Онлайн сумма элементов матрицы: Онлайн калькулятор. Сложение и вычитание матриц

Вычислить сумму ряда онлайн

Для того, чтобы вычислить сумму ряда, нужно просто сложить элементы ряда заданное количество раз. Например:

В приведённом выше примере это удалось сделать очень просто, поскольку суммировать пришлось конечное число раз. Но что делать, если верхний предел суммирования бесконечность? Например, если нам нужно найти сумму вот такого ряда:

По аналогии с предыдущим примером, мы можем расписать эту сумму вот так:

Но что делать дальше?! На этом этапе необходимо ввести понятие частичной суммы ряда. Итак, частичной суммой ряда (обозначается S_n) называется сумма первых n слагаемых ряда. Т.е. в нашем случае:

Тогда сумму исходного ряда можно вычислить как предел частичной суммы:

S∞i013ilimn∞Snlimn∞130131132.

Таким образом, для вычисления суммы ряда, необходимо каким-либо способом найти выражение для частичной суммы ряда (S_n). В нашем конкретном случае ряд представляет собой убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем 1/3. Как известно сумма первых n элементов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

Snb1qn1q1

здесь b₁ - первый элемент геометрической прогрессии (в нашем случае это 1) и q - это знаменатель прогрессии (в нашем случае 1/3). Следовательно частичная сумма S

Sn111312332

Тогда сумма нашего ряда (S) согласно определению, данному выше, равна:

S∞i013ilimn∞Snlimn∞3232

Рассмотренные выше примеры являются достаточно простыми. Обычно вычислить сумму ряда гораздо сложнее и наибольшая трудность заключается именно в нахождении частичной суммы ряда. Представленный ниже онлайн калькулятор, созданный на основе системы Wolfram Alpha, позволяет вычислять сумму довольно сложных рядов. Более того, если калькулятор не смог найти сумму ряда, вероятно, что данный ряд является расходящимся (в этом случае калькулятор выводит сообщение типа “sum diverges”), т.е. данный калькулятор также косвенно помогает получить представление о сходимости рядов.

Для нахождения суммы Вашего ряда, необходимо указать переменную ряда, нижний и верхний пределы суммирования, а также выражение для n-ого слагаемого ряда (т.е. собственно выражение для самого ряда).

Калькулятор суммы ряда

Переменная суммирования: xyztupqnms

Нижний предел суммирования: 01π-π∞-∞ввести самому

Установить калькулятор на свой сайт

Другие полезные разделы:

Оставить свой комментарий:

Sequences, Sums, Series | Mathematica & Wolfram Language for Math Students—Fast Intro

‹

В Языке Wolfram целочисленные последовательности представлены в виде списков.

Некоторые известные последовательности уже встроены в язык:

Table[Fibonacci[x], {x, 1, 7}]

Для задания рекурсивных последовательностей используем функцию RecurrenceTable:

(Обратите внимание на использование нотации {x,min,max}.)

RecurrenceTable[{a[x] == 2 a[x - 1], a[1] == 1}, a, {x, 1, 8}]

Вычислим сумму всех элементов последовательности, используя функцию Total:

Total[%]

Вычислим сумму элементов последовательности, используя функцию Sum и производящую функцию:

Sum[i (i + 1), {i, 1, 10}]

Используйте ESCsumtESC для создания заполняемого шаблона:

\!\(
\*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(i = 1\), \(10\)]\(i \((i + 1)\)\)\)

Существует возможность задания вложенных и неопределенных сумм:

\!\(
\*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(i = 1\), \(n\)]\(
\*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(j = 1\), \(n\)]i\ j\)\)

Найдем производящую функцию для последовательности:

FindSequenceFunction[{2, 4, 6, 8}, n]

Сгенерируем степенной ряд для представления практически любой комбинации встроенных функций:

Series[Exp[x^2], {x, 0, 8}]

O[x]⁹ представляет член высшего порядка; используем функцию Normal для того, чтобы отбросить его:

Normal[%]

Если функции Series передать неизвестную или неопределенную функцию, то она вернет степенной ряд в терминах производных:

Series[2 f[x] - 3, {x, 0, 3}]

Сходящийся ряд может упрощаться автоматически:

\!\(
\*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(n = 0\), \(\[Infinity]\)]
\*SuperscriptBox[\(0. 5\), \(n\)]\)

Справочная информация: Целочисленные последовательности »

Справочная информация: Разложение в ряд »

›

Пожалуйста, включите JavaScript для того, чтобы иметь возможность использования интерактивных элементов, а также для отправки форм на веб-сайтах компании Wolfram. Узнайте, как это сделать »

Калькулятор суммы матриц – MathCracker.com

Решатели Алгебра

Инструкции: Воспользуйтесь нашим пошаговым калькулятором суммы двух матриц, предоставив две ваши матрицы одинакового размера.

При необходимости измените размер матриц, указав количество строк и количество столбцов. Когда у вас есть правильные размеры, которые вы хотите, вы вводите матрицы (вводя числа и перемещаясь по матрице с помощью «TAB»)

\(B\) = \begin{bmatrix} & \\ & \end{bmatrix}

Матрицы являются чрезвычайно полезными математическими объектами, которые служат многим различным целям. Действительно, с матрицами можно решать системы линейные уравнения и вообще можно представлять линейные функции.

Матрицы, как и числа, могут оперировать друг с другом. То есть их можно складывать, вычитать и умножать, при условии соблюдения некоторых основных условий размерности.

И даже, при условии, что вы оцените, что матрица обратима, вы можете разделить матрицей, очень похожей на обычное число.

Как суммировать матрицы?

Матрицы могут быть добавлены при условии, что матрицы имеют одинаковый размер. Итак, если вы хотите добавить две матрицы, вы должны следовать эти шаги:

Шаг 1: Убедитесь, что матрицы, которые вы хотите добавить, имеют одинаковый размер. Для этого необходимо оценить количество столбцов и строк для обеих матриц и убедитесь, что эти числа совпадают.

Это первая и вторая матрицы имеют одинаковое количество строк и первая и вторая матрицы имеют одинаковые номера столбцов.

Обратите внимание, что вы можете добавлять неквадратные матрицы, если две матрицы имеют одинаковые размеры.

Шаг 2: Как только вы узнаете, что две добавляемые матрицы имеют одинаковый размер, вам нужно добавить каждую соответствующую компоненты от каждой из матриц.

Это для того, чтобы получить запись в первой строке, первом столбце матрицы сумм, вы возьмете запись в первой строке, первом столбце первой матрицы, и вы добавляете к нему запись в первой строке, первом столбце вторая матрица.

И вы делаете то же самое для всех компонентов. Итак, вы добавляете компонент за компонентом.

Можно ли добавить матрицу 3х3 и 3х4?

Строго говоря, нельзя, потому что матрицы 3х3 и 3х4 не имеют одинаковых размеров. Некоторые умные математики утверждают, что вы можете «расширить» «меньшую» матрицу 3×3, чтобы «заставить» ее превратить в матрицу 3×4. Ну, там много слов.

Итак, вы определенно можете понять к попытке добавить матрицу 3×3 и 3×4, но для большинства целей мы скажем, что нет, вы не можете их добавить.

То же самое будет применяться, когда вы пытаетесь добавить матрицы разных размеров. Ответ НЕТ, вы не можете их добавить, но определенно вы можете попытаться найти смысл в такой операции.

Можно ли вычитать матрицы?

Да! Если у вас есть матрицы одинакового размера, вы можете их вычесть. Так же, как вы делаете с дополнением, чтобы вычесть две матрицы, вы вычитаете компонент за компонентом.

Вы можете не только складывать или вычитать матрицы, но и умножать матрицы A и B при условии, что количество столбцов A совпадает с количеством строк B.

Калькулятор суммы матриц Матричные операции Калькулятор матриц Добавлен калькулятор двух матриц

Калькулятор нормы матрицы

Добро пожаловать в калькулятор нормы матрицы . Мы рассмотрим теорию матричных норм и то, что они собой представляют, а также упрощенных выражений для хорошо известных норм, таких как 1-норма, 2-норма и норма Фробениуса матрицы. С помощью нашего калькулятора вы можете вычислить норму для любой матрицы размером до 3×33\times33×3. Итак, берите бутерброд и приступим!

Что такое норма матрицы?

Начнем с оговорки : норма матрицы не представляет величину , как норма вектора. Вместо этого норма матрицы AAA (иногда называемая индуцированной нормой матрицы ) представляет собой максимальную величину единичного вектора x⃗\vec{x}x на , растянутого на при умножении на AAA. Мы можем обозначить это определение с матричной нормой ∥A∥\Vert A\Vert∥A∥ следующим образом:

∥A∥=max⁡∥x⃗∥=1∥Ax⃗∥\footnotesize \Vert A\Vert=\max_{\Vert \vec{x}\Vert=1}\Vert A\vec{x}\Vert∥A∥=∥x

∥=1max​∥Ax

∥

В этом определении AAA представляет собой матрицу размера m×nm\times nm×n, а x⃗\vec{x}x представляет собой единичный вектор размера n×1n\times1n×1. В соответствии с правилами умножения матриц мы получаем A⋅x⃗A\cdot\vec{x}A⋅x как вектор m×1m\times 1m×1. Следовательно, ∥A⋅x⃗∥\Vert A\cdot\vec{x}\Vert ∥A⋅x∥ является векторной нормой A⋅x⃗A\cdot\vec{x}A⋅x.

Как и в случае с векторными нормами, существует более одной матричной нормы .

Итак, в этом определении мы выбираем ∥⋅∥\Vert \cdot\Vert ∥⋅∥ в качестве одной конкретной векторной нормы. Например, если мы выберем ∥⋅∥\Vert \cdot\Vert ∥⋅∥ в качестве 2-нормы ∥⋅∥2\Vert \cdot\Vert _{2}∥⋅∥2​, то мы будем вычислять 2-норма матрицы, ∥A∥2\Vert A\Vert _2∥A∥2​. Вот почему мы называем многие матричные нормы «индуцированными матричными нормами» , поскольку они индуцируются при использовании сопровождающей их векторной нормы на A⋅x⃗A\cdot\vec{x}A⋅x.

Матричные нормы имеют много смежных применений. Его чаще всего используют при вычислении матрицы 9.0064 номер условия

Как вычислить норму матрицы?

Математическое определение ценно в теории, но было бы трудно вычислить его напрямую . m |a_{i,j}|∥A∥1​=1≤j≤nmax​i=1∑ м​∣ai,j​∣ 9T\!\cdot\!A)}∥A∥F​=trace(AT⋅A)

​

Наконец, максимальная норма AAA может быть получена, просто взяв наибольшее значение в AAA:

∥A∥max⁡=max⁡i,j∣ai,j∣\footnotesize \Vert A\Vert_{\max} = \max_{i,j} |a_{i,j}|∥A∥max​=i,jmax​∣ai,j​∣

Как пользоваться калькулятором нормы матрицы ?

Расчет норм матрицы может быть утомительным выполнять снова и снова — вот почему мы сделали этот калькулятор нормы матрицы! вот как им пользоваться :

1. Выберите размерность вашей матрицы . Вы можете выбрать что угодно до 3×33\×33×3.
2. Введите элементы вашей матрицы построчно.
3. В самом низу найди норму своей матрицы ! Это 1-норма, бесконечная норма, 2-норма, норма Фробениуса и максимальная норма. Вы можете взглянуть выше на их формулы.

Как вычислить норму матрицы? – Пример

Воспользуемся этими формулами и посмотрим как рассчитать все эти нормы матрицы

A=[226139610]\footnotesize А = \begin{bmatrix} 2 и 2 и 6 \\ 1 и 3 и 9 \\ 6 и 1 и 0 \\ \end{bmatrix}A=[216​231​690​]

Мы можем вычислить 1-норму матрицы на , суммируя каждый столбец и , выбирая максимальную сумму столбца . Итак,

∥A∥1=max⁡(2+1+6, 2+3+1, 6+9+0)=max⁡(9, 6, 15)=15\footnotesize \Верт А\Верт_1 \\ = \max(2\!+\!1\!+\!6,\ 2\!+\!3\!+\!1,\ 6\!+\!9\!+\!0) \\ = \max(9,\6,\15) \\ = 15 ∥A∥1​=max(2+1+6, 2+3+1, 6+9+0)=max(9, 6, 15)=15

Точно так же мы можем вычислить

∥A∥∞=max⁡(2+2+6, 1+3+9, 6+1+0)=max⁡(10, 13, 7)=13\footnotesize \Верт А\Верт_\infty \\ = \max(2\!+\!2\!+\!6,\ 1\!+\!3\!+\!9,\ 6\!+\!1\!+\!0) \\ = \max(10,\13,\7) \\ = 13∥A∥∞​=max(2+2+6, 1+3+9, 6+1+0)=max(10, 13, 7)=13

Наконец, максимальная норма — это просто самое большое значение в AAA. Следовательно, ∥A∥max⁡=9\Vert A\Vert_{\max} = 9∥A∥max​=9.

Вот и все! Мы определили каждую норму для матрицы 3×33×33×3.

Часто задаваемые вопросы

Что такое норма Фробениуса единичной матрицы?

Норма Фробениуса единичной матрицы размера n × n Ɪ _n равна √n, поскольку Ɪ ^T = Ɪ и тогда Ɪ ^T · Ɪ = Ɪ. Поэтому мы можем сделать вывод, что

ɪɪɪ _F = √trace (ɪ ^T · ɪ)
ɪɪ _F = √trace (ɪ)
ɪɪ _F = √n

AS ɪɪɪ _F = √n

as ɪɪɪ _F = √ Ɪ состоит только из единиц на диагонали.

Имеют ли прямоугольные матрицы нормы?

Все матрицы имеют норму . Нормы, которые используют операции, исключительные для квадратных матриц, такие как собственные значения и трассы, выполняют их над квадратными матрицами, полученными из исходной матрицы. Следовательно, квадратная матрица или нет, не имеет значения для матричных норм.