Главная
Определение метод гаусса: Метод Гаусса. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Определение метод гаусса: Метод Гаусса. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Содержание

Метод Гаусса

Определение метода Гаусса

Пусть дана система ,  ∆≠0.           (1)
Метод Гаусса – это метод последовательного исключения неизвестных.

Суть метода Гаусса состоит в преобразовании (1) к системе с треугольной матрицей, из которой затем последовательно (обратным ходом) получаются значения всех неизвестных. Рассмотрим одну из вычислительных схем. Эта схема называется схемой единственного деления. Итак, рассмотрим эту схему. Пусть a11≠0 (ведущий элемент) разделим на a11 первое уравнение. Получим
x1+a(1)12·x2+…+a(1)1n·xn=b(1)1              (2)
Пользуясь уравнением (2), легко исключить неизвестные x1 из остальных уравнений системы (для этого достаточно из каждого уравнения вычесть уравнение (2) предварительно умноженное на соответствующий коэффициент при x1), то есть на первом шаге получим

.
Иными словами, на 1 шаге каждый элемент последующих строк, начиная со второй, равен разности между исходным элементом и произведением его «проекции» на первый столбец и первую (преобразованную) строку.
Вслед за этим оставив первое уравнение в покое, над остальными уравнениями системы, полученной на первом шаге, совершим аналогичное преобразование: выберем из их числа уравнение с ведущим элементом и исключим с его помощью из остальных уравнений x2 (шаг 2).
После n шагов вместо (1) получим равносильную систему
              (3)
Таким образом, на первом этапе мы получим треугольную систему (3). Этот этап называется прямым ходом.
На втором этапе (обратный ход) мы находим последовательно из (3) значения xn , xn-1, …, x1.
Обозначим полученное решение за x0. Тогда разность ε=b-A·x0 называется невязкой.
Если ε=0, то найденное решение x0 является верным.

Вычисления по методу Гаусса выполняются в два этапа:

  1. Первый этап называется прямым ходом метода. На первом этапе исходную систему преобразуют к треугольному виду.
  2. Второй этап называется обратным ходом. На втором этапе решают треугольную систему, эквивалентную исходной.
Коэффициенты а11, а22, …, называют ведущими элементами.
На каждом шаге предполагалось, что ведущий элемент отличен от нуля. Если это не так, то в качестве ведущего можно использовать любой другой элемент, как бы переставив уравнения системы.

Назначение метода Гаусса

Метод Гаусса предназначен для решения систем линейных уравнений. Относится к прямым методам решения.

Виды метода Гаусса

  1. Классический метод Гаусса;
  2. Модификации метода Гаусса. Одной из модификаций метода Гаусса является схема с выбором главного элемента. Особенностью метода Гаусса с выбором главного элемента является такая перестановка уравнений, чтобы на
    k    -ом шаге ведущим элементом оказывался наибольший по модулю элемент k-го столбца.
  3. Метод Жордано-Гаусса;
Отличие метода Жордано-Гаусса от классического метода Гаусса состоит в применении правила прямоугольника, когда направление поиска решения происходит по главной диагонали (преобразование к единичной матрице). В методе Гаусса направление поиска решения происходит по столбцам (преобразование к системе с треугольной матрицей).
Проиллюстрируем отличие метода Жордано-Гаусса от метода Гаусса на примерах.

Пример решения методом Гаусса
Решим систему:

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Умножим 2-ую строку на (2). Добавим 3-ую строку к 2-ой

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой

Из 1-ой строки выражаем x3:
Из 2-ой строки выражаем x2:
Из 3-ой строки выражаем x1:

Пример решения методом Жордано-Гаусса
Эту же СЛАУ решим методом Жордано-Гаусса.



Последовательно будем выбирать разрешающий элемент РЭ, который лежит на главной диагонали матрицы.
Разрешающий элемент равен (1).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
НЭ = СЭ – (А*В)/РЭ
РЭ – разрешающий элемент (1), А и В – элементы матрицы, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

x1x2x3B
1 / 1 = 1 2 / 1 = 2 -2 / 1 = -2 1 / 1 = 1


Разрешающий элемент равен (3).

На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
x1x2x3B
0 / 3 = 0 3 / 3 = 1 1 / 3 = 0.33 4 / 3 = 1.33


Разрешающий элемент равен (-4).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
x1x2x3B
0 / -4 = 0 0 / -4 = 0 -4 / -4 = 1 -4 / -4 = 1


Ответ: x1 = 1, x2 = 1, x3 = 1
ПоказательМетод ГауссаМетод Жордано-Гаусса
Вид матрицыТреугольная матрицаЕдиничная матрица
Время решения0. 0310.022
Объем используемой памяти, байт56473277

Реализация метода Гаусса

Метод Гаусса реализован на многих языках программирования, в частности: Pascal, C++, php, Delphi, а также имеется реализация метода Гаусса в онлайн режиме.

Использование метода Гаусса

Применение метода Гаусса в теории игр

В теории игр при отыскании максиминной оптимальной стратегии игрока составляется система уравнений, которая решается методом Гаусса.

Применение метода Гаусса при решении дифференциальных уравнений

Для поиска частного решения дифференциального уравнения сначала находят производные соответствующей степени для записанного частного решения (y=f(A,B,C,D)), которые подставляют в исходное уравнение. Далее, чтобы найти переменные A,B,C,D составляется система уравнений, которая решается методом Гаусса.

Применение метода Жордано-Гаусса в линейном программировании

В линейном программировании, в частности в симплекс-методе для преобразования симплексной таблицы на каждой итерации используется правило прямоугольника, в котором используется метод Жордано-Гаусса.

Примеры

Пример №1. Решить систему методом Гаусса:
x1 +2x2 – 3x3 + x4 = -2
x1 +2x2 – x3 + 2x4 = 1
3x1 -x2 + 2x3 + x4 = 3
3x1 +x2 + x3 + 3x4 = 2
  • Решение
  • Видео решение

Решение находим с помощью калькулятора.
Запишем систему в виде:

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой

Умножим 2-ую строку на (3). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой

Умножим 4-ую строку на (-1). Добавим 4-ую строку к 3-ой

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Умножим 1-ую строку на (0). Добавим 2-ую строку к 1-ой

Умножим 2-ую строку на (7). Умножим 3-ую строку на (2). Добавим 3-ую строку к 2-ой

Умножим 1-ую строку на (15). Умножим 2-ую строку на (2). Добавим 2-ую строку к 1-ой

Из 1-ой строки выражаем x4

Из 2-ой строки выражаем x3

Из 3-ой строки выражаем x2

Из 4-ой строки выражаем x1

Пример №3.

  1. Решить СЛАУ методом Жордано-Гаусса. Запишем систему в виде:
    5-1-13
    1236
    4329
    Последовательно будем выбирать разрешающий элемент РЭ, который лежит на главной диагонали матрицы.
    Разрешающий элемент равен (5). На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули. Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
    НЭ = СЭ – (А*В)/РЭ
    РЭ – разрешающий элемент (5), А и В – элементы матрицы, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.
    1-0.2-0.20.6
    02.23.25.4
    03.82.86.6
    Разрешающий элемент равен (2.2). На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули. Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
    100.09091.09
    011.452.45
    00-2.73-2.73
    Разрешающий элемент равен (-2.73). На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули. Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
    1001
    0101
    0011
    x1 = 1. 00, x2 = 1.00, x3 = 1.00

    Перейти к решению своей задачи


    Example1

  2. Систему линейных уравнений решить методом Гаусса
    Пример

    Посмотрите, как быстро можно определить, является ли система совместной

  3. Применяя метод Гаусса исключения неизвестных, решить систему линейных уравнений. Сделать проверку найденного решения: Решение
  4. Example 4
  5. Решить систему уравнений методом Гаусса. Рекомендуется преобразования, связанные с последовательным исключением неизвестных, применять к расширенной матрице данной системы. Сделать проверку полученного решения.
    Решение:xls
  6. Решить систему линейных уравнений тремя способами: а) методом Гаусса последовательных исключений неизвестных; б) по формуле x = A-1b с вычислением обратной матрицы A-1; в) по формулам Крамера.
    Решение:xls
  7. Решить методом Гаусса следующую вырожденную систему уравнений.
    Скачать решение doc
  8. Решите методом Гаусса систему линейных уравнений записанную в матричной форме:
    7 8 -3 x 92
    2 2 2 y = 30
    -9 -10 5 z -114

Перейти к онлайн решению своего примера

Решение системы уравнений методом сложения

Решите 6x+5y=3, 3x+3y=4 систему уравнений методом сложения.
Решение.
6x+5y=3
3x+3y=4
Умножим второе уравнение на (-2).
6x+5y=3
-6x-6y=-8
============ (складываем)
-y=-5
Откуда y = 5
Находим x:
6x+5*5=3 или 6x=-22
Откуда x = -22/6 = -11/3

Пример №2. Решение СЛАУ в матричной форме означает, что исходную запись системы необходимо привести к матричной (так называемая расширенная матрица). Покажем это на примере.
Запишем систему в виде расширенной матрицы:

243
-254
301
Добавим 2-ую строку к 1-ой:
097
-254
301
Умножим 2-ую строку на (3). Умножим 3-ую строку на (2). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
097
01514
301
Умножим 1-ую строку на (15). Умножим 2-ую строку на (-9). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
00-21
01514
301
-21
29
4
Теперь исходную систему можно записать как:
x3 = -21/(-21) = 1
x2 = [29 – (14x3)]/15
x1 = [4 – (x3)]/3
Из 2-ой строки выражаем x2:
Из 3-ой строки выражаем x1:

Пример №3. Решить систему методом Гаусса: x1 +2x2 – 3x3 + x4 = -2
x1 +2x2 – x3 + 2x4 = 1
3x1 -x2 + 2x3 + x4 = 3
3x1 +x2 + x3 + 3x4 = 2

Решение:
Запишем систему в виде:
Для удобства вычислений поменяем строки местами:

 Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой

 Умножим 2-ую строку на (3). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой

 Умножим 4-ую строку на (-1). Добавим 4-ую строку к 3-ой

 Для удобства вычислений поменяем строки местами:

 Умножим 1-ую строку на (0). Добавим 2-ую строку к 1-ой

 Умножим 2-ую строку на (7). Умножим 3-ую строку на (2). Добавим 3-ую строку к 2-ой

 Умножим 1-ую строку на (15). Умножим 2-ую строку на (2). Добавим 2-ую строку к 1-ой

 Из 1-ой строки выражаем x4

 Из 2-ой строки выражаем x3

 Из 3-ой строки выражаем x2

 Из 4-ой строки выражаем x1

Метод Гаусса — ПриМат

Определение. Метод Гаусса — метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он заключается в решении системы уравнений, приведением её к ступенчатому виду, путем исключения неизвестных. В отличии от метода Крамера и матричного метода, метод немецкого математика подходит для системы уравнений с бесконечным количеством решений.

Метод Гаусса построен на элементарных преобразованиях СЛАУ.

Определение. Элементарные преобразования системы линейных уравнений это операции, с помощью которых получаем линейно эквивалентную исходной систему уравнений. Такие как: умножение уравнений на отличное от нуля число, перестановку уравнений местами и прибавление к одному уравнению другое.

Определение. Две системы называются эквивалентными, если уравнения одной системы являются линейной комбинацией уравнений другой. Также они имеют одинаковые решения или обе решений не имеют.

Алгоритм решения методом Гаусса заключается в следующих действиях:

  1. Прямой ход. Допустим, нам дана СЛАУ из $k$ уравнений с $n$ неизвестными $$\begin{equation}\left\{\begin{aligned}
    a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\ldots+a_{1n}x_{n}=b_1,\\
    a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+\ldots+a_{2n}x_{n}=b_2,\\
    a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3+\ldots+a_{3n}x_{n}=b_3,\\
    \cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\\
    a_{k1}x_1+a_{k2}x_2+a_{k3}x_3+\ldots+a_{kn}x_n=b_k.\\
    \end{aligned}\right.
    \end{equation}$$ Сначала исключим неизвестное $x_1$ из уравнений ниже первого. Предположим $a_{11} \ne 0$ (в обратном случае — можно записать первым уравнение с коэффициентом при $x_1$, отличным от нуля). Теперь умножим обе части первого уравнения системы на $\frac{a_{21}}{a_{11}}$ и вычтем его из второго уравнения, затем обе части первого уравнения умножим на $\frac{a_{31}}{a_{11}}$ и вычтем из третьего и так пока не исключим во всех уравнениях ниже первого переменную $x_1$ (то есть пока коэффициенты при $x_1$ не будут равны нулю). Получаем эквивалентную системе (1) систему: $$\begin{equation}\left\{\begin{aligned}
    a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\ldots+a_{1n}x_{n}=b_1,\\
    \bar a_{22}x_2+\bar a_{23}x_3+\ldots+\bar a_{2n}x_{n}=\bar b_2,\\
    \bar a_{32}x_2+\bar a_{33}x_3+\ldots+\bar a_{3n}x_{n}=\bar b_3,\\
    \cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\\
    \bar a_{k2}x_2+\bar a_{k3}x_3+\ldots+\bar a_{kn}x_n=\bar b_k.\\
    \end{aligned}\right.
    \end{equation}$$ Далее делаем аналогичные действия со СЛАУ (2) (исключаем неизвестное $x_2$), но с уравнениями ниже второго при $a_{22} \ne 0$. Получим следующую эквивалентную системе (2) (значит и системе (1)) систему: $$\begin{equation}\left\{\begin{aligned}
    a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\ldots+a_{1n}x_{n}=b_1,\\
    \bar a_{22}x_2+\bar a_{23}x_3+\ldots+\bar a_{2n}x_{n}=\bar b_2,\\
    \tilde a_{33}x_3+\ldots+\tilde a_{3n}x_{n}=\tilde b_3,\\
    \cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\\
    \tilde a_{k3}x_3+\ldots+\tilde a_{kn}x_n=\tilde b_k.\\
    \end{aligned}\right.
    \end{equation}$$ Все эти действия нужно сделать, пока не получим систему ступенчатого вида.
  2. Обратный ход. Второй этап решения системы уравнений заключается в решении полученной нами системы ступенчатого вида. Количество уравнений в преобразованной системе может быть меньше, чем в изначальной. Получаем систему с $t (t\leqslant k)$ уравнениями и $n$ переменными. Выражаем через последнее уравнение неизвестную переменную $x_t$. И через неё выражаем остальные переменные. Получим решение, которое содержит зависимые (слева) и свободные (справа) переменные: $$\begin{equation}\left\{\begin{aligned}
    x_t=c_{tt+1}x_{t+1}+a_{tt+2}x_{t+2}+\ldots+c_{tn}x_{n,}\\
    \cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\\
    x_3=c_{3t+1}x_{t+1}+a_{3t+2}x_{t+2}+\ldots+c_{3n}x_{n},\\
    x_2=c_{2t+1}x_{t+1}+a_{2t+2}x_{t+2}+\ldots+c_{2n}x_{n},\\
    x_1=c_{1t+1}x_{t+1}+a_{1t+2}x_{t+2}+\ldots+c_{1n}x_{n}.\\
    \end{aligned}\right.
    \end{equation}$$ Для получения решения, в свободные переменные $x_{t+1} \ldots x_n$ мы подставляем произвольные значения в систему уравнений. Из чего находим зависимые переменные $x_1 \ldots x_t$.

Примеры решений

Пример 1. Решить систему уравнений методом Гаусса:$$\begin{equation}\left\{\begin{aligned}
3x_1-2x_2-5x_3+x_4=3,\\
2x_1-3x_2+x_3+5x_4=-3,\\
x_1+2x_2-4x_4=-3,\\
x_1-x_2-4x_3+9x_4=22.\end{aligned}\right.
\end{equation}$$

Запишем матрицу из коэффициентов системы уравнений и преобразуем (если переменной нет в уравнении, то коэффициент равен нулю) $$\left(\left.\begin{array}{rrrr}3 & -2 & -5 & 1 \\
2 & -3 & 1 & 5 \\
1 & 2 & 0 & -4 \\
1 & -1 & -4 & 9\end{array}\right|\begin{array}{r}3 \\ -3 \\ -3 \\ 22 \end{array}\right).$$ Поменяем местами первое уравнение с последним для удобства вычислений: $$\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -1 & -4 & 9\\
2 & -3 & 1 & 5 \\
1 & 2 & 0 & -4\\
3 & -2 & -5 & 1 \end{array}\right|\begin{array}{r}22 \\ -3 \\ -3 \\ 3 \end{array}\right). $$ Умножим теперь первое уравнение на 2 и вычтем из второго уравнения. Затем, умножив на 1, вычтем из третьего. И умножив на 3, вычтем из четвертого. Получаем: $$\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -1 & -4 & 9 \\
0 & -1 & 9 & -13 \\
0 & 3 & 4 & -13 \\
0 & 1 & 7 & -26\end{array}\right|\begin{array}{r}22 \\ -47 \\ -25 \\ -63 \end{array}\right).$$ Далее умножаем второе уравнение на -3, затем вычтем из третьего. Теперь второе уравнение умножаем на -1 из четвертого: $$\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -1 & -4 & 9 \\
0 & -1 & 9 & -13 \\
0 & 0 & 31 & -52 \\
0 & 0 & 16 & -39\end{array}\right|\begin{array}{r}22 \\ -47 \\ -166 \\ -110 \end{array}\right).$$ Итак, последние действия прямого хода. Умножаем третье уравнение на $-\frac{16}{31}$ и вычитаем из четвертого. Получаем:$$\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -1 & -4 & 9 \\
0 & -1 & 9 & -13 \\
0 & 0 & 31 & -52 \\
0 & 0 & 0 & -\frac{377}{31}\end{array}\right|\begin{array}{r}22 \\ -47 \\ -166 \\ -\frac{754}{31} \end{array}\right). $$ Получаем систему уравнений с новыми коэффициентами, которую будем решать обратным ходом: $$\begin{equation}\left\{
\begin{aligned}
x_1-x_2-4x_3+9x_4=22,\\
-x_2+9x_3-13x_4=-47,\\
31x_3-52x_4=-166,\\
-\frac{377}{31}x_4=-\frac{754}{31}.
\end{aligned}\right.
\end{equation}$$ Решение получается одно. Находим его: $$x_4=2,\\
x_3=\frac{-166+104}{31}=-2,\\
x_2=-(-47+18+26)=3,\\
x_1=22+3-8-18=-1.$$

Пример 2. Решить систему уравнений методом Гаусса:$$\begin{equation}\left\{
\begin{aligned}
4x_1-3x_2+x_3+5x_4-7=0,\\
x_1-2x_2-2x_3-3x_4-3=0,\\
3x_1-x_2+2x_3+1=0,\\
2x_1+3x_2+2x_3-8x_4+7=0.
\end{aligned}\right.
\end{equation}$$

Решение

Сначала перенесем все свободные члены вправо и выпишем расширенную матрицу. Преобразуем её: $$\left(\left.\begin{array}{rrrr}4 & -3 & 1 & 5\\
1 & -2 &-2 & -3\\
3 & -1 & 2 & 0\\
2 & 3 & 2 & -8\end{array}\right|\begin{array}{r}7\\3\\-1\\-7\end{array}\right). $$ Поменяем местами первую строку со второй: $$\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -2 &-2 & -3\\
4 & -3 & 1 & 5\\
3 & -1 & 2 & 0\\
2 & 3 & 2 & -8\end{array}\right|\begin{array}{r}3\\7\\-1\\-7\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -2 &-2 & -3\\
0 & 5 & 9 & 17\\
0 & 5 & 8 & 9\\
0 & 7 & 6 & -2\end{array}\right|\begin{array}{r}3\\-5\\-10\\-13\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -2 &-2 & -3\\
0 & 5 & 9 & 17\\
0 & 0 & -1 & -8\\
0 & 0 & -\frac{33}{5} & -\frac{129}{5}\end{array}\right|\begin{array}{r}3\\-5\\-5\\20\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -2 &-2 & -3\\
0 & 5 & 9 & 17\\0
& 0 & -1 & -8\\
0 & 0 & 0 & 27\end{array}\right|\begin{array}{r}3\\-5\\-5\\27\end{array}\right). $$ Получаем ответ: $$x_4=1,$$ $$x_3=-3,$$ $$x_2=1,$$ $$x_1=2.$$

[свернуть]

Пример 3. Решить систему уравнений методом Гаусса: $$\begin{equation}\left\{
\begin{aligned}
3x_1-7x_2+4x_3+5x_4=-11,\\
2x_1+5x_2+x_3-2x_4=5,\\
x_1+2x_2-3x_3+4x_4=7,\\
7x_1+2x_2-x_3+11x_4=6.
\end{aligned}\right.
\end{equation}$$

Решение

Записываем матрицу системы и преобразуем её: $$\left(\left
.\begin{array}{rrrr}3 & -7 & 4 & 5\\
2 & 5 & 1 & -2\\
1 & 2 & -3 & 4\\
7 & 2 & -1 & 11\end{array}\right|\begin{array}{r}-11\\5\\7\\6\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 4\\
2 & 5 & 1 & -2\\
3 & -7 & 4 & 5\\
7 & 2 & -1 & 11\end{array}\right|\begin{array}{r}7\\5\\-11\\6\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 4\\
0 & 1 & 7 & -10\\
0 & -13 & 13 &-7\\
0 & -12 & 20 & -17\end{array}\right|\begin{array}{r}7\\-9\\-32\\-43\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left. \begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 4\\0 & 1 & 7 & -10\\
0 & 0 & 104 & -137\\
0 & 0 & 104 & -137\end{array}\right|\begin{array}{r}7\\-9\\-149\\-151\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 4\\
0 & 1 & 7 & -10\\
0 & 0 & 104 & -137\\
0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right|\begin{array}{r}7\\-9\\-149\\-2\end{array}\right).$$ Видим, что у нас получилось уравнение с нулевыми коэффициентами при ненулевом свободном члене, значит тут мы можем уже остановиться — система несовместна, то есть решений не имеет.

[свернуть]

Пример 4. Решите систему уравнений методом Гаусса: $$\begin{equation}\left\{\begin{aligned}7x_1+3x_2-2x_3+4x_4=0,\\
-6x_1-x_2-x_3+x_4=1,\\
9x_1+7x_2-8x_3+14x_4=2,\\
x_1+2x_2-3x_3+5x_4=1.\end{aligned}\right.\end{equation}$$

Решение

Записываем матрицу системы уравнений и преобразуем: $$\left(\left.\begin{array}{rrrr}7 & 3 & -2 & 4\\
-6 & -1 & -1 &1 \\
9 & 7 & 8 & 14 \\
1 & 2 & -3 & 5\end{array}\right|\begin{array}{r}0\\1\\2\\1\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left. \begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 5\\
-6 & -1 & -1 &1 \\
9 & 7 & 8 & 14 \\
7 & 3 & -2 & 4\end{array}\right|\begin{array}{r}1\\1\\2\\0\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 5\\
0 & 11 & -19 & 31\\
0 & -11 & 35 & -31\\
0 & -11 & 19 &-31\end{array}\right|\begin{array}{r}1\\7\\-7\\-7\end{array}\right)\sim~$$$$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 5\\
0 & 11 & -19 & 31\\
0 & 0 & 16 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right|\begin{array}{r}1\\7\\0\\0\end{array}\right)$$ Видим, что у нас появилась нулевая строка. Это значит, что это уравнение можно убрать. Так как мы получили систему, в которой количество уравнений меньше, чем количество переменных, значит система неопределённая, то есть имеет бесконечное множество решений. Количество зависимых переменных определяем по рангу матрицы. У нас получается 3 зависимых переменных. Возьмем $x_4$ за свободную переменную. Выражаем остальные 3 переменные через свободную и получаем общее решение: $$x_3=0$$ $$x_2=\frac{7-31x_4}{11}$$ $$x_1=1-2\times\frac{7-31x_4}{11}-5x_4.$$ Теперь можем подставить любое значение в переменную $x_4$ и получить один из бесконечного множества ответов, например: $$x_4=0,$$ $$x_3=0,$$ $$x_2=\frac{7}{11},$$ $$x_1=-\frac{3}{11}.$$

[свернуть]

Пример 5. Решить систему уравнений методом Гаусса: $$\begin{equation}\left\{
\begin{aligned}
2x_1-x_2+2x_4=0,\\
x_1+2x_2-x_3=0,\\
5x_1+x_2-x_3+2x_4=0,\\
x_1+x_2+x_3+x_4=1.
\end{aligned}\right.
\end{equation}$$

Решение

Запишем матрицу системы: $$\left(\left.\begin{array}{rrrr}2 & -1 &0 &2\\
1 & 2 &-1 & 0\\
5 & 1 &-1 & 2\\
1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right|\begin{array}{r}0\\0\\0\\1\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 2 & -1 & 0\\
5 & 1 & -1 & 2\\
2 & -1 & 0 & 2\end{array}\right|\begin{array}{r}1\\0\\0\\0\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left. \begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 &1\\
0 & 1 & -2 & -1\\
0 & -4 & -6 & -3\\
0 & -3 & -2 & 0\end{array}\right|\begin{array}{r}1\\-1\\-5\\-2\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\
0 & 1 & -2 & -1\\
0 & 0 & -14 & -7\\
0 & 0 & -8 & -3\end{array}\right|\begin{array}{r}1\\-1\\-9\\-5\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\
0 & 1 & -2 & -1\\
0 & 0 & -14 & -7\\
0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right|\begin{array}{r}1\\-1\\-9\\\frac{1}{7}\end{array}\right).$$ Получаем ответ: $$x_4=\frac{1}{7},$$ $$x_3=\frac{4}{7},$$ $$x_2=\frac{2}{7},$$ $$x_1=0.$$

[свернуть]


Смотрите также

  • Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968 стр. 15-23
  • Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984 примеры №567, 568
  • Баландина Н. Н. Матричное вычисление: метод. указания для студ. первого курса направления подготовки “Психология” / Н. Н. Баландина, С. В. Федоровский. – Одесса: Одесский нац. ун-т, 2015. стр. 31-33
  • Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984 стр. 119-121

Метод Гаусса

Пройдите тест, чтобы проверить насколько точно вы поняли материал.

Error

Sorry, the requested file could not be found

More information about this error

Jump to… Jump to…Согласие на обработку персональных данных Учебно-тематический планАвторы и разработчики курсаИнформация для студентов и преподавателейВводная лекцияIntroductory lectureЛекция о системе обозначений Lecture on the notation systemВидеолекция (часть 1)Lecture (Part 1)Видеолекция 2. Операции над функциями. Свойства функции.Lecture 2. Operations on functions. The properties of the functionТеоретический материал Практическое занятие. Исследование свойств функций по определениюPractical lesson. Investigation of the properties of functions by definitionЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.1.1(Часть 1). Числовые функцииQuiz 1.1.1 (part 1)Тест 1.1.1(Часть 2). Числовые функцииQuiz 1.1.1 (part 2)Видеолекция 1. Числовая последовательность Lecture 1. Numeric sequenceВидеолекция 2. Предел числовой последовательностиLecture 2. The limit of a numeric sequence.Practical lesson 1. Study of properties of a numerical sequence by conventionПрактическое занятие 1 (часть 2)Теоретический материалЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.1.2. Числовые последовательностиВидеолекция 1. Предел функции в точкеLecture 1. The limit of a function at a pointВидеолекция (часть 2)Практическое занятие 1. Вычисление пределов, неопределенности.Practical lesson 1. Calculation of limits. UncertaintiesПрактическое занятие 2. Вычисление пределов. Замечательные пределы.Practical lesson 2. Calculation of limits. Remarkable limits.Задачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.1.3. Предел функции в точкеВидеолекция. Непрерывность функции в точкеLecture 1. Сontinuity of a function at a pointПрактическое занятие. Исследование функций на непрерывность. Классификации точек разрываPractical lesson. The study of function continuity and classification of discontinuity pointsЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.1.4. Непрерывность функции в точкеВидеолекция (часть 1)Lecture 1. Differential calculus of functions of a single variableВидеолекция (часть 2)Lecture 2. Differentiation of a function given parametricallyПрактическое занятие 1. Правила дифференцированияПрактическое занятие 2. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функции, заданной параметрическиPractical lesson 1. Logarithmic differentiation. Differentiating a function defined parametricallyPractical lesson 2. Rules of differentiationЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТаблица производныхТест 1.1.5 Производная функцииВидеолекция 1. Геометрический и физический смысл производнойLecture 1. Geometric and physical meaning of the derivativeВидеолекция 2. Дифференциал функцииLecture 2. Differential of a functionПрактическое занятие 1. Геометрический смысл производнойPractical lesson 1. The geometric meaning of the derivativeПрактическое занятие 2. Производные и дифференциалы высших порядковPractical lesson 2. Higher-order derivatives and differentialsЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.1.6. Геометрический и физический смысл производнойQuiz 1.1.6. Geometric and physical sense of the derivativeВидеолекция 1. Основные теоремы дифференциального исчисления.Lecture 1. Basic theorems of differential calculusВидеолекция 2. Исследование функций на монотонность и выпуклостьLecture 2. The study of the monotonicity of the functionПрактическое занятие 1. Исследование свойств функций с помощью производнойPractical lesson 1. Studying the properties of functions using a derivativeПрактическое занятие 2. Правило ЛопиталяPractical lesson 2. L’Hospital’s ruleЗадачи для самостоятельной работы (Часть 1)Решения задач (Часть 1)Задачи для самостоятельной работы (Часть 2)Решения задач (Часть 2)Тест 1. 1.7 (часть 1). Исследование свойств функции с помощью производнойQuiz 1.1.7 (part 1)Тест 1.1.7 (Часть 2). Исследование свойств функции с помощью производнойQuiz 1.1.7 (part 2)Теоретический материал (Часть 1)Задачи для самостоятельной работы (Часть 1)Решения задач (Часть 1)Теоретический материал (Часть 2)Задачи для самостоятельной работы (Часть 2)Решения задач (Часть 2)Тест 1.1.8. Асимптоты графика функцииВидеолекция. Дифференциальное и интегральное исчислениеLecture. Differential and Integral CalculationЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТаблица интеграловТест 1.2.1. Неопределенный интегралВидеолекция. Неопределенный интеграл: методы интегрирования.Lecture. Indefinite integral: methods of integration.Практическое занятие. Внесение функции под знак дифференциалаPractical lesson. Adding a function under the sign of the differentialЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.2.2. Методы интегрированияВидеолекция 1. Интегрирование дробно-рациональных функций (часть1)Lecture 1. Integration of fractional-rational functions (part 1)Видеолекция 2. Интегрирование дробно-рациональных функций (часть 2)Lecture 2. Integration of fractionally rational functions (part 2)Практическое занятие 1. Интегрирование иррациональных выражений (часть 1)Practical lesson 1. Integration of irrational expressions (part 1)Практическое занятие 2. Интегрирование тригонометрических функцийPractical lesson 2. Integration of trigonometric functionsЗадачи для самостоятельного решенияРешения задачТест 1.2.3. Интегрирование рациональных дробей, тригонометрических и иррациональных функцийВидеолекция. Определенный интеграл: интеграл РиманаLecture. Definite integral: Riemann integral. Практическое занятие 1. Вычисление определенного интегралаPractical lesson 1. Calculating a certain integralЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.2.4. Определенный интегралВидеолекция LectureЗадачи для самостоятельного решенияРешения задачТест 1.2.5 Приложения определенного интегралаВидеолекция. Несобственный интегралыLecture. Improper integralЗадачи для самостоятельного решенияРешения задачТест 1.2.6. Несобственные интегралыВидеолекция 1. Функции нескольких переменныхLecture 1. Functions of Multiple VariablesВидеолекция 2. Частные производныеLecture 2. Partial derivativesПрактическое занятие. Функция двух переменныхPractical lesson. Function of several variablesЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.3.1. Функции нескольких переменных (основные понятия)Quiz 1.3.1Видеолекция Дифференцируемость функции двух переменныхLecture. Differentiable functions of two variablesПрактическое занятие 1. Производные и дифференциалы высших порядковПрактическое занятие 2. Понятие дифференциала первого и второго порядкаPractical lesson 2. The concept of the first- and second-order differentialЗадачи для самостоятельной работыРешения задач Тест 1.3.2. Дифференцирование функции нескольких переменныхQuiz 1.3.2Видеолекция 1. Дифференцирование сложной функции, заданной неявноLecture 1. Differentiation of a complex function and a function given implicitlyВидеолекция 2. Производная по направлению. ГрадиентLecture 2. The directional derivative and the gradientПрактическое занятие 1. Производная по направлению, градиентPractical lesson 1. The directional derivative, the gradientПрактическое занятие 2. Исследование свойств функций по определениюPractical lesson 2. Investigating function properties by defenition Практическое занятие 3. Дифференцирование сложной функции и дифференцирование функции, заданной неявноPractical lesson 3. Differentiation of a composite function and differentiation of implicitly defined functionЗадачи для самостоятельного решенияРешения задачТест 1.3.3. Частные производныеQuiz 1.3.3Видеолекция 1. Экстремум функции двух переменныхВидеолекция 2. Экстремумы функции в замкнутой областиЗадачи для самостоятельной работы (Часть 1)Решения задач (Часть 1)Задачи для самостоятельной работы (Часть 2)Решения задач (Часть 2)Тест 1.3.4. Экстремум функции двух переменныхQuiz 1.3.4Видеолекция 1. Двойной интеграл Lecture 1. Double integral Видеолекция 2. Вычисление двойного интегралаLecture 2. Calculation of the double integralПрактическое занятие 1. Вычисление двойного интегралаPractical lesson 1. Calculating a certain integralПрактическое занятие 2. Вычисление двойного интегралаPractical lesson 2. Calculating a certain integralЗадачи для самостоятельного решения (Часть 1)Решения задач (Часть 1)Задачи для самостоятельного решения (Часть 2)Решения задач (Часть 2)Тест 1.3.5. Двойной интегралQuiz 1.3.5Видеолекция. Криволинейные интегралыLecture. Curvilinear integralsПрактическое занятие. Вычисление криволинейные интегралов I и II родаPractical lesson. Calculating curvilinear integrals 1 and 2 kind Задачи для самостоятельного решенияРешения задачТест 1.3.6. Криволинейные интегралыАттестация по модулю 1Итоговое тестирование по курсу (2-1)Видеолекция 1. Система линейных уравнений: основные понятияПрактическое занятие 1. Системы линейных уравненийPractical lesson (part 1). Systems of linear equationsТеоретический материал (лекция 1)Задачи для самостоятельной работы 1Решения задач 1Видеолекция 2. Решение систем линейных уравнений методом ГауссаПрактическое занятие 2. Решение систем линейных уравнений методом гауссаPractical lesson (part 2). The system of linear equationsТеоретический материал (лекция 2)Задачи для самостоятельной работы 2Решения задач 2Видеолекция 3. Исследование систем линейных уравненийLecture 3. A system of linear equationsPractical lesson (part 3). The system of linear equationsПрактическое занятие 3. Исследование систем линейных уравненийТеоретический материал (лекция 3)Задачи для самостоятельной работы 3Решения задач 3Тест 2.1.1. Системы линейных уравненийСправочник (часть 1)Справочник (часть 3)Видеолекция 1. Векторное пространствоLecture 1. Vector spaceВидеолекция 2. линейная зависимость векторов. Базис векторного пространстваLecture 2. Linear dependence of vectors and the concept of the basis of the vector systemПрактическое занятие 1. Арифметическое векторное пространствоPractical lesson 1. Arithmetic vector spaceПрактическое занятие 2. Линейная зависимость векторов. Базис векторного пространстваPractical lesson 2. Linear dependence of vectors and the concept of the basis of the vector systemТеоретический материал (лекция 1)Задачи для самостоятельной работы 1Решения задач 1Теоретический материал (лекция 2)Задачи для самостоятельной работы 2Решения задач 2Тест 2.1.2. Арифметическое n-мерное векторное пространствоСправочник (часть 1)Справочник (часть 2)Видеолекция 1. Исследование систем линейных уравненийLecture 1. Study systems of linear equationsВидеолекция 2. Однородная система линейных уравненийLecture 2. Homogeneous system of equationsПрактическое занятие 1. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравненийPractical lesson 1. Fundamental system of solutionsПрактическое занятие 2Practical lesson 2Теоретический материал (лекция 1)Теоретический материал (лекция 2)Задачи для самостоятельной работыРешения задачТест 2.1.3. Исследование систем линейных уравненийСправочникВидеолекция 1. Матрицы и определителиLecture 1. Matrix determinantВидеолекция 2. Операции над матрицамиLecture 2. Operations on matricesВидеолекция 3. Обратная матрицаLecture 3. Inverse matrixПрактическое занятие 1. Операции над матрицамиPractical lesson 1. The operations on matrices Практическое занятие 2. Вычисление определителейТеоретический материал (лекция 1)Задачи для самостоятельной работы 1Решения задач 1Теоретический материал (лекция 2)Задачи для самостоятельной работы 2Решения задач 2Теоретический материал (лекция 3)Тест 2.1.4. МатрицыQuiz 2.1.4. MatricesСправочник (часть 1)Справочник (часть 2)Справочник (часть 3)Видеолекция 1. Прямоугольная декартова система координатLecture 1. Rectangular Cartesian coordinate systemТеоретический материалПрактическое занятие. Решение задач в координатахPractical lesson. Solution of problems in coordinatesЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 2.2.1. Декартова система координатСправочникВидеолекция 1. Скалярное произведение векторовLecture 1. Scalar product of vectorsТеоретический материал (Часть 1)Видеолекция 2. Векторное и смешанное произведения векторовLecture 2. Vector and mixed products of vectorsПрактическое занятие 1. Скалярное произведение векторовPractical lesson 1. Scalar product of vectorsПрактическое занятие 2. Применение произведений векторов при решении задачPractical lesson 2. vector and mixed product of vectors to solve themТеоретический материал (Часть 2)Задачи для самостоятельной работы 1Решения задач 1Тест 2.2.2.(часть 1). Скалярное произведение векторов. Длина вектора. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторовЗадачи для самостоятельной работы 2Решения задач 2Тест 2.2.2. (часть2). Скалярное произведение векторов. Длина вектора. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторовСправочник (Часть 1)Справочник (Часть 2)Видеолекция. Уравнения прямой на плоскости и в пространствеLecture. Equation of a straight line on a plane and in spaceТеоретический материалПрактическое занятие 1. Уравнения прямой на плоскостиPractical lesson 1. Related to the equation of a straight line on a planeЗадачи для самостоятельной работы 1Решение задач 1Практическое занятие 2. Взаимное расположение прямыхPractical lesson 2. The relative position of straight lines.Задачи для самостоятельной работы 2Решение задач 2Тест 2.2.3. Уравнения прямойСправочникВидеолекция. Уравнение плоскости. Взаимное расположение прямой и плоскостиТеоретический материалПрактическое занятие. Уравнение плоскости. Взаимное расположение прямой и плоскости Practical lesson. Equation of a plane Задачи для самостоятельной работы 1Решение задач 1Задачи для самостоятельной работы 2Практическое занятие 2. Взаимное расположение плоскостейPractical lesson 2. Relative position of planesРешение задач 2Тест 2.2.4. Уравнения плоскостиСправочникВидеолекция 1. ЭллипсLecture 1. EllipseТеоретический материал Часть 1Практическое занятие 1. ЭллипсPractical lesson 1. EllipseЗадачи для самостоятельной работы 1Решение задач 1Видеолекция 2. Гипербола и параболаLecture 2. Hyperbola and parabolaТеоретический материал (Часть 2)Практическое занятие 2. Гипербола и параболаЗадачи для самостоятельной работы 2Решение задач 2Тест 2. 2.5. Кривые второго порядкаСправочник (Часть 1)Справочник (Часть 2)Аттестация по модулю 2Анкета обратной связиИтоговое тестирование по курсу (1-2)Итоговое тестирование по курсу (2)Видеолекция 1. Основные понятия теории вероятностей Lecture 1. Basic concepts of probability theoryВидеолекция 2. Вероятность случайного событияLecture 2. Probability of a random eventПрактическое занятие 1. Классическая вероятностьPractical lesson 1. Classical probabilityЗадачи для самостоятельной работы (часть 1)Решения задач (часть 1)Практическое занятие 2. Операции над событиями. Practical lesson (part 2). Algebra of events. Properties of probabilitiesЗадачи для самостоятельно работы (часть 2)Решения задач (часть 2)Теоретический материалТест 3.1.1. Классическая вероятностьВидеолекция 1. Условная вероятностьLecture 1. Conditional probabilityПрактическое занятие 1. Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формула БайесаPractical lesson 1. Conditional probability. The formula of total probability, Bayes ‘ formulaЗадачи для самостоятельной работы. Условная вероятностьРешения задач. Условная вероятностьВидеолекция 2. Повторные независимые опыты и формула БернуллиLecture 2. Repeated Independent Experiments and the Bernoulli FormulПрактическое занятие 2. Схема БернуллиPractical lesson 2. Bernoulli’s formulaЗадачи для самостоятельной работы. Схема БернуллиРешения задач. Схема БернуллиТеоретический материалТест 3.1.2. Условная вероятностьВидеолекция 1. Дискретные лучайные величиныLecture 1. Discrete random variablesВидеолекция 2. Числовые характеристики дискретных случайных величинПрактическое занятие. Дискретные случайные величиныPractical lesson. Discrete random variablesЗадачи для самостоятельного решенияРешения задачЛабораторная работа. Законы распределения дискретных случайных величинLaboratory work 1. Distribution Laws of Discrete Random VariablesЛабораторная работаРешения задач (лабораторная работа)Теоретический материалТест 3.2.1. Дискретные случайные величиныВидеолекция 1. Непрерывные случайные величиныВидеолекция 2. Частные случаи распределений случайных величинLecture 2. Special cases of distributions of random variablesПрактическое занятие. Непрерывные случайные величиныPractical lesson. Continuous random variableЗадачи для самостоятельного решенияРешения задачЛабораторная работа (видео). Законы распределения непрерывных случайных величинLaboratory work (video). Distribution Laws of Continuous Random VariablesЛабораторная работаРешения задач (лабораторная работа)Теоретический материалТест 3.2.2. Непрерывные случайные величиныТеоретический материалТест 3.3.1. Законы больших чиселВидеолекция 1. Система случайных величин (часть 1)Видеолекция 2. Система случайных величин (часть 2)Lecture 2. Systems of random variables (part 2)Практическое занятие. Система случайных величинЗадачи для самостоятельной работыРешения задачЛабораторная работаРешение задачи (лабораторная работа)Теоретический материалТест 3.4.1. Совместный закон распределенияВидеолекция 1. Характеристическая функция случайной величиныLecture 1. Characteristic function of a random variableВидеолекция 2. Свойства характеристической функции случайной величиныLecture 2. Properties of characteristic functions random variable Практическое занятие 1. Вычисление характеристической функции случайной величиныPractical lesson 1. Calculation of Characteristic Functions Практическое занятие 2. Проверка устойчивости для стандартных распределенийPractical lesson 2. Testing the robustness for standard distributions.Задачи для самостоятельного решения (часть 1)Задачи для самостоятельного решения (часть 2)Решения задач (часть 1)Решения задач (часть 2)Тест 3.4.2. (данное тестирование по теме 1)Видеолекция. Основные понятия математической статистикиLecture. The basic concepts of mathematical statisticsЛабораторная работа (видео). Основные понятия математической статистикиLaboratory work (video). Basic concepts of mathematical statisticsТеоретический материалЛабораторная работа. Основные понятия математической статистикиРешения задач (лабораторная работа)Тест 3.5.1. Основные понятия математической статистикиQuiz 3. 5.1.Видеолекция. Статистические оценки параметров генеральной совокупности. Lecture. Statistical estimates of general population parametersЛабораторная работа 1 (видео). Статистические оценки параметров генеральной совокупностиLaboratory work 1 (video). Statistical estimators of the parameters of the populationЛабораторная работа 1. Статистические оценки параметров генеральной совокупностиРешения задач 1Лабораторная работа 2 (видео). Минимальный или оптимальный объем выборочной совокупностиLaboratory work 2(video). Minimum or optimal sample sizeЛабораторная работа 2. Минимальный или оптимальный объем выборочной совокупностиРешения задач 2Теоретический материалТест 3.5.2. Статистические оценкиQuiz 3.5.2Видеолекция. Зависимость между величинами. Виды зависимостейLecture. Dependence between quantities. Types of dependenciesТеоретический материал 1Лабораторная работа 1 (видео, часть 1). Парный корреляционный анализLaboratory work 1 (video, part 1). Pair correlation analysisЛабораторная работа 1. Парный корреляционный анализЛабораторная работа 1 (видео, часть 2). Множественный корреляционный анализРешение задач 1Лабораторная работа 2 (видео, часть 2). Парный регрессионный анализLaboratory work 2 (video, part 2). Paired Regression AnalysisЛабораторная работа 2. Парный регрессионный анализРешения задач 2Теоретический материал 2Тест 3.5.3. Зависимость между величинамиQuiz 3.5.3Лекция. Статистические гипотезы Теоретический материалЛабораторная работа (видео). Статистический критерий хи-квадратLaboratory work. The Chi-Square StatisticЛабораторная работа 1. Критерий хи-квадратРешения задач (Критерий хи-квадрат)Лабораторная работа 2. Критерий ПирсонаЛабораторная работа (расчетная таблица)Решения задач (Критерий Пирсона)Тест 3.6.1. Проверка статистических гипотез: основные понятияQuiz 3.6.1Видеолекция. Проверка статистических гипотезLecture. Testing statistical hypothesesЛабораторная работа 1 (видео). Сравнение средних выборочных совокупностей при известных дисперсиях генеральных совокупностейLaboratory work 1. Comparison of Sampled Population Means with Known Population VariancesЛабораторная работа 1. Сравнение средних выборочных совокупностей при известных дисперсиях генеральных совокупностейРешения задач (лабораторная работа 1)Лабораторная работа 2 (часть 1). Сравнение средних независимых выборочных совокупностей при неизвестных дисперсиях генеральных совокупностейLaboratory work 2 (part 1). Comparison of means of independent sample populations with unknown variances of general populationsЛабораторная работа 2 (часть 2). Сравнение средних зависимых выборочных совокупностей при неизвестных дисперсиях генеральных совокупностейLaboratory work 2 (part 2). Comparison of mean dependent sample populations with unknown variances of general populationsЛабораторная работа 2. Проверка статистических гипотез о сравнении средних выборочных совокупностей, если не известны дисперсии генеральных совокупностейРешения задач (лабораторная работа 2)Теоретический материалТест 3.6.2. Проверка гипотезQuiz 3.6.2Аттестация по модулю 3Итоговое тестирование по курсу 1-2-3Итоговое тестирование по курсу для математических специальностейИтоговое тестирование по курсу (3)

3.

2. Метод Гаусса | Электронная библиотека

Естественные науки / Методы вычислений / 3.2. Метод Гаусса

Основная идея метода Гаусса заключается в следующем: по исходной системе линейных уравнений  строим другую систему линейных уравнений , имеющую то же решение x, что и первая, но матрица которой  является верхней треугольной матрицей. А затем решаем систему линейных уравнений с верхней треугольной матрицей.

Метод Гаусса состоит из двух этапов:

1 Прямой ход метода  Гаусса. Прямой ход метода  Гаусса заключается в преобразовании исходной системы линейных уравнений к эквивалентной системе линейных уравнений с верхней треугольной матрицей.

2. Обратная подстановка. Обратная подстановка метода  Гаусса заключается в решении системы линейных уравнений с верхней треугольной матрицей. При этом компоненты вектора решения находятся в обратном порядке .

С точки зрения операций над матрицами метод Гаусса заключается в разложении исходной матрицы А в произведение двух треугольных матриц: нижней треугольной матрицы , на диагонали которой стоят единицы, и верхней треугольной матрицы  с ненулевыми диагональными элементами:

,

,              ,   ,                     ,   .

.

Другими словами, вместо системы линейных уравнений  решается две системы линейных уравнений с треугольными матрицами:

Ly = b,

Ux = y.

Определение. Элементы, расположенные на главной диагонали верхней треугольной матрицы , полученной после выполнения прямого хода метода Гаусса, называют ведущими элементами.

Теорема

Для существования –разложения матрицы А необходимо и достаточно, чтобы у матрицы А все главные миноры были отличны от нуля.

Мы будем рассматривать: метод Гаусса без выбора ведущего элемента, метод Гаусса с частичным выбором ведущего элемента и метод Гаусса с полным выбором ведущего элемента. В методе Гаусса без выбора ведущего элемента исходная матрица A представляется в виде произведения двух треугольных матриц LU.

Следствие. Метод Гаусса без выбора ведущего элемента можно применять в том случае, когда все главные миноры матрицы системы линейных уравнений отличны от нуля.

Пример 1

Рассмотрим матрицу .

Определитель матрицы не равен нулю (det(A)0), но первый главный минор равен нулю, следовательно, -разложение матрицы А невозможно. Система линейных уравнений с этой матрицей имеет единственное решение, но оно не может быть получено методом Гаусса без выбора ведущего элемента.

Пример 2

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса без выбора ведущего элемента:

Решение

Прямой ход

М1 = 10,     М2 = -1,     М3 = -155, где Мi – главные миноры матрицы A. Все главные миноры отличны от нуля, следовательно, можно применять метод Гаусса без выбора ведущего элемента.

Нам необходимо, используя эквивалентные преобразования, получить верхнюю треугольную матрицу.

Вместо  необходимо получить ноль. Для этого умножим первое уравнение на такое число, чтобы при сложении этого уравнения со вторым исключилось неизвестное .

Умножим  первое уравнение на 0.3 и прибавим ко второму. Умножим первое уравнение на  –0.5 и прибавим к третьему. Получим:

Умножили второе уравнение на 25 и прибавим к третьему. Получим:

Мы получили систему линейных уравнений с верхней треугольной матрицей.

Обратная подстановка

,                  следовательно, z =1.

,           следовательно, .

,        следовательно, .

Пример 3

Записать -разложение матрицы А.

Решение

Рассмотрим матрицу А из предыдущего примера. U – верхняя треугольная матрица, полученная в результате прямого хода. L – нижняя треугольная матрица, на главной диагонали которой расположены единицы. Ненулевые элементы матрицы  – это множители, используемые на шагах исключения, с противоположным знаком:

;         ;                       ;           ;

;             .

Проверка:

Ведущие элементы 10,  -0.1,  155.

Формулы метода Гаусса

Прямой ход

;                        .

      .

Обратная подстановка

                    .

              .

Нахождение значения определителя матрицы методом Гаусса без выбора ведущего элемента

, следовательно, .

Если Т – треугольная матрица размерности n, то , где tii – диагональные элементы матрицы T.

Определитель треугольной матрицы равен произведению ее элементов, расположенных на главной диагонали.

,          .

Определитель матрицы А, у которой все главные миноры отличны от нуля, равен произведению ее ведущих элементов, вычисленных методом Гаусса без выбора ведущего элемента.

Пример 4

Найти значение определителя матрицы.

Решение

Рассмотрим матрицу из примера 2:

Отметим, что если один из главных миноров матрицы А равен нулю, то при попытке решить систему линейных уравнений мы получим деление на ноль (). Это первый недостаток метода Гаусса без выбора ведущего элемента.

Второй недостаток: если какой-либо из ведущих элементов принимает малые значения по модулю, то вычислительный алгоритм метода Гаусса без выбора ведущего элемента становится неустойчивым.

Правило. Если ведущие элементы в методе Гаусса по модулю больше, либо равны 1, то ошибки округления в процессе вычисления подавляются, в противном случае ошибки округления увеличиваются.

Условие устойчивости: .

Сложность метода Гаусса без выбора ведущего элемента

Число арифметических действий, необходимых для реализации метода Гаусса без выбора ведущего элемента пропорционально n3, где n – число линейных уравнений. Записывается это так: , где NA – число арифметических действий. Объем памяти, необходимый для реализации алгоритма, пропорционален  – .

Введем понятие невязки или вектора невязки

Определение. Невязкой или вектором невязки называется вектор: , где  – вычисленное решение системы линейных уравнений .

Решение систем линейных уравнений методом гаусса

Содержание

  1. Введение                                                                                                     2        
  2. Понятие матрицы                                                                                       5
  3. Немного из биографии Гаусса                                                                  6
  4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса                         7
  5. Проведение обучающего  эксперимента                                                  12                                            
  6. Заключение                                                                                                  14                                                                                                  
  7. Список используемой литературы                                                            15                                                              

ВВЕДЕНИЕ

Увлечение математикой начинается с размышления над какой-то интересной задачей или проблемой.

Часто на уроках математики мы решаем различные уравнения. Многие теоретические и практические вопросы приводят не к одному уравнению, а к целой системе уравнений с несколькими неизвестными. Особенно важен случай системы линейных алгебраических уравнений. Способы  решения систем линейных уравнений – очень интересная и важная тема. В седьмом  классе на уроках алгебры мы использовали такие способы, как сложение, подстановка и графический.

Нужно  заметить,  что  не  всегда  системы  линейных  уравнений  удобно решать  данными  способами. Мы решили выяснить существуют  ли  другие  методы решения систем линейных уравнений. Изучив данную тему, мы выяснили, что существуют такие методы,  как:  метод  Крамара,  метод Гаусса, метод обратной матрицы.

Одним из самых распространенных методов решения систем линейных уравнений является метод Гаусса. Выдающегося немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777–1855) современники называли «королём математики». Ещё в раннем детстве он проявлял незаурядные математические способности.

На примерах был изучен и исследован алгоритм решения систем линейных уравнений методом Гаусса. Этот метод (который также называют методом последовательного исключения неизвестных) известен в различных вариантах уже более 2000 лет.

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов, называемых прямым и обратным ходом. На первом этапе система приводится к треугольному виду, а на втором (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из указанной треугольной системы.

Метод Гаусса – один из основных результатов линейной алгебры и аналитической геометрии, к нему сводятся множество других теорем и методов линейной алгебры. Поэтому поиск решения системы линейных уравнений методом Гаусса имеет не только важное значение, но и является частью алгоритма решения многих задач, что позволяет говорить об актуальности изучения метода Гаусса. В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных.  

Актуальность:

Системы линейных алгебраических уравнений имеют широкое применение в решении многих задач практического приложения математики. Данная тема в школьном курсе алгебры не изучается, чтобы изучить  данную тему, необходимо познакомиться с понятиями матрицы, матрица системы и расширенная матрица системы. Получение новых знаний и нового опыта способствует развитию личности, формирует некоторые особенности мышления и оказывает влияние на отношение к миру.

Цель работы:

Научиться решать системы уравнений с помощью метода Гаусса

и применять этот метод на практике,  ознакомить и научить одноклассников решать системы уравнений методом Гаусса.

Задачи исследования

1. Познакомиться с понятием «матрица» и «матрица системы».

2. Изучить метод Гаусса.

3. Научиться применять метод Гаусса на практике.

Объект(изучения):     Метод Гаусса

Предмет:  Системы линейных уравнений с двумя и более переменными. 

Методы исследования: анализ, обобщение, эксперимент, опрос.

Гипотезы:  С помощью данного метода увеличивается скорость решения систем линейных уравнений. Метод Гаусса можно изучать на уроках       алгебры в 7 – 8 классах как дополнительный метод решения систем уравнений с двумя и более переменными.

 

Глава I

ПОНЯТИЕ МАТРИЦЫ

Матрицей  размера mn, где m – число строк, n – число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются aij, где i – номер строки, а j – номер столбца

 Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.

Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.

Матрица системы – это матрица, составленная только из коэффициентов при неизвестных.

                

Расширенная матрица системы – это та же матрица системы плюс столбец свободных членов, в данном случае.  

        

НЕМНОГО ИЗ БИОГРАФИИ ГАУССА

Иога́нн Карл Фри́дрих Га́усс (1777 — 1855) — немецкий математик, механик, физик, астроном и геодезист. Считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков».

С именем Гаусса связаны фундаментальные исследования почти во всех основных областях математики: в алгебре, теории чисел, дифференциальной и неевклидовой геометрии, теории вероятностей, а также в механике, астрономии, физике и геодезии.

Гаусс чрезвычайно строго относился к своим печатным трудам и никогда не публиковал даже выдающиеся результаты, если считал свою работу над этой темой незавершённой.  Изучение архива Гаусса показало, что он медлил с публикацией ряда своих открытий, и в результате его опередили другие математики. Вот неполный перечень упущенных им трудов.

  • Неевклидова геометрия
  • Эллиптические функции
  • Метод наименьших квадратов
  • Закон распределения простых чисел

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА

Метод Гаусса представляет собой специальный алгоритм последовательного исключения неизвестных из уравнений системы. В этом алгоритме обычно различают два этапа:

Первый этап называется прямой ход,

Второй этап – обратный ход.

Цель прямого хода метода Гаусса заключается в приведение матрицы системы к треугольному виду, когда в результате некоторых элементарных преобразований уравнений системы на главной диагонали матрицы системы будут располагаться ненулевые элементы, а все элементы ниже главной диагонали будут равны нулю. В результате наших преобразований должна получаться система, равносильная исходной системе линейных уравнений. Преобразования, которые позволяют свести исходную систему к треугольной, сохраняя равносильность, называются элементарными. Что будем понимать под элементарными преобразованиями?

Определение. Элементарными преобразованиями уравнений системы называют следующие преобразования:

1) перестановка местами двух любых уравнений;

2) умножение обеих частей какого-либо уравнения на любое число, не равное нулю;

3) прибавление к обеим частям одного из уравнений соответствующих частей любого другого уравнения;

4) перестановка (перенумерация) неизвестных системы.

Примем без доказательства, что все перечисленные преобразования приводят к системам, которые равносильны (эквивалентны) исходной системе линейных уравнений.

Удобно в методе Гаусса работать не с самой системой линейных уравнений, а с основой системы – расширенной матрицей.

Элементарным преобразованиям системы соответствуют следующие элементарные преобразования расширенной матрицы:
1. умножение произвольной строки на любое число, отличное от нуля;
2.  прибавление к произвольной строке матрицы любой другой строки матрицы;

3. перестановка местами любых двух строк;

4. перестановка местами любых двух столбцов матрицы системы;

5. транспонирование.

Решение системы уравнений с двумя переменными

Пример 1. Решим систему:

Решение:

 

                         Ответ: (-4; 1)

Решение системы уравнений с тремя переменными

Пример 2. Решим систему:  

Решение:

                

        

                                             

                                                                                                       Ответ: (-3; 8; 0)                         

Пример 3. Решим систему:

Решение:

     

 

                                                                                                                   

        Ответ: (1; 2; 3).

Пробуем применять изученное к решению задач:

Кондитерская фабрика производит продукцию трех видов: торты, пирожные и рулеты. Для их производства используется сырье трех типов: мука 1 кг, сахар 1 кг, молоко 1 л. Нормы расхода каждого из них на одну продукцию и объем расхода сырья на один день заданы таблицей:

Найти ежедневный объем выпуска каждого вида продукции.

Решение. Пусть ежедневно фабрика выпускает х1 тортов, х2 пирожных и х3 рулетов. Составим систему уравнений.

Составим расширенную матрицу системы :

        

Ответ: фабрика выпускает ежедневно 50 тортов, 200 пирожных и 95 рулетов.

Глава II

Проведение обучающего  эксперимента

Одной из целей моего проекта является научить одноклассников решать системы уравнений методом Гаусса, для чего на спецкурсе по математике я показала и рассказала им о своей работе и предложила  совместно решить несколько систем, состоящих из двух строк, методом Гаусса. Ребят заинтересовал данный метод, они с интересом слушали меня, а потом совместно решали системы уравнений данным методом.  Далее ребятам были предложены системы уравнений и заданы следующие вопросы: 

   Ответ:     Ответ:  

    Ответ:          Ответ:  

 Ответ:             Ответ:

   Ответ:

1. Знакомы ли вы с методом Гаусса?

2. Применяете и вы этот метод?

3. Хотите ли вы что б этот метод был в школьной программе ?

4. Будете ли вы решать системы этим методом?

5. Считаете ли вы этот метод простым ?

Ответы на которые вы можете видеть на диаграмме.

        

Заключение.

Метод Гаусса позволяет решать любые системы линейных уравнений и существенно сократить время нахождения решений систем линейных уравнений. Метод Гаусса доступен для его изучения учащимся 7 – 8 классов при решении систем линейных уравнений  

У меня получилось самой освоить данный метод и передать свои знания одноклассникам. Таким образом,  поставленные мною цели и задачи выполнены. И ещё метод Гаусса прост тем, как мне кажется, что для его освоения не требуется много знаний. А также для матриц ограниченного размера метод Гаусса менее трудоёмкий по сравнению с другими методами, поэтому в будущем я планирую его активно применять при решении систем уравнений.

ЛИТЕРАТУРА

  1. Основы высшей математики: Учеб. пособие для вузов/В.С. Шипачев; под ред.акад. А.Н. Тихонова. —5-е изд.,стер. — М. Высш. Шк., 2003. — 279с.
  2. Высшая математика для экономистов: учебное пособие для студентов экономических специальностей высших учебных заведений /Н.Ш Кремер, Б.А. Путко. — М.: Банки и биржи ЮНИТИ, 1997. – 239с.
  3. Математика. Задачник : учеб. Пособие для образоват. Учреждений нач. и сред. Проф. образования / М. И. Башмаков. — 3-е изд., стер. — М.: Издательский центр «Акадения», 2013. —416с.
  4. http://mathprofi.ru/metod_gaussa_dlya_chainikov.html 
  5. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%93%D0%B0%D1%83%D1%81%D1%81%D0%B0 
  6. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B0%D1%83%D1%81%D1%81,_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%BB_%D0%A4%D1%80%D0%B8%D0%B4%D1%80%D0%B8%D1%85 
  7. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0 

Лекции – матрицы, метод Гаусса


Загрузка…

Лекции – матрицы, метод Гаусса
скачать (34.3 kb.)

Доступные файлы (1):

содержание

    Смотрите также:
  • Метод последовательного исключения (метод Гаусса) [ документ ]
  • по математике [ лекция ]
  • по Линейной алгебре [ лекция ]
  • Решение слау методами Крамера и Гаусса [ документ ]
  • по линейной алгебре [ лекция ]
  • по матричному анализу и линейной алгебре [ лекция ]
  • Численное интегрирование функций [ документ ]
  • Задачи. Матрицы. Обратная матрица [ лабораторная работа ]
  • Вычисление сингулярного разложения матрицы [ документ ]
  • Правило Крамера и метод Гаусса [ лекция ]
  • Вычислительная математика [ документ ]
  • Решение систем линейных уравнений графическим способом Метод Гаусса Visual Basic Практическая часть Описание программы [ документ ]

КОСТРОМСКОЙ ФИЛИАЛ ВОЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА РХБ ЗАЩИТЫ

Кафедра «Автоматизации управления войсками»

Только для преподавателей

“Утверждаю”

Начальник кафедры № 9

полковник ЯКОВЛЕВ А.Б.

«____»______________ 2004 г.

доцент СМИРНОВА А.И.

“МАТРИЦЫ. МЕТОД ГАУССА”

ЛЕКЦИЯ № 2 / 3

Обсуждено на заседании кафедры № 9

«____»___________ 2003г.

Протокол № ___________

Кострома, 2003

Cодержание

Введение


  1. Действия над матрицами.

  2. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Прямоугольная таблица из m, n чисел, содержащая m – строк и n – столбцов, вида:

    называется матрицей размера m ´ n

    Числа, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы.

    Положение элемента аi j в матрице характеризуются двойным индексом:

    первый i – номер строки;

    второй j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент.

    Сокращенно матрицы обозначают заглавными буквами: А, В, С…

    Коротко можно записывать так:

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, т.е. m = n , называется квадратной.

    Число строк (столбцов) квадратной матрицы называется порядком матрицы.

    ПРИМЕР.

    ЗАМЕЧАНИЕ 1. Мы будем рассматривать матрицы, элементами которых являются числа. В математике и ее приложениях встречаются матрицы, элементами которых являются другие объекты, например, функции, векторы.

    ЗАМЕЧАНИЕ 2. Матрица – специальное математическое понятие. С помощью матриц удобно записывать различные преобразования, линейные системы и т.д., поэтому матрицы часто встречаются в математической и технической литературе.

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Матрица размера 1 ´ n, состоящая из одной строки, называется матрицей – строкой.

    Матрица размера т ´ 1, состоящая из одного столбца, называется матрицей – столбцом.

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Нулевой матрицей называют матрицу, все элементы которой равны нулю.

    Рассмотрим квадратную матрицу порядка n:

    побочная диагональ

    главная диагональ

    Диагональ квадратной матрицы, идущая от верхнего левого элемента таблицы к правому нижнему, называется главной диагональю матрицы (на главной диагонали стоят элементы вида а i i).

    Диагональ, идущая от правого верхнего элемента к левому нижнему, называется побочной диагональю матрицы.

    Рассмотрим некоторые частные виды квадратных матриц.


    1. Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю.


    1. Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной. Обозначается:



    1. Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю:

    верхняя нижняя

    треугольная матрица треугольная матрица

    Для квадратной матрицы вводится понятие: определитель матрицы. Это определитель, составленный из элементов матрицы. Обозначается:

    Ясно, что определитель единичной матрицы равен 1: ½Е½ = 1

    ЗАМЕЧАНИЕ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Суммой двух матриц А = (аi j) и В = (bi j) одинакового размера называется матрица С = (сi j) того же размера, элементы которой равны суммам соответствующих элементов слагаемых матриц, т.е. с i j = a i j + b i j

    Обозначается сумма матриц А + В.

    ПРИМЕР.

    УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ НА ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Чтобы умножить матрицу на число k, надо умножить на это число каждый элемент матрицы:

    если А= (а i j ), то k · A= (k · a i j )

    ПРИМЕР. В , т.е. для согласованных матриц матрица А имеет размер m ´ n , матрица В имеет размер n ´ k . Квадратные матрицы согласованы, если они одного порядка.

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Произведением матрицы А размера m ´ n на матрицу В размера n ´ k называется матрица С размера m ´ k, элемент которой аi j , расположенный в i –ой строке и j – ом столбце, равен сумме произведений элементов i – ой строки матрицы А на соответствующие элементы j – столбца матрицы В, т.е.

    cij= a i 1 b 1 j + ai 2 b 2 j +……+ ainbnj

    Обозначим: С = А · В.

    Если то

    Произведение В ´ А не имеет смысла, т.к. матрицы не согласованы.

    ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если А ´ В имеет смысл, то В ´ А может не иметь смысла.

    ЗАМЕЧАНИЕ 2. Если имеет смысл А ´ В и В ´ А, то, вообще говоря

    А ´ В ¹ В ´ А, т.е. умножение матриц не обладает переместительным законом.

    ЗАМЕЧАНИЕ 3. Если А – квадратная матрица и Е – единичная матрица того же порядка, то А ´ Е = Е ´ А = А.

    Отсюда следует, что единичная матрица при умножении играет роль единицы.

    ПРИМЕРЫ. Найти , если можно, А ´ В и В ´ А.



    Решение: Квадратные матрицы одного и того же второго порядка согласованы в томи другом порядке, поэтому А ´ В и В ´ А существуют.

    2.

    Решение: Матрицы А и В согласованы

    Матрицы В и А не согласованы, поэтому В ´ А не имеет смысла.

    Отметим, что в результате перемножения двух матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько их имеет матрица–множимое и столько столбцов, сколько их имеет матрица-множитель.

    СВОЙСТВА УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦ


    1. Сочетательное свойство: А ´ ( В ´ С ) = (А ´ В ) ´С

    2. Распределительное свойство: (А + В) ´ С = А ´ С + В ´С

    Можно показать, что , если А и В – две квадратные матрицы одного порядка с определителями ½ А ½ и ½ В ½, то определитель матрицы С = А ´ В равен произведению определителей перемножаемых матриц, т.е.

    ½С½ = ½ А ½ ½ В ½

    Отметим следующий любопытный факт. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ

    УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА

    Метод Гаусса (или метод последовательного исключения неизвестных) применим для решения систем линейных уравнений, в которых число неизвестных может быть либо равно числу уравнений, либо отлично от него.

    Система т линейных уравнений с п неизвестными имеет вид:

    x1 , x2, …, xn – неизвестные.

    ai j – коэффициенты при неизвестных.

    bi – свободные члены (или правые части)

    Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет решение, и несовместной, если она не имеет решения.

    Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной, если она имеет бесчисленное множество решений.

    Две совместные системы называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений. 2-ой шаг метода Гаусса.

    На втором шаге исключим неизвестное х2 из третьего уравнения системы (3). Пусть коэффициент . Выберем его за ведущий элемент и разделим на него второе уравнение системы (3), получим уравнение:

    ( 4 )

    где

    Из третьего уравнения системы (3) вычтем уравнение (4), умноженное на Получим уравнение:

    Предполагая, что находим

    В результате преобразований система приняла вид:

    (5)

    Система вида (5) называется треугольной.

    Процесс приведения системы (1) к треугольному виду (5) (шаги 1 и 2) называют прямым ходом метода Гаусса.

    Нахождение неизвестных из треугольной системы называют обратным ходом метода Гаусса.

    Для этого найденное значение х3 подставляют во второе уравнение системы (5) и находят х2. Затем х2 и х3 подставляют в первое уравнение и находят х1.

    В общем случае для системы т линейных уравнений с п неизвестными проводятся аналогичные преобразования. На каждом шаге исключается одно из неизвестных из всех уравнений, расположенных ниже ведущего уравнения.

    Отсюда другое называние метода Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных.

    Если в ходе преобразований системы получается противоречивое уравнение вида 0 = b, где b ¹ 0, то это означает, что система несовместна и решений не имеет.

    В случае совместной системы после преобразований по методу Гаусса, составляющих прямой ход метода, система т линейных уравнений с п неизвестными будет приведена или к треугольному или к ступенчатому виду.

    Треугольная система имеет вид:

    Такая система имеет единственное решение, которое находится в результате проведения обратного хода метода гаусса. Ступенчатая система имеет вид:

    Такая система имеет бесчисленное множество решений. Чтобы найти эти решения, во всех уравнениях системы члены с неизвестными хk+1, … , xk переносят в правую часть. Эти неизвестные называются свободными и придают им произвольные значения. Из полученной треугольной системы находим х1, … , xk, которые будут выражаться через свободные неизвестные. Подробнее об этом можно узнать в рекомендуемой литературе.

    Рассмотренный метод Гаусса легко программируется на ЭВМ и является более экономичным (по числу действий), чем другие методы.

    ЗАКЛЮЧЕНИЕ

    Рассмотренные на лекции матрицы являются удобным инструментом для записи различных математических преобразований и широко используется в научно-технической литературе. Метод Гаусса позволяет решать любые линейные системы, он находит широкое применение и содержится в пакетах стандартных программ для ЭВМ.

    доцент Смирнова А.И.

    Скачать файл (34.3 kb.)

    Поиск по сайту:  

1.3: Исключение Гаусса – Математика LibreTexts

  1. Последнее обновление
  2. Сохранить как PDF
  • Идентификатор страницы
    14498
    • Кен Каттлер
    • Университет Бригама Янга via Lyryx

    Работа, которую мы проделали в предыдущем разделе, всегда найдет решение для системы. В этом разделе мы рассмотрим менее громоздкий способ поиска решений. Во-первых, мы представим линейную систему с расширенной матрицей . Матрица — это просто прямоугольный массив чисел. Размер или размерность матрицы определяется как \(m\times n\), где \(m\) — количество строк, а \(n\) — количество столбцов. Чтобы построить расширенную матрицу из линейной системы, мы создаем матрица коэффициентов из коэффициентов переменных в системе, а также константная матрица из констант. Коэффициенты одного уравнения системы составляют одну строку расширенной матрицы.

    Например, рассмотрим линейную систему в примере 1.2.3 \[\begin{array}{c} x+3y+6z=25 \\ 2x+7y+14z=58 \\ 2y+5z=19 \end{array }\nonumber \] Эта система может быть записана в виде расширенной матрицы следующим образом \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & 6 & 25 \\ 2 & 7 & 14 & 58 \\ 0 и 2 и 5 и 19\end{массив} \right] \nonumber \]

    Обратите внимание, что в ней содержится точно такая же информация, как и в исходной системе. Здесь подразумевается, что первый столбец содержит коэффициенты от \(x\) в каждом уравнении по порядку \(\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array} \ right] .\) Аналогичным образом мы создаем столбец из коэффициентов при \(y\) в каждом уравнении, \(\left[ \begin{array}{r} 3 \\ 7 \\ 2 \end{array} \ right]\) и столбец из коэффициентов при \(z\) в каждом уравнении, \(\left[ \begin{array}{r} 6 \\ 14 \\ 5 \end{array} \right] . \ ) Для системы из более чем трех переменных мы будем продолжать таким же образом строить столбец для каждой переменной. Точно так же для системы менее чем с тремя переменными мы просто строим столбец для каждой переменной.

    Наконец, мы строим столбец из констант уравнений, \(\left[ \begin{array}{r} 25\\ 58\\ 19 \end{array} \right] .\)

    Строки расширенной матрицы соответствуют уравнениям в системе. Например, верхняя строка расширенной матрицы \(\left[ \begin{array}{rrrrr} 1 & 3 & 6 & | & 25 \end{array} \right]\) соответствует уравнению \[x +3y+6z=25.\номер \]

    Рассмотрим следующее определение.

    Определение \(\PageIndex{1}\): расширенная матрица линейной системы

    Для линейной системы вида \[\begin{array}{c} a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\ \vdots \\ a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m} \end{array}\nonumber \], где \(x_{i}\) — переменные, а \( a_{ij}\) и \(b_{i}\) являются константами, расширенная матрица этой системы задается как \[\left[ \begin{array}{rrr|r} a_{11} & \cdots & a_{1n} & b_{1} \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} & b_{m} \end{array} \right]\nonumber \ ]

    Теперь рассмотрим элементарные операции в контексте расширенной матрицы. Элементарные операции в определении 1.2.4 можно применять к строкам точно так же, как мы применяли их ранее к уравнениям. Изменения в системе уравнений в результате элементарной операции эквивалентны изменениям расширенной матрицы в результате соответствующей операции со строками. Заметим, что из теоремы 1.2.1 следует, что любые элементарные операции со строками, применяемые к расширенной матрице, не изменят решения соответствующей системы уравнений. Теперь формально определим элементарные операции со строками. Это 9Ключевой инструмент 0056 мы будем использовать для поиска решений систем уравнений.

    Определение \(\PageIndex{2}\): Элементарные операции со строками

    Элементарные операции со строками (также известные как операции со строками ) состоят из следующих

    1. Переключение двух строк.
    2. Умножить строку на ненулевое число.
    3. Заменить строку любым числом, кратным другой добавленной к ней строке.

    Вспомните, как мы решали пример 1.2.3. Мы можем сделать те же шаги, что и выше, только теперь в контексте расширенной матрицы и с использованием операций со строками. Расширенная матрица этой системы равна \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & 6 & 25 \\ 2 & 7 & 14 & 58 \\ 0 & 2 & 5 & 19\end{array} \right]\nonumber \] Таким образом, первым шагом в решении системы (1.2.5) будет взятие \(\left(-2\right)\) раз первой строки расширенного матрицу и добавьте ее во вторую строку, \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & 6 & 25 \\ 0 & 1 & 2 & 8 \\ 0 & 2 & 5 & 19 \ end{массив} \right]\nonumber \] Обратите внимание, как это соответствует (1.2.6). Затем возьмите \(\left( -2\right)\) раз вторую строку и добавьте к третьей, \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & 6 & 25 \\ 0 & 1 & 2 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array} \right]\nonumber \] Эта расширенная матрица соответствует системе \[\begin{array}{c} x+3y+6z=25 \\ y+2z=8 \\ z=3 \end{array}\nonumber \], что совпадает с (1.2.7). Путем обратной замены вы получаете решение \(x=1,y=2,\) и \(z=3. \)

    С помощью систематической процедуры операций со строками мы можем упростить расширенную матрицу и преобразовать ее в ступенчатую форму или сокращенную ступенчатую форму , которую мы определим далее. Эти формы используются для нахождения решений системы уравнений, соответствующих расширенной матрице.

    В следующих определениях термин ведущая запись относится к первой ненулевой записи строки при сканировании строки слева направо.

    Определение \(\PageIndex{3}\): Строковая эшелонированная форма

    Расширенная матрица имеет вид строк-ступенчатая форма if

    1. Все ненулевые строки выше любых строк нулей.
    2. Каждая ведущая запись строки находится в столбце справа от ведущих записей любой строки над ней.
    3. Каждая ведущая запись строки равна \(1\).

    Мы также рассматриваем другую сокращенную форму расширенной матрицы, которая имеет еще одно условие.

    Определение \(\PageIndex{4}\): Сокращенная форма Row-Echelon

    Увеличенная матрица представляет собой сокращенную ступенчато-строковую форму if

    1. Все ненулевые строки выше любых строк нулей.
    2. Каждая ведущая запись строки находится в столбце справа от ведущих записей любых строк над ней.
    3. Каждая ведущая запись строки равна \(1\).
    4. Все записи в столбце выше и ниже ведущей записи равны нулю.

    Обратите внимание, что первые три условия для сокращенной матрицы формы строки-эшелона такие же, как и для матрицы формы строки-эшелона.

    Следовательно, каждая редуцированная матрица формы строки-эшелона также имеет форму строки-эшелона. Обратное не обязательно верно; мы не можем предполагать, что каждая матрица в ступенчато-строчной форме также находится в редуцированной ступенчато-строковой форме. Однако часто бывает, что строчно-ступенчатой ​​формы достаточно, чтобы предоставить информацию о решении системы.

    Следующие примеры описывают матрицы в этих различных формах. В качестве упражнения потратьте время на то, чтобы тщательно убедиться, что они находятся в указанной форме.

    Пример \(\PageIndex{1}\): не в форме строк-эшелонов

    Следующие расширенные матрицы не находятся в форме строк-эшелонов (и, следовательно, также не в сокращенной форме строк-эшелонов).

    \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] ,\left[ \begin{array}{rr|r} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & -6 \\ 4 & 0 & 7 \end{array} \right],\left[ \begin{array}{rrr|r} 0 & 2 & 3 & 3 \\ 1 & 5 & 0 & 2 \\ 7 & 5 & 0 & 1 \ \ 0 & 0 & 1 & 0 \end{массив} \right] \nonumber\]

    Пример \(\PageIndex{2}\): Матрицы в форме строк-эшелонов

    Следующие расширенные матрицы представлены в форме строк-эшелонов, но не в сокращенной форме строк-эшелонов. \[\left[ \begin{array}{rrrrr|r} 1 & 0 & 6 & 5 & 8 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 7 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] ,\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & 5 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{rrr| r} 1 & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]\nonumber \]

    Обратите внимание, что мы можем применить к этим матрицам дополнительные операции со строками, чтобы преобразовать их в сокращенную ступенчатую форму. Потратьте время, чтобы попробовать это самостоятельно. Рассмотрим следующие матрицы в сокращенной ступенчато-строковой форме.

    Пример \(\PageIndex{3}\): матрицы в сокращенной ступенчатой ​​форме

    Следующие расширенные матрицы представлены в сокращенной ступенчатой ​​форме. \[\left[ \begin{array}{rrrrr|r} 1 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{массив} \right] ,\left[ \begin{массив}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{массив} \right], \left[ \begin{array}{rrr| r} 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{массив} \right]\nonumber \]

    Один из способов использования эшелонированной формы матрицы — это идентификация опорных позиций и опорных столбцов матрицы.

    Определение \(\PageIndex{5}\): позиция оси и колонка

    Позиция оси в матрице — это расположение начального элемента в форме строки-эшелона матрицы.

    Сводная колонка — это колонка, содержащая позицию сводки.

    Например, рассмотрим следующее.

    Пример \(\PageIndex{4}\): Позиция оси

    Пусть \[A=\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 6 \\ 4 & 4 & 4 & 10 \end{array} \right]\nonumber \] Где находятся опорные позиции и опорные столбцы расширенной матрицы \(A\)?

    Решение

    Строково-ступенчатая форма этой матрицы имеет вид \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & \frac{3}{ 2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]\nonumber \]

    Это все, что нам нужно в этом примере, но обратите внимание, что эта матрица не имеет редуцированную ступенчатую форму.

    Чтобы идентифицировать точки опоры в исходной матрице, мы ищем ведущие элементы в ступенчатой ​​форме матрицы. Здесь запись в первой строке и первом столбце, а также запись во второй строке и втором столбце являются ведущими записями. Следовательно, эти местоположения являются опорными позициями. Мы идентифицируем опорные позиции в исходной матрице следующим образом: \[\left[ \begin{array}{rrr|r} \fbox{1} & 2 & 3 & 4 \\ 3 & \fbox{2} & 1 & 6 \\ 4 & 4 & 4 & 10 \end{array} \right]\nonumber \] Таким образом, опорными столбцами в матрице являются первые два столбца.

    Ниже приведен алгоритм преобразования матрицы в ступенчато-строчную форму и сокращенную ступенчато-строковую форму. Вы можете использовать этот алгоритм, чтобы преобразовать приведенную выше матрицу в эшелонированную форму или сокращенную форму эшелона строк самостоятельно для практики.

    Алгоритм \(\PageIndex{1}\): Алгоритм редуцированной ступенчатой ​​формы

    Этот алгоритм предоставляет метод использования операций со строками для приведения матрицы к ее сокращенной ступенчатой ​​форме. Начнем с матрицы в ее исходном виде.

    1. Начиная слева, найти первый ненулевой столбец. Это первый опорный столбец, а положение в верхней части этого столбца является первой опорной позицией. При необходимости поменяйте местами ряды, чтобы поместить ненулевое число в первую опорную позицию.
    2. Используйте операции со строками, чтобы сделать записи ниже первой позиции сводки (в первом столбце сводки) равными нулю.
    3. Игнорируя строку, содержащую первую точку поворота, повторите шаги 1 и 2 с оставшимися строками. Повторяйте процесс до тех пор, пока не останется строк для изменения.
    4. Разделите каждую ненулевую строку на значение ведущей записи, чтобы ведущая запись стала \(1\). Тогда матрица будет иметь форму строки-эшелона.

      На следующем шаге матрица будет переведена из ступенчато-строковой формы в уменьшенную ступенчато-строковую форму.

    5. Двигаясь справа налево, используйте операции со строками, чтобы создать нули в записях сводных столбцов, которые находятся над позициями сводки. Результатом будет матрица в сокращенной строчно-эшелонной форме.

    Чаще всего мы будем применять этот алгоритм к расширенной матрице, чтобы найти решение системы линейных уравнений. Однако мы можем использовать этот алгоритм для вычисления редуцированной ступенчатой ​​формы любой матрицы, которая может быть полезна в других приложениях.

    Рассмотрим следующий пример алгоритма \(\PageIndex{1}\).

    Пример \(\PageIndex{5}\): нахождение ступенчатой ​​формы матрицы и редуцированной ступенчатой ​​формы матрицы

    Пусть \[A = \left[ \begin{array}{rrr} 0 & -5 & – 4 \\ 1 & 4 & 3 \\ 5 & 10 & 7 \end{array} \right]\nonumber \] Найдите эшелонированную форму \(A\). Затем завершите процесс до тех пор, пока \(A\) не окажется в редуцированной форме строки-эшелона.

    Решение

    При работе с этим примером мы будем использовать шаги, описанные в алгоритме \(\PageIndex{1}\).

    1. Первый опорный столбец — это первый столбец матрицы, так как это первый ненулевой столбец слева. Следовательно, первая точка поворота находится в первой строке и первом столбце. Переключите первые две строки, чтобы получить ненулевую запись в первой позиции поворота, показанной в поле ниже. \[\left[ \begin{array}{rrr} \fbox{1} & 4 & 3 \\ 0 & -5 & -4 \\ 5 & 10 & 7 \end{array} \right]\nonumber \]
    2. Второй шаг включает в себя создание нулей в записях ниже первой опорной позиции. Первая запись второй строки уже является нулем. Все, что нам нужно сделать, это вычесть в \(5\) раз первую строку из третьей строки. Результирующая матрица имеет вид \[\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 4 & 3 \\ 0 & -5 & -4 \\ 0 & 10 & 8 \end{array} \right]\nonumber \]
    3. Теперь игнорируйте верхнюю строку. Примените шаги \(1\) и \(2\) к меньшей матрице \[\left[ \begin{array}{rr} -5 & -4\\ 10 & 8 \end{array} \right]\nonumber \] В этой матрице первый столбец является опорным столбцом, а \(-5\) находится в первой опорной позиции. Поэтому нам нужно создать ноль под ним. Для этого прибавьте \(2\) раз первую строку (этой матрицы) ко второй. Результирующая матрица имеет вид \[\left[ \begin{array}{rr} -5 & -4\\ 0 & 0 \end{array} \right]\nonumber \] Наша исходная матрица теперь выглядит как \[\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 4 & 3 \\ 0 & -5 & -4 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right]\nonumber \] Мы видим, что строк больше нет модифицировать.
    4. Теперь нам нужно создать ведущие \(1\) в каждой строке. В первой строке уже есть начальный символ \(1\), поэтому здесь ничего делать не нужно. Разделите вторую строку на \(-5\), чтобы создать ведущую \(1\). Результирующая матрица имеет вид \[\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right ]\nonumber \] Теперь эта матрица представлена ​​в виде эшелонированной строки.
    5. Теперь создайте нули в записях над опорными позициями в каждом столбце, чтобы довести эту матрицу до сокращенной формы строки-эшелона. Обратите внимание, что в третьем столбце нет точки поворота, поэтому нам не нужно создавать нули в этом столбце! Столбец, в котором нам нужно создать нули, является вторым. Для этого вычтите в \(4\) раза вторую строку из первой строки. Результирующая матрица имеет вид \[\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & – \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} \\ 0 & 0 & 0 \end{массив} \right]\nonumber \]

    Эта матрица теперь представлена ​​в сокращенной ступенчато-строковой форме.

    Приведенный выше алгоритм дает вам простой способ получить ступенчатую форму матрицы и сокращенную ступенчатую форму матрицы. Основная идея состоит в том, чтобы выполнять операции со строками таким образом, чтобы в итоге получить матрицу в форме строки-эшелона или сокращенной форме строки-эшелона. Этот процесс важен, потому что полученная матрица позволит вам осмысленно описать решения соответствующей линейной системы уравнений.

    В следующем примере мы рассмотрим, как решить систему уравнений, используя соответствующую расширенную матрицу.

    Пример \(\PageIndex{6}\): поиск решения системы

    Дайте полное решение следующей системе уравнений \[\begin{array}{c} 2x+4y-3z=-1\\ 5x+10y-7z=-2\\ 3x+6y+5z=9 \end{array}\nonumber \]

    Решение

    Расширенная матрица для этой системы: \[\left[ \begin{array}{rrr |r} 2 & 4 & -3 & -1 \\ 5 & 10 & -7 & -2 \\ 3 & 6 & 5 & 9 \end{массив} \right]\nonumber \]

    Чтобы найти решение этой системы, мы хотим привести расширенную матрицу к сокращенной ступенчато-строковой форме. Мы сделаем это, используя алгоритм \(\PageIndex{1}\). Обратите внимание, что первый столбец не равен нулю, так что это наш первый сводной столбец. Первая запись в первой строке, \(2\), является первой ведущей записью и находится в первой позиции поворота. Мы будем использовать операции со строками для создания нулей в записях ниже \(2\). Во-первых, замените вторую строку на \(-5\), умноженное на первую строку, плюс на \(2\), умноженное на вторую строку. Это дает \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 2 & 4 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 3 & 6 & 5 & 9\end{array} \right]\nonumber \] Теперь замените третью строку на \(-3\), умноженное на первую строку, плюс на \(2\), умноженное на третью строку. Это дает \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 2 & 4 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 21 \end{array} \ right]\nonumber \] Теперь записи в первом столбце ниже точки поворота равны нулю. Теперь мы ищем второй опорный столбец, в данном случае это третий столбец. Здесь \(1\) во второй строке и третьем столбце находится в опорной позиции. Нам нужно выполнить только одну операцию со строкой, чтобы создать ноль ниже \(1\).

    Умножение второй строки на \(-1\) и добавление ее к третьей строке дает \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 2 & 4 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 20 \end{array} \right]\nonumber \]

    Мы могли бы продолжить алгоритм, чтобы преобразовать эту матрицу в ступенчато-строковую форму или сокращенную ступенчато-строковую форму. Однако помните, что мы ищем решения системы уравнений. Еще раз взгляните на третью строку матрицы. Обратите внимание, что оно соответствует уравнению \[0x+0y+0z=20\nonnumber \]. У этого уравнения нет решения, потому что для всех \(x,y,z\) левая часть будет равна \(0\) и \(0\neq 20.\) Это показывает, что данная система уравнений не имеет решения. Другими словами, эта система несовместима.

    Ниже приведен еще один пример того, как найти решение системы уравнений путем приведения соответствующей расширенной матрицы к уменьшенной ступенчато-строковой форме.

    Пример \(\PageIndex{7}\): бесконечное множество решений

    Дайте полное решение системы уравнений \[\begin{array}{c} 3x-y-5z=9 \\ y-10z =0 \\ -2x+y=-6 \end{array}\label{eq:1.8}\]

    Решение

    Расширенная матрица этой системы: \[\left[ \begin{array}{rrr| г} 3 и -1 и -5 и 9\\ 0 & 1 & -10 & 0 \\ -2 & 1 & 0 & -6 \end{array} \right]\nonumber \] Чтобы найти решение этой системы, мы перенесем расширенную матрицу в уменьшенная ступенчатая форма с использованием алгоритма \(\PageIndex{1}\). Первый столбец является первым сводным столбцом. Мы хотим использовать операции со строками для создания нулей под первой записью в этом столбце, которая находится в первой позиции поворота. Замените третью строку на \(2\), умноженное на первую строку, на \(3\), умноженную на третью строку. Это дает

    \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 3 & -1 & -5 & 9 \\ 0 & 1 & -10 & 0 \\ 0 & 1 & -10 & 0 \end{array } \right]\nonumber \]

    Теперь мы создали нули под \(3\) в первом столбце, поэтому переходим ко второму сводному столбцу (который является вторым столбцом) и повторяем процедуру. Возьмите \(-1\) раз вторую строку и прибавьте к третьей строке. \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 3 & -1 & -5 & 9 \\ 0 & 1 & -10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right ]\nonumber \] Запись под точкой поворота во втором столбце теперь равна нулю. Обратите внимание, что у нас больше нет сводных столбцов, потому что у нас есть только две ведущие записи.

    На этом этапе мы также хотим, чтобы ведущие записи были равны единице. Для этого разделите первую строку на \(3\). \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & – \frac{1}{3} & – \frac{5}{3} & 3 \\ 0 & 1 & -10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{массив} \right]\nonumber \]

    Теперь эта матрица имеет форму эшелона строк.

    Продолжим операции со строками до тех пор, пока матрица не будет приведена к сокращенной ступенчато-строковой форме. Это включает в себя создание нулей над опорными позициями в каждом сводном столбце. Для этого требуется только один шаг, который состоит в том, чтобы добавить \(\frac{1}{3}\) раз вторую строку к первой строке. \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & -5 & 3 \\ 0 & 1 & -10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \номер\]

    Это в сокращенной форме строки-эшелона, которую вы должны проверить с помощью определения \(\PageIndex{4}\). Уравнения, соответствующие этой сокращенной форме строки-эшелона, имеют вид \[\begin{array}{c} x – 5z=3 \\ y – 10z = 0 \end{array}\nonumber \] или \[\begin{array} {c} x=3+5z \\ y = 10z \end{array}\nonumber \]

    Обратите внимание, что \(z\) не ограничивается никаким уравнением. На самом деле \(z\) может равняться любому числу. Например, мы можем положить \(z = t\), где мы можем выбрать \(t\) в качестве любого числа. В этом контексте \(t\) называется параметр . Следовательно, набор решений этой системы равен \[\begin{array}{c} x=3+5t \\ y=10t \\ z=t \end{array}\nonumber \], где \(t\) равно произвольный. Система имеет бесконечное множество решений, которые задаются этими уравнениями. Для любого значения \(t\), которое мы выбираем, \(x, y,\) и \(z\) будут заданы приведенными выше уравнениями. Например, если мы выберем \(t=4\), то соответствующее решение будет \[\begin{array}{c} x = 3 + 5 (4) = 23\\ y = 10(4)=40 \ \ z=4 \end{массив}\номер \]

    В примере \(\PageIndex{7}\) решение включало один параметр. Может случиться так, что решение системы включает более одного параметра, как показано в следующем примере.

    Пример \(\PageIndex{8}\): набор решений с двумя параметрами

    Найдите решение системы \[\begin{array}{c} x+2y-z+w=3 \\ x+y -z+w=1 \\ x+3y-z+w=5 \end{array}\nonumber \]

    Решение

    Расширенная матрица имеет вид \[\left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & 2 & -1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & -1 & 1 & 5 \end{array} \right]\nonumber \] Мы хотим нести эту матрицу к строчно-эшелонному виду. Здесь мы опишем используемые операции со строками. Однако убедитесь, что вы понимаете шаги с точки зрения алгоритма \(\PageIndex{1}\).

    Умножить на \(-1\) первую строку и прибавить ко второй. Затем возьмите \(-1\) раз первую строку и прибавьте к третьей. Это дает \[\left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & 2 & -1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 \end{array} \right]\nonumber \]

    Теперь добавьте вторую строку к третьей строке и разделите вторую строку на \(-1\). \[\left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & 2 & -1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{ массив} \right] \label{twoparameters1}\]

    Эта матрица имеет форму эшелона строк, и мы можем видеть, что \(x\) и \(y\) соответствуют опорным столбцам, а \(z\) и \(w\) – нет. Поэтому мы назначим параметры переменным \(z\) и \(w\). Присвойте параметру \(s\) значение \(z\), а параметр \(t\) – значению \(w.\). Тогда первая строка дает уравнение \(x+2y-s+t=3\), а вторая строка дает уравнение \(y=2\). Поскольку \(y=2\), первое уравнение становится \(x+4-s+t=3\), показывая, что решение дается \[\begin{array}{c} x=-1+s-t \ \ y=2 \\ z=s \\ w=t \end{array}\nonumber \] Это решение принято записывать в виде \[\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ w \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} -1+s-t \\ 2 \\ s \\ t \end{array} \right] \label{ два параметра2}\]

    В этом примере показана система уравнений с бесконечным набором решений, зависящим от двух параметров. Это может быть менее запутанным в случае набора бесконечных решений, чтобы сначала поместить расширенную матрицу в сокращенную форму строки-эшелона, а не просто в форму строки-эшелона, прежде чем пытаться записать описание решения.

    В приведенных выше шагах это означает, что мы не останавливаемся на форме строки-эшелона в уравнении \(\eqref{twoparameters1}\). Вместо этого мы сначала поместим его в сокращенную форму строки-эшелона следующим образом. \[\left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end {массив} \right]\nonumber \] Тогда решение равно \(y=2\) из второй строки и \(x=-1+z-w\) из первой. Таким образом, если \(z=s\) и \(w=t,\), решение задается \(\eqref{twoparameters2}\).

    Здесь вы видите, что есть два пути к правильному ответу, оба из которых дают один и тот же ответ. Следовательно, можно использовать любой подход. Процесс, который мы впервые использовали в приведенном выше решении, называется Исключение по Гауссу Этот процесс включает в себя преобразование матрицы в ступенчатую форму, преобразование обратно в уравнения и использование обратной подстановки для поиска решения. Когда вы выполняете операции со строками до тех пор, пока не получите уменьшенную форму строки-эшелона, процесс называется Исключение Гаусса-Жордана .

    Теперь мы нашли решения для систем уравнений без решений и с бесконечным числом решений, как с одним, так и с двумя параметрами. Вспомните три типа наборов решений, которые мы обсуждали в предыдущем разделе; нет решения, одно решение и бесконечно много решений. Каждый из этих типов решений может быть идентифицирован по графу системы. Оказывается, тип решения можно определить и по сокращенной строчно-эшелонной форме расширенной матрицы.

    • Нет решения: В случае, когда система уравнений не имеет решения, линейно-ступенчатая форма расширенной матрицы будет иметь строку вида \[\left[ \begin{array}{rrrrr} 0 & 0 & 0 & | & 1 \end{array} \right]\nonumber \] Эта строка указывает, что система несовместима и не имеет решения.
    • Одно решение: В случае, когда система уравнений имеет одно решение, каждый столбец матрицы коэффициентов является опорным столбцом. Ниже приведен пример расширенной матрицы в сокращенной ступенчатой ​​форме для системы уравнений с одним решением. \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right]\nonumber \]
    • Бесконечное множество решений: В случае, когда система уравнений имеет бесконечно много решений, решение содержит параметры. Будут столбцы матрицы коэффициентов, которые не являются сводными столбцами. Ниже приведены примеры расширенных матриц в редуцированной ступенчатой ​​форме для систем уравнений с бесконечным числом решений. \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]\ nonumber \] или \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & -3 \end{array} \right]\nonumber \]

    Эта страница под названием 1.3: Gaussian Elimination распространяется под лицензией CC BY 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Кеном Каттлером (Lyryx) с использованием исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

    1. Наверх
      • Была ли эта статья полезной?
      1. Тип изделия
        Раздел или Страница
        Автор
        Кен Каттлер
        Лицензия
        СС BY
        Версия лицензии
        4,0
        Показать страницу TOC
        нет
      2. Теги
        1. расширенная матрица
        2. постоянная матрица
        3. элементарные операции со строками
        4. Исключение Гаусса
        5. источник@https://lyryx. com/first-course-linear-алгебра

      [1/3] Полное руководство по исключению Гаусса | Адам Дхалла

      Часть 1 из 3: Что это значит и как мы [люди] его вычисляем, развороты, особые случаи, обмен строками и понимание геометрии с использованием диапазонов и линейных комбинаций.

      Эта серия может выступать своего рода конспектом лекций 1–4 проф. Класс Гилберта Стрэнга 18.06 на MIT OCW, а также некоторые дополнительные лакомые кусочки интуиции, которые я смог собрать.

      Продолжая свой личный путь изучения линейной алгебры, я хотел бы поделиться, в основном из своих эгоистичных соображений (написание понятий делает их прилипчивыми) интуитивными догадками об фундаментальном понятии линейной алгебры: использование матричных обозначений для решить систему уравнений.

      Исключение по Гауссу является начальной концепцией многих курсов линейной алгебры для первого года обучения. Это краткое объяснение предназначено для того, чтобы помочь любому, кто проходит один из этих курсов, узнать об исключении Гаусса и, что более важно (мы потратим на это больше времени), разложить эту систему на множители в виде A = LU.

      Я бы порекомендовал иметь четкое представление об основах исключения Гаусса (и всех концепциях ниже), хотя я все равно рассмотрю его.

      Содержание:

      Это исчерпывающее руководство, но если вы ищете конкретную информацию, воспользуйтесь этими ссылками:

      • Почему наш классический способ решения линейных систем не работает
      • Мотивация исключения Гаусса
      • Верхний треугольник
      • Исключение Гаусса в системе (2 x 2)
      • Сводные точки
      • Временная разбивка и обмен строками (не в единственном числе)
      • Постоянный разбивка, т. е. сингулярный случай
      • Случай одиночной системы #1: Бесконечные решения
      • Случай одиночной системы #2: Нет решений
      • Геометрический вид сингулярного случая

      Почему наш классический способ решения линейных систем не работает

      Мы хорошо знакомы с линейными системами уравнений, может быть, со средней школы — не позднее второго года старшей школы .

      Было несколько способов их решения — вы могли использовать одно уравнение для решения некоторого неизвестного, а затем заменить это неизвестное его новым значением в другом уравнении. Это называется заменой .

      Вы также можете исключить целых уравнений, складывая и вычитая сами уравнения.

      И хотя исключение Гаусса немного ближе к последнему, с любым из этих методов все же есть проблема. Оба они работают в небольших системах из 2 или 3 уравнений и неизвестных, но когда вы добираетесь до больших систем, вам нужны методическая и надежная формула, которая работает со всеми системами.

      Когда вы решаете большие системы, это делает компьютер. Довольно сложно заставить компьютер выполнять либо исключение, либо замену так, как нас учили классически, поскольку методы отличаются от уравнения.

      Эта потребность в методической формуле является причиной существования исключения Гаусса.

      Мотивация исключения по Гауссу

      Исключение по Гауссу — это способ методичного и предсказуемого решения системы уравнений с использованием матриц.

      Давайте рассмотрим пример системы и решим ее методом исключения.

      Очевидно, нам не нужна линейная алгебра, чтобы решить это. Черт возьми, мы можем решить это с первого взгляда. Ответ совершенно очевиден x = y = 1. Но все становится экспоненциально сложнее, чем больше неизвестных и уравнений у нас есть.

      Мы можем хранить всю эту информацию в одной матрице и двух векторах, матрице, в которой хранятся все наши коэффициенты A, векторе неизвестных x и наших ответах b.

      Если мы умножим это, мы получим ту же систему уравнений. Что еще более важно, мы действительно можем избавиться от векторов x и y во время исключения, поскольку они не несут никакой информации. Мы знает , что система 2 x 2 и, следовательно, имеет два неизвестных.

      Таким образом, мы можем создать дополненную матрицу из A и b.

      Справа от пунктирной линии – наша матрица коэффициентов, слева – наши ответы.

      Вышеприведенное можно прочитать как два уравнения: 1x + 1y = 2 и 2x + 1y = 3 (если представить, что вектор x и y все еще существует — или, проще, просто представить соответствующее неизвестное, сидящее рядом к каждому коэффициенту

      Аналогичным образом можно выполнить исключение в этой матричной форме. Что мы хотим сделать, так это превратить матрицу коэффициентов A в U — , что мы называем верхним треугольником .

      Верхний треугольный

      Верхний треугольный (U) – это особый вариант матрицы, в которой ниже диагонали только нули. Верхние треугольные узоры встречаются только в квадратных матрицах. Ниже приведены (2 x 2), (3 x 3) и (4 x 4) верхние треугольные матрицы.

      Причина, по которой верхнетреугольные матрицы предпочтительнее при решении систем уравнений, заключается в том, что они облегчают их решение. Давайте на мгновение представим систему уравнений с три уравнения и три неизвестных.

      слева формат Ax+b, а справа дополненный стиль. Оба эквивалентны.

      Если матрица коэффициентов уже находится в верхнем треугольном виде, как показано выше, система становится очень простой для решения. Вы можете решить ее снизу вверх. Нижний элемент просто указывает, что это такое.

      В верхнем треугольнике это то, во что превращается ваша система.

      Теперь мы можем легко решать снизу вверх. Мы можем легко вычислить, что z должно быть, и мы можем подставить это значение z в приведенное выше уравнение, чтобы легко найти d . Это называется обратной заменой .

      Это может быть легче понять на конкретном примере. Посмотрим еще один верхний треугольник в формате Ax = b и дополненный.

      слева — формат Ax+b, а справа — дополненный стиль. Оба эквивалентны.

      Соответствующая система уравнений (она должна быть у вас в голове, когда вы это видите) выглядит так.

      Мы можем легко понять это снизу вверх. Мы можем с первого взгляда увидеть, что z равно 3, и затем мы можем подставить это в уравнения выше ( обратная замена) и найти каждую переменную по одной, что делает это довольно легко. Мы можем узнать, что y должно = 1 и x = 2.

      Исключение Гаусса в системе (2 x 2)

      Давайте теперь вернемся к нашему примеру, чтобы лучше понять, куда мы хотим двигаться. Мы хотим каким-то образом превратить матрицу коэффициентов слева в число 9.0056 верхняя треугольная матрица, которую легко решить.

      Наш пример (2 x 2).

      То, как мы это делаем, напоминает нашу классическую стратегию ликвидации. Чтобы создать верхнюю треугольную матрицу (2 x 2), мы хотим, чтобы место, занимаемое нашей двойкой, было занято 0. Нам все равно, какие числа — помните, верхний треугольник имеет только 0 ниже диагонали. Это единственные критерии.

      Мы выполняем наше первое исключение , чтобы преобразовать эту 2 в 0. Мы умножаем первую строку нашей матрицы коэффициентов [ 1 1 ] и вычитаем ее из нижней строки [ 2 1 ], выбирая множитель, который отменяет 2

      Если это поможет, думайте об этом так же, как об уничтожении старой школы — мы делаем то же самое. Правильный множитель для умножения первой строки: 2. После умножения нашей первой строки на 2, мы получаем [ 2 2 ], который затем вычитаем из второй строки, чтобы получить нашу обновленную матрицу.

      Но, заметьте, мы не меняли правую сторону! И вы будете полностью правы. Как и в классическом исключении, мы делаем то же самое действие умножения и вычитания с левой стороны. Итак, мы умножаем первое число 2 на наш множитель 2 и вычитаем его из 3, чтобы получить -1.

      Обратите внимание, что наша верхняя строка не меняется, когда мы умножаем ее и вычитаем из следующей строки, изменяется только строка ниже. Это также напоминает то, как мы делаем классическое исключение — мы используем уравнение как инструмент для упрощения других уравнений — мы не изменяем само исходное уравнение.

      А теперь смотри! У нас есть упрощенная система с верхним треугольником в качестве матрицы коэффициентов. Записав это снова в полном виде, получим:

      Где U — верхний треугольник, x неизвестная матрица, и c, наша модифицированная «правая сторона» (ранее b ).

      Просто напомним. Мы перешли от Ax = b к Ux = c , преобразовав нашу матрицу A (исключение) в верхний треугольный U, применив то же преобразование к b, чтобы сохранить согласованность с обеих сторон равенства. Итак, эти две совершенно равнозначные системы.

      Исключение Гаусса в системе (3 x 3)

      Давайте немного попрактикуемся с исключением Гаусса в менее тривиальной форме, в матрице (3 x 3). Снова используем конкретный пример. Скажем, мы хотели решить эту систему.

      Выглядит довольно устрашающе. Обратите внимание, что пробел в первой строке соответствует первому уравнению, не включающему z. Во-первых, давайте преобразуем его в эквивалентную матричную форму и расширенную матрицу Ax = b и A | б.

      Теперь мы можем преобразовать нашу матрицу коэффициентов в верхний треугольник, выполнив серию шагов, аналогичных тем, которые выполняются для матрицы (2 x 2).

      Чтобы превратить нашу матрицу в верхний треугольник, мы хотим, чтобы три точки в левом нижнем углу (в настоящее время занятые 4, 2 и 2) были равны 0. Опять же, нас не волнуют числа на диагонали и над ней. — они могут быть какими угодно.

      Наш первый шаг состоит в том, чтобы сделать 4 во второй строке, первом столбце равным нулю аналогичным образом. Множитель, на который мы умножаем первую строку перед вычитанием, равен 2, поэтому 2 в первой строке отменяет 4 во второй строке. Затем мы вычитаем это 2 x [ 2 3 0 ] = [ 4 6 0 ] из второй строки.

      Затем мы делаем то же самое вычисление с правой стороны, умножая 8 на 2 и вычитая его из 9, получая -7.

      На один шаг ближе от нашего А к У!

      Наш следующий шаг — удалить 2 в нижнем левом углу. Мы сделаем это, снова умножив первую строку, но на этот раз вычтя ее из третья строка , выбрав множитель, который будет умножаться на 2 из первой строки и отменять 2 в третьей строке.

      Этот множитель равен всего 1. Мы умножаем нашу первую строку на 1 x [ 2 3 0 ] = [ 2 3 0 ], которую затем вычитаем из [ 2 2 3 ]. [ 2 2 3 ] – [ 2 3 0 ]= [ 0 -1 3].

      И не забудьте сделать то же самое с правой стороны — взять 8, умножить на 1 и вычесть из 9, чтобы получить 1.

      Теперь обратите внимание, что мы очистили все числа ниже диагонали в первом столбце. нам сделано с этой колонкой.

      Прежде чем мы перейдем к очистке этого -1 во втором столбце, я хотел бы указать кое-что об исключениях, которые мы делали.

      Pivots

      До сих пор мы основывали наш выбор множителя на том, что умножается на 2 (первая строка, первый столбец) и исключается на числа под ним. Именно так мы определяем наш множитель. Это делает его важным, в любом случае в этой колонке. Мы называем это число разворотом . Точнее, первая опорная точка, , так как это первая из трех опорных точек в нашем уравнении.

      Это три точки опоры в нашей матрице прямо сейчас. Я подчеркиваю важность этой части прямо сейчас — мы действительно не рассматриваем опорные точки, пока мы не получим для них . Вы увидите, что наша третья опорная точка, 3, больше не будет 3, как только мы выполним еще один шаг исключения. Таким образом, мы на самом деле не думаем о опорных точках, пока не доберемся до них, поскольку этапы исключения часто изменяют ряды под ними, а вместе с ними и опорные точки.

      Развороты станут более важными позже. А пока вернемся к нашему примеру.

      Теперь нам нужно избавиться от -1 в третьей строке, во втором столбце. (3, 2 позиция). Для этого мы используем наш второй пивот . Поскольку первый столбец полностью состоит из нулей и не повлияет на наши вычисления, мы можем думать об этом почти как о нахождении верхнего треугольника системы 2 x 2 .

      Как и раньше, мы смотрим на нашу вторую строку и видим, на какое число мы должны ее умножить, чтобы -1 во второй строке уравновешивалось с -1 в третьей строке. Этот множитель равен 1, , так как при умножении получится -1 (-1 x 1), а при вычитании из следующей строки прибавится к 0 (-1- -1 = -1 + 1 = 0).

      Опять же, мы делаем то же самое вычисление с правой частью, умножая наше -7 на 1 и вычитая его из 1, чтобы получить 8 (1–7 = 1 + 7 = 8).

      Теперь наша исходная матрица A стала верхним треугольником U, а наша правая часть изменилась с b, исходной правой стороны, на c, модифицированную.

      Теперь ее можно легко решить восходящим путем с помощью обратной подстановки.

      Начав снизу с z = 1, и расширив вверх, мы получим ответ z = 1 , y = 2 и x = 2.

      Чтобы лучше понять исключение Гаусса, мы должны задайте критический вопрос: когда алгоритм исключения Гаусса не работает? Возможны два случая. Временный сбой и постоянный сбой .

      Нули могут никогда не существовать в позиции оси. Когда это происходит, элиминация прекращается либо временно, либо навсегда.

      Посмотрим как.

      Временная разбивка и обмен строками (не в единственном числе)

      Когда ноль существует где-либо, кроме последней опорной точки , мы имеем временную разбивку. т. е. они неособы и имеют единственное решение.

      Когда в опорной позиции стоит ноль, мы не можем исключить 2 или 5 в первом столбце, потому что нет ничего, на что мы могли бы умножить 0, чтобы исключить 2 или 5, поскольку 0 x любое число = 0.

      Что делать мы делаем, чтобы решить эту проблему? А обмен строками. Так как число в первом опорном разряде равно 0, мы можем поменять местами первую и вторую строки, чтобы ноль больше не доставлял нам хлопот.

      Теперь мы можем умножить нашу опорную точку. В качестве дополнительного бонуса нам не нужно исключать число в позиции (2, 1), так как оно уже равно 0.

      Та же проблема может возникнуть и во втором столбце. Скажем, мы начинаем с довольно скромной (3 x 3) матрицы, такой как эта:

      После того, как мы использовали исключение, чтобы избавиться от первого столбца (4), у нас осталась проблема.

      Второй стержень превратился в 0! Мы можем сделать то же самое, чтобы исправить это, но на этот раз обмен строками между строками 2 и 1. Это исправляет систему, а также решает ее.

      Помните, что при замене строк в расширенной матрице мы также должны поменять местами правую часть b.

      Это имеет большой смысл, если вы думаете об этом с точки зрения уравнений. Совершенно очевидно, что изменение порядка уравнений требует, чтобы вы меняли ответы. Взглянув на это уравнение, вы поймете, что это совершенно очевидно.

      Итак, когда поломка становится постоянной?

      Постоянный сбой, т. е. единичный случай

      Когда мы сталкиваемся с постоянным сбоем, это происходит потому, что у нас либо недостаточно информации в системе, либо противоречивая информация в системе. Первый создает бесконечных решений, а второй создает без решений.

      Переходим к делу: поломка необратима, когда последний опорный пункт равен нулю. Логически, это логично. Когда вы находитесь в последней строке и сталкиваетесь с нулем, под ним больше нет строк, на которые можно было бы переключиться, и вы не можете переключиться на строку выше (это разрушит верхнюю треугольную форму, к которой вы строите).

      Случай сингулярной системы №1: бесконечные решения

      Давайте рассмотрим их в матрицах (2 x 2), так как это довольно легко понять. Вот система, которая является единственной.

      Обратите внимание, что когда мы делаем исключение, мы получаем:

      О нет, последняя опорная точка равна 0, что означает, что она единственная. Давайте посмотрим, что это означает в виде системы уравнений.

      Мы можем ясно видеть, что эта система уравнений имеет бесконечных решений. Поскольку второе уравнение оценивается как 0 = 0, что верно независимо от значений x и y , у нас остается одно уравнение для описания двух неизвестных, что дает бесконечное количество примеров.

      Оглядываясь назад на исходную систему, становится ясно, почему у нас бесконечное количество примеров.

      Второе уравнение не добавляет никакой информации в нашу систему. Это просто первое уравнение, умноженное на два. У нас остается то же количество информации, как если бы у нас было только одно уравнение, и у нас недостаточно ограничений, чтобы найти единственное значение 9.0056 х и г.

      Это происходит во множестве ситуаций. В двух словах, эта проблема бесконечных решений возникает, когда одно (или несколько) наших уравнений состоит из некоторой комбинации других уравнений в системе.

      Вот два менее очевидных примера подобного случая с бесконечным числом ответов.

      В обоих этих случаях мы получаем два уравнения для описания 3 неизвестных. Этого недостаточно, и мы таким образом получаем бесконечное количество решений.

      Вариант сингулярной системы № 2: Нет решений

      Второй тип постоянной поломки, когда мы получаем без решений, очень похож. По сути, это когда левая часть нашей системы представляет собой некоторую комбинацию друг друга, а правая часть содержит противоречивую информацию. Давайте посмотрим, что это означает на простом примере 2 x 2.

      Это идентично системе, которую мы исследовали в случае бесконечных решений, за исключением того, что я изменил 12 в b в 13.

      Возможно, вы уже видите, к чему все идет. Давайте воспользуемся методом исключения Гаусса, чтобы упростить систему уравнений. В итоге мы получим следующее:

      Если мы запишем это в виде уравнения, мы увидим, что оно содержит противоречивую информацию.

      0 не равно 1. Таким образом, это уравнение неверно для любых неизвестных x или y. Эта система не имеет решений.

      Этот тип сингулярного случая без решения возникает, когда левая часть представляет собой некоторую комбинацию друг друга, как здесь, но правые части не соответствуют той же комбинации. Раньше у нас были бесконечные решения, потому что правая часть совпадала, и мы получили 0 = 0. Но поскольку мы изменили левую часть и по-разному изменили правую часть, в некотором смысле у нас нет решений вместо бесконечного числа. количество.

      Два других наших примера в бесконечном случае становятся примерами для случаев без решения, если мы просто изменим правые части, чтобы сделать их несовместимыми.

      Действительно, замена 9 и 10 на любое другое число, которое не равно 9 или 10, не приведет к решению.

      Но как определить, является ли система единственной, не пройдя весь путь исключения? Это, как и многие концепции линейной алгебры, требует геометрического понимания.

      Геометрический вид особого случая

      Эта часть требует хорошего понимания комбинаций span и linear. Если вы сомневаетесь в этом, это видео все объясняет.

      Кроме того, мы должны смотреть как на изображение строки , так и на представление столбца матрицы. Это предполагает рассмотрение матрицы не как системы уравнений, а как векторов в пространстве. Если вы не знакомы с обоими из них, смотрите, эта лекция великолепно освещает все это.

      Вот очень быстрое обновление одной картинки для изображения строки и изображения столбца.

      При использовании представления строк для анализа системы (2 x 2) единичный случай может означать две разные вещи. Давайте использовать те же примеры, что и в прошлый раз.

      В более высоких измерениях появляется все больше и больше способов пересечения плоскостей, которые либо дают бесконечное количество решений, либо не дают их вовсе. Например, в 3D две плоскости могут пересекаться для решения, но третья плоскость не пересекается, что приводит к отсутствию решений для системы в целом — или плоскости могут пересекаться, но все они могут быть прямыми вертикальными — вызывая целая вертикальная линия бесконечных решений.

      Но теперь давайте посмотрим на это с точки зрения линейных комбинаций и охвата в столбце формы нашей системы, чтобы получить больше интуиции.

      Обратите внимание, что источником проблемы в обоих этих особых случаях является то, что векторы являются коллинеарными, и, таким образом, могут описывать только одну линию как комбинацию: их диапазон одномерен и существует только на линии они делят.

      Трехмерным геометрическим аналогом этого будут два из трех трехмерных векторов (a, b, c) и (e, f, g), существующих на одних и тех же плоскость, приводит к тому, что диапазон трех векторов в сумме оказывается только в плоскости, которую они разделяют – если ответ, также трехмерный вектор, не существует на плоскости (что с точки зрения вероятности вероятно), нет решения. И если ответ существует ли на плоскости , существует бесконечное количество комбинаций трех векторов, чтобы получить этот ответ.

      Вернемся к 2D-системам — мы определили, что проблема в том, что они имеют коллинеарных векторов. Как определить это заранее? Это простой тест.

      Возьмите столбцы вашей матрицы A и поместите их в виде линейной комбинации. Есть ли способ для комбинации векторов объединиться, чтобы сформировать нулевой вектор, где x ≠ y ≠ 0?

      Почему это работает как лакмусовая бумажка, если система содержит зависимые векторы? Ну, если есть способ, который мы можем найти, чтобы компенсировать векторы, используя комбинации других векторов в системе, это означает, что один из векторов должен быть составлен из некоторой комбинации других.

      И, очевидно, мы не учитываем x = y = 0, так как это будет работать для любой линейной комбинации. Здесь есть ненулевой ответ, а именно:

      Таким образом, мы можем решить систему уравнений, используя матричные обозначения для создания матрицы коэффициентов A. Мы помещаем это либо в Ax = b или дополненная форма для решения. Преобразуем эту матрицу A в легко разрешимую верхнетреугольную U , используя исключение умножения-вычитания в строках по обе стороны от знака равенства (поворот b в c по другую сторону знака равенства).

      Затем мы используем обратную замену для решения системы снизу вверх.

      Это вся информация, которую вам нужно знать, чтобы провести и понять процесс ликвидации. Есть много более эффективных и интересных способов выполнить это устранение, о которых я расскажу в следующих двух статьях.

      В следующей статье мы рассмотрим эти преобразования, исключения и замены строк как 9Умножение матриц 0056 — по сути, , поиск матриц, на которые мы можем умножить наше A, чтобы выполнить исключение так же, как мы только что сделали это вручную.

      Адам Дхалла учится в старшей школе из Ванкувера, Британская Колумбия, в настоящее время участвует в STEM и бизнес-стипендии TKS . Он очарован внешним миром и в настоящее время изучает новые технологии для защиты окружающей среды. Чтобы не отставать,

      Следуйте за ним I nstagram и его LinkedIn . Чтобы получить больше подобного контента, подпишитесь на его информационный бюллетень здесь.

      Алгоритм исключения Гаусса в Python | Эндрю Джозеф Дэвис

      Учебное пособие по решению системы линейных уравнений с использованием исключения Гаусса в Python

      Введение

      Исключение Гаусса или сокращение строк , является численным методом для s решения систем линейных уравнений . Это тема, обычно представленная в основах матричной алгебры .

      Решение уравнения включает в себя определение значений любых неизвестных переменных таким образом, чтобы обе части выражения были равны. Например, см. анимацию ниже, иллюстрирующую решение системы трех линейных уравнений , найденной в этой статье.

      Основы матричной алгебры в Python | Часть 1

      Понимание и реализация основных концепций и операций матричной алгебры с помощью Python

      в направлении datascience.com

      Фото Луки Браво на Unsplash

      • Система: подразумевает, что среди всех уравнений могут существовать общие решения
      • Линейная: Высшая мощность неизвестных переменных, X₁ , X₂ и X₃, IS 1
      Уравнения 1–3 – Система линейных уравнений (изображение от автора)

      . целью которого является найти значения для x₁ , x₂ и x₃ , которые одновременно удовлетворяют каждому выражению. Компьютеры широко используют его для эффективной оценки потенциально тысяч переменных.

      Используйте код Python, приведенный в Gist 1, для объявления символьной системы уравнений с использованием библиотеки Sympy .

      Сущность 1 — Система символьных линейных уравнений

      Алгоритм

      Исключение Гаусса использует матричную алгебру .

      Во-первых, запишите уравнения 1–3 в матричной форме Ax = b , как показано в уравнении 4.

      • Коэффициенты переменных находятся в матрице,0003 Переменные X₁ , X₂ и X₃ , написаны в виде столбца вектора x
      • Вектор B Согласный из Верный. Уравнение 4 — Матричное представление системы уравнений (изображение автора)

        Умножьте строки A на вектор-столбец x, чтобы получить исходные уравнения.

        Далее сформируйте расширенную матрицу , просто матрица A , объединенная с матрицей b в правой части, как показано в уравнении 5.

        Уравнение 5 — расширенная матрица (изображение автора)

        Создайте расширенную матрицу в Python, используя код фрагмент из Gist 2. Функция matrix_representation требует ранее определенных переменных, уравнений и symbolic_vars .

        Gist 2 — Создание расширенной матрицы

        Преобразование расширенной матрицы в эшелонированная форма строки с использованием исключения Гаусса . Эшелонная форма строки означает:

        • первый ненулевой номер строки находится справа от старшего коэффициента в строке выше. Это значение называется пивот .
        • Нули существуют ниже диагонали . Такая матрица является верхнетреугольной , поскольку единственные ненулевые элементы находятся на диагонали или над ней.
        • Любые строки, состоящие только из нулей находятся внизу матрицы.

        Уравнение 6 иллюстрирует эти моменты.

        Уравнение 6 — Эшелонированная форма строки (изображение автора)

        Определенные операции со строками используются для приведения расширенной матрицы к форме, аналогичной уравнению 6, и к ним относятся:

        1. Умножение любой строки на константу
        2. Добавить кратных одной строки к другой
        3. Поменять местами порядок любых строк

        Продолжая систему, представленную выше в уравнении 5, уравнения 7–10 переводят расширенную матрицу в верхнетреугольную форму .

        Уравнения 7–10 — преобразование расширенной матрицы в верхнетреугольную (изображение автора)

        Преобразование строковых операций 1–3 в код таким образом, чтобы они преобразовывали любую заданную расширенную матрицу M в верхнетреугольную форму.

        Gist 3 показывает алгоритм Python для выполнения исключения Гаусса и преобразования системы из Sympy символьных уравнений в эшелонированных строк формы .

        Gist 3 — Алгоритм эшелонированной формы строки исключения Гаусса

        Печать M на консоль дает следующий результат , эквивалентный матрице, полученной после рукописных операций со строками:

          верхняя треугольная матрица  : [[ .-2. -1. 6. ] 
         [ 0. 1. 0.166667 -1.83334 ] 
         [ 0. 0. 1. 1. ]]

        Верхнетреугольная матрица дает три упрощенных выражения, содержащие x₁ , x₂ и x₃ , как показано в уравнениях 11–13.

        Уравнения 11–13 — упрощенные выражения (изображение автора)

        Обратная замена позволяет найти неизвестные переменные.

        • x₃ = 1,0 : очевидно из уравнения 130057 с 1 в уравнении 12
        • x₁ = 3,0 : заменить X₃ с 1 и X₂ с 2 в равных

      . замена и решает для неизвестных переменных.

      Gist 4 — Алгоритм обратной подстановки

      Алгоритм исключения Гаусса успешно зафиксировал решения системы линейных уравнений посредством сокращения строк и обратной подстановки. корни идентичны значениям, полученным вручную.

       Решения: [ 3.0000 ,  -2,0000 ,  1.0000 ] # (x1, x2, x3)

      Край. всех нулей, кроме правой части , решения нет, и система несовместна .

      Утверждение, выделенное ниже, явно противоречит , как 0 ≠ 1 .

       Несогласованная система:[[ 1.  1. -3. 4.] 
       [-0. 1. -5. 6.] 
       [  0. 0. 0. 1.  ]]

      б) Бесконечное число решений : Если имеется строк всех нулей , а количество ненулевых строк меньше число переменных, то система является зависимой , что означает, что существует бесконечно много решений .

       Зависимая система: [[ 1. 1. -3. 0.] 
       [-0. 1. -5. -0.] 
       [  0. 0. 0. 0.  ]]

      Визуализируйте решение

      Линейное уравнение с тремя неизвестными описывает плоскость в 3-х измерениях. Каждая переменная занимает одну ось в ортогональной декартовой системе координат.

      Рисунок 1 представляет собой график плоскостей, созданных уравнениями 1–4.

      • Синяя плоскость образована уравнением 1: x1 – 2 * x2 – x3 – 6 = 0
      • Зеленая плоскость сформирована по уравнению 2: 2 * x1 + 2 * x2 — x3 — 1 = 0 0

      Точка пересечения , являющаяся решением системы трех линейных уравнений, представляет собой черную точку [ 3,0 , -2,0 , 1,0

      ,

      1,0

      Рисунок 1 — Визуализация системы линейных уравнений и решения с помощью Matplotlib (изображение автора)

      Эта взаимная координата является единственным решением системы, что совпадает с ранее полученными алгебраическими результатами.

      Графическое изображение зависимой системы показывает, что пересечение между плоскостями образует линию , что оставляет бесконечное число решений. Кроме того, графически несовместная система представлена ​​ тремя непересекающимися плоскостями.

      Визуализация плоскостей вот так не совсем понятно в Matplotlib . Поэтому вместо этого используйте этот превосходный графический инструмент для изучения этих сценариев . На рис. 2 показаны те же уравнения, что и на рис. 1, но с улучшенной компьютерной графикой .

      Рисунок 2 — Визуализация системы линейных уравнений и решение с помощью онлайн-инструмента (изображение автора)

      CPM 3D-плоттер

      Редактировать описание система трех линейных уравнений с использованием исключения Гаусса.

      Однако представленный алгоритм Python с исключением Гаусса распространяется на любое количество неизвестных переменных .

      Полный код решателя линейных уравнений приведен ниже в Gist 5.

      Gist 5 — исключение Гаусса в Python

      Если вы интересуетесь Python, инженерией и наукой о данных, не стесняйтесь следовать и проверять другие мои статьи. .

      Присоединяйтесь к Medium по моей реферальной ссылке - Эндрю Джозеф Дэвис

      Как участник Medium, часть вашего членского взноса идет авторам, которых вы читаете, и вы получаете полный доступ к каждой истории…

      Medium.com

      5 Проекты Python для студентов -инженеров

      Идеи проекта Python Project Phithon для инженеров

      заинтересованный аутсайдер)
      [2] Сокращение строк, форма строк-эшелон и сокращенная форма строк-эшелон — Лоренцо Садун (30 июля 2013 г.)
      [3] Системы уравнений с тремя переменными — lumenlearning

      Суммирование по Гауссу | Поговорим о науке

      Суммарность Гаусса названа в честь Иоганна Карла Фридриха Гаусса. Он был немецким математиком. Гаусс — один из самых влиятельных математических мыслителей в истории. Легенда гласит, что Гаусс придумал новый метод суммирования последовательностей в очень молодом возрасте. Легенда гласит, что его учитель математики попросил класс сложить числа от 1 до 100. Другими словами, учитель хотел, чтобы они сложили 1 + 2 + 3 + 4 + 5… вплоть до 100!

      Учитель предполагал, что это займет у учеников очень много времени. Подумайте, сколько времени вам понадобится, чтобы сложить все числа от 1 до 100 одно за другим. Однако Гаусс ответил 5050  почти сразу.

      Эта история может быть не совсем правдой. Но это напоминает нам, что самые младшие ученики иногда открывают новые математические закономерности. Теперь давайте подумаем о шаблоне, который Гаусс использовал для быстрого решения этой проблемы.

      Уловка, которую Гаусс использовал для решения этой задачи, заключается в том, что не имеет значения, в каком порядке мы складываем числа. В каком бы порядке мы ни следовали, мы получим один и тот же результат.

      Например:

      2 + 3 имеет тот же ответ, что и 3 + 2.

      Мы можем хитрым образом изменить порядок чисел от 1 до 100. Это может помочь нам добавить их быстрее. Вот простой пример, который покажет вам, как работает эта стратегия группировки.

      Допустим, вы хотите сложить числа от 1 до 10.

      1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = ?

       

      Шаблон, показывающий сложение пар от одного до десяти (© Let’s Talk Science, 2021).

      Теперь вы могли заметить кое-что странное. Каждая из этих пар в сумме дает 11. Итак, мы можем думать о нашей задаче так:

      (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = ?

      (11) + (11) + (11) + (11) + (11) = ?

      Поскольку у нас 5 пар, наш ответ:

      11 + 11 + 11 + 11 + 11 = 11 x 5 = 55

      Ну, это куда-то идет!

      Давайте посмотрим на это по-другому. Вместо того, чтобы выстраивать числа в один ряд. Расставь цифры в два ряда. В первом ряду числа увеличиваются. Во втором ряду числа уменьшаются. От 1 до 10 это будет выглядеть так.

      Image - Text Version

      Числа от 1 до 10 выстроены в порядке возрастания в верхнем ряду. Числа от 10 до 1 выстраиваются в порядке убывания в нижнем ряду.

       

      Теперь просуммируйте каждый столбец.

      Изображение — текстовая версия

      Сумма каждого столбца равна 11.

       

      Сумма всех приведенных выше чисел равна количеству пар , умноженному на суммы каждой пары . Но нам нужна сумма только одной строки, а не обеих строк. Итак, нам нужно разделить наш ответ на 2.

      Мы можем записать это как: 

      Изображение – Текстовая версия

      Сумма – это количество пар, умноженное на сумму каждой пары, и эта сумма делится на 2. В нашем случае десять умножается на одиннадцать, а затем делится на два. . Это дает окончательную сумму 55.

       

      Мы можем использовать алгебру , чтобы представить этот шаблон. Алгебра использует буквы и другие символы для представления чисел в уравнениях. Мы можем использовать букву n , чтобы представить, сколько чисел в нашем списке. Это самое большое число. В нашем примере n будет равно 10. Количество пар будет равно этому числу, деленному на 2. Вы заметите, что размер пары равен количеству пар плюс 1. Таким образом, мы могли бы написать использовать n для записи

      (количество пар) x (сумма каждой пары) = n/2 x (n +1)

      Но помните, как и раньше, нам нужна сумма только одной строки, а не обеих. Таким образом, мы делим приведенную выше формулу на 2 и получаем:

      Изображение - Версия текста

      n вне скобки, за которой следует n плюс один внутри скобки. Это делится на 2.

       

      Можем ли мы сделать то же самое для суммы, которая является нечетным числом, скажем, 67? Попробуйте сами, прежде чем смотреть ответ ниже.

      Вопрос:

      1 + 2 + 3 + 4 ….. 66 + 67 =?

      (Ответ внизу страницы)

      Шаблон, показывающий сложение пар от одного до десяти (© Let’s Talk Science, 2021).

      Реальные приложения

      Эта задача является примером нахождения суммы арифметической последовательности . Последовательность   – это набор упорядоченных чисел. В арифметической последовательности расстояние между любыми двумя последовательными числами одинаково. Мы можем использовать метод Гаусса, чтобы найти сумму любой арифметической прогрессии.

      Последовательность извлечения кусочков пиццы (Источник: Lebazele через iStockphoto).

       

      Нахождение суммы последовательности может помочь людям решить множество реальных задач. Компании находят сумму последовательностей, чтобы оценить затраты или доход. Даже расчет стоимости проезда на такси представляет собой сумму арифметической последовательности. Вы начинаете с базового тарифа. Ваша общая стоимость увеличивается на ту же сумму каждую минуту.

      Нахождение суммы последовательности также является распространенным вопросом информатики. Компьютерщики используют для этого метод Гаусса. {r} $ либо совместимо (т. е. не имеет ненулевых свободных членов), либо пусто. 9{0} $ для $ U = U _ {i} + U _ {k} $ представляет собой процедуру одновременного исключения двух неизвестных $ x _ {i} $ и $x_{k}$. Например, пусть $ i = 1 $ и $k = 2$. Если также

      $$ \Delta _ {12} = \left | \begin{массив}{ll} а _ {11} & _ {21} \\ а _ {12} & _ {22} \\ \конец{массив} \право | \neq 0, $$

      тогда строки матрицы

      $$ \влево \| \begin{массив}{cccccc} - \Delta _ {23} &\Delta _ {13} &- \Delta _ {12} & 0 &\dots & 0 \\ - \Delta _ {24} &\Delta _ {14} & 0 &- \Delta _ {12} &\dots & 0 \\ \точки &\точки &\точки &\точки &{} &\точки \\ - \Delta _ {2m} &\Delta _ {1m} & 0 & 0 &\dots &- \Delta _ {12} \\ \конец{массив} \право\| , $$ 9{0} $ могут быть решены с помощью алгоритмов, являющихся обобщением метода Гаусса.

      Каталожные номера
      [1] C.F. Gauss, "Beiträge zur Theorie der Alexandrischen Gleichungen", Werke , 3 , K. Gesellschaft Wissenschaft. Göttingen (1876) pp. 71–102
      [2] А.Г. Курош, "Высшая алгебра", МИР (1972) (Перевод с русского)
      [3] Д.91.4 Фаддеев, В.Н. Фаддеева, "Вычислительные методы линейной алгебры", Фримен (1963) (перевод с русского)
      [4] С.Н. Черников, Lineare Ungleichungen, Deutsch. Verlag Wissenschaft. (1971) (Перевод с русского)
      Комментарии

      Существует ряд вариантов этого метода, в основном основанных на соображениях практической реализации (например, методы Краута и Дулитла) или эффективности (например, метод Холески для симметричные системы).

      В западной литературе понятия LU-разложения, прямого исключения и обратной замены часто ассоциируются с методом Гаусса (который также называют методом исключения Гаусса). Рассмотрим частный случай, когда матрица коэффициентов $A$ в системе $ A x = a $ является квадратной матрицей $ ( m = n ) $. {2} ) $ сравнения. Можно показать, что с такой стратегией метод численно устойчив (см. Устойчивость вычислительного алгоритма; Устойчивость вычислительного процесса).

      Отличная книга по числовой линейной алгебре — [a1]. Проблема численной устойчивости при исключении Гаусса обсуждается в [a6].

      Подпрограммы Fortan можно найти в [a4]; более старую версию Algol см. в [a5].

      Каталожные номера
      [a1] G.H. Голуб, С.Ф. ван Лоан, "Матричные вычисления", Северный Оксфорд, академик. (1983)
      [a2] Дж.Х. Уилкинсон, "Алгебраическая проблема собственных значений", Clarendon Press (19).65)
      [a3] Странг Г., "Линейная алгебра и ее приложения", пер. Press (1976)
      [a4] Х. Донгарра, Дж. Р. Банч, К. Б. Молер, Г. У. Stewart, "Руководство пользователя LINPACK", SIAM (1978)
      [a5] J. H. Wilkinson, C. Reinsch, "Руководство по автоматическим вычислениям", 2. Линейная алгебра , Springer (1971)
      [a6] P.A. Bussinger, "Мониторинг численной устойчивости исключения Гаусса" г. Мат. , 16 (1971) стр. 360–361

      Как цитировать эту запись:
      Метод Гаусса. Математическая энциклопедия. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Gauss_method&oldid=47050

      Эта статья адаптирована из оригинальной статьи С.Н. Черникова (создатель), который появился в Энциклопедии математики - ISBN 1402006098. См. оригинальную статью

      Закон Гаусса для электрических полей — электромагнитная геофизика

      Рис. 32 Зарядка прилагается

      Закон Гаусса для электрического поля описывает статическое электрическое поле генерируются распределением электрических зарядов. В нем указано, что электрический поток через любую замкнутую поверхность пропорционален полному электрическому заряду окруженный этой поверхностью. Условно положительный электрический заряд генерирует положительное электрическое поле. Закон был опубликован посмертно в 1867 г. как часть сборник работ известного немецкого математика Карла Фридриха Гаусс.

      Интегральное уравнение

      Закон Гаусса в интегральной форме приведен ниже:

      (34)\[\int_V \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{e} \; ~dv =\oint_{S} \mathbf{e} \cdot \hat{\mathbf{n}} \; ~da = \frac{Q}{\varepsilon_{0} }\;,\]

      где:

      • \(\mathbf{e}\) - электрическое поле

      • \(Q\) - заключенный электрический заряд

      • \(\varepsilon_0\) - электрическая проницаемость свободного пространства

      • \(\hat{\mathbf{n}}\) — нормаль, направленная наружу

      Поток — это мера силы поля, проходящего через поверхность. Электрический поток обычно определяется как

      (35)\[\boldsymbol{\Phi} = \int_S \mathbf{e} \cdot \hat{\mathbf{n}} \, \mathrm{d}a.\]

      Мы можем думать об электрическом поле как о плотности потока. Закон Гаусса говорит нам, что чистый электрический поток через любую замкнутую поверхность равен нулю, если только объем не ограничен этой поверхностью содержит чистый заряд.

      Дифференциальная форма

      Рассматривая пространственно протяженное заряженное тело, мы можем думать о его заряде постоянно распределяется по всему телу с плотностью \(\ро\). Тогда общий заряд определяется интегралом от заряда плотность по объему тела.

      (36)\[Q = \int_V \rho \; \mathrm{d}v\;.\]

      Используя это определение и применяя теорему о расходимости к левой руке части закона Гаусса (34), мы можем переписать закон как:

      (37)\[\int_V \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{e} \; \mathrm{d}v = \int_V \frac{\rho}{\varepsilon_0} \; \mathrm{d}v \;.\]

      Поскольку это уравнение должно выполняться для любого объема \(V\), мы можем приравнять интегранты, дающие дифференциальную форму закона Гаусса:

      (38)\[\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{e} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}. \]

      Можно показать, что закон Гаусса для электрических полей эквивалентен закону Кулона закон (см. Эквивалентность закона Гаусса для электрических полей закону Кулона)

      Закон Гаусса в материи

      Закон Гаусса для электрических полей легче всего понять, если пренебречь электрическим смещением (\(\mathbf{d}\)). В веществе диэлектрическая проницаемость может не равняться диэлектрической проницаемости свободного пространства (т.е. \(\varepsilon \neq \varepsilon_0\)). В материи плотность электрических зарядов можно разделить на «свободную» плотность заряда (\(\rho_f\)) и «ограниченную» плотность заряда (\(\rho_b\)), так что:

      (39)\[\rho = \rho_f + \rho_b\]

      Плотность свободного заряда относится к зарядам, которые свободно текут под действием электрического поля; т. е. они производят ток без дивергенции. Плотность ограниченного заряда относится к электрическим зарядам, связанным с электрической поляризацией (\(\mathbf{p}\)). Комбинируя уравнения (38) и (39) с нашим определением электрической поляризации, мы находим, что:

      (40)\[\nabla \cdot \mathbf{d} - \nabla \cdot \mathbf{p} = \rho_f + \rho_b\]

      Используя определяющее соотношение \(\mathbf{d} = \varepsilon \mathbf{e}\) и разделив предыдущее уравнение на ограниченный и свободный вклады, мы находим, что:

      (41)\[-\набла\cdot\mathbf{p} = \rho_b\]

      и

      (42)\[\набла\cdot\mathbf{d} = \rho_f\]

      Приведенное выше уравнение представляет собой дифференциальную форму уравнения Гаусса в материи .

      Оставить комментарий