Примеры решения определённых интегралов с ответами
Алгоритм решения определенных интеграловТеорема
Определённым интегралом функции на отрезке называется разность первообразных функции, вычисленных на концах этого отрезка.
Алгоритм
Определённый интеграл вычисляется при помощи формулы Ньютона-Лейбница:
Для нахождения определённых интегралов, используются свойства неопределённых интегралов, правила вычисления определённых интегралов, а также таблица основных неопределённых интегралов.
– постоянная величина
Примеры решений
определенных интеграловПример 1
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
По таблице интегралов находим:
Ответ
Пример 2
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
По таблице интегралов находим:
Ответ
Пример 3
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
По таблице интегралов находим:
=
Ответ
Пример 4
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Ответ
Пример 5
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Ответ
Пример 6
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Вычислим по частям неопределённый интеграл
Обозначим:
Ответ
Пример 7
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Т.
к. и , то:
Ответ
Пример 8
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Ответ
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Ответ
Пример 10
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Ответ
Средняя оценка 2.7 / 5. Количество оценок: 23
Поставьте вашу оценку
Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!
Позвольте нам стать лучше!
Расскажите, как нам стать лучше?
21564
Закажите помощь с работой
Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке
Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке
Несобственный интеграл 1-го и 2-го рода.
Сходимость несобственного интеграла. Решение задач и контрольных работ по высшей математике онлайн
Понятие несобственного интеграла является обобщением понятия определенного интеграла на случай, когда либо промежуток интегрирования бесконечен (интеграл имеет бесконечные пределы интегрирования), либо подынтегральная функция в некоторых точках обращается в бесконечность.
Несобственные интегралы 1-го рода
Рассмотрим несобственные интегралы первого рода.
Если функция определена на промежутке и при любом существует определенный интеграл
то можно рассматривать
этот предел и называют несобственным интегралом от функции на промежутке . Его обозначают
примем, если предел
конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится, а функция
интегрируема
на промежутке
; если же предел бесконечен или вовсе не
существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится, а функция
не интегрируема
на
.
Таким образом, по определению, если существует
то
Подобным образом определяются несобственные интегралы и для других бесконечных промежутков:
Так как несобственные интегралы с бесконечными пределами получаются предельным переходом из соответствующих определенных (собственных) интегралов, то на первые переносятся все те свойства последних, которые сохраняются при этом предельном переходе.
Несобственные интегралы 2-го рода
Перейдем теперь к рассмотрению несобственного интеграла от неограниченной функции (несобственного интеграла второго рода). Пусть функция определена на отрезке , за исключением точки , в окрестности которой она не ограничена. Если существует определенный интеграл
при любом , то можно рассматривать
Этот предел называется несобственным интегралом второго рода на от неограниченной на нем функции и обозначается
При этом, если
предел
существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, а
неограниченная функция
– интегрируемой
на
.
Если же
предел
бесконечен или вовсе не
существует, то несобственный интеграл называется расходящимся, а функция
– не
интегрируемой на
.
Аналогично определяется несобственный интеграл для случая, когда функция определена на отрезке , за исключением точки , в окрестности которой она не ограничена.
В случае, если точка разрыва функции – точка – лежит между точками и и несобственные интегралы на отрезках и существуют, то считают, то
Примеры решения задач
Задача 1
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Решение
В этом примере для вычисления неопределенного интеграла используется
интегрирование путем подведения под знак дифференциала.
Несобственный интеграл сходится.
Ответ:
Задача 2
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Решение
Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь – свяжитесь со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.
В этом примере для вычисления неопределенного интеграла применяется метод интегрирования по частям.
Несобственный интеграл сходится.
Ответ:
Задача 3
Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость.
Решение
В этом примере для вычисления неопределенного интеграла используется интегрирование путем подведения под знак дифференциала.
Несобственный интеграл
сходится.
{-at}$.. .” 9{as} g(s)\,ds+c.
$$
$\endgroup$
2
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.
Свойства определенного интеграла
Результаты обучения
- Использование геометрии и свойств определенных интегралов для их оценки
Свойства неопределенных интегралов применимы и к определенным интегралам. Определенные интегралы также обладают свойствами, относящимися к пределам интегрирования. Эти свойства вместе с правилами интегрирования, которые мы рассмотрим позже в этой главе, помогают нам манипулировать выражениями для вычисления определенных интегралов.
Показать решение
Изображение иногда может рассказать о функции больше, чем результаты вычислений. Сравнение функций по их графикам, а также по их алгебраическим выражениям часто может дать новое представление о процессе интегрирования. Интуитивно можно сказать, что если функция [latex]f(x)[/latex] находится выше другой функции [latex]g(x)[/latex], то площадь между [latex]f(x)[/latex] ] и ось [latex]x[/latex] больше площади между [latex]g(x)[/latex] и осью [latex]x[/latex].