Операции над матрицей: Основные операции над матрицами (сложение, умножение, транспонирование) и их свойства. - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Линейные операторы и матрицы. Операции над матрицами и операторами. Эквивалентные и подобные матрицы

Математика \ Геометрия и алгебра

Страницы работы

7 страниц (Word-файл)

Посмотреть все страницы

Скачать файл

Содержание работы

Линейные операторы и матрицы

Пусть дан линейный оператор А, действующий из n-мерного пространства Х в m-мерное пространство Y. Выберем некоторый базис е, е,…,е в Х.

Тогда xX

x =, A·x =.

Другими словами, линейный оператор A:XY полностью определяется совокупностью образов Ae, Ae,…, Ae базисных векторов е, е,…,е и

y = Ax, yL(Ae, Ae,…, Ae).

Зафиксируем в пространстве Y базис g , g,…,g. Тогда

=a g+…+a g, j =1, 2,…, n

Коэффициенты a определяют матрицу A из m строк и n столбцов, которая называется матрицей оператора A в базисах е, е,…,е

и g , g,…,g:

A=.

Столбцами матрицы оператора служат координаты векторов Ae, Ae,…, Ae в базисе g , g,…,g. Для того, чтобы определить элемент a матрицы оператора A, нужно найти образ Ae и взять его координату в базисе

g , g,…,g, т.е.

a=.

Рассмотрим произвольный вектор xX и его образ y=Ax:

x=, y =. (1)

Тогда

y== = .

Сравнивая правую часть этого равенства с разложением (1) для вектора y, имеем

Обозначив , , получим

(2)

Таким образом, всякий линейный оператор при фиксированных базисах в пространствах X и Y порождает соотношение (2), связывающее координаты образа и прообраза.

Для того чтобы по координатам прообраза определить координаты образа, достаточно вычислить левую часть этого соотношения.

Для определения координат прообраза по известным координатам вектора приходится решать СЛАУ (2) относительно вектора . Матрица этой СЛАУ совпадает с матрицей оператора.

Докажем, что при фиксированных базисах пространств между линейными операторами и прямоугольными матрицами существует взаимнооднозначное соответствие.

Мы уже показали, что каждый оператор А при фиксированных базисах определяет некоторую матрицу А. Возьмём теперь произвольную матрицу А размером mn. При фиксированных базисах в пространствах X и Y соотношение (2) ставит в соответствие каждому вектору xX некоторый вектор yY. Ясно, что это соответствие – линейный оператор:

Построим матрицу оператора А в базисах е,е,…,е, g,g,…,g:

т.е. построенная матрица совпадает с А.

Операции над матрицами и операторами

Поскольку всякий линейный оператор при фиксированных базисах пространств однозначно определяется своей матрицей, введенные ранее операции над операторами соответствуют вполне определенным операциям над матрицами.

Условимся обозначать операторы и их матрицы одними и теми же буквами, без каких-либо индексов, относящихся к базисам.

Пусть A:XY, B:XY и е, е,…,е- базис X, g , g,…,g- базис Y.

Равные операторы имеют одну и ту же матрицу.

Доказательство:

Действительно,

a=== b, i =, j =.

Рассмотрим оператор С =А+В:

При сложении операторов матрицы операторов складываются.

Аналогичное преобразование матриц операторов происходит при умножении линейного оператора на число:

Таким образом, пространство линейных операторов w изоморфно пространству прямоугольных матриц размером mn с элементами из F.

Следовательно, размерности этих пространств равны. Множество матриц порядка mn представляет собой линейное пространство размерности m·n. Одним из базисов этого пространства может служить система матриц:

, где элементы матрицы определяются равенствами:

Возьмем m=2, n=3. Тогда:

, , ,

, , .

Отсюда следует, что линейное пространство операторов, действующих из X в Y, есть конечномерное пространство размерности m·n.

Если оператор A:XY, B:YZ, C:XZ, то произведению операторов С=ВА соответствует произведение матриц. Действительно, пусть е, е,…,е- базис в X, f, f,…,f- базис в Y, g , g,…,g- базис в Z. Тогда:

Пусть A:XY, е, е,…,е- базис X, g , g,…,g- базис Y. По определению, рангом оператора А называется размерность образа |. Но и совпадает с максимальным числом линейно-независимых векторов среди Ae, Ae,…, Ae. Учитывая, что столбцы матрицы А есть координаты в базисе g , g,…,g, задача сводится к нахождению максимального числа линейно-независимых столбцов матрицы А. Другими словами, ранг оператора А равен рангу матрицы оператора А.

Дефект оператора– размерность ядра |, т.е. .

Пусть x. Тогда для координат x в базисе е, е,…,е выполняется условие Ax0. Верно и обратное. Таким образом, дефект равен размерности пространства решений однородной СЛАУ и равен .

Пусть A:XX и А – невырожденный оператор. Тогда dimX=rgA=n и соответствующая n×n-матрица будет иметь n–линейно-независимых столбцов, т.е. ее определитель не равен нулю. Верно и обратное. Таким образом, линейный оператор невырожден тогда и только тогда, когда определитель его матрицы не равен нулю.

Похожие материалы
Информация о работе
Скачать файл
Выбери свой ВУЗ
АлтГТУ 419
АлтГУ 113
АмПГУ 296
АГТУ 267
БИТТУ 794
БГТУ «Военмех» 1191
БГМУ 172
БГТУ 603
БГУ 155
БГУИР 391
БелГУТ 4908
БГЭУ 963
БНТУ 1070
БТЭУ ПК 689
БрГУ 179
ВНТУ 120
ВГУЭС 426
ВлГУ 645
ВМедА 611
ВолгГТУ 235
ВНУ им. Даля 166
ВЗФЭИ 245
ВятГСХА 101
ВятГГУ 139
ВятГУ 559
ГГДСК 171
ГомГМК 501
ГГМУ 1966

ГГТУ им. Сухого 4467
ГГУ им. Скорины 1590
ГМА им. Макарова 299
ДГПУ 159
ДальГАУ 279
ДВГГУ 134
ДВГМУ 408
ДВГТУ 936
ДВГУПС 305
ДВФУ 949
ДонГТУ 498
ДИТМ МНТУ 109
ИвГМА 488
ИГХТУ 131
ИжГТУ 145
КемГППК 171
КемГУ 508
КГМТУ 270
КировАТ 147
КГКСЭП 407
КГТА им. Дегтярева 174
КнАГТУ 2910
КрасГАУ 345
КрасГМУ 629
КГПУ им. Астафьева 133
КГТУ (СФУ) 567
КГТЭИ (СФУ) 112
КПК №2 177
КубГТУ 138
КубГУ 109
КузГПА 182
КузГТУ 789
МГТУ им. Носова 369
МГЭУ им. Сахарова 232
МГЭК 249
МГПУ 165
МАИ 144
МАДИ 151
МГИУ 1179
МГОУ 121
МГСУ 331
МГУ 273
МГУКИ 101
МГУПИ 225
МГУПС (МИИТ) 637
МГУТУ 122
МТУСИ 179
ХАИ 656
ТПУ 455
НИУ МЭИ 640
НМСУ «Горный» 1701
ХПИ 1534
НТУУ «КПИ» 213
НУК им. Макарова 543
НВ 1001
НГАВТ 362
НГАУ 411
НГАСУ 817
НГМУ 665
НГПУ 214
НГТУ 4610
НГУ 1993
НГУЭУ 499
НИИ 201
ОмГТУ 302
ОмГУПС 230
СПбПК №4 115
ПГУПС 2489
ПГПУ им. Короленко 296
ПНТУ им. Кондратюка 120
РАНХиГС 190
РОАТ МИИТ 608
РТА 245
РГГМУ 117
РГПУ им. Герцена 123
РГППУ 142
РГСУ 162
«МАТИ» — РГТУ 121
РГУНиГ 260
РЭУ им. Плеханова 123
РГАТУ им. Соловьёва 219
РязГМУ 125
РГРТУ 666
СамГТУ 131
СПбГАСУ 315
ИНЖЭКОН 328
СПбГИПСР 136
СПбГЛТУ им. Кирова 227
СПбГМТУ 143
СПбГПМУ 146
СПбГПУ 1599
СПбГТИ (ТУ) 293
СПбГТУРП 236
СПбГУ 578
ГУАП 524
СПбГУНиПТ 291
СПбГУПТД 438
СПбГУСЭ 226
СПбГУТ 194
СПГУТД 151
СПбГУЭФ 145
СПбГЭТУ «ЛЭТИ» 379
ПИМаш 247
НИУ ИТМО 531
СГТУ им. Гагарина 114
СахГУ 278
СЗТУ 484
СибАГС 249
СибГАУ 462
СибГИУ 1654
СибГТУ 946
СГУПС 1473
СибГУТИ 2083
СибУПК 377
СФУ 2424
СНАУ 567
СумГУ 768
ТРТУ 149
ТОГУ 551
ТГЭУ 325
ТГУ (Томск) 276
ТГПУ 181
ТулГУ 553
УкрГАЖТ 234
УлГТУ 536
УИПКПРО 123
УрГПУ 195
УГТУ-УПИ 758
УГНТУ 570
УГТУ 134
ХГАЭП 138
ХГАФК 110
ХНАГХ 407
ХНУВД 512
ХНУ им. Каразина 305
ХНУРЭ 325
ХНЭУ 495
ЦПУ 157
ЧитГУ 220
ЮУрГУ 309
Полный список ВУЗов
Матрицы и операции над ними
Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Матрицы и операции над ними. Доклад-сообщение содержит 31 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации
Слайд 1
Описание слайда:
Матрицы и операции над ними.
Слайд 2
Описание слайда:
Матрицей называется множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m строк и n столбцов. Матрицей называется множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m строк и n столбцов.
Слайд 3
Описание слайда:
,где aij- элемент матрицы i- номер строки: i=1,2,…,m j- номер столбца: j=1,2,…,n
Слайд 4
Описание слайда:
Если у матрицы m строк и n столбцов, то она имеет размерность m×n (прямоугольная матрица) Am×n или
Слайд 5
Описание слайда:
Квадратная матрица n-го порядка: Квадратная матрица n-го порядка:
Слайд 6
Описание слайда:
Если у квадратной матрицы отличны от нуля только элементы, лежащие на главной диагонали, то такие матрицы называются диагональными. Если у квадратной матрицы отличны от нуля только элементы, лежащие на главной диагонали, то такие матрицы называются диагональными.
Слайд 7
Описание слайда:
Матрица, у которой все элементы, лежащие выше (ниже) главной диагонали – нули, называется треугольной. Матрица, у которой все элементы, лежащие выше (ниже) главной диагонали – нули, называется треугольной.
Слайд 8
Описание слайда:
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей.
Слайд 9
Описание слайда:
Дана прямоугольная матрица m×n . Дана прямоугольная матрица m×n . Если m=1, то получаем матрицу-строку:
Слайд 10
Описание слайда:
Две матрицы называются равными, если они одинаковой размерности и соответствующие элементы равны. Две матрицы называются равными, если они одинаковой размерности и соответствующие элементы равны. Т.е, пусть A=(aij) и B=(bij):
Слайд 11
Описание слайда:
Линейные операции над матрицами. Суммой матриц A=(aij) и B=(bij) называется матрица C=(cij) (А+В=С), элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В: cij=aij+bij, причем
Слайд 12
Описание слайда:
Найти А + В и А – В:
Слайд 13
Описание слайда:
Свойства сложения матриц: А+В=В+А закон коммутативности
Слайд 14
Описание слайда:
Произведением матрицы A=(aij) на число к∈R, называется матрица кА, каждый элемент которой равен кaij: кА=(каij) Произведением матрицы A=(aij) на число к∈R, называется матрица кА, каждый элемент которой равен кaij: кА=(каij)
Слайд 15
Описание слайда:
Свойства умножения матрицы на число: 1) (а+b)А=аА+bА закон дистрибутивности относительно сложения чисел
Слайд 16
Описание слайда:
Произведением матриц Am×n=(aij) и Bn×p=(bjk) называется матрица Cm×p=(cik)=A·B, элементы которой Произведением матриц Am×n=(aij) и Bn×p=(bjk) называется матрица Cm×p=(cik)=A·B, элементы которой где i=1,2,…,m k=1,2,…,p
Слайд 17
Описание слайда:
Найти А·В и B·A:
Слайд 18
Описание слайда:
Слайд 19
Описание слайда:
Слайд 20
Описание слайда:
Слайд 21
Описание слайда:
Найти А·В и B·A:
Слайд 22
Описание слайда:
умножение матриц имеет смысл только в том случае, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. умножение матриц имеет смысл только в том случае, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. в результате умножения получается матрица с количеством строк первой и количеством столбцов второй.
Слайд 23
Описание слайда:
Свойства умножения матриц: АВ≠ВА
Слайд 24
Описание слайда:
Если АВ=ВА, то матрица А и В называются перестановочными или коммутирующими. Если АВ=ВА, то матрица А и В называются перестановочными или коммутирующими.
Слайд 25
Описание слайда:
Если в диагональной матрице все элементы главной диагонали 1, то матрица называется единичной. Если в диагональной матрице все элементы главной диагонали 1, то матрица называется единичной. Свойство: ЕА=АЕ=А
Слайд 26
Описание слайда:
Если в матрице переставить строки местами со столбцами, то получим матрицу, которая называется транспонированной: Если в матрице переставить строки местами со столбцами, то получим матрицу, которая называется транспонированной:
Слайд 27
Описание слайда:
Матрица называется симметричной, если Матрица называется симметричной, если симметричная
Слайд 28
Описание слайда:
Свойства транспонированной матрицы:
Слайд 29
Описание слайда:
Даны матрицы А и В: Вычислить:
Слайд 30
Описание слайда:
Каков порядок матриц А и В? Вычислить АВ.
Слайд 31
Описание слайда:
Каков порядок матриц А и В? Вычислить АВ.

матричных операций | 12 Матричные операции для глубокого обучения
Эта статья была опубликована в рамках блога Data Science Blogathon
Введение
Если вы начнете изучать глубокое обучение, первое, с чем вы познакомитесь, — это концепции линейной алгебры, которые помогут вам лучше понять, как на самом деле работают алгоритмы, что позволит вам принимать более обоснованные решения. В глубоком обучении нейронная сеть с прямой связью — самая простая и очень полезная сеть. Под капотом нейронная сеть с прямой связью — это просто составная функция, которая перемножает некоторые матрицы и векторы.
Источник изображения: Ссылка
Это не значит, что векторы и матрицы являются единственным способом выполнения этих операций, но они становятся очень эффективными, если вы это делаете. Основные структуры данных, лежащие в основе глубокого обучения, включают
Скаляры,
Векторов,
Матрицы
и
Тензоры.
Матричные операции используются в описании многих алгоритмов глубокого обучения.
Источник изображения: Ссылка
Итак, если вы действительно хотите стать профессионалом в области глубокого обучения, вам не избежать освоения некоторых из этих концепций. Итак, в этой статье мы обсудим важные матричные операции линейной алгебры, которые используются при описании методов глубокого обучения.
Содержание
В этой статье мы обсудим следующие темы:
Что такое матрицы?
Как складывать и вычитать разные матрицы?
Как найти форму и размер заданной матрицы?
Как преобразовать плотную матрицу в разреженную?
Как найти транспонирование матрицы?
Как найти среднее значение, дисперсию и стандартное отклонение матрицы?
Как найти след матрицы?
Как извлечь минимальный и максимальный элементы из матрицы?
Как найти определитель матрицы?
Как умножить данные матрицы?
Как применить конкретную операцию к каждому элементу матрицы?
Как найти обратную матрицу?
Как изменить форму матрицы на другой размер?
Что такое матрицы?
Матрицы представляют собой прямоугольные массивы, состоящие из чисел, и их можно рассматривать как 2 тензора -го и -го порядка. Если m и n – положительные целые числа, то есть m, n ∈ ℕ, то матрица m × n содержит m * n элементов с m количеством строк и n количеством столбцов.

Графическое представление матрицы размера m×n показано ниже:
Источник изображения: Ссылка
Иногда вместо полного описания компонентов матрицы мы используем следующую аббревиатуру матрицы:
Например-
В этом примере с помощью библиотеки numpy мы создадим матрицу. А также проверить размерность сформированной матрицы.
Сложение и вычитание матриц

Источник изображения: Ссылка
В этом разделе мы будем выполнять сложение и вычитание матриц, используя методы сложения и вычитания. Эти методы принимают два аргумента и возвращают сумму и разность этих матриц соответственно. Если форма матриц не одинакова, выдается ошибка о том, что сложение или вычитание невозможно.
matrix_1 = np.array([[45,34],[67,58]]) matrix_2 = np.массив([[35,24],[57,48]]) # Складываем две матрицы print("Результат после сложения матрицы 1 и матрицы 2 равен n" , np.add(matrix_1, matrix_2)) # Вычесть одну матрицу из других матриц print("Результат после вычитания матрицы 1 из матрицы 2 равен n" , np.subtract(matrix_1, matrix_2)) print("Результат после вычитания матрицы 2 из матрицы 1 равен n" , np.subtract(matrix_2, matrix_1))
Вывод:
Результат после сложения матрицы 1 и матрицы 2 определяется выражением [[ 80 58] [124 106]] Результат после вычитания матрицы 1 из матрицы 2 определяется выражением [[10 10] [10 10]] Результат после вычитания матрицы 2 из матрицы 1 определяется выражением [[-10 -10] [-10 -10]]
Форма и размер матрицы
В этом разделе мы найдем форму, т. е. количество строк и столбцов в данной матрице, и размер, т. е. количество элементов в матрице данной матрицы.
матрица = np. array([[45,34,75],[67,58,89]]) # Находим количество строк и столбцов в матрице print("Количество строк и столбцов в данной матрице равно " + str(matrix.shape[0]) + " и " + str(matrix.shape[1]) + " соответственно") # Количество элементов в матрице print("Размер данной матрицы равен" , matrix.size)
Вывод:
Количество строк и столбцов в данной матрице равно 2 и 3 соответственно Размер данной матрицы 6
Преобразование заданной плотной матрицы в разреженную
Давайте сначала разберемся, что именно имеется в виду под разреженной и плотной матрицей.
Разреженная матрица — это матрица, состоящая в основном из нулевых значений. А разреженные матрицы отличаются от матриц с в основном ненулевыми значениями, которые известны как плотные матрицы.
Источник изображения: Ссылка
из scipy import sparse # Создаем плотную матрицу плотная_матрица = np. массив([[0,0],[0,17],[78,0]]) # Преобразование плотной матрицы в разреженную матрицу разреженная_матрица = разреженная.csr_matrix(плотная_матрица) print("Разреженная матрица, соответствующая данной плотной матрице, равна n", sparse_matrix)
Вывод:
Разреженная матрица, соответствующая данной плотной матрице, имеет вид (1, 1) 17 (2, 0) 78

Транспонирование матрицы
В Matrix Transpose мы можем преобразовать вектор-строку в вектор-столбец и наоборот, т. е. строка становится столбцом, а столбец — строкой.
Если у нас есть матрица A = [a ij ] _mxn , то транспонирование этой матрицы равно A ^T = [a ji ] _н×м
Источник изображения: Ссылка
импортировать numpy как np матрица = np.массив([[45,34],[67,58]]) print("Исходная матрица задана n", матрица) print("Транспонированная матрица данной матрицы равна n" , matrix. T)
Вывод:
Исходная матрица определяется выражением [[45 34] [67 58]] Транспонированная матрица данной матрицы равна [[45 67] [34 58]]

Среднее значение, дисперсия и стандартное отклонение матрицы
В этом разделе мы попытаемся найти некоторые статистические вещи, связанные с матрицей. Здесь мы вычисляем среднее значение, дисперсию и стандартное отклонение матрицы, используя функции numpy.
импортировать numpy как np матрица = np.массив([[45,34],[67,58], [23,89]]) # Нахождение среднего значения элементов матрицы print("Среднее значение элементов матрицы равно", np.mean(matrix)) # Нахождение дисперсии элементов матрицы print("Дисперсия элементов матрицы равна", np.var(matrix)) # Нахождение стандартного отклонения элементов матрицы print("Стандартное отклонение элементов матрицы равно", np.std(matrix)) print("Стандартное отклонение элементов матрицы равно", np.sqrt(np.var(matrix)))
Вывод:
Среднее значение элементов матрицы равно 52,666666666666664 Дисперсия элементов матрицы равна 473,5555555555555. Стандартное отклонение элементов матрицы равно 21,761331658599286. Стандартное отклонение элементов матрицы равно 21,761331658599286

След матрицы

Источник изображения: Ссылка
В этом разделе мы попытаемся найти след матрицы, т. е. сумму всех диагональных элементов, присутствующих в данной матрице.
импортировать numpy как np матрица = np.массив([[1,2,3],[4,5,6], [7,8,9]]) # Получить диагональные элементы матрицы print("Диагональные элементы данной матрицы равны n", matrix.diagonal()) # Находим след матрицы print("След данной матрицы равен", matrix.diagonal().sum())
Вывод:
Диагональные элементы данной матрицы равны [1 5 9] След данной матрицы равен 15
Нахождение минимального и максимального элементов матрицы
В этом разделе мы попытаемся найти минимальный и максимальный элементы матрицы, т. е. элемент с наибольшим и наименьшим значением среди всех элементов.
импортировать numpy как np матрица = np.массив([[1,2,3],[4,5,6], [7,8,9]]) # Находим минимальный элемент матрицы print("Минимальный элемент в данной матрице равен", np.min(matrix)) # Находим максимальный элемент матрицы print("Максимальный элемент в данной матрице равен", np.max(matrix))
Вывод:
Минимальный элемент в данной матрице равен 1 Максимальный элемент в данной матрице равен 9
.
Определитель матрицы

Источник изображения: Ссылка
В этом разделе мы попытаемся найти определитель матрицы. Здесь для вычисления определителя мы используем модуль линейной алгебры, присутствующий в пакете Numpy.
импортировать numpy как np матрица = np.массив([[1,2,4],[3,4,6], [7,8,5]]) # Найдите определитель матрицы print("Определитель данной матрицы равен", np. linalg.det(matrix))
Вывод:
Определитель данной матрицы равен 9,999999999999993
Умножение матриц
Матрица формы (m x n) и матрица B формы (n x p), умноженные, дают C формы (m x p). Помните при умножении матриц, что количество столбцов в первой матрице совпадает с количеством строк во второй матрице, чтобы выполнить умножение без ошибок.
Источник изображения: Ссылка
В этом разделе мы попытаемся найти произведение двух матриц.
импортировать numpy как np matrix_1 = np.массив([[45,34],[67,58]]) matrix_2 = np.массив([[35,24],[57,48]]) print("Матричное умножение данных двух матриц равно n", np.matmul(matrix_1, matrix_2))
Вывод:
Матричное умножение данных двух матриц определяется выражением [[3513 2712] [5651 4392]]
Поэлементные операции с использованием встроенной функции (лямбда)
В этом примере мы попытаемся добавить определенное значение к каждому из элементов матрицы.
импортировать numpy как np матрица = np.массив([[1,2,4],[3,4,6], [7,8,5]]) сложение = лямбда i:i+5 add_5_vec = np.vectorize (дополнение) print("Матрица после добавления 5 ко всем ее элементам равна n", add_5_vec(matrix))
Вывод:
Матрица после добавления 5 ко всем ее элементам [[ 6 7 9] [ 8 9 11 ] [12 13 10]]
Обратная матрица
В этом разделе мы попытаемся найти обратную матрицу.
импортировать numpy как np матрица = np.массив([[1,2,4],[3,4,6], [7,8,5]]) # Нахождение обратной матрицы print("Обратная матрица данной матрицы равна n", np.linalg.inv(matrix))
Вывод:
Обратная матрица заданной матрицы равна [[-2,8 2,2 -0,4] [ 2,7 -2,3 0,6] [-0,4 0,6 -0,2]]
Изменение заданной матрицы
В этом разделе мы попытаемся изменить заданную матрицу, т. е. изменить форму заданной матрицы. Но здесь мы должны отметить, что размер остается постоянным после изменения формы матрицы, т. е. количество элементов остается прежним.
импортировать numpy как np матрица = np.массив([[1,2,4],[3,4,6],[7,8,5],[9,2,1]]) print("Измененная матрица задается n", matrix.reshape(6,2))
Вывод:
Измененная матрица определяется как [[1 2] [4 3] [4 6] [7 8] [5 9] [2 1]]
Другие записи в моем блоге
Вы также можете проверить мои предыдущие сообщения в блоге.
Предыдущие записи блога Data Science.
LinkedIn
Вот мой профиль Linkedin на случай, если вы захотите связаться со мной. Я буду счастлив быть связанным с вами.
Электронная почта
По любым вопросам вы можете написать мне на Gmail .
Конечные примечания
Спасибо за внимание!
Надеюсь, вам понравилась статья. Если вам это нравится, поделитесь им с друзьями тоже. Что-то не упомянуто или хотите поделиться своими мыслями? Не стесняйтесь комментировать ниже, и я свяжусь с вами. 😉
Медиафайлы, показанные в этой статье, не принадлежат Analytics Vidhya и используются по усмотрению Автора.
Операции с матрицами | Реальная статистика с использованием Excel
Определение 1 . Матрицы одинаковой формы можно складывать и вычитать.
Let A и B BE R × C Матриц с A = [ A _IJ ] и B = [ B _.] и B = [ B _.] и B =. Тогда A + B представляет собой матрицу r × c с A + B = [ a _ij + b _ij ] и A – B представляет собой матрицу r × c с A – B = [ a _{ij 7} – b _{0ij 90].}
Определение 2 : Матрицу можно умножить (или разделить) на скаляр. Скаляр также может быть добавлен к матрице (или вычтен из нее).
Пусть A будет матрицей r × c , где A = [ a _ij ] и b будет скаляром. Затем bA and A + b are r × c matrices where bA = [ b · a _ij ] and A + b = [ a _ij + б ]. Аналогичным образом мы можем определить Ab и b + A . Ясно, что b + A = A + b и Ab = bA . Аналогично можно определить деление и вычитание матриц на скаляры.
Определение 3 : Две матрицы также могут быть перемножены, но только если они имеют совместимую форму.
LET A BE P × M MATRIX с A = [ A _IJ ] и LET B BE M × 7777 BA BE M × 7777 BAIN . [ б _jk ]. Тогда AB представляет собой p × n матрицу с AB = [ c _ik ], где
Наблюдение : Чтобы умножение AB было допустимым, количество столбцов в A должно равняться количеству строк в B . Результирующая матрица будет иметь то же количество строк, что и A , и такое же количество столбцов, как B .
Выполняется ассоциативный закон, а именно ( AB ) C = A ( BC ) , т.е.0077 C или сначала умножьте B на C , а затем умножьте A на результат. Важно, чтобы матрицы имели совместимую форму. Таким образом, если A равно p × m , B равно m × n и C равно n × s , то ABC будет иметь форму p × 7 s 900. Распределительные законы, а именно А ( В + С ) = АВ + ВС и ( А + В ) С = АС + ВС , тоже держи.
Выполняется коммутативный закон сложения, а именно A + B = B + A , но коммутативный закон умножения не выполняется, даже если матрицы имеют подходящую форму; таким образом, даже для двух n x n матриц A и B , AB не обязательно равно BA . Однако для квадратных матриц след AB равен следу BA .
Свойство 0 : Для квадратных матриц A и B одинакового размера и формы и скалярные c :
След( A+B ) = След( B+A )
След( cA ) = c След( A )
Трассировка ( AB ) = Трассировка ( BA )
Доказательство: Доказательства просты и основаны на определении следа, сложения и умножения матриц.
Определение 4 : транспонировать из r × c матрица A = [ a _ij ] является матрицей c × r A ^T = [ 8 ji 9017].
A (square) matrix A is symmetric if A = A ^T
Property 1 :
( A ^T ) ^T = A
(AB ) ^T = Б ^Т А ^Т
Если A и B симметричны и AB = BA , то AB симметричен
Трассировка ( А ) = Трассировка ( А ^Т)
Доказательство: Докажем (c). Предположим, что A и B симметричны. По определению 4 и свойству 1b, AB = A ^T B ^T = ( BA ) ^T = ( AB ) ^T
Наблюдение : Если A является вектор-столбцом, то A ^T A является скаляром. Фактически, A ^T A = ‖A‖ ² . Таким образом, столбец вектор A является единичным вектором, если и только тогда, когда A ^T A = 1.

Определение 5 : N × N Матрица A – ntable ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A также называется невырожденным ), если есть матрица B такое, что AB = BA = I _n (где I _n — матрица n × n единиц). A ^-1 – обратный из A , предоставленные A A ^-1 = A ^-1 A = ^-1 A = 777778 = 7778 = 778 = 7778 = . Матрица, которая не является обратимой, называется сингулярной .

Недвижимость 2 : Если A обратимо, то обратное однозначно.

Доказательство. Предположим, что числа B и C обратны A . Тогда по ассоциативному закону C = IC = ( BA ) C = B ( AC ) = BI = B, и, следовательно, C = B .

Наблюдение : На самом деле, если существует матрица B такая, что AB = I _n или BA = I _N Тогда A является инвертируемым и A ^-1 = B.

Property 3 : IF A и 777777777777777778 и и 777777777777777777778

. A ^-1 ) ^-1 = A and ( AB ) ^-1 = B ^-1 A ^-1

Proof: The first assertion results from the first assertion of Property 2.

Since ( AB )( B ^-1 A ^-1 ) = A ( BB ^-1 ) A ^-1 , = AIA ^-1 = AA ^-1 = I88.

Недвижимость 4 : если A инвертируется, то есть его транспонирование и ( A ^T) ^-1 = ( A ^-1) ^T

9017. ^T ( A ^-1) ^T = ( A ^-1 A ) ^T = I A ) ^T = I A ) ^T = I 9078) ^T = I ) ^T = I ) ^T = I ) ^T = I A ) 9078. ^-1 ) ^Т А ^Т = ( АА ^-1 ) ^Т = I ^Т = I .
Собственность 5 : A является симметричным, если и только тогда, когда A ^-1 также симметрично
Доказательство: предположим A является симметричным, затем по свойству 4, ( A
. ) ^T = ( A ^T ) ^-1 = A ^-1 , и поэтому A ^-1 также симметрично. Для обратного предположим, что A ^-1 симметричен, то из вышесказанного следует, что ( A ^-1 ) ^-1 симметричен, но по Свойству 3 это означает, что A симметричен.
Example 1 : Find the inverse of

Since the inverse of A takes the form
where A A ^-1 = I ₂ , отсюда следует, что
Таким образом, нам нужно решить следующие четыре линейных уравнения с четырьмя неизвестными:
c = 1/3, d = 1/3, откуда следует, что
Функции Excel : Excel предоставляет следующие функции массива для выполнения различных матричных операций, описанных выше (где мы объединяем матрицы A и B с массивами на листе Excel, содержащими эти массивы).
Mmult ( A , B ): если A – P × M Array и B – M × N , а затем M × N , а затем M × N , а затем M × N , а затем M × N , а затем M × N , а затем M × N , а затем M × N , а затем M × N . B ) = p × n матрица AB .
МИНВЕРС ( A ): если A представляет собой квадратный массив n × n , то МИНВЕРС( А ) = А ^– ¹ .
ТРАНСПОЗИРОВАТЬ ( A ): Если A представляет собой массив м × n , то ТРАНСП( A ) = A T
Обратите внимание, что, поскольку это функции массива, большинство пользователей Excel не могут просто нажать Введите при использовании этих функций. Например. для МУМНОЖ вы должны сначала выделить диапазон p × n перед вводом =МУМНОЖ( A,B ), а затем вы должны нажать Ctrl-Shift-Enter . В этом нет необходимости для пользователей Excel 2021 и Excel 365, где МУМНОЖ можно рассматривать как функцию динамического массива.
Версии Excel, начиная с Excel 2013, также предоставляют функцию массива MUNIT ( n ), которая возвращает n × n идентификационную матрицу.
Вы также можете транспонировать массив A в Excel, скопировав массив (т. е. выделив массив и нажав Ctrl-C ), щелкнув в нужном месте 9операторы. Эти операции выполняются на ячейке за ячейкой.
Например, предположим, что диапазон B2:C3 содержит
Если выделить диапазон D7:E8, введите =2*B2:C3+TRANSPOSE(B2:C3), а затем нажмите Ctrl-Shift-Enter , D7: E8 будет содержать
Обратите внимание, что D7:E8 должен иметь ту же форму, что и B2:C3, иначе возникнет ошибка. Также обратите внимание, что
Обратите внимание, что если A является матрицей m × n , а B является матрицей 1 × n матрица (т. е. вектор-строка), тогда A + B является допустимой операцией в Excel и дает тот же результат, что и A + C , где × C — m n матрица, все строки которой содержат те же данные, что и B . Точно так же вы можете вычислить A – B , A *B и A / B . Также вы можете рассчитать A + B , A – B , A * B и A / B , где B — вектор-столбец размером м × 1 вектор-столбец.
Предположим, что B2:C3 содержит  , а E2:E3 содержит . Если вы выделите F4:G5, введите =B2:C3–E2:E3, а затем нажмите Ctrl-Shft-Enter , F4:G5 будет содержать .
Функции реальной статистики : Ресурсный пакет реальной статистики предоставляет следующие функции:
MPOWER ( A,n ) = A ⁿ
MSUB ( A,B ) = A – B
MPROD ( A,B,C,D ) = ABCD
Обратите внимание, что для MSUB массивы A и B должны иметь одинаковый размер и форму. Кроме того, для любого элемента в A и/или B , который не является числовым, соответствующий элемент в выходных данных будет пустым.
MPROD можно использовать с 2, 3 или 4 совместимыми массивами. Функция МПРОД( A,B ) эквивалентно MMULT( A,B ). MPROD( A,B,C ) эквивалентно МУМНОЖ(ММУНОМ( A,B ), C ). МПРОД( A,B,C,D ) эквивалентно МУМНОЖ(ММНОЖ( А,В ),МУМНОЖ( С,D )).
Пример 2 : Найти A ⁴, где A – матрица 2 × 2, показанную в диапазоне B4: C5 из рисунка 2.
Рисунок 2 – Mpower
. Рисунок 2 – Mpower
в диапазоне K4:L5. Это можно рассчитать по формуле массива =ММНОЖ(h5:I5,B4:C5) или =ММНОЖ(B4:C5,ММНОЖ(B4:C5,ММНОЖ(B4:C5,B4:C5))). В качестве альтернативы вы можете использовать формулу массива =MPOWER(B4:C5,4).
Пример 3 : Найдите A-B для массивов, показанных на рис. 3.
Ф4:Ф6. Здесь пробел в ячейке D6 рассматривается как ноль. Если бы ячейка D6 содержала любую другую нечисловую ячейку, то ячейка F6 содержала бы значение ошибки. Используя формулу реальной статистики =MSUB(B4:B6,D4,D6), вместо этого мы получаем результат, показанный в диапазоне h5:H6, где любая нечисловая ячейка рассматривается как пустая.
Definition 6 : Vectors X ₁ , …, X _k of the same size and shape are independent if for any scalar values b ₁ , … b _k , if b ₁ X ₁ +⋯+ b _k X _k = 0, then b ₁ = … = b _k = 0.
Векторы X ₁ , …, X _k являются зависимыми , если они не независимы, т. е. существуют скаляры b ₁ , … b _k , хотя бы один из которых 8 отличен от нуля, 900, 900, ₁ X ₁ +⋯+ b _k X _k = 0.
Observation : If X ₁ , …, X _k   are independent, тогда X _j ≠ 0 для всех и .
Свойство 6 : X ₁ , …, X _k   зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов может быть выражен в виде линейной комбинации других.
Доказательство: предположим, что X ₁ , …, X _k   зависимы. Тогда существуют скаляры b ₁ , … b _k , хотя бы одно из которых не равно нулю, такое что b ₁ x ₁ + ⋯+ B _K x _K = 0. Скажем B _I ♠ 0. Затем
теперь предпочтите, что 777.77777777777778. Затем B ₁ x ₁ + ⋯ + B _K x _K = 0, где B _I = -1, 0, B _I = -1, и SO B _I = -1, и SO B _I = -1 и B _I = -1, и B _I. , X _k   зависимы.
Определение 7 : The dot product of two vectors X = [ x _i ] and Y = [y _j ] of the same shape is defined to be the scalar
Наблюдение : если x и y – N × 1 векторы колонны, затем x ∙ y = x ^T Y = Y ^87777. = Y ^{818. Также || Х || = √ X·X.}

Линейные операторы и матрицы. Операции над матрицами и операторами. Эквивалентные и подобные матрицы

Страницы работы

Содержание работы

Похожие материалы

Информация о работе

Матрицы и операции над ними

матричных операций | 12 Матричные операции для глубокого обучения

Операции с матрицами | Реальная статистика с использованием Excel

Оставить комментарий Отменить ответ