Онлайн решения дифференциальных уравнений: Дифференциальные уравнения онлайн

Решение дифференциальных уравнений второго порядка

Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Главная Справочник Дифференциальные уравнения Решение дифференциальных уравнений второго порядка

Решение простых дифференциальных уравнений второго порядка

Дифференциальные уравнения второго порядка вида

   

решаются двукратным интегрированием.

Решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка

   

Здесь коэффициенты – постоянные действительные числа. Решение этого уравнения будем искать в виде

   

Подставим эту функцию в уравнение (1):

   

   

Поскольку , то функция (2) будет решением линейного однородного уравнения тогда и только тогда, когда будет выполняться равенство

   

Уравнение (3) называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (1). А многочлен n-й степени называется характеристическим многочленом этого уравнения.

Замечание. Корни характеристического уравнения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами могут быть как действительными, так и комплексными (простыми и кратными) числами.

Утверждение 1. Если числа – различные действительные корни характеристического уравнения (3) линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (1), то функции образуют фундаментальную систему решений этого уравнения и общее решение уравнения имеет вид:

   

Утверждение 2. Если – действительный корень характеристического уравнения кратности два, то функции – фундаментальная система решений уравнения (1), общее решение этого уравнения имеет вид:

   

Утверждение 3. Если – комплексно сопряженные корни характеристического уравнения (3), которое соответствует однородному дифференциальному уравнению второго порядка (1), то функции образуют фундаментальную систему решений этого уравнение и общее решение записывается в виде:

   

Решение линейных неоднородных ДУ второго порядка

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка

   

Коэффициенты – некоторые действительные числа, – непрерывная на отрезке функция, называемая правой частью неоднородного дифференциального уравнения (4).

Общее решение этого уравнения имеет вид

   

где – произвольные постоянные, – фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения (1), – частное решение неоднородного уравнения (4).

Частное решение можно найти методом подбора (или методом неопределенных коэффициентов) в случае, если правая часть уравнения есть одной из функций вида

   

или

   

Здесь – заданные многочлены степени n, – известный многочлен степени m, – некоторые действительные числа.

Метод подбора нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения (4) с функцией вида (5), (6) в правой части состоит в том, что частное решение уравнения ищут в виде

   

– многочлен степени n с неопределенными коэффициентами, s=0 при , которое не является корнем характеристического многочлена, или s кратности , где — корень характеристического многочлена.

или

   

– многочлены степени k с неопределенными коэффициентами, s=0 ( не является корнем характеристического многочлена), или s кратности — корень характеристического многочлена.

соответственно.

Принцип суперпозиции. Если функция – решение линейного дифференциального уравнения

   

то тогда функция

   

есть решением уравнения

   

или

   

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Примеры решения дифференциальных уравнений с ответами

Алгоритм решения

дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения не так сильно отличаются от привычных уравнений, где необходимо найти переменную x, как кажется на первый взгляд. Всё различие лишь в том, что в дифференциальных уравнениях мы ищем не переменную, а функцию у(х), с помощью которой можно обратить уравнение в равенство.

Теорема

Дифференциальное уравнение – это уравнение, содержащее саму функцию (y=y(x)), производные функции или дифференциалы (y′, y″) и независимые переменные (наиболее распространённая – х). Обыкновенным дифференциальным уравнением называют уравнение, в котором содержится неизвестная функция под знаком производной или под знаком дифференциала.

Алгоритм

Чтобы решить ДУ, необходимо найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению. Это множество в большинстве случаев выглядит следующим образом:y=f(x; С), где С – произвольная постоянная.

Проверить решённое ДУ можно, подставив найденную функцию в изначальное уравнение и убедившись, что уравнение обращается в тождество (равенство).

Примеры решения дифференциальных уравнений

Пример 1

Задание

Решить дифференциальное уравнение xy’=y.

Решение

В первую очередь, необходимо переписать уравнение в другой вид. Пользуясь 

   

переписываем дифференциальное уравнение, получаем

   

Дальше смотрим, насколько реально разделить переменные, то есть путем обычных манипуляций (перенос слагаемых из части в часть, вынесение за скобки и пр.) получить выражение, где «иксы» с одной стороны, а «игреки» с другой. В данном уравнении разделить переменные вполне реально, и после переноса множителей  по правилу пропорции получаем

   

Далее интегрируем полученное уравнение:

   

В данном случае интегралы берём из таблицы:

   

После того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.

То есть,

   

– это общий интеграл. Также для удобства и красоты, его можно переписать в другом виде: y=Cx, где С=Const

Ответ

y=Cx, где С=Const.

Пример 2

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

   

.

Решение

Действуем по тому же алгоритму, что и в предыдущем решении.

Переписываем производную в нужном виде, разделяем переменные и интегрируем полученное уравнение:

   

   

   

   

Получили общий интеграл.Далее, воспользуемся свойством степеней, выразим у в «общем» виде и перепишем функцию:

   

   

Если  – это константа, то

   

– тоже некоторая константа, заменим её буквой С:

   

– убираем модуль и теперь константа может принимать и положительные, и отрицательные значения.

Получаем общее решение:

   

где С=const.

Ответ

   

где С=const.

Пример 3

Задание

Решить дифференциальное уравнение

   

Решение

В первую очередь необходимо переписать производную в необходимом виде:

   

Второй шаг – разделение переменных и перенос со сменой знака второго слагаемого в правую часть:

   

   

После разделения переменных, интегрируем уравнение, как в примерах выше.

   

Чтобы решить интегралы из левой части, применим метод подведения функции под знак дифференциала:

   

   

   

В ответе мы получили одни логарифмы и константу, их тоже определяем под логарифм.

Далее упрощаем общий интеграл:

   

   

   

   

Приводим полученный общий интеграл к виду: F(x,y)=C:

   

Чтобы ответ смотрелся красивее, обе части необходимо возвести в квадрат.

Ответ

Общий интеграл:

   

где С=const.

Пример 4

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

   

удовлетворяющее начальному условию y(0)=ln2.

Решение

Первый шаг – нахождение общего решения. То, что в исходном уравнении уже находятся готовые дифференциалы dy и dx значительно упрощает нам решение.

Начинаем разделять переменные и интегрировать уравнение:

   

   

   

   

   

   

   

Мы получили общий интеграл и следующий шаг – выразить общее решение. Для этого необходимо прологарифмировать обе части. Знак модуля не ставим, т.к. обе части уравнения положительные.

   

   

Получаем общее решение:

   

где С=const

Далее необходимо найти частное решение, которое соответствует заданному начальному условию y(0)=ln2.

В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:

   

   

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ

Частное решение:

   

.

Пример 5

Задание

Решить дифференциальное уравнение

   

.

Решение

При внимательном разборе данного уравнения видно, что можно разделить переменные, что и делаем, после интегрируем:

   

   

   

   

   

В данном случае константу C считается  не обязательным определять под логарифм.

Ответ

Общий интеграл:

   

Пример 6

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

   

удовлетворяющее начальному условию y(1)=e. Выполнить проверку.

Решение

Как и в предыдущих примерах первым шагом будет нахождение общего решения.

Для этого начинаем разделять переменные:

   

   

Интегрируем:

   

   

   

Общий интеграл получен, осталось упростить его. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них:

   

Используя

   

можно выразить функцию в явном виде.

Общее решение:

   

где С=const.

Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=e.

   

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ

Частное решение:

   

Проверка

Необходимо проверить, выполняется ли начальное условие:

   

Из равенства выше видно, что начальное условие y(1)=e выполнено.

Далее проводим следующую проверку: удовлетворяет ли вообще частное решение

   

дифференциальному уравнению. Для этого находим производную:

   

Подставим полученное частное решение

   

и найденную производную  в исходное уравнение

   

   

   

0=0

Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

Пример 7

Задание

Найти общий интеграл уравнения

   

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

   

   

   

   

Ответ

Общий интеграл:

   

Пример 8

Задание

Найти частное решение ДУ.

   

Решение

Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные:

   

   

   

Интегрируем:

   

   

Общий интеграл:

   

Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию

   

Подставляем в общее решение

   

   

   

   

Ответ

Частный интеграл:

   

Пример 9

Задание

Решить дифференциальное уравнение

   

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

   

   

Левую часть интегрируем по частям:

   

   

   

В интеграле правой части проведем замену:

   

   

   

Таким образом:

   

   

(здесь дробь раскладывается методом неопределенных коэффициентов)

   

Обратная замена:

   

   

   

Ответ

Общий интеграл:

   

где С=const.

Пример 10

Задание

Решить дифференциальное уравнение

   

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных.

Разделяем переменные и интегрируем:

   

   

   

   

   

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Ответ

Общее решение:

   

где С=const.

Средняя оценка 2.8 / 5. Количество оценок: 11

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

42441

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Дифференциальные уравнения – Понижение порядка

Понижение порядка требует, чтобы решение уже было известно. Без этого известного решения мы не сможем сделать понижение порядка.

Как только мы получим это первое решение, мы предположим, что второе решение будет иметь форму

\[\begin{equation}{y_2}\left( t \right) = v\left( t \right){y_1}\left( t \right)\label{eq:eq1}\end{equation}\]

для правильного выбора \(v(t)\). Чтобы определить правильный выбор, мы подставляем предположение в дифференциальное уравнение и получаем новое дифференциальное уравнение, которое можно решить относительно \(v(t)\). 9{ – 1}}} \right)v & = 0\\ 2tv” – 3v’ & = 0\end{align*}\]

Обратите внимание, что при упрощении остаются только члены, включающие производные от \(v\). Член, включающий \(v\), выпадает. Если вы сделали всю свою работу правильно, это всегда должно происходить. Иногда, как в случае повторяющихся корней, выпадает и первый член производной.

Таким образом, чтобы \(\eqref{eq:eq1}\) было решением, \(v\) должно удовлетворять

\[\begin{уравнение}2tv” – 3v’ = 0\label{eq:eq2}\end{уравнение}\]

Похоже, это проблема. Чтобы найти решение дифференциального уравнения второго порядка с непостоянными коэффициентами, нам нужно решить другое дифференциальное уравнение второго порядка с непостоянными коэффициентами.

Однако проблема не в этом, как кажется. Поскольку член, включающий \(v\), выпадает, мы действительно можем решить \(\eqref{eq:eq2}\), и мы можем сделать это со знаниями, которые у нас уже есть на данный момент. Мы решим это, сделав следующие изменение переменной .

\[w = v’\hspace{0,25 дюйма} \Rightarrow \hspace{0,25in}w’ = v”\]

С этим изменением переменной \(\eqref{eq:eq2}\) становится

\[2tw’ – 3w = 0\]

и это линейное дифференциальное уравнение первого порядка, которое мы можем решить. Это также объясняет название этого метода. Нам удалось свести дифференциальное уравнение второго порядка к дифференциальному уравнению первого порядка. 9{\ гидроразрыва {5} {2}}} + к \]

Это наиболее общее возможное \(v(t)\), которое мы можем использовать для получения второго решения. Итак, как и в разделе с повторяющимися корнями, мы можем выбрать константы, которые захотим, поэтому выберите их, чтобы очистить все посторонние константы. В этом случае мы можем использовать

\[c = \frac{5}{2}\hspace{0,25 дюйма}k = 0\]

Их использование дает следующее для \(v(t)\) и для второго решения. 92\Psi}{\парциальное у\парциальное х}???

Мы можем переписать это уравнение в другой форме как

???\Psi_{xy}=\Psi_{yx}???

???\влево(\Psi_x\вправо)_y=\влево(\Psi_y\вправо)_x???

???(М)_у=(Н)_х???

???M_y=N_x???

Другими словами, мы просто использовали тот факт, что ???\Psi(x,y)??? должно быть решением точного дифференциального уравнения, чтобы разработать тест для точных дифференциальных уравнений, и тест говорит нам, что дифференциальное уравнение является точным, если ???M_y=N_x???. Итак, если частная производная ???M??? относительно ???y??? равна частной производной от ???N??? относительно ???x???, то дифференциальное уравнение является точным.

Это тест, который мы можем использовать, чтобы определить, является ли дифференциальное уравнение точным, прежде чем мы найдем решение ???\Psi(x,y)???.

Общее или неявное решение точного дифференциального уравнения определяется выражением

???\Psi(x,y)=c???

где ???с??? является константой. Если мы хотим, мы можем доказать, что это решение, начав со стандартной формы точного дифференциального уравнения

???M(x,y)+N(x,y)\frac{dy}{dx} =0???

Мы уже говорили, что

???\frac{\partial\Psi}{\partial x}=\Psi_x=M(x,y)=M???

и

поэтому мы можем подставить в стандартную форму и получить

???\Psi_x+\Psi_y\frac{dy}{dx}=0???

Используя цепное правило для функций с несколькими переменными, мы можем изменить левую часть на

???\frac{d}{dx}\left[\Psi(x,y)\right]=0???

Интегрирование обеих сторон относительно ???x??? чтобы получить ???\Psi(x,y)??? само собой, мы получаем

???\int\frac{d}{dx}\left[\Psi(x,y)\right]\ dx=\int 0\ dx???

???\Psi(x,y)+c_1=c_2???

???\Psi(x,y)=c_2-c_1???

???\Psi(x,y)=c???

Теперь, когда мы доказали, что ???\Psi(x,y)=c??? всегда является решением точного дифференциального уравнения, нам нужно найти ???\Psi(x,y)???.

Мы уже использовали тот факт, что

???\frac{\partial\Psi}{\partial x}=\Psi_x=M(x,y)=M???

и

, и мы снова воспользуемся им, чтобы найти решение. Начнем с

???\Psi_x=M(x,y)???

и

???\Psi_y=N(x,y)???

Левые части обоих являются частными производными от ???\Psi???, но нам нужно вернуться к ???\Psi??? сам. Для этого нам нужно взять интегралы

???\int\Psi_x\ dx=\int M(x,y)\ dx???

и

???\int\Psi_y\dy=\int N(x,y)\dy???

Взятие интеграла по ???x??? частной производной по ???x??? отменяет обе операции и оставляет нам только ???\Psi???, точно так же, как взятие интеграла по ???y??? частной производной по ???y??? отменяет эти операции и оставляет нам только ???\Psi???.

???\Psi=\int M(x,y)\ dx???

и

???\Psi=\int N(x,y)\dy???

Другими словами, если мы хотим найти уравнение для ???\Psi???, мы можем либо взять интеграл от ???M??? относительно ???x???, или интеграл от ???N??? относительно ???y???. Оба интеграла будут работать, поэтому мы должны посмотреть на ???M??? и н??? а затем выберите ту функцию, которую будет легче интегрировать.

Если мы используем первый интеграл, тот, что с ???M???, мы должны помнить, что мы интегрируем функцию многих переменных с точки зрения ???x??? и ???й??? относительно ???x??? Только. Это означает, что вместо добавления ???+C??? чтобы учесть константу интегрирования после интегрирования, нам придется добавить ???+h(y)??? для учета функции с точки зрения ???y???.

Точно так же, если мы используем второй интеграл, тот, что с ???N???, мы должны помнить, что мы интегрируем функцию многих переменных в терминах ???x??? и ???й??? относительно ???y??? Только. Это означает, что вместо добавления ???+C??? чтобы учесть константу интегрирования после интегрирования, нам придется добавить ???+h(x)??? для учета функции с точки зрения ???x???.

Тогда нужно просто найти ???h(y)??? или ???h(x)???, что мы сделаем, продифференцировав уравнение для ???\Psi??? относительно ???y??? если мы пытаемся найти ???h(y)???, или относительно ???x??? если мы пытаемся найти ???h(x)???.

Этот процесс дифференциации даст нам либо ???\Psi_x??? с ???h\prime(x)??? или ???\Psi_y??? с ???h\prime(y)???. Мы заменим ???M(x,y)??? для ???\Psi_x??? или ???N(x,y)??? для ???\Psi_y???, а затем упростите уравнение для решения ???h\prime(y)??? или ???h\prime(x)???.