Исчисление I — неявное дифференцирование
Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания
Мобильное уведомление
Похоже, вы находитесь на устройстве с «узкой» шириной экрана ( т.е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
Раздел 3.10: Неявное дифференцирование
К этому моменту мы сделали довольно много производных, но все они были производными функций вида \(y = f\left( x \right)\).
2}}}\]
Итак, это достаточно просто сделать. Однако есть некоторые функции, для которых это сделать нельзя. Вот тут-то и вступает в игру второй метод решения.
Решение 2 :
В этом случае мы собираемся оставить функцию в том виде, который нам дали, и работать с ним в этом виде. Однако давайте вспомним из первой части этого решения, что если бы мы могли найти \(y\), то мы получили бы \(y\) как функцию \(x\). Другими словами, если бы мы могли найти \(y\) (что мы могли бы сделать в этом случае, но не всегда сможем), мы получили бы \(y = y\left( x \right)\). Давайте перепишем уравнение, чтобы отметить это.
\[xy = x\,y\влево( x \вправо) = 1\]
Будьте осторожны и обратите внимание, что когда мы пишем \(y\left( x \right)\), мы не имеем в виду \(y\) умножить на \(x\). Здесь мы отмечаем, что \(y\) есть некоторая (вероятно, неизвестная) функция \(x\).
Это важно помнить, выполняя эту технику решения.
Следующим шагом в этом решении является дифференцирование обеих сторон по \(x\) следующим образом:
\[\frac{d}{{dx}}\left( {x\,y\left( x \right)} \right) = \frac{d}{{dx}}\left( 1 \right)\ ]
Правая сторона проста. Это просто производная от константы. Левая сторона тоже проста, но мы должны признать, что здесь у нас действительно есть произведение, \(x\) и \(y\left( x \right)\). Итак, чтобы получить производную от левой части, нам нужно выполнить правило произведения. Выполнение этого дает,
\[\left( 1 \right)y\left( x \right) + x\frac{d}{{dx}}\left( {y\left( x \right)} \right) = 0\]
Теперь вспомним, что у нас есть следующий способ записи производной.
\[\frac{d}{{dx}}\left( {y\left( x \right)} \right) = \frac{{dy}}{{dx}} = y’\]
Используя это, мы получаем следующее,
\[у + ху’ = 0\]
Обратите внимание, что мы опустили \(\left( x \right)\) на \(y\), так как это было только для того, чтобы напомнить нам, что \(y\) является функцией \(x\) и теперь, когда мы взяли производную, она больше не нужна.
Мы просто хотели, чтобы в уравнении учитывалось правило произведения, когда мы брали производную.
Итак, давайте теперь вспомним, что нам нужно. Мы искали производную \(y’\) и заметили, что теперь в уравнении есть \(y’\). Итак, чтобы получить производную, все, что нам нужно сделать, это решить уравнение для \(y’\).
\[y’ = – \frac{y}{x}\]
Вот оно. Используя второй метод решения, это наш ответ. Однако это не то, что мы получили из первого решения. Или, по крайней мере, это не похоже на ту же производную, которую мы получили из первого решения. Однако вспомните, что мы действительно знаем, что такое \(y\) в терминах \(x\), и если мы подставим это, мы получим 9{2}}}\]
, что мы получили из первого решения. Независимо от используемого метода решения мы должны получить одну и ту же производную.
Процесс, который мы использовали во втором решении предыдущего примера, называется неявным дифференцированием и является предметом данного раздела.
В предыдущем примере мы смогли просто найти \(y\) и избежать неявного дифференцирования. Однако в остальных примерах этого раздела мы либо не сможем найти \(y\), либо, как мы увидим в одном из приведенных ниже примеров, ответ будет не в той форме, которую мы может справиться.
Во втором решении выше мы заменили \(y\) на \(y\left( x \right)\), а затем вычислили производную. Напомним, что мы сделали это, чтобы напомнить себе, что \(y\) на самом деле является функцией \(x\). Мы будем делать это довольно часто в этих задачах, хотя на самом деле мы редко пишем \(y\left( x \right)\). Итак, прежде чем мы на самом деле будем работать над проблемами неявного дифференцирования, давайте сделаем быстрый набор «простых» производных, которые, мы надеемся, помогут нам в вычислении производных функций, которые также содержат \(y\left( x \right)\). 9{у\влево(х\вправо)}}\)
Показать все решения Скрыть все решения
Они написаны немного иначе, чем мы привыкли видеть здесь.
и это просто правило цепочки. Мы продифференцировали внешнюю функцию (показатель числа 5), а затем умножили ее на производную внутренней функции (элемент в скобках).
Для второй функции мы собираемся сделать то же самое. Нам нужно будет использовать цепное правило. Внешняя функция по-прежнему является показателем степени 5, а внутренняя функция на этот раз просто \(f\left( x \right)\). У нас здесь нет конкретной функции, но это не значит, что мы не можем хотя бы записать правило цепочки для этой функции. Вот производная этой функции, 94}f’\влево( х \вправо)\]
На самом деле мы не знаем, что такое \(f\left( x \right)\), поэтому, когда мы вычисляем производную внутренней функции, все, что мы можем сделать, это записать обозначение для производной, , т.
е. \(f ‘\влево(х\вправо)\).
b \(\sin \left( {3 – 6x} \right)\), \(\sin \left( {y\left( x \right)} \right)\) Показать решение
Первая функция, которую нужно здесь отличить, — это просто задача быстрого правила цепи, так что вот ее производная,
\[\ frac{d}{{dx}}\left[ {\sin\left({3 – 6x} \right)} \right] = – 6\cos \left({3 – 6x} \right)\ ]
Для второй функции на этот раз мы не стали использовать \(f\left( x \right)\) и сразу перешли к \(y\left( x \right)\) для общей версии. Это всего лишь общая версия того, что мы сделали для первой функции. Внешняя функция по-прежнему является синусом, а внутренняя задается как \(y\left( x \right)\), и хотя у нас нет формулы для \(y\left(x \right)\), поэтому мы на самом деле не может взять его производную, у нас есть обозначение для его производной.
Итак, в этом наборе примеров мы просто решали некоторые задачи с цепным правилом, где внутренней функцией была \(y\left( x \right)\), а не конкретная функция. Такого рода производные постоянно появляются при выполнении неявного дифференцирования, поэтому нам нужно убедиться, что мы можем их выполнять. Также обратите внимание, что мы сделали это только для трех типов функций, но здесь мы могли бы использовать гораздо больше функций.
Итак, пришло время решить нашу первую задачу, где требуется неявное дифференцирование, в отличие от первого примера, где мы могли бы избежать неявного дифференцирования, найдя \(y\). 92}} \]
Перед тем, как приступить к этой задаче, мы заявили, что здесь нам нужно провести неявное дифференцирование, потому что мы не можем просто найти \(y\), и тем не менее это то, что мы только что сделали. Итак, почему мы не можем использовать здесь «нормальную» дифференциацию? Проблема в “\(\pm\)”.
В этот момент мы можем опустить часть \(\left( x \right)\), так как это было только в задаче, чтобы облегчить процесс дифференцирования. Последний шаг — просто решить полученное уравнение относительно \(y’\).
\[\begin{align*}2x + 2yy’ & = 0\\ y’ & = – \frac{x}{y}\end{align*}\]
В отличие от первого примера, мы не можем просто подставить \(y\), так как не будем знать, какую из двух функций использовать. Большинство ответов от неявной дифференциации будут включать как \(x\), так и \(y\), так что не радуйтесь этому, когда это произойдет. 92} = 9\]
в точке \(\left( {2,\,\,\sqrt 5 } \right)\).
Показать решение
Во-первых, обратите внимание, что в отличие от всех других задач касательной, которые мы решали в предыдущих разделах, нам нужно задать значения \(x\) и \(y\) точки.
Обратите также внимание, что эта точка действительно лежит на графике окружности (вы можете проверить, подставив точки в уравнение), и поэтому можно говорить о касательной в этой точке.
Напомним, что для записи касательной нам нужен только наклон касательной, а это не что иное, как производная, вычисленная в данной точке. У нас есть производная от предыдущего примера, поэтому все, что нам нужно сделать, это подставить заданную точку.
\[м = {\ влево. {y’} \right|_{x = 2,\,y = \sqrt 5}} = – \frac{2}{{\sqrt 5}}\]
Тогда касательная.
\[y = \sqrt 5 – \frac{2}{{\sqrt 5}}\left( {x – 2} \right)\]
Теперь давайте поработаем еще над несколькими примерами. В оставшихся примерах мы больше не будем писать \(y\left( x \right)\) вместо \(y\). Это просто то, что мы делали, чтобы напомнить себе, что \(y\) на самом деле является функцией \(x\), чтобы помочь с производными.
Вид \(y\left( x \right)\) напомнил нам, что нам нужно выполнить цепное правило для этой части задачи. С этого момента мы будем оставлять \(y\) записанными как \(y\) и в нашей голове нам нужно помнить, что они на самом деле \(y\left( x \right)\ ) и что нам нужно выполнить цепное правило.
Есть простой способ запомнить, как выполнять цепное правило в этих задачах. Цепное правило действительно говорит нам дифференцировать функцию, как обычно, за исключением того, что нам нужно добавить производную внутренней функции. При неявном дифференцировании это означает, что каждый раз, когда мы дифференцируем терм с \(y\) в нем, внутренней функцией является \(y\), и нам нужно будет добавить \(y’\) к терму, так как это будет быть производной внутренней функции.
Давайте посмотрим на пару примеров. 93} + 1\) Показать решение
Сначала продифференцируйте обе части относительно \(x\) и помните, что каждый \(y\) на самом деле \(y\left( x \right)\), просто мы больше не будем писать его так.
Это означает, что первый член слева будет правилом произведения.
Мы дифференцировали эти виды функций, включающих \(y\), в степени с цепным правилом в Примере 2 выше. Также вспомните обсуждение до начала этой задачи. При решении такого рода задачи цепного правила все, что нам нужно сделать, это дифференцировать \(y\) как обычно, а затем добавить \(y’\), который является не чем иным, как производной «внутренней функции». ». 92}у’\]
Теперь нам нужно найти производную \(y’\). Это просто базовая алгебра решений, которую вы способны сделать. Основная проблема в том, что это может оказаться более грязным, чем то, к чему вы привыкли. Все, что нам нужно сделать, это получить все термины с \(y’\) в них с одной стороны и все термины без \(y’\) в них с другой. Затем вынесите \(y’\) из всех членов, содержащих его, и разделите обе части на «коэффициент» при \(y’\). Вот решение для этого, 93}} \right)\) Показать решение
Нам нужно быть осторожными с этой проблемой.
У нас есть пара цепных правил, с которыми нам придется иметь дело, которые немного отличаются от тех, с которыми мы имели дело до этой проблемы.
Как в экспоненте, так и в логарифме у нас есть «стандартное» цепное правило, заключающееся в том, что внутри экспоненты и логарифма есть нечто иное, чем просто \(x\) или \(y\). Итак, это означает, что здесь мы будем использовать цепное правило, как обычно, а затем, когда мы будем вычислять производную внутренней функции для каждого члена, нам придется иметь дело с дифференцированием \(y\). 9{- 1}}}}\end{выравнивание*}\]
Обратите внимание: чтобы производная хотя бы выглядела немного лучше, мы преобразовали все дроби в отрицательные степени.
Хорошо, мы видели одно применение неявного дифференцирования в примере с касательной выше. Однако есть еще одно применение, которое мы увидим в каждой задаче в следующем разделе.
В некоторых случаях у нас будет две (или более) функции, каждая из которых является функцией третьей переменной.
Таким образом, у нас могут быть, например, \(x\left( t \right)\) и \(y\left( t \right)\), и в этих случаях мы будем дифференцировать по \(t\) . Это просто неявное дифференцирование, как мы делали в предыдущих примерах, но, тем не менее, есть разница.
В предыдущих примерах у нас есть функции, включающие \(x\) и \(y\) и рассматриваемые \(y\) как \(y\left( x \right)\). В этих задачах мы дифференцировались по \(x\), поэтому, сталкиваясь с \(x\) в функции, мы дифференцировались как обычно, а когда сталкивались с \(y\), мы дифференцировались как обычно, за исключением того, что тогда добавил \(y’\) к этому термину, потому что мы действительно использовали цепное правило.
В новом примере, который мы хотим рассмотреть, мы предполагаем, что \(x = x\left( t \right)\) и что \(y = y\left( t \right)\) и дифференцируем по отношению к \(т\). Это означает, что каждый раз, когда мы сталкиваемся с \(x\) или \(y\), мы будем выполнять цепное правило. Это, в свою очередь, означает, что когда мы дифференцируем \(x\), нам нужно будет добавлять \(x’\), и всякий раз, когда мы дифференцируем \(y\), мы добавляем \(y’\).
9{1 – x}} + 5y’\sin\left( {5y} \right) = 2yy’\]
На самом деле в этой проблеме нет ничего особенного. Поскольку в задаче две производные, мы не будем утруждать себя решением одной из них. Когда мы решим такую задачу в следующем разделе, она будет подразумевать, какую из них нам нужно решить.
На данный момент, кажется, нет никакой реальной причины для решения такого рода задач, но, как мы увидим в следующем разделе, каждая задача, которую мы будем решать, будет включать такого рода неявное дифференцирование.
Решение уравнений с комплексными числами – Калькулятор онлайн
Комплексное решение, онлайн-исчисление
Сводка:
Калькулятор комплексных чисел возвращает комплексные значения, для которых квадратное уравнение равно нулю.
complexe_solve онлайн
Описание:
Этот калькулятор позволяет найти комплексные корни квадратного уравнения следующим образом: `x^2+1=0`.
2+1=0 и нажмите кнопку расчета.
92+1=0;x`) возвращает [x=-i;x=i]
Расчет онлайн с помощью complexe_solve (решение квадратного уравнения с комплексным числом)
См. также
Список связанных калькуляторов:
- Амплитуда комплексного числа : амплитуда.
Калькулятор амплитуды определяет амплитуду комплексного числа из его алгебраической формы. - Решение квадратного уравнения с комплексным числом: complexe_solve. Калькулятор уравнений комплексных чисел возвращает комплексные значения, для которых квадратное уравнение равно нулю.
- Калькулятор комплексных сопряжений : комплексное_сопряжение. Онлайн-калькулятор сопряженных чисел возвращает сопряженное комплексное число.
- Экспоненциальный: эксп. Функция exp вычисляет в режиме онлайн экспоненту числа.
- Калькулятор комплексного модуля: комплексный_модуль. Калькулятор модуля позволяет вычислить модуль комплексного числа онлайн.
- Калькулятор комплексных чисел: комплексное_число. Калькулятор комплексных чисел позволяет выполнять вычисления с комплексными числами (расчеты с i).
- Мнимая часть комплексного числа : imaginary_part. Калькулятор мнимой части позволяет вычислить онлайн мнимую часть комплексного числа.
- Действительная часть комплексного числа: real_part.
Калькулятор амплитуды определяет амплитуду комплексного числа из его алгебраической формы.