Онлайн решение неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка: Дифференциальные уравнения онлайн

Примеры решения однородных линейных дифференциальных уравнений высших порядков

№ 1.

–характеристическое уравнение

Общее решение:

или

№ 2.

–характеристическое уравнение.

Общее решение: или.

№ 3.

Общее решение:

№ 4.

–характеристическое уравнение.

Положим

Общее решение уравнения:

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Линейное неоднородное уравнение отличается от однородного функцией в правой части.

Линейное неоднородное уравнение имеет вид

а соответствующее ему линейное однородное уравнение –

которое, как известно, решается с помощью характеристического уравнения (16)

Сформулируем теорему о структуре общего решения неоднородного уравнения (13).

Теорема 2. Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения равно сумме какого-либо частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

Пусть y – общее решение уравнения (13)

какое-либо частное решение уравнения (13),

общее решение соответствующего однородного уравнения (14)

Тогда

Таким образом, основная задача при решении неоднородного линейного д.

у. II состоит в нахождении какого-либо частного решения.

Укажем один из методов нахождения частного решения неоднородного уравнения , когда правая часть уравнения имеет специальный вид. К таким функциямотносятся следующие функции: экспонентамногочленыn-й степени относительно переменной х тригонометрические функцииа также их произведения.

Метод неопределенных коэффициентов

Этот метод иначе называется методом подбора частного решения уравне-ния (13) по виду правой части.

Пусть правая часть уравнения

имеет вид т. е. представляет собой произведение экспоненты на многочлен, гдемногочленn-й относительно х. Тогда возможны следующие случаи.

1. Число не является корнем характеристического уравнения (16)

В этом случае частное решение нужно искать в виде

где многочлен той же степени, что и данный многочлен, но с неопределенными коэффициентами.

2. Число есть простой (однократный) корень характеристического уравнения (т. е.совпадает с одним корнем характеристического уравнения). В этом случае частное решение нужноискать в виде .

3. Число есть двукратный корень характеристического уравнения (т. е.совпадает с двумя равными корнями характеристического уравнения). В этом случае частное решение нужноискать в виде Неизвестные (неопределенные) коэффициенты многочленанаходим из условия, что функцияявляется решением уравнения (13), т. е. удовлетворяет этому уравнению.

Рассмотрим примеры, на которых покажем не только принцип применения метода, но и порядок оформления

решения.

№ 1. Найти общее решение уравнения

1) Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

2) Запишем общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения:

3) Запишем формулу, по которой следует искать частное решение данного уравнения. Для этого сравним правую часть уравнения

с общим видом правой части:

–многочлен второй степени с коэффициентами 24; 16; –15.

В данном случае показательная функция , т. е.Так какне совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, частное решение нужно искать в виде

многочлен второй степени , неизвестные (неопределенные) коэффициенты А,В,С этого многочлена нужно найти, подставив выражения в данное уравнение.

4) Запишем столбиком:

Слева указаны коэффициенты 12, 7, 1, на которые следует умножить , чтобы получить левую часть уравненияВ левой части получим многочлен второй степени с неопределенными коэффициентами, который должен быть равен данному многочлену второй степени в правой части.

Два многочлена будут равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях х. Запишем столбиком полученные уравнения:

.

Получили систему трех уравнений с тремя неизвестными коэффициентами

А, В, С. Решив ее, найдем .

Частное решение:

5). Общее решение данного уравнения:

или

№ 2. Найти общее решение уравнения

1)

2)

3) Сравним правую часть данного дифференциального уравнения с Отметим, что совпадает с одним корнем характеристического уравнения; многочлен – число 3 – нулевой степени, т. е.. Поэтому частное решениеследует искать в виде

4) Запишем

Подставив выражения с указанными коэффициентами в данное дифференциальное уравнение, получим

или

откуда Частное решение:

5) Искомое общее решение данного уравнения:

№ 3.

3) Сравним правую часть данного уравнения с

Отмечаем, что совпадает с одним корнем характеристического уравнения и многочленх степени Поэтому частное решение следует искать в виде

4) Так как требуется найти удобнее записатьв виде

Запишем столбиком:

Подставим выражения с указанными коэффициентами в данное уравнение. Получим равенство

Разделим уравнение на и упростим:

Частное решение:

1. Общее решение дифференциального уравнения:

Пусть правая часть уравнения (13)

имеет вид

где – постоянные числа. Тогда вид частного решенияопределяется следующим образом.

а) Если число не есть корень характеристического уравнения (16), то частное решениеимеет вид

где А и В – постоянные неопределенные коэффициенты.

б) Если число есть корень характеристического уравнения (16), то

Сделаем важное замечание. Даже тогда, когда в правой части уравнения стоит выражение, содержащее только или толькоследует искать частное решение в том виде, в каком оно было указано, т. е. с синусом и косинусом. Иными словами, из того, что правая часть не содержитилине следует, что частное решение уравнения не содержит этих функций.

Пример № 1. Решить уравнение

1)

2)

3) Сравним правую часть уравнения с. ЗдесьТак как числане являются корнями характеристического уравнения, частное решение следует искать в виде

4) Найдем и запишем столбиком

Подставив эти выражения в данное дифференциальное уравнение, получим

или

Приравниваем коэффициенты при в левой и правой частях уравнения, получим систему уравнений:

Частное решение:

5. Общее решение данного дифференциального уравнения:

Пример № 2. Решить уравнение

1)

2)

3) Cравним правую часть уравнения с

Здесь Числане являются корнями характеристического уравнения. Частное решение следует искать в виде

4) Запишем

Подставив в уравнение, получим

или

.

Частное решение:

5) Общее решение данного дифференциального уравнения:

Пусть правая часть неоднородного линейного д.у.II представляет собой сумму функций вида или

Частное решение этого уравнения следует искать в виде суммычастных решений двух уравнений:

и

№ 3. Решить уравнение

Здесь

1)

2)

3) При

.

4) При

5) Общее решение данного дифференциального уравнения:

или

Глава 88. Дифференциальные уравнения второго порядка

Определение: Уравнение вида

,

(8.5.1)

Где – Независимая переменная, – Искомая функция, и – соответственно ее Первая и Вторая производные, называется Дифференциальным уравнением второго порядка.

Примеры дифференциальных уравнений второго порядка:

, , .

Будем рассматривать уравнения, разрешенные относительно :

.

(8.5.2)

Уравнение (8. 5.2) называется уравнением второго порядка, Разрешенным относительно второй производной. В дальнейшем мы будем рассматривать уравнения второго порядка именно такого вида.

Как и в случае уравнения первого порядка, Решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция , определенная на некотором интервале , которая при подстановке уравнение (8.5.2) обращает его в тождество. График решения называется Интегральной кривой. Имеет место Теорема о существовании и единственности решения уравнения второго порядка.

Теорема (Теорема Коши).

Пусть дано дифференциальное уравнение (8.5.1). Если функция и ее частные производные и непрерывны в некоторой области пространства переменных , тогда для любой внутренней точки найдется Единственное решение уравнения (8.5.1), удовлетворяющее условиям , при .

Геометрический смысл Теоремы Коши заключается в том, что через заданную точку плоскости проходит единственная интегральная кривая с заданным угловым коэффициентом касательной.

Условия, которые задают значение функции и ее первой производной в фиксированной точке , называются Начальными условиями (или Условиями Коши) и записываются в такой форме:

, .

(8.5.3)

Задача нахождения решения уравнения (8.5.2), удовлетворяющего условию (8.5.3), называется Задачей Коши для уравнения второго порядка.

Определение: Общим решением уравнения (8.5.2) называется функция , удовлетворяющая этому уравнению при любых значениях констант и .

Определение

Частным решением уравнения (8.5.1) в области называется функция , полученная при фиксированных значениях постоянных .

Рассмотрим для Примера уравнение . Его общее решение получается при двукратном интегрировании уравнения . Это решение представляет собой семейство прямых в произвольных направлениях, причем через каждую точку области проходит бесконечное число таких прямых. Следовательно, для выделения частного решения, проходящего через заданную точку , необходимо задать еще и угловой коэффициент прямой, совпадающий в данном случае со своей касательной. Например, найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям

, ,

Т. е. нужно найти прямую, проходящую через точку с угловым коэффициентом, равным единице. Подстановка начальных условий в общее решение уравнения приводит к системе двух линейных уравнений относительно постоянных и :

.

Таким образом, искомое частное решение этого уравнения при заданных начальных условиях это прямая .

Уравнения, допускающие понижение порядка

Существуют три вида уравнения , которые путем замены переменной (искомой функции) сводятся к уравнениям первого порядка.

1. Уравнение вида

.

(8.5.4)

Ведем новую функцию путем замены . Тогда исходное уравнение второго порядка преобразуется в неполное уравнение первого порядка: , решением которого является функция. Так как , то повторным интегрированием находим общее решение уравнения (8.5.4):

,

(8.5.5)

Где и – произвольные постоянные.

2. Уравнение вида

,

(8.5.6)

Т. е. уравнение не содержит в явном виде . Как и в предыдущем случае, положим . Тогда получаем уравнение первого порядка общего вида . Найдя общее решение этого уравнения , повторным интегрированием получим искомое общее решение уравнения (8.5.6):

.

(8.5.7)

3. Уравнение вида

,

(8.5.8)

Т. е. уравнение не содержит независимой переменной . Введем новую функцию, независящую от , полагая . Тогда (по правилу дифференцирования сложной функции)

.

Уравнение (8.5.8) преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции : .

Пусть общее решение этого уравнения . Тогда обратной заменой получаем неполное уравнение первого порядка относительно функции ,

Из которого методом разделения переменных получаем функциональное соотношение для определения общего решения уравнения (8.5.8): .

Рассмотрим Примеры решения дифференциальных уравнений второго порядка.

Пример

Найти решение уравнения .

Решение

Это уравнение вида (8.5.6), поскольку оно не содержит в явном виде . Заменой приведем его к уравнению первого порядка , откуда или . Интегрируя это уравнение, получаем общее решение исходного уравнения: . В зависимости от выбора знака интеграл в правой части этого равенства может быть равен:  

Пример

Найти решение уравнения .

Решение:

Это уравнение вида (8.5.8), поскольку оно не содержит в явном виде . Заменой приведем его к уравнению первого порядка .

Первое решение этого уравнения или (). Сокращая обе части этого уравнения на , получим . Общее решение этого уравнения .

Наконец, обратная замена приводит к уравнению первого порядка . Общее решение этого уравнения есть функция .

Нетрудно видеть, что это решение включает в себя и решение (при ).

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Определение

Дифференциальное уравнение вида

.

(8.5.9)

Где , и – функции, непрерывные на некотором интервале называется Линейным дифференциальным уравнением второго порядка.

Если , то уравнение (8.5.9) называется Линейным однородным уравнением, если же , то уравнение (8.5.9) называется Линейным неоднородным уравнением.

Если разрешить уравнение (8.5.9) относительно второй производной, то легко увидеть, что оно является частным случаем уравнения (8.5.2) и удовлетворяет условиям теоремы Коши. Поэтому для любых начальных условий (8.5.3) при это уравнение имеет единственное решение задачи Коши.

Линейные однородные уравнения второго порядка

Рассмотрим свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка:

.

(8.5.10)

Теорема

Пусть функции и – решения уравнения (8.5.10). Тогда функция также является Решением этого уравнения при любых постоянных и .

Напомним, что линейной комбинацией функций и с коэффициентами и называется выражение вида .

Если линейная комбинация функций равна нулю тогда и только тогда, когда и равны нулю, то функции и являются линейно независимыми, в противном случае функции и – линейно зависимые.

Пример

Доказать, что следующие функции линейно независимы:

А) и , где ,

Б) и ;

В) и , где .

< Предыдущая		Следующая >

{\ простое \ простое} + py’ + qy = 0. \]

Теорема.

Общее решение неоднородного уравнения есть сумма общего решения \({y_0}\left( x \right)\) родственного однородного уравнения и частного решения \({y_1}\left( x \right) \) неоднородного уравнения:

\[y\влево( x \вправо) = {y_0}\влево( x \вправо) + {y_1}\влево( x \вправо).\]

Ниже мы рассмотрим два метода построения общего решения неоднородного дифференциального уравнения.

Метод вариации констант

Если известно общее решение \({y_0}\) ассоциированного однородного уравнения, то общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации постоянных.

Пусть общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка равно

\[{y_0}\влево( x \вправо) = {C_1}{Y_1}\влево( x \вправо) + {C_2}{Y_2}\влево( x \вправо).\]

Вместо констант \({C_1}\) и \({C_2}\) будем рассматривать произвольные функции \({C_1}\left( x \right)\) и \({C_2}\left( x \ справа).\) Найдем такие функции, что решение

\[y = {C_1}\влево( x \вправо){Y_1}\влево( x \вправо) + {C_2}\влево( x \вправо){Y_2}\влево( x \вправо)\]

удовлетворяет неоднородному уравнению с правой частью \(f\left( x \right). \)

Неизвестные функции \({C_1}\left( x \right)\) и \({C_2}\left( x \right)\) можно определить из системы двух уравнений:

\[\left\{ \begin{array}{l} {C’_1}\left( x \right){Y_1}\left( x \right) + {C’_2} \left( x \right) {Y_2}\влево( x \вправо) = 0\\ {C’_1} \влево( x \вправо){Y’_1} \влево( x \вправо) + {C’_2} \влево( x \вправо ){Y’_2} \left( x \right) = f\left( x \right) \end{массив} \right..\]

Метод неопределенных коэффициентов

Правая часть \(f\left( x \right)\) неоднородного дифференциального уравнения часто представляет собой показательную, полиномиальную или тригонометрическую функцию или комбинацию этих функций. В этом случае удобнее искать решение такого уравнения методом неопределенных коэффициентов.

Данный метод работает только для ограниченного класса функций в правой части, таких как 9{\альфа х}},\]

где \({{P_n}\left( x \right)}\) и \({{Q_m}\left( x \right)}\) – многочлены степени \(n\) и \(m,\ ) соответственно. s},\) где \(s\) – порядок корня \(\alpha\) в характеристическом уравнении.

В случае \(2,\), если число \(\alpha + \beta i\) совпадает с корнем характеристического уравнения, ожидаемое выражение для частного решения следует умножить на дополнительный множитель \(x.\ )

Неизвестные коэффициенты можно определить путем подстановки ожидаемого типа частного решения в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.

Принцип суперпозиции

Если правая часть неоднородного уравнения является суммой нескольких функций рода 92} = – 1,\;\; \Rightarrow {k_{1,2}} = \pm i.\]

Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид

\[{y_0}\left( x \right) = {C_1}\cos x + {C_2}\sin x.\]

Вернемся к неоднородному уравнению. Будем искать ее решение в виде

\[y\влево( x \вправо) = {C_1}\влево( x \вправо)\cos x + {C_2}\влево( x \вправо)\sin x,\]

методом вариации констант.

Функции \({C_1}\left( x \right)\) и \({C_2}\left( x \right)\) можно определить из следующей системы уравнений: 9\ простое число} = {\ грех 2x} \end{массив} \right. 3}x + {A_1},\] 9{\простое\простое}_1} = 0.\]

Подстановка в дифференциальное уравнение дает:

\[0 + A – 6\left( {Ax + B} \right) = 36x,\;\; \Правая стрелка А – 6Ах – 6В = 36х.\]

Последнее уравнение должно выполняться для всех значений \(x,\), поэтому коэффициенты при одинаковых степенях \(x\) в правой и левой частях должны быть одинаковыми:

\[\left\{ \begin{массив}{l} – 6А = 36\\ А – 6В = 0 \конец{массив} \право..\]

Находим из этой системы, что \(A = -6,\) \(B = -1.\) В результате частное решение записывается как 9{2x}} – 6x – 1.\]

Дополнительные проблемы см. на стр. 2.

Дифференциальные уравнения – DE второго порядка

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Мобильное уведомление

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

В предыдущей главе мы рассмотрели дифференциальные уравнения первого порядка. В этой главе мы перейдем к дифференциальным уравнениям второго порядка. Как и в предыдущей главе, мы рассмотрим некоторые частные случаи дифференциальных уравнений второго порядка, которые мы можем решить. Однако, в отличие от предыдущей главы, нам придется еще больше ограничить виды дифференциальных уравнений, которые мы будем рассматривать. Это потребуется для того, чтобы мы действительно смогли их решить.

Вот список тем, которые будут затронуты в этой главе.

Основные понятия. В этом разделе дается подробное обсуждение процесса, используемого для решения однородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка \(ay” + by’ + cy = 0\). {2} + br + c = 0\) — вещественные различные корни. 9{2} + br + c = 0\), повторяются, т. е. двойных, корней. Мы будем использовать понижение порядка, чтобы получить второе решение, необходимое для получения общего решения в этом случае.

Снижение порядка – В этом разделе мы кратко рассмотрим тему уменьшения порядка. Это будет один из немногих случаев в этой главе, когда будет рассмотрено дифференциальное уравнение с непостоянными коэффициентами.

Фундаментальные наборы решений. В этом разделе мы рассмотрим некоторые теории решения дифференциальных уравнений второго порядка. Мы определяем фундаментальные наборы решений и обсуждаем, как их можно использовать для получения общего решения однородного дифференциального уравнения второго порядка. Мы также определим вронскиан и покажем, как его можно использовать, чтобы определить, является ли пара решений фундаментальным набором решений.

Подробнее о вронскиане. В этом разделе мы рассмотрим, как можно использовать вронскиан, введенный в предыдущем разделе, для определения того, являются ли две функции линейно независимыми или линейно зависимыми. Мы также дадим и альтернативный метод нахождения вронскиана.

Неоднородные дифференциальные уравнения. В этом разделе мы обсудим основы решения неоднородных дифференциальных уравнений. Определим дополнительное и частное решение и приведем форму общего решения неоднородного дифференциального уравнения.

Неопределенные коэффициенты. В этом разделе мы вводим метод неопределенных коэффициентов для нахождения конкретных решений неоднородного дифференциального уравнения. Мы работаем с большим количеством примеров, иллюстрирующих множество рекомендаций по первоначальному предположению о форме конкретного решения, необходимого для метода.

Изменение параметров. В этом разделе мы вводим метод изменения параметров для нахождения конкретных решений неоднородного дифференциального уравнения. Мы даем подробное рассмотрение метода, а также выводим формулу, по которой можно найти частные решения.

Механические вибрации. В этом разделе мы рассмотрим механические вибрации.