Операция над матрицами: Основные операции над матрицами (сложение, умножение, транспонирование) и их свойства.

Операции над матрицами — Студопедия

Поделись  

1. Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы на число называется матрица , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы на число , т.е. для ; .

Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

В частности, произведение матрицы А на число 0 есть нулевая матрица, т.е .

2. Сложение матриц.

Суммой двух матриц и одинакового размера называется матрица , каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц и , т.е. для ; (т.е. матрицы складываются поэлементно).

3. Вычитание матриц.

Разность двух матрицодинакового размера определяется через предыдущие операции: .

Умножение матриц.

Произведение матриц и определено, когда число столбцов матрицы равно числу матрицы .

(Иными словами, матрицы умножаются строка на столбец).

Операции над матрицами обладают следующими свойствами:

1) ;

2) ;

3) .

4) ;

5) ;

6) ;

7) .

Однако имеются и специфические свойства матриц. Так, операция умножения матриц имеет некоторые отличия от умножения чисел:

а) Если произведение матриц существует, то после перестановки сомножителей местами произведения матриц может и не существовать.

б) Если даже произведения и существуют, то они могут быть матрицами разных размеров.

в) В случае, когда оба произведения и существуют и оба – матрицы одинакового размера (это возможно только при умножении квадратных матриц и одного порядка), коммутативный (переместительный) закон умножения, вообще говоря, не выполняется, т. е. .

В частном случае коммутативным законом обладает произведение любой квадратной матрицы -го порядка на единичную матрицу того же порядка, причем это произведение равно :

Таким образом, единичная матрица играет при умножении матриц ту же роль, что и число 1 при умножении чисел.

г) Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице, т.е. из того, что , не следует, что или .

5. Возведение в степень. Целой положительной степенью квадратной матрицы называется произведение матриц, равных , т.е.

.

Заметим, что операция возведения в степень определена только для квадратных матриц. Полагают , . Нетрудно показать, что , . Если , то это не означает, что матрица .

6. Транспонирование матрицы – переход от матрицы к матрице , в которой строки и столбцы поменяны местами с сохранением порядка. Матрица называется транспонированной относительно матрицы :

, . (2)

Из определения следует, что если матрица имеет размер , то транспонированная матрица имеет размер .

Свойства операции транспонирования:

1)

2)

3)

4) .



Матрица и операции над ней

Курс данного предмета мы начнем непосредственно с матриц, потому что именно они составляют основу данной дисциплины.

Определение матрицы

Матрицей  размерности называется прямоугольная таблица чисел, содержащая — строк и — столбцов, число расположенное в -ой строке и -столбце обозначается и называется элементом матрицы , т. е.

Операции над матрицами

Рассмотрим основные операции, проводимые над матрицами:

• сумма матриц;
• произведение матрицы на число;
• произведение матриц;
• транспонирование матрицы

Сумма матриц

Сумма матриц и называется матрица такая, что , где 

Рассмотрим пример, чтобы стало понятнее.

ПРИМЕР 1. Найди сумму матриц А и В.

,

Как ясно из определения, чтобы найти сумму двух матриц нужно просто каждый элемент одной матрицы сложить с каждый элементом второй матрицы.

Как видите здесь сложного абсолютно ничего нет, так можно складывать и три и более матриц.

Произведение матрицы на число

Произведением матрицы на число называется матрица  такая, что , где

Рассмотрим пример.

ПРИМЕР 2. Умножь матрицу А на число 2.

;

Эта операция, наверное, еще проще предыдущей. Нужно просто число умножить на каждый элемент матрицы А.

Произведение двух матриц

Произведением матрицы на матрицу  называется матрица такая, что

Условие: количество столбцов первой матрицы должно совпадать с количеством строк второй матрицы, иначе умножение невозможно!

Здесь уже более сложно так, что будьте внимательны. Чтобы сперва понять, возьмем пример самый простой с квадратными матрицами второго порядка.

ПРИМЕР 3. Вычислить произведение двух матриц.

;

Сразу, я вам не советую составлять матрицы, а делать все постепенно, подробно расписывая. Потом, когда приловчитесь, будете записывать все кратко и большинство действий проделывать в голове.

Поэтому по-порядку, распишем каждое получаемое число:

Если записываете данные вычисления в тетради, то не забудьте выделить с обоих сторон фигурными скобками, обозначая отступление от решения { }.

Теперь можно записать получившуюся матрицу С, не забывайте — первое число элемента матрицы — это строка, второе число — столбец.

В итоге, получаем

ЗАПОМНИТЕ!  При умножении матриц НЕ действует закон коммутативности (от перестановки мест множителей произведение не меняется). В матрицах произведение меняется, т. е. у вас не получится поменять местами две матрицы.

Так, думаю, стоит рассмотреть еще один пример на умножение, но уже по-сложнее, к примеру, третьей размерности возьмем матрицы.

ПРИМЕР 4. Вычислить произведение двух матриц.

;

Также распишем каждый элемент матрицы:

Вот и все, а теперь, запишем, полученную матрицу:

Транспонирование матрицы

Матрица называется транспонированной матрицей , если

, где

ПРИМЕР 5. Транспонировать матрицу А:

Как видите первый столбец стал первой строкой, второй столбец второй строкой и так далее. Ничего сложного не вижу в этом и обычно у студентов проблем с транспонированием не возникает.

Свойства операций над матрицами

3.        ВНИМАТЕЛЬНО!
5. ; 
10.     ВНИМАТЕЛЬНО!

Ну думаю для первой темы вам будет предостаточно, в принципе ничего сложного, ведь все операции над матрицами сводятся к простым арифметическим операциям, которые вы надеюсь умеете выполнять еще с начальной школы.

Уроки по теории вероятности

Данная статья занесена в архив так как написана новая, возможно более понятная статья, переходите по ссылке на нее http://mathcentr.ru/matritsa-i-operatsii-nad-nej/ Как вы, наверное, уже поняли матрицы ничем не отличаются от обычных чисел, по правде говоря — это просто много цифр в одном числе))) И разумеется, существуют такие же операции над матрицами, как и над числами, но не все и

Продолжаем изучать матрицы и сегодня на уроке мы научимся находить и вычислять обратную матрицу.

Мы рассмотрели самые основные тригонометрические функции (не обольщайтесь помимо синуса, косинуса, тангенса и котангенса существует еще целое множество других функций, но о них позже), а пока рассмотрим некоторые основные свойства уже изученных функций. Тригонометрические функции числового аргумента Какое бы действительное число ни взять, ему можно поставить в соответствие однозначно определенное число . Правда, правило соответствия

Я решил, что не будем слишком долго разжевывать теоретическую часть введения в тригонометрию так, как в любом случае мало кто ее будет читать и уж тем более маловероятно, что он там все поймет. Я считаю, что лучший способ изучения математики — это не зубрежка, а работа с конкретными примерами и чем больше тем лучше. Поэтому

Сегодня, мы рассмотрим тему «Прогрессии», которую большинство в школе либо не понимают, либо после забывают, хотя делать этого не нужно! Числовые последовательности Если каждому натуральному числу поставлено в соответствие некоторое действительное число , то говорят, что задана числовая последовательность (или просто последовательность): Кратко последовательность обозначают символом {} или (), число называют членом или элементом этой

Операции над матрицами в R

Матрицы в R представляют собой набор значений, действительных или комплексных чисел, расположенных в группе с фиксированным числом строк и столбцов. Матрицы используются для отображения данных в структурированном и хорошо организованном формате. Элементы матрицы необходимо заключать в круглые скобки или скобки. Ниже показана матрица из 9 элементов. Эта матрица [M] имеет 3 строки и 3 столбца. К каждому элементу матрицы [M] можно обращаться по номеру строки и столбца. Например, ₂₃ = 6 Порядок матрицы : Порядок матрицы определяется количеством строк и столбцов. Порядок матрицы = количество строк × количество столбцов. Следовательно, матрица [M] является матрицей порядка 3 × 3.

Операции с матрицами

Существует четыре основных операции, т. е. DMAS (деление, умножение, сложение, вычитание ), что можно сделать с матрицами. Обе матрицы, участвующие в операции, должны иметь одинаковое количество строк и столбцов.

Сложение матриц

Сложение двух одинаковых упорядоченных матриц и дает матрицу, в которой каждый элемент представляет собой сумму соответствующих элементов входных матриц.

Python3

В приведенном выше коде nrow(B) задает количество строк в B, а ncol(B) задает количество столбцов. Здесь sum — это пустая матрица того же размера, что и B и C. Элементы sum — это сложение соответствующих элементов B и C через вложенные циклы for. Использование оператора «+» для добавления матрицы: Аналогично, следующий скрипт R использует встроенный оператор +: 

Python3

 [1] [2] [3]
[1,] 1 3 5
[2,] 2 4 6
     [1] [2] [3]
[1,] 7 9 11
[2,] 8 10 12
     [1] [2] [3]
[1,]-6-6-6
[2,]-6-6-6
  

 [1] [2] [3]
[1,] 2+0i -3+2i 0.54+0i 

 [ 1] [2] [3]
[1,] 1 3 5
[2,] 2 4 6
     [1] [2] [3]
[1,] 7 911
[2,] 8 10 12
          [1] [2] [3]
[1,] 0,1428571 0,3333333 0,4545455
[2,] 0. 2500000 0.4000000 0.5000000