Онлайн система крамера: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Решение линейных уравнений методом Крамера онлайн

Габриэль Крамер – швейцарский математик, ученик и друг Иоганна Бернулли, один из создателей линейной алгебры. Крамер рассмотрел систему произвольного количества линейных уравнений с квадратной матрицей. Решение системы он представил в виде столбца дробей с общим знаменателем — определителем матрицы. Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений, что позволяет существенно ускорить процесс решения. Данный метод может быть применен в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Главное, чтобы определитель системы не был равен “0”, тогда метод Крамера может быть использован в решении, если “0” – данный метод использовать нельзя. Также данный метод может быть применен для решения систем линейных уравнений с единственным решением.

Так же читайте нашу статью “Решить линейное уравнение методом Гаусса онлайн решателем”

Теорема Крамера. Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Допустим, дано СЛАУ такого вида:

\[\left\{\begin{matrix} 3x_1 + 2x_2 =1\\ x_1 + 4x_2 = -3 \end{matrix}\right.\]

Согласно теореме Крамера получаем:

\[x_1 = \frac {\begin{vmatrix} 1 & 2\\ -3 & 4 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 3 & 2\\ 1 & 4 \end{vmatrix}}= \frac {1 \cdot4-2 \cdot(-3)}{3\cdot4-1\cdot2}=\frac {4+6}{12-2}= \frac{10}{10}=1\]

\[x_2 = \frac {\begin{vmatrix} 3 & 1\\ 1 & -3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 3 & 2\\ 1 & 4 \end{vmatrix}}= \frac {3 \cdot(-3) -1\cdot1)}{3\cdot4-1\cdot2}=\frac {-9-1}{12-2}= \frac{-10}{10}=1\]

Ответ: \[x_1 = 1, x_2 = -1. \]

Где можно решить уравнение методом Крамера онлайн решателем?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать – это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Метод Крамера – теорема, примеры решений

Метод Крамера часто применяется для систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Этот способ решения один из самых простых. Как правило, данный метод применяется только для тех систем, где по количеству неизвестных столько же, сколько и уравнений. Чтобы получилось решить уравнение, главный определитель матрицы не должен равняться нулю.

Габриель Крамер – математик, создатель одноименного метода решения систем линейных уравнений

Габриель Крамер – известный математик, который родился 31 июля 1704 года. Ещё в детстве Габриель поражал своими интеллектуальными способностями, особенно в области математики. Когда Крамеру было 20 лет, он устроился в Женевский университет штатным преподавателем.

Во время путешествия по Европе Габриель познакомился с математиком Иоганном Бернулли, который и стал его наставником. Только благодаря Иоганну, Крамер написал много статей по геометрии, истории математики и философии. А в свободное от работы время изучал математику всё больше и больше.

Наконец-то наступил тот день, когда Крамер нашёл способ, при помощи которого можно было бы легко решать не только лёгкие, но и сложные системы линейных уравнений.

В 1740 году у Крамера были опубликованы несколько работ, где доступно изложено решение квадратных матриц и описан алгоритм, как находить обратную матрицу. Далее математик описывал нахождения линейных уравнений разной сложности, где можно применить его формулы. Поэтому тему так и назвали: «Решение систем линейных уравнений методом Крамера».

Учёный умер в возрасте 48 лет (в 1752 году). У него было ещё много планов, но, к сожалению, он так и не успел их осуществить.

Вывод формулы Крамера

Пусть дана система линейных уравнений такого вида:

где , , – неизвестные переменные, – это числовые коэффициенты, в – свободные члены.

Решением СЛАУ (систем линейных алгебраических уравнение) называются такие неизвестные значения при которых все уравнения данной системы преобразовываются в тождества.

Если записать систему в матричном виде, тогда получается , где

В данной главной матрице находятся элементы, коэффициенты которых при неизвестных переменных,

Это матрица-столбец свободных членов, но есть ещё матрица-столбец неизвестных переменных:

После того, когда найдутся неизвестные переменные, матрица и будет решением системы уравнений, а наше равенство преобразовывается в тождество. . Если умножить , тогда . Получается: .

Если матрица – невырожденная, то есть, её определитель не равняется нулю, тогда у СЛАУ есть только одно единственное решение, которое находится при помощи метода Крамера.

Как правило, для решения систем линейных уравнений методом Крамера, нужно обращать внимания на два свойства, на которых и основан данный метод:

1. Определитель квадратной матрицы равняется сумме произведений элементов любой из строк (столбца) на их алгебраические дополнения:

, здесь – 1, 2, …, n; – 1, 2, 3, …, n.

2. Сумма произведений элементов данной матрицы любой строки или любого столбца на алгебраические дополнения определённых элементов второй строки (столбца) равняется нулю:

где – 1, 2, …, n; – 1, 2, 3, …, n. .

Итак, теперь можно найти первое неизвестное . Для этого необходимо умножить обе части первого уравнения системы на , части со второго уравнения на , обе части третьего уравнения на и т. д. То есть, каждое уравнение одной системы нужно умножать на определённые алгебраические дополнения первого столбца матрицы :

Теперь прибавим все левые части уравнения, сгруппируем слагаемые, учитывая неизвестные переменные и приравняем эту же сумму к сумме правых частей системы уравнения:

Можно обратиться к вышеописанным свойствам определителей и тогда получим:

И предыдущее равенство уже выглядит так:

Откуда и получается .

Аналогично находим . Для этого надо умножить обе части уравнений на алгебраические дополнения, которые находятся во втором столбце матрицы .

Теперь нужно сложить все уравнения системы и сгруппировать слагаемые при неизвестных переменных. Для этого вспомним свойства определителя:

Откуда получается .

Аналогично находятся все остальные неизвестные переменные.

Если обозначить:

тогда получаются формулы, благодаря которым находятся неизвестные переменные методом Крамера:

, , .

Замечание.

Тривиальное решение при может быть только в том случае, если система уравнений является однородной . И действительно, если все свободные члены нулевые, тогда и определители равняются нулю, так как в них содержится столбец с нулевыми элементами.

Конечно же, тогда формулы , , дадут

Метод Крамера – теоремы

Прежде чем решать уравнение , необходимо знать:

теорему аннулирования;
теорему замещения.

Теорема замещения

Теорема

Сумма произведений алгебраических дополнений любого столбца (строки) на произвольные числа равняется новому определителю, в котором этими числами заменены соответствующие элементы изначального определителя, что отвечают данным алгебраическим дополнениям.

Например,

где – алгебраические дополнения элементов первого столбца изначального определителя:

Теорема аннулирования

Теорема

Сумма произведений элементов одной строки (столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равняется нулю.

Например:

Алгоритм решения уравнений методом Крамера

Метод Крамера – простой способ решения систем линейных алгебраических уравнений. Такой вариант применяется исключительно к СЛАУ, у которых совпадает количество уравнений с количеством неизвестных, а определитель отличен от нуля.

Итак, когда выучили все этапы, можно переходить к самому алгоритму решения уравнений методом Крамера. Запишем его последовательно:

Шаг 1. Вычисляем главный определитель матрицы

и необходимо убедиться, что определитель отличен от нуля (не равен нулю).

Шаг 2. Находим определители

Это и есть определители матриц, которые получались из матрицы при замене столбцов на свободные члены.

Шаг 3. Вычисляем неизвестные переменные

Теперь вспоминаем формулы Крамера, по которым вычисляем корни (неизвестные переменные):

, , .

Шаг 4. Выполняем проверку

Выполняем проверку решения при помощи подстановки в исходную СЛАУ. Абсолютно все уравнения в системе должны быть превращены в тождества. Также можно высчитать произведение матриц . Если в итоге получилась матрица, которая равняется , тогда система решена правильно. Если же не равняется , скорей всего в одном из уравнений есть ошибка.

Давайте для начала рассмотрим систему двух линейных уравнений, так как она более простая и поможет понять, как правильно использовать правило Крамера. Если вы поймёте простые и короткие уравнения, тогда сможете решить более сложные системы трёх уравнений с тремя неизвестными.

Кроме всего прочего, есть системы уравнений с двумя переменными, которые решаются исключительно благодаря правилу Крамеру.

Итак, дана система двух линейных уравнений:

Для начала вычисляем главный определитель (определитель системы):

Значит, если , тогда у системы или много решений, или система не имеет решений. В этом случае пользоваться правилом Крамера нет смысла, так как решения не получится и нужно вспоминать метод Гаусса, при помощи которого данный пример решается быстро и легко.

В случае, если , тогда у система есть всего одно решение, но для этого необходимо вычислить ещё два определителя и найти корни системы.

Часто на практике определители могут обозначаться не только , но и латинской буквой , что тоже будет правильно.

Корни уравнения найти просто, так как главное, знать формулы:

Так как мы смогли решить систему двух линейных уравнений, теперь без проблем решим и систему трёх линейных уравнений, а для этого рассмотрим систему:

(1)

Здесь алгебраические дополнения элементов – первый столбец . Во время решения не забывайте о дополнительных элементах. Итак, в системе линейных уравнений нужно найти три неизвестных – при известных других элементах.

Создадим определитель системы из коэффициентов при неизвестных:

Умножим почленно каждое уравнение соответственно на , , – алгебраические дополнения элементов первого столбца (коэффициентов при ) и прибавим все три уравнения. Получаем:

Согласно теореме про раскладывание, коэффициент при равняется . Коэффициенты при и будут равняться нулю по теореме аннулирования. Правая часть равенства по теореме замещения даёт новый определитель, который называется вспомогательным и обозначается

После этого можно записать равенство:

(2)

Для нахождения и перемножим каждое из уравнений изначальной системы в первом случае соответственно на , во втором – на и прибавим. Впоследствии преобразований получаем:

где

Если , тогда в результате получаем формулы Крамера:

= , = , =

Порядок решения однородной системы уравнений

Отдельный случай – это однородные системы:

(3)

Среди решений однородной системы могут быть, как нулевые решения , так и решения отличны от нуля.

Теорема

Примеры решения методом Крамера

Рассмотрим на примере решение методом Крамера и вы увидите, что сложного ничего нет, но будьте предельно внимательно, так как частые ошибки в знаках приводят к неверному ответу.

Пример 1

Задача

Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение

Первое, что надо сделать – вычислить определитель матрицы:

Как видим, , поэтому по теореме Крамера система имеет единственное решение (система совместна). Далее нужно вычислять вспомогательные определители. Для этого заменяем первый столбец из определителя на столбец свободных коэффициентов. Получается:

Аналогично находим остальные определители:

И проверяем:

Ответ

, .

Пример 2 Пример 3

Задача

Решить систему методом Крамера

Решение

Как вы понимаете, сначала находим главный определитель:

Как мы видим, главный определитель не равняется нулю и поэтому система имеет единственное решение. Теперь можно вычислить остальные определители:

При помощи формул Крамера находим корни уравнения:

, , .

Чтобы убедиться в правильности решения, необходимо сделать проверку:

Как видим, подставив в уравнение решённые корни, у нас ответ получился тот же, что и в начале задачи, что говорит о правильном решении уравнений.

Ответ

Система уравнений имеет единственное решение: , , .

Есть примеры, когда уравнение решений не имеет. Это может быть в том случае, когда определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных неравны нулю. В таком случае говорят, что система несовместна, то есть не имеет решений. Посмотрим на следующем примере, как такое может быть.

Пример 4

Задача

Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение

Как и в предыдущих примерах находим главный определитель системы:

В этой системе определитель равняется нулю, соответственно, система несовместна и определенна или же несовместна и не имеет решений. Чтобы уточнить, надо найти определители при неизвестных так, как мы делали ранее:

Мы нашли определители при неизвестных и увидели, что все они не равны нулю. Поэтому система несовместна и не имеет решений.

Ответ

Система не имеет решений.

Часто в задачах на системы линейных уравнений встречаются такие уравнения, где есть не одинаковые буквы, то есть, кроме букв, которые обозначают переменные, есть ещё и другие буквы и они обозначают некоторое действительное число. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных – буквы. Давайте и рассмотрим такой пример.

Пример 5

Задача

Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение

В этом примере – некоторое вещественное число. Находим главный определитель:

Находим определители при неизвестных:

Используя формулы Крамера, находим:

, .

Ответ

И наконец, мы перешли к самой сложной системе уравнений с четырьмя неизвестными. Принцип решения такой же, как и в предыдущих примерах, но в связи с большой системой можно запутаться. Поэтому рассмотрим такое уравнение на примере.

Пример 6

Задача

Найти систему линейных уравнений методом Крамера:

Здесь действуют система определителей матрицы высших порядков, поэтому вычисления и формулы рассмотрены в этой теме, а мы сейчас просто посчитаем систему уравнений с четырьмя неизвестными.

Решение

В изначальном определители из элементов второй строки мы отнимали элементы четвёртой строки, а из элементов третьей строки отнимались элементы четвёртой строки, которые умножались на 2. Также отнимали из элементов четвёртой строки элементы первой строки, умноженной на два. Преобразования первоначальных определителей при трёх первых неизвестных произведены по такой же схеме. Теперь можно находить определители при неизвестных:

Для преобразований определителя при четвёртом неизвестном из элементов первой строки мы вычитали элементы четвёртой строки.

Теперь по формулам Крамера нужно найти:

Ответ

Итак, мы нашли корни системы линейного уравнения:

Подведём итоги

При помощи метода Крамера можно решать системы линейных алгебраических уравнений в том случае, если определитель не равен нулю. Такой метод позволяет находить определители матриц такого порядка, как на благодаря формулам Крамера, когда нужно найти неизвестные переменные. Если все свободные члены нулевые, тогда их определители равны нулю, так как в них содержится столбец с нулевыми элементами. И конечно же, если определители равняются нулю, лучше решать систему методом Гаусса, а не Крамера, только тогда ответ будет верный.

Рекомендуем почитать для общего развития

Анкилов А. В. Высшая математика, ч. 1: учеб. Пособие/П. А. Вельмисов, Ю. А. Решетников – Ульяновск – 2011 – 252 с.

Письменный Д. – Конспект лекций по высшей математике: учеб. для вузов/Письменный Д. – М. 2006 – 602 с.

Решение методом Крамера в Excel

Метод Крамера в Excel 2003 (XLS)

Метод Крамера в Excel от 2007 (XLSX)

Метод Крамера – теорема, примеры решений обновлено: 16 апреля, 2020 автором: Научные Статьи.Ру

Метод Крамера

Метод Крамера или так называемое правило Крамера – это способ поиска неизвестных величин из систем уравнений. Его можно использовать только если число искомых значений эквивалентно количеству алгебраических уравнений в системе, то есть образуемая из системы основная матрица должна быть квадратной и не содержать нулевых строчек, а также если её детерминант не должен являться нулевым.

Теорема 1

Теорема Крамера Если главный определитель $D$ основной матрицы, составленной на основе коэффициентов уравнений, не равен нулю, то система уравнений совместна, причём решение у неё существует единственное. Решение такой системы вычисляется через так называемые формулы Крамера для решения систем линейных уравнений: $x_i = \frac{D_i}{D}$

Помощь со студенческой работой на тему

Метод Крамера

В чем заключается метод Крамера

Суть метода Крамера в следующем:

Чтобы найти решение системы методом Крамера, первым делом вычисляем главный определитель матрицы $D$. Когда вычисленный детерминант основной матрицы при подсчёте методом Крамера оказался равен нулю, то система не имеет ни одного решения или имеет нескончаемое количество решений. В этом случае для нахождения общего или какого-либо базисного ответа для системы рекомендуется применить метод Гаусса.
Затем нужно заменить крайний столбец главной матрицы на столбец свободных членов и высчитать определитель $D_1$.
Повторить то же самое для всех столбцов, получив определители от $D_1$ до $D_n$, где $n$ – номер крайнего справа столбца.
После того как найдены все детерминанты $D_1$…$D_n$, можно высчитать неизвестные переменные по формуле $x_i = \frac{D_i}{D}$.

Приёмы для вычисления определителя матрицы

Для вычисления определителя матрицы с размерностью больше чем 2 на 2, можно использовать несколько способов:

Правило треугольников, или правило Саррюса, напоминающее это же правило. Суть метода треугольников в том, что при вычислении определителя произведения всех чисел, соединённых на рисунке красной линией справа, записываются со знаком плюс, а все числа, соединённые аналогичным образом на рисунке слева – со знаком минус. B то, и другое правило подходит для матриц размером 3 х 3. В случае же правила Саррюса сначала переписывается сама матрица, а рядом с ней рядом переписываются ещё раз её первый и второй столбец. Через матрицу и эти дополнительные столбцы проводятся диагонали, члены матрицы, лежащие на главной диагонали или на параллельной ей записываются со знаком плюс, а элементы, лежащие на побочной диагонали или параллельно ей – со знаком минус.

Рисунок 1. Правило треугольников для вычисления определителя для метода Крамера

С помощью метода, известного как метод Гаусса, также иногда этот метод называют понижением порядка определителя. В этом случае матрица преобразуется и приводится к треугольному виду, а затем перемножаются все числа, стоящие на главной диагонали. Следует помнить, что при таком поиске определителя нельзя домножать или делить строчки или столбцы на числа без вынесения их как множителя или делителя. В случае поиска определителя возможно только вычитать и складывать строки и столбы между собой, предварительно помножив вычитаемую строку на ненулевой множитель. Также при каждой перестановке строчек или столбцов матрицы местами следует помнить о необходимости смены конечного знака у матрицы.
При решении методом Крамера СЛАУ с 4 неизвестными, лучше всего будет применять именно метод Гаусса для поиска и нахождения определителей или опредлять детерминант через поиск миноров.

Решение систем уравнений методом Крамера

Применим метод Крамера для системы из 2 уравнений и двумя искомыми величинами:

$\begin{cases} a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end{cases}$

Отобразим её в расширенной форме для удобства:

$A = \begin{array}{cc|c} a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end{array}$

Найдём определитель основной матрицы, также называемый главным определителем системы:

$D = \begin{array}{|cc|} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end{array} = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Если главный определитель не равен нулю, то для решения слау методом Крамера необходимо высчитать ещё парочку определителей от двух матриц с заменёнными столбцами основной матрицы на строчку свободных членов:

$D_1 = \begin{array}{|cc|} b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end{array} = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin{array}{|cc|} a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end{array} = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Теперь найдём неизвестные $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = \frac {D_1}{D}$

$x_2 = \frac {D_2}{D}$

Пример 1

Метод Крамера для решения СЛАУ с основной матрицей 3 порядка (3 x 3) и тремя искомыми.

Решите систему уравнений:

$\begin{cases} 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 – x_3 = 10 \\ \end{cases}$

Сосчитаем главный детерминант матрицы пользуясь вышеизложенным под пунктом номер 1 правилом:

$D = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot (-1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) – (-1) \cdot 2 \cdot 3 = – 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = – 64$

А теперь три других детерминанта:

$D_1 = \begin{array}{|ccc|} 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end{array} = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) – (-1) \cdot 2 \cdot 21 = – 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = – 296$

$D_2 = \begin{array}{|ccc|} 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = – 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108$

$D_3 = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 – (-2) \cdot 3 \cdot 10 – (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = – 60$

Найдём искомые величины:

$x_1 = \frac{D_1} {D} = \frac{- 296}{-64} = 4 \frac{5}{8}$

$x_2 = \frac{D_1} {D} = \frac{108} {-64} = – 1 \frac {11} {16}$

$x_3 = \frac{D_1} {D} = \frac{-60} {-64} = \frac {15} {16}$

Системы линейных уравнений методом крамера онлайн.

Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Для того чтобы освоить данный параграф Вы должны уметь раскрывать определители «два на два» и «три на три». Если с определителями плохо, пожалуйста, изучите урок Как вычислить определитель?

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

Ответ : ,

Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.

Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса) .

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

В ходе решения расчет миноров лучше расписать подробно, хотя, при определенном опыте их можно приноровиться считать с ошибками устно.

2. Решение систем уравнений матричным методом (при помощи обратной матрицы).
3. Метод Гаусса решения систем уравнений.

Метод Крамера.

Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ ).

Формулы на примере системы из двух уравнений с двумя переменными.
Дано: Решить методом Крамера систему

Относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы Вычисление определителей. :

Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Пример 1:
Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .
Решение:

Заменим в этом определителе первый столбец столбцом коэффициентов из правой части системы и найдем его значение:

Сделаем аналогичное действие, заменив в первом определителе второй столбец:

Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Ответ:
Замечание: Этим методом можно решать системы и большей размерности.

Замечание: Если получается, что , а делить на ноль нельзя, то говорят, что система не имеет единственного решения. В этом случае система имеет или бесконечно много решений или не имеет решений вообще.

Пример 2 (бесконечное количество решений):

Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:

Решение систем методом подстановки.

Первое из уравнений системы — равенство, верное при любых значениях переменных (потому что 4 всегда равно 4). Значит, остается только одно уравнение. Это уравнение связи между переменными .
Получили, решением системы являются любые пары значений переменных, связанных между собой равенством .
Общее решение запишется так:
Частные решения можно определять выбирая произвольное значение у и вычисляя х по этому равенству связи.

и т.д.
Таких решений бесконечно много.
Ответ: общее решение
Частные решения:

Пример 3 (решений нет, система несовместна):

Решить систему уравнений:

Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:

Применять формулы Крамера нельзя. Решим эту систему методом подстановки

Второе уравнение системы — равенство, неверное ни при каких значениях переменных (конечно же, так как -15 не равно 2). Если одно из уравнений системы не верно ни при каких значениях переменных, то и вся системы не имеет решений.
Ответ: решений нет

Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определение . Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

** ,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной , если у неё нет ни одного решения, и совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой , а более одного – неопределённой .

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

На основании теоремы Крамера

………….
,

где
–

определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:

Пример 2.

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы – (2; -1; 1).

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных – буквы. За примерами далеко ходить не надо.

Следующий пример – на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.

Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в которых число неизвестных переменных равно числу уравнений и определитель основной матрицы отличен от нуля. В этой статье мы разберем как по методу Крамера находятся неизвестные переменные и получим формулы. После этого перейдем к примерам и подробно опишем решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Навигация по странице.

Метод Крамера – вывод формул.

Пусть нам требуется решить систему линейных уравнений вида

Где x 1 , x 2 , …, x n – неизвестные переменные, a i j , i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n – числовые коэффициенты, b 1 , b 2 , …, b n – свободные члены. Решением СЛАУ называется такой набор значений x 1 , x 2 , …, x n при которых все уравнения системы обращаются в тождества.

В матричном виде эта система может быть записана как A ⋅ X = B , где – основная матрица системы, ее элементами являются коэффициенты при неизвестных переменных, – матрица – столбец свободных членов, а – матрица – столбец неизвестных переменных. После нахождения неизвестных переменных x 1 , x 2 , …, x n , матрица становится решением системы уравнений и равенство A ⋅ X = B обращается в тождество .

Будем считать, что матрица А – невырожденная, то есть, ее определитель отличен от нуля. В этом случае система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера. (Методы решения систем при разобраны в разделе решение систем линейных алгебраических уравнений).

Метод Крамера основывается на двух свойствах определителя матрицы:

Итак, приступим к нахождению неизвестной переменной x 1 . Для этого умножим обе части первого уравнения системы на А 1 1 , обе части второго уравнения – на А 2 1 , и так далее, обе части n-ого уравнения – на А n 1 (то есть, уравнения системы умножаем на соответствующие алгебраические дополнения первого столбца матрицы А ):

Сложим все левые части уравнения системы, сгруппировав слагаемые при неизвестных переменных x 1 , x 2 , …, x n , и приравняем эту сумму к сумме всех правых частей уравнений:

Если обратиться к озвученным ранее свойствам определителя, то имеем

и предыдущее равенство примет вид

откуда

Аналогично находим x 2 . Для этого умножаем обе части уравнений системы на алгебраические дополнения второго столбца матрицы А :

Складываем все уравнения системы, группируем слагаемые при неизвестных переменных x 1 , x 2 , …, x n и применяем свойства определителя:

Откуда
.

Аналогично находятся оставшиеся неизвестные переменные.

Если обозначить

То получаем формулы для нахождения неизвестных переменных по методу Крамера .

Замечание.

Если система линейных алгебраических уравнений однородная, то есть , то она имеет лишь тривиальное решение (при ). Действительно, при нулевых свободных членах все определители будут равны нулю, так как будут содержать столбец нулевых элементов. Следовательно, формулы дадут .

Алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Запишем алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера .

Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Разберем решения нескольких примеров.

Пример.

Найдите решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера .

Решение.

Основная матрица системы имеет вид . Вычислим ее определитель по формуле :

Так как определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то СЛАУ имеет единственное решение, и оно может быть найдено методом Крамера. Запишем определители и . Заменяем первый столбец основной матрицы системы на столбец свободных членов, и получаем определитель . Аналогично заменяем второй столбец основной матрицы на столбец свободных членов, и получаем .

Вычисляем эти определители:

Находим неизвестные переменные x 1 и x 2 по формулам :

Выполним проверку. Подставим полученные значения x 1 и x 2 в исходную систему уравнений:

Оба уравнения системы обращаются в тождества, следовательно, решение найдено верно.

Ответ:

Некоторые элементы основной матрицы СЛАУ могут быть равны нулю. В этом случае в уравнениях системы будут отсутствовать соответствующие неизвестные переменные. Разберем пример.

Пример.

Найдите решение системы линейных уравнений методом Крамера .

Решение.

Перепишем систему в виде , чтобы стало видно основную матрицу системы . Найдем ее определитель по формуле

Имеем

Определитель основной матрицы отличен от нуля, следовательно, система линейных уравнений имеет единственное решение. Найдем его методом Крамера. Вычислим определители :

Таким образом,

Ответ:

Обозначения неизвестных переменных в уравнениях системы могут отличаться от x 1 , x 2 , …, x n . Это не влияет на процесс решения. А вот порядок следования неизвестных переменных в уравнениях системы очень важен при составлении основной матрицы и необходимых определителей метода Крамера. Поясним этот момент на примере.

Пример.

Используя метод Крамера, найдите решение системы трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными .

Решение.

В данном примере неизвестные переменные имеют другое обозначение (x , y и z вместо x 1 , x 2 и x 3 ). Это не влияет на ход решения, но будьте внимательны с обозначениями переменных. В качестве основной матрицы системы НЕЛЬЗЯ брать . Необходимо сначала упорядочить неизвестные переменные во всех уравнениях системы. Для этого перепишем систему уравнений как . Теперь основную матрицу системы хорошо видно . Вычислим ее определитель:

Определитель основной матрицы отличен от нуля, следовательно, система уравнений имеет единственное решение. Найдем его методом Крамера. Запишем определители (обратите внимание на обозначения) и вычислим их:

Осталось найти неизвестные переменные по формулам :

Выполним проверку. Для этого умножим основную матрицу на полученное решение (при необходимости смотрите раздел ):

В результате получили столбец свободных членов исходной системы уравнений, поэтому решение найдено верно.

Ответ:

x = 0, y = -2, z = 3 .

Пример.

Решите методом Крамера систему линейных уравнений , где a и b – некоторые действительные числа.

Решение.

Ответ:

Пример.

Найдите решение системы уравнений методом Крамера, – некоторое действительное число.

Решение.

Вычислим определитель основной матрицы системы: . выражения есть интервал , поэтому при любых действительных значениях . Следовательно, система уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера. Вычисляем и :

Пусть система линейных уравнений содержит столько уравнений, каково количество независимых переменных, т.е. имеет вид

Такие системы линейных уравнений называются квадратными. Определитель, составленный из коэффициентов при независимых переменных системы (1.5), называется главным определителем системы. Мы будем обозначать его греческой буквой D. Таким образом,

. (1.6)

Если в главном определителе произвольный (j -ый) столбец, заменить столбцом свободных членов системы (1.5), то можно получить еще n вспомогательных определителей:

(j = 1, 2, …, n ). (1.7)

Правило Крамера решения квадратных систем линейных уравнений заключается в следующем. Если главный определитель D системы (1.5) отличен от нуля, то система имеет и притом единственное решение, которое можно найти по формулам:

(1.8)

Пример 1.5. Методом Крамера решить систему уравнений

Вычислим главный определитель системы:

Так как D¹0, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам (1.8):

Таким образом,

Действия над матрицами

1. Умножение матрицы на число. Операция умножения матрицы на число определяется следующим образом.

2. Для того чтобы умножить матрицу на число, нужно все ее элементы умножить на это число. То есть

. (1.9)

Пример 1.6. .

Сложение матриц.

Данная операция вводится только для матриц одного и того же порядка.

Для того чтобы сложить две матрицы, необходимо к элементам одной матрицы прибавить соответствующие элементы другой матрицы:

(1.10)
Операция сложения матриц обладает свойствами ассоциативности и коммутативности.

Пример 1.7. .

Умножение матриц.

Если число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В , то для таких матриц вводится операция умножения:

Таким образом, при умножении матрицы А размерности m ´n на матрицу В размерности n ´k мы получаем матрицу С размерности m ´k . При этом элементы матрицы С вычисляются по следующим формулам:

Задача 1.8. Найти, если это возможно, произведение матриц AB и BA :

Решение. 1) Для того чтобы найти произведение AB , необходимо строки матрицы A умножить на столбцы матрицы B :

2) Произведение BA не существует, т. к. количество столбцов матрицы B не совпадает с количеством строк матрицы A .

Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным способом

Матрица A – 1 называется обратной к квадратной матрице А , если выполнено равенство:

где через I обозначается единичная матрица того же порядка, что и матрица А :

Для того чтобы квадратная матрица имела обратную необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля. Обратную матрицу находят по формуле:

, (1.13)

где A ij – алгебраические дополнения к элементам a ij матрицы А (заметим, что алгебраические дополнения к строкам матрицы А располагаются в обратной матрице в виде соответствующих столбцов).

Пример 1.9. Найти обратную матрицу A – 1 к матрице

Обратную матрицу найдем по формуле (1.13), которая для случая n = 3 имеет вид:

Найдем det A = | A | = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 – 3 × 3 × 3 – 1 × 5 × 4 – 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 – 27 – 20 – 32 = – 1. Так как определитель исходной матрицы отличен от нуля, то обратная матрица существует.

1) Найдем алгебраические дополнения A ij :

Для удобства нахождения обратной матрицы, алгебраические дополнения к строкам исходной матрицы мы расположили в соответствующие столбцы.

Из полученных алгебраических дополнений составим новую матрицу и разделим ее на определитель det A . Таким образом, мы получим обратную матрицу:

Квадратные системы линейных уравнений с отличным от нуля главным определителем можно решать с помощью обратной матрицы. Для этого систему (1.5) записывают в матричном виде:

где

Умножая обе части равенства (1.14) слева на A – 1 , мы получим решение системы:

, откуда

Таким образом, для того чтобы найти решение квадратной системы, нужно найти обратную матрицу к основной матрице системы и умножить ее справа на матрицу-столбец свободных членов.

Задача 1.10. Решить систему линейных уравнений

с помощью обратной матрицы.

Решение. Запишем систему в матричном виде: ,

где – основная матрица системы, – столбец неизвестных и – столбец свободных членов. Так как главный определитель системы , то основная матрица системы А имеет обратную матрицу А -1 . Для нахождения обратной матрицы А -1 , вычислим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы А :

Из полученных чисел составим матрицу (причем алгебраические дополнения к строкам матрицы А запишем в соответствующие столбцы) и разделим ее на определитель D. Таким образом, мы нашли обратную матрицу:

Решение системы находим по формуле (1.15):

Таким образом,

Решение систем линейных уравнений методом обыкновенных жордановых исключений

Пусть дана произвольная (не обязательно квадратная) система линейных уравнений:

(1.16)

Требуется найти решение системы, т.е. такой набор переменных , который удовлетворяет всем равенствам системы (1.16). В общем случае система (1.16) может иметь не только одно решение, но и бесчисленное множество решений. Она может так же вообще не иметь решений.

При решении подобных задач используется хорошо известный из школьного курса метод исключения неизвестных, который еще называется методом обыкновенных жордановых исключений. Суть данного метода заключается в том, что в одном из уравнений системы (1.16) одна из переменных выражается через другие переменные. Затем эта переменная подставляется в другие уравнения системы. В результате получается система, содержащая на одно уравнение и на одну переменную меньше, чем исходная система. Уравнение, из которого выражалась переменная, запоминается.

Этот процесс повторяется до тех пор, пока в системе не останется одно последнее уравнение. В процессе исключения неизвестных некоторые уравнения могут превратиться в верные тождества, например . Такие уравнения из системы исключаются, так как они выполняются при любых значениях переменных и, следовательно, не оказывают влияния на решение системы. Если в процессе исключения неизвестных хотя бы одно уравнение становится равенством, которое не может выполняться ни при каких значениях переменных (например ), то мы делаем вывод, что система не имеет решения.

Если в ходе решения противоречивых уравнений не возникло, то из последнего уравнения находится одна из оставшихся в нем переменных. Если в последнем уравнении осталась только одна переменная, то она выражается числом. Если в последнем уравнении остаются еще и другие переменные, то они считаются параметрами, и выраженная через них переменная будет функцией этих параметров. Затем совершается так называемый «обратный ход». Найденную переменную подставляют в последнее запомненное уравнение и находят вторую переменную. Затем две найденные переменные подставляют в предпоследнее запомненное уравнение и находят третью переменную, и так далее, вплоть до первого запомненного уравнения.

В результате мы получаем решение системы. Данное решение будет являться единственным, если найденные переменные будут числами. Если же первая найденная переменная, а затем и все остальные будут зависеть от параметров, то система будет иметь бесчисленное множество решений (каждому набору параметров соответствует новое решение). Формулы, позволяющие найти решение системы в зависимости от того или иного набора параметров, называются общим решением системы.

Пример 1.11.

После запоминания первого уравнения и приведения подобных членов во втором и третьем уравнении мы приходим к системе:

Выразим y из второго уравнения и подставим его в первое уравнение:

Запомним второе уравнение, а из первого найдем z :

Совершая обратный ход, последовательно найдем y и z . Для этого сначала подставим в последнее запомненное уравнение , откуда найдем y :

Затем подставим и в первое запомненное уравнение , откуда найдем x :

Задача 1.12. Решить систему линейных уравнений методом исключения неизвестных:

. (1.17)

Решение. Выразим из первого уравнения переменную x и подставим ее во второе и третье уравнения:

Запомним первое уравнение

В данной системе первое и второе уравнения противоречат друг другу. Действительно, выражая y , получим, что 14 = 17. Данное равенство не выполняется, ни при каких значениях переменных x , y , и z . Следовательно, система (1.17) несовместна, т.е. не имеет решения.

Читателям предлагаем самостоятельно проверить, что главный определитель исходной системы (1.17) равен нулю.

Рассмотрим систему, отличающуюся от системы (1.17) всего лишь одним свободным членом.

Задача 1.13. Решить систему линейных уравнений методом исключения неизвестных:

. (1.18)

Решение. Как и прежде, выразим из первого уравнения переменную x и подставим ее во второе и третье уравнения:

Запомним первое уравнение и приведем подобные члены во втором и третьем уравнении. Мы приходим к системе:

Выражая y из первого уравнения и подставляя его во второе уравнение , мы получим тождество 14 = 14, которое не влияет на решение системы, и, следовательно, его можно из системы исключить.

В последнем запомненном равенстве переменную z будем считать параметром. Полагаем . Тогда

Подставим y и z в первое запомненное равенство и найдем x :

Таким образом, система (1.18) имеет бесчисленное множество решений, причем любое решение можно найти по формулам (1.19), выбирая произвольное значение параметра t :

(1.19)
Так решениями системы, например, являются следующие наборы переменных (1; 2; 0), (2; 26; 14) и т. д. Формулы (1.19) выражают общее (любое) решение системы (1.18).

В том случае, когда исходная система (1.16) имеет достаточно большое количество уравнений и неизвестных, указанный метод обыкновенных жордановых исключений представляется громоздким. Однако это не так. Достаточно вывести алгоритм пересчета коэффициентов системы при одном шаге в общем виде и оформить решение задачи в виде специальных жордановых таблиц.

Пусть дана система линейных форм (уравнений):

, (1.20)
где x j – независимые (искомые) переменные, a ij – постоянные коэффициенты
(i = 1, 2,…, m ; j = 1, 2,…, n ). Правые части системы y i (i = 1, 2,…, m ) могут быть как переменными (зависимыми), так и константами. Требуется найти решений данной системы методом исключения неизвестных.

Рассмотрим следующую операцию, называемую в дальнейшем «одним шагом обыкновенных жордановых исключений». Из произвольного (r -го) равенства выразим произвольную переменную (x s ) и подставим во все остальные равенства. Разумеется, это возможно только в том случае, когда a rs ¹ 0. Коэффициент a rs называется разрешающим (иногда направляющим или главным) элементом.

Мы получим следующую систему:

. (1.21)

Из s -го равенства системы (1.21) мы впоследствии найдем переменную x s (после того, как будут найдены остальные переменные). S -я строка запоминается и в дальнейшем из системы исключается. Оставшаяся система будет содержать на одно уравнение и на одну независимую переменную меньше, чем исходная система.

Вычислим коэффициенты полученной системы (1.21) через коэффициенты исходной системы (1.20). Начнем с r -го уравнения, которое после выражения переменной x s через остальные переменные будет выглядеть следующим образом:

Таким образом, новые коэффициенты r -го уравнения вычисляются по следующим формулам:

(1.23)
Вычислим теперь новые коэффициенты b ij (i ¹ r ) произвольного уравнения. Для этого подставим выраженную в (1.22) переменную x s в i -е уравнение системы (1.20):

После приведения подобных членов, получим:

(1.24)
Из равенства (1.24) получим формулы, по которым вычисляются остальные коэффициенты системы (1.21) (за исключением r -го уравнения):

(1.25)
Преобразование систем линейных уравнений методом обыкновенных жордановых исключений оформляется в виде таблиц (матриц). Эти таблицы получили название «жордановых».

Так, задаче (1.20) ставится в соответствие следующая жорданова таблица:

Таблица 1.1

	x 1	x 2	…	x j	…	x s	…	x n
y 1 =	a 11	a 12		a 1j		a 1s		a 1n
…………………………………………………………………..
y i =	a i 1	a i 2		a ij		a is		a in
…………………………………………………………………..
y r =	a r 1	a r 2		a rj		a rs		a rn
………………………………………………………………….
y n =	a m 1	a m 2		a mj		a ms		a mn

Жорданова таблица 1.1 содержит левый заглавный столбец, в который записывают правые части системы (1.20) и верхнюю заглавную строку, в которую записывают независимые переменные.

Остальные элементы таблицы образуют основную матрицу коэффициентов системы (1.20). Если умножить матрицу А на матрицу , состоящую из элементов верхней заглавной строки, то получится матрица , состоящая из элементов левого заглавного столбца. То есть, по существу, жорданова таблица это матричная форма записи системы линейных уравнений: . Системе (1.21) при этом соответствует следующая жорданова таблица:

Таблица 1.2

	x 1	x 2	…	x j	…	y r	…	x n
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b is		b in
…………………………………………………………………..
x s =	b r 1	b r 2		b rj		b rs		b rn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		b mj		b ms		b mn

Разрешающий элемент a rs мы будем выделять жирным шрифтом. Напомним, что для осуществления одного шага жордановых исключений разрешающий элемент должен быть отличен от нуля. Строку таблицы, содержащую разрешающий элемент, называют разрешающей строкой. Столбец, содержащий разрешающий элемент, называют разрешающим столбцом. При переходе от данной таблицы к следующей таблице одна переменная (x s ) из верней заглавной строки таблицы перемещается в левый заглавный столбец и, наоборот, один из свободных членов системы (y r ) из левого заглавного столбца таблицы перемещается в верхнюю заглавную строку.

Опишем алгоритм пересчета коэффициентов при переходе от жордановой таблицы (1.1) к таблице (1.2), вытекающий из формул (1.23) и (1.25).

1. Разрешающий элемент заменяется обратным числом:

2. Остальные элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент и изменяют знак на противоположный:

3. Остальные элементы разрешающего столбца делятся на разрешающий элемент:

4. Элементы, не попавшие в разрешающую строку и разрешающий столбец, пересчитываются по формулам:

Последняя формула легко запоминается, если заметить, что элементы, составляющие дробь , находятся на пересечении i -ой и r -ой строк и j -го и s -го столбцов (разрешающей строки, разрешающего столбца и той строки и столбца, на пересечении которых находится пересчитываемый элемент). Точнее, при запоминании формулы можно использовать следующую диаграмму:

-21-26-13-37

Совершая первый шаг жордановых исключений, в качестве разрешающего элемента можно выбрать любой элемент таблицы 1.3, расположенный в столбцах x 1 ,…, x 5 (все указанные элементы не равны нулю). Не следует только выбирать разрешающий элемент в последнем столбце, т.к. требуется находить независимые переменные x 1 ,…, x 5 . Выбираем, например, коэффициент 1 при переменной x 3 в третьей строке таблицы 1.3 (разрешающий элемент показан жирным шрифтом). При переходе к таблице 1.4 переменная x 3 из верхней заглавной строки меняется местами с константой 0 левого заглавного столбца (третья строка). При этом переменная x 3 выражается через остальные переменные.

Строку x 3 (табл.1.4) можно, предварительно запомнив, исключить из таблицы 1.4. Из таблицы 1.4 исключается так же третий столбец с нулем в верхней заглавной строке. Дело в том, что независимо от коэффициентов данного столбца b i 3 все соответствующие ему слагаемые каждого уравнения 0·b i 3 системы будут равны нулю. Поэтому указанные коэффициенты можно не вычислять. Исключив одну переменную x 3 и запомнив одно из уравнений, мы приходим к системе, соответствующей таблице 1.4 (с вычеркнутой строкой x 3). Выбирая в таблице 1.4 в качестве разрешающего элемента b 14 = -5, переходим к таблице 1.5. В таблице 1.5 запоминаем первую строку и исключаем ее из таблицы вместе с четвертым столбцом (с нулем наверху).

Таблица 1.5 Таблица 1.6

Из последней таблицы 1.7 находим: x 1 = – 3 + 2x 5 .

Последовательно подставляя уже найденные переменные в запомненные строки, находим остальные переменные:

Таким образом, система имеет бесчисленное множество решений. Переменной x 5 , можно придавать произвольные значения. Данная переменная выступает в роли параметра x 5 = t. Мы доказали совместность системы и нашли ее общее решение:

x 1 = – 3 + 2t

x 2 = – 1 – 3t

x 3 = – 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Придавая параметру t различные значения, мы получим бесчисленное множество решений исходной системы. Так, например, решением системы является следующий набор переменных (- 3; – 1; – 2; 4; 0).

Метод Крамера – 📙 Математика

1. Общие понятия
2. Способы расчета определителей матриц
3. Использование метода Крамера

Методом Крамера, или как его еще называют, правилом Крамера, является такой способ нахождения неизвестных для заданной системы уравнений. Такой метод используется лишь тогда, когда количество неизвестных равняется числу уравнений системы, иными словами, матрица, образованная из заданной системы уравнений, должна быть квадратной без нулевых строк и ее главный определитель не должен равняться нулю. Рассмотрим теорему Крамера:

При условии, что главный детерминант матрицы $D$, состоящей их коэффициентов системы уравнений, не равняется нулю, эта система уравнений считается совместной, с существующим для нее единственным решением. Неизвестные этих систем линейных уравнений рассчитывают по формуле Крамера: $x_i={D_i\over D}$.

Порядок определения неизвестных по методу Крамера включает такие действия:

Сперва рассчитывают главный детерминант матрицы $D$. Если найденный детерминант равняется нулю, то для данной системы уравнений не существует решений или их существует бесконечное множество. В таком варианте рекомендуют воспользоваться методом Гаусса для определения базисного решения.
Если же главный детерминант не равняется нулю, то эту систему уравнений рассчитывают методом Крамера. Левый столбик главной матрицы заменяют на столбик свободных членов и рассчитывают детерминант $D_1$.
Проделывают те же действия для всех следующих столбиков по порядку и определяют детерминанты $D_1, D_2, …, D_n$, где $n$ – число столбиков.
Теперь, имея все детерминанты, рассчитывают все переменные от $x_1$ до $x_n$.

Не нашли что искали?

Просто напиши и мы поможем

Для расчета определителей матриц, размером более 2х2, применяют различные способы, рассмотрим их подробнее:

1. Метод Гаусса, второе его название – метод понижения порядка определителя. При данном методе матрицу преобразуют к форме треугольника, после этого перемножают составляющие главной диагонали. Стоит отметить, что при применении этого метода запрещено множить или делить строки, или столбцы на числа, не вынося их как множители или делители.

При данном методе можно лишь плюсовать или минусовать строки, или столбцы друг с другом, перед этим перемножив минусуемую строку на нуль. Необходимо также помнить, что во время перестановки столбиков или строк местами, нужно изменять знак матрицы.

2. Правило треугольников или правило Саррюса, которые очень похожи между собой. Для применения правила Саррюса, вначале записывают матрицу, а потом справа от нее снова записывают ее первый и второй столбики.

Числа матрицы и этих столбиков соединяют диагоналями, числа, что лежат на главной и параллельных диагоналях, записывают с плюсом, а числа, что лежат на побочной и параллельных ей диагоналях – с минусом.

Правило треугольников заключается в том, что для расчета детерминанта произведения всех чисел, что соединены на рисунке красной линией слева, записывают с плюсом, а те, что соединены так же справа – с минусом.

Оба способа применимы для матриц величиной 3х3.

3. Для расчета систем линейных арифметических уравнений с четырьмя неизвестными, стоит отметить, что более применимым для расчета определителей является метод Гаусса, либо также применяют метод миноров.

Метод Крамера применяют для определения неизвестных в системах линейных арифметических уравнений.

Разберем применение метода Крамера для расчета системы уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} a_1 x_1+a_2 x_2=b_1 \\ a_3 x_1+a_4 x_2=b_2 \end{cases}$

Преобразуем ее в такую форму:

Рассчитаем главный определитель системы, его так же именуют детерминантом основной матрицы:

$D= \begin{vmatrix} {a_1 a_2\\a_3 a_4 } \end{vmatrix} =a_1∙a_4-a_3∙a_2$

Далее, если главный детерминант не равняется нулю, рассчитываем систему линейных уравнений методом Крамера. Для этого рассчитываем все детерминанты, заменяя поочередно столбики основной матрицы столбиками свободных членов:

$D_1=\begin{vmatrix}{b_1 a_2\\b_2 a_4}\end{vmatrix}=b_1∙a_4-b_2∙a_2$
$D_2=\begin{vmatrix}{a_1 b_1\\a_3 b_2 }\end{vmatrix}=a_1∙b_2-a_3∙b_1$

Затем по формуле Крамера рассчитаем все переменные:

$x_1={D_1\over D} \\ x_2={D_2\over D}$

Рассмотрим задачу с конкретными уравнениями. Рассчитаем данную систему уравнений методом Крамера:

$\begin{cases}3x_1-2x_2+4x_3=21\\3x_1+4x_2+2x_3=9\\2x_1-x_2-x_3=10\end{cases}$

Порядок решения:

Сложно разобраться самому?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

1. Определим главный детерминант по вышеизложенному принципу:

$D=\begin{vmatrix}3&-2&4\\3&4&-2\\2& -1&1\end{vmatrix}=$ $3∙4∙(-1)+2∙(-2)∙2+4∙3∙(-1)-4∙4∙2-3∙(-2)∙(-1)-(-1)∙2∙3=$
$=-12-8-12-32-6+6=-64. $

2. Далее рассчитаем остальные детерминанты:
$D_1=\begin{vmatrix}21& -2&4\\9&4&-2\\10& -1&1\end{vmatrix}=$$21∙4∙(-1)+2∙(-2)∙10+4∙9∙(-1)-4∙4∙10-9∙(-2)∙(-1)-(-1)∙2∙21=$
$=-84-40-36-160-18+42=-296.$

$D_2=\begin{vmatrix}3&21&4\\3& 9& -2\\2&10&1\end{vmatrix}=$$=3∙9∙(-1)+2∙21∙2+4∙3∙10-4∙9∙2-3∙21∙(-1)-10∙2∙3=$
$=-27+120+84-72+63-60=108.$

$D_3=\begin{vmatrix}3 &-2&21\\3&4& 9\\2& -1&10\end{vmatrix} =$$=3∙4∙10+9∙(-2)∙2+21∙3∙(-1)-21∙4∙2-3∙(-2)∙10-(-1)∙9∙3=$
$120-63-36-198+60+27=-60. $

3. Затем рассчитаем наши неизвестные, применяя формулы Крамера:

$x_1={D_1\over D}={-296\over-64}=4,625$
$x_2={D_2\over D}={108\over-64}=-1,6875$
$x_2={D_3\over D}={-60\over-64}=0,9375$

Формулы Крамера. Матричный способ решения систем линейных уравнений | Математика

Пусть задана система линейных уравнений, содержащая одинаковое число уравнений и неизвестных

(1.19)

Введем три матрицы

Матрица , составленная из коэффициентов системы, является квадратной матрицей порядка . Матрицы и являются столбцовыми и составлены соответственно из неизвестных и свободных членов системы.

Получить решение

Так как число столбцов матрицы равно числу строк матрицы , то существует произведение , являющееся столбцовой матрицей тех же размеров, что и матрица . Тогда систему уравнений (1.19) можно записать в форме одного матричного уравнения.

(1.20)

Для определения матрицы из (1.20) допустим, что матрица имеет обратную матрицу определяемую формулой (17). Тогда, умножая обе части (1.20) слева на , получим

(1.21)

По определению обратной матрицы ,где единичная матрица порядка . Отсюда

Следовательно, уравнение (1.21) запишется в виде

(1.22)

Матричное равенство (1.22) определяет решение заданной системы уравнений в матричной форме. Для определения конкретных значений неизвестных перепишем (1.22) в виде

(1.23)

где определитель, соответствующий матрице ;

алгебраические дополнения элементов этой матрицы.

Перемножив матрицы в правой части (23), найдем

Отсюда, согласно условию равенства двух матриц, получим

(1.24)

Формулы (1.24) и определяют матричный способ решения системы

Для запоминания этих формул и последующего их применения на практике введем группу определителей:

Заметим, что определитель получен из заменой его первого столбца на столбец свободных членов, определитель получен из заменой его второго столбца на столбец свободных членов и т.д.. Разложим каждый из определителей по столбцу из свободных членов Тогда

(1.25)

Из сравнения полученных результатов (1.25) с числителями равенств (1.24) следует, что решение системы (1.19) можно записать в виде

(1.26)

Формулы (1.26) называются формулами Крамера.

Примеры решения по формулам Крамера

ПРИМЕР 1.1.13

Решить по формулам Крамера систему уравнений

Решение. Система содержит одинаковое число уравнений и неизвестных. Вычислим определитель этой системы.

Так как ,то решение можно найти по формулам Крамера:

Тогда

Ответ: {1;2}.

ПРИМЕР 1.1.14

Решить матричным способом систему уравнений

Система содержит одинаковое число уравнений и неизвестных. Вычислим определитель этой системы:

Так как , то система может быть решена матричным способом.

Составим матрицы

Так как определитель системы , то матрица имеет обратную матрицу , где

Вычислим алгебраические дополнения всех элементов

Тогда

Так как решением является , то

Или Ответ: {1,1,1}

“Метод Крамера”

Формулы Крамера для модуля на ШЦП 4.0

Посмотреть урок по ссылкеhttps://youtu.be/f0GvqaF2ht8

Определение. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

Формулы Крамера для нахождения неизвестных:

Найти значения и возможно только при условии, если

Этот вывод следует из следующей теоремы.

Ответ : (5;2)

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

. (2)

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера, при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Условия:

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

Условия:

* ,

** ,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Условия:

** .

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной, если у неё нет ни одного решения, и совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой, а более одного – неопределённой.

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

На основании теоремы Крамера

………….
,

где
–

Пример 2. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:
Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы – (2; -1; 1).

Применить метод Крамера самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 4. Решить систему линейных уравнений:

Правильное решение и ответ.

Пример 5. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

. Решение. Находим определитель системы:

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Система уравнений 2×2 – Решатель, который показывает шаги

О решении системы двух уравнений с двумя неизвестными

Систему линейных уравнений можно решить четырьмя различными способами

1. Метод замещения

2. Метод исключения

3. Правило Крамера

4. Графический метод

1. Способ замещения

Пример: Решите систему уравнений методом подстановки.

$$ \ begin {выровнено} 3х + 2у = & 3 \\ -2x – ~ y = & -1 \ end {выровнен} $$

Решение:

Шаг 1: Решите одно из уравнений относительно одной из переменных. Отметим, что это Проще всего решить второе уравнение относительно $ y $.

$$ \ begin {выровнено} 3х + 2 у = & 3 \\ {\ color {красный} {- 2x + 1 =}} & {\ color {красный} {y}} \ end {выровнен} $$

Шаг 2: ЗАМЕНИТЬ $ y $ первым уравнение.

$$ \ begin {выровнено} 3x + 2 ({\ color {красный} {- 2x + 1}}) = & 3 \\ -2x + 1 = & y \ end {выровнен} $$

Step3: Решите первое уравнение для $ x $.

$$ \ begin {выровнено} {\ color {blue} {x =}} & {\ color {blue} {- 1}} \\ -2x + 1 = & y \ end {выровнен} $$

Step4: Чтобы найти $ y $, заменить $ -1 $ на $ x $ во второе уравнение.

$$ \ begin {выровнено} х = & -1 \\ у = & -2 \ cdot (-1) + 1 \ end {выровнен} $$

Решение:

$$ \ begin {выровнено} {\ color {blue} {x =}} & {\ color {blue} {- 1}} \\ {\ color {синий} {y =}} & {\ color {синий} {3}} \ end {выровнен} $$

Вы можете проверить решение, используя указанный выше калькулятор.

2.Метод исключения

Примечание: Этот метод реализован в калькуляторе выше. Калькулятор следует шаги, которые объясняются в следующем примере.

Пример: Решите систему уравнений методом исключения.

$$ \ begin {выровнено} 3x + 2y = & -1 \\ 4x – ~ 5y = & 14 \ end {выровнен} $$

Решение:

Шаг 1: Умножьте первое уравнение на 5, а второе на 2.

$$ \ begin {выровнено} 3 \ cdot {\ color {red} {5}} \ cdot x + 2 \ cdot {\ color {red} {5}} \ cdot y = & -1 \ cdot {\ color {red} {5}} \ \ 4 \ cdot {\ color {red} {2}} \ cdot x – ~ 5 \ cdot {\ color {red} {2}} \ cdot y = & 14 \ cdot {\ color {red} {2}} \ end {выровнен} $$

После упрощения имеем:

$$ \ begin {выровнено} {\ color {blue} {15x + 10y}} = & {\ color {blue} {-5}} \\ {\ color {красный} {8x – 10y}} = & {\ color {красный} {28}} \ end {выровнен} $$

Шаг 2: сложите два уравнения вместе, чтобы исключить $ y $ из системы.

$$ \ begin {выровнено} ({\ color {blue} {15x + 10y}}) + ({\ color {red} {8x – 10y}}) = & {\ color {blue} {-5}} + {\ color {red} { 28}} \\ 15x + 10y + 8x – 10y = & 23 \\ 23x = & 23 \\ х = & 1 \ end {выровнен} $$

Шаг 3: подставьте значение x в исходное уравнение для решения относительно y.

$$ \ begin {выровнено} 3x + 2y = & -1 \\ 3 \ cdot1 + 2y = & -1 \\ 3 + 2у = & -1 \\ 2у = & -4 \\ у = & -2 \ end {выровнен} $$

Решение:

$$ \ begin {выровнено} {\ color {blue} {x =}} & {\ color {blue} {1}} \\ {\ color {blue} {y =}} & {\ color {blue} {-2}} \ end {выровнен} $$

Проверьте решение с помощью указанного выше калькулятора.

3. Правило Крамера

Учитывая систему:

$$ \ begin {выровнено} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \ end {выровнен} $$

$$ D = \ left | \ begin {array} {cc} a_1 и b_1 \\ a_2 и b_2 \ end {array} \ right | \ ne 0 $$

$$ D_x = \ left | \ begin {array} {cc} c_1 и b_1 \\ c_2 и b_2 \ end {array} \ right | $$

$$ D_y = \ left | \ begin {array} {cc} a_1 и c_1 \\ a_2 и c_2 \ end {array} \ right | $$

, то решение этой системы:

$$ x = \ frac {D_x} {D} $$

$$ y = \ frac {D_y} {D} $$

Пример: Решите систему уравнений, используя правило Крамера

$$ \ begin {выровнено} {\ color {blue} {3}} x + {\ color {red} {12}} y = & -4 \\ {\ color {blue} {7}} x {\ color {red} {- ~ 8}} y = & 3 \ end {выровнен} $$

Решение: Сначала мы вычисляем $ D, ~ D_x $ и $ D_y $.

$$ \ begin {выровнено} & D ~~ = \ left | \ begin {array} {cc} {\ color {blue} {3}} & {\ color {red} {~ 12}} \\ {\ color {blue} {7}} & {\ color {red} {- 8}} \ end {array} \ right | = {\ color {blue} {3}} \ cdot {\ color {red} {(- 8)}} – {\ color {blue} {7}} \ cdot {\ color {red} {12}} = -24 – 84 = -108 \\ & D_x = \ left | \ begin {array} {cc} -4 & {\ color {красный} {~ 12}} \\ ~ 3 & {\ color {красный} {- 8}} \ end {array} \ right | = -4 \ cdot {\ color {red} {(- 8)}} – 3 \ cdot {\ color {red} {12}} = 32 – 36 = -4 \\ & D_y = \ left | \ begin {array} {cc} {\ color {синий} {3}} & -4 \\ {\ color {blue} {7}} & ~ 3 \ end {array} \ right | = {\ color {blue} {3}} \ cdot3 – {\ color {blue} {7}} \ cdot (-4) = 9 + 28 = 37 \\ \ end {выровнен} $$

Следовательно,

$$ \ begin {выровнено} & {\ color {blue} {x = \ frac {D_x} {D} = \ frac {-4} {- 108} = \ frac {1} {27}}} \\ & {\ color {синий} {y = \ frac {D_y} {D} = \ frac {37} {- 108} = – \ frac {37} {108}}} \ end {выровнен} $$

Как правило Крамера используется для решения системы уравнений

Есть разные способы решить одну математическую задачу.Вот почему это так сложно и легко одновременно. Можно решить проблему любым способом.

Например, есть много способов написать уравнение, например, форма угла наклона, стандартная форма, форма точки наклона и т. Д.

Аналогичным образом уравнения решаются разными методами. Один из таких методов – правило Крамера, и он является наиболее популярным.

Что такое правило Крамера?

Правило Крамера используется для решения системы сложных математических уравнений.Он назван в честь женевского математика Габриэля Крамера.

В правиле Крамера мы находим значение неизвестной переменной, скажем, z, заменяя столбец z в матрице и находя его определитель. После этого делим полученное значение на значение определителя исходной матрицы.

Недостаток:

Это простой способ, но он может быть неэффективным и утомительным, если система состоит из более чем трех уравнений. Более того, он эффективен только в том случае, если система имеет уникальное решение.

Если определитель матрицы системы линейных уравнений равен нулю, вам нужно будет найти какой-либо другой метод для определения значений переменных. Это потому, что правило Крамера в таких случаях неприменимо.

Как решать уравнения с помощью правила Крамера?

Хотя у правила Крамера есть некоторые недостатки, но там, где оно может быть применено, это лучший выбор. Этот метод очень упростил вычисление значений переменных.

Примечание:

Следует отметить одно: правило Крамера работает только с квадратными матрицами.То есть количество неизвестных переменных равно количеству уравнений.

Решение системы двух линейных уравнений:

Систему, состоящую из двух уравнений, легко решить по очевидной причине меньшего количества вычислений.

Рассмотрим два общих уравнения:

a1x + b1y = d1… Уравнение 1

a2x + b2y = d2… Уравнение 2

Чтобы решить его для значений x и y, нам нужно преобразовать их в матрицу форма.

Y-столбец

↓

a1 b1 d1

a2 b2 d2

↑ ↑

X-Column Постоянный столбец

Матрица 2 на 2 выше представляет собой матрицу коэффициентов A и 1 by 2 matrix – постоянная матрица.Формула для значения переменной:

= | Dx | / | D | , | Dy | / | D |

Используя эту формулу, мы можем найти значения переменных x и y. Буква «D» представляет определитель матрицы A.

Чтобы найти другие определители (| Dx | или | Dy |), мы должны поместить постоянную матрицу на место столбца переменной, значение которой мы хотим найти.

В общем примере выше, если мы хотим найти значение переменной X, мы заменим X-столбец постоянной матрицей.Примерно так:

d1 b1

d2 b2

Теперь это матрица X и ее определитель | Dx |. Надеюсь, все это имеет смысл. Теперь давайте рассмотрим пример для лучшего понимания.

Пример:

Найдите значения переменных X и Y для этих уравнений.

6x + 6y = 10

1x + 2y = 3

Решение:

Шаг 1. Сформируйте матрицу.

6 6 10

1 2 3

A Константа

Шаг 2: Найдите матрицу X и Y.

X-Matrix:

10 6

3 2

Y-матрица:

6 10

1 3

Шаг 3: Найдите определители всех трех матриц, т.е. (| D |, | Dx |, и | Dy |).

Определитель матрицы A:

= (6) (2) – (1) (6)

= 12-6

= 6

Определитель матрицы X:

= (10) (2) – (3) (6)

= 20 – 18

= 2

Определитель матрицы Y:

= (6) (3) – (1) (10)

= 18-10

= 8

Шаг 4: Используйте формулу правила Крамера для вычисления значений переменных X и Y.

Для X:

| Dx | / | D | = 2/6 = 1/3

Для Y:

| Dy | / | D | = 8/6 = 4/3

Итак, ответ:

X = 1/3 и Y = 4/3

Решение системы трех линейных уравнений:

Чтобы найти значения переменных в системе Три уравнения очень похожи на поиск значений в системе из двух уравнений.

Единственная разница, когда есть 3 уравнения, состоит в том, что вам нужно найти дополнительную переменную. Давайте посмотрим на общий пример.

a1x b1y c1z = d1

a2x b2y c2z = d2

a3x b3y c3z = d3

При преобразовании в матрицы это будет выглядеть так:

a1 b1 c123 d1 9000 b5 d2

a3 b3 c3 d3

На этот раз нам также нужно будет найти переменную Z.Для этого определитель | Dz | будет вычислено. В остальном процесс аналогичен системе двух уравнений.

Альтернативный метод: через калькулятор:

Несмотря на то, что вычислить значения переменных легко с помощью правила Крамера, вы не можете отрицать, что это требует времени. И давайте не будем забывать о возможности незначительных ошибок, которые могут привести к серьезным последствиям.

Вот почему рекомендуется использовать онлайн-калькулятор правил Крамера. Благодаря эффективному инструменту процесс решения даже сложных уравнений будет простым и быстрым.

Вам нужно только ввести проблему (вопрос или уравнение), и инструмент решит ее соответствующим образом. Единственное, что вы должны помнить, – это процесс ввода.

Вы должны добавить правильно, чтобы избежать неправильной интерпретации калькулятора.

В заключение:

Правило Крамера использует определители для решения систем уравнений. Предлагается для систем из 2 и 3 уравнений. Вы также можете выбрать калькулятор из обширной коллекции инструментов, доступных в Интернете.

Также прочтите: Эссе о том, как преодолеть страх перед математикой

Также прочтите: Важность математики в повседневной жизни Эссе

БОЛЬШОЕ СПАСИБО

4.6: Правило Крамера. – ppt видео онлайн скачать

Презентация на тему: «4.6: Правило Крамера» – стенограмма презентации:

ins [data-ad-slot = “4502451947”] {display: none! important;}} @media (max-width: 800px) {# place_14> ins: not ([data-ad-slot = “4502451947”]) {display: none! important;}} @media (max-width: 800px) {# place_14 {width: 250px;}} @media (max-width: 500 пикселей) {# place_14 {width: 120px;}} ]]>

1 4.6. Правило Крамера

2 Правило Крамера – 2 x 2 Правило Крамера основывается на детерминантах.
Рассмотрим систему ниже с переменными x и y:

4 Правило Крамера – 2 x 2 Формулы для значений x и y показаны ниже.Числа внутри определителей – это коэффициенты и константы из уравнений.

5 Пример правила Крамера: Решите систему: 3x – 2y = 10 4x + y = 6
Решение (2, -2)

6 Правило Крамера – 3 x 3 Рассмотрим приведенную ниже систему из трех уравнений с переменными x, y и z:

8 Правило Крамера – 3 x 3 Формулы для значений x, y и z показаны ниже.Обратите внимание, что все три имеют одинаковый знаменатель.

9 Правило Крамера Не для всех систем есть однозначное решение. Если определитель матрицы коэффициентов равен нулю, решение не может быть найдено с помощью правила Крамера из-за деления на ноль. Когда решение не может быть определено, существует одно из двух условий: плоскости, отображаемые каждым уравнением, параллельны и решений нет. Три плоскости разделяют одну линию (например, три страницы книги имеют один корешок) или представляют одну и ту же плоскость, и в этом случае существует бесконечное количество решений.

10 Пример правила Крамера: решите систему 3x – 2y + z = 9 x + 2y – 2z = x + y – 4z = -2

11 Пример правила Крамера, продолжение: 3x – 2y + z = x + 2y – 2z = x + y – 4z = -2 Решение: (1, -3, 0)

Исключение калькулятора системы уравнений

В этом калькуляторе используется метод исключения Гаусса для определения стехиометрических коэффициентов химического уравнения.Исключение Гаусса (также известное как сокращение строк) – это численный метод решения системы линейных уравнений. Метод назван в честь немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777-1855). Здесь вы можете бесплатно решать системы одновременных линейных уравнений с помощью калькулятора исключения Гаусса-Жордана с комплексными числами онлайн с очень подробным решением. Наш калькулятор способен решать системы с одним уникальным решением, а также неопределенные системы, которые … Метод исключения – это метод решения систем линейных уравнений.Эта статья рассматривает методику с примерами и даже дает вам возможность попробовать ее самостоятельно. Решение систем уравнений с исключением. Улучшите свои математические знания с помощью бесплатных вопросов из раздела «Решите систему уравнений с использованием исключения» и тысяч других математических навыков. Решение систем трех уравнений с датой исключения _____ Период ____ Решите каждую систему путем исключения. 1) – x – 5y – 5z = 2 4x – 5y + 4z = 19 x + 5y – z = −20 2) −4x – 5y – z = 18 −2x – 5y – 2z = 12 −2x + 5y + 2z = 4 3) −x – 5y + z = 17 −5x – 5y + 5z = 5 2x + 5y – 3z = −10 4) 4x + 4y + z = 24 2x – 4y… Решение систем уравнений методом исключения Решение систем уравнений методом исключения Пример 1: Решение системы уравнений методом исключения Пример 2: Решение системы уравнений методом исключения Пример 3: Решение системы уравнений методом исключения Пример: Система уравнений с использованием исключения (бесконечные решения) Вы можете использовать эту решающую программу, если хотите решить систему линейных уравнений 2×2. Подход, используемый в этом калькуляторе, заключается в использовании правила Крамера для решения системы уравнений 2×2.Преимущество метода Крамера в том, что он отлично работает как для малых, так и для больших систем, подход тот же. Для более крупных систем уравнений лучшей альтернативой является использование метода исключения Гаусса, который систематически имеет дело с линейными системами любого размера. Калькулятор системы линейных уравнений Этот калькулятор решает систему линейных уравнений любого вида с указанными шагами, используя либо метод исключения Гаусса-Жордана, либо правило Крамера. Чтобы решить любую систему, воспользуйтесь калькулятором системы уравнений.Решение систем линейных уравнений в режиме онлайн. Этот онлайн-калькулятор позволяет решать систему уравнений различными методами в режиме онлайн. Решение сопровождается подробным описанием, также можно определить совместимость системы уравнений, то есть уникальность решения. Решите каждую систему путем исключения. 7) x + y = −10 10 x – y = −1 8) 4x – 4y = −4 12 x – 12 y = −12 9) 4x – 5y = 9 5x – 6y = 9 10) 5x – 7y = 19 −4x + 5y = −17-2- Описание продукта Цифровые интерактивные заметки Google Slides.Заметки – это все, что полезно для интерактивной записной книжки, без бумаги, клея, ножниц и т. Д. Содержание: Учащиеся смогут решать системы уравнений методом исключения. 24 июля 2020 г. · Решение для системы: 3.000000 1.000000 2.000000 Иллюстрация: Сложность времени: поскольку для каждого поворота мы перемещаем часть вправо для каждой строки под ним, O (n) * (O (n) * O (n) ) = O (n 3). Мы также можем применить метод исключения Гаусса для вычисления: ранга матрицы; Определитель матрицы; Обращение к обратимой квадратной матрице. Решите систему уравнений (линейных или нелинейных) и найдите ее решения в режиме онлайн, используя наш решатель системы уравнений.Графический калькулятор – Комплексные числа и тригонометрия – Калькулятор комплексных чисел Тригонометрический калькулятор – Теория чисел – Калькулятор дзета-функции Римана Гурвиц … 30 октября 2014 г. · Решите систему уравнений с исключением Гаусса на C # Опубликовано 30 октября 2014 г. Род Стивенс Это пример показывает, как использовать метод исключения Гаусса для решения линейной системы уравнений вида: A1 * x1 + B1 * x2 + … + N1 * xn = C1 A2 * x1 + B2 * x2 + … + N2 * xn = C2 … Решение систем линейных уравнений в режиме онлайн. Этот онлайн-калькулятор позволяет решать систему уравнений различными методами в режиме онлайн.Решение сопровождается подробным описанием, также можно определить совместимость системы уравнений, то есть уникальность решения. исключение x + 2y = 2x – 5, x – y = 3. $ исключение \: 5x + 3y = 7, \: 3x-5y = -23 $. исключение 5x + 3y = 7, 3x – 5y = −23. $ исключение \: x + z = 1, \: x + 2z = 4 $. исключение x + z = 1, x + 2z = 4. вычислитель системы уравнений исключения. en. Предположим, что метод исключения приводит к уравнению 0 = 0. Что это говорит о количестве решений системы уравнений.(а) Система имеет бесконечно много решений. Калькулятор метода исключения – это бесплатный онлайн-инструмент, который отображает значения переменных для системы уравнений. Онлайн-калькулятор метода исключения BYJU ускоряет вычисления и отображает значения переменных за доли секунды. Решение системных уравнений с 3 переменными на калькуляторе, таблица вероятностей 6-го класса в Альберте, рабочие листы с переменными, матрица Решение системы с помощью кооперативной алгебры исключения, промежуточная алгебра «Проект главы 6», калькулятор уравнений факторинга, дайте мне ответы по бесплатной алгебре.Используйте исключение, когда вы решаете систему уравнений, и вы можете быстро исключить одну переменную, сложив или вычтя ваши уравнения вместе. Вы можете использовать этот калькулятор исключения, чтобы попрактиковаться в решении систем.

11 июля 2008 г. · Используя метод исключения, мы применяем концепцию удаления одного неизвестного (случайно выбранного) за раз. Это уменьшит количество неизвестных и определенно упростит решение. Путем исключения мы пытаемся сначала составить любые два уравнения, имеющих хотя бы одно неизвестное подобное (шаг 1). Пример: Шаг 1 3x + 2y = 5 — (A) x + y = 2 — (B)

задача с помощью шестого класса алгебры, простой способ объяснения дробей, преобразование смешанных чисел в десятичные дроби, математические стихи с использованием радикального, обратного лапласа ti 89, Каждый раз, когда вам понадобится совет по исчислению или, возможно, математике, Решите переменную.com, безусловно, подходящее место для изучения! упрощение рабочего листа радикалов, как решать радикальные выражения и уравнения, решение вычитания радикалов …

Мы впервые столкнулись с методом исключения Гаусса в «Системах линейных уравнений: две переменные». Матрица может служить средством представления и решения системы уравнений. Чтобы выразить систему в матричной форме, мы извлекаем коэффициенты переменных и констант, и эти …

Смотрите полный список в блоге.demofox.org

Вычисляет решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными и рисует диаграмму.

Калькулятор позволяет решать уравнения с абсолютными значениями. Он может решать линейные уравнения с использованием абсолютных значений, квадратные уравнения с использованием абсолютных значений, а также другие многие типы уравнений с абсолютными значениями. Это калькулятор, который дает пошаговую помощь по задачам алгебры.

05 декабря, 2019 · Как решить одновременные уравнения методом исключения.Было ли у вас когда-нибудь уравнение одновременной задачи, которое вам нужно было решить? При использовании метода исключения можно добиться желаемого результата за очень короткое время.

Каждое средство решения проблем – это содержательное и важное руководство по изучению и решению проблем, наполненное четкими и краткими жемчужинами по решению проблем. Все ваши вопросы можно найти в одном удобном источнике от одного из пользующихся наибольшим доверием имен в справочных руководствах по решениям.

Решатель систем уравнений. Решите систему уравнений, какой бы сложной она ни была, и найдите все решения.Входные уравнения здесь, в квадратных скобках, разделенных …

Уравнения Введение Темы: Уравнения и решения Решение уравнений с помощью сложения Решение уравнений с умножением / делением Решение одношаговых уравнений: комбинированное Решение двухэтапных уравнений Решение уравнений с одинаковыми терминами Решение уравнений с использованием распределения Решение уравнений с переменными с обеих сторон Очистка уравнений …

Решение систем уравнений методом исключения или замены рабочих листов в формате pdf для печати, решение и построение графиков систем линейных уравнений в словесных задачах, правило Крамера.Этот раздел сайта предоставит доступ к различным рабочим листам систем линейных уравнений.

Обычно, когда система уравнений включает целые и нецелые числа, ее легче решить алгебраическими методами, чем построением графиков. Двумя такими методами являются метод замещения и метод исключения. 3. Решите систему уравнений путем подстановки:

В математике система линейных уравнений (или линейная система) представляет собой набор одного или нескольких линейных уравнений, включающих один и тот же набор переменных.Например, это система трех уравнений с тремя переменными x, y …

Калькулятор метода подстановки Примеры. Калькулятор метода исключения с Workings. С помощью нашего онлайн-калькулятора алгебры вы можете найти решение системы линейных уравнений методом исключения. Средство решения одновременных уравнений является точным, эффективным и бесплатным. Исключение – один из классических методов решения системы линейных …

Если, возможно, вам нужен совет по алгебре и, в частности, по Решению систем уравнений с помощью калькулятора исключения или полинома, приходите к нам в Polymathlove.com. Мы предлагаем большой объем качественной справочной информации по предметным областям, варьирующимся от факторов до делительных полиномов.

Исключение Гаусса, вероятно, лучший метод для решения систем уравнений, если у вас нет графического калькулятора или компьютерной программы, которая могла бы вам помочь. Цели исключения по Гауссу – сделать верхний левый угловой элемент равным 1, использовать элементарные операции со строками для получения нулей во всех позициях …

Студенты узнают, как решать системы уравнений с использованием исключения путем сложения и вычитания.Задачи: учащиеся будут решать системы уравнений методом исключения путем сложения и вычитания. Студенты будут сотрудничать друг с другом, решая задачи, используя плитки алгебры и примеры. Стандарты: 8.EE b.

Есть много разных способов решить систему линейных уравнений. В этом руководстве вы увидите, как решить такую систему, объединив уравнения таким образом, чтобы исключить одну из переменных. Затем посмотрите, как найти значение этой переменной и использовать его для поиска значения другой переменной.

ПРИМЕР 1 Решение системы линейных уравнений методом исключения Решите систему методом исключения. x + 3y = Учебный совет −2 Уравнение 1 x – 3y = 16 Уравнение 2 Шаг 1: Коэффициенты y-членов уже противоположны. Шаг 2: Добавьте уравнения. x + 3y = – 2 Уравнение 1 x – 3y = 16 Уравнение 2 2x = 14 Сложите уравнения. Шаг 3. Решите для x …

Описание продукта Цифровые интерактивные заметки Google Slides. Заметки – это все, что полезно для интерактивной записной книжки, без бумаги, клея, ножниц и т. Д.Содержание: Студенты смогут решать системы уравнений методом исключения.

Решение систем уравнений путем замены лабиринта листами исключение системы исключений. Решение уравнений путем исключения рабочих листов викторины, линейные дифференциальные рабочие листы, помогают решить матрицу. Решение системы уравнений путем исключения листов необычных систем визуализации изображений.

Раздел 7-Системы линейных уравнений Алгебра I 3 недели 3 Оценочные тесты EU1a – Графическая система линейных уравнений викторины EU1b.- Викторина по методу замены EU1c. – Викторина по методу исключения EU2 – Единичный тест для линейных приложений – Графические калькуляторы системы линейных уравнений (TI-83 или TI-84)

Решение системы (7, – 3). Исключение с помощью умножения. Расширение метода исключения состоит в умножении одного или обоих уравнений в системе на некоторое число, так что добавление или вычитание исключает переменную. Пример. Решите следующую систему уравнений методом исключения. х – у = 5 и 3х + 2у = 15.Решение

Чтобы решить систему уравнений с использованием матриц, начните с проверки того, что переменные находятся в одном порядке (т. Е. Переменные x и y выровнены) и равны константе. Напишите две матрицы, A и B, которые будут введены в ваш калькулятор. Матрица A будет коэффициентами двух уравнений, а матрица B будет константами.

У нас также есть калькулятор систем уравнений, который поможет вам проверить свои шаги и ответы при решении двух уравнений с двумя переменными.Следующие шаги показывают, как решить систему уравнений с использованием метода сложения или исключения. Прокрутите страницу вниз, чтобы увидеть примеры и решения. Уравнения линейной системы независимы, если ни одно из уравнений не может быть получено алгебраически из других. Самый простой метод решения системы линейных уравнений – многократное исключение переменных. Этот метод можно описать следующим образом: Сокращение строк в калькуляторе с устранением гаусса, вы решаете систему 3×3 с двумя графическими справочными листами системы уравнений, как с 3 переменными, используя метод одновременной подстановки по гауссу, casio fx 991es плюс навыки решения дробей или десятичных решений. Решите систему 3×3 с помощью метода исключения Гаусса 2, который вы можете найти в Справочном листе графического калькулятора…

Калькулятор правила Крамера – система уравнений 2 и 3-EET-2021

Калькулятор правила Крамера – система уравнений 2 и 3

Правило Крамера и калькулятор для анализа линейных цепей | Пошаговое руководство с решенными примерами
Сегодня мы расскажем об еще одном простом, но мощном методе анализа схем, известном как «Правило Крамера»

. Обновление

: мы добавили онлайн-калькулятор правил Крамера, который позволяет решать две системы уравнений, а также три системы уравнений.Проверьте оба калькулятора правил Крамера в обоих разделах сообщения. Спасибо

Нахождение двух переменных по правилу Крамера:

Пример 1:
(В нашем случае неизвестными значениями являются два тока i1 и i2) по правилу Крамера. А теперь приступим.

Как показано ниже, это простая электрическая схема, и мы собираемся решить ее с помощью правила Крамера.

Решения:
Во-первых, переставьте схему с соответствующими метками (поскольку резистор 5 Ом состоит из двух серий, поэтому мы заменим его на 10 Ом.

Анализ цепей Super Mesh | Пошагово с примером решения-EET-2021

Теперь мы напишем уравнения KVL неизвестных значений для данной схемы.
Применим KVL к сетке (1).
6 = 14i1 + 10 (i1 – i2)
6 = 24i1 – 10i2… .. q Уравнение (1)
Также примените KVL к сетке (2).
-5 = 10I2 + 10 (I2 – I1)
-5 = – 10I1 + 20I2… .. q Уравнение (2)
Здесь мы находим два уравнения, а именно.
24I1 – 10I2 = 6

Теперь мы решим оба этих уравнения по правилу Крамера, то есть i1 и i2, чтобы найти неизвестные значения (токов).

Решите по закону Крамера:
Шаг 1:
Сначала запишите приведенные выше уравнения в матричной форме. означает

Шаг 2:
Теперь введите матрицу коэффициентов приведенных выше уравнений и назовите ее вызовом. Убедитесь, что это квадрат, то есть количество строк x количество столбцов. В приведенном выше случае у него 2 строки и 2 столбца.

Шаг 3:
Теперь определитель | найти | Найдите матрицу коэффициентов следующим способом.(Рис. Ниже поможет вам в этом.)

Согласно приведенному выше рис. Последний шаг будет таким.

Шаг 4:
Теперь найдите коэффициент Δ1 тем же способом, что и упомянутый выше, но замените первый столбец ответа на «Длина столбца ответа» (если вы не нашли проблему столбца ответов, см. Рис. На шаге 2. выше или просто проверьте инфографику, только следующую секунду Обратитесь к примеру, где мы сделали именно это, чтобы найти Δ1), то есть

Закон Кирхгофа по току и напряжению (KCL и KVL) | Пример Hull-EET-2021

Шаг 5:
Теперь найдите мультипликативный определитель Δ2, просто замените второй столбец на «Ответить на запрос», то есть

Шаг 6:
Согласно правилу Крамера, i1 = Δ1 / Δ и i2 = Δ2 / Δ.
Теперь найдите i1 и i2 по правилу Крамера.

А,

Ниже приводится краткое инфографическое описание правил Крамера для определения двух переменных или неизвестных значений.

Что ж, это было легко… теперь о трех переменных, как…. Давайте попробуем решить линейные уравнения с тремя переменными, используя правило Крамера.
Нахождение трех переменных по правилу Крамера:
(В нашем случае эти неизвестные значения – три тока i1, i2 и i3) по правилу Крамера. А теперь приступим.
Калькулятор правила Крамера для 3. 3 (система из трех уравнений)

Пример 2:
Используйте анализ сетки, чтобы определить три тока сетки в следующей цепи. Для простоты воспользуйтесь правилом Крамера.

Прежде всего, один КВЛ за другим на каждой сетке. Примените и напишите его уравнения.
-7 + 1 (i1 – i2) + 6 + 2 (i1 – i3) = 0
1 (i2– i1) + 2i2 + 3 (i2– i3) = 0
2 (i3– i1) – 6 + 3 (i3– i2) + 1i3 = 0
Упрощение,
3I1 – I2 – 2I3 = 1… уравнение….. (1)

i1 + 6i2 – 3i3 = 0… EQ… .. (2)
-2i1 – 3i2 + 6i3 = 6… Eq… .. (3)

Теперь запишите приведенные выше уравнения в матричной форме.
3I1I2– 2I3 = 1
–I1 + 6i2– 3i3 = 0
-2i1– 3i2 + 6i3 = 6

Теперь найдем определитель коэффициента при. Как мы это делаем? Ознакомьтесь с рисунком ниже для лучшего объяснения.

Итак, полный шаг показан ниже.

∆ = +3 (6 x 6) – (- 3 x -3) – (-1 (-1 x 6) – (- 2 x -3) + (-2 (-1 x -3) – (- 2) x 6)
81 = 81-12-30 = 39

Теперь найдите ∆1, как описано выше.Но замените первый столбец матрицы «столбцом ответов». Подробнее см. На рисунке ниже.

Анализ цепей Super Net | Пошагово на примере-EET-2021

Итак, вот полный шаг к поиску .1. Здесь мы заменили «Blue Guys» на «Black Guys» в первом столбце :).

= +1 (36-9) – (–1 [0 + 18]) –2 (0–36).
= 27 + 18 + 72
,1 = 117

Опять же, найдите .2 тем же методом, который объяснялся ранее.Просто замените второй столбец матрицы на «Столбец ответов», то есть «Красные парни» в центральном столбце на «Черные парни», как показано ниже.

= +3 (0 +18) -1 [(- 6) – (+ 6)] –2 (-6-0)
= 54 + 12 + 12 = 78
,2 = 78

Наконец, найдите последний .3. Просто замените третий столбец на «столбец ответов», то есть замените зеленых парней в третьем столбце «черными парнями», как показано ниже.

= +3 (6 x 6) – (-3 x 0) – [-1 (-1 x 6) – (-2 x 0)] + [1 (-1) x (-3) – (-2 ) х (6)
= 108 + 6 + 15
.3 = 117

Теперь решите и найдите текущие неизвестные значения, а именно i1, i2 и i3.
Таким образом, правило Крамера гласит, что переменные i1 = .1 / .1, i2 = ∆ / ∆2 и i3 = ∆ / .3.
Следовательно,

i1 = ∆1 / .1
= 117/39
I1 = 3 а

А i2,
i2 = = ∆ / .2
= 78/39
i2 = 2А

И, наконец, i3;
i3 = ∆ / .3
= 117/39
i3 = 3A.

Надеюсь, вы хорошо поняли правило Крамера и вам понравилось пошаговое руководство.Обязательно поделитесь с друзьями. Также введите свой адрес электронной почты в поле ниже, чтобы подписаться. Итак, мы пришлем вам больше руководств, подобных приведенному выше. Спасибо.
Вы также можете прочитать:

Калькулятор и формула падения напряжения – решенные примеры-EET-2021

Какая лампа светится ярче при последовательном подключении-EET-2021

Как обнаружить дефекты кабелей? Неисправность кабеля, тип и причины-EET-2021

Blog क्या है और Blogging कैसे कैसे है सीखें, Blogging Ki Puri Jankari Hindi Me, Blogging Full Information In Hindi.Как создать бесплатный блог – Ведение блога на хинди мне

Лучший способ заработать деньги в Интернете на мобильном телефоне и ноутбуке Подробнее

Нравится:

Нравится Загрузка …

Связанные

Правило Крамера – StudyFAQ.com

Правило Крамера применимо к линейным уравнениям. Итак, для лучшего понимания главы важно понимать ее основы.

Что такое линейные и нелинейные уравнения?

Линейные уравнения: это уравнение первого порядка, включающее две переменные; его график представляет собой прямую линию в системе координат.Тогда как уравнение, не образующее прямой линии, называется нелинейным уравнением.

Пример линейного уравнения:

2x –y + z = 0

Пример нелинейного уравнения:

3x ² + 2y –z = 0

Теперь, когда вы понимаете разницу между линейными и нелинейными уравнениями, легко понять применение правила Краммера. Давайте изучим, что такое правило зубного врача.

В линейных уравнениях правило Крамера – это открытый метод решения системы линейных уравнений с многочисленными уравнениями, когда уравнение имеет единственное решение.Правило Крамера не позволяет вам решать всю систему уравнений путем решения только одной переменной. Воспользуемся следующей системой уравнений:

3x + y + z = 3

х + у + г = 0

Преимущества правила Крамера:

Правило Крамера одновременно экономит вашу энергию и время. После знакомства с правилом Крамера вам не нужно решать всю систему, чтобы получить желаемое значение. Будь то упражнения по математике или тесты по физике, правило Крамера универсальнее. Он повсюду приспосабливается, чтобы доказать свою уникальность.

Простые шаги для изучения правила Крамера:

Ø Вы просто выбираете переменную, которую нужно решить.

Ø Заменить столбец значений этой переменной в определителе коэффициента значениями столбца ответов,

Ø Рассчитайте этот определитель

Ø Разделите на определитель коэффициента.

Выполните четыре простых шага и изучите правило Крамера, чтобы пользоваться его преимуществами на каждом этапе.

Определитель:

Ø Существует еще один метод решения систем уравнений, в котором используется величина, называемая определителями.Каждая матрица размера m × m имеет единственный определитель. Определитель – это одно число.

Ø Чтобы найти определитель матрицы 2 × 2, умножьте числа на нисходящей диагонали и вычтите произведение чисел на восходящей диагонали.

Примеры:

х + 2у + 3z = 1

-x + 2z = 2

-2y + z = -2

Определители и Краммеры для систем 2 * 2

х- 2у = 4

5x + 7y = 8

Для следующей системы уравнений найдите значение z .

2 x + y + z = 1

x – y + 4 z = 0

x + 2 y – 2 z = 3

Чтобы решить только для z , я сначала нахожу определитель коэффициента.

Затем я формирую D _z , заменяя третий столбец значений столбцом ответов:

Затем я формирую частное и упрощаю:

Ответ: Z = 2

Разве это не была легкая глава для понимания? Теперь твоя очередь.Все, что вам нужно было сделать, это решить все уравнения, применяя правило Крамера, и идти параллельно с толпой вашего класса.

Полезные ссылки, чтобы узнать больше о правиле Крамера

Воспользуйтесь ссылкой, чтобы узнать больше о правиле Крамера
Используйте Mathportal для полных шагов формулы Крамера. Он может помочь вам решить проблемы в Интернете и получить подробные решения.
Изучите все формулы правила Крамера.
Воспользуйтесь ссылкой, чтобы изучить главу подробно с примерами.
См. Всю историю в Википедии, а также полную главу правила Крамера.

1. Детерминанты

М. Борна

Прежде чем мы увидим, как использовать матрицу для решения системы одновременных уравнений, мы узнаем о детерминантах.

Определитель представляет собой квадратный массив чисел (записывается внутри пары вертикальных линий), что представляет собой определенную сумму продуктов.

Ниже приведен пример определителя 3 × 3 (у него 3 строки и 3 столбца).

`| (10,0, -3), (- 2, -4,1), (3,0,2) |`

Результатом умножения и последующего упрощения элементов определителя является одно число (скалярная величина ).

Вычисление определителя 2 × 2

В общем, мы находим значение определителя 2 × 2 с элементами a , b , c , d следующим образом:

`| (a, b), (c, d) | = ad-cb`

Умножаем диагонали (сначала верхний левый × нижний правый), затем вычитаем.

Пример 1

`| (4,1), (2,3) |`
`= 4xx3-2xx1`
`= 12-2`
`= 10`

Конечный результат – одно число .

Мы увидим, как расширить определитель 3 × 3 ниже.

Использование определителей для решения систем уравнений

Мы можем решить систему уравнений, используя определители, но это становится очень утомительным для больших систем. Мы будем использовать только системы 2 × 2 и 3 × 3 с использованием определителей.

Правило Крамера

Решение ( x , y ) системы

`a_1x + b_1y = c_1`
`a_2x + b_2y = c_2`

можно найти с помощью определителей:

`x = | (c_1, b_1), (c_2, b_2) | / | (a_1, b_1), (a_2, b_2) |`
`y = | (a_1, c_1), (a_2, c_2) | / | (a_1, b_1), (a_2, b_2) |`

Пример 2

Решите систему, используя правило Крамера:

x – 3 y = 6
2 x + 3 y = 3

Ответ

Сначала мы определяем значения, которые нам понадобятся для правила Крамера:

a ₁ = 1 б ₁ = −3 с ₁ = 6

a ₂ = 2 б ₂ = 3 с ₂ = 3

`х = | (6, -3), (3,3) | / | (1, -3), (2,3) | = (18 + 9) / (3 + 6) = 3`

`y = | (1,6), (2,3) | / | (1, -3), (2,3) | = (3-12) / (3 + 6) = (- 9) / 9` = -1`

Итак, решение – `(3, -1)`.

Чек:

[1] `3 + 3 = 6` ОК

[2] `6 – 3 = 3` ОК

3 × 3 Детерминанты

Определитель 3 × 3

`| (a_1, b_1, c_1), (a_2, b_2, c_2), (a_3, b_3, c_3) |`

можно оценивать по-разному.

Мы будем использовать метод под названием «расширение по несовершеннолетним». Но сначала нам нужно определение.

Кофакторы

Определитель 2 × 2

`| (b_2, c_2), (b_3, c_3) |`

это называется кофактором из ₁ для определителя 3 × 3:

`| (a_1, b_1, c_1), (a_2, b_2, c_2), (a_3, b_3, c_3) |`

Кофактор образован из элементов, которые не находятся в одной строке с a ₁ и не в том же столбце, что и a ₁.

Аналогично определитель

`| (b_1, c_1), (b_3, c_3) |`

называется кофактором из a ₂. Он сформирован из элементы не в той же строке, что a ₂ и не в том же столбце, что и a ₂.

Продолжаем узор для кофактора a ₃.

Расширение несовершеннолетними

Мы оцениваем наш определитель 3 × 3, используя разложение по минорам.Это включает в себя умножение элементов в первом столбце определителя на кофакторов этих элементов. Вычитаем средний продукт и добавляем конечный продукт.

`| (a_1, b_1, c_1), (a_2, b_2, c_2), (a_3, b_3, c_3) |` = a_1 | (b_2, c_2), (b_3, c_3) | “ -a_2 | ( b_1, c_1), (b_3, c_3) | `+ a_3 | (b_1, c_1), (b_2, c_2) |`

Обратите внимание, , что мы работаем вниз по первому столбцу и умножаем на кофактор каждого элемента.

Пример 3

Оценить

`| (-2,3, -1), (5, -1,4), (4, -8,2) |`

(Вы можете изучить, о чем действительно спрашивает этот пример, в этом апплете трехмерных интерактивных систем уравнений.)

Ответ

`| (-2,3, -1), (5, -1,4), (4, -8,2) |` `= -2 | (-1,4), (- 8,2) | `-5 | (3, -1), (- 8,2) |` +4 | (3, -1), (- 1,4) | `

`= -2 [(- 1) (2) – (-8) (4)] – 5 [(3) (2)` `{: – (-8) (- 1)]` `+ 4 [ (3) (4) «{: – (-1) (- 1)]«

`= -2 (30) – 5 (-2) + 4 (11)`

`= -60 + 10 + 44`

`= -6`

Здесь мы расширяем на первый столбец . Мы можем выполнить расширение, используя первую строку, и получим тот же результат.

Правило Крамера для решения систем линейных уравнений 3 × 3

Мы можем решить общую систему уравнений,

a ₁ x + b ₁ y + c ₁ z = d ₁
a ₂ x + b ₂ y + c ₂ z = d ₂
a ₃ x + b ₃ y + c ₃ z = d ₃

с использованием определителей:

`x = | (d_1, b_1, c_1), (d_2, b_2, c_2), (d_3, b_3, c_3) | / Delta`

`y = | (a_1, d_1, c_1), (a_2, d_2, c_2), (a_3, d_3, c_3) | / Delta`

`z = | (a_1, b_1, d_1), (a_2, b_2, d_2), (a_3, b_3, d_3) | / Delta`

где

`Дельта = | (a_1, b_1, c_1), (a_2, b_2, c_2), (a_3, b_3, c_3) |`

Пример 4

Решите, используя правило Крамера:

2 x + 3 y + z = 2
– x + 2 y + 3 z = −1
−3 x – 3 y + z = 0

Ответ

`x = | (2,3,1), (- 1,2,3), (0, -3,1) | / Delta`

`y = | (2,2,1), (- 1, -1,3), (- 3,0,1) | / Delta`

`z = | (2,3,2), (- 1,2, -1), (- 3, -3,0) | / Delta`

где

`Дельта = | (2,3,1), (- 1,2,3), (- 3, -3,1) | “ = 2 (11) +1 (6) -3 (7) “ = 7`

Так

`x = (2 (11) +1 (6) +0) / 7 = 28/7 = 4`

`y = (2 (-1) +1 (2) -3 (7)) / 7` = -21 / 7“ = -3`

`z = (2 (-3) +1 (6) -3 (-7)) / 7` = 21 / 7` = 3`

Проверочные решения:

[1] 2 (4) + 3 (-3) + 3 = 2 ОК

[2] – (4) + 2 (-3) + 3 (3) = -1 ОК

[3] −3 (4) – 3 (−3) + 3 = 0 ОК

Итак, решение – `(4, -3, 3)`.

Детерминантные упражнения

1. Оценить путем расширения несовершеннолетние:

`| (10,0, -3), (- 2, -4,1), (3,0,2) |`

Ответ

`| (10,0, -3), (- 2, -4,1), (3,0,2) | “ = 10 | (-4,1), (0,2) | “ – (- 2) | (0, -3), (0,2) | “ +3 | (0, -3) , (- 4,1) | `

`= 10 [(- 4) (2) – (0) (1)]` + 2 [(0) (2) – (0) (- 3)] “ + 3 [(0) (1 ) – (-4) (- 3)] `

`= 10 (-8) + 2 (0) + 3 (−12)`

`= −80 – 36`

`= −116`

2.Решите система с использованием определителей:

x + 3 y + z = 4
2 x – 6 y – 3 z = 10
4 x – 9 y + 3 z = 4

Ответ

`x = | (4,3,1), (10, -6, -3), (4, -9,3) | / Delta`

`y = | (1,4,1), (2,10, -3), (4,4,3) | / Delta`

где

`Дельта = | (1,3,1), (2, -6, -3), (4, -9,3) | `

`= 1 (−45) – 2 (18) + 4 (−3)`

`= −93`

Примечание: если у нас есть x и y , мы можем найти z без использования правила Крамера.

Решение линейных уравнений методом Крамера онлайн

Где можно решить уравнение методом Крамера онлайн решателем?

Метод Крамера – теорема, примеры решений

Вывод формулы Крамера

Метод Крамера – теоремы

Теорема замещения

Теорема аннулирования

Алгоритм решения уравнений методом Крамера

Шаг 1. Вычисляем главный определитель матрицы

Шаг 2. Находим определители

Шаг 3. Вычисляем неизвестные переменные

Шаг 4. Выполняем проверку

Порядок решения однородной системы уравнений

Примеры решения методом Крамера

Подведём итоги

Метод Крамера

Помощь со студенческой работой на тему

В чем заключается метод Крамера

Приёмы для вычисления определителя матрицы

Решение систем уравнений методом Крамера

Системы линейных уравнений методом крамера онлайн.

Метод Крамера.

Три случая при решении систем линейных уравнений

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Метод Крамера – вывод формул.

Алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Действия над матрицами

Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным способом

Решение систем линейных уравнений методом обыкновенных жордановых исключений

Метод Крамера – 📙 Математика

Формулы Крамера. Матричный способ решения систем линейных уравнений | Математика

Примеры решения по формулам Крамера

“Метод Крамера”

Система уравнений 2×2 – Решатель, который показывает шаги

О решении системы двух уравнений с двумя неизвестными

1. Способ замещения

2.Метод исключения

3. Правило Крамера

Как правило Крамера используется для решения системы уравнений

4.6: Правило Крамера. – ppt видео онлайн скачать

Презентация на тему: «4.6: Правило Крамера» – стенограмма презентации:

Исключение калькулятора системы уравнений

Калькулятор правила Крамера – система уравнений 2 и 3-EET-2021

Калькулятор правила Крамера – система уравнений 2 и 3

Нравится:

Правило Крамера – StudyFAQ.com

Что такое линейные и нелинейные уравнения?

Преимущества правила Крамера:

Простые шаги для изучения правила Крамера:

Определитель:

Полезные ссылки, чтобы узнать больше о правиле Крамера

1. Детерминанты

Вычисление определителя 2 × 2

Пример 1

Использование определителей для решения систем уравнений

Правило Крамера

Пример 2

Кофакторы

Расширение несовершеннолетними

Пример 3

Правило Крамера для решения систем линейных уравнений 3 × 3

Пример 4

Детерминантные упражнения

Оставить комментарий Отменить ответ