Определение пределов: Определение предела последовательности — урок. Алгебра, 10 класс.

Определение предела функции (по Гейне и Коши)

Первое определение предела функции (по Гейне)

Предел функции по Гейне

Число a называется пределом функции f(x) в точке x₀:
,
если
1) существует такая проколотая окрестность   точки x₀, на которой функция определена;
2) для любой последовательности {x_n}, сходящейся к x₀:
, элементы которой принадлежат окрестности ,
последовательность {f(x_n)} сходится к a:
.

Здесь x₀ и a могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными точками. Окрестность может быть как двусторонней, так и односторонней.

Запишем это определение с помощью логических символов существования и всеобщности:
.

Второе определение предела функции (по Коши)

Предел функции по Коши

Число a называется пределом функции f(x) в точке x₀:
,
если
1) существует такая проколотая окрестность   точки x₀, на которой функция определена;
2) для любого положительного числа ε > 0 существует такое число δ_ε > 0, зависящее от ε, что для всех x, принадлежащих проколотой δ_ε – окрестности точки x₀:
,
значения функции f(x) принадлежат ε – окрестности точки a:
.

Точки x₀ и a могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными точками. Окрестность также может быть как двусторонней, так и односторонней.

Запишем это определение с помощью логических символов существования и всеобщности:
.

В этом определении используются окрестности с равноудаленными концами. Можно дать и эквивалентное определение, используя произвольные окрестности точек.

Определение с использованием произвольных окрестностей

Предел функции

Число a называется пределом функции f(x) в точке x₀:
,
если
1) существует такая проколотая окрестность   точки x₀, на которой функция определена;
2) для любой окрестности U(a) точки a существует такая проколотая окрестность точки x₀, что для всех x, принадлежащих проколотой окрестности точки x₀:
,
значения функции f(x) принадлежат окрестности U(a) точки a:
.

С помощью логических символов существования и всеобщности это определение можно записать так:
.

На странице «Окрестность точки» мы показали, что определение предела функции с использованием более простой окрестности с равноудаленными концами эквивалентно определению, в котором используется произвольная окрестность. Формулировка второго определения по Коши имеет более общий вид, и оно часто используется при доказательстве теорем. Первое определение, в математическом смысле, проще. Его удобно применять в вычислениях.

Более подробно определение Коши для конечных точек рассматривается на странице «Определение предела функции в конечной точке»; для бесконечно удаленных точек – на странице «Определение предела функции на бесконечности».

Односторонние и двусторонние пределы

Приведенные выше определения универсальны в том смысле, что их можно использовать для любых типов окрестностей. Если, в качестве мы используем левостороннюю проколотую окрестность конечной точки, то получим определение левостороннего предела . Если в качестве окрестности использовать окрестность бесконечно удаленной точки, то получим определение предела на бесконечности.

Для определения предела по Гейне это сводится к тому, что на произвольную, сходящуюся к , последовательность накладывается дополнительное ограничение – ее элементы должны принадлежать соответствующей проколотой окрестности точки .

Для определения предела по Коши нужно в каждом случае преобразовать выражения и в неравенства, используя соответствующие определения окрестности точки.
См. «Окрестность точки».

Определение, что точка a не является пределом функции

Часто возникает необходимость использовать условие, что точка a не является пределом функции при . Построим отрицания к изложенным выше определениям. В них мы предполагаем, что функция f(x) определена на некоторой проколотой окрестности точки x₀. Точки a и x₀ могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными. Все сформулированное ниже относится как к двусторонним, так и к односторонним пределам.

По Гейне.
Число a не является пределом функции f(x) в точке x₀: ,
если существует такая последовательность {x_n}, сходящаяся к x₀:
,
элементы которой принадлежат окрестности ,
что последовательность {f(x_n)} не сходится к a:
.
.

По Коши.
Число a не является пределом функции f(x) в точке x₀:
,
если существует такое положительное число ε > 0, так что для любого положительного числа δ > 0, существует такое x, принадлежащее проколотой δ – окрестности точки x₀:
,
что значение функции f(x) не принадлежит ε – окрестности точки a:
.
.

Разумеется, если точка a не является пределом функции при , то это не означает, что у функции не может быть предела. Возможно, существует предел , но он не равен a. Также возможен случай, когда функция определена в проколотой окрестности точки , но не имеет предела при .

Функция f(x) = sin(1/x) не имеет предела при x → 0.

Например, функция определена при , но предела не существует. Для доказательства возьмем последовательность . Она сходится к точке 0: . Поскольку , то .
Возьмем последовательность . Она также сходится к точке 0: . Но поскольку , то
.
Тогда предел не может равняться никакому числу a. Действительно, при , существует последовательность , с которой . Поэтому любое отличное от нуля число не является пределом. Но также не является пределом, поскольку существует последовательность , для которой .

Эквивалентность определений предела по Гейне и по Коши

Теорема
Определения предела функции по Гейне и по Коши эквивалентны.

Доказательство

При доказательстве мы предполагаем, что функция определена в некоторой проколотой окрестности точки (конечной или бесконечно удаленной). Точка a также может быть конечной или бесконечно удаленной.

Доказательство Гейне ⇒ Коши

Пусть функция имеет в точке предел a согласно первому определению (по Гейне). То есть для любой последовательности , принадлежащей проколотой окрестности точки и имеющей предел
(1)   ,
предел последовательности равен a:
(2)   .

Покажем, что функция имеет предел в точке по Коши. То есть для любого существует , что для всех .

Допустим противное. Пусть условия (1) и (2) выполнены, но функция не имеет предела по Коши. То есть существует такое , что для любого существует , так что
.

Возьмем , где n – натуральное число. Тогда существует , причем
.
Таким образом мы построили последовательность , сходящуюся к , но предел последовательности не равен a. Это противоречит условию теоремы.

Первая часть доказана.

Доказательство Коши ⇒ Гейне

Пусть функция имеет в точке предел a согласно второму определению (по Коши). То есть для любого существует , что
(3)   для всех .

Покажем, что функция имеет предел a в точке по Гейне.
Возьмем произвольное число . Согласно определению Коши, существует число , так что выполняется (3).

Возьмем произвольную последовательность , принадлежащую проколотой окрестности и сходящуюся к . По определению сходящейся последовательности, для любого существует , что
при .
Тогда из (3) следует, что
при .
Поскольку это выполняется для любого , то
. n$ не имеет предела.

Определение. Говорят, что последовательность $a_n$ имеет пределом $+\infty$, если для любого $A>0$ существует такое $N$, что при всех $n>N$ выполняется неравенство $a_n>A$.

Обозначение. Этот факт обозначают \[ \lim _{n\rightarrow +\infty}a_n=+\infty, \]

или

\[ a_n \xrightarrow[n\to +\infty]{} +\infty. \]

Аналогично определяется ситуация, когда $ \lim _{n\rightarrow +\infty}a_n=-\infty$.

Определение. Если предел последовательности равен $0$, последовательность называют бесконечно малой. Если предел последовательности равен $\infty$, последовательность называют бесконечно большой.

Теорема. Пусть последовательность $a_n$ имеет конечный предел. Тогда $a_n$ – ограниченная последовательность.

Доказательство.

Возьмем какое-нибудь $\varepsilon >0$. Согласно определению предела, существует такое $N$, что при всех $n>N$ выполняется $|a_n-A|

Теорема. Пусть последовательность $a_n$ имеет конечный предел $A$, \[ a_n \xrightarrow[n\to +\infty]{} A.

\]

Тогда последовательность $b_n=(a_n-A)$ является бесконечно малой.

Теорема. Последовательность может иметь только один предел.

Доказательство.

Предположим, что последовательность имеет два предела, \[ a_n \xrightarrow[n\to +\infty]{} A, \] \[ a_n \xrightarrow[n\to +\infty]{} B, \]

$A \neq B$. Будем для определенности считать, что числа $A$ и $B$ конечные. Возьмем $\varepsilon = |A-B|/3$.

Согласно определению предела, найдется такое $N_1$, что при $n >N_1$ выполняется $A-\varepsilon

По тем же причинам найдется $N_2$ такое, что при $n>N_2$ выполняется $B-\varepsilon

Тогда при $n>max(N_1,N_2)$ выполняются оба набора неравенств, что невозможно – отрезки $(A-\varepsilon,A+\varepsilon)$, $(B-\varepsilon,B+\varepsilon)$ не пересекаются. ч.т.д.

3.1.2 Арифметика пределов

Здесь приведена серия теорем, описывающая предел суммы, произведения и частного последовательностей, имеющих конечный предел.

Теорема. Пусть \[ \lim _{n\rightarrow +\infty}a_n=A, \, \lim _{n\rightarrow +\infty}b_n=B, \]

причем $A$ и $B$ – конечные числа. Тогда последовательность $(a_n+b_n)$ имеет конечный предел, причем

\[ \lim _{n\rightarrow +\infty}(a_n+b_n)=A+B. \]

Доказательство.

Возьмем произвольное число $\varepsilon >0 $. Согласно определению предела, существует такое $N_1$, что при всех $n>N_1$ выполняется: \begin{equation} |a_n-A|

По тем же причинам существует такое $N_2$, что при всех $n>N_2$ выполняется: \begin{equation} |b_n-B|

Пусть $N=max(N_1,N_2)$. Тогда при всех $n>N$ выполняются неравенства (1) и (2). Используя неравенство треугольника, получаем: при всех $n>N$ выполняется \begin{equation} |(a_n+b_n)-(A+B)| \[ \varepsilon /2+\varepsilon /2=\varepsilon.(3)\]

ч.т.д.

Теорема. Пусть \[ \lim _{n\rightarrow +\infty}a_n=A, \, \lim _{n\rightarrow +\infty}b_n=B, \]

причем $A$ и $B$ – конечные числа. Тогда последовательность $(a_n\cdot b_n)$ имеет конечный предел, причем

\[ \lim _{n\rightarrow +\infty}(a_n\cdot b_n)=A\cdot B. \]

Теорема. Пусть \[ \lim _{n\rightarrow +\infty}a_n=A, \, \lim _{n\rightarrow +\infty}b_n=B, \]

причем $A$ и $B$ – конечные числа, $B \neq 0$. Тогда последовательность $(a_n / b_n)$ имеет конечный предел, причем

\[ \lim _{n\rightarrow +\infty}(a_n / b_n)=A / B. \]

Теорема. Пусть при всех $n$ выполняется $a_n

Тогда $A \leq M$ (переход в неравенствах к пределу).

Замечание. Разумеется, существуют аналоги этих теорем и в том случае, когда один из пределов (или оба предела) бесконечен.

Контрольный вопрос.

Сформулируйте теорему о пределе суммы, если одна из последовательностей имеет конечный предел, вторая – бесконечный.

3.1.3 Арифметика бесконечно малых

Теорема. Пусть $a_n$, $b_n$ – бесконечно малые при $n \rightarrow +\infty$. Тогда $(a_n+b_n)$ – бесконечно малая при $n \rightarrow +\infty$.

Теорема. Пусть $a_n$ – бесконечно малая при $n \rightarrow +\infty$, $b_n$ – ограниченная последовательность. Тогда $a_n\cdot b_n$ – бесконечно малая при $n \rightarrow +\infty$.

Теорема. Пусть $a_n$ – бесконечно малая при $n \rightarrow +\infty$, \[ \lim _{n\rightarrow +\infty}b_n=B, \] причем $B$ – конечное число, $B \neq 0$. Тогда последовательность $(a_n / b_n)$ бесконечно малая при $n \rightarrow +\infty$.

Определение. Бесконечно малые $a_n$, $b_n$ называются эквивалентными, если существует предел \[ \lim _{n\rightarrow +\infty}a_n/b_n=\theta, \] причем $\theta \neq 0$, $\theta \neq \pm \infty$. Этот факт обозначают следующим образом: $a_n \sim b_n$ при $n \rightarrow +\infty$.

3.1.4 Признаки существования пределов

Следующие теоремы указывают условия, при которых последовательность имеет предел.

Теорема. Пусть $a_n$ – монотонно возрастающая последовательность, ограниченная сверху. Тогда она имеет конечный предел.

Следствие. Если $a_n$ – монотонно возрастающая последовательность, она имеет пределом либо $=+\infty$, либо конечное число. Соответственно, для монотонно убывающей последовательности.

Теорема. Пусть $a_n$ – монотонно убывающая последовательность, ограниченная снизу. Тогда она имеет конечный предел.

Теорема. Пусть для всех $n$ выполняются неравенства $a_n\leq b_n \leq c_n$, и \[ \lim _{n\rightarrow +\infty}a_n=A, \, \lim _{n\rightarrow +\infty}c_n=A. \] Тогда $b_n$ также имеет предел, причем \[ \lim _{n\rightarrow +\infty}b_n=A. \]

Критерий Коши. Для того, чтобы последовательность $a_n$ имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого $ \varepsilon >0$ существовало такое $N$, что при всех $m,n>N$ выполнялось $|a_n-a_m|

3.1.5 Вычисление пределов

Здесь мы приведем несколько примеров вычисления пределов последовательностей. При этом мы используем приведенные выше теоремы об арифметике пределов.

{-1}$. ч.т.д.

3.2 Функции непрерывной переменной

8 шагов для установки ограничений

Доктор Дэвид Уолш

11 марта 2013 г.

Мы знаем, что установление ограничений является ключом к развитию уважения, сочувствия и самодисциплины. Тем не менее, установить и обеспечить их соблюдение не всегда легко. Попробуйте эти советы, чтобы начать:

1. Стань настоящим. Напомните себе, что задача вашего ребенка — раздвигать границы, а ваша — устанавливать их. Некоторые дети будут давить сильнее, чем другие, но все дети проверят границы. Это нормальная часть развития, а не личная атака на ваше воспитание.
2. Установите ограничения заранее. Если возможно, четко изложите свои ожидания, а также последствия их несоблюдения. Например: «Убедитесь, что вы дома до ужина, иначе завтра вы не сможете пойти к Келли домой». Когда вам нужно придумать последствия на лету, сделайте пару глубоких вдохов, прежде чем ответить. Вы не хотите угрожать своему ребенку чем-то, что вы не можете выполнить.
3. Будьте конкретны. Например: «Я хочу, чтобы ты вынес мусор. Если он не выйдет через десять минут, значит, вы решили не проводить время за видеоиграми сегодня вечером. Это твой выбор.”
4. Довести до конца. Если ваш ребенок не выносит мусор, то ваша работа – добиться наказания. Вот почему вы должны выбрать последствия, с которыми вы можете жить.
5. Напомните ребенку, что это выбор. Убедитесь, что вы ясно даете понять ребенку, что он делает выбор в своем поведении. «Поскольку ты не вынес мусор, ты решил не играть сегодня вечером в видеоигры».
6. Согласованность имеет решающее значение. Ваш ребенок должен испытать негативные последствия неправильного решения. Если ты будешь болтать, она не усвоит этот важный урок.
7. Не ворчи. Напомните ребенку о правиле или следствии, но избегайте чрезмерных объяснений, придирок или лекций. Будьте проще: «Если вы решите ударить свою сестру, значит, вы решили покончить с этой игрой».
8. Избегайте борьбы за власть. Устанавливать лимиты не значит выигрывать. Никто не побеждает в борьбе за власть. Вот еще несколько советов, как избежать борьбы за власть с подростками.

• Планируйте заранее. Знайте взлеты и падения вашего ребенка и то, как он ведет себя, когда устает. Старайтесь предотвращать проблемы до того, как они возникнут.
• Расписание. Предсказуемый график поможет вашему ребенку понять, чего ожидать. Когда дети не знают, что происходит дальше, их тревога может заставить их действовать. Это не означает, что вам нужно быть роботом, но общая последовательность полезна.
• Обратите внимание на переходы. Переходы могут быть трудными для детей. Предупредите ребенка перед изменением активности или уходом. Придумайте предсказуемую и веселую песню для регулярных переходов, таких как уборка или мытье рук перед сном или едой.
• Оставайтесь на связи. Малышам нужны занятия, чтобы занять их. Имея дело, чтобы выйти, когда вы находитесь в затруднительном положении, может помочь держать их в безопасности.
• Создать среду «да». Например, вместо того, чтобы повторять «Нет!» каждый раз, когда ваш малыш взбирается на кофейный столик, указывайте ему на что-то более подходящее. Подготовьте альпинисты, диванные подушки или другие предметы, на которые ей будет безопасно залезать.
• «Нет» пота. Малыш, говорящий «нет», не является непокорным ребенком. Это полностью соответствует развитию. Не принимайте это на свой счет.

Важность установления ограничений для вашего ребенка – Hartstein Psychological Services

Опубликовано в 10:30 in Подростки, Взрослый, Блог, Дети, Обучение родителей управлению (PMT), Терапия взаимодействия родителей и детей (PCIT), Воспитание, Методы воспитания, Подкрепление

Правила являются естественной частью жизни, и наличие руководств помогает детям научиться управлять в разных ситуациях. Правила обеспечивают основу для понимания детьми того, что от них ожидается дома, с друзьями и в школе. Хотя родители знают, что такая структура важна, часто бывает сложно установить и поддерживать правила дома.

Родители могут воздержаться от этого, потому что они чувствуют себя виноватыми, они не хотят участвовать в битвах, которые могут возникнуть, когда дети возражают, или они не хотят иметь дело с истериками младшего ребенка. Но детям нужны границы и ограничения, чтобы чувствовать себя в безопасности. Несмотря на то, что может сказать ребенок, эти ограждения хороши для него. Устанавливая ограничения, родители обучают детей важным навыкам, которые помогут им добиться успеха во всех сферах жизни.

Правила учат детей самодисциплине и помогают им научиться делать здоровый выбор. Сомнительно, чтобы вы убедили детей признать, что им нравятся правила, но вы можете убедить их признать, что полезно знать, чего от них ждут и как они могут в конечном итоге получить то, что хотят. В конце концов, речь идет об обучении детей тому, что им нужно делать, чтобы преуспеть и достичь желаемых целей.

Сложность, особенно в летние месяцы, когда правила часто смягчаются, состоит в том, чтобы уметь устанавливать и поддерживать ограничения. Вот несколько советов, как это сделать:

Будьте проще.

Наличие слишком большого количества правил сбивает с толку всех участников. Никто в семье не запомнит всех правил, и вы не сможете их соблюдать. Выберите пять основных правил, которым нужно следовать. Они могут меняться, особенно по мере роста ребенка. Поощряйте вашего ребенка участвовать в создании правил, что может повысить его готовность делать то, что ожидается.

Будьте ясны, кратки и позитивны.

Ребенку невозможно следовать правилу со множеством слоев и слишком большим количеством деталей. Четко сформулируйте правило и сформулируйте его в позитивном ключе. Вместо того, чтобы говорить: «Не бросайте свои игрушки», сформулируйте это так: «С игрушками нужно играть и о них нужно заботиться». Использование позитивного языка поощряет обучение и показывает детям, что вы от них хотите. Негативный язык может показаться наказанием и не поощряет изменения.

Будьте последовательны.

Рутина помогает формировать ожидания. Чем больше дети узнают о последствиях (положительных или отрицательных) своих действий, тем больше они понимают влияние своего поведения и тем в большей безопасности они чувствуют себя, имея это понимание. Если они бросят игрушку, а затем потеряют возможность играть с этой игрушкой, они в конечном итоге научатся больше не бросать игрушку. Если подросток злоупотребляет своими телефонными привилегиями, скажем, использует приложения, которые ему не положено использовать, или включает телефон после того, как он должен быть выключен, и теряет свой телефон, он научится следовать установленным правилам. И наоборот, если он использует телефон надлежащим образом, он может узнать, что у него больше доступа к нему.

Будьте логичны.

Наказание должно соответствовать преступлению. Если правило нарушается, и давайте смотреть правде в глаза, это произойдет, будьте осторожны, чтобы не реагировать слишком остро. Удостоверьтесь, что любая потеря привилегий, которая может возникнуть в результате нарушения правила, становится ясной при введении этого правила. Кроме того, проверьте себя, чтобы убедиться, что ограничение управляемо. Вы действительно заберете телефон на неделю или это будет сложно, если вам нужно связаться с ребенком после школы? Правила и ограничения работают, только если вы их выполняете.

Укрепить, укрепить, укрепить.

Когда вы видите, что ваш ребенок совершает поступки, которые вы хотите поощрять, скажите что-нибудь! Чем больше положительного подкрепления вы даете, когда «ловите» своего ребенка за чем-то хорошим, тем больше вероятность того, что он сделает это снова. Так что не просто указывайте на ошибки, которые совершают дети, а вместо этого поощряйте все хорошие поступки, которые они делают.

Также будьте осторожны, чтобы случайно не подкрепить поведение, которое вы пытаетесь изменить.