Онлайн решение сложных функций: Вычисление производной: онлайн калькулятор

2

Найти производные функций y 3x. Калькулятор онлайн

Операция отыскания производной называется дифференцированием.

В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).

Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.

Чтобы найти производную , надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное)

связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного – в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.

Пример 1. Найти производную функции

Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.

Из таблицы производных выясняем, что производная “икса” равна единице, а производная синуса – косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:

Пример 2. Найти производную функции

Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:

Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.

Таблица производных простых функций

Правила дифференцирования

1. Производная суммы или разности
2. Производная произведения
2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель
3. Производная частного
4. Производная сложной функции

Правило 1. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

причём

т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны , т.е.

Правило 2. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

причём

т. е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной :

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

Например, для трёх множителей:

Правило 3. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

Где что искать на других страницах

При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные – в статье “Производная произведения и частного функций ” .

Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u “v , в котором u – число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

Другая частая ошибка – механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями .

Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие “Производная суммы дробей со степенями и корнями “.

Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие “Производные простых тригонометрических функций”.

Пошаговые примеры – как найти производную

Пример 3. Найти производную функции

Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители – суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, “икс” у нас превращается в единицу, а минус 5 – в ноль. Во втором выражении “икс” умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную “икса”. Получаем следующие значения производных:

Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:

Пример 4. Найти производную функции

Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:

Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:

Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие

“Производная суммы дробей со степенями и корнями” .

Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок “Производные простых тригонометрических функций” .

Пример 5. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых – квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Пример 6.

Найти производную функции

Решение. В данной функции видим частное, делимое которого – квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем.

Вычисление производной – одна из самых важных операций в дифференциальном исчислении. Ниже приводится таблица нахождения производных простых функций. Более сложные правила дифференцирования смотрите в других уроках:

• Таблица производных экспоненциальных и логарифмических функций

Приведенные формулы используйте как справочные значения. Они помогут в решении дифференциальных уравнений и задач. На картинке, в таблице производных простых функций, приведена “шпаргалка” основных случаев нахождения производной в понятном для применения виде, рядом с ним даны пояснения для каждого случая.

Производные простых функций

1. Производная от числа равна нулю
с´ = 0
Пример:
5´ = 0

Пояснение :
Производная показывает скорость изменения значения функции при изменении аргумента. Поскольку число никак не меняется ни при каких условиях – скорость его изменения всегда равна нулю.

2. Производная переменной равна единице
x´ = 1

Пояснение :
При каждом приращении аргумента (х) на единицу значение функции (результата вычислений) увеличивается на эту же самую величину. Таким образом, скорость изменения значения функции y = x точно равна скорости изменения значения аргумента.

3. Производная переменной и множителя равна этому множителю
сx´ = с
Пример:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Пояснение :
В данном случае, при каждом изменении аргумента функции (х ) ее значение (y) растет в с раз. Таким образом, скорость изменения значения функции по отношению к скорости изменения аргумента точно равно величине с .

Откуда следует, что
(cx + b)” = c
то есть дифференциал линейной функции y=kx+b равен угловому коэффициенту наклона прямой (k).

4. Производная переменной по модулю равна частному этой переменной к ее модулю
|x|” = x / |x| при условии, что х ≠ 0
Пояснение :
Поскольку производная переменной (см. формулу 2) равна единице, то производная модуля отличается лишь тем, что значение скорости изменения функции меняется на противоположное при пересечении точки начала координат (попробуйте нарисовать график функции y = |x| и убедитесь в этом сами. Именно такое значение и возвращает выражение x / |x| . Когда x 0 – единице. То есть при отрицательных значениях переменной х при каждом увеличении изменении аргумента значение функции уменьшается на точно такое же значение, а при положительных – наоборот, возрастает, но точно на такое же значение.

5. Производная переменной в степени равна произведению числа этой степени и переменной в степени, уменьшенной на единицу
(x c)”= cx c-1 , при условии, что x c и сx c-1 ,определены а с ≠ 0
Пример:
(x 2)” = 2x
(x 3)” = 3x 2
Для запоминания формулы :
Снесите степень переменной “вниз” как множитель, а потом уменьшите саму степень на единицу. Например, для x 2 – двойка оказалась впереди икса, а потом уменьшенная степень (2-1=1) просто дала нам 2х. То же самое произошло для x 3 – тройку “спускаем вниз”, уменьшаем ее на единицу и вместо куба имеем квадрат, то есть 3x 2 . Немного “не научно”, но очень просто запомнить.

6. Производная дроби 1/х
(1/х)” = – 1 / x 2
Пример:
Поскольку дробь можно представить как возведение в отрицательную степень
(1/x)” = (x -1)” , тогда можно применить формулу из правила 5 таблицы производных
(x -1)” = -1x -2 = – 1 / х 2

7. Производная дроби с переменной произвольной степени в знаменателе
(1 / x c)” = – c / x c+1
Пример:
(1 / x 2)” = – 2 / x 3

8. Производная корня (производная переменной под квадратным корнем)
(√x)” = 1 / (2√x) или 1/2 х -1/2
Пример:
(√x)” = (х 1/2)” значит можно применить формулу из правила 5
(х 1/2)” = 1/2 х -1/2 = 1 / (2√х)

9. Производная переменной под корнем произвольной степени
(n √x)” = 1 / (n n √x n-1)

Задача нахождения производной от заданной функции является одной из основных в курсе математики старшей школы и в высших учебных заведениях. Невозможно полноценно исследовать функцию, построить ее график без взятия ее производной. Производную функции легко можно найти, зная основные правила дифференцирования, а также таблицу производных основных функций. Давайте разберемся, как найти производную функции.

Производной функции называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Понять это определение достаточно сложно, так как понятие предела в полной мере не изучается в школе. Но для того, чтобы находить производные различных функций, понимать определение не обязательно, оставим его специалистам математикам и перейдем сразу к нахождению производной.

Процесс нахождения производной называется дифференцированием. При дифференцировании функции мы будем получать новую функцию.

Для их обозначения будем использовать латинские буквы f, g и др.

Существует много всевозможных обозначений производных. Мы будем использовать штрих. Например запись g” означает, что мы будем находить производную функции g.

Таблица производных

Для того чтобы дать ответ на вопрос как найти производную, необходимо привести таблицу производных основных функций. Для вычисления производных элементарных функций не обязательно производить сложные вычисления. Достаточно просто посмотреть ее значение в таблице производных.

1. (sin x)”=cos x
2. (cos x)”= –sin x
3. (x n)”=n x n-1
4. (e x)”=e x
5. (ln x)”=1/x
6. (a x)”=a x ln a
7. (log a x)”=1/x ln a
8. (tg x)”=1/cos 2 x
9. (ctg x)”= – 1/sin 2 x
10. (arcsin x)”= 1/√(1-x 2)
11. (arccos x)”= – 1/√(1-x 2)
12. (arctg x)”= 1/(1+x 2)
13. (arcctg x)”= – 1/(1+x 2)

Пример 1. Найдите производную функции y=500.

Мы видим, что это константа. По таблице производных известно, что производная константы, равна нулю (формула 1).

Пример 2. Найдите производную функции y=x 100 .

Это степенная функция в показателе которой 100 и чтобы найти ее производную нужно умножить функцию на показатель и понизить на 1 (формула 3).

(x 100)”=100 x 99

Пример 3. Найдите производную функции y=5 x

Это показательная функция, вычислим ее производную по формуле 4.

Пример 4. Найдите производную функции y= log 4 x

Производную логарифма найдем по формуле 7.

(log 4 x)”=1/x ln 4

Правила дифференцирования

Давайте теперь разберемся, как находить производную функции, если ее нет в таблице. Большинство исследуемых функций, не являются элементарными, а представляют собой комбинации элементарных функций с помощью простейших операций (сложение, вычитание, умножение, деление, а также умножение на число). Для нахождения их производных необходимо знать правила дифференцирования. Далее буквами f и g обозначены функции, а С – константа.

1. Постоянный коэффициент можно выносить за знак производной

Пример 5. Найдите производную функции y= 6*x 8

Выносим постоянный коэффициент 6 и дифференцируем только x 4 . Это степенная функция, производную которой находим по формуле 3 таблицы производных.

(6*x 8)” = 6*(x 8)”=6*8*x 7 =48* x 7

2. Производная суммы равна сумме производных

(f + g)”=f” + g”

Пример 6. Найдите производную функции y= x 100 +sin x

Функция представляет собой сумму двух функций, производные которых мы можем найти по таблице. Так как (x 100)”=100 x 99 и (sin x)”=cos x. Производная суммы будет равна сумме данных производных:

(x 100 +sin x)”= 100 x 99 +cos x

3. Производная разности равна разности производных

(f – g)”=f” – g”

Пример 7. Найдите производную функции y= x 100 – cos x

Эта функция представляет собой разность двух функции, производные которых мы также можем найти по таблице. Тогда производная разности равна разности производных и не забудем поменять знак, так как (cos x)”= – sin x.

(x 100 – cos x)”= 100 x 99 + sin x

Пример 8. Найдите производную функции y=e x +tg x– x 2 .

В этой функции есть и сумма и разность, найдем производные от каждого слагаемого:

(e x)”=e x , (tg x)”=1/cos 2 x, (x 2)”=2 x. Тогда производная исходной функции равна:

(e x +tg x– x 2)”= e x +1/cos 2 x –2 x

4. Производная произведения

(f * g)”=f” * g + f * g”

Пример 9. Найдите производную функции y= cos x *e x

Для этого сначала найдем производного каждого множителя (cos x)”=–sin x и (e x)”=e x . Теперь подставим все в формулу произведения. Производную первой функции умножим на вторую и прибавим произведение первой функции на производную второй.

(cos x* e x)”= e x cos x – e x *sin x

5. Производная частного

(f / g)”= f” * g – f * g”/ g 2

Пример 10. Найдите производную функции y= x 50 /sin x

Чтобы найти производную частного, сначала найдем производную числителя и знаменателя отдельно: (x 50)”=50 x 49 и (sin x)”= cos x. Подставив в формулу производной частного получим:

(x 50 /sin x)”= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x

Производная сложной функции

Сложная функция – это функция, представленная композицией нескольких функций. Для нахождения производной сложной функции также существует правило:

(u (v))”=u”(v)*v”

Давайте разберемся как находить производную такой функции. Пусть y= u(v(x)) – сложная функция. Функцию u назовем внешней, а v – внутренней.

Например:

y=sin (x 3) – сложная функция.

Тогда y=sin(t) – внешняя функция

t=x 3 – внутренняя.

Давайте попробуем вычислить производную этой функции. По формуле необходимо перемножить производные внутренней и внешней функции.

(sin t)”=cos (t) – производная внешней функции (где t=x 3)

(x 3)”=3x 2 – производная внутренней функции

Тогда (sin (x 3))”= cos (x 3)* 3x 2 – производная сложной функции.

Приложение

Решение производной на сайт для закрепления пройденного материала студентами и школьниками. Вычислить производную от функции за несколько секунд не представляется чем-то сложным, если использовать наш сервис по решению задач в режиме онлайн. Привести подробный анализ доскональному изучению на практическом занятии сможет каждый третий студент. Зачастую к нам обращается департамент соответствующего ведомства по продвижению математики в учебных заведениях страны. Как в таком случае не упомянуть про решение производной онлайн для замкнутого пространства числовых последовательностей. Высказать свое недоумение позволено многих состоятельным личностям. Но между делом математики не сидят на месте и много работают. Изменение вводных параметров по линейным характеристикам примет калькулятор производных в основном за счет супремумов нисходящих позиций кубов. Итог неизбежен как поверхность. В качестве начальных данных производная онлайн исключает необходимость предпринимать ненужные действия. За исключением вымышленных домашних работ. Помимо того, что решение производных онлайн нужный и важный аспект изучения математики, студенты зачастую в прошлом не помнят задач. Студент, как ленивое существо, это понимает. Но студенты – веселые люди! Либо делать по правилам, либо производная функции в наклонной плоскости может придать ускорение материальной точке. Куда-то направим вектор нисходящего пространственного луча. В нужном ответе найти производную кажется абстрактным теоретическим направлением из-за неустойчивости математической системы. Задумаем отношение чисел как последовательность неиспользуемых вариантов. Канал связи пополнился пятой линий по вектору убывания из точки замкнутого раздвоения куба. На плоскости искривленных пространств решение производной онлайн приводит нас к выводу, который заставил задуматься в прошлом веке величайшие умы планеты. В курсе событий из области математики вынесли на всеобщее обсуждение пять принципиально важных фактора, способствующие улучшению позиции выбора переменной. Вот и закон для точек гласит, что производная онлайн подробно вычисляется не в каждом случае, исключением может быть только лояльно прогрессирующий момент. Прогноз вывел нас на новый виток развития. Нужен результат. В линию прошедшего под поверхность математического наклона калькулятор производных режима находятся в области пересечения произведений на множестве изгиба. Осталось проанализировать дифференцирование функции в её независимой точке около эпсилон-окрестности. В этом можно убедиться каждому на практике. В итоге будет что решать на следующем этапе программирования. Студенту производная онлайн нужна как всегда независимо от практикуемых воображаемых исследований. Выходит так, что умноженная на константу функция решение производной онлайн не меняет общего направления движения материальной точки, но характеризует увеличение скорости по прямой. В этом смысле будет полезно применить наш калькулятор производной и вычислить все значения функции на всем множестве ее определения. Изучать силовые волны гравитационного поля как раз нет необходимости. Ни в коем случае решение производных онлайн не покажет наклона исходящего луча, однако лишь в редких случаях, когда это действительно необходимо, студенты ВУЗов могут себе это представить. Исследуем принципала. Значение наименьшего ротора прогнозируемо. Применить к результату смотрящих направо линий, по которым описывается шар, но онлайн калькулятор производных это есть основа для фигур особой прочности и нелинейной зависимости. Отчет по проекту математики готов. Личные характеристики разность наименьших чисел и производная функции по оси ординат выведет на высоту вогнутость той же функции. Есть направление – есть вывод. Легче выдвинуть теорию на практике. Есть предложение у студентов по срокам начала исследования. Нужен преподавателя ответ. Снова, как и к предыдущему положению, математическая система не регулируема на основании действия, которое поможет найти производную.Как и нижний полулинейный вариант производная онлайн подробно укажет на выявленность решения по вырожденному условному закону. Как раз выдвинута идея по расчету формул. Линейное дифференцирование функции отклоняет истинность решения на простое выкладывание неуместных положительных вариаций. Важность знаков сравнения будет расценена как сплошной разрыв функции по оси. В том заключается важность самого осознанного вывода, по мнению студента, при котором производная онлайн есть нечто иное, чем лояльный пример мат анализа. Радиус искривленного круга в пространстве Евклидовом напротив дал калькулятор производных естественному представлению обмена решительных задач на устойчивость. Лучший метод найден. Было проще ставить задание на уровень вверх. Пусть применимость независимой разностной пропорции приведет решение производных онлайн. Крутится решение вокруг оси абсцисс, описывая фигуру круга. Выход есть, и он основан на теоретически подкрепленных студентами ВУЗов исследованиях, по которым учится каждый, и даже в те моменты времени существует производная функции. Нашли прогрессу дорогу и студенты подтвердили. Мы можем позволить себе найти производную, не выходя за рамки неестественного подхода в преобразовании математической системы. Левый знак пропорциональности растет с геометрической последовательностью как математическое представление онлайн калькулятора производных за счет неизвестного обстоятельства линейных множителей на бесконечной оси ординат. Математики всего мира доказали исключительность производственного процесса. Есть наименьший квадрат внутри круга по описанию теории. Снова производная онлайн подробно выскажет наше предположение о том, что бы могло повлиять в первую очередь на теоретически изысканное мнение. Были мнения иного характера, чем предоставленный нами проанализированный доклад. Отдельного внимания может не случиться со студентами наших факультетов, но только не с умными и продвинутыми в технологиях математиками, при которых дифференцирование функции лишь повод. Механический смысл производной очень прост. Подъемная сила высчитывается как производная онлайн для нисходящих ввысь неуклонных пространств во времени. Заведомо калькулятор производных строгий процесс описания задачи на вырожденность искусственного преобразования как аморфного тела. Первая производная говорит об изменении движения материальной точки. Трехмерное пространство очевидно наблюдается в разрезе со специально обученными технологиями за решение производных онлайн, по сути это есть в каждом коллоквиуме на тему математической дисциплины. Вторая производная характеризует изменение скорости материальной точки и определяет ускорение. Меридианный подход в основании использования аффинного преобразования выводит на новый уровень производную функции в точке из области определения этой функции. Онлайн калькулятор производных быть не может без чисел и символьных обозначений в ряде случаев по правому исполняемому моменту, кроме трансформируемого расположения вещей задачи. Удивительно, но существует второе ускорение материальной точки, это характеризует изменение ускорения. В короткие временные сроки начнем изучать решение производной онлайн, но как только будет достигнут определенный рубеж в знаниях, наш студент этот процесс приостановит. Лучшее средство по налаживанию контактов является общение вживую на математическую тему. Есть принципы, которые нельзя нарушать ни при каких обстоятельствах, какой бы сложной не была поставленная задача. Полезно найти производную онлайн вовремя и без ошибок. Приведет это к новому положению математического выражения. Система устойчива. Физический смысл производной не так популярен, как механический. Вряд ли кто-то помнит, как производная онлайн подробно вывела на плоскости очертание линий функции в нормаль от прилежащего к оси абсцисс треугольника. Большую роль в исследованиях прошлого века заслуживает человек. Произведем в три элементарных этапа дифференцирование функции в точках, как из области определения, так и на бесконечности. Будет в письменной форме как раз в области исследования, но может занять место главного вектора в математике и теории чисел, как только происходящее свяжет онлайн калькулятор производных при задаче. Была бы причина, а повод составить уравнение будет. Очень важно иметь в виду все входные параметры. Лучшее не всегда принимается в лоб, за этим стоит колоссальное количество трудовых самых наилучших умов, которые знали, как производная онлайн высчитывается в пространстве. С тех пор выпуклость считается свойством непрерывной функции. Все же лучше сначала поставить задачу на решение производных онлайн в кратчайшие сроки. Таким образом, решение будет полным. Кроме невыполненных норм это не считается достаточным. Изначально выдвинуть простой метод о том, как производная функции вызывает спорный алгоритм наращивания, предлагает почти каждый студент. По направлению восходящего луча. В этом есть смысл как в общем положении. Ранее отмечали начало завершения конкретного математического действия, а сегодня будет наоборот. Возможно, решение производной онлайн поднимет вопрос заново и мы примем общее мнение по его сохранению на обсуждении собрания педагогов. Надеемся на понимание со всех сторон участниц собрания. Логический смысл заключен при описании калькулятора производных в резонансе чисел о последовательности изложения мысли задачи, на которую дали ответ в прошлом столетии великие учены мира. Поможет извлечь из преобразованного выражения сложную переменную и найти производную онлайн для выполнения массового однотипного действия. Истина в разы лучше догадок. Наименьшее значение в тренде. Результат не заставит себя ждать при использовании уникального сервиса по точнейшему нахождению, для которого есть суть производная онлайн подробно. Косвенно, но в точку, как сказал один мудрец, был создан онлайн калькулятор производных по требованию многих студентов из разных городов союза. Если разница есть, то зачем решать дважды. Заданный вектор лежит по одну сторону с нормалью. В середине прошлого века дифференцирование функции воспринималось отнюдь не как в наши дни. Благодаря развитию в прогрессе, появилась математика онлайн. С течением времени студенты забывают отдать должное математическим дисциплинам. Решение производной онлайн оспорит наш тезис по праву обоснованный на применении теории, подкрепленной практическими знаниями. Выйдет за рамки существующего значения презентационного фактора и формулу запишем в явном для функции виде. Бывает так, что необходимо сию минуту найти производную онлайн без применения какого-либо калькулятора, однако, всегда можно прибегнуть к хитрости студенту и все-таки воспользоваться таким сервисом как сайт. Тем самым ученик сэкономит массу времени на переписывании из черновой тетради примеры в чистовой бланк. Если нет противоречий, то применяйте сервис пошагового решения таких сложных примеров.

Дата: 10.05.2015

Правила дифференцирования.

Чтобы найти производную от любой функции, надо освоить всего три понятия:

2. Правила дифференцирования.

3. Производная сложной функции.

Именно в таком порядке. Это намёк.)

Разумеется, неплохо бы ещё иметь представление о производной вообще). О том, что такое производная, и как работать с таблицей производных – доступно рассказано в предыдущем уроке. Здесь же мы займёмся правилами дифференцирования.

Дифференцирование – это операция нахождения производной. Более за этим термином ничего не кроется. Т.е. выражения “найти производную функции” и “продифференцировать функцию” – это одно и то же.

Выражение “правила дифференцирования” относится к нахождению производной от арифметических операций. Такое понимание очень помогает избежать каши в голове.

Сосредоточимся и вспомним все-все-все арифметические операции. Их четыре). Сложение (сумма), вычитание (разность), умножение (произведение) и деление (частное). Вот они, правила дифференцирования:

В табличке приведено пять правил на четыре арифметических действия. Я не обсчитался.) Просто правило 4 – это элементарное следствие из правила 3. Но оно настолько популярно, что имеет смысл записать (и запомнить!) его как самостоятельную формулу.

Под обозначениями U и V подразумеваются какие-то (совершенно любые!) функции U(x) и V(x).

Рассмотрим несколько примеров. Сначала – самые простые.

Найти производную функции y=sinx – x 2

Здесь мы имеем разность двух элементарных функций. Применяем правило 2. Будем считать, что sinx – это функция U , а x 2 – функция V. Имеем полное право написать:

y” = (sinx – x 2)” = (sinx)”- (x 2)”

Уже лучше, правда?) Осталось найти производные от синуса и квадрата икса. Для этого существует таблица производных. Просто ищем в таблице нужные нам функции (sinx и x 2 ), смотрим, какие у них производные и записываем ответ:

y” = (sinx)” – (x 2)” = cosx – 2x

Вот и все дела. Правило 1 дифференцирования суммы работает точно так же.

А если у нас несколько слагаемых? Ничего страшного.) Разбиваем функцию на слагаемые и ищем производную от каждого слагаемого независимо от остальных. Например:

Найти производную функции y=sinx – x 2 +cosx – x +3

Смело пишем:

y” = (sinx)” – (x 2)” + (cosx)” – (x)” + (3 )”

В конце урока дам советы по облегчению жизни при дифференцировании.)

Практические советы:

1. Перед дифференцированием смотрим, нельзя ли упростить исходную функцию.

2. В замороченных примерах расписываем решение подробно, со всеми скобочками и штрихами.

3. При дифференцировании дробей с постоянным числом в знаменателе, превращаем деление в умножение и пользуемся правилом 4.

Как выбирают и почему удаляют мобильное ПО

Резкий сдвиг

Из-за череды локдаунов и других ограничений, в том числе невозможности посещать торговые центры, граждане стали чаще обращаться за помощью к онлайн-сервисам. Об увеличении их популярности говорит рост таких поисковых запросов, как «интернет-магазины» и «бесплатная доставка», рассказали «Газете.Ru» в Google.

Пик поиска по запросам приходится на март и апрель 2020 года — самое начало ковидных ограничений. Но когда ситуация немного стабилизировалась, количество запросов не уменьшилось, а наоборот, возросло еще на 50%.

Пользователи все чаще искали возможность легко и быстро совершать покупки с помощью приложений — таким образом они упрощают процесс и обходят ограничения, которые вводят власти стран в попытке борьбы с пандемией.

Не менее важным стала и возможность управления финансами через онлайн. Ситуация в индустрии финансов начала меняться еще до пандемии — банки создавали и совершенствовали приложения. Однако карантинные ограничения ускорили эти процессы. Согласно Adjust + Apptopia: The Mobile Finance Report 2020, в первом полугодии прошлого года среднее количество пользовательских сеансов в инвестиционных приложениях возросло на 88%.

Если приложение действительно качественное и полезное, то оно становится для пользователя жизненно необходимым. Тем ресурсом, который буквально лежит в кармане, к которому можно обратиться при первой же необходимости, отметили в Google.

43% пользователей приложений с функциями покупки товаров заявили, что таким образом экономят время. Также 40% опрошенных отметили быстроту и легкость транзакций. При этом 34% ответили более расплывчато — по их словам, приложения делают жизнь легче, особенно в период ограничений.

Как выбирают приложения

По данным Statista, в 2020 году в App Store добавили 400 тыс. новых приложений. В исследовании Google и MTM указаны основные факторы, которые влияют на выбор того или иного приложения.

Когда потребители ищут приложение для покупок, в первую очередь, они обращают внимание на связь с сильным брендом — 63% заявили, что установят приложение, если знают и положительно относятся к бренду.

Следующими по популярности факторами являются отзывы в магазинах приложений (62%) и «сарафанное радио» — 60% следуют рекомендациям знакомых. В опросе 56% респондентов сообщили, что на их решение повлияло предложение скидок и бонусов за установку.

С финансовыми приложениями граждане более осторожны, так как они все-таки влияют на жизнь значительные любых других. 65% пользователей признались, что тратят около дня на принятие решения и при этом обращаются к 4-5 различным источникам за информацией.

При установке подобных приложений пользователи гораздо чаще ориентируются на отзывы. Они помогли определиться 64% опрошенных. Также 58% рассказали, что смотрят на количество загрузок. Известность и популярность бренда важна для 60% пользователей.

Почему люди отказываются от приложений

Однако установка не значит, что приложение не удаляют. По данным Google, пользователи способны стереть приложение или перестать им пользоваться по нескольким причинам.

Наибольшее разочарование у граждан вызывает процесс регистрации. Согласно Google и MTM, больше половины пользователей приложений для покупки товаров (52%) были недовольны большим количеством информации, которая требуется для регистрации.

При использовании финансовых приложений акцент делается не на самих данных, а на времени, которое пользователи тратят на регистрацию. В случае с возможным получением прибыли от инвестиций в основном они готовы делиться персональными данными, но 89% не хотят тратить на эту процедуру дольше 15 минут.

Во всех приложениях пользователей сильно отталкивает, если от них требуют дополнительную информацию, которую сами пользователи считают неуместной для запроса. Например, предложения открыть доступ к камере, микрофону или отслеживать геолокацию. Для 48% пользователей финансовых приложений и 38% в сфере розничной торговли эти требования стали чрезмерными и привели к удалению приложения.

Также потребители отметили, что для них важно, чтобы многое было автоматизировано и им приходилось как можно меньше нажимать на экран. Пандемия привела к росту требований автоматизации даже самых сложных процессов.

В Google считают, что брендам стоит создавать опросы, чтобы пользователи напрямую отвечали, что именно им нужно. Таким образом в дальнейшем клиентские сервисы будут совершенствоваться и становиться еще более удобными и полезными.

Что привлекает в приложениях

Для покупок через приложения наиболее важными являются возможность отслеживания заказов, связь со службой поддержки, а также правильно работающий поиск. По итогам опроса 44% пользователей сообщили, что предпочитают поисковые фильтры, а 40% пользуются текстовым поиском.

Пользователи активно пожаловались на то, что во многих приложениях происходит сброс настроек поиска после перехода на другую страницу.

Во время использования финансового приложения пользователи в первую очередь хотят точности и контроля всех действий. Одной из наиболее часто используемых функций является «мгновенное подтверждение транзакции» (47%). Также для пользователей крайне важны актуальные и полезные уведомления, которые можно настроить под себя.

Безопасность данных крайне беспокоит пользователей. Они считают необходимым ввод внутри приложения отдельного входа по паролю или пин-коду, или с помощью биометрических данных (отпечаток пальца, сканирование лица).

По мнению Google, вход по отпечатку пальца и иная биометрия добавляют простоты и доступности, гарантируя, что клиентам не нужно запоминать сложные пароли. Тем не менее не все эксперты в области кибербезопасности согласны с тем, что биометрия так же безопасна, как и классические комбинации букв и/или цифр.

Менеджер по медиа исследованиям Google Антон Аксенов заявил «Газете.Ru», что рынок приложений стремительно растет.

«Люди стали пользоваться приложениями чаще и больше. Они делают пользовательский опыт более эмоциональным и создают ощущение близости», — уверен специалист.

По его словам, приложения более приятны людям потому, что ими пользуются со смартфона. «Мы можем делать то же самое и за компьютером, но мы находимся дальше от экрана и скорее всего сидим за столом, что делает этот процесс похожим на работу», — посетовал эксперт.

Менеджер считает, что при взаимодействии с компьютером теряется эмоциональная близость. «Поэтому именно приложения становятся лучшим средством для совершения покупок», — заключил Аксенов.

Марквиз – помогаем посетителю оставить заявку

Пользуюсь марквизом более 2 лет в разных направлениях. Тестировал моклиентс и енвибокс. Но на этапе тестирования примуществом овладел марквиз. Удобное расположение кнопок, класный редактор, интуитивно понятный интерфейс. Море удобных функций, до которых схожим сервисам еще расти и расти! А главное, это супер тех. поддержка!!! Отвечают в течении минуты, решают любой вопрос очень быстро и как никто лояльны. Всем рекомендую!!!

Данил Абакумо

Пользователь otzyvmarketing

До Marquiz использовал другой онлайн-конструктор, в сравнении с которым Marquiz набирает 100 баллов из 100! Нравится тут расположение кнопок, простой интерфейс, широкие возможности кастомизации, отзывчивость техподдержки. И самое главное, что работает все четко и без сбоев! С задачей своей сервис справляется на ура – позволяет найти потенциального клиента и превратить его в покупателя!

Антон Коршунов

Пользователь CRMindex

Прошло только три месяца, как мы стали использовать Marquiz, а результаты уже впечатляют! За это время продажи с сайта удалось поднять на 20% и на этом останавливаться не собираемся! Создавать квизы в онлайн-конструкторе одно удовольствие! Весь процесс занимает максимум минут 15 (если не уделять особого внимания оформлению). У Marquiz много полезных функций, при этом сложностей с освоением интерфейса не возникло совершенно. Всего пару раз обращались за помощью в саппорт на этапах знакомства с функционалом. Благодаря информативной статистике по ответам делаем расширенный анализ. На основе полученных ответов не раз разрабатывали интересные предложения и корректировали свои действия по маркетингу в целом. В ближайшее время планируем перейти на более расширенный пакет, чтобы и дальше увеличивать потенциал. Для увеличения числа заявок сервис Marquiz отлично подходит! Рекомендуем смело!

Ростислав

Пользователь CRMindex

Наткнулся в рекламе на опрос созданный с помощью этого сервиса, где после опроса я получил интересующий меня файл. Опрос выделялся необычностью, хорошим дизайном и удобством. Потом долго искал платформу на какой он был сделан и тут наткнулся.

Alexander Brtn

Пользователь StartPack

На момент написания обзора — самый функциональный сервис для конструирования квиза. Сама идея виджета свежая и вызывает интерес у клиентов. Рекомендуем попробовать в сравнении с другими стандартными лидогенераторами (формы обратного звонка, онлайн-чаты и т.д.)

Арсений Груздев

интернет-маркетолог

Веду как администратор сайт, занимаюсь его продвижением, наполнением и вообще слежу за его состоянием. Недавно наткнулась на квиз на сайте конкурентов, решила, что нам необходимо сделать также) Нашла марквиз и сделала квиз полностью на нем. Трудностей у меня не возикло, на все про все у меня ушло около 2 часов) Что касается цены то она не низкая, но и не высокая, приемлимая)

Елена Cтепанова

Пользователь In-Scale

Впервые столкнулась с такой темой. Раньше пользовались самыми обычными формами захвата лида на сайте. И вроде бы даже все нравилось, а тут решили попробовать что-то интересное. Оказалось, что квизы – супер идея! Не заезженное “Купи сейчас скидка 20% истекает сегодня…”, а интеллектуальный и реально вовлекающий этап продаж! Мало того, что человек тебе рассказывает о своих потребностях, он сам же тебе и свои контакты для предложения оставляет.

Лилия Сабулина

Пользователь In-Scale

Пользуюсь марквизом уже год, до этого о функции квизов даже не слышал и решил попробовать) Подключил квиз к сайту, написал вопросы, вставил картинки и количество заказов с сайта выросло процентов на 35-40, что было приятным сюрпризом) Плюс первые заказы я получил на бесплатном тарифе) Наверное такой эффект из-за незаезженности функции) Настройка максимально простая, если не заморачиваться по дизайну можно все настроить минут за 10)

Ярослов Сувинов

Пользователь In-Scale

Как выявить игроков с зависимостью. Опыт Parimatch

Букмекерские компании по всему миру объединяет одно – им невыгодны клиенты, зависимые от игры и прогнозов. Так говорит Ростислав Майкович, главный аналитик Parimatch Tech – международной продуктовой компании, которая предлагает технологические и маркетинговые решения для игр и развлечений.

Каждый месяц в Parimatch Tech тратят больше $100 тыс. на технологии, которые помогают игрокам вовремя остановиться. В партнерском материале с Parimatch Tech Ростислав Майкович рассказывает, почему букмекерам невыгодны зависимые игроки и какая технология помогает их обнаружить.

Партнер проекта?

Почему лудоманы невыгодны букмекерам

Пока футболист «Реал Мадрида» Карим Бензема бежит с мячом к воротам или собирается бить штрафной, сотни тысяч людей в букмекерских конторах делают прогнозы – забьет или нет.

«Это не способ заработать, а развлечение. Если относиться к этому так – не будет проблем ни у игроков, ни у букмекеров», – говорит Ростислав Майкович.

Международная продуктовая компания Parimatch Tech делает игровые платформы для букмекерской компании Parimatch. Прямо на сайте у них можно смотреть трансляции главных спортивных событий и там же делать прогнозы. В компании выступают за ответственную игру – такую, которая не предполагает полного вовлечения и зависимости от нее.

По словам Майковича, есть три причины, по которым лудоманы – зависимые от игры клиенты – невыгодны букмекерам:

• Они меньше взаимодействуют с платформой. Клиент без зависимости играет в удовольствие и проводит на платформе около восьми-десяти месяцев. Потом он «отдыхает» от прогнозов и снова возвращается. Лудоман проводит на платформе два-три месяца, сидит ночами, все проигрывает и поэтому уходит.
• Они приносят меньший доход компании. Игра для зависимого клиента становится слишком важной, важнее работы и семьи. Это мешает карьере, рано или поздно человек теряет доход и не может больше играть. Выручают займы или случайные заработки, но ненадолго. Клиент со здоровым отношением к игре, как правило, стабилен – он ходит на работу и имеет постоянный заработок, а значит, приносит доход букмекерской компании.
• Они портят репутацию компании. «Обычно в игровой зависимости человека общество винит нас», – говорит Майкович. Лудоманы, все проиграв, могут подавать в суд на компанию или давать обвинительные интервью.

Сегодня Parimatch представлена в Украине, Беларуси, Грузии, Казахстане, на Кипре и в Танзании. Во всех странах есть люди с зависимостью, и эту проблему компания решает.

30 человек и $100 тыс. на борьбу с зависимостью

В украинском Parimatch за ответственную игру отвечают 30 сотрудников – «отдел заботы» и аналитики. Каждый месяц во всех представительствах компании тратят около $100 тыс. на то, чтобы находить потенциально зависимых клиентов и работать с ними.

На платформах Parimatch работает data science – технология, которая собирает и анализирует данные о клиентах и их интересах, а потом извлекает из них нужную информацию. Например, определяет, какой вид спорта или команда больше всего понравятся человеку, на какое предложение он, скорее всего, откликнется. Основная цель технологии – настраивать продукт под клиента.

Еще она помогает в борьбе с игровой зависимостью. Например, рассчитывает, как ведет себя клиент, и прогнозирует, что он может сделать дальше. Чем больше информации накапливается – тем точнее прогнозы data science.

Ростислав Майкович, главный аналитик Parimatch Tech

На основе такого анализа мы не можем на 100% сказать, что человек зависимый. Это могут утверждать только психиатры или сам клиент, который осознает проблему. Но data science помогает нам присмотреться к человеку и предположить проблемы с игрой.

Что выдает лудомана

Вот что может быть признаками зависимости от игры:

1. Сколько тратит клиент. В компании есть формула: у игроков с зависимостью каждая следующая трата минимум в два раза превышает уже потерянную сумму. Майкович поясняет: «В начале игры человек поставил $10 и проиграл – тут бы остановиться или поставить меньшую сумму. Но он ставит $20 в надежде вернуть убытки. А потом еще в 2–4 раза больше. В итоге проигрывает намного больше, чем планировал вначале, иногда деньги, которые были предназначены на другие цели».
2. Сколько времени проводит на платформе. Когда человек проводит на платформе столько времени, что это начинает негативно влиять на его жизнь, то можно говорить о зависимости от игры. «Нас насторожит, если клиент играет несколько ночей подряд, жертвует своим сном. Или подолгу играет в рабочее время – это может повлиять на его карьеру», – поясняет Ростислав Майкович.
3. На что делает прогнозы. Проблемному игроку все равно, на что ставить: он может быстро переключаться с одного на другое. «Такой человек одновременно делает прогнозы на европейский и бразильский футбол. Второй в Украине не популярен, и такое поведение всегда вызывает подозрение. Скорее всего, игроку просто все равно, на что ставить, – он любой ценой хочет выиграть», – поясняет Майкович.

Сообщения про ответственную игру и реклама с Усиком

Если человек проигрывает сразу большую сумму денег, он получает сообщение от Parimatch, в котором ему напоминают про ответственную игру и дают ссылку на страницу об этом.

В будущем в компании планируют звонить таким игрокам, но пока не знают, в какой момент лучше это делать и как находить подход. Чтобы это выяснить, в Parimatch опросили трех психиатров, трех клиентов с предполагаемой зависимостью от игры и одного бывшего лудомана.

«Клиенты с зависимостью признались, что, если бы кто-то попытался их остановить в момент ставки, это бы только разозлило. Они прислушались бы к нашим сотрудникам только на следующий день», – делится Ростислав Майкович.

Еще для введения культуры ответственной игры в Parimatch с ноября запускают онлайн-рекламу с боксером Александром Усиком. В компании признаются: сообщения, звонки и реклама – это пока все, что можно сделать для борьбы с лудоманией. Принудительное ограничение игроков не решит проблему.

«Представьте алкоголика, который приходит в бар, напивается и его выгоняют оттуда. Что он сделает? Скорее всего, пойдет в соседний бар», – говорит Ростислав Майкович.

Как заблокировать себя самого

Один из клиентов Parimatch, который обычно играл с умом, сорвался и вместо привычных для него $100 проиграл $500. «Такие разовые срывы могут случиться с каждым и еще не говорят о зависимости, – считает Майкович. – Тот клиент опомнился и сам ограничил себе доступ к платформе на семь дней. После этого вернулся и продолжил играть в удовольствие в привычном ритме».

На платформах Parimatch с помощью функции «самоконтроль» можно заблокировать самого себя на неделю. Еще во всех букмекерских компаниях можно ограничить себя на полгода или вообще навсегда. В Parimatch для этого нужно обратиться в поддержку, заполнить заявление и отправить его по электронной почте.

«Если человек во время шестимесячного перерыва захочет поиграть, он увидит на нашем сайте сообщение о том, сколько дней ему осталось отдыхать от игры», – поясняет Ростислав Майкович.

Как еще помочь зависимым игрокам

В Европе клиенты букмекерских компаний обычно выделяют сумму, которую могут потратить на развлечения, в том числе на прогнозы, без ущерба для своего бюджета. В Украине такой культуры пока нет, поэтому нужны дополнительные требования для букмекеров, считает аналитик Parimatch.

«Должны быть ограничения, которые помогут клиентам контролировать свой бюджет на игру. Например, выставлять лимит – не больше 3 тыс. грн пополнений на счет в течение 30 дней». По словам Майковича, только государство может сделать такой подход обязательным для всех. Если ограничения введет один букмекер, игроки просто перейдут к другому.

Еще в Parimatch планируют подписать договор с британской компанией Gambling Therapy, которая занимается лечением игровой зависимости. Ростислав Майкович объясняет: «Хотим, чтобы их специалисты консультировали и обучали ​​наших сотрудников службы поддержки, предоставляли психологическую помощь нашим клиентам. Все это вместе поможет справиться с зависимостью от игры».

Фотограф: Владимир Герасимов

Партнер проекта?

Wolfram | Примеры альфа: комплексный анализ

---

Другие примеры

Сложные числа

Анализируйте свойства функций комплексной переменной или выполняйте основную арифметику, находите корни или применяйте функции к комплексным числам.

Выполните простую арифметику над комплексными числами:

Примените функции к комплексным числам:

Другие примеры

---

Комплексные функции

Построение функций комплексной переменной или вычисление и анализ их свойств.

Вычислить свойства функции сложной переменной (используйте переменную z ):

Другие примеры

---

Поляки

Найдите полюса сложной функции в заданной области или во всей комплексной плоскости.

Найдите полюса сложной функции:

Найдите полюса в указанном домене:

Другие примеры

---

Остатки

Вычислить остатки функций на комплексной плоскости в точке или в указанной области.

Вычислить остаток функции в точке:

Вычислить вычеты в полюсах функции:

Вычислить остатки на полюсах в указанном домене:

Другие примеры

---

Римановы поверхности

Вычисление и визуализация римановых поверхностей для сложных функций.

Визуализируйте риманову поверхность:

Другие примеры

Калькулятор квадратичных формул

Использование калькулятора

Этот онлайн-калькулятор представляет собой программа решения квадратного уравнения , которая решит полиномиальное уравнение второго порядка, такое как ax ² + bx + c = 0 для x, где a 0, используя Квадратичная формула .2 – 4ac> 0 \) Итак, есть два действительных корня.

Упростите радикал:

\ (x = \ dfrac {8 \ pm 2 \ sqrt {11} \,} {2} \)

\ (x = \ dfrac {8} {2} \ pm \ dfrac {2 \ sqrt {11} \,} {2} \)

Упростить дроби и / или знаки:

\ (x = 4 \ pm \ sqrt {11} \, \)

, что становится

\ (х = 7.2 – 4ac <0 \), значит, есть два комплексных корня.

Упростите радикал:

\ (x = \ dfrac {-20 \ pm 4 \ sqrt {15} \, i} {10} \)

\ (x = \ dfrac {-20} {10} \ pm \ dfrac {4 \ sqrt {15} \, i} {10} \)

Упростить дроби и / или знаки:

\ (x = -2 \ pm \ dfrac {2 \ sqrt {15} \, i} {5} \)

, что становится

\ (х = -2 + 1. {2}} $$$: модуль $$$ 2 + 16 i $$$ это $$$ 2 \ sqrt {65} $$$

Ответ

$$$ \ left (1 + 3 i \ right) \ left (5 + i \ right ) = 2 + 16 я = 2.0 + 16.0 i $$$

Полярная форма $$$ 2 + 16 i $$$ – $$$ 2 \ sqrt {65} \ left (\ cos {\ left (\ operatorname {atan} {\ left (8 \ right)} \ right)} + i \ sin {\ left (\ operatorname {atan} {\ left (8 \ right)} \ right)} \ right) $$$

Обратное к $ $$ 2 + 16 i $$$ равно $$$ \ frac {1} {2 + 16 i} = \ frac {1} {130} – \ frac {4 i} {65} \ приблизительно 0,00769230769230769 – 0,0615384615384615 i $$ $

Сопряжение $$$ 2 + 16 i $$$ равно $$$ 2 – 16 i = 2.0 – 16.0 i $$$

Модуль $$$ 2 + 16 i $$$ равен $ $$ 2 \ sqrt {65} \ около 16.1245154965971 $$$

Калькулятор корней комплексных чисел

Калькулятор найдет корни $$$ n $$$ th данного комплексного числа, используя формулу де Муавра, с указанными шагами.

Ваш ввод

Найдите $$$ \ sqrt [4] {81 i} $$$.

Решение

Полярная форма $$$ 81 i $$$ – $$$ 81 \ left (\ cos {\ left (\ frac {\ pi} {2} \ right)} + i \ sin {\ left (\ frac {\ pi} {2} \ right)} \ right) $$$ (шаги см. в калькуляторе полярной формы).{\ frac {1} {n}} \ left (\ cos {\ left (\ frac {\ theta + 2 \ pi k} {n} \ right)} + i \ sin {\ left (\ frac {\ theta + 2 \ pi k} {n} \ right)} \ right) $$$, $$$ k = \ overline {0..n-1} $$$.

У нас есть $$$ r = 81 $$$, $$$ \ theta = \ frac {\ pi} {2} $$$ и $$$ n = 4 $$$.

• $$$ k = 0 $$$: $$$ \ sqrt [4] {81} \ left (\ cos {\ left (\ frac {\ frac {\ pi} {2} + 2 \ cdot \ pi \ cdot 0} {4} \ right)} + i \ sin {\ left (\ frac {\ frac {\ pi} {2} + 2 \ cdot \ pi \ cdot 0} {4} \ right)} \ right) = 3 \ left (\ cos {\ left (\ frac {\ pi} {8} \ right)} + i \ sin {\ left (\ frac {\ pi} {8} \ right)} \ right) = 3 \ sqrt {\ frac {\ sqrt {2}} {4} + \ frac {1} {2}} + 3 i \ sqrt {\ frac {1} {2} – \ frac {\ sqrt {2} } {4}} $$$
• $$$ k = 1 $$$: $$$ \ sqrt [4] {81} \ left (\ cos {\ left (\ frac {\ frac {\ pi} { 2} + 2 \ cdot \ pi \ cdot 1} {4} \ right)} + i \ sin {\ left (\ frac {\ frac {\ pi} {2} + 2 \ cdot \ pi \ cdot 1} { 4} \ right)} \ right) = 3 \ left (\ cos {\ left (\ frac {5 \ pi} {8} \ right)} + i \ sin {\ left (\ frac {5 \ pi} { 8} \ right)} \ right) = – 3 \ sqrt {\ frac {1} {2} – \ frac {\ sqrt {2}} {4}} + 3 i \ sqrt {\ frac {\ sqrt {2 }} {4} + \ frac {1} {2}} $$$
• $$$ k = 2 $$$: $$$ \ sqrt [4] {81} \ left (\ cos {\ left ( \ frac {\ frac {\ pi} {2} + 2 \ cdot \ pi \ cdot 2} {4} \ right)} + i \ sin {\ left (\ frac {\ frac {\ pi} {2} + 2 \ cdot \ pi \ cdot 2} {4} \ right)} \ right) = 3 \ left (\ cos {\ left (\ frac {9 \ pi} {8} \ right)} + i \ sin {\ левый(\ frac {9 \ pi} {8} \ right)} \ right) = – 3 \ sqrt {\ frac {\ sqrt {2}} {4} + \ frac {1} {2}} – 3 i \ sqrt { \ frac {1} {2} – \ frac {\ sqrt {2}} {4}} $$$
• $$$ k = 3 $$$: $$$ \ sqrt [4] {81} \ left (\ cos {\ left (\ frac {\ frac {\ pi} {2} + 2 \ cdot \ pi \ cdot 3} {4} \ right)} + i \ sin {\ left (\ frac {\ frac { \ pi} {2} + 2 \ cdot \ pi \ cdot 3} {4} \ right)} \ right) = 3 \ left (\ cos {\ left (\ frac {13 \ pi} {8} \ right) } + i \ sin {\ left (\ frac {13 \ pi} {8} \ right)} \ right) = 3 \ sqrt {\ frac {1} {2} – \ frac {\ sqrt {2}} { 4}} – 3 i \ sqrt {\ frac {\ sqrt {2}} {4} + \ frac {1} {2}} $$$

Ответ

$$$ \ sqrt [4] {81 i} = 3 \ sqrt {\ frac {\ sqrt {2}} {4} + \ frac {1} {2}} + 3 i \ sqrt {\ frac { 1} {2} – \ frac {\ sqrt {2}} {4}} \ приблизительно 2.77163859753386 + 1.148050297095269 i $$$ A

$$$ \ sqrt [4] {81 i} = – 3 \ sqrt {\ frac {1} {2} – \ frac {\ sqrt {2}} {4 }} + 3 i \ sqrt {\ frac {\ sqrt {2}} {4} + \ frac {1} {2}} \ приблизительно -1,148050297095269 + 2,77163859753386 i $$$ A

$$$ \ sqrt [4] {81 i} = – 3 \ sqrt {\ frac {\ sqrt {2}} {4} + \ frac {1} {2}} – 3 i \ sqrt {\ frac {1} {2} – \ frac {\ sqrt {2}} {4}} \ приблизительно -2,77163859753386 – 1,148050297095269 i $$$ A

$$$ \ sqrt [4] {81 i} = 3 \ sqrt {\ frac {1} {2} – \ frac {\ sqrt {2}} {4}} – 3 i \ sqrt {\ frac {\ sqrt {2}} {4} + \ frac {1} {2}} \ приблизительно 1.148050297095269 – 2,77163859753386 i $$$ A

Калькулятор комплексных чисел

Инструкции :: Все функции

Инструкции

Просто введите формулу в верхнее поле.

Пример: введите (2-3i) * (1 + i) и посмотрите ответ 5-i

Все функции

Операторы

	+	Оператор сложения
	–	Оператор вычитания
	*	Оператор умножения
	/	Оператор отдела
	^	Оператор степени / экспоненты / индекса
	()	Круглые скобки

Функции

	sqrt	Квадратный корень
	грех	синус
	cos	косинус
	желто-коричневый	касательная
	asin	обратный синус (арксинус)
	acos	обратный косинус (arccos)
	атан	арктангенс (арктангенс)
	синх	Гиперболический синус
	куш	Гиперболический косинус
	танх	Гиперболический тангенс
	эксп	e (константа Эйлера) в степени значения или выражения
	пер.	Натуральный логарифм
	круглый	округлить до ближайшего целого
	этаж	Возвращает наибольшее (ближайшее к положительной бесконечности) значение, которое не больше аргумента и является целым числом.
	потолок	Возвращает наименьшее (ближайшее к отрицательной бесконечности) значение, которое не меньше аргумента и является целым числом.
	вместе	, конъюгат комплексного числа. Пример: con (2−3i) = 2 + 3i
	re	действительная часть комплексного числа. Пример: re (2−3i) = 2
	им.	мнимая часть комплексного числа.Пример: im (2−3i) = −3i

Константы

Праймер для комплексных чисел

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с “узкой” шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы сможете прокручивать их, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Полномочия и корни

В этом разделе мы рассмотрим действительно хороший способ быстрого вычисления целочисленных степеней и корней комплексных чисел.5} \). Показать решение

Конечно, мы могли бы просто сделать это путем умножения числа, но это займет много времени и может привести к ошибкам. Вместо этого мы можем преобразовать в экспоненциальную форму, а затем использовать \ (\ eqref {eq: eq1} \), чтобы быстро получить ответ.

Вот экспоненциальная форма \ (3 + 3i \). {i \ frac {\ pi} {4}}} \]

Обратите внимание, что мы использовали главное значение аргумента для экспоненциальной формы, хотя в этом и не было необходимости.n} = 1 \]

Ясно (надеюсь) \ (z = 1 \) – одно из решений. Мы хотим определить, есть ли другие решения. Для этого мы будем использовать факт из предыдущих разделов, который гласит, что \ ({z_1} = {z_2} \) тогда и только тогда, когда

\ [{r_1} = {r_2} \ hspace {0,25 дюйма} {\ mbox {и}} \ hspace {0,25 дюйма} {\ theta _2} = {\ theta _1} + 2 \ pi k \, \, \, {\ mbox {для некоторого целого числа}} \; k {\ rm {}} \ left ({т.е. \, \, k = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ ldots} \ right) \]

Итак, давайте начнем с преобразования обеих частей уравнения в комплексную форму, а затем вычислим степень в левой части.n} = 1 \ hspace {0,5 дюйма} n \ theta = 0 + 2 \ pi k \, \ hspace {0,25 дюйма} k = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ ldots \]

Теперь \ (r \) является положительным целым числом (в предположении экспоненциальной / полярной формы), и поэтому решение дает,

\ [r = 1 \ hspace {0,5 дюйма} \ theta = \ frac {{2 \ pi k}} {n} \, \ hspace {0,25 дюйма} k = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ ldots \ ]

Тогда решения уравнения:

\ [z = \ exp \ left ({i \, \, \ frac {{2 \ pi k}} {n}} \ right) \ hspace {0,25in} k = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ ldots \]

Вспомните из нашего обсуждения полярной формы (и, следовательно, экспоненциальной формы), что эти точки будут лежать на окружности радиуса \ (r \).Итак, наши точки будут лежать на единичной окружности, и они будут равномерно разнесены на единичной окружности на каждые \ (\ frac {{2 \ pi}} {n} \) радианы. Обратите внимание, что это также говорит нам о том, что существует \ (n \) различных корней, соответствующих \ (k = 0,1,2, \ ldots, n – 1 \), поскольку мы вернемся туда, откуда начали, как только достигнем \ (k = п \)

Следовательно, существует \ (n \) n ^th корней из единицы, и они равны,

\ begin {уравнение} \ exp \ left ({i \, \, \ frac {{2 \ pi k}} {n}} \ right) = \ cos \ left ({\ frac {{2 \ pi k}}) {n}} \ right) + i \ sin \ left ({\ frac {{2 \ pi k}} {n}} \ right) \ hspace {0.3} = 1 \]

, а в мире действительных чисел мы знаем, что решение этой проблемы \ (z \) = 1. Однако из вышеприведенной работы мы знаем, что в этом случае имеется 3 n ^th корней из единицы. Проблема здесь в том, что оставшиеся два являются комплексными решениями, и о них обычно не думают при поиске реального решения этого уравнения, что обычно является тем, что мы хотели до этого момента.

Итак, давайте найдем n ^th корней из единицы для \ (n \) = 3.2 & = \ exp \ left ({i \, \, \ frac {{4 \ pi}} {3}} \ right) \\ & = \ cos \ left ({\ frac {{2 \ pi}} {3}} \ right) + i \ sin \ left ({\ frac {{2 \ pi}} {3}} \ right) & \ hspace {0,5 дюйма} & = \ cos \ left ({\ frac {{4 \ pi}} {3}} \ right) + i \ sin \ left ({\ frac {{4 \ pi}} {3}} \Правильно)\\ & = – \ frac {1} {2} + \ frac {{\ sqrt 3}} {2} i & & = – \ frac {1} {2} – \ frac {{\ sqrt 3}} {2} я \ конец {выравнивание *}

Я оставлю это на ваше усмотрение, чтобы убедиться, что если вы кубите последние два значения в куб, вы фактически получите 1.{i \, \, {\ theta _0}}} \]

Итак, это говорит нам, что

\ [r = \ sqrt [n] {{{r_0}}} \ hspace {0,5 дюйма} \ theta = \ frac {{{\ theta _0}}} {n} + \ frac {{2 \ pi k}} {n} \ hspace {0,25 дюйма} k = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ ldots \]

Таким образом, различные решения \ (\ eqref {eq: eq5} \) равны

\ begin {уравнение} {a_k} = \ sqrt [n] {{{r_0}}} \ exp \ left ({i \ left ({\ frac {{{\ theta _0}}}} {n} + \ frac { {2 \ pi k}} {n}} \ right)} \ right) \ hspace {0,25in} k = 0,1,2, \ ldots, n – 1 \ label {eq: eq6} \ end {уравнение}

Итак, мы можем видеть, что точно так же, как было n n ^th корней из единицы, так же есть n n ^th корней из \ ({z_0} \).{\ frac {1} {3}}} \) Показать все решения Скрыть все решения Показать решение

Первое, что нужно сделать, это записать экспоненциальную форму комплексного числа, от которого мы извлекаем корень.

\ [2i = 2 \ exp \ left ({i \, \ frac {\ pi} {2}} \ right) \]

Итак, если мы используем \ ({\ theta _0} = \ frac {\ pi} {2} \), мы можем использовать \ (\ eqref {eq: eq6} \) для записи корней.

\ [{a_k} = \ sqrt 2 \ exp \ left ({i \ left ({\ frac {\ pi} {4} + \ pi k} \ right)} \ right) \ hspace {0.25 дюймов} k = 0,1 \]

Подключение для \ (k \) дает,

\ begin {align *} {a_0} & = \ sqrt 2 \ exp \ left ({i \ frac {\ pi} {4}} \ right) \ hspace {0,25in} & {a_1} & = \ sqrt 2 \ ехр \ left ({i \ left ({\ frac {{5 \ pi}} {4}} \ right)} \ right) \\ & = \ sqrt 2 \ left ({\ cos \ left ({\ frac {\ pi} {4}} \ right) + i \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {4}} \ right)} \ right) \ hspace {0,25 дюйма} & & = \ sqrt 2 \ left ({\ cos \ left ({\ frac {{5 \ pi}} {4}} \ right) + i \ sin \ left ({\ frac {{5 \ pi}} {4}} \ right)} \ right) \\ & = 1 + i & & = – 1 – i \ end {align *}

Я предоставлю вам проверить, что если вы возведете оба квадрата в квадрат, то получите 2 \ (i \).

b Показать решение

Вот экспоненциальная форма числа,

\ [\ sqrt 3 – i = 2 \ exp \ left ({i \, \ left ({- \ frac {\ pi} {6}} \ right)} \ right) \]

Используя \ (\ eqref {eq: eq6} \), корни равны,

\ [{a_k} = \ sqrt [3] {2} \ exp \ left ({i \ left ({- \ frac {\ pi} {{18}} + \ frac {{2 \ pi k}}} {3 }} \ right)} \ right) \ hspace {0,25 дюйма} k = 0,1,2 \]

Подключение для \ (k \) дает,

\ begin {align *} {a_0} & = \ sqrt [3] {2} \ exp \ left ({i \ left ({- \ frac {\ pi} {{18}}} \ right)} \ right) = \ sqrt [3] {2} \ left ({\ cos \ left ({- \ frac {\ pi} {{18}}} \ right) + i \ sin \ left ({- \ frac {\ pi}) {{18}}} \ right)} \ right) = 1.24078 – 0,21878 \, г \\ {a_1} & = \ sqrt [3] {2} \ exp \ left ({i \ frac {{11 \ pi}} {{18}}} \ right) = \ sqrt [3] {2} \ left ( {\ cos \ left ({\ frac {{11 \ pi}} {{18}}} \ right) + i \ sin \ left ({\ frac {{11 \ pi}} {{18}}} \ right )} \ right) = – 0,43092 + 1,18394 \, i \\ {a_2} & = \, \ sqrt [3] {2} \ exp \ left ({i \ frac {{23 \ pi}} {{18}}} \ right) = \ sqrt [3] {2} \ left ({\ cos \ left ({\ frac {{23 \ pi}} {{18}}} \ right) + i \ sin \ left ({\ frac {{23 \ pi}} {{18}}}) \ right)} \ right) = – 0.80986 – 0.96516 \, i \ end {align *}

Как и в предыдущей части, я предоставлю вам проверить, что если вы кубите каждый из них, вы получите \ (\ sqrt 3 – i \).

Комплексные числа: квадратные и кубические уравнения

Комплексные числа: квадратные и кубические уравнения Математика возродилась в Западной Европе в 13 веке. В то время работы по математике были переведены с арабского на латынь, что позволило западноевропейским ученым узнать о средневековой арабоязычной математике и более древней греческой математике, такой как Евклид Elements . Во всей этой математике числами считались только положительные числа.Отрицательные числа еще не были приняты как юридические лица. (Некоторые древние культуры, в том числе Китай и Индия, принимали отрицательные числа, но не упомянутые выше.)

Решение квадратиков.

Под отрицательными числами мы понимаем, что каждое квадратное уравнение в переменной x можно записать в виде топор ² + bx + c = 0,

где a, b, и c – константы. Мы также знаем, что общее решение дается квадратной формулой:

где есть два различных реальных решения, если дискриминант b ² – 4 ac положительный, одно вещественное решение с двойной точностью, если дискриминант равен 0, и нет реальных решений, если дискриминант отрицательный.

Еще в 15 веке этого не понимали. Вместо этого квадратные уравнения были разделены на четыре различных типа в зависимости от знаков коэффициентов a, b, и c. Поскольку старший коэффициент a не равен нулю в квадратном уравнении, вы всегда можете разделить на него, чтобы получить эквивалентное квадратное уравнение, где a равно 1, то есть x ² + bx + с = 0. Эта одна форма порождает четыре формы, когда вы перемещаете отрицательные члены на другую сторону уравнения и когда вы отбрасываете ноль членов из уравнения:

907 907 2 + c

x 2	=	c
x 2 + bx	=	c
=	bx
x 2	=	bx + c

Существуют и другие формы, но либо они не имеют решений среди положительных чисел, либо их можно свести к линейным уравнениям.Каждая из этих форм требовала разных форм решения. Оглядываясь назад, мы видим, что решения XV века – это всего лишь частные случаи формулы квадратиков. Можно было бы подумать, что объединение четырех случаев в один могло бы быть достаточным оправданием для принятия отрицательных чисел, но, очевидно, это не так. Похоже, пройдет много времени, прежде чем люди расширят свое понятие числа, включив в него новые сущности.

Раствор кубиков.

Уравнения третьей степени называются кубическими уравнениями.Общая форма кубики после деления на старший коэффициент: x ³ + bx ² + cx + d = 0,

Как и в случае с квадратным уравнением, существует несколько форм кубического уравнения, когда отрицательные члены перемещаются на другую сторону уравнения, а нулевые члены отбрасываются.

Еще в 16 веке решение кубических уравнений было большим делом. В Италии между Кардано (1501–1576 гг.) И Тартальей (1499–1557 гг.) Велись споры о том, кому следует отдать должное за решение кубического уравнения.Любая книга по истории математики подробно расскажет об этом увлекательном споре. Однако для нас интересно то, что отрицательные числа стали узаконенными, было разработано более глубокое понимание уравнений и появилось первое подозрение на комплексное число. Кстати, в то время символическая алгебра еще не была развита, поэтому все уравнения записывались не символами, а словами!

Кардано в своем Artiss Magnæ или Great Art нашел отрицательные решения уравнений и назвал эти числа «фиктивными».Он также отметил важный факт, связывающий решения кубического уравнения с его коэффициентами, а именно, сумма решений представляет собой отрицание b, – коэффициент при члене x ² . В другом месте он упоминает, что проблема деления 10 на две части, чтобы их произведение равнялось 40, должна быть 5 + √ (–15) ​​и 5 ​​- √ (–15).

Исследования комплексных чисел Бомбелли

Кардано не стал углубляться в то, что позже стало называться комплексными числами, чем это наблюдение, но несколько лет спустя Бомбелли (1526–1572) привел несколько примеров с участием этих новых зверей.Вот один пример.

Одна из кубических формул Кардано дает решение уравнения x ³ = cx + d как

где e = ( d /2) ² – ( c /3) ³ ). Бомбелли использовал это, чтобы решить уравнение x ³ = 15 x + 4, чтобы получить решение

Итак, квадратный корень из –121 не является действительным числом; он ни положительный, ни отрицательный, ни нулевой.Бомбелли продолжал работать с этим выражением, пока не нашел уравнения, которые привели его к решению 4. Он определил, что

и, следовательно, решение x = 4. Вы можете проверить правильность этих уравнений, построив 2 & pm; √ – 1, чтобы получить 2 & pm; 11√ – 1.

Этот пример приведен не для того, чтобы показать, что Бомбелли знал все, что нужно знать о комплексных числах, только то, что он начал их понимать.

.