Определение производная: Определение производной функции — урок. Алгебра, 10 класс.

Содержание

Определение производной. Геометрический и физический смысл производной. Алгебра, 10 класс: уроки, тесты, задания.

1. Мгновенная скорость

Сложность: лёгкое

1
2. Задача на исследование аргумента функции

Сложность: лёгкое

2
3. Средняя скорость движения точки

Сложность: лёгкое

1
4. Нахождение скорости и ускорения

Сложность: среднее

2
5. Изменение функции в точке

Сложность: среднее

2
6. Скорость изменения функции

Сложность: среднее

1
7. Скорость и ускорение

Сложность: сложное

4
8. Доказательство с применением производной

Сложность: сложное

4,2
9. Вычисление производной

Сложность: сложное

5

Определение производной

Содержание:

Определение производной

  • Определение производных инструментов. Допустим,как и в пункте 1, функция x/= / (x)определена в интервале (a, B), x-фиксированная точка этого интервала, Oh число x+Ah также настолько мало, что принадлежит интервалу. Если мы предположим, что DX=I=0, то в этом отношении мы помещаем эти f и K C и p o в n-o-ю точку x, тогда мы вычисляем отношение приращения\y функции y=(x) в этой точке к

соответствующему приращению аргумента Ah.).- И Х). д* -, О Д * — +О Д* — Если функция/(x) имеет точку x и предел справа и слева (оба равны одному и тому же числу B), то функция/(x) имеет предел, равный числу B в этой точке. Если функция имеет

производные для всех точек x интервала (a, B), то эта производная становится функцией аргумента x, определяемого интервалом(a, B). Вот два простых примера вычисления производной # 1°. /(Х)=ы=sopz1. Ясно, что производная/'(x) этой функции равна нулю, так как приращение этой функции AG/=/(x+Ah)—/(x) равно нулю для всех x и всех Ah. 2°. /(x)=X.In эта функция, отношение разницы (5.5). Равномерно Du_(х+ДХ)-h_DH_|Dн Dн Dн Производная этой функции равна единице в

  • любой точке x бесконечной прямой. По полной аналогии с понятием правого и левого пределов функции в данной точке можно различить N R AB o th и l e Th производных функции y=/(x) в данной неподвижной точке x. О П Р Е Д Е Л Е Н и Е2. N p a [слева] производной функции Y=NX в данной фиксированной точке называется правый [левый]предел разностного отношения (5.5) в точке Ah=0 (если этот предел существует). Символ/'(x+0) [/'(x—0)] используется для обозначения правой [левой] производной функции в точке x. Из сравнения

определений 1 и 2, из свойств правого и левого пределов функций, установленных в пункте 2§4Chapter3, следует следующее утверждение: 1) функция} (x) является производной в точке x}'(x), g(x)=g (x+0)=g(X-0). В дополнение к утверждению 2), если функция/(x) имеет правую и левую производные в точке x»,

но эти производные не равны друг другу, то эта функция не имеет 192 Главы 5. xимеет
Людмила Фирмаль

производную. Примером такой функции является функция (-х<0. Точка x = имеет правую производную, равную 0, и левую производную, равную NT — — — 1, d — » — O DX Эта особенность 1 5Т= Но x=0 не имеет производной.

Смотрите также:

Методическое пособие по математическому анализу

Что такое производная. Практический смысл производной

Геометрический смысл производной

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ К КРИВОЙ

Касательной к кривой y=ƒ(x) в точке

М называется предельное положение секущей, проведенной через точку М и соседнюю с ней точку М1 кривой, при условии, что точка М1 неограниченно приближается вдоль кривой к точке М.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

Производная функции y=ƒ(x) в точке х0 численно равна тангенсу угла наклона к оси Ох касательной, проведенной к кривой y=ƒ(x) в точке М (х0; ƒ(x0)).

ВИЗНАЧЕННЯ ДОТИЧНОЇ ДО КРИВОЇ

Дотичною до кривої y=ƒ(x) в точці М називається граничне положення січної, проведеної через точку М і сусідню з нею точку М1 кривої, за умови, що точка М1 необмежено наближається вздовж кривої до точки М.

ГЕОМЕТРИЧНИЙ ЗМІСТ ПОХІДНОЇ

Похідна функції y=ƒ(x) в точці х0 чисельно дорівнює тангенсу кута нахилу до осі Ох дотичної, проведеної до кривої y=ƒ(x) в точці М (х0; ƒ(x0)).

Практический смысл производной

Рассмотрим, что практически означает величина, найденная нами как производная от некоторой функции.

Прежде всего, производная – это основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке.

Что такое “скорость изменения”? Представим себе функцию f(x) = 5. Вне зависимости от значения аргумента (х) ее значение никак не изменяется. То есть, скорость ее изменения равна нулю.

Теперь рассмотрим функцию f(x) = x. Производная х равна единице. Действительно, легко заметить, что на каждое изменение аргумента (х) на единицу, значение функции прирастает также на единицу. 

С точки зрения полученной информации теперь посмотрим в таблицу производных простых функций. Исходя из этого сразу же становится понятен физический смысл нахождения производной функции. Такое понимание должно облегчить решение практических задач.

Соответственно, если производная показывает скорость изменения функции, то двойная производная показывает ускорение.

 Дифференциальное исчисление | Описание курса | Правила дифференцирования 

   

Производная функции: основные понятия и определения

Пусть задана функция . Рассмотрим два значения (исходное) и (новое) из области определения функции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Разность называется приращением аргумента в точке и обозначается («дельта икс»):

   

Замечание. Символ рассматривается как единый, а не представляет собой произведение, то есть .

Значение рассматриваемой функции в точке равно . Зададим аргументу приращение . Получим значение функции в новой точке .

Приращение функции в точке

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Приращением функции в точке , соответствующее приращению аргумента , называется величина

   

Определение производной

Функция имеет производную на интервале , если производная существует в каждой точке этого интервала.

Левая и правая производные функции

Основные теоремы производных

ТЕОРЕМА (О непрерывности функции в точке.) Если функция имеет конечную производную в точке , то она непрерывна в этой точке.

Замечание. Обратное заключение не всегда верно: если функция непрерывна в некоторой точке , то она может и не иметь производной в этой точке.

ТЕОРЕМА (О необходимом и достаточном условии дифференцируемости.) Для того чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы имела в точке конечную производную.

Теорема устанавливает, что для функции дифференцируемость в данной точке и существование конечной производной в этой точке – понятия равносильные. Поэтому операцию нахождения производной называют также дифференцированием этой функции.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Процесс вычисления производной называется. Что такое производная?Определение и смысл производной функции

В задаче B9 дается график функции или производной, по которому требуется определить одну из следующих величин:

  1. Значение производной в некоторой точке x 0 ,
  2. Точки максимума или минимума (точки экстремума),
  3. Интервалы возрастания и убывания функции (интервалы монотонности).

Функции и производные, представленные в этой задаче, всегда непрерывны, что значительно упрощает решение. Не смотря на то, что задача относится к разделу математического анализа, она вполне по силам даже самым слабым ученикам, поскольку никаких глубоких теоретических познаний здесь не требуется.

Для нахождения значения производной, точек экстремума и интервалов монотонности существуют простые и универсальные алгоритмы — все они будут рассмотрены ниже.

Внимательно читайте условие задачи B9, чтобы не допускать глупых ошибок: иногда попадаются довольно объемные тексты, но важных условий, которые влияют на ход решения, там немного.

Вычисление значения производной. Метод двух точек

Если в задаче дан график функции f(x), касательная к этому графику в некоторой точке x 0 , и требуется найти значение производной в этой точке, применяется следующий алгоритм:

  1. Найти на графике касательной две «адекватные» точки: их координаты должны быть целочисленными. Обозначим эти точки A (x 1 ; y 1) и B (x 2 ; y 2). Правильно выписывайте координаты — это ключевой момент решения, и любая ошибка здесь приводит к неправильному ответу.
  2. Зная координаты, легко вычислить приращение аргумента Δx = x 2 − x 1 и приращение функции Δy = y 2 − y 1 .
  3. Наконец, находим значение производной D = Δy/Δx. Иными словами, надо разделить приращение функции на приращение аргумента — и это будет ответ.

Еще раз отметим: точки A и B надо искать именно на касательной, а не на графике функции f(x), как это часто случается. Касательная обязательно будет содержать хотя бы две таких точки — иначе задача составлена некорректно.

Рассмотрим точки A (−3; 2) и B (−1; 6) и найдем приращения:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Найдем значение производной: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .

Рассмотрим точки A (0; 3) и B (3; 0), найдем приращения:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Теперь находим значение производной: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .

Рассмотрим точки A (0; 2) и B (5; 2) и найдем приращения:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Осталось найти значение производной: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Из последнего примера можно сформулировать правило: если касательная параллельна оси OX, производная функции в точке касания равна нулю. В этом случае даже не надо ничего считать — достаточно взглянуть на график.

Вычисление точек максимума и минимума

Иногда вместо графика функции в задаче B9 дается график производной и требуется найти точку максимума или минимума функции. При таком раскладе метод двух точек бесполезен, но существует другой, еще более простой алгоритм. Для начала определимся с терминологией:

  1. Точка x 0 называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x 0) ≥ f(x).
  2. Точка x 0 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x 0) ≤ f(x).

Для того чтобы найти точки максимума и минимума по графику производной, достаточно выполнить следующие шаги:

  1. Перечертить график производной, убрав всю лишнюю информацию. Как показывает практика, лишние данные только мешают решению. Поэтому отмечаем на координатной оси нули производной — и все.
  2. Выяснить знаки производной на промежутках между нулями. Если для некоторой точки x 0 известно, что f’(x 0) ≠ 0, то возможны лишь два варианта: f’(x 0) ≥ 0 или f’(x 0) ≤ 0. Знак производной легко определить по исходному чертежу: если график производной лежит выше оси OX, значит f’(x) ≥ 0. И наоборот, если график производной проходит под осью OX, то f’(x) ≤ 0.
  3. Снова проверяем нули и знаки производной. Там, где знак меняется с минуса на плюс, находится точка минимума. И наоборот, если знак производной меняется с плюса на минус, это точка максимума. Отсчет всегда ведется слева направо.

Эта схема работает только для непрерывных функций — других в задаче B9 не встречается.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−5; 5]. Найдите точку минимума функции f(x) на этом отрезке.

Избавимся от лишней информации — оставим только границы [−5; 5] и нули производной x = −3 и x = 2,5. Также отметим знаки:

Очевидно, в точке x = −3 знак производной меняется с минуса на плюс. Это и есть точка минимума.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7]. Найдите точку максимума функции f(x) на этом отрезке.

Перечертим график, оставив на координатной оси только границы [−3; 7] и нули производной x = −1,7 и x = 5. Отметим на полученном графике знаки производной. Имеем:

Очевидно, в точке x = 5 знак производной меняется с плюса на минус — это точка максимума.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−6; 4]. Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−4; 3].

Из условия задачи следует, что достаточно рассмотреть только часть графика, ограниченную отрезком [−4; 3]. Поэтому строим новый график, на котором отмечаем только границы [−4; 3] и нули производной внутри него. А именно, точки x = −3,5 и x = 2. Получаем:

На этом графике есть лишь одна точка максимума x = 2. Именно в ней знак производной меняется с плюса на минус.

Небольшое замечание по поводу точек с нецелочисленными координатами. Например, в последней задаче была рассмотрена точка x = −3,5, но с тем же успехом можно взять x = −3,4. Если задача составлена корректно, такие изменения не должны влиять на ответ, поскольку точки «без определенного места жительства» не принимают непосредственного участия в решении задачи. Разумеется, с целочисленными точками такой фокус не пройдет.

Нахождение интервалов возрастания и убывания функции

В такой задаче, подобно точкам максимума и минимума, предлагается по графику производной отыскать области, в которых сама функция возрастает или убывает. Для начала определим, что такое возрастание и убывание:

  1. Функция f(x) называется возрастающей на отрезке если для любых двух точек x 1 и x 2 из этого отрезка верно утверждение: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Другими словами, чем больше значение аргумента, тем больше значение функции.
  2. Функция f(x) называется убывающей на отрезке если для любых двух точек x 1 и x 2 из этого отрезка верно утверждение: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Сформулируем достаточные условия возрастания и убывания:

  1. Для того чтобы непрерывная функция f(x) возрастала на отрезке , достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была положительна, т.е. f’(x) ≥ 0.
  2. Для того чтобы непрерывная функция f(x) убывала на отрезке , достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была отрицательна, т.е. f’(x) ≤ 0.

Примем эти утверждения без доказательств. Таким образом, получаем схему для нахождения интервалов возрастания и убывания, которая во многом похожа на алгоритм вычисления точек экстремума:

  1. Убрать всю лишнюю информацию. На исходном графике производной нас интересуют в первую очередь нули функции, поэтому оставим только их.
  2. Отметить знаки производной на интервалах между нулями. Там, где f’(x) ≥ 0, функция возрастает, а где f’(x) ≤ 0 — убывает. Если в задаче установлены ограничения на переменную x, дополнительно отмечаем их на новом графике.
  3. Теперь, когда нам известно поведение функции и ограничения, остается вычислить требуемую в задаче величину.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7,5]. Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых чисел, входящих в эти промежутки.

Как обычно, перечертим график и отметим границы [−3; 7,5], а также нули производной x = −1,5 и x = 5,3. Затем отметим знаки производной. Имеем:

Поскольку на интервале (− 1,5) производная отрицательна, это и есть интервал убывания функции. Осталось просуммировать все целые числа, которые находятся внутри этого интервала:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−10; 4]. Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Избавимся от лишней информации. Оставим только границы [−10; 4] и нули производной, которых в этот раз оказалось четыре: x = −8, x = −6, x = −3 и x = 2. Отметим знаки производной и получим следующую картинку:

Нас интересуют промежутки возрастания функции, т.е. такие, где f’(x) ≥ 0. На графике таких промежутков два: (−8; −6) и (−3; 2). Вычислим их длины:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Поскольку требуется найти длину наибольшего из интервалов, в ответ записываем значение l 2 = 5.

Когда человек сделал первые самостоятельные шаги в изучении математического анализа и начинает задавать неудобные вопросы, то уже не так-то просто отделаться фразой, что «дифференциальное исчисление найдено в капусте». Поэтому настало время набраться решимости и раскрыть тайну появления на светтаблицы производных и правил дифференцирования . Начало положено в статьео смысле производной , которую я настоятельно рекомендую к изучению, поскольку там мы как раз рассмотрели понятие производной и начали щёлкать задачи по теме. Этот же урок носит ярко выраженную практическую направленность, более того,

рассматриваемые ниже примеры, в принципе, можно освоить и чисто формально (например, когда нет времени/желания вникать в суть производной). Также крайне желательно (однако опять не обязательно) уметь находить производные «обычным» методом – хотя бы на уровне двух базовых занятий: Как найти производную?и Производная сложной функции.

Но без чего-чего сейчас точно не обойтись, так это безпределов функций . Вы должны ПОНИМАТЬ, что такое предел и уметь решать их, как минимум, на среднем уровне. А всё потому, чтопроизводная

функции в точке определяется формулой:

Напоминаю обозначения и термины: называютприращением аргумента ;

– приращением функции;

– это ЕДИНЫЕ символы («дельту» нельзя «отрывать» от «икса» или «игрека»).

Очевидно, что является «динамической» переменной,– константой и результат вычисления предела– числом(иногда – «плюс» либо «минус» бесконечностью) .

В качестве точки можно рассмотреть ЛЮБОЕ значение, принадлежащееобласти определения функции, в котором существует производная.

Примечание : оговорка «в котором существует производная» –в общем случае существенна ! Так, например, точкахоть и входит в область определения функции, но производной

там не существует. Поэтому формула

не применима в точке,

и укороченная формулировка без оговорки будет некорректна. Аналогичные факты справедливы и для других функций с «обрывами» графика, в частности, для арксинуса и арккосинуса.

Таким образом, после замены , получаем вторую рабочую формулу:

Обратите внимание на коварное обстоятельство, которое может запутать чайника: в данном пределе «икс», будучи сам независимой переменной, исполняет роль статиста, а «динамику» задаёт опять же приращение . Результатом вычисления предела

является производная функция.

Исходя из вышесказанного, сформулируем условия двух типовых задач:

– Найти производную в точке , используя определение производной.

– Найти производную функцию , используя определение производной. Эта версия, по моим наблюдениям, встречается заметно чаще и ей будет уделено основное внимание.

Принципиальное отличие заданий состоит в том, что в первом случае требуется найти число (как вариант, бесконечность) , а во втором –

функцию . Кроме того, производной может и вовсе не существовать.

Как ?

Составить отношение и вычислить предел.

Откуда появилась таблица производных и правила дифференцирования? Благодаря единственному пределу

Кажется волшебством, но в

действительности – ловкость рук и никакого мошенничества. На уроке Что такое производная? я начал рассматривать конкретные примеры, где с помощью определения нашёл производные линейной и квадратичной функции. В целях познавательной разминки продолжим тревожитьтаблицу производных , оттачивая алгоритм и технические приёмы решения:

По сути, требуется доказать частный случай производной степенной функции, который обычно фигурирует в таблице: .

Решение технически оформляется двумя способами. Начнём с первого, уже знакомого подхода: лесенка начинается с дощечки, а производная функция – с производной в точке.

Рассмотрим некоторую (конкретную) точку, принадлежащуюобласти определения функции, в которой существует производная. Зададим в данной точке приращение (разумеется, не выходящее за рамки о/о -я) и составим соответствующее приращение функции:

Вычислим предел:

Неопределённость 0:0 устраняется стандартным приёмом, рассмотренным ещё в первом веке до нашей эры. Домножим

числитель и знаменатель на сопряженное выражение :

Техника решения такого предела подробно рассмотрена на вводном уроке о пределах функций .

Поскольку в качестве можно выбрать ЛЮБУЮ точкуинтервала

То, осуществив замену, получаем:

В который раз порадуемся логарифмам:

Найти производную функции , пользуясь определением производной

Решение : рассмотрим другой подход к раскрутке той же задачи. Он точно такой же, но более рационален с точки зрения оформления. Идея состоит в том, чтобы в начале решения избавиться от

подстрочного индекса и вместо буквы использовать букву.

Рассмотрим произвольную точку, принадлежащуюобласти определения функции(интервалу), и зададим в ней приращение.А вот здесь, кстати, как и в большинстве случаев, можно обойтись без всяких оговорок, поскольку логарифмическая функция дифференцируема в любой точке области определения.

Тогда соответствующее приращение функции:

Найдём производную:

Простота оформления уравновешивается путаницей, которая может

возникнуть у начинающих (да и не только). Ведь мы привыкли, что в пределе изменяется буква «икс»! Но тут всё по-другому: – античная статуя, а– живой посетитель, бодро шагающий по коридору музея. То есть «икс» – это «как бы константа».

Устранение неопределённости закомментирую пошагово:

(1) Используем свойство логарифма .

(2) В скобках почленно делим числитель на знаменатель.

(3) В знаменателе искусственно домножаем и делим на «икс» чтобы

воспользоваться замечательным пределом , при этом в качествебесконечно малой величины выступает.

Ответ : по определению производной:

Или сокращённо:

Предлагаю самостоятельно сконструировать ещё две табличные формулы:

Найти производную по определению

В данном случае составленное приращение сразу же удобно привести к общему знаменателю. Примерный образец оформления задания в конце урока (первый способ).

Найти производную по определению

А тут всё необходимо свести к замечательному пределу . Решение оформлено вторым способом.

Аналогично выводится ряд других табличных производных . Полный список можно найти в школьном учебнике, или, например, 1- м томе Фихтенгольца. Не вижу особого смысла переписывать из книг и доказательства правил дифференцирования – они тоже порождены

формулой .

Переходим к реально встречающимся заданиям: Пример 5

Найти производную функции , используя определение производной

Решение : используем первый стиль оформления. Рассмотрим некоторую точку, принадлежащую, и зададим в ней приращение аргумента. Тогда соответствующее приращение функции:

Возможно, некоторые читатели ещё не до конца поняли принцип, по которому нужно составлять приращение . Берём точку(число) и находим в ней значение функции:, то есть в функцию

вместо «икса» следует подставить. Теперь берём

Составленное приращение функции бывает выгодно сразу же упростить . Зачем? Облегчить и укоротить решение дальнейшего предела.

Используем формулы , раскрываем скобки и сокращаем всё, что можно сократить:

Индейка выпотрошена, с жаркое никаких проблем:

В итоге:

Поскольку в качестве можно выбрать любое действительное число, то проведём заменуи получим.

Ответ :по определению.

В целях проверки найдём производную с помощью правил

дифференцирования и таблицы:

Всегда полезно и приятно знать правильный ответ заранее, поэтому лучше мысленно либо на черновике продифференцировать предложенную функцию «быстрым» способом в самом начале решения.

Найти производную функции по определению производной

Это пример для самостоятельного решения. Результат лежит на поверхности:

Вернёмся к стилю №2: Пример 7

Давайте немедленно узнаем, что должно получиться. По правилу дифференцирования сложной функции :

Решение : рассмотрим произвольную точку, принадлежащую, зададим в ней приращение аргументаи составим приращение

Найдём производную:

(1) Используем тригонометрическую формулу

(2) Под синусом раскрываем скобки, под косинусом приводим подобные слагаемые.

(3) Под синусом сокращаем слагаемые, под косинусом почленно делим числитель на знаменатель.

(4) В силу нечётности синуса выносим «минус». Под косинусом

указываем, что слагаемое .

(5) В знаменателе проводим искусственное домножение, чтобы использовать первый замечательный предел . Таким образом, неопределённость устранена, причёсываем результат.

Ответ :по определению Как видите, основная трудность рассматриваемой задачи упирается в

сложность самого предела + небольшое своеобразие упаковки. На практике встречаются и тот и другой способ оформления, поэтому я максимально подробно расписываю оба подхода. Они равноценны, но всё-таки, по моему субъективному впечатлению, чайникам целесообразнее придерживаться 1-го варианта с «икс нулевым».

Пользуясь определением, найти производную функции

Это задание для самостоятельного решения. Образец оформлен в том же духе, что предыдущий пример.

Разберём более редкую версию задачи:

Найти производную функции в точке, пользуясь определением производной.

Во-первых, что должно получиться в сухом остатке? Число Вычислим ответ стандартным способом:

Решение : с точки зрения наглядности это задание значительно проще, так как в формулевместо

рассматривается конкретное значение.

Зададим в точке приращениеи составим соответствующее приращение функции:

Вычислим производную в точке:

Используем весьма редкую формулу разности тангенсов и в который раз сведём решение кпервому

замечательному пределу:

Ответ :по определению производной в точке.

Задачу не так трудно решить и «в общем виде» – достаточно заменить наили простов зависимости от способа оформления. В этом случае, понятно, получится не число, а производная функция.

Пример 10 Используя определение, найти производную функциив точке

Это пример для самостоятельного решения.

Заключительная бонус-задача предназначена, прежде всего, для студентов с углубленным изучением математического анализа, но и всем остальным тоже не помешает:

Будет ли дифференцируема функция в точке?

Решение : очевидно, что кусочно-заданная функциянепрерывна в точке, но будет ли она там дифференцируема?

Алгоритм решения, причём не только для кусочных функций, таков:

1) Находим левостороннюю производнуюв данной точке: .

2) Находим правостороннюю производнуюв данной точке: .

3) Если односторонние производныеконечны и совпадают:

, то функциядифференцируема в точкеи

геометрически здесь существует общая касательная (см. теоретическую часть урока Определение и смысл производной ).

Если получены два разных значения: (одно из которых может оказаться и бесконечным) , то функция не дифференцируема в точке.

Если же обе односторонние производные равны бесконечности

(пусть даже разных знаков), то функция не

дифференцируема в точке , но там существует бесконечная производная и общая вертикальная касательная к графику(см. Пример 5 урока Уравнение нормали ) .

При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию, которую называют производной функцией (или просто производной) данной функции f(x) и обозначают символом

Тот процесс, с помощью которого из данной функции f(x) получают новую функцию f ” (x) , называют дифференцированием и состоит он из следующих трех шагов: 1) даем аргументу x приращение  x и определяем соответствующее приращение функции  y = f(x+  x) -f(x) ; 2) составляем отношение

3) считая x постоянным, а  x 0, находим
, который обозначаем черезf ” (x) , как бы подчеркивая тем самым, что полученная функция зависит лишь от того значения x , при котором мы переходим к пределу. Определение : Производной y ” =f ” (x) данной функции y=f(x) при данном x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот предел существует, т.е. конечен. Таким образом,
, или

Заметим, что если при некотором значении x , например при x=a , отношение
при x 0 не стремится к конечному пределу, то в этом случае говорят, что функция f(x) при x=a (или в точке x=a ) не имеет производной или не дифференцируема в точке x=a .

2. Геометрический смысл производной.

Рассмотрим график функции у = f (х), дифференцируемой в окрест­ностях точки x 0

f(x)

Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку гра­фика функции – точку А(x 0 , f (х 0)) и пересекающую график в некоторой точке B(x;f(x)). Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ∆АВС: АС = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x .

Так как АС || Ox, то ALO = BAC = β (как соответственные при параллельных). Но ALO – это угол наклона секущей АВ к положи­тельному направлению оси Ох. Значит, tgβ = k – угловой коэффициент прямой АВ.

Теперь будем уменьшать ∆х, т.е. ∆х→ 0. При этом точка В будет прибли­жаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться. Пре­дельным положением секущей АВ при ∆х→ 0 будет прямая (a), называемая касательной к графику функции у = f (х) в точке А.

Если перейти к пределу при ∆х → 0 в равенстве tgβ =∆y/∆x, то получим
илиtg =f “(x 0), так как
-угол накло­на касательной к положительному направлению оси Ох
, по определению производной. Но tg = k – угловой коэффициент каса­тельной, значит, k = tg = f “(x 0).

Итак, геометрический смысл производной заключается в следую­щем:

Производная функции в точке x 0 равна угловому коэффициенту ка­сательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x 0 .

3. Физический смысл производной.

Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в любой момент времени x(t). Известно (из курса физики), что средняя скорость за промежуток времени равна отношению расстояния, пройденного за этот промежуток времени, на время, т.е.

Vср = ∆x/∆t. Перейдем к пределу в последнем равенстве при ∆t → 0.

lim Vср (t) = (t 0) – мгновенная скорость в момент времени t 0 , ∆t → 0.

а lim = ∆x/∆t = x”(t 0) (по определению производной).

Итак, (t) =x”(t).

Физический смысл производной заключается в следующем: произ­водная функции y = f (x ) в точке x 0 – это скорость изменения функции f (х) в точке x 0

Производная применяется в физике для нахождения скорости по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от времени.

(t) = x”(t) – скорость,

a(f) = ”(t) – ускорение, или

Если известен закон движения материальной точки по окружности, то можно найти угловую скорость и угловое ускорение при вращатель­ном движении:

φ = φ(t) – изменение угла от времени,

ω = φ”(t) – угловая скорость,

ε = φ”(t) – угловое ускорение, или ε = φ”(t).

Если известен закон распределения массы неоднородного стержня, то можно найти линейную плотность неоднородного стержня:

m = m(х) – масса,

x  , l – длина стержня,

р = m”(х) – линейная плотность.

С помощью производной решаются задачи из теории упругости и гармонических колебаний. Так, по закону Гука

F = -kx, x – переменная координата, k- коэффициент упругости пружины. Положив ω 2 =k/m, получим дифференциальное уравнение пружинного маятника х”(t) + ω 2 x(t) = 0,

где ω = √k/√m частота колебаний (l/c), k – жесткость пружины (H/m).

Уравнение вида у” + ω 2 y = 0 называется уравнением гармонических колебаний (механических, электрических, электромагнитных). Решени­ем таких уравнений является функция

у = Asin(ωt + φ 0) или у = Acos(ωt + φ 0), где

А – амплитуда колебаний, ω – циклическая частота,

φ 0 – начальная фаза.

Многие удивятся неожиданному расположению этой статьи в моём авторском курсе о производной функции одной переменной и её приложениях. Ведь как оно было ещё со школы: стандартный учебник в первую очередь даёт определение производной, её геометрический, механический смысл. Далее учащиеся находят производные функций по определению, и, собственно, только потом оттачивается техника дифференцирования с помощью таблицы производных .

Но с моей точки зрения, более прагматичен следующий подход: прежде всего, целесообразно ХОРОШО ПОНЯТЬ предел функции , и, в особенности, бесконечно малые величины . Дело в том, что определение производной базируется на понятии предела , которое слабо рассмотрено в школьном курсе. Именно поэтому значительная часть молодых потребителей гранита знаний плохо вникают в саму суть производной. Таким образом, если вы слабо ориентируетесь в дифференциальном исчислении либо мудрый мозг за долгие годы успешно избавился от оного багажа, пожалуйста, начните с пределов функций . Заодно освоите/вспомните их решение.

Тот же практический смысл подсказывает, что сначала выгодно научиться находить производные , в том числе производные сложных функций . Теория теорией, а дифференцировать, как говорится, хочется всегда. В этой связи лучше проработать перечисленные базовые уроки, а может и стать мастером дифференцирования , даже не осознавая сущности своих действий.

К материалам данной страницы рекомендую приступать после ознакомления со статьёй Простейшие задачи с производной , где, в частности рассмотрена задача о касательной к графику функции. Но можно и повременить. Дело в том, что многие приложения производной не требуют её понимания, и неудивительно, что теоретический урок появился достаточно поздно – когда мне потребовалось объяснять нахождение интервалов возрастания/убывания и экстремумов функции. Более того, он довольно долго находился в теме «Функции и графики », пока я всё-таки не решил поставить его раньше.

Поэтому, уважаемые чайники, не спешите поглощать суть производной, как голодные звери, ибо насыщение будет невкусным и неполным.

Понятие возрастания, убывания, максимума, минимума функции

Многие учебные пособия подводят к понятию производной с помощью каких-либо практических задач, и я тоже придумал интересный пример. Представьте, что нам предстоит путешествие в город, до которого можно добраться разными путями. Сразу откинем кривые петляющие дорожки, и будем рассматривать только прямые магистрали. Однако прямолинейные направления тоже бывают разными: до города можно добраться по ровному автобану. Или по холмистому шоссе – вверх-вниз, вверх-вниз. Другая дорога идёт только в гору, а ещё одна – всё время под уклон. Экстремалы выберут маршрут через ущелье с крутым обрывом и отвесным подъемом.

Но каковы бы ни были ваши предпочтения, желательно знать местность или, по меньшей мере, располагать её топографической картой. А если такая информация отсутствует? Ведь можно выбрать, например, ровный путь, да в результате наткнуться на горнолыжный спуск с весёлыми финнами. Не факт, что навигатор и даже спутниковый снимок дадут достоверные данные. Поэтому неплохо бы формализовать рельеф пути средствами математики.

Рассмотрим некоторую дорогу (вид сбоку):

На всякий случай напоминаю элементарный факт: путешествие происходит слева направо . Для простоты полагаем, что функция непрерывна на рассматриваемом участке.

Какие особенности у данного графика?

На интервалах функция возрастает , то есть каждое следующее её значение больше предыдущего. Грубо говоря, график идёт снизу вверх (забираемся на горку). А на интервале функция убывает – каждое следующее значение меньше предыдущего, и наш график идёт сверху вниз (спускаемся по склону).

Также обратим внимание на особые точки. В точке мы достигаем максимума , то есть существует такой участок пути, на котором значение будет самым большим (высоким). В точке же достигается минимум , и существует такая её окрестность, в которой значение самое маленькое (низкое).

Более строгую терминологию и определения рассмотрим на уроке об экстремумах функции , а пока изучим ещё одну важную особенность: на промежутках функция возрастает, но возрастает она с разной скоростью . И первое, что бросается в глаза – на интервале график взмывает вверх гораздо более круто , чем на интервале . Нельзя ли измерить крутизну дороги с помощью математического инструментария?

Скорость изменения функции

Идея состоит в следующем: возьмём некоторое значение (читается «дельта икс») , которое назовём приращением аргумента , и начнём его «примерять» к различным точкам нашего пути:

1) Посмотрим на самую левую точку: минуя расстояние , мы поднимаемся по склону на высоту (зелёная линия). Величина называется приращением функции , и в данном случае это приращение положительно (разность значений по оси – больше нуля). Составим отношение , которое и будет мерИлом крутизны нашей дороги. Очевидно, что – это вполне конкретное число, и, поскольку оба приращения положительны, то .

Внимание! Обозначение являются ЕДИНЫМ символом, то есть нельзя «отрывать» «дельту» от «икса» и рассматривать эти буквы отдельно. Разумеется, комментарий касается и символа приращения функции.

Исследуем природу полученной дроби содержательнее. Пусть изначально мы находимся на высоте 20 метров (в левой чёрной точке). Преодолев расстояние метров (левая красная линия), мы окажемся на высоте 60 метров. Тогда приращение функции составит метров (зелёная линия) и: . Таким образом, на каждом метре этого участка дороги высота увеличивается в среднем на 4 метра …не забыли альпинистское снаряжение? =) Иными словами, построенное отношение характеризует СРЕДНЮЮ СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ (в данном случае – роста) функции.

Примечание : числовые значения рассматриваемого примера соответствуют пропорциям чертежа лишь приблизительно.

2) Теперь пройдём то же самое расстояние от самой правой чёрной точки. Здесь подъём более пологий, поэтому приращение (малиновая линия) относительно невелико, и отношение по сравнению с предыдущим случаем будет весьма скромным. Условно говоря, метров и скорость роста функции составляет . То есть, здесь на каждый метр пути приходится в среднем пол метра подъёма.

3) Маленькое приключение на склоне горы. Посмотрим на верхнюю чёрную точку, расположенную на оси ординат. Предположим, что это отметка 50 метров. Снова преодолеваем расстояние , в результате чего оказываемся ниже – на уровне 30-ти метров. Поскольку осуществлено движение сверху вниз (в «противоход» направлению оси ), то итоговое приращение функции (высоты) будет отрицательным : метров (коричневый отрезок на чертеже). И в данном случае речь уже идёт о скорости убывания функции: , то есть за каждый метр пути этого участка высота убывает в среднем на 2 метра. Берегите одежду на пятой точке.

Теперь зададимся вопросом: какое значение «измерительного эталона» лучше всего использовать? Совершенно понятно, 10 метров – это весьма грубо. На них запросто уместится добрая дюжина кочек. Да что там кочки, внизу может быть глубокое ущелье, а через несколько метров – другая его сторона с дальнейшим отвесным подъёмом. Таким образом, при десятиметровом мы не получим вразумительной характеристики подобных участков пути посредством отношения .

Из проведённого рассуждения следует вывод – чем меньше значение , тем точнее мы опишем рельеф дороги. Более того, справедливы следующие факты:

Для любой точки подъемов можно подобрать значение (пусть и очень малое), которое умещается в границах того или иного подъёма. А это значит, что соответствующее приращение высоты будет гарантированно положительным, и неравенство корректно укажет рост функции в каждой точке этих интервалов.

– Аналогично, для любой точки склона существует значение , которое полностью уместится на этом склоне. Следовательно, соответствующее приращение высоты однозначно отрицательно, и неравенство корректно покажет убыль функции в каждой точке данного интервала.

– Особо интересен случай, когда скорость изменения функции равна нулю: . Во-первых, нулевое приращение высоты () – признак ровного пути. А во-вторых, есть другие любопытные ситуации, примеры которых вы видите на рисунке. Представьте, что судьба завела нас на самую вершину холма с парящими орлами или дно оврага с квакающими лягушками. Если сделать небольшой шажок в любую сторону, то изменение высоты будет ничтожно мало, и можно сказать, что скорость изменения функции фактически нулевая. В точках наблюдается именно такая картина.

Таким образом, мы подобрались к удивительной возможности идеально точно охарактеризовать скорость изменения функции. Ведь математический анализ позволяет устремить приращение аргумента к нулю: , то есть сделать его бесконечно малым .

По итогу возникает ещё один закономерный вопрос: можно ли для дороги и её графика найти другую функцию , которая сообщала бы нам обо всех ровных участках, подъёмах, спусках, вершинах, низинах, а также о скорости роста/убывания в каждой точке пути?

Что такое производная? Определение производной.
Геометрический смысл производной и дифференциала

Пожалуйста, прочитайте вдумчиво и не слишком быстро – материал прост и доступен каждому! Ничего страшного, если местами что-то покажется не очень понятным, к статье всегда можно вернуться позже. Скажу больше, теорию полезно проштудировать несколько раз, чтобы качественно уяснить все моменты (совет особенно актуален для студентов-«технарей», у которых высшая математика играет значительную роль в учебном процессе).

Естественно, и в самом определении производной в точке заменим на :

К чему мы пришли? А пришли мы к тому, что для функции по закону ставится в соответствие другая функция , которая называется производной функцией (или просто производной) .

Производная характеризует скорость изменения функции . Каким образом? Мысль идёт красной нитью с самого начала статьи. Рассмотрим некоторую точку области определения функции . Пусть функция дифференцируема в данной точке. Тогда:

1) Если , то функция возрастает в точке . И, очевидно, существует интервал (пусть даже очень малый), содержащий точку , на котором функция растёт, и её график идёт «снизу вверх».

2) Если , то функция убывает в точке . И существует интервал, содержащий точку , на котором функция убывает (график идёт «сверху вниз»).

3) Если , то бесконечно близко около точки функция сохраняет свою скорость постоянной. Так бывает, как отмечалось, у функции-константы и в критических точках функции , в частности в точках минимума и максимума .

Немного семантики. Что в широком смысле обозначает глагол «дифференцировать»? Дифференцировать – это значит выделить какой-либо признак. Дифференцируя функцию , мы «выделяем» скорость её изменения в виде производной функции . А что, кстати, понимается под словом «производная»? Функция произошла от функции .

Термины весьма удачно истолковывает механический смысл производной :
Рассмотрим закон изменения координаты тела , зависящий от времени , и функцию скорости движения данного тела . Функция характеризует скорость изменения координаты тела, поэтому является первой производной функции по времени: . Если бы в природе не существовало понятия «движение тела», то не существовало бы и производного понятия «скорость тела».

Ускорение тела – это скорость изменения скорости, поэтому: . Если бы в природе не существовало исходных понятий «движение тела» и «скорость движения тела», то не существовало бы и производного понятия «ускорение тела».

Определение. Пусть функция \(y = f(x) \) определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку \(x_0 \). Дадим аргументу приращение \(\Delta x \) такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции \(\Delta y \) (при переходе от точки \(x_0 \) к точке \(x_0 + \Delta x \)) и составим отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \). Если существует предел этого отношения при \(\Delta x \rightarrow 0 \), то указанный предел называют производной функции \(y=f(x) \) в точке \(x_0 \) и обозначают \(f”(x_0) \).

$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f”(x_0) $$

Для обозначения производной часто используют символ y”. Отметим, что y” = f(x) – это новая функция, но, естественно, связанная с функцией y = f(x), определенная во всех точках x, в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции у = f(x) .

Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х=a можно провести касательную, непараллельную оси y, то f(a) выражает угловой коэффициент касательной:
\(k = f”(a) \)

Поскольку \(k = tg(a) \), то верно равенство \(f”(a) = tg(a) \) .

А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция \(y = f(x) \) имеет производную в конкретной точке \(x \):
$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f”(x) $$
Это означает, что около точки х выполняется приближенное равенство \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \approx f”(x) \), т.е. \(\Delta y \approx f”(x) \cdot \Delta x \). Содержательный смысл полученного приближенного равенства заключается в следующем: приращение функции «почти пропорционально» приращению аргумента, причем коэффициентом пропорциональности является значение производной в заданной точке х.2 \) справедливо приближенное равенство \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Если внимательно проанализировать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм ее нахождения.

Сформулируем его.

Как найти производную функции у = f(x) ?

1. Зафиксировать значение \(x \), найти \(f(x) \)
2. Дать аргументу \(x \) приращение \(\Delta x \), перейти в новую точку \(x+ \Delta x \), найти \(f(x+ \Delta x) \)
3. Найти приращение функции: \(\Delta y = f(x + \Delta x) – f(x) \)
4. Составить отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \)
5. Вычислить $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} $$
Этот предел и есть производная функции в точке x.

Если функция у = f(x) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х. Процедуру нахождения производной функции у = f(x) называют дифференцированием функции у = f(x).

Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.

Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х. Тогда к графику функции в точке М(х; f(x)) можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен f”(x). Такой график не может «разрываться» в точке М, т. е. функция обязана быть непрерывной в точке х.

Это были рассуждения «на пальцах». Приведем более строгое рассуждение. Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х, то выполняется приближенное равенство \(\Delta y \approx f”(x) \cdot \Delta x \). Если в этом равенстве \(\Delta x \) устремить к нулю, то и \(\Delta y \) будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке.

Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке .

Обратное утверждение неверно. Например: функция у = |х| непрерывна везде, в частности в точке х = 0, но касательная к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.

Еще один пример. Функция \(y=\sqrt{x} \) непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке х = 0. И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке х = 0. Но в этой точке касательная совпадает с осью у, т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид х = 0. Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и \(f”(0) \)

Итак, мы познакомились с новым свойством функции – дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости?

Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема.

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием . При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями.2} $$

Рекомендуем также

Определение

Одним из наиболее важных приложений пределов является концепция производной функции . В исчислении производная функции используется в большом количестве задач, и понимание этого важно для ее применения к таким задачам.

Производная функции y = f ( x ) в точке ( x , f ( x )) определяется как

, если этот предел существует.Производная обозначается f ′ ( x ), читается как « f , простое число x » или « f , простое при x », а f считается дифференцируемым при x , если этот предел существует (см. Рисунок).

Рисунок 1 Производная функции как предел превышения пробега.

Если функция дифференцируема при x , то она должна быть непрерывной при x , но обратное не обязательно.То есть функция может быть непрерывной в точке, но производная в этой точке может не существовать. Например, функция f ( x ) = x 1/3 является непрерывной по всей своей области или действительным числам, но ее производная не существует при x = 0.

Другой пример – функция f ( x ) = | x + 2 |, который также является непрерывным во всей области действительных чисел, но не дифференцируется при x = −2.

Взаимосвязь между непрерывностью и дифференцируемостью можно резюмировать следующим образом: Дифференцируемость предполагает непрерывность, но непрерывность не подразумевает дифференцируемость , а не .

Пример 1: Найдите производную f ( x ) = x 2 -5 в точке (2, −1).

, следовательно, производная f ( x ) = x 2 -5 в точке (2, −1) равна 4.

Одна из интерпретаций производной функции в точке – это наклон касательной линии в этой точке. Производную можно рассматривать как предел наклона секущих линий, проходящих через фиксированную точку на кривой и другие точки на кривой, которые становятся все ближе и ближе к фиксированной точке. Если этот предел существует, он определяется как наклон касательной в фиксированной точке ( x , f ( x )) на графике y = f ( x ). ).

Другая интерпретация производной – это мгновенная скорость функции, представляющей положение частицы вдоль линии в момент времени t , где y = s ( t ). Производную можно рассматривать как предел средних скоростей между фиксированным временем и другими моментами времени, которые становятся все ближе и ближе к фиксированному времени. Если этот предел существует, он определяется как мгновенная скорость в момент времени t для функции, y = s ( t ).

Третья интерпретация производной – это мгновенная скорость изменения функции в точке. Производную можно рассматривать как предел средней скорости изменения между фиксированной точкой и другими точками на кривой, которые становятся все ближе и ближе к фиксированной точке. Если этот предел существует, он определяется как мгновенная скорость изменения в фиксированной точке ( x , f ( x )) на графике y = f ( x ).

Пример 2: Найдите мгновенную скорость в момент времени t = 3.

, следовательно, мгновенная скорость с ( t ) = 1 / ( t + 2) в момент времени t = 3 равна -1/25. Отрицательная скорость указывает на то, что частица движется в отрицательном направлении.

Для представления производной функции y = f ( x ) используется ряд различных обозначений, причем наиболее распространенным является f ′ ( x ).Некоторые другие: y ′, dy / dx , df / dx , df ( x ) / dx , D x f x f ( x ), и вы сможете использовать любой из них в выбранных задачах.


Определение: производная – ProofWiki

Определение

Неформально, производная – это скорость изменения одной переменной по отношению к другой.

Реальная функция

Пусть $ I $ – открытый действительный интервал.

Пусть $ f: I \ to \ R $ – вещественная функция, определенная на $ I $.

Пусть $ \ xi \ in I $ – точка в $ I $.

Пусть $ f $ дифференцируема в точке $ \ xi $.

Определение 1

То есть предположим, что предел $ \ ds \ lim_ {x \ mathop \ to \ xi} \ frac {\ map f x – \ map f \ xi} {x – \ xi} $ существует.


Тогда этот предел называется производной от $ f $ в точке $ \ xi $ .

Определение 2

То есть предположим, что существует предел $ \ ds \ lim_ {h \ mathop \ to 0} \ frac {\ map f {\ xi + h} – \ map f \ xi} h $.


Тогда этот предел называется производной от $ f $ в точке $ \ xi $ .

Сложная функция

Пусть $ D \ substeq \ C $ – открытое множество.

Пусть $ f: D \ to \ C $ – комплексная функция.

Пусть $ z_0 \ in D $ – точка в $ D $.

Пусть $ f $ комплексно-дифференцируемо в точке $ z_0 $.n \ map {\ dfrac {\ d f_k} {\ dx}} u \ mathbf e_k $

где $ \ map {\ dfrac {\ d f_k} {\ dx}} u $ – производная от $ f_k $ относительно $ x $ при $ u $.

Существуют различные обозначения производной функции $ f $ по независимой переменной $ x $:

$ \ dfrac {\ df} {\ dx} $
$ \ map {\ dfrac \ d {\ dx}} f $
$ \ dfrac {\ dy} {\ dx} $, когда $ y = \ map fx $
$ \ map {f ‘} x $
$ \ map {D f} x $
$ \ map {D_x f} x $


При вычислении в точке $ \ tuple {x_0, y_0} $ производная $ f $ в точке $ x_0 $ может быть обозначена по-разному:

$ \ map {f ‘} {x_0} $
$ \ map {D f} {x_0} $
$ \ map {D_x f} {x_0} $
$ \ map {\ dfrac {\ df} {\ dx}} {x_0} $
$ \ valueat {\ dfrac {\ df} {\ dx}} {x \ mathop = x_0} $

и так далее.

Обозначение Лейбница

Нотация Лейбница для производной функции $ y = \ map f x $ по независимой переменной $ x $:

$ \ dfrac {\ d y} {\ d x} $

Обозначение Ньютона

Ньютоновское обозначение производной функции $ y = \ map f t $ по независимой переменной $ t $:

$ \ map {\ dot f} t $

или:

$ \ dot y $

, которые многие считают менее удобными, чем нотация Лейбница.

Это обозначение обычно зарезервировано для случая, когда независимой переменной является время.

Вторая производная

Пусть $ f $ – вещественная функция, дифференцируемая на открытом интервале $ I $.

Следовательно, $ f ‘$ определяется на $ I $ как производная от $ f $.


Пусть $ \ xi \ in I $ – точка в $ I $.

Пусть $ f ‘$ дифференцируема в точке $ \ xi $.

Тогда вторая производная $ \ map {f ”} \ xi $ определяется как:

$ \ ds f ”: = \ lim_ {x \ mathop \ to \ xi} \ dfrac {\ map {f ‘} x – \ map {f’} \ xi} {x – \ xi} $

Третья производная

Пусть $ f $ – вещественная функция, дважды дифференцируемая на открытом интервале $ I $.{\ paren {n – 1}} $.

Первая производная

Если обсуждаются производные различных порядков, то то, что здесь описано как производная, часто называют первой производной :


Пусть $ I \ subset \ R $ будет открытым интервалом.

Пусть $ f: I \ to \ R $ – вещественная функция.

Пусть $ f $ дифференцируема на интервале $ I $.


Тогда производная от $ f $ является действительной функцией $ f ‘: I \ to \ R $, значение которой в каждой точке $ x \ in I $ является производной $ \ map {f’} x $:

$ \ ds \ forall x \ in I: \ map {f ‘} x: = \ lim_ {h \ mathop \ to 0} \ frac {\ map f {x + h} – \ map fx} h $

Порядок производной – это раз, когда она дифференцировалась .

Например:

первая производная – это первого порядка , или порядка $ 1 $
вторая производная имеет порядок или $ 2 $

и так далее.

Обыкновенная производная

Такая производная, которая была описана здесь, известна как обычная производная .

Этим он отличается от частной производной, которая применяется к функциям более чем одной независимой переменной.

Также известен как

Производная также является некоторыми источниками с учетом вариантного члена , дифференциальный коэффициент , но он не будет использоваться в $ \ mathsf {Pr} \ infty \ mathsf {fWiki} $.

См. Также

  • Результаты о производных и дифференциальном исчислении в целом можно найти здесь.

Строгий подход к производной был разработан Карлом Фридрихом Гауссом, Нильсом Хенриком Абелем и Огюстэном Луи Коши.

Источники

Определение и значение производной | Словарь английского языка Коллинза

Примеры “производного” в предложении

производная

Эти примеры были выбраны автоматически и могут содержать конфиденциальный контент. Подробнее… Брюссель на прошлой неделе начал тщательное расследование сделки, заявив, что она может снизить конкуренцию в торговле облигациями и деривативами.

Times, Sunday Times (2016)

Они также могут использовать деривативы, такие как фьючерсы и опционы, для хеджирования своих активов.

Times, Sunday Times (2006)

У нас есть некоторые деривативы как форма страхования для снижения потенциальной волатильности в случае падения.

Times, Sunday Times (2008)

Позиции создавались либо за счет сложных сделок с производными финансовыми инструментами, либо путем прямой покупки акций.

Times, Sunday Times (2015)

Расширен спектр клиринговых деривативов и других инструментов.

Times, Sunday Times (2009)

Большая часть дефицита была вызвана убытками по сделкам с иностранной валютой и производными финансовыми инструментами.

Times, Sunday Times (2012)

Клиринг берет на себя значительную часть затрат на операции с деривативами.

Times, Sunday Times (2015)

Это таинственные твари, которые используют деривативы и другие странные инструменты, чтобы сделать своих менеджеров миллионерами.

Times, Sunday Times (2007)

Все они называются производными инструментами, потому что их стоимость зависит от стоимости другого актива.

Чарльз А. Д’Амбросио и Стюарт Д. Ходжес, Ричард Брили и Стюарт Майерс Принципы корпоративных финансов (1991)

В то время в Shard не было торговцев деривативами.

Times, Sunday Times (2016)

Подробнее …

На наш взгляд, производные финансовые инструменты являются оружием массового поражения.

Times, Sunday Times (2008)

Как и другие взрывчатые вещества, производные имеют свое применение.

Times, Sunday Times (2006)

Но эксперты говорят, что истинная цифра будет намного выше, потому что банки вовлечены в сеть сложных сделок с производными финансовыми инструментами и кредитов.

The Sun (2011)

Желание избежать этих проблем привело к появлению двух других производных финансовых инструментов, широко используемых для управления рисками: опционов и свопов.

Мишкин, Фредерик С. Финансовые рынки, институты и деньги (1995)

И с учетом того, что цены на производные финансовые инструменты предполагают, что нижняя точка будет где-то в следующем году, худшее вполне может быть позади.

Times, Sunday Times (2009)

Они также не смогли отразить влияние хеджирования топлива, когда авиакомпании используют производные финансовые инструменты для защиты от будущего роста цен.

Times, Sunday Times (2006)

Клиринговая палата обрабатывает операции с облигациями, деривативами, иностранной валютой и товарами.

Times, Sunday Times (2012)

The Hole – бессмысленное упражнение в трехмерной форме над производным содержанием.

Times, Sunday Times (2010)

Как и все остальное – если вы торгуете деривативами или облигациями – это информация.

Times, Sunday Times (2016)

Трудно оценить вероятную доходность, поскольку она основана на сложных финансовых инструментах, называемых деривативами – по сути, финансовые ставки на то, как работает индекс.

Times, Sunday Times (2010)

Понятно, что они не включают ряд облигаций, деривативов и валютных продуктов. в котором компания уже предоставляет дилинговые возможности.

Times, Sunday Times (2007)

Он действует как посредник для банков, стремящихся к анонимности при торговле облигациями, деривативами или акциями.

Times, Sunday Times (2006)

Это потому, что многие другие производные финансовые инструменты будут вынуждены торговать через центральную биржи и клиринговые палаты, передавая кредитный риск в централизованно управляемую систему.

Times, Sunday Times (2014)

Британии действительно нужны рабочие места, обеспечиваемые производством – мы не можем все быть трейдерами деривативов или управляющими хедж-фондами.

Times, Sunday Times (2008)

1.4 Определение производного инструмента

В этом разделе мы встречаемся с производной. Производная – одна из фундаментальных идей исчисления. Мы видим связь между наклоном касательной и производной; и мгновенная скорость изменения и производная.

Секущая линия

Секущая линия «прорезает» график функции. Ниже я провел секущую линию, пересекающую график \ (f (x) \) в \ ((x, f (x)) \) и \ ((x + h, f (x + h)) \ ).

Рисунок 1

Секущая выше пересекает \ (y = f (x) \) в \ ((x, f (x)) \) и \ ((x + h, f (x + h)) \).

Существует связь между наклоном секущей линии и средней скоростью изменения. Находим

\ begin {align} \ stackrel {\ displaystyle {\ tt slope \; of}} {\ tt секанс \; линия} & = \ гидроразрыва {f (x + h) – f (x)} {(x + h) – x} \\ & = {\ tt разница \; частное} \\ & = {\ tt среднее \; темп \; из \; изменение} \ end {align}

Здесь мы использовали тот факт, что коэффициент разницы представляет собой среднюю скорость изменения.

Касательная линия

Касательная линия «касается» графика функции в одной точке. Ниже касательная линия касается графика \ (f (x) \) в точке \ (P \).

Рисунок 2

Касательная линия касается кривой в точке \ (P \).

Вопрос 1

Как вычислить наклон касательной?

—Приняв предел наклона секущих линий.

Рисунок 3

Предельное значение наклона секущих линий как \ (h \ to 0 \) обеспечивает наклон касательной.

Наклон касательной в точке \ (x \) задается как

\ begin {align} f ’(x) & = \ overset {\ tt slope \; из \; касательная \; линия} {\ bbox [.10em, граница: 2 пикселя, сплошной красный] { \ lim \ limits_ {h \ to 0} \ overset {\ tt slope \; из \; секущая \; линия } {\ bbox [.10em, граница: 2px сплошной зеленый] {\ frac {f (x + h) – f (x)} {h}}} } } \ end {align}

Определение: производная

Производная \ (f ’(x) \) функции \ (f (x) \) равна

\ begin {align} f ‘(x) & = \ lim \ limits_ {h \ to 0} \ frac {f (x + h) – f (x)} {h} \ end {align}

Если вы попросили вычислить производную от \ (f \) в точке \ (x = 1 \), используя определение производной, вы можете действовать одним из двух способов:

  1. Вычислить \ (f ’(x) \), как определено выше.Оцените \ (f ’(x) \) в \ (x = 1 \).
  2. Используйте определение с \ (x = 1 \):

\ begin {align} f ‘(1) & = \ lim \ limits_ {h \ to 0} \ frac {f (1 + h) – f (1)} {h} \ end {align}

Интерпретация производных финансовых инструментов

  1. Наклон касательной
  2. Мгновенная скорость изменения

Мы уже видели наклон интерпретации касательной.Скорость изменения становится мгновенной, когда мы берем предел:

\ begin {align} f ‘(x) & = \ overset {\ tt мгновенное \; темп \; из \; изменение} {\ bbox [.10em, граница: 2 пикселя, сплошной красный] { \ lim \ limits_ {h \ to 0} \ overset {\ tt average \; темп \; из \; изменение } {\ bbox [.10em, border: 2px сплошной зеленый] {\ frac {f (x + h) – f (x)} {h}}} } } \ end {align}

Примеры

Пример 1

Предположим

\ begin {align} f (x + h) – f (x) & = 8hx ^ 2 + 3hx + 8h ^ 2x + h ^ 2 – 8h ^ 3 \ end {align}

Найдите \ (f ’(x) \). 2 + 1 \).2 \) условия.

\ (\ enclose {circle} [color = red] {5} \): мы должны разделить на \ (h \), прежде чем переходить к пределу; в противном случае мы получили бы \ (0/0 \).

Пример 3

Пусть \ (f (x) = \ frac {1} {x-1} \). Найдите \ (f ’(x) \).

Начните с определения производной: \ begin {align} f ‘(x) & = \ lim \ limits_ {h \ to 0} \ frac {f (x + h) – f (x)} {h} \\ & \ overset {\ enclose {circle} [color = red] {1}} {=} \ lim \ limits_ {h \ to 0} \ frac {\ frac {1} {(x + h) – 1} – \ frac {1} {x-1}} {h} \\ & \ overset {\ enclose {circle} [цвет = красный] {2}} {=} \ lim \ limits_ {h \ to 0} \ frac {\ frac {1} {(x + h) – 1} \ cdot \ frac {x-1} {x-1} – \ frac {1} {x-1} \ cdot \ frac {(x + h) -1} {(x + h) -1}} {h} \\ знак равно \ lim \ limits_ {h \ to 0} \ frac {\ frac {x-1} {((x + h) – 1) (x-1)} – \ frac {(x + h) -1} {(x-1) ((x + h) -1)}} {h} \\ & \ overset {\ enclose {circle} [цвет = красный] {3}} {=} \ lim \ limits_ {h \ to 0} \ frac {\ frac {\ cancel {x} \ cancel {-1}} {((x + h) – 1) (x-1)} \ enclose {circle} [цвет = красный] {-} \ гидроразрыва {(\ cancel {x} + h) \ cancel {-1}} {(x-1) ((x + h) -1)}} {h} \\ [. 2} \ end {align}

\ (\ enclose {circle} [color = red] {1} \): будьте осторожны с композицией функций; если \ begin {align} f ({\ tt input}) & = \ frac {1} {{\ tt input} -1}, \ end {align} тогда \ begin {align} f (x + h) & = \ frac {1} {(x + h) – 1}.\ end {align}

\ (\ enclose {circle} [color = red] {2} \): в числителе наименьший общий знаменатель (LCD) равен \ (((x + h) -1) (x-1) \)

\ (\ enclose {circle} [color = red] {3} \): осторожно распространите и отмените условия.

\ (\ enclose {circle} [color = red] {4} \): мы хотим исключить дробь внутри дроби. Умножаем на 1 в специальной форме \ ((d / c) / (d / c) \)

\ begin {align} \ dfrac {\ dfrac {a} {b}} {\ dfrac {c} {d}} & = \ dfrac {\ dfrac {a} {b}} {\ dfrac {\ cancel {c}} {\ cancel {d}}} \ cdot \ dfrac {\ color {red} {\ dfrac {d} {c}}} {\ color {red} {\ dfrac {\ cancel {d}} {\ cancel {c}}}} = \ dfrac {\ dfrac {ad} {bc}} {1} = \ dfrac {ad} {bc} \ end {align}

\ (\ enclose {circle} [color = red] {5} \): мы упрощаем до одной дроби.

\ (\ enclose {circle} [color = red] {6} \): на этом шаге берется предел, поэтому \ (h \) отправляется на 0.

Пример 4

Пусть \ (f (x) = \ sqrt {x} \). Найдите \ (f ’(x) \).

Еще раз начнем с определения производной. \ begin {align} f ‘(x) & = \ lim \ limits_ {h \ to 0} \ frac {f (x + h) – f (x)} {h} \\ знак равно \ lim \ limits_ {h \ to 0} \ frac {\ sqrt {x + h} – \ sqrt {x}} {h} \\ & \ overset {\ enclose {circle} [color = red] {1}} {=} \ lim \ limits_ {h \ to 0} \ frac {\ sqrt {x + h} – \ sqrt {x}} {h} \ cdot \ frac {\ sqrt {x + h} + \ sqrt {x}} {\ sqrt {x + h} + \ sqrt {x}} \\ & \ overset {\ enclose {circle} [цвет = красный] {2}} {=} \ lim \ limits_ {h \ to 0} \ frac {(\ cancel {x} + h) – \ cancel {x}} {h (\ sqrt {x + h} + \ sqrt {x})} \\ & \ overset {\ enclose {circle} [цвет = красный] {3}} {=} \ lim \ limits_ {h \ to 0} \ frac {1} {\ sqrt {x + h} + \ sqrt {x}} \\ & \ overset {\ enclose {circle} [цвет = красный] {4}} {=} \ frac {1} {\ sqrt {x + 0} + \ sqrt {x}} \\ & = \ frac {1} {\ sqrt {x} + \ sqrt {x}} = \ frac {1} {2 \ sqrt {x}} \ end {align}

\ (\ enclose {circle} [color = red] {1} \): умножаем на 1, используя сопряжение.2 \\ & = а – б \ end {align} \ (\ enclose {circle} [color = red] {2} \): используйте правильный набор скобок вокруг суммы корней.

\ (\ enclose {circle} [color = red] {3} \): \ (h \) в числителе заменяется \ (h \) в знаменателе.

\ (\ enclose {circle} [color = red] {4} \): на этом шаге берется ограничение. Символы \ (h \) не должны отображаться после того, как лимит исчерпан.

Упражнения

В Экзамене 1 будет одно определение производной задачи.2 + 5х, \ end {align}

, где \ (x \) – время в секундах, а \ (y \) – расстояние в метрах.

\ ((a) \) Найдите среднюю скорость при изменении \ (x \) от 3 до 9.

Совет 1 – введите обозначения: \ (x_1 = 3 \) и \ (x_2 = 9 \) и используйте формулу средней скорости изменения

\ begin {align} \ frac {f (x_2) – f (x_1)} {x_2 – x_1} \ end {align} Подсказка 2 – запомните единицы : если числовой ответ 7, вы должны ввести 7 м / с

\ ((b) \) Найдите среднюю скорость для \ (x \), меняющуюся с \ (4 \) на \ (4 + h \).

Подсказка – ваш ответ будет содержать \ (h \) ‘s.

\ ((c) \) Найдите мгновенную скорость в \ (x = 4 \) секундах.

Подсказка – возьмите предел выражения, найденного в части (b).

Совет 2 – запомните единицы измерения.

HW3 № 4,5,6

Эти три проблемы похожи. Например, пусть \ (f (x) = \ sqrt {x + 3} \).

Начнем с построения указанной таблицы:
\ (h \) \ (\ frac {f (46 + h) – f (46)} {h} \)
.1 .07139 \ (\ вниз \)
0,01 .07142 \ (\ вниз \)
—- —-
-.01 .07143 \ (\ uparrow \)
-.1 .07147 \ (\ uparrow \)

Теперь мы стремимся найти значение производной, то есть значение коэффициента разности как \ (h \ to 0 \). При осмотре таблицы значение коэффициента разности как \ (h \ to 0 \) зажато между \ (.07142 \) и \ (.07143 \). Мы можем усреднить эти значения, чтобы получить оценку:

\ begin {align} f ‘(46) & \ приблизительно \ frac {.07142 + .07143} {2} = .071425 \ end {align}

Теперь, если кто-то сказал вам, что производная была в форме \ (1 / n \) для целого числа \ (n \), что такое \ (n \)?

Решить относительно \ (n \):

\ begin {align} \ frac {1} {n} & = f ‘(46) \ приблизительно .071425 \\ \ frac {1} {. 071425} & \ приблизительно n \\ n & \ приблизительно \ frac {1} {. 071425} = 14,0007 \ end {align}

Поскольку \ (n \) является целым числом, мы вводим \ (n = 14 \).4–16} {h} \ end {align}

Сопоставьте данный предел с определением производной. 2} – 1 $$ w.r.t $$ x $$.

Пример:

Найдите по определению производную функции $$ \ frac {1} {{x + a}} $$ по $$ x $$.

Решение :
Пусть \ [y = \ frac {1} {{x + a}} \]

I. Измените $$ x $$ на $$ x + \ Delta x $$ и $$ y $$ на $$ y + \ Delta y $$
\ [y + \ Delta y = \ frac {1 } {{x + \ Delta x + a}} \]

II. Найдите $$ \ Delta y $$ вычитанием
\ [\ begin {gather} \ Delta y = \ frac {1} {{x + \ Delta x + a}} – y \\ \ Delta y = \ frac { 1} {{x + \ Delta x + a}} – \ frac {1} {{x + a}} \\ \ Delta y = \ frac {{x + a – (x + \ Delta x + a)} } {{(x + \ Delta x + a) (x + a)}} \\ \ Delta y = \ frac {{x + a – x – \ Delta x – a}} {(x + \ Delta x + a) (x + a)}} \\ \ Delta y = \ frac {{- \ Delta x}} {{(x + \ Delta x + a) (x + a)}} \\ \ end {собрано } \]

III. Разделите обе стороны на $$ \ Delta x $$
\ [\ begin {gather} \ frac {{\ Delta y}} {{\ Delta x}} = \ frac {{- \ Delta x}} {{\ Дельта x (x + \ Delta x + a) (x + a)}} \\ \ frac {{\ Delta y}} {{\ Delta x}} = \ frac {{- 1}} {{(x + \ Delta x + a) (x + a)}} \\ \ end {gather} \]

IV.

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *