Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера — Мегаобучалка
Разберем решения нескольких примеров.
Пример.
Найдите решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера .
Решение.
Основная матрица системы имеет вид . Вычислим ее определитель по формуле :
Так как определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то СЛАУ имеет единственное решение, и оно может быть найдено методом Крамера. Запишем определители и . Заменяем первый столбец основной матрицы системы на столбец свободных членов, и получаем определитель . Аналогично заменяем второй столбец основной матрицы на столбец свободных членов, и получаем .
Вычисляем эти определители:
Находим неизвестные переменные x1 и x2 по формулам :
Выполним проверку. Подставим полученные значения x1 и x2 в исходную систему уравнений:
Оба уравнения системы обращаются в тождества, следовательно, решение найдено верно.
Ответ:
.
Некоторые элементы основной матрицы СЛАУ могут быть равны нулю. В этом случае в уравнениях системы будут отсутствовать соответствующие неизвестные переменные. Разберем пример.
Пример.
Найдите решение системы линейных уравнений методом Крамера .
Решение.
Перепишем систему в виде , чтобы стало видно основную матрицу системы . Найдем ее определитель по формуле
Имеем
Определитель основной матрицы отличен от нуля, следовательно, система линейных уравнений имеет единственное решение. Найдем его методом Крамера. Вычислим определители :
Таким образом,
Ответ:
.
Обозначения неизвестных переменных в уравнениях системы могут отличаться от x1, x2, …, xn. Это не влияет на процесс решения. А вот порядок следования неизвестных переменных в уравнениях системы очень важен при составлении основной матрицы и необходимых определителей метода Крамера.
Поясним этот момент на примере.
Пример.
Используя метод Крамера, найдите решение системы трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными .
Решение.
В данном примере неизвестные переменные имеют другое обозначение (
Определитель основной матрицы отличен от нуля, следовательно, система уравнений имеет единственное решение. Найдем его методом Крамера. Запишем определители (обратите внимание на обозначения) и вычислим их:
Осталось найти неизвестные переменные по формулам :
Выполним проверку.
Для этого умножим основную матрицу на полученное решение (при необходимости смотрите раздел операции над матрицами):
В результате получили столбец свободных членов исходной системы уравнений, поэтому решение найдено верно.
Ответ:
x = 0, y = -2, z = 3.
Пример.
Решите методом Крамера систему линейных уравнений , гдеa и b – некоторые действительные числа.
Решение.
Вычислим определитель основной матрицы системы:
Определитель отличен от нуля, следовательно, можно применить метод Крамера.
Находим неизвестные переменные
Рекомендуем проверить полученные результаты.
Ответ:
.
Пример.
Найдите решение системы уравнений методом Крамера, – некоторое действительное число.
Решение.
Вычислим определитель основной матрицы системы: . Область значений выражения есть интервал , поэтому при любых действительных значениях .
Следовательно, система уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера. Вычисляем и :
Таким образом, .
Выполним проверку:
Уравнения системы обращаются в тождества, следовательно, решение найдено верно.
Ответ:
.
Пример.
Решите систему линейных алгебраических уравнений методом Крамера .
Решение.
Вычислим определитель основной матрицы системы уравнений:
Определитель основной матрицы равен нулю, следовательно, метод Крамера не подходит для решения такой системы уравнений.
Пример.
Методом Крамера найдите решение СЛАУ .
Решение.
Эта система однородная, так как все свободные члены равны нулю. Определитель основной матрицы отличен от нуля , поэтому ее единственным решением является
Ответ:
x1 = 0, x2 = 0.
Пример.
Найдите решение системы четырех линейных алгебраических уравнений содержащую четыре неизвестных переменных.
Решение.
Сразу скажем, что не будем подробно описывать вычисление определителей матриц, так как это выходит за рамки данной статьи.
Вычислим определитель основной матрицы системы, разложив его по элементам второй строки:
Определитель основной матрицы системы отличен от нуля, поэтому можно воспользоваться методом Крамера для решения системы.
Найдем :
аналогично вычисляются
Таким образом,
Ответ:
.
К началу страницы
Подведем итог.
Метод Крамера позволяет находить решение систем линейных алгебраических уравнений, если определитель основной матрицы отличен от нуля. По сути метод сводится к вычислению определителей матриц порядка n на n и применению соответствующих формул для нахождения неизвестных переменных.
Проект “Решение систем линейных уравнений различными методами” • Наука и образование ONLINE
Главная Работы на конкурс Предметное образование Физико-математические дисциплины Проект «Решение систем линейных уравнений различными методами»
Автор: Пономарева Софья Сергеевна
Место работы/учебы (аффилиация): МАОУ “Лицей №15 им.
Н.Н. Макаренко”, г.Кызыл, Республика Тыва, 10 класс
Научный руководитель: Яговдик Надежда Васильевна
В работе рассмотрены различные математические методы решения систем линейных уравнений, показаны алгоритмы и примеры решения линейных алгебраических уравнений различными методами. Дается краткая историческая справка о жизни ученых, занимавшихся данной проблемой. Приводятся примеры использования СЛАУ. Данная тема способствует формированию математической интуиции, которая поможет ориентироваться в способах решения систем.
Целью работы является оценка различных методов решения систем линейных уравнений с точки зрения вычислительной сложности.
Задачи:
- обобщение методов решения СЛАУ, знакомых с 7 класса;
- знакомство с новыми методами решения СЛАУ;
- изучение истории вопроса (развития теории, имена ученых, их достижения).
При работе над данным проектом прослежено развитие алгебры на протяжении 2,5 тысяч лет, накоплен банк задач, решенных разными методами.
Работа на выбранную тему является актуальной в связи с тем, что она систематизирует знания и позволяет учащимся лучше понять данную тему, т.к. способы решения систем линейных уравнений собраны в единое пособие.
Загрузка…
Проектная работа «Нестандартные способы умножения»
Тема очень актуальна, поскольку простое умножение — это долгое и скучное занятие, а вот с нестандартными способами это занятие становиться весёлым и быстрым. Цель: подробно рассмотреть несколько нестандартных способов умножения и выявить самый удобны…
Посмотреть работу
4″>Исследовательская работа «Многоугольники на целочисленной решетке»Мы часто предпочитаем рисовать и чертить на клетчатой бумаге. И даже не задумываемся о том, что она (а точнее – узлы клетчатой бумаги) являются одним из важнейших примеров точечной решетки на плоскости. Решетки на плоскости позволяют переводить на ге…
Посмотреть работу
Исследовательский проект «Уравнения высших степеней»
Решение алгебраических уравнений высших степеней с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших и древнейших математических задач. Интерес к ним велик, так как эти уравнения тесно связаны с поиском корней уравнений, не рассматриваемых школ…
Посмотреть работу
Исследовательский проект «Золотое сечение — красота и гармония окружающего нас мира»
Актуальность: окружающий нас мир многообразен.
Все, наверное, обращали внимание, что мы неодинаково относимся к предметам и явлениям окружающей действительности. Беспорядочность, бесформенность, несоразмерность воспринимаются нами как безобразное и п…
Посмотреть работу
Исследовательский проект «Множества на диаграмме Эйлера-Венна и ее практическое применение»
Множества встречаются в различных областях знаний: математике, физике, биологии, химии, лингвистике и т.д. Множества состоят из различных элементов, например, страны, дома, птицы, числа, фигуры, точки и т.д. В математике множество рассматривается в к…
Посмотреть работу
Исследовательская работа «Прогрессии вокруг нас»
Доступна к просмотру полнотекстовая версия работы
В настоящее время актуальным вопросом становится проблема соотношения, изучаемого в школьном курсе математики, материала с жизнью.
В 9 классе мы сталкиваемся с темой «Прогрессии», даем определение термину, также используем основные формулы прогрессии…
Посмотреть работу
Мероприятие завершено
3×3 Калькулятор правила Крамера
Калькулятор, представленный в этом разделе, может быть использован для решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными с использованием правила Крамера или метода определителя.
| |||||||||||||||||||||||||||
Примечание:
Если вы получаете x = 0, y = 0 и z = 0, то система может быть несовместимой или иметь бесконечно много решений.
Чтобы узнать больше об этом, следуйте приведенным ниже инструкциям.
Инструкции :
Помимо материалов, указанных выше, если вам нужны какие-либо другие материалы по математике, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.
Пожалуйста, отправьте ваш отзыв на [email protected]
Мы всегда ценим ваши отзывы.
©Все права защищены. onlinemath5all.com
Решатель систем уравнений: Wolfram|Alpha
О, о! Wolfram|Alpha не работает без JavaScript.
Пожалуйста, включите JavaScript. Если вы не знаете, как это сделать, вы можете найти инструкции здесь. Как только вы это сделаете, обновите эту страницу, чтобы начать использовать Wolfram|Alpha.
WolframAlpha
Решение уравнений и систем уравнений с помощью Wolfram|Alpha
Мощный инструмент для поиска решений систем уравнений и ограничений
Wolfram|Alpha способен решать самые разные системы уравнений.
Он может решать системы линейных уравнений или системы, включающие нелинейные уравнения, и может специально искать целочисленные решения или решения в другой области. Кроме того, он может решать системы, включающие неравенства и более общие ограничения. 92 = 4, y = x
- Посмотреть другие примеры »
Доступ к инструментам мгновенного обучения
Немедленная обратная связь и рекомендации с пошаговыми решениями и генератором проблем Wolfram
Узнайте больше о:
- Шаг пошаговые решения »
- Генератор задач Wolfram »
Что такое системы уравнений?
Система уравнений представляет собой набор из одного или нескольких уравнений, включающих ряд переменных.
Решениями систем уравнений являются такие отображения переменных, что удовлетворяются все уравнения компонентов, другими словами, места, в которых все эти уравнения пересекаются. Решить систему значит найти все такие общие решения или точки пересечения.
Системы линейных уравнений — распространенное и применимое подмножество систем уравнений. В случае двух переменных эти системы можно рассматривать как линии, проведенные в двумерном пространстве. Если все прямые сходятся в одной точке, то говорят, что система непротиворечива и имеет решение в этой точке пересечения. В противном случае система называется несовместной, не имеющей решений. Системы линейных уравнений, включающие более двух переменных, работают аналогично, имея либо одно решение, либо отсутствие решений, либо бесконечное количество решений (последнее в случае, если все уравнения для компонентов эквивалентны).
Возможны и более общие системы, включающие нелинейные функции. Они обладают более сложными наборами решений, включающими одно, нулевое, бесконечное или любое количество решений, но работают аналогично линейным системам в том смысле, что их решениями являются точки, удовлетворяющие всем задействованным уравнениям. Идя дальше, возможны более общие системы ограничений, например, включающие неравенства или требующие, чтобы определенные переменные были целыми числами.