Главная
Определение что такое уравнение в математике: УРАВНЕНИЯ – это… Что такое УРАВНЕНИЯ?

Определение что такое уравнение в математике: УРАВНЕНИЯ – это… Что такое УРАВНЕНИЯ?

Содержание

УРАВНЕНИЯ – это… Что такое УРАВНЕНИЯ?


где lg – логарифм по основанию 10.
Дифференциальные уравнения. Так называются уравнения, содержащие одну или несколько функций и их производные или дифференциалы. Дифференциальные уравнения оказались исключительно ценным средством точной формулировки законов природы.
Интегральные уравнения. Уравнения, содержащие неизвестную функцию под знаком интеграла, например, f (s) = тK (s, t) f (t) dt, где f (s) и K(s,t) заданы, а f (t) требуется найти.
Диофантовы уравнения. Диофантовым уравнением называется алгебраическое уравнение с двумя или более неизвестными с целыми коэффициентами, решение которого ищется в целых или рациональных числах. Например, уравнение 3x – 5y = 1 имеет решение x = 7, y = 4; вообще же его решениями служат целые числа вида x = 7 + 5n, y = 4 + 3n.
РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Для всех перечисленных выше типов уравнений общих методов решения не существует. И все же во многих случаях, особенно для алгебраических уравнений определенного типа, имеется достаточно полная теория их решения.
Линейные уравнения. Эти простые уравнения решаются путем их сведения к эквивалентному уравнению, из которого непосредственно видно значение неизвестного. Например, уравнение x + 2 = 7 можно свести к эквивалентному уравнению x = 5 вычитанием числа 2 из правой и левой частей. Шаги, совершаемые при сведении простого уравнения, например, x + 2 = 7, к эквивалентному, основаны на использовании четырех аксиом. 1. Если равные величины увеличить на одно и то же число, то результаты будут равны. 2. Если из равных величин вычесть одно и то же число, то результаты будут равны. 3. Если равные величины умножить на одно и то же число, то результаты будут равны. 4. Если равные величины разделить на одно и то же число, то результаты будут равны. Например, чтобы решить уравнение 2x + 5 = 15, мы воспользуемся аксиомой 2 и вычтем число 5 из правой и левой частей, в результате чего получим эквивалентное уравнение 2x = 10. Затем мы воспользуемся аксиомой 4 и разделим обе части полученного уравнения на 2, в результате чего исходное уравнение сведется к виду x = 5, что и является искомым решением.
Квадратные уравнения. Решения общего квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 можно получить с помощью формулы
Таким образом, существуют два решения, которые в частном случае могут совпадать.
Другие алгебраические уравнения. Явные формулы, аналогичные формуле для решения квадратного уравнения, можно выписать только для уравнений третьей и четвертой степеней. Но и эти формулы сложны и далеко не всегда помогают легко находит корни. Что же касается уравнений пятой степени или выше, то для них, как доказал Н.Абель в 1824, нельзя указать общую формулу, которая выражала бы корни уравнения через его коэффициенты при помощи радикалов. В отдельных частных случаях уравнения высших степеней удается легко решить, факторизуя их левую часть, т.е. разлагая ее на множители. Например, уравнение x3 + 1 = 0 можно записать в факторизованном виде (x + 1)(x2 – x + 1) = 0. Решения мы находим, полагая каждый из множителей равным нулю: Таким образом, корни равны x = -1,
, т.е. всего 3 корня. Если уравнение не факторизуется, то следует воспользоваться приближенными решениями. Основные методы нахождения приближенных решений были разработаны Горнером, Ньютоном и Греффе. Однако во всех случаях существует твердая уверенность в том, что решение существует: алгебраическое уравнение n-й степени имеет ровно n корней.
Системы линейных уравнений. Два линейных уравнения с двумя неизвестными можно записать в виде
Если же D = 0, то возможны два случая. (1) По крайней мере один из определителей
и
отличен от нуля. В этом случае решения уравнений не существует; уравнения несовместны. Численный пример такой ситуации – система

(2) Оба определителя равны нулю. В этом случае второе уравнение просто кратно первому и существует бесконечное число решений. Общая теория рассматривает m линейных уравнений с n переменными:
Если m = n и матрица (aij) невырожденна, то решение единственно и может быть найдено по правилу Крамера:
где Aji – алгебраическое дополнение элемента aij в матрице (aij). В более общем плане существуют следующие теоремы. Пусть r – ранг матрицы (aij), s – ранг окаймленной матрицы (aij; bi), которая получается из aij присоединением столбца из чисел bi. Тогда: (1) если r = s, то существует n – r линейно независимых решений; (2) если r
См. также АЛГЕБРА.

Энциклопедия Кольера. — Открытое общество. 2000.

  • ЧИСЛО e
  • КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ

Смотреть что такое “УРАВНЕНИЯ” в других словарях:

  • Уравнения — Уравнение равенство вида или , где f и g функции (в общем случае векторные) одного или нескольких аргументов, а также задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут… …   Википедия

  • уравнения — решать дифференциальные уравнения • решение …   Глагольной сочетаемости непредметных имён

  • Уравнения Эйлера — Лагранжа

    — Уравнения Эйлера  Лагранжа (в физике также уравнения Лагранжа Эйлера или уравнения Лагранжа) являются основными формулами вариационного исчисления, c помощью которых ищутся стационарные точки и экстремумы функционалов. В частности, эти… …   Википедия

  • Уравнения Навье — Стокса — Механика сплошных сред Сплошная среда Классическая меха …   Википедия

  • Уравнения Рейнольдса — (англ. RANS (Reynolds averaged Navier Stokes))  уравнения Навье Стокса (уравнения движения вязкой жидкости) осредненные по Рейнольдсу. Используются для описания турбулентных течений. Метод осреднения Рейнольдса заключается в замене случайно… …   Википедия

  • Уравнения Эйлера-Лагранжа — Уравнения Эйлера  Лагранжа являются основными формулами вариационного исчисления, c помощью которых ищутся экстремумы функционалов. В частности, эти уравнения широко используются в задачах оптимизации, и, совместно с принципом действия,… …   Википедия

  • Уравнения Прока — Уравнения Прока  обобщение уравнений Максвелла, призванное описывать массивные частицы со спином 1. Уравнения Прока обычно записываются в виде , где   антисимметричный тензор электромагнитного поля …   Википедия

  • Уравнения Петерсона ― Кодацци — Уравнения Петерсона ― Майнарди ― Кодацци ― уравнения, составляющие вместе с уравнением Гаусса необходимые и достаточные условия интегрируемости системы, к которой сводится задача восстановления поверхности по её первой и второй квадратичным… …   Википедия

  • Уравнения Рауса — Уравнения Рауса  дифференциальные уравнения движения механической системы в переменных Рауса. Предложены Э. Раусом (англ.)русск. в 1867 г. Для системы с s степенями свободы, находящейся под действием потенциальных сил, уравнения… …   Википедия

  • Уравнения Фаддеева — Уравнения Фаддеева  это уравнения, которые описывают все возможные взаимодействия в системе трёх частиц в полной квантовомеханической формулировке. Установлены Л. Д. Фаддеевым. Уравнения могут быть решены итерационным способом. В… …   Википедия


2 класс. Математика. Понятие «уравнение». Корень уравнения. Решение уравнений – Понятие «уравнение». Корень уравнения. Решение уравнений

Комментарии преподавателя

§1. Что такое уравнение?

Вам уже знакомы такие математические понятия, как «выражение», «равенство», «неравенство».

«Уравнение» – это еще одно математическое понятие, с ним мы и познакомимся в этом уроке.

Давайте попробуем решить следующую задачу:

Фрекен Бок испекла 5 пирожков и положила их на тарелку.

 

Когда она отошла от стола, Карлсон подлетел и взял несколько пирожков.

 

На тарелке осталось только 2 пирожка.

 

Сколько пирожков взял Карлсон?

 

На основании условий задачи мы можем сделать такую запись: Всего Фрекен Бок испекла 5 пирожков. Запишем число 5.

Карлсон взял пирожки, следовательно, количество пирожков уменьшилось, поэтому поставим знак  « – ».

Сколько Карлсон взял пирожков, неизвестно, поэтому вместо числа оставим пустую клетку.

Всего на тарелке осталось 2 пирожка.

Запишем = 2.

 

 

 

Теперь давайте вместо пустой клетки – неизвестного числа, вставим букву, например, а. Получится следующая запись: 5 – а = 2

Такие равенства, в которых есть неизвестные числа, обозначенные буквой, называютуравнениями.

§2. Корень уравнение и метод подбора при решении уравнения

В уравнениях могут присутствовать любые математические знаки,  как «–», так  «+», например:  5 – а = 2, 5 + а = 9

В уравнениях неизвестное число принято обозначать малыми буквами латинского алфавита: a, b, c и т.д. Часто используют буквы x, y, z.

Например:

6 + у = 13

z – 8 = 3

х + 5 = 9

Вернемся к задаче про пирожки.

Полученное нами уравнение выглядит таким образом: 5 – а = 2.

Давайте попытаемся определить, какое число спряталось за буквой а?

Для этого будем подставлять вместо а разные числа до тех пор, пока не найдем число, подстановка которого сделает это равенство верным.

Подставим вместо а число 1.

Получим 5 – 1 = 2.

Но это неверное равенство, так как 5 – 1 = 4, а не 2.

Значит, а не может быть равным 1.

Подставим вместо а число 2.

Получим 5 – 2 = 2.

Это тоже неверное равенство, т.к. 5 – 2 = 3, а не 2.

Следовательно, а не может быть равным 2.

Подставим вместо а число 3.

Получим 5 – 3 = 2.

Мы получили верное равенство.

Значит, в уравнении 5 – а = 2 за  буквой а спряталось число 3.

Число, которое превращает уравнение в верное равенство, называется корнем уравнения.

Следовательно, в нашем случае число 3 является корнем уравнения 5 – а = 2.

Способ, с помощью которого мы нашли корень уравнения, называется методом подбора.

Итак, подведем итоги урока:

Уравнение – это равенство, в котором есть неизвестное число, обозначенное латинской буквой.

Число, которое превращает уравнение в верное равенство, называется корнем уравнения.

 

ИСТОЧНИКИ

https://vimeo.com/112468248

http://znaika.ru/catalog/2-klass/matematika/Ponyatie-%C2%ABuravnenie%C2%BB.-Koren-uravneniya.-Reshenie-uravneniy

http://www.youtube.com/watch?v=Hbm7kWk5J34

http://www.youtube.com/watch?v=uzAgNOT5D0E

Файлы

Нет дополнительных материалов для этого занятия.

УРАВНЕНИЯ | Энциклопедия Кругосвет

Содержание статьи

УРАВНЕНИЯ. Уравнением называется математическое соотношение, выражающее равенство двух алгебраических выражений. Если равенство справедливо для любых допустимых значений входящих в него неизвестных, то оно называется тождеством; например, соотношение вида (x – 1)2 = (x – 1)(x – 1) выполняется при всех значениях переменной x. Для обозначения тождества часто вместо обычного знака равенства = пишут знак є, который читается «тождественно равно». Тождества используются в алгебре при записи разложения многочленов на множители (как в приведенном выше примере). Встречаются они и в тригонометрии в таких соотношениях, как sin2x + cos2x = 1, а в общем случае выражают формальное отношение между двумя на первый взгляд различными математическими выражениями.

Если уравнение, содержащее переменную x, выполняется только при определенных, а не при всех значениях x, как в случае тождества, то может оказаться полезным определить те значения x, при которых это уравнение справедливо. Такие значения x называются корнями или решениями уравнения. Например, число 5 является корнем уравнения 2x + 7= 17.

Уравнения служат мощным средством решения практических задач. Точный язык математики позволяет просто выразить факты и соотношения, которые, будучи изложенными обычным языком, могут показаться запутанными и сложными. Неизвестные величины, обозначаемые в задаче символами, например x, можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде уравнений. Методы решения уравнений составляют в основном предмет того раздела математики, который называется теорией уравнений.

ТИПЫ УРАВНЕНИЙ

Алгебраические уравнения.

Уравнения вида fn = 0, где fn – многочлен от одной или нескольких переменных, называются алгебраическими уравнениями. Многочленом называется выражение вида

fn = a0 xiyj … vk + a1 xlym … vn + ј + asxpyq … vr,

где x, y,…, v – переменные, а i, j,…, r – показатели степеней (целые неотрицательные числа). Многочлен от одной переменной записывается так:

f(x) = a0xn + a1xn – 1 +… + an – 1x + an

или, в частном случае, 3x4 – x3 + 2x2 + 4x – 1. Алгебраическим уравнением с одним неизвестным называется любое уравнение вида f(x) = 0. Если a0 № 0, то n называется степенью уравнения. Например, 2x + 3 = 0 – уравнение первой степени; уравнения первой степени называются линейными, так как график функции y = ax + b имеет вид прямой. Уравнения второй степени называются квадратными, а уравнения третьей степени – кубическими. Аналогичные названия имеют и уравнения более высоких степеней.

Трансцендентные уравнения.

Уравнения, содержащие трансцендентные функции, такие, как логарифмическая, показательная или тригонометрическая функция, называются трансцендентными. Примером могут служить следующие уравнения:

где lg – логарифм по основанию 10.

Дифференциальные уравнения.

Так называются уравнения, содержащие одну или несколько функций и их производные или дифференциалы. Дифференциальные уравнения оказались исключительно ценным средством точной формулировки законов природы. См. также ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Интегральные уравнения.

Уравнения, содержащие неизвестную функцию под знаком интеграла, например, f (s) = тK (s, t) f (t) dt, где f (s) и K(s,t) заданы, а f (t) требуется найти.

Диофантовы уравнения.

Диофантовым уравнением называется алгебраическое уравнение с двумя или более неизвестными с целыми коэффициентами, решение которого ищется в целых или рациональных числах. Например, уравнение 3x – 5y = 1 имеет решение x = 7, y = 4; вообще же его решениями служат целые числа вида x = 7 + 5n, y = 4 + 3n.

РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Для всех перечисленных выше типов уравнений общих методов решения не существует. И все же во многих случаях, особенно для алгебраических уравнений определенного типа, имеется достаточно полная теория их решения.

Линейные уравнения.

Эти простые уравнения решаются путем их сведения к эквивалентному уравнению, из которого непосредственно видно значение неизвестного. Например, уравнение x + 2 = 7 можно свести к эквивалентному уравнению x = 5 вычитанием числа 2 из правой и левой частей. Шаги, совершаемые при сведении простого уравнения, например, x + 2 = 7, к эквивалентному, основаны на использовании четырех аксиом.

1. Если равные величины увеличить на одно и то же число, то результаты будут равны.

2. Если из равных величин вычесть одно и то же число, то результаты будут равны.

3. Если равные величины умножить на одно и то же число, то результаты будут равны.

4. Если равные величины разделить на одно и то же число, то результаты будут равны.

Например, чтобы решить уравнение 2x + 5 = 15, мы воспользуемся аксиомой 2 и вычтем число 5 из правой и левой частей, в результате чего получим эквивалентное уравнение 2x = 10. Затем мы воспользуемся аксиомой 4 и разделим обе части полученного уравнения на 2, в результате чего исходное уравнение сведется к виду x = 5, что и является искомым решением.

Квадратные уравнения.

Решения общего квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 можно получить с помощью формулы

Таким образом, существуют два решения, которые в частном случае могут совпадать.

Другие алгебраические уравнения.

Явные формулы, аналогичные формуле для решения квадратного уравнения, можно выписать только для уравнений третьей и четвертой степеней. Но и эти формулы сложны и далеко не всегда помогают легко находит корни. Что же касается уравнений пятой степени или выше, то для них, как доказал Н.Абель в 1824, нельзя указать общую формулу, которая выражала бы корни уравнения через его коэффициенты при помощи радикалов. В отдельных частных случаях уравнения высших степеней удается легко решить, факторизуя их левую часть, т.е. разлагая ее на множители.

Например, уравнение x3 + 1 = 0 можно записать в факторизованном виде (x + 1)(x2 – x + 1) = 0. Решения мы находим, полагая каждый из множителей равным нулю:

Таким образом, корни равны x = –1, , т.е. всего 3 корня.

Если уравнение не факторизуется, то следует воспользоваться приближенными решениями. Основные методы нахождения приближенных решений были разработаны Горнером, Ньютоном и Греффе. Однако во всех случаях существует твердая уверенность в том, что решение существует: алгебраическое уравнение n-й степени имеет ровно n корней.

Системы линейных уравнений.

Два линейных уравнения с двумя неизвестными можно записать в виде

Решение такой системы находится с помощью определителей

Оно имеет смысл, если Если же D = 0, то возможны два случая. (1) По крайней мере один из определителей и отличен от нуля. В этом случае решения уравнений не существует; уравнения несовместны. Численный пример такой ситуации – система

(2) Оба определителя равны нулю. В этом случае второе уравнение просто кратно первому и существует бесконечное число решений.

Общая теория рассматривает m линейных уравнений с n переменными:

Если m = n и матрица (aij) невырожденна, то решение единственно и может быть найдено по правилу Крамера:

где Aji – алгебраическое дополнение элемента aijв матрице (aij). В более общем плане существуют следующие теоремы. Пусть r – ранг матрицы (aij), s – ранг окаймленной матрицы (aij; bi), которая получается из aij присоединением столбца из чисел bi. Тогда: (1) если r = s, то существует n – r линейно независимых решений; (2) если r , то уравнения несовместны и решений не существует.

Уравнение и его корни: определения, примеры

После того, как мы изучили понятие равенств, а именно один из их видов – числовые равенства, можно перейти к еще одному важному виду – уравнениям. В рамках данного материала мы объясним, что такое уравнение и его корень, сформулируем основные определения и приведем различные примеры уравнений и нахождения их корней.

Понятие уравнения

Обычно понятие уравнения изучается в самом начале школьного курса алгебры. Тогда оно определяется так:

Определение 1

Уравнением называется равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.

Принято обозначать неизвестные маленькими латинскими буквами, например, t, r, m др., но чаще всего используются x, y, z. Иными словами, уравнение определяет форма его записи, то есть равенство будет уравнением только тогда, когда будет приведен к определенному виду – в нем должна быть буква, значение которое надо найти.

Приведем несколько примеров простейших уравнений. Это могут быть равенства вида x=5, y=6 и т.д., а также те, что включают в себя арифметические действия, к примеру, x+7=38, z−4=2, 8·t=4, 6:x=3.

После того, как изучено понятие скобок, появляется понятие уравнений со скобками. К ним относятся 7·(x−1) =19, x+6·(x+6·(x−8))=3 и др. Буква, которую надо найти, может встречаться не один раз, а несколько, как, например, в уравнении x+2+4·x−2−x=10. Также неизвестные могут быть расположены не только слева, но и справа или в обеих частях одновременно, например, x·(8+1)−7=8, 3−3=z+3 или 8·x−9=2·(x+17).

Далее, после того, как ученики знакомятся с понятием целых, действительных, рациональных, натуральных чисел, а также логарифмами, корнями и степенями, появляются новые уравнения, включающие в себя все эти объекты. Примерам таких выражений мы посвятили отдельную статью.

В программе за 7 класс впервые возникает понятие переменных. Это такие буквы, которые могут принимать разные значения (подробнее см. в статье о числовых, буквенных выражениях и выражениях с переменными). Основываясь на этом понятии, мы можем дать новое определение уравнению:

Определение 2

Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.

То есть, к примеру, выражение x+3=6·x+7 – это уравнение с переменной x, а 3·y−1+y=0 – уравнение с переменной y.

В одном уравнении может быть не одна переменная, а две и более. Их называют соответственно уравнениями с двумя, тремя переменными и др. Запишем определение:

Определение 3

Уравнениями с двумя (тремя, четырьмя и более) переменными называют уравнения, которые включают в себя соответствующее количество неизвестных.

К примеру, равенство вида 3,7·x+0,6=1 является уравнением с одной переменной x, а x−z=5 – уравнением с двумя переменными x и z. Примером уравнения с тремя переменными может быть выражение x2+(y−6)2+(z+0,6)2=26.

Корень уравнения

Когда мы говорим об уравнении, сразу возникает необходимость определиться с понятием его корня. Попробуем объяснить, что оно означает.

Пример 1

Нам дано некое уравнение, включающее в себя одну переменную. Если мы подставим вместо неизвестной буквы число, то уравнение станет числовым равенством – верным или неверным. Так, если в уравнении a+1=5 мы заменим букву числом 2, то равенство станет неверным, а если 4, то получится верное равенство 4+1=5.

Нас больше интересуют именно те значения, с которыми переменная обратится в верное равенство. Они и называются корнями или решениями. Запишем определение.

Определение 4

Корнем уравнения называют такое значение переменной, которое обращает данное уравнение в верное равенство.

Корень также можно назвать решением, или наоборот – оба эти понятия означают одно и то же.

Пример 2

Возьмем пример для пояснения этого определения. Выше мы приводили уравнение a+1=5. Согласно определению, корнем в данном случае будет 4, потому что при подстановке вместо буквы оно дает верное числовое равенство, а двойка не будет решением, поскольку ей отвечает неверное равенство 2+1=5.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Сколько корней может иметь одно уравнение? Любое ли уравнение имеет корень? Ответим на эти вопросы.

Уравнения, не имеющие ни одного корня, тоже существуют. Примером может быть 0·x=5. Мы можем подставить в него бесконечно много разных чисел, но ни одно из них не превратит его в верное равенство, поскольку умножение на 0 всегда дает 0.

Также бывают уравнения, имеющие несколько корней. У них может быть как конечное, так и бесконечно большое количество корней.

Пример 3

Так, в уравнении x−2=4 есть только один корень – шесть, в x2=9 два корня ­­– три и минус три, в x·(x−1)·(x−2)=0 три корня – нуль, один и два, в уравнении x=x корней бесконечно много.

Теперь поясним, как правильно записывать корни уравнения. Если их нет, то мы так и пишем: «уравнение корней не имеет». Можно также в этом случае указать знак пустого множества ∅. Если корни есть, то пишем их через запятую или указываем как элементы множества, заключив в фигурные скобки. Так, если у какого-либо уравнения есть три корня -2, 1 и 5, то пишем -2, 1, 5 или {-2, 1, 5}.

Допускается запись корней в виде простейших равенств. Так, если неизвестная в уравнении обозначена буквой y, а корнями являются 2 и 7, то мы пишем y=2 и y=7. Иногда к буквам добавляются нижние индексы, например, x1=3, x2=5. Таким образом мы указываем на номера корней. Если решений у уравнения бесконечно много, то мы записываем ответ как числовой промежуток или используем общепринятые обозначения: множество натуральных чисел обозначается N, целых ­– Z, действительных – R. Скажем, если нам надо записать, что решением уравнения будет любое целое число, то мы пишем, что x∈Z, а если любое действительное от единицы до девяти, то y∈1, 9.

Когда у уравнения два, три корня или больше, то, как правило, говорят не о корнях, а о решениях уравнения. Сформулируем определение решения уравнения с несколькими переменными.

Определение 5

Решение уравнения с двумя, тремя и более переменными – это два, три и более значения переменных, которые обращают данное уравнение в верное числовое равенство.

Поясним определение на примерах.

Пример 4

Допустим, у нас есть выражение x+y=7, которое представляет из себя уравнение с двумя переменными. Подставим вместо первой единицу, а вместо второй двойку. У нас получится неверное равенство, значит, эта пара значений не будет решением данного уравнения. Если же мы возьмем пару 3 и 4, то равенство станет верным, значит, мы нашли решение.

Такие уравнения тоже могут не иметь корней или иметь бесконечное их количество. Если нам надо записать два, три, четыре и более значений, то мы пишем их через запятую в круглых скобках. То есть в примере выше ответ будет выглядеть как (3,4).

На практике чаще всего приходится иметь дело с уравнениями, содержащими одну переменную. Алгоритм их решения мы подробно рассмотрим в статье, посвященной решению уравнений.

Что такое уравнение и в чем его смысл?

Вообще любое уравнение – это математическая модель чашечных весов (рычажных, равноплечих, коромысловых – названий много), изобретенных в древнем Вавилоне 7000 лет назад или еще раньше. Более того, я даже думаю, что именно чашечные весы, использовавшиеся на древнейших базарах, и стали прообразом уравнений. И если смотреть на любое уравнение не как на непонятный набор цифр и букв, связанный двумя параллельными палочками, а как на чаши весов, то и со всем остальным проблем не будет:

Любое уравнение подобно уравновешенным чашам весов

Так уж получилось, что уравнений в нашей жизни с каждым днем все больше, а понимания, что такое уравнение и в чем его смысл – все меньше. Во всяком случае у меня сложилось такое впечатление при попытке объяснить старшей дочери смысл простейшего математического уравнения типа:

х + 2 = 8 (500.1)

Т.е. в школе конечно же объясняют, что в таких случаях чтобы найти х, нужно из правой части вычесть 2:

х = 8 – 2 (500.3)

Это, конечно же, абсолютно правильное действие, но почему нужно именно вычесть, а не, например, прибавить или разделить, в школьных учебниках объяснения нет. Просто есть правило, которое нужно тупо выучить:

При переносе члена уравнения из одной части в другую его знак меняется на противоположный.

А как сие правило понимать школьнику 10 лет от роду и в чем его смысл, это вы уж сами думайте-решайте. Более того, выяснилось, что и мои близкие родственники тоже никогда не понимали смысла уравнений, а просто заучивали на память то, что требовалось (и вышеуказанное правило в частности), а уж потом применяли это, как бог на душу положит. Мне такое положение дел не понравилось, поэтому я и решил написать данную статью (растет младший, ему через несколько лет опять придется это объяснять, да и немногочисленным читателям моего сайта это тоже может пригодиться).

Сразу хочу сказать, что хоть я 10 лет учился в школе, но при этом никаких правил и определений, относящихся к техническим дисциплинам, никогда не учил. Т.е. если что-то понятно, то оно и так запомнится, а если что-то не понятно, то какой смысл его зубрить, не понимая смысла, если оно все равно забудется? А кроме того, если мне что-то не понятно, значит, оно мне и не надо (это я только недавно осознал, что если я чего-то не понимал в школе, то это была не моя вина, а вина преподавателей, учебников и вообще системы образования).

Такой подход обеспечивал мне массу свободного времени, которого в детстве так не хватает на всякие игры и развлечения. При этом я участвовал в различных олимпиадах по физике, химии, а одну районную по математике даже выиграл. Но время шло, количество дисциплин, оперирующих абстрактными понятиями, только увеличивалось и соответственно мои оценки снижались. На первом курсе института количество дисциплин, оперирующих абстрактными понятиями, составляло абсолютное большинство и я конечно же был полным троечником. Но потом, когда мне по ряду причин пришлось самому без помощи лекций и конспектов разбираться с сопроматом и я его как бы понял, дело пошло на лад и закончилось красным дипломом. Впрочем сейчас не об этом, а о том, что в связи с указанной спецификой мои понятия и определения могут значительно отличаться от преподаваемых в школе.

А теперь продолжим

Простейшие уравнения, аналогия с весами

Вообще-то детей приучают сравнивать различные предметы еще в дошкольном возрасте, когда они еще и говорить-то толком не умеют. Начинают как правило с геометрических сравнений. Например, показывают ребенку два кубика и ребенок должен определить, какой кубик больше, а какой меньше. А если они одинаковые, то это и есть равенство по размеру. Затем задача усложняется, ребенку показывают предметы различных форм, различных цветов и выбрать одинаковые предметы ребенку становится все сложнее. Однако мы не будем так сильно усложнять задачу, а остановимся лишь на одном виде равенства – денежно-весовом.

Когда чаши весов находятся на одном горизонтальном уровне (стрелки чашечных весов, показанные на рисунке 500.1 оранжевым и голубым цветом, совпадают, горизонтальный уровень показан черной жирной чертой), то это значит, что на правой чаше весов находится столько же груза, сколько на левой чаше. В простейшем случае это могут быть гири весом в 1 кг:

Рисунок 500.1.

И тогда мы получаем простейшее уравнение 1 = 1. Впрочем уравнение это только для меня, в математике подобные выражения называют равенством, но суть от этого не меняется. Если мы с левой чаши весов уберем гирю и положим на нее что угодно, хоть яблоки, хоть гвозди, хоть красную икру и при этом чаши весов будут на одном горизонтальном уровне, то это будет по-прежнему означать, что 1 кг любого из указанных продуктов равен 1 кг гирьки, оставшейся на правой части весов. Остается лишь заплатить за этот килограмм согласно установленной продавцом цене. Другое дело, что вам может не нравиться цена, или возникли сомнения в точности весов – но это уже вопросы экономико-правовых отношений, к математике прямого отношения не имеющие.

Конечно же, в те далекие времена, когда появились чашечные весы, все было значительно проще. Во-первых, не было такой меры веса, как килограмм, а были денежные единицы, соответствующие мерам весов, например, таланты, шекели, фунты, гривны и пр. (кстати, меня давно удивляло, что есть фунт – денежная единица и фунт – мера веса, есть гривна – денежная единица, а когда-то гривна была мерой веса, и только недавно, когда я узнал, что талант – это не только денежная единица древних иудеев, упоминаемая в Ветхом завете, но и мера веса, принятая в древнем Вавилоне, все встало на свои места).

Точнее сначала были меры весов, как правило зерна злаковых культур, а уже потом появились деньги, этим мерам весов соответствующие. Например 60 зерен соответствовали одному шекелю (сиклю), 60 шекелей – одной мине, а 60 мин – одному таланту. Поэтому изначально весы использовались для того, чтобы проверить, не являются ли предлагаемые деньги фальшивыми, а уже потом появились гирьки, как эквивалент денег, обвесы и обсчеты, электронные весы и пластиковые карты, но сути дела это никак не меняет.

В те далекие времена продавцу не нужно было долго и подробно объяснять, сколько будет стоить тот или иной товар. Достаточно было положить на одну чашу весов продаваемый товар, а на вторую покупатель клал деньги – очень просто и наглядно и даже знание местного наречия не требуется, можно торговать в любой точке мира. Но вернемся к уравнениям.

Если рассматривать уравнение (500.1) с позиции весов, то оно означает, что на левой чаше весов находится неизвестное количество килограммов и еще 2 килограмма, а на правой чаше – 8 килограммов:

х + 2кг, = 8кг, (500.1.2)

Примечание: В данном случае нижнее подчеркивание символизирует дно чаш весов, при расчетах на бумаге эта линия может больше напоминать дно чаши весов. Более того, математики уже давно придумали специальные символы – скобки, так вот любые скобки можно рассматривать как борта чаш весов, во всяком случае на первом этапе постижения смысла уравнений. Тем не менее нижнее подчеркивание я для большей наглядности оставлю.

Итак, что нам нужно сделать, что узнать неизвестное количество килограммов? Правильно! Снять с левой и с правой части весов по 2 килограмма, тогда чаши весов останутся на одном горизонтальном уровне, т.е.у нас будет по прежнему равенство:

х + 2кг, – 2кг = 8кг, – 2кг (500.2.2)

Соответственно

х, = 8кг – 2кг, (500.3.2)

х, = 6 кг, (500.4.2)

Рисунок 500.2.

Часто математика оперирует не килограммами, а некими абстрактными безразмерными единицами и тогда запись решения уравнения (500.1) например в черновике будет выглядеть так:

х + 2, = 8, (500.1)

х + 2, – 2 = 8, – 2 (500.2)

х, = 8 – 2, (500.3)

х = 6 (500.4)

Что и отражено на рисунке 500.2.

Примечание: Формально для еще более лучшего понимания  после уравнения (500.2) должно следовать еще одно уравнение вида: х + 2 – 2, = 8 – 2, означающее, что действие завершилось и мы опять имеем дело с равновесными чашами весом. Однако на мой взгляд в такой совсем уж полной записи решения необходимости нет.

В чистовиках обычно используется сокращенная запись решения уравнения, причем сокращаются не только столь необходимые на мой взгляд на начальном этапе изучения уравнений символы чаш весов, но даже и целые уравнения. Так сокращенная запись решения уравнения (500.1) в чистовике согласно приводимым в учебниках примерам будет выглядеть так:

х + 2 = 8 (500.1.1)

х = 8 – 2 (500.3.1)

х = 6 (500.4)

В итоге, при использовании аналогии с весами мы составили дополнительное уравнение (500.2) по сравнению с предлагаемым учебниками то ли методом решения, то ли формой записи этого решения. На мой взгляд это уравнение, к тому же записанное приблизительно в такой форме, т.е. с символичным обозначением чаш весов – это и есть то недостающее звено, важное для понимания смысла уравнений.

Т.е. при решении уравнений мы ничего и никуда с обратным знаком не переносим, а выполняем одинаковые математические действия с левой и с правой частью уравнения.

Просто сейчас принято записывать решение уравнений в сокращенной форме, приведенной выше. За уравнением (500.1.1) сразу следует уравнение (500.3.1), отсюда и следует правило обратных знаков, которое впрочем многим проще запомнить, чем вникать в смысл уравнений.

Примечание: Против сокращенной формы записи я ничего не имею, более того. продвинутые пользователи могут эту форму еще более сокращать, однако делать это следует лишь после того, когда общий смысл уравнений уже четко усвоен.

А еще расширенная запись позволяет понять главные правила решения уравнений:

1. Если мы производим одинаковые математические действия с левой и правой частью уравнений, то равенство сохраняется.

2. Не важно, какая часть в рассматриваемом уравнении левая, а какая правая, мы можем свободно менять их местами.

Эти математические действия могут быть любыми. Мы можем вычитать одно и то же число из левой и из правой части, как показано выше. Мы можем прибавлять одно и то же число к левой и правой части уравнения, например:

х – 2, = 8, (500.5.1)

х – 2, + 2 = 8, + 2 (500.5.2)

х, = 8 + 2, (500.5.3)

х  = 10 (500.5.4)

Мы можем делить или умножать обе части на одно и то же число, например:

3х, = 12, (500.6.1)

3х, : 3 = 12, : 3 (500.6.2)

х, = 12 : 3, (500.6.3)

х  = 4 (500.6.4)

или

3х – 6, = 12, (500.7.1)

3х – 6, + 6 = 12, + 6 (500.7.2)

3х, = 18, (500.7.3)

3х, : 3 = 18, : 3 (500.7.4)

х = 6 (500.7.5)

Мы можем интегрировать или дифференцировать обе части. Мы можем делать все, что угодно с левой и правой частью, но если эти действия будут одинаковыми для левой и правой части, то равенство сохранится (чаши весов останутся на одном горизонтальном уровне).

Конечно же действия нужно выбирать такие, которые позволят максимально быстро и просто определить неизвестную величину.

С этой точки зрения классический метод обратного действия как бы более прост, но как быть, если ребенок еще не изучал отрицательные числа? А между тем составленное уравнение имеет следующий вид:

5 – х = 3 (500.8)

Т.е. при решении этого уравнения классическим методом один из возможных вариантов решения, дающий самую короткую запись, следующий:

– х = 3 – 5 (500.8.2)

– х = – 2 (500.8.3)

х = 2 (500.8.4)

И самое главное – как тут объяснить ребенку почему уравнение (500.8.3) тождественно уравнению (500.8.4)?

Это значит, что в данном случае даже при использовании классического метода экономить на записи нет никакого смысла и сначала нужно избавиться от неизвестной величины в левой части, имеющей отрицательный знак.

5 – х = 3 (500.8)

5 = 3 + х (500.8.5)

3 + х = 5 (500.8.6)

х = 5 – 3 (500.8.7)

х = 2 (500.8.4)

При этом полная запись будет выглядеть так:

5 – х, = 3, (500.8)

5 – х, + х = 3, + х (500.9.2)

5, = 3 + х, (500.9.3)

3 + х, = 5, (500.8.6)

3 + х, – 3 = 5, – 3 (500.9.3)

х, = 5 – 3, (500.8.7)

х = 2 (500.8.4)

Добавлю еще раз. Полная запись решения нужна не для учителей, а для лучшего понимания метода решения уравнений. А когда мы меняем местами левую и правую части уравнения, то это все равно что мы меняем взгляд на весы с точки зрения покупателя на точку зрения продавца, тем не менее равенство при этом сохраняется.

К сожалению, я так и не смог добиться от своей дочери полной записи решения даже в черновиках. У нее железный довод: “нас так не учили”. А между тем сложность составляемых уравнений увеличивается, процент угадываний, какое действие нужно выполнить для определения неизвестной величины, уменьшается, оценки падают. Что с этим делать, не знаю…

Примечание: в современной математике принято различать равенства и уравнения, т.е. 1 = 1 – это просто численное равенство, а если в одной из частей равенства есть неизвестная, которую необходимо найти, то это уже уравнение. Как по мне, то такое дифференцирование значений не имеет большого смысла, а лишь усложняет восприятие материала. Я считаю, что любое равенство можно называть уравнением, а любое уравнение основано на равенстве. А кроме того, возникает вопрос х = 6, это уже равенство или это еще уравнение?

Простейшие уравнения, аналогия со временем

Конечно же, аналогия с весами при решении уравнений является далеко не единственной. Например, решение уравнений можно рассматривать и во временном аспекте. Тогда условие, описываемое уравнением (500.1), будет звучать так:

После того, как мы добавили к неизвестному количеству х еще 2 единицы, у нас стало 8 единиц (настоящее время). Однако нас по тем или иным причинам не интересует, сколько их стало, а интересует сколько их было в прошедшем времени. Соответственно, чтобы узнать, сколько у нас было этих самых единиц, нам нужно произвести обратное действие, т.е. от 8 отнять 2 (уравнение 500.3). Такой подход точно соответствует излагаемому в учебниках, но на мой взгляд, является не таким наглядным, как аналогия с весами. Впрочем мнения по этому поводу могут быть разные.

Пример решения уравнения со скобками

Эту статью я написал летом, когда дочь окончила 4 класс, но не прошло и полгода, как им в школе начали задавать решение уравнений следующего вида:

(97 + 75 : (50 – 5х)) · 3 = 300 (500.10)

Никто в классе решить это уравнение не смог, а между тем в его решении при применении предложенного мной способа нет ничего сложного, вот только полная форма записи будет занимать слишком много места:

(97 + 75 : (50 – 5х)) · 3, : 3 = 300, : 3 (500.10.2)

97 + 75 : (50 – 5х), = 300 : 3, (500.10.3)

97 + 75 : (50 – 5х), = 100, (500.10.4)

97 + 75 : (50 – 5х), – 97 =  100, – 97 (500.10.5)

75 : (50 – 5х), = 100 – 97, (500.10.6)

75 : (50 – 5х), = 3, (500.10.7)

75 : (50 – 5х), · (50 – 5х) = 3, · (50 – 5х) (500.10.8)

75, = 3 · (50 – 5х), (500.10.9)

75, : 3 = 3 · (50 – 5х), : 3 (500.10.10)

75 : 3, = 50 – 5х, (500.10.11)

25, = 50 – 5х, (500.10.12)

25, + 5х = 50 – 5х, + 5х (500.10.13)

25 + 5х, = 50, (500.10.14)

25 + 5х, – 25 = 50, – 25 (500.10.15)

5х, = 50 – 25, (500.10.16)

5х, = 25, (500.10.17)

5х, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)

х, = 25 : 5, (500.10.19)

х = 5 (500.10.20)

Однако на данном этапе в такой полной форме записи нет никакой необходимости. Раз уж мы добрались до двойных скобок, то не обязательно для математических операций в левой и правой части составлять отдельное уравнение, поэтому запись решения в черновике вполне может выглядеть так:

97 + 75 : (50 – 5х), : 3 = 300, : 3, (500.10.2)

97 + 75 : (50 – 5х), = 100, (500.10.4)

97 + 75 : (50 – 5х), – 97 =  100 – 97, (500.10.5)

75 : (50 – 5х), = 3, (500.10.7)

75 : (50 – 5х), · (50 – 5х) = 3, · (50 – 5х) (500.10.8)

75, = 3 · (50 – 5х), (500.10.9)

75, : 3 = 3 · (50 – 5х), : 3 (500.10.10)

25, = 50 – 5х, (500.10.12)

25, + 5х = 50 – 5х, + 5х (500.10.13)

25 + 5х, = 50, (500.10.14)

25 + 5х, – 25 = 50, – 25 (500.10.15)

5х, = 25, (500.10.17)

5х, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)

х = 5 (500.10.20)

Итого на данном этапе потребовалось записать 14 уравнений для решения исходного.

При этом запись решения уравнения в чистовике может выглядеть так:

97 + 75 : (50 – 5х) = 300 : 3 (500.10.3)

97 + 75 : (50 – 5х) = 100 (500.10.4)

75 : (50 – 5х) = 100 – 97 (500.10.6)

75 : (50 – 5х) = 3 (500.10.7)

75 = 3 · (50 – 5х) (500.10.9)

75 : 3 = 50 – 5х (500.10.11)

25 = 50 – 5х (500.10.12)

25 + 5х = 50 (500.10.14)

5х = 50 – 25 (500.10.16)

5х = 25 500.10.17)

х = 25 : 5 (500.10.19)

х = 5 (500.10.20)

Т.е. при сокращенной форме записи нам все равно придется составить 12 уравнений. Экономия в записи при этом минимальная, а вот с пониманием требуемых действий у пятиклассника действительно могут возникнуть проблемы.

P.S. Только когда дело дошло до двойных скобок, дочь заинтересовалась предложенным мной методом решения уравнений, но при этом в ее форме записи даже в черновике все равно уравнений в 2 раза меньше, потому что она пропускает итоговые уравнения типа (500.10.4), (500.10.7) и им подобные, а при записи сразу оставляет место для следующего математического действия. В итоге запись в ее черновике выглядела примерно так:

(97 + 75 : (50 – 5х)) · 3, : 3 = 300, : 3 (500.10.2)

97 + 75 : (50 – 5х), – 97 =  100, – 97 (500.10.5)

75 : (50 – 5х), · (50 – 5х) = 3, · (50 – 5х) (500.10.8)

75, : 3 = 3 · (50 – 5х), : 3 (500.10.10)

25, + 5х = 50 – 5х, + 5х (500.10.13)

25 + 5х, – 25 = 50, – 25 (500.10.15)

5х, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)

х = 5 (500.10.20)

В итоге получилось всего 8 уравнений, что даже меньше, чем требуется при сокращенной записи решения. В принципе я не возражаю, вот только была бы от этого польза.

Вот собственно и все, что мне хотелось сказать по поводу решения простейших уравнений, содержащих одну неизвестную величину. Для решения уравнений, содержащих две неизвестных величины, потребуется больше знаний.

Уравнение с тремя неизвестными | Математика

62. Одно уравнение с тремя неизвестными. Пусть имеем уравнение

3x + 4y – 2z = 11.

На это уравнение можно смотреть, как на запись задачи: найти числовые значения для x, y и z, чтобы трехчлен 3x + 4y – 2z оказался равен числу 11. Таким образом это уравнение является уравнением с тремя неизвестными. Так как мы можем решить одно уравнение с одним неизвестным, то уже с первого взгляда возникает мысль, что 2 неизвестных здесь являются как бы лишними, и им можно давать произвольные значения. И действительно, если, например, взять для y число 3 и для z число 5, то получим уравнение с одним неизвестным:

3x + 12 – 10 = 11,

откуда

3x = 9 и x = 3.

Возьмем другие числа для y и z. Например, пусть

y = –1 и z = 0.

Тогда получим уравнение:

3x – 4 = 11,

откуда

3x = 15 и x = 5.

Продолжая эту работу дальше, мы придем к заключению:

Одно уравнение с тремя неизвестными имеет бесконечно много решений, и для получения их надо двум неизвестным давать произвольные значения.

Результаты этой работы можно записать в таблице (мы, кроме двух уже найденных решений, записали в ней еще одно, которое получится, если положить y = –1 и z = –2):

Так как для y и для z мы берем произвольные значения, то они являются независимыми переменными, а x является зависимым (от них) переменным. Другими словами: x является функциею от y и z.

Чтобы удобнее получать решения этого уравнения, можно определить из него x через y и z. Получим:

3x + 4y – 2z = 11; 3x = 11 – 4y + 2z;
x = (11 – 4y + 2z) / 3.

Дадим, напр., значения: y = 5 и z = 1; получим: x = (11 – 20 + 2) / 3 = –2(1/3) и т. д.

Возьмем еще уравнение

3x – 5y – 2z = 7.

Примем x и y за независимые переменные, а z — за зависимое и определим z через x и y

–2z = 7 – 3x + 5y; 2z = 3x – 5y – 7; z = (3x – 5y – 7) / 2

Теперь легко составить таблицу решений:

 

Решение уравнений с дробями — как решать дробные уравнения

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это запись числа в математике, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которое можно представить число. Есть два формата записи:

        
  • обыкновенный вид — ½ или a/b,
    •     
  • десятичный вид — 0,5.

Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

        
  1. Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 — 0,3)/5.
    2.     
  2. Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x — y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3\5.

                                                                       
Основные свойства дробей
            
                    
  1. Дробь не имеет значения, при условии, если делитель равен нулю.
    2.                 
  2. Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель — нет.
    3.                 
  3. Две дроби a/b и c/d называются равными, если a * d = b * c.
    4.                 
  4. Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь
    5.             
            

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

        
  • Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
    •     
  • Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

                                                                                                 
Линейное уравнение выглядит таках + b = 0, где a и b — действительные числа.             

Что поможет в решении:

            
                    
  • если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = -b : а;
    •                 
  • если а равно нулю — у уравнения нет корней;
    •                 
  • если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.
    •             
            
Квадратное уравнение выглядит так:ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Приходите решать увлекательные задачки по математике в детскую школу Skysmart. Поможем разобраться в сложной теме, подтянем оценки и покажем, что математика может быть захватывающим приключением.

Запишите ребенка на бесплатный вводный урок: познакомим с форматом, выявим пробелы и наметим индивидуальную программу обучения.

Ты можешь записаться на онлайн-уроки по математике для учеников 1-11 классов!

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

 

Как решать уравнения с дробями

                                                                       
Универсальный алгоритм решения
            
                    
  1. Определить область допустимых значений.
    2.                 
  2. Найти общий знаменатель.
    3.                 
  3. Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.
    4.                 
  4. Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.
    5.                 
  5. Решить полученное уравнение.
    6.                 
  6. Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.
    7.                 
  7. Записать ответ, который прошел проверку.
    8.             
            

А теперь еще несколько способов, которые пригодятся ребенку на уроках математики.

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

Как решаем:

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

        
  • подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
    •     
  • умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

                                                                       
Что еще важно учитывать при решении
            
                    
  • если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
    •                 
  • делить и умножать уравнение на 0 нельзя.
    •             
            

А вот и полезные видео для закрепления материала:

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

Как решаем:

        
  1. Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
    2.     
  2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
    3.     
  3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.     

    1 + 2x = 5х

        
    4.     
  4. Решим обычное уравнение.     

    5x — 2х = 1

        

    3x = 1

        

    х = 1/3

        

Ответ: х = 1/3.

Пример 2. Найти корень уравнения

Как решаем:

        
  1. Область допустимых значений: х ≠ −2.
    2.     
  2. Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
    3.     
  3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.     

        
    4.     
  4. Переведем новый множитель в числитель..     

        
    5.     
  5. Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.     

    4 = х + 2

        

    х = 4 — 2 = 2

        

Ответ: х = 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение:

Как решаем:

        
  1. Найти общий знаменатель:     

    3(x-3)(x+3)

        
    2.     
  2. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:     

    3(x+3)(x+3)+3(x-3)(x-3)=10(x-3)(x+3)+3*36

        
    3.     
  3. Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:     

    x2-9=0

        
    4.     
  4. Решим полученное квадратное уравнение:     

    x2=9

        
    5.     
  5. Получили два возможных корня:     

    x1=−3, x2=3

        

    х = 4 — 2 = 2

        
    6.     
  6. Если x = −3, то знаменатель равен нулю:     

    3(x-3)(x+3)=0

        

    Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.

        
    7.     
  7. Вывод: числа −3 и 3 не являются корнями уравнения, значит у данного уравнения нет решения.

Ответ: нет решения.

Если нужно решить уравнение с дробями быстро — поможет онлайн-калькулятор дробей. Пользуйтесь им, если уже разобрались с темой и щелкаете задачки легко и без помощников:

Что такое уравнение в математике? – Определение и примеры – Видео и стенограмма урока

Что такое уравнение?

Что, если бы мы убрали часть числового предложения? Например, предположим, что вы знаете, что хотите пройти 12 уроков, и знаете, что у вас есть время, чтобы выполнить 3 в день. Но нужно знать, сколько дней это займет. Итак, наше числовое предложение теперь выглядит так:

3 *? = 12

Все, что мы сделали, это поставили вопросительный знак вместо неизвестного значения.В вопросительных знаках нет ничего плохого, но в математике мы обычно используем переменную , которая представляет собой просто букву, которую мы используем для замены неизвестного значения.

Поскольку переменная – это просто заполнитель, не имеет значения, какую букву мы используем. Однако ради условности вы часто будете видеть, что x используется в качестве переменной. Если мы сделаем это здесь, то наше числовое предложение будет выглядеть так:

3 * x = 12

Буква x – это количество дней, в течение которых вам нужно будет работать.Теперь у нас есть уравнение , которое представляет собой числовое предложение, в котором переменная заменяет неизвестную информацию.

Другими словами, если вы вынимаете часть числового предложения и заменяете ее переменной, вы создали уравнение.

Примеры

Давайте посмотрим на новый сценарий. У вас есть собака, у которой было 11 щенков. Вы решили, что можете позволить себе оставить 2. Сколько вам нужно будет отдать?

Что ж, давайте посмотрим на числовое предложение, которое мы обычно здесь создаем.Мы начинаем с 11 и вычитаем неизвестное количество щенков. У нас останутся 2 щенка, которых вы можете оставить. Итак:

11 -? = 2

Опять же, мы поместим переменную вместо нашего неизвестного значения. Поскольку здесь мы имеем дело со щенками, мы будем использовать переменную p . (Помните, что мы можем использовать любую букву в качестве переменной, хотя x – очень часто используемая переменная.)

11 – p = 2

Теперь у нас есть уравнение, которое позже мы сможем решить, чтобы найти это неизвестное значение. .

Пример № 2:

Вы заработали 2000 долларов в этом месяце. Ваш арендный платеж составляет 800 долларов. В среднем вы тратите 40 долларов в день. На сколько дней хватит ваших денег?

Что нам действительно нужно сделать, так это отнять (вычесть) 800 долларов из исходных 2000 долларов:

2000 – 800

Затем вам нужно разделить разницу на некоторое количество дней, чтобы получить 40.

(2000 – 800) /? = 40

Снова используйте переменную вместо неизвестного значения:

(2,000-800) / x = 40

Теперь у нас есть уравнение, которое мы можем решить, чтобы определить количество дней, на которые хватит ваших денег. .

Итоги урока

Давайте рассмотрим.

Уравнение – это просто числовое предложение с переменной вместо неизвестного значения. Переменная – это буква, которая подставляется вместо неизвестного значения. Это может быть любая буква, хотя чаще всего используется x .

Быстрое сравнение

Числовое предложение Уравнение
1 + 1 = 2 1 + х = 2

Результаты обучения

Когда вы закончите, вы сможете:

  • Вспомнить разницу между числовым предложением и уравнением
  • Определить уравнение и переменную

Урок по уравнениям для детей: определение и примеры – видео и стенограмма урока

Что такое уравнение?

Уравнение – это математическое предложение, которое имеет две равные стороны, разделенные знаком равенства.

4 + 6 = 10 – это пример уравнения. Слева от знака равенства мы видим 4 + 6, а справа от знака равенства 10.

При решении математических задач, например, при определении того, сколько денег Макс оставил потратить, часть уравнения будет отсутствовать. Уравнение для задачи Макса будет выглядеть так:

Как видите, уравнения также могут иметь константы, коэффициенты, переменные и операторы.

Константы – это числа, которые не меняются. 80 – константа в этом примере.

Коэффициент – это число, прикрепленное к переменной. Коэффициенты используются в уравнениях умножения. Например, 12 – коэффициент в уравнении 12 n = 24.

Переменная – это буква, которая представляет неизвестное число. В этой задаче b – это переменная, которую нам нужно решить.

Оператор сообщает вам, какую операцию использовать, и включает в себя сложение, вычитание, умножение и деление.

Решение уравнений

Чтобы решить это уравнение, Макс должен получить переменную с одной стороны отдельно. Он делает это с помощью обратных операций. Обратные операции подобны противоположностям. Какую бы операцию мы ни видели в уравнении, мы используем для ее решения обратную операцию. В этом случае оператор является знаком сложения. Поэтому мы будем использовать обратную операцию, вычитание, чтобы изолировать переменную.

Кроме того, поскольку уравнения имеют знак равенства, они всегда должны оставаться равными и сбалансированными.Другими словами, что бы мы ни делали с одной стороной уравнения, мы должны делать то же самое с другой стороной. Давай попробуем!

Первый шаг в выделении переменной – вычесть 80 из обеих частей нашего уравнения. 80-е слева отменяют или отменяют друг друга. Теперь наша переменная b находится сама по себе.

Поскольку мы вычли 80 из одной части уравнения, мы должны сделать это и с другой стороны:

Значит, у Макса осталось 40 долларов.Он может купить одну коробку стримеров.

Практика решения уравнений

Хорошо, теперь ваша очередь. Так что возьмите лист бумаги и карандаш. Я расскажу вам о проблеме, но не прокручивайте страницу вниз, чтобы увидеть решение, пока вы не попытаетесь решить ее самостоятельно.

Оскар экономит на покупке велосипеда по цене 245 долларов. Если он уже накопил 62 доллара, сколько еще денег ему нужно, чтобы купить велосипед?

Вот наше уравнение:

Думаете, вы закончили? Хорошо.Продолжайте читать, чтобы увидеть, правильно ли вы решили.

Во-первых, поскольку оператор является знаком «плюс», мы знаем, что нам нужно выполнить обратную операцию вычитания, чтобы изолировать переменную.

Во-вторых, мы также знаем, что то, что мы делаем с одной стороны, мы должны делать с другой.

Итак, вычитая 62 из каждой части уравнения, мы видим, что x = 183.

Оскару нужно сэкономить 183 доллара, чтобы купить байк.

Резюме урока

Хорошо, давайте сделаем пару минут, чтобы повторить то, что мы узнали. Хотя вы можете идентифицировать уравнение по его знаку равенства, поскольку это математические предложения, которые имеют две равные стороны, разделенные знаком равенства, уравнения также могут состоять из констант, переменных, коэффициентов и операторов. При решении уравнений важно использовать обратных операций , которые в основном противоположны по обеим сторонам уравнения, поэтому вы всегда сохраняете его сбалансированность.

Определение выражений и уравнений | Предалгебра

Результаты обучения

  • Находить и записывать математические выражения с помощью слов и символов
  • Определить и написать математические уравнения, используя слова и символы
  • Определите разницу между выражением и уравнением
  • Используйте экспоненциальную запись для выражения многократного умножения
  • Запишите экспоненциальное выражение в развернутом виде

Определить выражения и уравнения

В чем разница между фразой и предложением в английском языке? Фраза выражает отдельную мысль, которая сама по себе является неполной, а предложение – законченное утверждение.«Очень быстро бежал» – это фраза, а «Футболист бежал очень быстро» – это предложение. В предложении есть подлежащее и глагол.

В алгебре у нас есть выражений и уравнений . Выражение похоже на фразу. Вот несколько примеров выражений и их соотношения со словосочетаниями:

Выражение слов Фраза
[латекс] 3 + 5 [/ латекс] [латекс] 3 \ text {plus} 5 [/ латекс] сумма трех и пяти
[латекс] n – 1 [/ латекс] [латекс] н [/ латекс] минус один разница [латекс] н [/ латекс] и одна
[латекс] 6 \ cdot 7 [/ латекс] [латекс] 6 \ text {times} 7 [/ латекс] произведение шести и семи
[латекс] \ frac {x} {y} [/ латекс] [латекс] x [/ латекс] разделить на [латекс] y [/ латекс] частное [латекс] x [/ латекс] и [латекс] y [/ латекс]

Обратите внимание, что фразы не образуют законченное предложение, потому что во фразе нет глагола.Уравнение – это два выражения, соединенных знаком равенства. Когда вы читаете слова, которые символы представляют в уравнении, вы получаете полное предложение на английском языке. Знак равенства дает глагол. Вот несколько примеров уравнений:

Уравнение Приговор
[латекс] 3 + 5 = 8 [/ латекс] Сумма трех и пяти равна восьми.
[латекс] n – 1 = 14 [/ латекс] [латекс] н [/ латекс] минус один равняется четырнадцати.
[латекс] 6 \ cdot 7 = 42 [/ латекс] Произведение шести и семи равно сорока двум.
[латекс] x = 53 [/ латекс] [латекс] х [/ латекс] равен пятидесяти трем.
[латекс] y + 9 = 2y – 3 [/ латекс] [латекс] y [/ latex] плюс девять равно двум [латексу] y [/ latex] минус три.

Выражения и уравнения

Выражение – это число, переменная или комбинация чисел, переменных и символов операций.
Уравнение состоит из двух выражений, соединенных знаком равенства.

пример

Определите, является ли каждое из них выражением или уравнением:

  1. [латекс] 16 – 6 = 10 [/ латекс]
  2. [латекс] 4 \ cdot 2 + 1 [/ латекс]
  3. [латекс] x \ div 25 [/ латекс]
  4. [латекс] y + 8 = 40 [/ латекс]

Решение

1. [латекс] 16 – 6 = 10 [/ латекс] Это уравнение – два выражения связаны знаком равенства.
2. [латекс] 4 \ cdot 2 + 1 [/ латекс] Это выражение – без знака равенства.
3. [латекс] x \ div 25 [/ латекс] Это выражение – без знака равенства.
4. [латекс] y + 8 = 40 [/ латекс] Это уравнение – два выражения связаны знаком равенства.

Упростите выражения с помощью экспонентов

Упростить числовое выражение – значит сделать все возможное.Например, чтобы упростить [латекс] 4 \ cdot 2 + 1 [/ latex], мы сначала умножим [latex] 4 \ cdot 2 [/ latex], чтобы получить [latex] 8 [/ latex], а затем добавить [latex ] 1 [/ latex], чтобы получить [latex] 9 [/ latex]. Хорошая привычка, которую нужно выработать, – работать вниз по странице, записывая каждый шаг процесса под предыдущим. Только что описанный пример будет выглядеть так:

[латекс] 4 \ cdot 2 + 1 [/ латекс]
[латекс] 8 + 1 [/ латекс]
[латекс] 9 [/ латекс]

Предположим, у нас есть выражение [латекс] 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 [/ latex].{5} [/ латекс] [латекс] 12 [/ латекс] в пятой степени

пример

Запишите каждое выражение в экспоненциальной форме:

  1. [латекс] 16 \ cdot 16 \ cdot 16 \ cdot 16 \ cdot 16 \ cdot 16 \ cdot 16 [/ латекс]
  2. [латекс] \ text {9} \ cdot \ text {9} \ cdot \ text {9} \ cdot \ text {9} \ cdot \ text {9} [/ latex]
  3. [латекс] x \ cdot x \ cdot x \ cdot x [/ латекс]
  4. [латекс] a \ cdot a \ cdot a \ cdot a \ cdot a \ cdot a \ cdot a \ cdot a [/ latex]
Показать решение

Решение

1.{4} [/ латекс]
Разверните выражение. [латекс] 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 [/ латекс]
Умножить слева направо. [латекс] 9 \ cdot 3 \ cdot 3 [/ латекс]
[латекс] 27 \ cdot 3 [/ латекс]
Умножить. [латекс] 81 [/ латекс]

Определение уравнения по Merriam-Webster

уравнение | \ i-kwā-zhən также -shən \ б (1) : элемент, влияющий на процесс : фактор

(2) : комплекс переменных факторов

c : состояние приравнивания конкретно : состояние тесной ассоциации или идентификации привести государственные предприятия и оплату за них в непосредственное уравнение – Р.Г. Тагвелл 2а : обычно формальное заявление о равенстве или эквивалентности математических или логических выражений.

б : выражение, представляющее химическую реакцию количественно с помощью химических символов.

Что такое уравнение? – BBC Bitesize

Что такое уравнение?

Вот пример уравнения:

y + 5 = 10

Уравнение должно содержать символ равенства (=).С каждой стороны уравнения будет математическое выражение, поэтому вы можете думать об уравнении как о имеющем левой части и правой части .

Думайте об уравнении как о наборе весов. Вы можете поместить разные количества в левую или правую часть, но чтобы решить эту проблему, каждая сторона должна быть сбалансирована.

Алгебраическое уравнение всегда будет содержать неизвестное . Это представлено символом, например x , y или z .

Решение уравнения означает нахождение значения неизвестного числа с помощью , выполняя одну и ту же операцию с каждой стороны.

При попытке вычислить ответ на уравнение вы должны следовать порядку операций, представленному аббревиатурой BIDMAS : B rackets, I ndices, D ivision, M ultiplication, A ddition и S ubtraction.

Язык алгебры – Написание уравнений

Уравнение математическое предложение, содержащее знак равенства.Это говорит нам, что два выражения означают одно и то же или представляют одно и то же число. Уравнение может содержать переменные и константы. Используя уравнения, мы можем выразить математику краткие факты в легко запоминающихся формах и быстрое решение проблем.

Вот несколько примеры уравнений. Вы можете думать о письмах как о контейнерах или коробках, которые могут содержать разные числа.

Пример 1

3z + 2 = 14 х – 9 = 20 п + 2п = 3

Самое главное навык, развиваемый в алгебре, – это умение перевести словесную задачу на правильное уравнение, чтобы вы могли легко решить проблему.Давай попробуем несколько примеров:

Пример 2

Число n умноженное на 3 равно 120.

Это очень просто. Слово «раз» говорит вам, что вы должны умножать переменная n на 3, и что результат равен 120. Вот как написать это уравнение:

3н = 120

Вот тот, который немного сложнее.

Пример 3.

Десять долларов составляли две трети всех потраченных денег.

Что мы пытаетесь найти в этом заявлении? Неизвестная сумма – это общая сумма потраченных денег. Назовем это m. Мы знаем, что десять долларов равны двум третям m, поэтому мы можем записать уравнение так:

Пример 4.

Тим отработал 7 часов в субботу и косил 3 газона.Сколько времени, на в среднем, потратил ли он на каждую лужайку?

Пусть буква «t» представляет собой среднее время на газон, неизвестное значение. Потом, 3т будет означать, что время косить все три газона, и мы знаем, что это равно 7 часам. Мы можем записать уравнение так:

3 т = 7 часов

Разница между выражением и уравнением (со сравнительной таблицей)

Последнее обновление: , автор: Surbhi S

В математике вы, возможно, часто встречали термины выражение и уравнение.Поскольку оба объединяют число и / или переменные, люди часто неправильно понимают выражение для уравнения. Однако эти два математических термина не совпадают, и большая разница заключается в их расположении, которое объясняет, что они представляют. Лучший способ определить, является ли данная проблема выражением или уравнением, состоит в том, что если оно содержит знак равенства (=), это будет уравнение .

Однако, если оно не содержит знака равенства (=), то это просто выражение .Он содержит числа, переменные и операторы, которые используются для отображения значения чего-либо. Прочтите эту статью, чтобы понять основные различия между выражением и уравнением.

Содержание: выражение против уравнения

  1. Сравнительная таблица
  2. Определение
  3. Ключевые отличия
  4. Заключение

Сравнительная таблица

Основа для сравнения Выражение Уравнение
Значение Выражение – это математическая фраза, которая объединяет числа, переменные и операторы, чтобы показать значение чего-либо. Уравнение – это математическое утверждение, в котором два выражения приравниваются друг к другу.
Что это? Фрагмент предложения, обозначающий одно числовое значение. Предложение, которое показывает равенство двух выражений.
Результат Упрощение Решение
Обозначение отношения Нет Да, знак равенства (=)
Стороны Односторонний Двусторонний, левый и правый
Ответ Числовое значение Утверждение, т.е.е. правда или ложь.
Пример 7x – 2 (3x + 14) 7x – 5 = 19

Определение выражения

В математике выражение определяется как фраза, которая объединяет числа (константы), буквы (переменные) или их комбинации, соединенные операторами (+, -, *, /), для представления значения чего-либо. Выражение может быть арифметическим, алгебраическим, полиномиальным и аналитическим.

Поскольку он не содержит знака равенства (=), он не показывает никаких отношений.Следовательно, у него нет ничего похожего на левую или правую сторону. Выражение можно упростить, объединив похожие термины, или его можно оценить, вставив значения вместо переменных, чтобы получить числовое значение. Примеры : 9x + 2, x – 9, 3p + 5, 4m + 10

Определение уравнения

В математике термин уравнение означает утверждение равенства. Это предложение, в котором два выражения приравниваются друг к другу. Чтобы удовлетворить уравнение, важно определить значение соответствующей переменной; это известно как решение или корень уравнения.

Уравнение может быть условным или тождественным. Если уравнение условное , то равенство двух выражений верно для определенного значения задействованной переменной. Однако, если уравнение является тождеством , то равенство истинно для всех значений, содержащихся в переменной. Ниже описаны четыре типа уравнений:

  • Простое или линейное уравнение : Уравнение называется линейным – это наивысшая степень переменной, рассматриваемой в 1.
    Пример : 3x + 13 = 8x – 2
  • Одновременное линейное уравнение : Когда есть два или более линейных уравнения, содержащих две или более переменных.
    Пример : 3x + 2y = 5, 5x + 3y = 7
  • Квадратичное уравнение : Когда в уравнении наибольшая степень равна 2, оно называется квадратным уравнением.
    Пример : 2x 2 + 7x + 13 = 0
  • Кубическое уравнение : Как следует из названия, кубическое уравнение – это уравнение со степенью 3.
    Пример : 9x 3 + 2x 2 + 4x -3 = 13

Ключевые различия между выражением и уравнением

Пункты, приведенные ниже, обобщают важные различия между выражением и уравнением:

  1. Математическая фраза, которая объединяет числа, переменные и операторы, чтобы показать значение чего-либо, называется выражением. Уравнение описывается как математическое выражение с двумя равными друг другу выражениями.
  2. Выражение – это фрагмент предложения, обозначающий одно числовое значение. Напротив, уравнение – это предложение, показывающее равенство двух выражений.
  3. Выражение упрощается за счет вычисления, в котором мы подставляем значения вместо переменных. И наоборот, решается уравнение.
  4. Уравнение обозначается знаком равенства (=). С другой стороны, в выражении нет символа отношения.
  5. Уравнение двустороннее, где знак равенства разделяет левую и правую части.В отличие от выражения, оно одностороннее, здесь нет разграничения, например, левой или правой стороны.
  6. Ответ выражения – это либо выражение, либо числовое значение. В отличие от уравнения, которое могло быть только истинным или ложным.

Заключение

Таким образом, из приведенного выше объяснения ясно, что существует большая разница между этими двумя математическими концепциями.

Оставить комментарий