Операции матрицы: Основные операции над матрицами (сложение, умножение, транспонирование) и их свойства.

Содержание

Линейная алгебра

Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра: Учеб. Для вузов — 4-е изд. — М. Наука. Физматлит, 1999 — 296 с.

Один из выпусков «Курса высшей математики и математической физики» под редакцией А.Н.Тихонова, В А Ильина, А Г.Свешникова Учебник создан на базе лекций, читавшихся авторами в течение многих лет на физическом факультете Московского государственного университета Содержание книги составляют теория матриц и определителей, конечномерных линейных и евклидовых пространств и линейных операторов в этих пространствах, билинейных и квадратичных форм, тензоров, вопросы классификации поверхностей второго порядка и теории представления групп Воспроизводится с 3-го изд (1984 г).

Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям «Физика» и «Прикладная математика»

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
1. Понятие матрицы.
2. Основные операции над матрицами и их свойства.
3. Блочные матрицы.
§ 2. Определители
2. Выражение определителя непосредственно через его элементы.
3. Теорема Лапласа.
4. Свойства определителей.
5. Примеры вычисления определителей.
6. Определитель суммы и произведения матриц.
7. Понятие обратной матрицы.
§ 3. Теорема о базисном миноре матрицы
1. Понятие линейной зависимости строк.
2. Теорема о базисном мнноре.
3. Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя.

ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Понятие линейного пространства
2. Некоторые свойства произвольных линейных пространств.
§ 2. Базис и размерность линейного пространства
1. Понятие линейной зависимости элементов линейного пространства.
2. Базис и координаты.
3. Размерность линейного пространства.
4. Понятие изоморфизма линейных пространств.
§ 3. Подпространства линейных пространств
1.

Понятие подпространства и линейной оболочки.
2. Новое определение ранга матрицы.
3. Сумма и пересечение подпространств.
4. Разложение линейного пространства в прямую сумму подпространств.
§ 4. Преобразование координат при преобразовании базиса n-мерного линейного пространства
2. Связь между преобразованием базисов и преобразованием соответствующих координат.
ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Условие совместности линейной системы
2. Нетривиальная совместность однородной системы.
3. Условие совместности общей линейной системы.
§ 2. Отыскание решений линейной системы
2. Отыскание всех решений общей линейной системы.
3. Свойства совокупности решений однородной системы.
4. Заключительные замечания о решении линейных систем.
ГЛАВА 4. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Вещественное евклидово пространство и его простейшие свойства
2. Простейшие свойства произвольного евклидова пространства.
§ 2. Ортонормированный базис конечномерного евклидова пространства
2.

Свойства ортонормированного базиса.
3. Разложение n-мерного евклидова пространства на прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения.
4. Изоморфизм n-мерных евклидовых пространств.
§ 3. Комплексное евклидово пространство
2. Неравенство Коши — Буняковского. Понятие нормы.
3. Ортонормированный базис и его свойства.
§ 4. Метод регуляризации для отыскания нормального решения линейной системы
ГЛАВА 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
§ 1. Понятие линейного оператора. Основные свойства
2. Действия над линейными операторами. Пространство линейных операторов.
3. Свойства множества L(V, V) линейных операторов.
§ 2. Матричная запись линейных операторов
2. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
3. Характеристический многочлен линейного оператора.
§ 3. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов
§ 4. Линейные и полуторалинейные формы в евклидовом пространстве
2. Полуторалинейные формы в евклидовом пространстве.

Специальное представление таких форм.
§ 5. Линейные самосопряженные операторы в евклидовом пространстве
2. Самосопряженные операторы. Основные свойства.
3. Норма линейного оператора.
4. Дальнейшие свойства самосопряженных операторов.
5. Спектральное разложение самосопряженных операторов. Теорема Гамильтона—Кэли.
6. Положительные операторы. Корни m-й степени из оператора.
§ 6. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов
§ 7. Унитарные и нормальные операторы
§ 8. Канонический вид линейных операторов
§ 9. Линейные операторы в вещественном евклидовом пространстве
2. Ортогональные операторы.
ГЛАВА 6. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ И ЗАДАЧ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

§ 1. Итерационные методы решения линейных систем
2. Общий неявный метод простой итерации.
3. Модифицированный метод простой итерации.
4. Метод Зейделя.
5. Метод верхней релаксации.
6. Случай несимметричной матрицы А.
7. Итерационный метод П.

Л. Чебышева.
§ 2. Решение полной проблемы собственных значений методом вращений
ГЛАВА 7. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
§ 1. Билинейные формы
2. Представление билинейной формы в конечномерном линейном пространстве.
3. Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису. Ранг билинейной формы.
§ 2. Квадратичные формы
§ 3. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов
2. Метод Якоби.
§ 4. Закон инерции квадратичных форм. Классификация квадратичных форм
2. Классификация квадратичных форм.
3. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.
§ 5. Полилинейные формы
§ 6. Билинейные и квадратичные формы в евклидовом пространстве
2. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов в ортогональном базисе.
3. Одновременное приведение двух квадратичных форм к сумме квадратов в линейном пространстве.
4. Экстремальные свойства квадратичной формы.
§ 7. Гиперповерхности второго порядка
2. Параллельные переносы в евклидовом пространстве.

Преобразования ортонормированных базисов в ортонормированные.
3. Преобразование общего уравнения гиперповерхности второго порядка при параллельном переносе.
4. Преобразование общего уравнения гиперповерхности второго порядка при переходе от ортонормированного базиса к ортонормированиому.
5. Инварианты общего уравнения гиперповерхности второго порядка.
6. Центр гиперповерхности второго порядка.
7. Стандартное упрощение любого уравнения гиперповерхности второго порядка путем преобразования ортонормированного базиса.
8. Упрощение уравнения центральной гиперповерхности второго порядка. Классификация центральных гиперповерхностей.
9. Упрощение уравнения нецентральной гиперповерхности второго порядка. Классификация нецентральных гиперповерхностей.
ГЛАВА 8. ТЕНЗОРЫ
§ 1. Преобразование базисов и координат
2. Взаимные базисы. Ковариантные и контравариантные координаты векторов.
3. Преобразования базиса и координат.
§ 2. Понятие тензора. Основные операции над тензорами
2.

n.
4. Дискриминантный тензор.
5. Ориентированный объем.
6. Векторное произведение.
7. Двойное векторное произведение.
§ 4. Метрический тензор псевдоевклидова пространства
2. Галилеевы координаты. Преобразования Лоренца.
3. Преобразования Лоренца пространства
§ 5. Тензор момента инерции
ГЛАВА 9. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП
§ 1. Понятие группы. Основные свойства групп
2. Понятие группы. Некоторые свойства групп.
3. Изоморфизм групп. Подгруппы.
4. Смежные классы. Нормальные делители.
5. Гомоморфизмы. Фактор-группы.
§ 2. Группы преобразований
2. Группа линейных преобразований.
3. Сходимость элементов в группе GL(n). Подгруппы группы GL(n).
4. Группа ортогональных преобразований.
5. Некоторые дискретные и конечные подгруппы ортогональной группы.
6. Группа Лоренца.
7. Унитарные группы.

§ 3. Представления групп
2. Матрицы линейных представлений. Эквивалентные представления.
3. Приводимые и неприводимые представления.

4. Характеры.
5. Примеры представлений групп.

Приложение: операции с матрицами – Win32 apps

Статья
09/22/2022
Чтение занимает 6 мин

В этом разделе представлен математический обзор преобразований матриц для 2-D графики. Однако для использования преобразований в Direct2D не нужно знать матричную математику. Ознакомьтесь с этим разделом, если вас интересует математика; в противном случае можно пропустить этот раздел.

Общие сведения о матрицах
- Матричные операции
Аффинные преобразования
- Преобразование перевода
- Преобразование масштабирования
- Поворот вокруг источника
- Поворот вокруг произвольной точки
- Преобразование неравномерного распределения
Представление преобразований в Direct2D
Вперед

Общие сведения о матрицах

Матрица представляет собой прямоугольный массив реальных чисел. Порядок матрицы — это количество строк и столбцов. Например, если матрица содержит 3 строки и 2 столбца, порядок равен 3 × 2. Матрицы обычно показаны с элементами матрицы, заключенными в квадратные скобки:

Нотация: матрица обозначается прописной буквой. Элементы обозначаются строчными буквами. Подстроки указывают номер строки и столбца элемента. Например, aij является элементом в строке i’th и j’th столбце матрицы A.

На следующей схеме показана матрица i × j с отдельными элементами в каждой ячейке матрицы.

Матричные операции

В этом разделе описываются основные операции, определенные в матрицах.

Сложение. Сумма A + B из двух матриц получается путем добавления соответствующих элементов A и B:

A + B = \[ a*ij* \] + \[ b*ij* \] = \[ a*ij* + b*ij* \]

Скалярное умножение. Эта операция умножает матрицу на реальное число. С учетом реального числа k скалярное произведение получается путем умножения каждого элемента A на k.

kA = k\[ a*ij* \] = \[ k × a*ij* \]

Умножение матрицы. Учитывая два матрицы A и B с порядком (m × n) и (n × p), продукт C = A × B является матрицей с порядком (m × p), определенным следующим образом:

или эквивалентно:

c*ij* = a*i*1 x b1*j* + a*i*2 x b2*j* + … + a*in* + b*nj*

То есть, чтобы вычислить каждый элемент cij, выполните следующие действия.

Возьмем i’й строку A и столбец J’th B.
Умножьте каждую пару элементов в строке и столбце: первая запись строки на первую запись столбца, вторую запись строки на вторую запись столбца и т. д.
Суммирование результата.

Ниже приведен пример умножения матрицы (2 × 2) на матрицу (2 × 3).

Умножение матрицы не является коммутативным. То есть A × B ≠ B × A. Кроме того, из определения следует, что не каждая пара матриц может быть умножена. Число столбцов в левой матрице должно равняться количеству строк в правой матрице. В противном случае оператор × не определен.

Определение матрицы. Матрица идентификаторов, обозначенная I, — это квадратная матрица, определенная следующим образом:

I*ij* = 1, если *i* = *j*, или 0 в противном случае.

Другими словами, матрица идентификаторов содержит 1 для каждого элемента, где номер строки равен номеру столбца, и ноль для всех остальных элементов. Например, вот матрица 3 × 3 идентификатора.

Для любой матрицы M хранятся следующие равные значения.

M x I = M I x M = M

Аффинные преобразования

Аффинное преобразование — это математическая операция, которая сопоставляет одно координатное пространство с другим. Другими словами, он сопоставляет один набор точек с другим набором точек. Аффинные преобразования имеют некоторые функции, которые делают их полезными в компьютерной графике.

Аффинные преобразования сохраняют коллинарность. Если три или более точек падают на линию, они по-прежнему образуют линию после преобразования. Прямые линии остаются прямыми.
Композиция двух аффинных преобразований является аффинным преобразованием.

Аффинные преобразования для объемного пространства имеют следующую форму.

При применении определения матричного умножения, заданного ранее, можно показать, что произведение двух аффинных преобразований является еще одним аффинным преобразованием. Для преобразования 2D-точки с помощью аффинного преобразования точка представляется в виде матрицы 1 × 3.

P = \| x y 1 \|

Первые два элемента содержат координаты x и y точки. 1 помещается в третий элемент, чтобы математические вычисления работали правильно. Чтобы применить преобразование, умножьте две матрицы следующим образом.

P’ = P × M

Это расширяется до следующего.

где

x’ = ax + cy + e y’ = bx + dy + f

Чтобы получить преобразованную точку, сделайте первые два элемента матрицы P’.

p = (x’, y’) = (ax + cy + e, bx + dy + f)

Примечание

Матрица 1 × n называется вектором строки. Direct2D и Direct3D используют векторы строк для представления точек в двухd или трехмерном пространстве. Эквивалентный результат можно получить с помощью вектора столбца (n × 1) и транспонирования матрицы преобразования. В большинстве графических текстов используется векторная форма столбца. В этом разделе представлена форма вектора строк для согласованности с Direct2D и Direct3D.

Следующие несколько разделов являются производными от основных преобразований.

Преобразование перевода

Матрица преобразования перевода имеет следующую форму.

Подключение точки P к этой формуле дает следующее:

P’ = (*x* + *dx*, *y* + *dy*)

который соответствует точке (x, y), преобразованной dx на оси X и dy в оси Y.

Преобразование масштабирования

Матрица преобразования масштабирования имеет следующую форму.

Подключение точки P к этой формуле дает следующее:

P’ = (*x* * * *dx*, *y* • *dy*)

который соответствует точке (x,y), масштабируемой по dx и dy.

Поворот вокруг источника

Матрица для поворота точки вокруг источника имеет следующую форму.

Преобразованная точка имеет следующий вид:

P’ = (*x*cos III – ysin III, *x*sin III + *y*cos III)

Доказательство. Чтобы показать, что P’ представляет поворот, рассмотрим следующую схему.

Исходные данные:

P = (x,y): Исходная точка для преобразования.
Φ: Угол, сформированный линией (0,0) до P.
Θ: Угол поворота (x,y) о источнике.
P’ = (x’,y’): Преобразованная точка.
R: Длина линии (0,0) до P. Кроме того, радиус круга вращения.

Примечание

На этой схеме используется стандартная система координат, используемая в геометрии, где указывает положительная ось Y. Direct2D использует систему координат Windows, где положительная ось Y указывает вниз.

Угол между осью x и линией (0,0) до P равен 2 + 4. Удержание следующих удостоверений:

x = R cosC y = R sinC x’ = R cos(2 + Y) y’ = R sin(Ø+ Ø)

Теперь решение для x’ и y с точки зрения Y. По формулам сложения тригонометрии:

x’ = R(cosCcos CTRL – sinØsinØ) = RcosØcos CTRL – RsinØsinØ y’ = R(sinØcos CTRL + cosSinT) = RsinØcos CTRL + Rcos CTRLSinT

Подстановка, мы получаем:

x’ = xcos CTRL – ysin CTRL y’ = xsin CTRL + ycosX

соответствует преобразованной точке P, показанной ранее.

Поворот вокруг произвольной точки

Для поворота вокруг точки (x,y), отличной от источника, используется следующая матрица.

Вы можете наследовать эту матрицу, принимая точку (x,y), чтобы быть источником.

Let (x1, y1) будет точкой, которая приводит к повороту точки (x0, y0) вокруг точки (x,y0). Мы можем наследовать x1 следующим образом.

x1 = (x0 – x)cos CTRL – (y0 – y)sinX + x1 = x0cos CTRL – y0sin CTRL + \[ (1 – cosC) + ysin CTRL \]

Теперь подключите это уравнение обратно в матрицу преобразования, используя формулу x1 = ax0 + cy0 + e из более ранних версий. Используйте ту же процедуру для получения y1.

Преобразование неравномерного распределения

Преобразование неравномерного распределения определяется четырьмя параметрами:

FX: величина неравномерного распределения вдоль оси X, измеряемая как угол от оси Y.
2. Величина неравномерного распределения по оси Y, измеряемая как угол от оси X.
(px, py): координаты x-и y точки, о которой выполняется неравномерное распределение.

Преобразование неравномерного распределения использует следующую матрицу.

Преобразованная точка:

P’ = (*x* + *y*tanØ – *py*tanØ, *y* + *x*tanØ) — *py*tanØ

или эквивалентно:

P’ = (*x* + (*y* – *py*)tanØ, *y* + (*x* – *px*)tanØ)

Чтобы узнать, как работает это преобразование, рассмотрите каждый компонент по отдельности. Параметр FX перемещает каждую точку в направлении x на величину, равную танХ. На следующей схеме показана связь между 2 и осью X.

Вот та же неравномерное распределение, применяемая к прямоугольнику:

Параметр 2 имеет тот же эффект, но вдоль оси Y:

На следующей схеме показана неравномерность оси Y, примененная к прямоугольнику.

Наконец, параметры px и py смещают центральную точку для неравномерного распределения по осям x и y.

Представление преобразований в Direct2D

Все преобразования Direct2D являются аффинными преобразованиями. Direct2D не поддерживает преобразования, не относящиеся к аффинам. Преобразования представлены структурой D2D1_MATRIX_3X2_F . Эта структура определяет матрицу 3 × 2. Так как третий столбец аффинного преобразования всегда совпадает ([0, 0, 1]), и поскольку Direct2D не поддерживает преобразования, отличные от аффинных преобразований, нет необходимости указывать всю матрицу 3 × 3. На внутреннем сервере Direct2D использует 3 × 3 матрицы для вычисления преобразований.

Элементы D2D1_MATRIX_3X2_F именуются в соответствии с их позицией индекса: элемент _11 является элементом (1,1), элементом _12 является элемент (1,2) и т. д. Хотя элементы структуры можно инициализировать напрямую, рекомендуется использовать класс D2D1::Matrix3x2F . Этот класс наследует D2D1_MATRIX_3X2_F и предоставляет вспомогательные методы для создания любого базового аффинного преобразования. Класс также определяет оператор*() для создания двух или более преобразований, как описано в разделе “Применение преобразований” в Direct2D.

Модуль 4. Ввод данных пользователем

матричных операций | Реальная статистика с использованием Excel

Определение 1 . Матрицы одинаковой формы можно складывать и вычитать.

Let A и B BE R × C MALIRCES с A = [ A _IJ ] и B = [ B _IJ ]. Тогда A + B представляет собой матрицу r × c с A + B = [ a _ij+ b _ij ] и A – B представляет собой матрицу r × c с A – B = [ a _ij – b _ij ].

Определение 2 : Матрицу можно умножить (или разделить) на скаляр. Скаляр также может быть добавлен к матрице (или вычтен из нее).

Пусть A будет r × c матрицей с A = [ a _ij ] и пусть

7 b будет скаляром. Затем

BA и A + B – R × C Матриц, где BA = [ B · A _IJ ] и A + B = б ]. Аналогичным образом мы можем определить Ab и b + A . Ясно, что b + A = A + b и Ab = bA . Аналогично можно определить деление и вычитание матриц на скаляры.

Определение 3 : Две матрицы также могут быть перемножены, но только если они имеют совместимую форму.

LET A BE A A P × M MATRIX с A = [ A _IJ ] и LET B BE M × N MATRIX с B =. [ б _jk ]. Тогда AB представляет собой p × n матрицу с AB = [ c _ik ], где

Наблюдение : Чтобы умножение AB было допустимым, количество столбцов в A должно равняться количеству строк в B . Результирующая матрица будет иметь то же количество строк, что и A , и такое же количество столбцов, как B .

Выполняется ассоциативный закон, а именно ( AB ) C = A ( BC ) , т.е.0007 C или сначала умножьте B на C , а затем умножьте A на результат. Важно, чтобы матрицы имели совместимую форму. Таким образом, если A равно p × m , B равно m × n и C равно n × s , то ABC будет иметь форму p × 00 s 900. Распределительные законы, а именно А ( В + С ) = АВ + ВС и ( А + В ) С = АС + ВС , тоже держать.

Выполняется коммутативный закон сложения, а именно A + B = B + A , но коммутативный закон умножения не выполняется, даже если матрицы имеют подходящую форму; таким образом, даже для двух n x n матриц A и B , AB не обязательно равно BA . Однако для квадратных матриц след AB равен следу BA .

Свойство 0 : Для квадратных матриц A и B одинакового размера и формы и скалярные c :

След( A+B ) = След( B+A )
Трассировка( cA ) = c Трассировка( A )
Трассировка ( AB ) = Трассировка ( BA )

Доказательство: Доказательства просты и основаны на определении следа, сложения и умножения матриц.

Определение 4 : транспонировать из r × c матрица A = [ a _ij ] является матрицей c × r A ^T = [ 9 9 9007 a 9001].

A (square) matrix A is symmetric if A = A ^T

Property 1 :

( A ^T ) ^T = A
(AB ) ^T = Б ^Т А ^Т
Если A и B симметричны и AB = BA , то AB симметричен
Трассировка ( А ) = Трассировка ( А ^Т)

Доказательство: Докажем (c). Предположим, что A и B симметричны. По определению 4 и свойству 1b, AB = A ^T B ^T = ( BA ) ^T = ( AB ) ^T

Наблюдение : Если A является вектор-столбцом, то A ^T A является скаляром. Фактически, A ^T A = ‖A‖ ² . Таким образом, столбец вектор A является единичным вектором, если и только если A ^T A = 1.

Определение 5 : N × N Матрица A – Внедрение ( N . также называется невырожденным ), если есть матрица B такое, что AB = BA = I _n (где I _n — это матрица n ×

7 n).

a ^-1 – обратный из A , предоставленные A A ^-1 = A ^-1 A = I _{8 N} . Матрица, которая не является обратимой, называется сингулярной .
Недвижимость 2 : Если A обратимо, то обратное однозначно.
Доказательство. Предположим, что числа B и C обратны A . Тогда по ассоциативному закону C = IC = ( BA ) C = B ( AC ) = BI = B, и, следовательно, C = B .
Наблюдение : На самом деле, если существует матрица B такая, что AB = I _n или BA = I _N Затем A является инвертируемым и A ^-1 = B.

. A ^-1 ) ^-1 = A and ( AB ) ^-1 = B ^-1 A ^-1

Доказательство: первое утверждение результаты первого утверждения имущества 2.

с ( AB ) ( B ^-1 A ^-1 ) = A ^-1 ) = A ^-1 ) = A ^-1 ) = A ^-1 ) ( BB ^-1 ) A ^-1 , = AIA ^-1 = AA ^-1 = I . Второе утверждение. Стороннее.

Недвижимость 4 : если A инвертируется, то, то же самое, как и его транспонирование и ( A ^T) ^-1 = ( A ^-1) ^T

Доказательство: By Property 1B, 7777. ^T ( A ^-1) ^T = ( A ^-1 A ) ^T = I ^T = = I ^T = = 77678 = . ^-1 ) ^Т А ^Т = ( АА ^-1 ) ^Т = I ^Т = I .

Собственность 5 : A является симметричным, если и только если A ^-1 также симметричный

Доказательство: предположим, что A является симметричным, затем по свойству 4, ( A ^-1 ) ^T = ( A ^T ) ^-1 = A ^-1 , и поэтому A ^-1 также симметрично. Для обратного предположим, что A ^-1 симметрично, то из вышесказанного следует, что ( A ^-1 ) ^-1 симметрично, но по Свойству 3 это означает, что A симметрично.

Example 1 : Find the inverse of

Since the inverse of A takes the form

where A A ^-1 = I ₂ , отсюда следует, что

Таким образом, нам нужно решить следующие четыре линейных уравнения с четырьмя неизвестными:

Решение этих уравнений дает c = 1/3, d = 1/3, откуда следует, что

Функции Excel : Excel предоставляет следующие функции массива для выполнения различных матричных операций, описанных выше (где мы объединяем матрицы A и B с массивами на листе Excel, содержащими эти массивы).

Mmult ( A , B ): если A – P × M и B – M × N , затем MMULT ( A, B ) = p × n матрица AB .

MINVERSE ( A ): если A представляет собой квадратный массив n × n , то MINVERSE( А ) = А ^– ¹ .

ТРАНСПОЗИРОВАТЬ ( A ): Если A представляет собой массив м × n , то ТРАНСП( A ) = A ^T

Обратите внимание, что, поскольку это функции массива, большинство пользователей Excel не могут просто нажать Введите при использовании этих функций. Например. для МУМНОЖ вы должны сначала выделить диапазон p × n перед вводом =МУМНОЖ( A,B ), а затем вы должны нажать Ctrl-Shift-Enter . В этом нет необходимости для пользователей Excel 2021 и Excel 365, где МУМНОЖ можно рассматривать как функцию динамического массива.

Версии Excel, начиная с Excel 2013, также предоставляют функцию массива MUNIT ( n ), которая возвращает матрицу n × n .

Вы также можете транспонировать массив A в Excel, скопировав массив (т. е. выделив массив и нажав Ctrl-C ), щелкнув в нужном месте 9операторы. Эти операции выполняются на ячейке за ячейкой.

Например, предположим, что диапазон B2:C3 содержит

Если выделить диапазон D7:E8, введите =2*B2:C3+TRANSPOSE(B2:C3), а затем нажмите Ctrl-Shift-Enter , D7: E8 будет содержать

Обратите внимание, что D7:E8 должен иметь ту же форму, что и B2:C3, иначе возникнет ошибка. Также обратите внимание, что

Обратите также внимание на то, что если A является матрицей m × n , а B является матрицей 1 × n матрица (т. е. вектор-строка), затем A + B является допустимой операцией в Excel и дает тот же результат, что и A + C , где × C представляет собой m

8.

n матрица, все строки которой содержат те же данные, что и B . Точно так же вы можете вычислить A – B , A *B и A / B . Также можно рассчитать А + В , А – B , A * B и A / B , где B — вектор-столбец размером м × 1.
Предположим, что B2:C3 содержит  , а E2:E3 содержит . Если вы выделите F4:G5, введите =B2:C3–E2:E3, а затем нажмите Ctrl-Shft-Enter , F4:G5 будет содержать .
Функции реальной статистики : Ресурсный пакет реальной статистики предоставляет следующие функции:
MPOWER ( A, N ) = A ^N
MSUB ( A, B ) = A – B
MPROD ( A, C, D ) = 7 ABCD ( A, C, D ) = 7 ABCD ( A, C, D ) = 7 ABC.
Обратите внимание, что для MSUB массивы A и B должны иметь одинаковый размер и форму. Кроме того, для любого элемента в A и/или B , который не является числовым, соответствующий элемент в выходных данных будет пустым.
MPROD можно использовать с 2, 3 или 4 совместимыми массивами. Функция МПРОД( A,B ) эквивалентно MMULT( A,B ). MPROD( A,B,C ) эквивалентно МУМНОЖ(ММУНОМ( A,B ), C ). МПРОД( A,B,C,D ) эквивалентно МУМНОЖ(ММНОЖ( А,В ),МУМНОЖ( С,D )).
Пример 2 : Найти A ⁴, где A – матрица 2 × 2, показанную в диапазоне B4: C5 рисунка 2.
Рисунок 2 – Mpower
. в диапазоне K4:L5. Это можно рассчитать по формуле массива =ММНОЖ(h5:I5,B4:C5) или =ММНОЖ(B4:C5,ММНОЖ(B4:C5,ММНОЖ(B4:C5,B4:C5))). В качестве альтернативы вы можете использовать формулу массива =MPOWER(B4:C5,4).
Пример 3 : Найдите A-B для массивов, показанных на рис. 3.
Ф4:Ф6. Здесь пробел в ячейке D6 рассматривается как ноль. Если бы ячейка D6 содержала любую другую нечисловую ячейку, то ячейка F6 содержала бы значение ошибки. Используя формулу реальной статистики =MSUB(B4:B6,D4,D6), вместо этого мы получаем результат, показанный в диапазоне h5:H6, где любая нечисловая ячейка рассматривается как пустая.
Определение 6 : векторы x ₁,…, x _K того же размера и формы Независимые , если для любых скалярных значений B ₁,… B _K ₁,… B _K9 ₁, B _{K ₁, B _{K ₁, B _{K ₁, B _{K ₁, B _{K ₁. , если B ₁ x ₁ + ⋯ + B _K x _K = 0, затем B ₁ = = B _K = 9.} = B _K = 9.8 =} = = B _K. ₌.}}}
Векторы X ₁ , …, X _k являются зависимыми , если они не независимы, т. е. существуют скаляры b ₁ , … b _k , хотя бы один из которых 80 900, 900, отличен от нуля ₁ X ₁ +⋯+ b _k X _k = 0.
Observation : If X ₁ , …, X _k   are independent, тогда X _j ≠ 0 для всех и .
Свойство 6 : X ₁ , …, X _k зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов может быть выражен в виде линейной комбинации других.
Доказательство: Предположим, что X ₁ , …, X _k   зависимы. Тогда существуют скаляры b ₁ , … b _k , хотя бы одно из которых не равно нулю, такое что b ₁ x ₁ + ⋯+ B _K x _K = 0. Скажите B _I ≠ 0. Затем
Теперь предполагайте, что x _I =. Then b ₁ X ₁ +⋯ + b _k X _k = 0, where b _i = -1, and so X ₁ , … , X _k   зависимы.
Определение 7 : Dot Product из двух векторов x = [ x _I ] и Y = [Y _J ] той же формы определяется как скаляр
3333 Наблюдение : если x и Y – N × 1 векторы колонны, затем x ∙ Y = x ^T y = Y ^T x . Также || Х || = √ X·X.
Функция Excel : если R1 — это массив, содержащий данные в формате X , а R2 — массив, содержащий данные в формате Y , то скалярное произведение X · Y = СУММПРОИЗВ (R1, R2).
Определение 8 : Два ненулевых вектора одинаковой формы являются ортогональными , если их скалярное произведение равно 0.
Инструмент реальной статистики
.
Ссылки
Cliff Notes (2021) Операции с матрицами
https://www.cliffsnotes.com/study-guides/алгебра/линейная-алгебра/матрица-алгебра/операции-с-матрицами
Лучше Solutions (2021) Матричные функции
https://bettersolutions.com/excel/functions/matrix-category.htm

Введение в алгоритмы: ГЛАВА 31: МАТРИЧНЫЕ ОПЕРАЦИИ
Если мы можем умножить два n n Реальные матрицы во времени M ( N ), где M ( N ) = ( N ²) и M ( N ) и M ( N ) и M ( N ) и M ( N ) и M ( N ) и M (^{6 N}) и M ( N ) и M ( N ). N + K )) для 0 K N , затем мы сможем вычислить обратную работу любого реального нонсинг N N MATRIX во времени O ( (). .
Доказательство Можно предположить, что n — это точная степень числа 2, так как у нас есть
для любого k > 0. Таким образом, выбирая k так, что n + k является степенью числа 2, мы увеличиваем матрицу до размера, который является следующей степенью числа 2, и получаем искомый ответ А ^-1 из ответа на расширенную задачу. Условие регулярности для M ( n ) гарантирует, что это увеличение не приведет к увеличению времени работы более чем на постоянный коэффициент.
На данный момент предположим, что n n матрица A симметрична и положительно определена. Разобьем A на четыре подматрицы n /2 n /2:
(31.
25)
Тогда, если положить
S = D - CB ^-1 C ^T
(31,26)
90 — дополнение Шура A по отношению к B , у нас есть
(31.27)
так как AA ^-1 = I _n , в чем можно убедиться, выполнив матричное умножение. Матрицы B ^-1 и S ^-1 существуют, если A симметрична и положительно определена по леммам 31.13, 31.14 и 31.15 раздела 31.6, так как оба S 31.6 и B симметричны и положительно определены. По упражнению 31.1-3, B ^-1 C ^T = ( CB ^– 1) ^T and B ^-1 C ^T S – ¹ = ( S ^-1 CB ^-1 ) ^T . Таким образом, уравнения (31.26) и (31.27) можно использовать для задания рекурсивного алгоритма, включающего 4 умножения n /2 n /2 матриц:
C B ^-1 ,
( CB ^-1 ) C ^T ,
S ^-1 ^{( CB ^-1 ),}
( CB ^-1 ) ^T ( S ^-1 CB ^-1 ).
Поскольку мы можем перемножить n /2 n /2 матриц, используя алгоритм для n n матриц, матричное обращение симметричных положительно определенных матриц может быть выполнено за время
I ( N ) 2 I ( N /2) + 4 M ( N ) + O ( N ) + O ( N ) + O ( N ) + O ( N ). ( n /2) + O ( M ( n ))
= O ( M ( n )).
Остается доказать, что асимптотическое время выполнения матричного умножения может быть получено для обращения матрицы, когда A обратимо, но не симметрично и не положительно определено. Основная идея состоит в том, что для любой невырожденной матрицы A , матрица A ^T A симметрична (по упражнению 31.1-3) и положительно определена (по теореме 31.6). Хитрость заключается в том, чтобы свести задачу инвертирования A к задаче инвертирования A ^T A .
Сокращение основано на наблюдении, что когда A является невырожденной матрицей n n , мы имеем
A ^-1 = ( A ^Т А ) ^-1 А ^Т ,
since (( A ^T A ) ^-1 A ^T ) A = ( A ^T A ) ^-1 ( A ^T A ) = I _n и обратная матрица единственна. Следовательно, мы можем вычислить A ^-1, сначала умножив A ^T на A , чтобы получить A ^T A , затем инвертировать симметричную положительно определенную матрицу A ^T A с использованием приведенного выше алгоритма «разделяй и властвуй» и, наконец, умножая на А ^Т . Каждый из этих трех шагов занимает O ( M ( n )) времени, и, таким образом, любая невырожденная матрица с вещественными элементами может быть обращена за O ( M ( n )) времени.
Доказательство теоремы 31.12 предлагает способ решения уравнения Ax = b без поворота, если A несингулярно. Мы умножаем обе части уравнения на A ^T, что дает ( A ^T A ) x = A ^T b. Это преобразование не влияет на решение x , так как A ^T обратимо, поэтому мы можем разложить на множители симметричную положительно определенную матрицу A ^T A путем вычисления LU-разложения. Затем мы используем прямую и обратную подстановку, чтобы найти x с правой частью A ^T b . Хотя этот метод теоретически верен, на практике процедура LUP-DECOMPOSITION работает намного лучше. Разложение LUP требует меньше арифметических операций на постоянный множитель и имеет несколько лучшие числовые свойства.
31.5-1
Пусть M ( n ) время умножения n n матриц, и пусть S ( n ) обозначает время, необходимое для возведения в квадрат матрицы n n .