Онлайн решение систем линейных уравнений методом крамера: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Правило Крамера для решения одновременных уравнений

В этом разделе вы узнаете, как решать систему одновременных уравнений с помощью правила Крамера.

Рассмотрим следующую систему трех уравнений с тремя неизвестными x, y и z.

а ₁₁ х + а ₁₂ у + а ₁₃ z = b ₁

а ₂₁ х + а 90 _{0 22 3} z  =  b ₂

а ₃₁ х + а ₃₂ y + a ₃₃ z  =  b ₁

Теперь мы можем записать следующие определители, используя приведенные выше уравнения.

Затем правило Крамера для нахождения значений x, y и z :

x = Δ ₁ /Δ

y  = Δ ₂ /Δ

2 z 9 = 0 Δ 8

Если Δ = 0, система несовместна и имеет решение.

Пример 1:

Решите следующую систему линейных уравнений, используя правило Крамера: 9решение 3 года = По правилу Крамера 1/ 17  =  3

Итак, значения x и y равны 2 и 3 соответственно.

Пример 2:

Решите следующую систему линейных уравнений, используя правило Крамера:

(3/x) + 2y = 12

(2/x) + 3y = 13

Решение:

Пусть 1/x = x _1.

, 2 9000 Тогда 3x ₁ + 2y = 12

2x ₁  + 3y  =  13

По правилу Крамера

x ₁   =   5 ₁  / 004

1/х = 2 — –> x  =  1/2

y  =  Δ ₂ / Δ  =  15/5  =  3

Итак, значения x и y равны 1/2 и 3 соответственно.

Пример 3 :

Решите следующую систему линейных уравнений, используя правило Крамера:

3x + 3y − z = 11 04

Решение:

Δ = 3(-2-6) – 3(4-8) – 1(6+4)

  =  3(-8) – 3(-4) – 1(10)

  = -24 + 12 – 10

  =  -34 + 12

  =  -22

Δ ₁  =  11(-2-6) – 3(18-50) = 1(27+25)

2 (-8) – 3(-32) – 1(52)

= -88 + 96 – 52

= -140 + 96

Δ ₁   =  -44

Δ ₂  =  5 – 0 – 8 (18 – 154) – 1 – 1 36)

  =  3(-32) – 11(-4) – 1(14)

  =  -96 + 44 – 14

  =  -110 + 44

Δ _{2 00} 9=0 Δ ₃ = 3(-25 – 27) – 3(50 – 36) + 11(6 + 4)

  = 3(-52) – 3(14) + 11(10)

  =  -156 – 42 + 110

  =  -198 + 110

Δ _{3  9По правилу Крамера}

z  =  Δ ₃ /Δ  = -88/(-22) = 4

Итак, значения x, y и z равны 2, 3 и 4 соответственно.

Пример 4:

Решите следующую систему линейных уравнений, используя правило Крамера:

(3/x) – (4/y) – (2/z) – 1 =  0 + (2/y) + (1/z) – 2 = 0

(2/x) – (5/y) – (4/z) + 1 = 0

Решение:

Пусть 1/x = a, 1/y = b и 1/z = c

3a – 4b + 2c  =  1 —–(1)

a + 2b + c  =  2 —–(2)

2a – 5b – 4c  =  -1 —–(3 )

Δ = 3(-8+5) + 4(-4-2) – 2(-5-4)

  =  3(-3) + 4(-6) – 2(-9)

= -9 – 24 + 18

Δ  =  -15

Δ ₁  =  1(-8+5) + 4(-8+1) -2(-10+2)

  =  1(-3 ) + 4(-7) – 2(-8)

= -3 – 28 + 16

Δ ₁   =  -15

Δ ₂   = 3(-8+1) – 1(-4 = 2) – 2(-1-4)

3(-7) – 1(-6) – 2(-5)

  =  -21 + 6 + 10

  =  -21 + 16

 Δ ₂   =  -5

= 3 9 _{(-2+10) + 4(-1-4) + 1(-5-4)}

  =  3(8) + 4(-5) + 1(-9)

  =  24 – 20 – 9

  =  -5

Δ ₃   =  -5

По правилу Крамера, 

a  =  Δ ₁ /Δ = -15/(-15) = 1

b = Δ ₂ /Δ = -5/(-15) = 1/3

c = Δ ₃ /Δ = -5 /(-15) = 1/3

Тогда

x = 1/a = 1/1 = 1

y = 1 / (1/3) = 3

z = 1 / (1/3) =  3

Итак, значения x, y и z равны 1, 3 и 3 соответственно.