Страница не найдена — ПриМат
По данному адресу ничего не найдено. Попробуйте воспользоваться поиском.
Искать:© 2012-2016: Нохум-Даниэль Блиндер (11), Анастасия Лозинская (10), Денис Стехун (8), Валентин Малявко (8), Елизавета Савицкая (8), Игорь Любинский (8), Юлия Стерлянко (8), Олег Шпинарев (7), Александр Базан (7), Анна Чалапчий (7), Константин Берков (7), Влад Радзивил (6), Максим Швандт (6), Людмила Рыбальченко (6), Кирилл Волков (6), Татьяна Корнилова (6), Сергей Черкес (5), Алиса Ворохта (5), Валерия Заверюха (5), Елизавета Снежинская (5), Вадим Покровский (5), Даниил Радковский (5), Влад Недомовный (5), Александр Онищенко (5), Андрей Метасов (5), Денис Базанов (5), Александр Ковальский (5), Александр Земсков (5), Марина Чайковская (5), Екатерина Шибаева (5), Мария Корень (5), Анна Семененко (5), Мария Илларионова (5), Роман Бронфен-Бова (4), Артём Романча (4), Анна Шохина (4), Иван Киреев (4), Никита Савко (4), Кондрат Воронов (4), Алина Зозуля (4), Иван Чеповский (4), Артем Рогулин (4), Игорь Чернега (4), Даниил Кубаренко (4), Ольга Денисова (4), Татьяна Осипенко (4), Яков Юсипенко (4), Ольга Слободянюк (4), Руслан Авсенин (4), Екатерина Фесенко (4), Дмитрий Заславский (4), Алина Малыхина (4), Андрей Лисовой (4), Полина Сорокина (4), Кирилл Демиденко (4), Дмитрий Стеценко (4), Александр Рапчинский (4), Святослав Волков (4), Иван Мясоедов (4), Владислав Стасюк (4), Алёна Гирняк (4), Николай Царев (4), Валентин Цушко (4), Павел Жуков (4), Анна Цивинская (3), Михаил Бутник (3), Станислав Чмиленко (3), Катя Писова (3), Дмитрий Дудник (3), Дарья Кваша (3), Игорь Стеблинский (3), Артем Чернобровкин (3), Виктор Булгаков (3), Дмитрий Мороз (3), Богдан Павлов (3), Игорь Вустянюк (3), Андрей Яроцкий (3), Лаура Казарян (3), Екатерина Мальчик (3), Анатолий Осецимский (3), Иван Дуков (3), Дмитрий Робакидзе (3), Вячеслав Зелинский (3), Данила Савчак (3), Дмитрий Воротов (3), Стефания Амамджян (3), Валерия Сиренко (3), Георгий Мартынюк (3), Виктор Иванов (3), Вячеслав Иванов (3), Валерия Ларикова (3), Евгений Радчин (3), Андрей Бойко (3), Милан Карагяур (3), Александр Димитриев (3), Иван Василевский (3), Руслан Масальский (3), Даниил Кулык (3), Стас Коциевский (3), Елизавета Севастьянова (3), Павел Бакалин (3), Антон Локтев (3), Андрей-Святозар Чернецкий (3), Николь Метри (3), Евелина Алексютенко (3), Константин Грешилов (3), Марина Кривошеева (3), Денис Куленюк (3), Константин Мысов (3), Мария Карьева (3), Константин Григорян (3), Колаев Демьян (3), Станислав Бондаренко (3), Ильдар Сабиров (3), Владимир Дроздин (3), Кирилл Сплошнов (3), Карина Миловская (3), Дмитрий Козачков (3), Мария Жаркая (3), Алёна Янишевская (3), Александра Рябова (3), Дмитрий Байков (3), Павел Загинайло (3), Томас Пасенченко (3), Виктория Крачилова (3), Таисия Ткачева (3), Владислав Бебик (3), Илья Бровко (3), Максим Носов (3), Филип Марченко (3), Катя Романцова (3), Илья Черноморец (3), Евгений Фищук (3), Михаил Абабин (2), Дмитрий Калинин (2), Бриткариу Ирина (2), Никита Шпилевский (2), Алексей Белоченко (2), Юлиана Боурош (2), Никита Семерня (2), Владимир Захаренко (2), Дмитрий Лозинский (2), Яна Колчинская (2), Юрий Олейник (2), Кирилл Бондаренко (2), Елена Шихова (2), Татьяна Таран (2), Наталья Федина (2), Настя Кондратюк (2), Никита Гербали (2), Сергей Запорожченко (2), Николай Козиний (2), Георгий Луценко (2), Владислав Гринькив (2), Александр Дяченко (2), Анна Неделева (2), Никита Строгуш (2), Настя Панько (2), Кирилл Веремьев (2), Даниил Мозгунов (2), Андрей Зиновьев (2), Андрей Данилов (2), Даниил Крутоголов (2), Наталия Писаревская (2), Дэвид Ли (2), Александр Коломеец (2), Александра Филистович (2), Евгений Рудницкий (2), Олег Сторожев (2), Евгения Максимова (2), Алексей Пожиленков (2), Юрий Молоканов (2), Даниил Кадочников (2), Александр Колаев (2), Александр Гутовский (2), Павел Мацалышенко (2), Таня Спичак (2), Радомир Сиденко (2), Владислав Шиманский (2), Илья Балицкий (2), Алина Гончарова (2), Владислав Шеванов (2), Андрей Сидоренко (2), Александр Мога (2), Юлия Стоева (2), Александр Розин (2), Надежда Кибакова (2), Майк Евгеньев (2), Евгений Колодин (2), Денис Карташов (2), Александр Довгань (2), Нина Хоробрых (2), Роман Гайдей (2), Антон Джашимов (2), Никита Репнин (2), Инна Литвиненко (2), Яна Юрковская (2), Гасан Мурадов (2), Богдан Подгорный (2), Алексей Никифоров (2),
Определение сходимости (или расхождения) последовательности — Криста Кинг Математика
Сходимость означает, что существует бесконечный предел
Если предел последовательности как ???n\to\infty??? не существует, говорят, что последовательность расходится.Последовательность всегда либо сходится, либо расходится, другого варианта нет. Это не означает, что мы всегда сможем сказать, сходится последовательность или расходится, иногда нам может быть очень трудно определить сходимость или расхождение.
Привет! Я Криста.
Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать больше.
Есть много способов проверить последовательность, чтобы увидеть, сходится она или нет.
Иногда все, что нам нужно сделать, это оценить предел последовательности в ???n\to\infty???. Если предел существует, то последовательность сходится, и найденный ответ есть значение предела.
Иногда для определения сходимости удобно использовать теорему сжатия, потому что она покажет, имеет ли последовательность предел и, следовательно, сходится она или нет. Затем мы возьмем предел нашей последовательности, чтобы получить реальное значение предела.
Как определить, сходится ли последовательность
Пройти курс
Хотите узнать больше об исчислении 2? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂
Учить больше
Определение сходимости и затем нахождение предела
Пример
Скажите, сходится ли последовательность, и найдите предел последовательности, если она сходится. 9n}=\lim_{n\to\infty}a_n=0???
Получите доступ к полному курсу Calculus 2
Начать
Learn mathКриста Кинг математика, выучить онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, исчисление 2, исчисление II, исчисление 2, исчисление II, последовательности, ряды, последовательности и ряды, сходимость последовательности, сходимость, расхождение, бесконечный предел
Репетитор по математике – Последовательности – Теория
Репетитор по математике – Последовательности – Теория – Пределы Здесь мы введем наиболее важное понятие, связанное с последовательностями: предел последовательности.
Прежде чем дать формальное определение, попробуем
получить некоторое представление о том, что является пределом.
Вспомните пример геометрического ряда {(1/2) n } n = 0,1,2,… .
Если мы вычислим первые несколько членов и представим их в десятичной форме, мы получили
{1, 0,5, 0,25, 0,125, 0,0625, 0,03125, 0,015625, 0,0078125, 0,003, 0,001953125, 0,0009765625,…}
Этот неполный список, а также картинка говорят об одном и том же: по мере продвижения вперед вдоль последовательности ее члены все ближе и ближе к 0, на самом деле мы можем подобрать их настолько близко к нулю, насколько захотим, просто заглянув достаточно далеко. Мы будем скажем, что 0 – это предел этой последовательности; мы также можем сказать, что это последовательность сходится к 0. Вообще говоря, проблема конвергенции и предела на самом деле является попыткой ответить на вопрос, «что происходит с выражением
В этом примере ответ будет таким: «Когда n равно
действительно очень большой, тогда (1/2) n составляет около 0″.Мы использовали приведенный выше пример, чтобы получить общее представление о том, что такое предел. Однако, это не лучший пример, так как он может подсказать некоторые вещи о пределах это неправда. Теперь мы рассмотрим наиболее популярные заблуждения пытаясь уточнить, что такое предел.
Число L является пределом данной последовательности {
- числа a n в конечном итоге максимально приближаются к числу L сколько хотите; то есть расстояние | a n − L | в конечном итоге становится меньше любого заданного допуск и
- расстояние | a n − L | не только в конечном итоге получает
как близко к нулю, как хотелось бы, но он также остается таким близким.
Чтобы понять эти два требования, мы рассмотрим два примера последовательности, для которых указанный
В этом примере последовательность удовлетворяет условию (1). Действительно,
числа a n приближаются к уровню L , и
по картинке может показаться, что когда кто-то дает нам толерантность,
как бы малы они ни были, мы можем найти около a n находящиеся в пределах
этот допуск от L .
Однако эта последовательность не удовлетворяет условию (2), так как каждый
третий член прыгает ниже оси n , что далеко от L ,
и картина говорит о том, что это происходит снова и снова на протяжении всего
последовательность. Поэтому, хотя мы можем найти некоторые a n сколь угодно близко к L , мы не можем сделать
последовательность остается такой же близкой, когда мы идем вправо.
Последовательность на этой картинке в некотором смысле удовлетворяет (2), т. е. сохраняет все ближе и ближе к L и остается таким, но состояние (1) не похоже на правду; картина предполагает, что последовательность выравнивание слишком рано, чтобы достичь уровня L (хотя, конечно, это было бы опасно делать какие-либо определенные выводы только по картинке; возможно, последовательность достигает уровня L , она действительно идет туда очень медленно; мы точно не знаем).
Последний пример интересен еще и по другой причине. Во многих книгах, когда
хотят выразить словами, что такое предел, они сказали бы: предел есть
число, к которому данная последовательность становится все ближе и ближе. На самом деле я
иногда его тоже говорят, потому что он короткий и дает некоторое представление. Однако,
это может ввести в заблуждение, так как на последней картинке члены последовательности
все ближе и ближе к L , но это не предел (кажется).
Бит «произвольной закрытости» действительно важен.
Есть способ выразить оба условия одновременно. Это похоже на это:
Когда кто-то дает нам толерантность (традиционно обозначаемую ε , греческая буква эпсилон), какой бы малой она ни была, мы должны быть в состоянии игнорировать некоторую начальную часть этого последовательности так, чтобы остальная часть, «хвост», уже оставалась внутри этой допуск от L .
На первой неконвергентной картинке мы видим, что если кто-то даст нам толерантность ε = L , то есть точное расстояние между уровень L и n -оси, то независимо от того, насколько большое начало последовательности, которой мы пренебрегаем, всегда будут точки в хвосте которые прыгают ниже оси n и, следовательно, они не находятся в пределах дан допуск от L .
На втором рисунке, если мы выберем для ε скажем половина расстояния между уровнем L и уровнем, на котором последовательность кажется успокоится,
тогда, очевидно, неважно, какую часть последовательности мы обрезаем, остаток
никогда не останется в пределах этого допуска; на самом деле, это никогда даже не удовлетворит его
с одним термином (по крайней мере, так выглядит).
Итак, теперь у нас есть некоторое представление о том, что означает предел. Не менее важно понимать условия, которые , а не необходимы для ограничения. рассеять самое распространенное заблуждение, подчеркнем это:
Когда последовательность сходится к некоторому числу L, для ее условия, чтобы каким-то особым образом все ближе и ближе приближаться к уровню L.
Например, в самом первом примере последовательность {(1/2) n } n =0,1,2,… имел предел 0 и его очки добирались до этого уровня все сверху и постепенно, последовательность уменьшалась. Это очень частный пример, и он на самом деле слишком приятно дать правильное представление о пределе. Для этого переходим к следующему пример:
Мы отмечаем несколько вещей. Последовательность на самом деле является комбинацией двух
тенденции. Аналогично первой картинке последовательности, где л был
не предел, и здесь “скачет” каждый третий член, на этот раз не ниже n -ось, но выше уровня L и довольно далеко от него.
Условия
которые остаются после игнорирования этих прыгающих терминов, образуют красивую последовательность
который, кажется, приближается к уровню L снизу по красивой плавной кривой.
Можно предположить, что они сами по себе образуют последовательность, сходящуюся к л . А как же вся заданная последовательность? Обратите внимание, что хотя каждый
третий член отскакивает, на этот раз скачки все ближе и ближе
ближе к 9 уровню0095 л . Мы утверждаем, что вся заданная последовательность в
картина сходится к L . Действительно, условие (1) выше выполняется
и в этот раз тоже (2) работает.
Мы можем попытаться увидеть это с точки зрения описания с эпсилон.
Когда кто-то дает нам допуск ε как на картинке, проверяем, сколько “приятной части” мы
должны игнорироваться, так что остальная часть остается в пределах допуска, и мы
также проверьте, сколько «прыгающих терминов» мы должны игнорировать. В конце концов
мы понимаем, что мы должны отрезать начало последовательности как
обозначен толстой вертикальной линией, а остальная часть последовательности уже
в пределах допуска.
Важен указатель, где мы отрезаем хвост,
традиционно обозначается цифрой Н . На нашей картинке имеем N = 12 и мы видим, что усеченная последовательность
{ и 12 , и 13 , и 14 , a 15 ,…} остается в пределах допуска.
Теперь мы готовы дать формальное определение.
Определение.
Рассмотрим последовательность { a n }. Мы говорим, что реальное число L равно предел этой последовательности при стремлении n до бесконечности, или что последовательность сходится к этому L при стремлении n к бесконечность, если для каждого ε > 0 существует некоторое натуральное число N такое, что для всех н = Н , Н + 1, N + 2,… у нас есть | a n − L | < ε .
ОбозначениеМы также можем написать “ a н → л в качестве n →∞”.
Если последовательность имеет предел, последовательность называется сходящейся , или мы говорят, что сходится с . Иначе его называют расходящимся , или мы говорят, что расходится с .
Обратите внимание, что из обозначения мы не видим, с какого индекса начинается последовательность. Это не нужно: предел последовательности (если он есть) не зависит на первых членах данной последовательности, только на терминах «ближе к концу». Также, говоря о лимите, мы обычно пропускаем “как 9″0095 n имеет тенденцию к бесконечность», поскольку, когда речь идет о последовательности, n не могут идти любым другим путем. Подробнее об обозначениях см. это примечание.
Лучший способ понять это определение — представить его в терминах
игра. Кто-то – ваш оппонент – выбирает толерантность ε , обычно он выбирал это
очень маленький, чтобы сделать вашу жизнь более трудной. Ваша задача гарантировать, что
последовательность останется в пределах этого допуска, отрезав свое начало.
То есть надо найти индекс отсечки N чтобы при взгляде на a N а также все следующие члены последовательности,
их расстояние от L до меньше заданного допуска.
В последнем примере мы фактически предложили доказательство по определению того, что
данная последовательность сходится к L . Однако мы сделали только один шаг.
Ключом к определению является то, что вы должны быть в состоянии выиграть игру.
независимо от того, насколько мал данный эпсилон, другими словами, для всех возможных
положительные эпсилоны. Из картинки видно, что если кто-то даст вам
эпсилон меньше, чем на картинке, вам придется переместить
точка отсечки дальше вправо, но вы все равно можете ее найти.
Сравните это со вторым изображением последовательности, не сходящейся к L выше. Там, если эпсилон достаточно большой, мы можем выиграть игру. Но если кто-то
приходит с маленьким эпсилоном, игру нельзя выиграть.
Сходящиеся последовательности являются «хорошими».
Их главная особенность в том, что мы можем заменить
все a n для n большой с номером L не делая большой ошибки. Фактически, учитывая максимальную ошибку, которую мы можем сделать,
мы знаем, что достаточно пренебречь некоторыми терминами в начале
последовательность, а остальные можно заменить на L без превышения этого
ошибка.
Пример: Мы утверждаем, что
Последовательность идет (в десятичной форме) {2, 1,5, 1,333…, 1,250, 1,200, 1,166…, 1,1428…,…}, поэтому утверждение не кажется подозрительным. Картина
Формальное доказательство по определению правильности предела см. здесь.
Существует альтернативный способ визуализации последовательностей и пределов, который пригодится позже, когда речь пойдет о функциях. Вы можете найти его в это примечание.
При исследовании конвергенции важно понимать, что может сделать
последовательность расходящаяся.
Есть две основные причины:
Осцилляция , размер которой не уменьшается до нуля. Вспомните этот пример:
Члены этой последовательности колеблются (для больших n ) между уровнями примерно л и примерно – л /5. Таким образом, размер колебания остаются большими. Мы утверждали, что L , указанный на картинке, не предел этой последовательности. Подобный аргумент можно привести и в том, что никакое число L ‘ может быть пределом, так как если мы выберем L ‘отличается от L , то точки последовательности все ближе и ближе до L будет держаться подальше от этого нового L ‘. На картинке мы указать ε , для которых игра из определения не может быть выиграна, когда вы пытаетесь доказать, что L ‘это предел.
Неконтролируемый рост . Вспомните пример геометрической прогрессии
{2 n } n =0,1,2,.
.. .
Мы знаем из Теория – Введение – Важно примеры того, что эта последовательность не ограничена сверху. Теперь, если вы представляете горизонтальная линия на каком-то уровне L на картинке, казалось бы понятно что последовательность «убегает» от него, поэтому выбранное число L не может быть пределом. Более точный аргумент смотрите здесь.
В этой ситуации люди часто говорили бы, что последовательность «взрывается». Это также может взорваться в направлении вниз, когда цифры больше и больше по абсолютной величине, но с отрицательным знаком. Последовательность может также взорваться в обе стороны, то оно также обязательно имело бы большие колебания, т.к. некоторые точки становятся большими и положительными, а некоторые «очень отрицательными».
Любая несходящаяся последовательность включает одно или оба этих
поведение. Существует один вид расходящейся последовательности, где мы все еще можем дать
немного полезной информации.
А именно, в последнем примере условия
последовательность неуклонно растет без каких-либо ограничений. В то время как “постоянно” часть не
необходимо, тенденция «подняться и в конце концов остаться там» очень
полезно и заслуживает названия.
Определение.
Рассмотрим последовательность { a п }. Мы говорим, что бесконечность является пределом этой последовательности, так как n стремится к бесконечности, или что последовательность стремится к бесконечности , как n стремится к бесконечности, если для каждого действительного числа K существует некоторое натуральное число N , то что для всех n = N , N + 1, N + 2,… имеем a n > K .
ОбозначениеМы также можем написать « a n →∞ как n →∞”.
Мы говорим, что отрицательных бесконечностей есть предел этой последовательности как n стремится к бесконечности, или что последовательность стремится к отрицательной бесконечности как n стремится к бесконечности, если для каждого действительного числа K существует некоторое натуральное число N так что для всех n = N , Н + 1, N + 2,.
ОбозначениеМы также можем написать «a n →−∞ как n →∞”.
Если последовательность имеет предельную бесконечность или отрицательную бесконечность, мы говорим, что ограничение существует .
.. имеем a n < K . Здесь игра работает следующим образом. Для бесконечного предела кто-то выбирает уровень K , обычно очень большое число. Чтобы победить, нужно найти точка отсечки N чтоб хвост a N , a N +1 , a N +2 ,… последовательность остается выше этого уровня K .
Для отрицательной бесконечности кто-то выбирает уровень K , обычно очень
большое число со знаком минус (число «крайне низкое» на картинке). Побеждать
нужно найти точку отсечки N так, чтобы хвост а Н , и N +1 , a N +2 ,.
.. последовательности остается ниже этого уровня К .
Теперь мы рассмотрим несколько примеров:
На этой картинке последовательность не монотонна, она фактически колеблется в кажущаяся регулярной закономерность, но со временем она падает ниже любого уровень, который вы хотите выбрать, и остается там. Таким образом, по определению он стремится к отрицательная бесконечность.
Эта последовательность не ограничена сверху, поэтому можно предположить, что она стремится к бесконечности, но каждый второй член прыгает вниз. Таким образом кажется, что мы можем выиграть некоторые игры, но когда кто-то выбирает K , как на картинке, мы не сможем отрезать какое-то начало так, чтобы хвост последовательности остается выше K ; всегда будут точки, прыгающие ниже. Этот последовательность не стремится к бесконечности. На самом деле эта последовательность не имеет лимит вообще.
Хотя последовательности в последних двух примерах расходятся по первому
определение предела (обратите внимание, что для обоих из них вы не можете найти реальный
номер L , что будет работать как предел), мы можем видеть, что имея бесконечность
(или отрицательную бесконечность), так как предел все же дает некоторую полезную информацию, вы
может сформировать некоторое представление о том, что происходит с последовательностью.
Обратите внимание, что у нас было два разных определения предела, в зависимости от того, какого рода предела, на который мы смотрели. Сейчас попробуем внести в него некоторую систему:
Обозначение:
Когда последовательность имеет предел, и этот предел является действительным числом, тогда мы говорим
что последовательность сходящийся . Этот предел называется собственно .
лимит .
Когда последовательность имеет предел, а предел равен бесконечности или отрицательному значению
бесконечность, то этот предел называется неправильным пределом .
Если последовательность имеет предел, собственный или неправильный, мы говорим, что предел
существует.
Если последовательность вообще не имеет предела, мы говорим, что предел не имеет предела.
существует , это часто сокращается как DNE.
Последовательности с неправильным ограничением и последовательности без ограничения называются расходящийся .
Таким образом, существует два вида терминологии, и они несколько пересекаются.
существование предела означает, что существует определенная тенденция как n растет до бесконечности; члены последовательности могут стать почти равными
до некоторого числа, или они могут иметь определенную тенденцию к росту (или снижению)
без привязки и пребывания там, но есть тенденция. Последовательности, чьи
предельные ДНЭ не имеют четкой тенденции; они могут иметь две противоречивые тенденции
(см. последнюю картинку выше) или может стать еще хуже.
С другой стороны, сходящаяся последовательность обладает тем свойством, что для
при больших значениях n его члены можно заменить на соответствующие
число – его надлежащий предел, конечно. Расходящиеся последовательности не имеют этого
имущество. Поскольку бесконечность на самом деле не является числом, последовательности, стремящиеся к
бесконечность или отрицательная бесконечность должны классифицироваться как расходящиеся, хотя они
имеют предел (неправильный, то есть). В самом деле, даже если бы мы приняли бесконечность за
числа (что мы скоро и сделаем в некотором смысле), мы еще не могли заменить термины
такой последовательности до бесконечности, не делая большой ошибки; например, если
мы пытаемся заменить 2 n до бесконечности, мы всегда будем делать
большая ошибка, как бы ни было велико n ; поэтому эта последовательность
расходится, хотя и имеет предел (бесконечность).
И последнее замечание: при использовании «стрелочной нотации» люди очень часто пропускают Часть “as n →∞”. Ведь где еще может n пойти? Поэтому мы обычно просто пишем (1/2) п →0 или 2 n →∞.
Когда мы пишем и н → л ,
или сказать, что “ L это предел” без приближения
спецификации, то L может быть действительным числом или (плюс или минус)
бесконечность. Действительно, большинство свойств верно как для правильных, так и для неправильных
пределы, поэтому имеет смысл использовать общие обозначения. Однако обратите внимание, что там
разница в том, как мы его читаем. Мы можем сказать “ а п сходится к L ” только в том случае, если мы знаем, что L является собственным, т. е.
настоящий номер. Обычно мы говорим, что « a n имеет тенденцию к L “, часто неофициально говорят “ a n идет в л “.