Определенные интегралы примеры с решением: Как вычислить определенный интеграл, примеры решений

Задания для самостоятельной работы

1.5. Найти интегралы от тригонометрических функций:

1) ; 2); 3);

4) ; 5); 6);

7) ; 8); 9);

10) ; 11); 12);

13) .

0. 1.4. Интегрирование иррациональных функций Примеры решения задач

1. Вычислить интегралы от иррациональных функций:

а) ; б);

в); г).

►а) Подстановкой приведем интеграл к рациональному виду. Тогда

.

б) Заметим, что

.

Применим подстановку , откуда

;

.

Итак,

=

.

в) Выделяя полный квадрат в квадратном трехчлене под знаком корня, получаем:

.

Тогда, используя табличный интеграл 14, находим

.

г) Разобьем данный интеграл на сумму двух интегралов (в первом в числителе образуем производную от подкоренного выражения, а во втором выделим полный квадрат в подкоренном выражении):

.◄

Задания для самостоятельной работы

1.6. Найти интегралы от иррациональных функций:

1) ; 2);

3) ; 4);

5) ; 6);

7) ; 8);

9) ; 10);

11) ; 12).

Тема 2. Определенный интеграл.

2.1. Формула Ньютона-Лейбница.

Вычисление определенных интегралов

Примеры решения задач

.

1. Вычислить определенные интегралы, используя их свойства и формулу Ньютона-Лейбница:

а) ; б); в).

►Так как все подынтегральные функции непрерывны на соответствующих отрезках, то получаем:

а) ;

б) Под знаком интеграла неправильная дробь. Выделим целую часть, используя разложение

.

Имеем:

,

и данный интеграл

;

в) .◄

2. Методом замены переменной вычислить определенные интегралы:

а) ; б); в).

а) Введем новую переменную . Тогдаи новые пределы интегрированияприипри.

;

б) ;

в)

.◄

3. Используя формулу интегрирования по частям (1.4), вычислить следующие интегралы:

а) ; б).

►а)

.

б)

=.

◄

4. Вычислить интеграл .

►Используем подстановку . Тогдапри,прии.

К последнему интегралу применим интегрирование по частям:

◄

Задания для самостоятельной работы

2.1. Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-Лейбница:

1) ; 2); 3);

4) ; 5); 6).

2.2. Используя формулу замены переменной, вычислить интегралы:

1) ; 2); 3);

4) ; 5); 6);

7) ; 8).

2.3. Вычислить интегрированием по частям следующие интегралы:

1) ; 2); 3);

4) ; 5); 6);

7) ; 8).

2. Приложения определенного интеграла

Примеры решения задач

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой и кривой.

►Найдем абсциссы точек пересечения данных кривых:

Получим . Это и есть пределы интегрирования. Тогда, по формуле

. (2.1)

находим площадь:

.◄

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной лемнискатой.

►Кривая задана в полярной системе координат.

Имеет место формула:

. (2.2)

Рис. 2

Так как фигура симметрична относительно обеих осей, то каждая площадь равна четырем площадям фигуры, находящейся вI четверти.

При , при, т.е..

Имеем .◄

3. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оx криволинейной трапеции, ограниченной линиями и осиОx.

►Для нахождения объема будем использовать формулу

.

В пределах данной трапеции х меняется от 0 до 2, значит, . Тогда

.◄

4. Найти длину дуги кривой , заключенной между точками с абсциссамии.

►Для вычисления длины дуги применим формулу:

.

В данном случае ,. Тогда

◄

5. Найти работу, затраченную на выкачивание жидкости из конического резервуара, обращенного вершиной вниз, если высота резервуара равна Н

, радиус основания R.

►Вычислим вес элементарного слоя жидкости, находящейся на глубине х.

Высоту этого слоя выберем таким образом, чтобы сделать этот слой цилиндром радиуса. Тогда весэтого слоя равен:

,

где − плотность жидкости,− ускорение свободного падения,− объем цилиндра.

Из подобия треугольников АОD и СВD находим у:

.

Рис. 3

Итак,.

Элементарная работа, затраченная на поднятие этого слоя жидкости на высоту

х, равна

,

поэтому

.◄

6. Найти силу давления воды на вертикальную стенку в форме полукруга, радиус которого R=3м.

►По закону Паскаля сила давления жидкости на площади вычисляется по формуле:

,

где − плотность жидкости,− ускорение силы тяжести,− глубина погружения,− площадь площадки.

Обозначим глубину погружения черезх. Элементарную площадку будем считать цилиндром радиуса и высоты. Из треугольникаимеем:

.

Рис. 4

Тогда площадь площадки равна:

.

Найдем дифференциал давления на элементарную площадку:

.

Итак,

. ◄

Как правильно решить интегралы

Практическое применение интегралов в жизни

Реальный мир не идеален и не прямолинеен. В нем нет геометрических форм без изъяна, нет движения без ускорения. И зависимости между величинами редко представлены прямой линией. Поэтому вычисления не обходятся без интегралов.

Определение

Интеграл — важнейшее понятие математики. Связано с необходимостью отыскивать функции по их производным и измерять объемы и площади, работу сил за какой-либо промежуток времени.

Множество частных случаев из жизни делают интегрирование не просто полезным, а необходимым действием. Интеграл поможет:

• рассчитать стоимость, изучив зависимость потребности от предложений;
• вычислить время выполнения работы, с учетом усталости людей;
• узнать, как изменяется долг по кредиту в течение времени;
• определить прирост жителей города

Место интегралам нашлось не только в физико-математических науках, но и в астрономии, экономике, медицине, биологии и архитектуре.

Понимая практическую значимость интегралов, легче усвоить базовые понятия и применять их в решении задач.

Из истории интегрирования

Интегрирование рассматривается, как сложение бесконечно малых частей бесконечное количество раз.

Интегральный расчет получен при определении площадей и объемов. Правила измерения квадратуры были известны древним ученым. В Египте и Вавилоне вычисляли площади круга и объем усеченной пирамиды.

Значительный вклад внесли древнегреческие ученые. Первый метод интегрирования назвали «исчерпание» по аналогии с водой, которую черпают кружкой из ведра. В Древней Греции Архимед объяснил задачу вычисления площади круга без знаний о числе «Пи».

Описание метода

Для нахождения площади круга в него вписываются геометрические фигуры. Высчитывается предел последовательности площадей этих фигур, который и принимается за площадь круга.

Данный способ вычисления площади рассматривает идею интегрирования. То есть нахождения предела безграничной суммы. Метод нашел применение в решении прикладных задач в разных научных областях.

Ньютон и Лейбниц сформулировали теорию интегрирования опираясь на законы дифференциального исчисления. Чтобы разобраться в классической теории нужно получить базовые знания.

Смысл интегрирования заключается в двух видах задач: геометрических и аналитико-алгебраических. В первом случае находят площади фигур, во втором подсчитывают суммарное значение переменной величины, принимающей различные значение единиц времени, длины и других измерений.

Понятие «Интеграл» в простом изложении

Термин «интеграл» произошел от латинского integer, то есть «целостный». Данный термин предложил математик Лейбниц еще в 17 веке.

Определение

Интеграл – это сложение маленьких частей и даже обозначение ∫ представляет собой вытянутую s, что означает сумму.

Интеграл – первообразная функции. Интегрирование – определение первообразной.

В математике интеграл вычисляет площадь, ограниченную кривой линией. Неопределенный интеграл – это вся фигура. Определенный интеграл – площадь некоторой части.

Запись интеграла функции:

х – аргумент, его можно заменить любой другой переменной, в отношении которой будет осуществляться интегрирование. d – бесконечно малое число. Сочетание «dx» называют приращением и рассматривают, как бесконечно малый «икс».

На рисунке криволинейная трапеция разбита на столбцы шириной х, число столбцов – d.

Неопределённый интеграл

Определение

Неопределенный интеграл – это сумма всех первообразных данной функции, которая не имеет границ интегрирования.

Сумма F(x)+C всех первоначальных функций f(x) на интервале а< x<b  является неопределенным интегралом от функции  f(x) на этом интервале и обозначается ∫f(x)dx .

Если функция F(x) является первообразной для f(x) , то по определению

∫ f(x)dx = F(x)+C 

∫ — знак интеграла, f(x)dx — подынтегральное выражение, f(x) — подынтегральная функция, х — переменная интегрирования, С — произвольная постоянная. {b} f(x) d x \]

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Примеры вычисления интегралов

Найти неопределенный интеграл.

Часто при решении используют тригонометрические формулы.

Решение определенного интеграла.

Давайте рассмотрим несколько примеров вычисления интегралов:

Пример 1.

Пример 2.

Словарь базовых понятий.

Для понимания сути интеграла необходимо разбираться в базовых понятиях: функция, производная, приращение, предел.

Функция – отношение между элементами, где изменение одного элемента, повлечёт изменение другого.

Производная – функция, которая описывает скорость трансформации второй функции в каждой данной точке. Вторая функция называется первообразной. По сути — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента.   Высчитывание проводят, используя таблицу производных со стандартными функциями.

Приращение – количественная степень изменения функции при вероятном изменении аргумента.

Предел – величина, к которой стремится значение функции, при стремлении аргумента к определённому значению.

Решение задач с интегралами могут показаться сложными. Выполнение практических заданий поможет преодолеть трудности.

Решение интегралов сводится к простым видоизменениям подынтегральной функции и поиску её в таблице интегралов.

Мы также можем отметить, что интегралы играют не последнюю роль в нашей жизни. В Биологических науках, к примеру, при их помощи узнают прирост популяции видов, в медицине используют в различных исследованиях, например, в томографии, в астрономии рассчитывают передвижение космических объектов и многое другое. Да и вообще трудно найти область, в которой не применяются данные методы вычисления.

Определенный интеграл: Определение, Пример – Статистика Как

Что такое определенный интеграл?

Посмотрите видео или прочитайте ниже:

Определенный интеграл

Посмотрите это видео на YouTube.

Видео не видно? Кликните сюда.

Определенные интегралы дают результат (число, представляющее площадь), в отличие от неопределенных интегралов, которые представлены формулами.

В то время как суммы Римана могут дать вам точную площадь, если вы используете достаточное количество интервалов, определенные интегралы дают вам точный ответ — и вам потребуется меньше времени, чтобы вычислить площадь, используя суммы Римана (вы можете думать об определенном интеграле как о бесконечном количестве интервалов в сумме Римана). Определенный интеграл также известен как интеграл Римана (поскольку вы получите тот же результат, используя суммы Римана).

Формальное определение определенного интеграла:

Пусть f — функция, непрерывная на отрезке [a,b]. Определенный интеграл от f от a до b предел:

Где:

сумма Римана f на [a,b].

Формальное определение определенного интеграла выглядит довольно пугающе, но все, что вам нужно сделать, это вычислить площадь между функцией и осью x. Вам нужно будет понять, как применять правила для неопределенных интегралов, чтобы вычислить определенный интеграл.

Как найти определенный интеграл

Особый случай: Если уравнение, с которым вы имеете дело, содержит как функцию, так и производную этой функции, то вам, вероятно, следует использовать u-подстановку вместо выполнения описанных ниже шагов. Например:

Пример задачи:

Пример задачи №1: Вычислить площадь между x = 0 и x = 1 для f(x) = x ² .

Шаг 1: Настройте запись интеграла , поместив меньшее число внизу, а большее вверху:

Шаг 2: Найдите интеграл , используя обычные правила интегрирования. Здесь вы примените правило степени для интегралов:

∫ xndx = x ^{n + 1} ⁄(n + 1) + c , где n ≠ 0

Однако обратите внимание, что, поскольку вы находите определенный интеграл (в отличие от неопределенного), вам не понадобится этот «+ c» в конце. Применение этого правила дает:
∫ xndx = x ^{2 + 1} ⁄(2 + 1)
= x ³ / 3

Напишите это чуть более аккуратно, с учетом пределов интегрирования (0, 1):

Шаг 3: Подставьте верхнее число вместо x и затем решите:

Шаг 4: Добавьте знак вычитания , а затем подставьте вместо x нижнее число , решив интеграл:

Вот и все!

Совет: Существует еще один вид определенного интеграла, называемый контурным интегралом. Контурные интегралы включают те определенные интегралы, которые берутся на комплексной плоскости (в отличие от реальной линии). Однако вы вряд ли столкнетесь с контурными интегралами на уроках элементарного исчисления.

НАЗВАТЬ ЭТО КАК:
Стефани Глен . «Определенный интеграл: определение, пример» из StatisticsHowTo.com : Элементарная статистика для всех нас! https://www. statisticshowto.com/integrals/definite-integral/

————————————————– ————————-

Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на свои вопросы от эксперта в данной области. Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!

Комментарии? Нужно опубликовать исправление? Пожалуйста, Свяжитесь с нами .

Определенный интеграл по частям, Правило LIATE, Решенные примеры, Свойства

0

 Сохранить

Скачать публикацию в формате PDF

Определенный интеграл по частям является частным случаем определенного интеграла. Правило LIATE играет важную роль при решении интегрирования по частям в определенном интегрировании. В этой статье мы узнаем об определенном интеграле по частям, о том, как решать с помощью правила LIATE, решенных примерах, свойствах и приложениях определенных интегралов по частям.

Интеграция — это метод объединения частей в единое целое. Находим функцию, дифференциал которой известен, и переходим к нахождению ее интегралов.

Определенное интегрирование по частям

Метод определения интегралов называется интегрированием. По частям применяются определенные интегралы, где определены пределы, и неопределенные интегралы, когда границы подынтегральной функции не определены. Определенное интегрирование по частям аналогично интегрированию по частям неопределенных интегралов. Определенное интегрирование по частям используется, когда функция является произведением двух членов независимой переменной. Один термин называется u, а другой термин называется v. Термины u и v определяются правилом LIATE.

Функция, которую мы должны интегрировать, должна быть непрерывной между диапазонами, то есть не должно быть пропусков, провалов или вертикальных асимптот, где функция стремится вверх/вниз к бесконечности.

Обозначение интеграла, как показано ниже:

Как решить определенное интегрирование по частям

Следующие шаги используются в определенном интегрировании по частям

1. Выберите u и v по правилу LIATE, описанному ниже Дифференциал u: u’
2. Найдите интеграл от v: ∫v dx.
3. Поместите u, u’ и ∫v dx в: u∫v dx −∫u’ (∫v dx) dx.
4. Упрости и реши.

Правило LIATE

Правило LIATE выглядит следующим образом

Было предложено эмпирическое правило, состоящее в выборе в качестве u функции, которая идет первой в следующем списке:

• L – логарифмические функции: \({ln (x),log _{b}(x) }\) и т. д.
• I – обратные тригонометрические функции (включая гиперболические аналоги): arctg(x), arcsec(x), arsinh(x) и т. д. 9{b}u’vdx\)

  Все, что нам нужно сделать, это оценить член uv для предела b (верхний предел) и вычесть оценку для предела a (нижний предел).

  Аналогично выполните оставшуюся половину и завершите процесс заменой пределов и получением разницы значений верхнего и нижнего пределов.

  Свойства определенного интеграла по частям

  Все свойства определенного интеграла применимы к определенному интегралу по частям.

  • Значение определенного интеграла не меняется при изменении переменной интегрирования, когда пределы интегрирования остаются теми же. bf\left (т\право)дт\) 9af\left(x\right)dx=0,\ if\ f\ is\ an\ нечетная\ функция\ i.e\ f\left(-x\right)=-f\left(x\right)\end{matrix }\)

  Применение определенных интегралов по частям

  Применение определенных интегралов по частям следующее

  • Интегрирование по частям часто используется в гармоническом анализе, особенно в анализе Фурье. Он используется для представления тех быстро осциллирующих интегралов с достаточно гладкими подынтегральными выражениями, которые быстро затухают. Наиболее распространенным примером этого является его использование для демонстрации того, что затухание преобразования Фурье функции зависит от гладкости этой функции.
  • Одно из применений интегрирования по частям в теории операторов состоит в том, что оно показывает, что −∆ (где ∆ — оператор Лапласа) является положительным оператором в L. Если функция f гладкая и имеет компактный носитель, мы используем интегрирование по частям.
  •  Определенные интегралы по частям используется для вывода уравнения Эйлера–Лагранжа в вариационном исчислении.

  Решенные примеры определенного интеграла по частям

  Теперь давайте посмотрим на некоторые решенные примеры определенного интегрирования по частям.

  92+1}{4}=2.097\end{matrix}\)

  Надеюсь, что эта статья об определенном интеграле по частям была информативной. Попрактикуйтесь в том же в нашем бесплатном приложении Testbook. Скачать сейчас!

  Часто задаваемые вопросы об определенном интеграле по частям

  В.1 Как найти определенный интеграл по частям?

  Ответ 1 Следующие шаги используются в Определенном интегрировании по частям
  Выберите u и v по правилу LIATE, описанному ниже
  Найдите дифференциал u: u’ \)v дх.
  Поместите u, u’ и ∫v dx в: u\(\int\)v dx −\(\int\)u’ (\(\int\)v dx) dx.
  Упрости и реши.

  Q.2 Является ли интегрирование по частям таким же, как замена U?

  Ответ 2 Нет, интегрирование по частям и подстановка u – это два разных способа решения интегралов без необходимости. Замена U ограничена функциями под знаком интеграла при умножении на их производные.

  В.3 Как получить V от DV?

  Ответ 3 Интегрируя dv, мы получаем V.

  В.4 Почему мы используем интегрирование по частям?

  Ответ 4 Определенное интегрирование по частям используется, когда функция является произведением двух членов независимой переменной. Один термин называется u, а другой термин называется v. Термины u и v определяются правилом LIATE.

  В.5 Что такое интеграция Sinx?

  Ответ 5 Интеграл от sin x равен -cos x + C. Математически он записывается как \(\int\)sin x dx = -cos x + C.

  Скачать публикацию в формате PDF

  Подробнее на testbook.com

  Аморфные твердые тела: определение, классификация, структура и свойства
  Кристаллические твердые тела: определение, классификация, структура и свойства Химические свойства
  Пересечение наборов, объясненное формулой и примерами решения. Оставить комментарий Отменить ответ Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться. Меню Поиск: