

Игра исключения Гаусса: Введение в линейную алгебру | Бретт Берри | Math Hacks

Движение 1: Поменять местами первую строку и строку 2

Движение 2: сложить -2 раза из второй строки в третью

Перемещение 3: разделить третью строку на -3

Движение 4: прибавить -2 раза из третьего ряда к второму

Перемещение 5: добавить третью строку в первую

Перемещение 6: прибавить -2 раза строку два к строке один

7.3 – Метод исключения

7.3 – Метод исключения

Расширенная матрица

Элементарные операции со строками

Исключение по Гауссу

Гаусс-Джордан Ликвидация

Резервные и несовместимые системы

Уравнений меньше, чем неизвестных

Исключение Гаусса для разреженных матриц: введение

IS Duff

AM Erisman

JK Reid

Оставить комментарий Отменить ответ

Метод Гаусса — что это такое