Определенный интеграл для чайников: как решать, правила вычисления, объяснение Свойства интегралов неопределенных умножение

Содержание

интегралы для чайников – video klip mp4 mp3

Video Axtar Ara Yukle Indir

Video


интегралы для чайников – video klip mp4 mp3 yukle
Определенные и неопределенные интегралы для чайников. Свойства интегралов.

8:33

Математика без ху%!ни. Интегралы, часть 1. Первообразная. Дифференцирование и интегрирование.

6:53

Интеграл: Азы интегрирования.
Высшая математика

35:27

ИНТЕГРАЛ С НУЛЯ определенный интеграл ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ

7:34

Видеоурок по математике “Вычисление интегралов – 1”

7:28

Определенный интеграл. 11 класс.

8:58

Интегралы с нуля. Первый урок. Знакомство с интегралами.

3:43

Pro Интеграл. Зачем нужен интеграл?

2:52

Смысл интеграла и производной. В помощь студенту

15:55

11 класс, 20 урок, Первообразная и неопределённый интеграл

14:44

Неопределенный интеграл – 5

13:23

ЧТО ТАКОЕ ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ. Артур Шарифов

7:28

Video Axtar Yüklə
Anarim.Az

Sayt Rehberliyi ile Elaqe

Saytdan Istifade Qaydalari

Anarim.Az 2004-2021

Вычисление двойных интегралов.

Литература: Б.П. Демидович Сборник задач и упражнений по математическому анализу 624 стр. М.: “ЧеРо”, 1997

 

Определение: Двойным интегралом от непрерывной функции $f(x, y)$ распространенным на ограниченную замкнутую квадрируемую область $\Omega$, называется число $$\iint\limits_{\Omega}f(x,y)dxdy=\lim\limits_{max|\Delta x_i|\rightarrow 0\quad max|\Delta y_i|\rightarrow 0}\sum\limits_i\sum\limits_j f(x_i, y_j)\Delta x_i\Delta y_j ,$$ где $\Delta x_i=x_{i+i}-x_i,$ $\Delta y_j=y_{j+1}-y_j$ и сумма распространяется на те значения $i$ и $j$ для которых $(x_i, y_j)\in\Omega.$

Непосредственное вычисление двойного интеграла.

Если область $\Omega$ задана неравенствами $$a\leq x\leq b,\qquad y_1(x)\leq y\leq y_2 (x),$$  где $y_1(x)$ и $y_2(x) -$ непрерывные функции на сегменте $[a, b],$ то соответствующий двойной интеграл может быть вычислен по формуле $$\iint\limits_{\Omega}f(x, y)dxdy=\int\limits_a^bdx\int\limits_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x, y)dy. {2-x}f(x, y)dy,$ если $u=x+y,\,\, v=x-y.$

3964. Произведя соответствующие замены переменных, свести двойные интегралы к однократным: $\iint\limits_{\Omega}f(xy)dxdy,$ где область $\Omega$ ограничена кривыми $xy=1,\,\, xy=2,\,\, y=x,\,\, y=4x\,\, (x>0, y>0).$ 

 

 

Как находить определенный интеграл для чайников. Решение определенного интеграла онлайн

Примеры вычисления неопределённых интегралов

Вычисление интеграла по таблице

Интегрирование подстановкой:

Примеры вычисления интегралов

Основная формула Ньютона – Лейбница

Вычисления подстановкой

Глава 4 Дифференциальные уравнения.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х , искомую функции у и ее производные или дифференциалы.

Символически дифференцированное уравнение записывается так:

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным , если искомая функция зависит от одного независимого переменного.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (или дифференциала), входящей в данное уравнение.

Решением (или интегралом ) дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Общим решением (или общим интегралом ) дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения. Так, общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну произвольную постоянную.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента и функции.

График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Общему решению дифференциального уравнения соответствует совокупность (семейство) всех интегральных кривых.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое входят производные (или дифференциалы) не выше первого порядка.

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

Для решения этого уравнения нужно сначала разделить переменные:

а затем проинтегрировать обе части полученного равенства:

1. Найти общее решение уравнения

o Разделив переменные имеем

Интегрируя обе части полученного уравнения:

Так как произвольная постоянная С может принимать любые числовые значения, то для удобства дальнейших преобразований вместо C мы написали (1/2) lnC. Потенцируя последнее равенство получим

Это и есть общее решение данного уравнения.

Литература

В. Г. Болтянский, Что такое дифференцирование, «Популярные лекции по математике»,

Выпуск 17, Гостехиздат 1955 г., 64 стр.

В. А. Гусев, А. Г. Мордкович «Математика»

Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 1

В. М. Бородихин, Высшая математика, учеб. пособие, ISBN 5-7782-0422-1.

Никольский С. М. Глава 9. Определенный интеграл Римана // Курс математического анализа. – 1990. – Т. 1.

Ильин В. А., Позняк, Э. Г. Глава 6. Неопределенный интеграл // Основы математического анализа. – 1998. – Т. 1. – (Курс высшей математики и математической физики).

Демидович Б.П. Отдел 3. Неопределенный интеграл // Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – 1990. – (Курс высшей математики и математической физики).

Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб.пособие-2-е изд.перераб. и доп. М.6Наука. 1989

Колягин Ю.М. Яковлев Г. Н. математика для техникумов. Алгебра и начала анализа 1 и 2 часть. Издательство «Наукка» М., 1981г.

Щипачев В.С. Задачи по высшей математике: Учеб. Пособие для вузов. Высш. Шк. 1997г.

Богомолов Н.В практические занятия по математике: учеб. Пособие для техникумов. Высш. Шк 1997г.

Данный калькулятор позволяет решить определенный интеграл онлайн. По сути, вычисление определенного интеграла – это нахождение числа, которое равно площади под графиком функции. Для решения необходимо задать границы интегрирования и интегрируемую функцию. После интегрирования система найдет первообразную для заданной функции, вычислит её значения в точках границах интегрирования, найдет их разность, что и будет являться решением определенного интеграла. Чтобы решить неопределенный интеграл вам необходимо воспользоваться похожим онлайн калькулятором, который находится на нашем сайте по ссылке – Решить неопределенный интеграл .

Мы позволяем вычислить определенный интеграл онлайн быстро и надежно. Вы получите всегда верное решение. Причем для табличных интегралов ответ будет представляться в классическом виде, то есть выражаться через известные константы, такие как число “пи”, “экспонента” и т.д. Все вычисления полностью бесплатны и не требуют регистрации. Решая определенный интеграл у нас, вы избавите себя от трудоемких и сложных вычислений, либо решив интеграл самостоятельно – вы сможете проверить полученное вами решение.

Онлайн сервис на сайт позволяет находить решение определенного интеграла онлайн . Решение проводится автоматически на сервере и в течении нескольких секунд пользователю выдается результат. Все онлайн сервисы на сайте абсолютно бесплатны, а решение выдается в удобном и понятном виде. Также нашим преимуществом является, что мы предоставляем возможность пользователю ввести границы интегрирования, в том числе и пределы интегрирования: минус и плюс бесконечность. Таким образом, решить определенный интеграл становится просто, быстро и качественно. Важно, что сервер позволяет вычислять определенные интегралы онлайн сложных функций, решение которых на иных онлайн-сервисах часто является невозможным ввиду несовершенства их систем. Мы предоставляем очень простой и интуитивно понятный механизм для ввода функций и возможность выбора переменной интегрирования, для чего вам не приходится переводить заданную в одной переменной функцию в другую, исключая связанные с этим ошибки и опечатки. Также на странице даны ссылки на теоретические статьи и таблицы по решению определенных интегралов. Всё в совокупоности позволит вам вычислять определенный интеграл онлайн очень быстро и при желании найти и разобраться с теорией решения определенных интегралов. На http://сайт вы также можете переходить на другие сервисы: онлайн решение пределов, производных, суммы рядов. Перейти же на вкладку решения неопределенных интегралов онлайн совсем просто – ссылка находится в ряду среди полезных ссылок. Более того, сервис постоянно совершенствуется и развивается, и с каждым днем появляются всё новые и новые возможности и усовершенствования.

Решайте определенные интегралы вместе с нами! Все онлайн сервисы доступны даже незарегистрировшимся пользователям и абсолютно бесплатны.

Решая определенный интеграл у нас вы можете проверить своё собственное решение или избавиться от излишних трудоемких вычислений и довериться высокотехнологичной автоматизированной машине. Вычисляемая на сервисе точность удовлетворит практически любые инженерные нормы. Часто для многих табличных определенных интегралов результат выдается в точном выражении (используя общеизвестные константы и неэлементарные функции).

Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл… Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?

Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.

Изучаем понятие « интеграл»

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц , но суть вещей не изменилась.

Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных , необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x) .

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x)

, производная которой равна функции f(x) .

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.


Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

Полная таблица интегралов для студентов


Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.


Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки.

Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:


Точки а и b называются пределами интегрирования.


« Интеграл»

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

  • Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

  • Константу можно выносить из-под знака интеграла:

  • Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

Свойства определенного интеграла

  • Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

  • При любых точках a , b и с :

Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.


Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

Если определения из учебника слишком сложны и непонятны, прочитайте нашу статью. Мы постараемся максимально просто, “на пальцах” объяснить основные моменты такого раздела математики, как определенные интегралы. Как вычисляется интеграл, читайте в данной инструкции.

С геометрической точки зрения интеграл функции – это площадь фигуры, образуемой графиком данной функции и осью в пределах интегрирования. Запишите интеграл, проанализируйте функцию под интегралом: если подынтегральное выражение возможно упростить (сократить, вынести множитель на знак интеграла, разбить на два простых интеграла), сделайте это. Откройте таблицу интегралов, чтобы определить, производная какой функции стоит под интегралом. Ответ найден? Выпишете множитель, вынесенный за интеграл (если это имело место), запишите найденную из таблицы функцию, подставьте границы интеграла.


Для вычисления значения интеграла рассчитайте его значение в верхней границе и вычтите его значение в нижней границе. Разница – и есть искомая величина.


Чтобы проверить себя или хотя бы уяснить ход решения задачи на интегралы, удобно пользоваться онлайн-сервисом нахождения интегралов , однако прежде чем приступать к решению, ознакомьтесь с правилами ввода функций . Огромнейшее его преимущество в том, что здесь пошагово расписывается все решение задачи с интегралом.

Конечно, здесь рассмотрены лишь самые простые варианты интегралов – определенные, на самом деле разновидностей интегралов великое множество, изучаются они в курсе высшей математики, математического анализа и дифференциальных уравнений в ВУЗах для студентов технических специальностей.

Вычислить определенный интеграл с подробным решением. Основные методы интегрирования

Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл… Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?

Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.

Изучаем понятие « интеграл»

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц , но суть вещей не изменилась.

Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о , необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x) .

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x) , производная которой равна функции f(x) .

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как читайте в нашей статье.


Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

Полная таблица интегралов для студентов


Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.


Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:


Точки а и b называются пределами интегрирования.


« Интеграл»

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

  • Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

  • Константу можно выносить из-под знака интеграла:

  • Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

Свойства определенного интеграла

  • Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

  • При любых точках a , b и с :

Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.


Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

Если определения из учебника слишком сложны и непонятны, прочитайте нашу статью. Мы постараемся максимально просто, “на пальцах” объяснить основные моменты такого раздела математики, как определенные интегралы. Как вычисляется интеграл, читайте в данной инструкции.

С геометрической точки зрения интеграл функции – это площадь фигуры, образуемой графиком данной функции и осью в пределах интегрирования. Запишите интеграл, проанализируйте функцию под интегралом: если подынтегральное выражение возможно упростить (сократить, вынести множитель на знак интеграла, разбить на два простых интеграла), сделайте это. Откройте таблицу интегралов, чтобы определить, производная какой функции стоит под интегралом. Ответ найден? Выпишете множитель, вынесенный за интеграл (если это имело место), запишите найденную из таблицы функцию, подставьте границы интеграла.


Для вычисления значения интеграла рассчитайте его значение в верхней границе и вычтите его значение в нижней границе. Разница – и есть искомая величина.


Чтобы проверить себя или хотя бы уяснить ход решения задачи на интегралы, удобно пользоваться онлайн-сервисом нахождения интегралов , однако прежде чем приступать к решению, ознакомьтесь с правилами ввода функций . Огромнейшее его преимущество в том, что здесь пошагово расписывается все решение задачи с интегралом.

Конечно, здесь рассмотрены лишь самые простые варианты интегралов – определенные, на самом деле разновидностей интегралов великое множество, изучаются они в курсе высшей математики, математического анализа и дифференциальных уравнений в ВУЗах для студентов технических специальностей.

Онлайн сервис на сайт позволяет находить решение определенного интеграла онлайн . Решение проводится автоматически на сервере и в течении нескольких секунд пользователю выдается результат. Все онлайн сервисы на сайте абсолютно бесплатны, а решение выдается в удобном и понятном виде. Также нашим преимуществом является, что мы предоставляем возможность пользователю ввести границы интегрирования, в том числе и пределы интегрирования: минус и плюс бесконечность. Таким образом, решить определенный интеграл становится просто, быстро и качественно. Важно, что сервер позволяет вычислять определенные интегралы онлайн сложных функций, решение которых на иных онлайн-сервисах часто является невозможным ввиду несовершенства их систем. Мы предоставляем очень простой и интуитивно понятный механизм для ввода функций и возможность выбора переменной интегрирования, для чего вам не приходится переводить заданную в одной переменной функцию в другую, исключая связанные с этим ошибки и опечатки. Также на странице даны ссылки на теоретические статьи и таблицы по решению определенных интегралов. Всё в совокупоности позволит вам вычислять определенный интеграл онлайн очень быстро и при желании найти и разобраться с теорией решения определенных интегралов. На http://сайт вы также можете переходить на другие сервисы: онлайн решение пределов, производных, суммы рядов. Перейти же на вкладку решения неопределенных интегралов онлайн совсем просто – ссылка находится в ряду среди полезных ссылок. Более того, сервис постоянно совершенствуется и развивается, и с каждым днем появляются всё новые и новые возможности и усовершенствования. Решайте определенные интегралы вместе с нами! Все онлайн сервисы доступны даже незарегистрировшимся пользователям и абсолютно бесплатны.

Решая определенный интеграл у нас вы можете проверить своё собственное решение или избавиться от излишних трудоемких вычислений и довериться высокотехнологичной автоматизированной машине. Вычисляемая на сервисе точность удовлетворит практически любые инженерные нормы.3 – возведение в степень x + 7 – сложение x – 6 – вычитание
Другие функции: floor(x) Функция – округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) ceiling(x) Функция – округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0) sign(x) Функция – Знак x erf(x) Функция ошибок (или интеграл вероятности) laplace(x) Функция Лапласа

>> >> >> Методы интегрирования

Определение интеграла, определенного и неопределенного, таблица интегралов, формула Ньютона-Лейбница, интегрирование по частям, примеры вычисления интегралов.

Неопределенный интеграл

Пусть u = f(x) и v = g(x) – функции, имеющие непрерывные . Тогда, по произведения,

d(uv))= udv + vdu или udv = d(uv) – vdu.

Для выражения d(uv) первообразной, очевидно, будет uv, поэтому имеет место формула:

∫ udv = uv – ∫ vdu (8.4.)

Эта формула выражает правило интегрирования по частям . Оно приводит интегрирование выражения udv=uv”dx к интегрированию выражения vdu=vu”dx.

Пусть, например, требуется найти ∫xcosx dx. Положим u = x, dv = cosxdx, так что du=dx, v=sinx. Тогда

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x – ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем замена переменной. Но есть целые классы интегралов, например, ∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax и другие, которые вычисляются именно с помощью интегрирования по частям.

Определенный интеграл

Методы интегрирования , понятие определенного интеграла вводится следующим образом. Пусть на отрезке определена функция f(x). Разобьем отрезок [ a,b] на n частей точками a= x 0 Δ x i =x i – x i-1 . Сумма вида f(ξ i)Δ x i называется интегральной суммой, а ее предел при λ = maxΔx i → 0, если он существует и конечен, называется определенным интегралом функции f(x) от a до b и обозначается:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке , числа a и b носят название нижнего и верхнего предела интеграла .

Методы интегрирования имеют следующие свойства:

Последнее свойство называется теоремой о среднем значении .

Пусть f(x) непрерывна на . Тогда на этом отрезке существует неопределенный интеграл

∫f(x)dx = F(x) + C

и имеет место формула Ньютона-Лейбница , cвязывающая определенный интеграл с неопределенным:

F(b) – F(a). (8.6)

Геометрическая интерпретация: представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y=f(x), прямыми x = a и x = b и отрезком оси Ox.

Несобственные интегралы

Интегралы с бесконечными пределами и интегралы от разрывных (неограниченных) функций называются несобственными. Несобственные интегралы I рода – это интегралы на бесконечном промежутке, определяемые следующим образом:

(8.7)

Если этот предел существует и конечен, то называется сходящимся несобственным интегралом от f(x) на интервале [а,+ ∞), а функцию f(x) называют интегрируемой на бесконечном промежутке [а,+ ∞). В противном случае про интеграл говорят, что он не существует или расходится.

Аналогично определяются несобственные интегралы на интервалах (-∞,b] и (-∞, + ∞):

Определим понятие интеграла от неограниченной функции. Если f(x) непрерывна для всех значений x отрезка , кроме точки с, в которой f(x) имеет бесконечный разрыв, то несобственным интегралом II рода от f(x) в пределах от a до b называется сумма:

если эти пределы существуют и конечны. Обозначение:

Примеры вычисления интегралов

Пример 3.30. Вычислить ∫dx/(x+2).

Решение. Обозначим t = x+2, тогда dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| + C .

Пример 3.31 . Найти ∫ tgxdx.

Решение.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = – ∫dcosx/cosx. Пусть t=cosx, тогда ∫ tgxdx = -∫ dt/t = – ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Пример 3.32 . Найти ∫dx/sinx

Пример 3.33. Найти .

Решение. =

.

Пример 3.34 . Найти ∫arctgxdx.

Решение. Интегрируем по частям. Обозначим u=arctgx, dv=dx. Тогда du = dx/(x 2 +1), v=x, откуда ∫arctgxdx = xarctgx – ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; так как
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Пример 3.35 . Вычислить ∫lnxdx.

Решение. Применяя формулу интегрирования по частям, получим:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Тогда ∫lnxdx = xlnx – ∫x 1/x dx =
= xlnx – ∫dx + C= xlnx – x + C.

Пример 3.36 . Вычислить ∫e x sinxdx.

Решение. Применим формулу интегрирования по частям. Обозначим u = e x , dv = sinxdx, тогда du = e x dx, v =∫sinxdx= – cosx → ∫ e x sinxdx = – e x cosx + ∫ e x cosxdx. ∫e x cosxdx также интегрируем по частям: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Имеем:
∫ e x cosxdx = e x sinx – ∫ e x sinxdx. Получили соотношение ∫e x sinxdx = – e x cosx + e x sinx – ∫ e x sinxdx, откуда 2∫e x sinx dx = – e x cosx + e x sinx + С.

Пример 3.37. Вычислить J = ∫cos(lnx)dx/x.

Решение.Так как dx/x = dlnx, то J= ∫cos(lnx)d(lnx). Заменяя lnx через t, приходим к табличному интегралу J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Пример 3.38 . Вычислить J = .

Решение. Учитывая, что = d(lnx), производим подстановку lnx = t. Тогда J = .

Пример 3.39 . Вычислить J = .

Решение. Имеем: . Поэтому =

PPT – – МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ PowerPoint Presentation

  • 1 А. Б. ШУР Не роскошь, а хлеб насущный – МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ Алчевск, 2007

  • Авторское предисловие Cтало традицией жаловаться на математическое невежество “современной молодежи”: в технических вузах приходится (не всегда успешно) латать на ходу дыры в предыдущем образовании, отрывая дефицитное время от изучения профильных курсов. Но массовость явления слишком велика, чтобы списывать его на простую недобросовестность или лень. Здесь нужна помощь, и я могу ее оказать. Главная трудность проистекает от психологических установок: неверие в нужность математики для своей профессии, неверие в возможность ее освоить и нежелание иметь с ней никакого дела. Первопричины разные: тут и морально-политический климат в обществе и государстве, и уровень жизни, и семейное воспитание… Часто говорят – вообще все рухнуло за последние 15-20 лет. Но это верно лишь отчасти.

  • На протяжении многих лет я преподавал в ДонГТУ металлургические и смежные дисциплины. Начиная любой учебный курс, давал простой тест на понимание понятия производной. В последнее время с ним, как правило, не справляется никто. Но ведь и в благополучные 60-е годы это удавалось не более, чем одному – двоим из группы. Так что события последних лет лишь добили и до того невысокий уровень, и не будет большой натяжкой оценить КПД математического образования в 5%. Ответ на вопрос «ЧТО ДЕЛАТЬ» можно получить, если задуматься над судьбой информации, получаемой в процессе обучения. Вопрос: что такое образование? Ответ:То, что остается, когда забудешь все, чему учили. «То, что остается» – позволит в нужную минуту восстановить или пополнить остальное. Как оно выглядит?

  • ИНФОРМАЦИЯ: Новая, появившаяся послеокончания обучения Полная на момент обучения включенная в программы хотя бы однажды усвоенная В т.ч. усвоенная и находящаяся в активном состоянии 4 3 2 1 АП- активное пятно оперативная информация 5 деятельность 6

  • Высокое Низкое Если процесс забывания неизбежен, его нужно правильно организовать. Состав и структура Активного Пятна– это и есть качество обучения! АП – хорошо структурированная система ключевых фактов и идей. АП – хаотический склад случайно запомнившихся сведений.

  • Итак, задача – не гоняясь за объемом, сформировать хорошее активное пятно. Это значит: надежно усвоить минимум – основной скелет знаний и умений (здесь – математических), и запомнить их навсегда. Притом запомнить готовыми для практического использования – в любую минуту, как только потребуется. Практическое использование – не только прямая инженерная деятельность, но и последующее самообразование.

  • Для этого требуется: 1) выделить из массы сведений ключевые; 2) глубоко прочувствовать их смысл и содержание на простейших наглядных примерах; 3) напрямую связать между собой теоретические первоосновы и практические приемы. Цель пособия – помочь именно в этом. Оно содержит лишь минимум, необходимый для ее достижения, и ни в коей мере не претендует на полноту. Пособие соответствует скорее школьным, чем вузовским программам – но именно на этом уровне и возникают проблемы.

  • Основные отличия принятой схемы изложения от традиционной. Первое.В отдельный раздел вынесено все, что касается линейных зависимостей (1-й уровень).Для них понятия производной и интеграла вводятся одновременно и параллельно. После введения всего, что возможно, на этомуровне, те же понятия обобщаются для нелинейных зависимостей (2-й уровень). И лишь после этого изучается техника дифференцирования и интегрирования.

  • Обоснование. При “обычном” размещении сплошь и рядом, добросовестно выучив определения производной и интеграла и даже формулы дифференцирования и интегрирования, проходят мимо главного: не владеют этими понятиями на интуитивном уровне, не осознают их единства и взаимосвязей. Словом, за деревьями не видят леса. А потому не могут ими пользоваться, что и выявляет тот самый тест. Этот барьер и преодолевается выделением первого уровня: операции дифференцирования и интегрирования вырождаются в примитив, и можно говорить о главном, не отвлекаясь на усложнения и подробности. В учебной задаче главное совсем не то, что составляет научную суть изучаемого материала. Ее, эту суть, освоить необходимо, но начинать нужно не с нее, а с более простого. Напомним совет Я.Б. Зельдовича [2]: вначале пойми смысл основных понятий, а к вопросу о строгости доказательств вернись позже, став старше и образованнее.

  • Второе.Техника дифференцирования вводится с использованием метода структурных схем (МСС), в связи с чем разделу о дифференцировании предшествует краткое введение в МСС. Метод существенно облегчает жизнь. Он заимствован из теории автоматического управления, но это не частный вычислительный прием, каким его многие считают, а универсальный общенаучный аппарат. Его невостребованность во многих областях – противоестественный анахронизм, который нужно преодолеть. Кратчайший путь к этому – включить его в состав базового математического образования. Его преимущества проявляются уже при введении правил дифференцирования. Более ощутимы они становятся при дифференцировании сложных и особенно неявных функций. Но и это – лишь часть еще больших его достоинств, проявляемых в прикладных областях.

  • Третье.Перед разделом о правилах дифференцирования функций одного переменного (ПДФ1) кратко вводятся понятия о функциях двух переменных (Ф2) и о частных производных. Это (особенно в совокупности с МСС) позволяет явно ссылаться на Ф2 при изложении ПДФ1, где они на самом деле используются, но в традиционной схеме неявно и практически бессознательно – с ущербом для понятности. Четвертое. Интегральное исчисление, вопреки традиции, вводится начиная с определенного интеграла, а обратность действий дифференцирования и интегрирования не постулируется, а доказывается. Смысл в том, что именно определенный интеграл имеет конкретный физический смысл и идет от реальных физических и технических задач. Неопределенный интеграл – подчиненное служебное средство, необходимое для вычислительных целей. Выпячивание его на первый план дезориентирует новичка, он вынужден долгое время решать трудные задачи, не зная, для чего они нужны. Изучая правила интегрирования, нельзя заслонять ими идейное содержание. Такой порядок изложения не новость (см., например, [2]), но на фоне обособленного линейного случая он становится еще прозрачнее и эффективнее.

  • После того, как материал будет пройден, повторять его можно в любом другом порядке. Более того, дальнейшее повторение и более глубокое изучение полезно вести по другим учебникам (например [1]), где материал изложен полнее и строже, и именно поэтому – труднее для начинающих или многое забывших. Если кто-то сочтет предлагаемый уровень слишком для себя примитивным, это означает, что он уже созрел для чтения более серьезной литературы. Но и ему полезно проверить себя, решая самостоятельно приводимые примеры. Мой многолетний опыт свидетельствует о том, что этот уровень для большинства – необходимый промежуточный этап; нередко именно он затрудняет “прошедших” и “сдавших” математику на уровне, казалось бы, намного более высоком. Обзор и пояснения к структуре пособия В главе 1 вводятся понятия о производных и интегралах для линейных функций. В главе 2 эти понятия обобщаются на функции произвольного вида. В главе 3 дается введение в метод структурных схем в адаптированной форме В главе 4 рассматривается техника дифференцирования и интегрирования, вначале для элементарных функций.

  • Глава 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ИНТЕГРАЛ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ (быстрое начало)

  • Основные понятия математического анализа – производная и интеграл. Понять их суть и взаимосвязь – самое главное для уверенного движения дальше. С точки зрения знатока, заголовок раздела несколько несуразен. Для линейного случая эти понятия вообще не требуются – связанные с ними задачи элементарно решаются и без них. Пусть Вас это не смущает и не кажется ненужным усложнением. Когда задача прозрачна и ответ очевиден, гораздо легче понять и усвоить то, что на самом деле понадобится позже – для задач нетривиальных. Откладывать знакомство с ними до этого момента – то же самое, как, по пословице, идя на охоту, начинать кормить собак.

  • 1.1. Производная Рис.1.1. График линейной функции Название неточное – линии бывают и кривые. Но к этому все привыкли, и нужно просто помнить, что термин применяется не в своем точном значении. y Dy a Dx x b 1.1.1. Линейная функция, по определению, есть функция первого порядка. Простейшее выражение для нее: y=k·x+b, а график в прямоугольных координатах имеет вид прямой линии. И обратно: любой (не вертикальной) прямой линии соответствует вполне определенная линейная функция.

  • 1.1.2. Главное свойство линейной функции – в том, что ее приращение пропорционально приращению аргумента: Коэффициент пропорциональности в этом выражении и есть производная – отношение приращений функции и аргумента: Подчеркнем: такое определение производной относится лишь к простейшему частному случаю – линейным функциям. Но для них оно справедливо при любых, сколь угодно больших приращениях, и для выбранной функции значение производной постоянно при любых значениях аргумента. Более точное определение для общего случая см. в главе 2.

  • Геометрически производная есть мера крутизны, то есть, отношение величины подъема к величине продвижения вперед. Для лестницы (точнее, для сопровождающего ее пандуса) – отношение высоты ступеньки к ее длине (по ходу). 1.1.3. Тригонометрически производная – это тангенс угла между горизонтальной линией и графиком функции. Или, построив на этих линиях прямоугольный треугольник – отношение его вертикального катета к горизонтальному. Обычно говорят: противолежащего к прилежащему.

  • Но в таком определении тангенса недостает эмоциональности: ничего не стоит забыть его, или запомнить с точностью до наоборот, или перепутать с синусом. Для мнемоничности стоит его дополнять для себя менее научным, но более понятным: тангенс – мера крутизны, и чем круче подъем, тем больше тангенс.Синус – тоже мера крутизны, но он меняется от 0 до единицы, а тангенс – до бесконечности. Как видим, для преемственности с элементарной математикой из всей тригонометрии нам пока понадобился один лишь тангенс. В аналитической геометрии ту же величину называют еще угловым коэффициентом.

  • 1.1.4. Итак, тангенс, угловой коэффициент, производная – все это об одном и том же. И, однако, это не просто синонимы – между ними есть и различия: • тангенс – принадлежность угла, • угловой коэффициент – принадлежность прямой, • производная – понятие, приложимое не только к линейной функции. • Кроме того, если по осям отложены величины с разными размерностями или в разных масштабах, значения тангенса угла и углового коэффициента различны – для перехода от одного к другому обязателен учет масштабных коэффициентов (сколько единиц изображаемой величины укладывается в единицу длины каждой координатной оси). Угловой коэффициент равен тангенсу, умноженному на отношение масштабных коэффициентов функции и аргумента.

  • 1.1.5. Если по оси абсцисс откладывать время, а по оси ординат – пройденный путь, то производная есть скорость движения. Если путь понимать в обобщенном смысле, то так же выражается и скорость любого изменения – например, скорость протекания химической реакции или скорость нагрева воды в чайнике. 1.1.6. С другой стороны, производная – это мера влияния аргумента на функцию. В экономике для нее применяют свое название – эластичность (относимое к спросу или предложению) – отношение изменений цены и числа продаж. Впрочем, и сама цена – тоже производная: отношение порции дохода к порции проданного товара. В автоматике – коэффициент усиления или коэффициент передачи. Итак, скорость, эластичность, цена, коэффициент усиления, коэффициент передачи –неполный список синонимов, часть из которых общеупотребительны.

  • 1.1.7. Терминологическое замечание. Существует магия слов. Подходящее название – ключ к пониманию. И, наоборот, неудачное – отпугивает, создает впечатление сложности, чуждости, уводит в сторону от понимания сути. Производная – название весьма неудачное. Оно никак не характеризует обозначаемое понятие – ни его сущность, ни способ получения, ни область применения. Всего лишь некая функция, происходящая от другой функции. Но ведь существует множество объектов, происходящих от других объектов, и к каждой такой паре (исходное– вторичное) приложимо то же название. Например, в химии: вещество В, производное от вещества А – в смысле, не имеющем ничего общего с изучаемым здесь. Об этом нужно помнить и противостоять ложному ощущению трудного и непонятного. На самом деле понятием производная (в математическом смысле) владеет каждый человек на житейском уровне, даже если он не слыхал этого слова. И каждому знакомы термины, применяемые в науках и в быту: скорость, крутизна, плотность, цена … , но люди в большинстве не знают или не задумываются о том, что каждое из этих слов – и есть производная на языке конкретной задачи.

  • 1.1.9. Процедура нахождения производной называется дифференцированием. Существуют два разных подхода к ней, называемые численным и аналитическим. В основу их обоих положена формула: , которой мы пока и ограничимся. 1.1.10. Для линейной функции вида , по определению, как уже говорилось, производная есть угловой коэффициент: . В частном случае постоянной величины график функции есть горизонтальная линия, угол ее наклона к оси абсцисс, а значит, и его тангенс, равны нулю. Поэтому для y=const имеем y′=0 . 1.1.8. Производную функции принято обозначать как ту же функцию со штрихом. Например, y′ – производная функции y. Другое ее обозначение рассмотрим позже. Пока ограничимся приведенными сведениями о производной и вернемся к ней после столь же кратких сведений об интеграле.

  • 1.2. Интеграл 1.2.1. Определенный интеграл, как площадь В отличие от производной, название “интеграл” вполне содержательно. В переводе – сумма, и в этом или сходных смыслах оно употребляется не только в математике. Причину такого названия раскроем позже (см. гл.2, п.2.2). Пусть некоторая функция задана своим графиком в прямоугольных координатах. Назовем определенным интегралом этой функции в пределах от a до b площадь, заключенную между осью абсцисс, графиком функции и двумя вертикальными отрезками с абсциссами a и b, соединяющими график с осью. Величины a и b называют нижним и верхним пределами интегрирования.

  • Для частного случая функции – положительной постоянной величины, графиком служит горизонтальная линия, расположенная выше оси абсцисс. Для этого случая определенный интеграл вычисляется элементарно, как площадь прямоугольника. Рис.1.2. Определенный интеграл для простейшего случая. Временно будем пользоваться показанным упрощенным обозначением интеграла. Обратим внимание на то, чтоопределенный интеграл с постоянными пределами есть не функция, а число.

  • 1.2.2. Интеграл с переменным верхним пределом и взаимная обратность действий дифференцирования и интегрирования Рис. 1.3. Определенный интегралс переменным верхним пределом Теперь обозначим верхний предел через x и будем непрерывно двигать его вправо. Как видим, если верхний предел переменный, то интеграл есть уже не число, афункциятого же аргумента, а график ее (в нашем случае) – прямая линия с угловым коэффициентом k, равным высоте прямоугольника: площадь, как функция абсциссы, пропорциональна этой высоте. График пересекает ось абсцисс в точке x = a (нижний предел). Мы уже знаем (см. п. 1.1), что производная такой функции равна ее угловому коэффициенту, а он равен k – ординате исходного горизонтального графика. А значит, интегрирование – не только вычисление площади, но и действие, обратное дифференцированию. Отсюда еще одно название для получаемой функции: это первообразная,для которой исходная функция есть производная.

  • Далее. Легко видеть, что наш исходный график есть график производной не только для полученной прямой, но и для любой другой, параллельной ей.Эти другие прямые можно получать, меняя положение левой границы (подчеркнем: не двигая ее непрерывно, как двигаем правую, а фиксируя ее по желанию в разных точках оси абсцисс). И сразу же видим, что входящая в формулу для S постоянная произвольна – ей можно придавать разные значения. Поэтому первообразную называют еще неопределенным интегралом, а величину С константой интегрирования. Итак,неопределенный интеграл – это не просто функция, а целое семейство функций: Рис. 1.4. Неопределенный интеграл è è è x x a1 a2 a3

  • 1.2.3. Формула Ньютона-Лейбница А сейчас мы увидим, что определенный интеграл можно вычислить через посредство неопределенного. Для нашего частного случая это не нужно – проще вычислить площадь прямоугольника простым умножением. Но ведь когда-то придется переходить к более сложным задачам, с графиками разной формы. Там одним умножением не обойдешься –потребуетсяуниверсальный прием, а показать его удобнее на простом примере, где легко сравнить оба подхода. Потому для начала и воспользовались тем, что площадь прямоугольника умеют определять все – но только для начала.

  • Выберем для нашей первообразной некую точку отсчета x0 (например, x0=0), не совпадающую ни с одной из заданных границ – пределов интегрирования.В таком совпадении не было бы ничего противозаконного, но лучше не создавать впечатление, что оно для чего-нибудь нужно.Построив затем ее график, пересекающий ось абсцисс в точке x0, отметим на нем точки для заданных нижнего (левого) и верхнего (правого) пределов. Проведем через них горизонтальные линии-засечки, и покажем расстояние между ними с помощью вертикального отрезка. В каждой из двух отмеченных точек график изображает площадь прямоугольника в пределах от начальной точки до соответствующего предела.А значит, вертикальный отрезок между горизонтальными засечками равен искомой площади в заданных границах. Численно это есть разность значений первообразной на границах интервала – верхнем и нижнем пределах. Отсюда сразу получаем формулу для вычисления определенного интеграла: Рис. 1.5. Формула Ньютона-Лейбница

  • или, упростив запись: Это и есть знаменитая формула Ньютона – Лейбница(далее будем именовать ее ФНЛ). Она на самом деле справедлива не только для линейных функций. В самом деле, при ее выводе мы нигде не использовали специфических свойств именно этих функций. Для обобщения нам не хватает только одного: доказательства того, что дифференцирование и интегрирование есть взаимно-обратные действия для всех, а не только для линейных функций. (Об этом см. в главе 2).

  • Чрезвычайно важно понять и запомнить следующее. Все, что на исходном графике изображается площадью, на новом графике изображается его ординатами или их разностями. И обратно, все, что на нижнем рисунке изображено отрезками ординат, на верхнем изображается площадями. И еще одно важнейшее замечание. Для подстановки пределов интегрирования можно брать любую первообразную, но обязательно одну и ту же для обоих. Это настолько само собой разумеется, что в учебниках даже не считают нужным о нем упоминать. А между тем, это – ключевой момент для понимания.

  • S(a, b) Рис. 1.6. Геометрический смысл теоремы Ньютона-Лейбница Построим прямоугольный треугольник (рис. 1.6), гипотенуза которого – отрезок первообразной, заключенный между пределами интегрирования. Он остается самим собой при любых перемещениях вверх – вниз (то есть, при переходе к другим первообразным), и, естественно, величина его правого катета – а это и есть интеграл – от них не зависит.В этом и состоит смысл ФНЛ на геометрическом языке. Y=S′ S(a, b) S x a b

  • ЗАКЛЮЧЕНИЕ к главе 1 Материалэтой главы в «обычной» математике отдельно не рассматривают. Линейные функции – простейший частный случай, упоминаемый мимоходом. Для них вообще не требуются понятия производной и интеграла и методы дифференциального и интегрального исчислений. И мы применяли их вовсе не для решения линейных задач. Мы как бы повторили элементы аналитической геометрии на другом языке. Но введенный на задачах, где он еще не нужен, этот язык оказывается совсем простым и прозрачным. Тем самым облегчается его освоение там, где он становится необходим. Прозрачность оттого, что нам не потребовались понятия предела, предельного перехода, дифференциала, интегральной суммы. А когда они потребуются, действия с ними облегчатся благодаря уже известным другим сведениям о производных и интегралах.

  • Мы уже знаем о них: • Производная есть мера крутизны, скорости изменения функции, степени влияния аргумента на функцию. • Интегрирование есть способ определения площадей. • Интегрирование есть действие обратное дифференцированию, и производная интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции. • Для вычисления определенного интеграла можно использовать неопределенный интеграл через формулу Ньютона-Лейбница. • Вот еще неполный перечень свойств, которые мы не рассматривали, но которые можно узнать из линейного случая. • Интеграл суммы равен сумме интегралов. • Интеграл с одинаковыми пределами равен нулю. • Площадь, образованная графиком с отрицательными ординатами, считается отрицательной. • При перемене местами пределов интегрирования знак интеграла меняется.

  • Основные сведения, входящие в активное пятно, полезно представить в компактном виде по типу опорных сигналов В.Ф. Шаталова. Они образуют своего рода ариаднину нить, помогающую запомнить навсегда не только их, но и их взаимосвязи (см. следующий слайд). При этом не нужно зазубривать формулировки. Просто эту картинку нужно держать где-нибудь на видном месте, чтобы она почаще попадалась на глаза, и при каждом удобном случае мысленно восстанавливать ход рассуждений. Запоминание придет, как неизбежный результат понимания.

  • 4 5 2 b/a=tgj 1 è è b è x j a 1)тангенс a1 a2 a3 x 2) производная 3 3) определенный интеграл 4) определенный интеграл – функция верхнего предела 6 5) неопределенный интеграл 6) Формула Ньютона- Лейбница Ариаднина нить для формирования активного пятна для основ математического анализа Вот и все, что нужно запомнить навсегда !

  • Литература • МАТЕМАТИКА . Электронный учебник 1996-1999, • Институт Искусственного интеллекта, Институт содержания и методов обучения, • Рекомендовано Минобразования Украины, • Авторы А.И. Шевченко, А.С Миненко, • Автор методического обеспечения А.И. Ляшенко, программирование А Лошак. • 2. Зельдович Я.Б. Высшая математика для начинающих М.: Наука 1965. • 3. А.Б. Шур. Дифференцирование сложных и неявно заданных функций для инженерных и иных приложений. Учебное пособие для студентов, изд. 2, дополненное и исправленное, Алчевск, ДГМИ, 2002. Допечатка тиража с исправлением мелких погрешностей. Алчевск, ДГМИ, 2004

  • Вычислить интеграл методом замены – Telegraph

    Вычислить интеграл методом замены

    Интегральное исчисление

    === Скачать файл ===

    Высшая математика — просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: Наш форум и библиотека: Не нашлось нужной задачи? Задайте вопрос на форуме! Высшая математика для чайников, или с чего начать? Векторы для чайников Скалярное произведение векторов Линейная не зависимость векторов. Базис векторов Переход к новому базису Векторное и смешанное произведение векторов Формулы деления отрезка в данном отношении Прямая на плоскости Простейшие задачи с прямой на плоскости Линейные неравенства Как научиться решать задачи по аналитической геометрии? Эллипс Гипербола и парабола Задачи с линиями 2-го порядка Как привести уравнение л. Полярные координаты Как построить линию в полярной системе координат? Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида. Множества и действия над ними Основы математической логики Формулы и законы логики Уравнения высшей математики Комплексные числа Выражения, уравнения и с-мы с комплексными числами Действия с матрицами Как вычислить определитель? Свойства определителя и понижение его порядка Как найти обратную матрицу? Матричные выражения Матричные уравнения Как решить систему линейных уравнений? Матричный метод решения системы Метод Гаусса для чайников Несовместные системы и системы с общим решением Как найти ранг матрицы? Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы. Примеры решений Замечательные пределы Методы решения пределов Бесконечно малые функции. Эквивалентности Правила Лопиталя Сложные пределы Пределы последовательностей Пределы по Коши. Примеры решений Логарифмическая производная Производные неявной, параметрической функций Простейшие задачи с производной Производные высших порядков Что такое производная? Производная по определению Как найти уравнение нормали? Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных. Графики и свойства элементарных функций Как построить график функции с помощью преобразований? Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи. Область определения функции двух переменных. Линии уровня Основные поверхности Предел функции 2 переменных Повторные пределы Непрерывность функции 2п Частные производные Частные производные функции трёх переменных Производные сложных функций нескольких переменных Как проверить, удовлетворяет ли функция уравнению? Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов. Примеры решений Метод замены переменной в неопределенном интеграле Интегрирование по частям Интегралы от тригонометрических функций Интегрирование дробей Интегралы от дробно-рациональных функций Интегрирование иррациональных функций Сложные интегралы Определенный интеграл Как вычислить площадь с помощью определенного интеграла? Теория для чайников Объем тела вращения Несобственные интегралы Эффективные методы решения определенных и несобственных интегралов S в полярных координатах S и V, если линия задана в параметрическом виде Длина дуги кривой S поверхности вращения Приближенные вычисления определенных интегралов Метод прямоугольников. Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты. Ряды для чайников Как найти сумму ряда? Признаки Коши Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница Ряды повышенной сложности. Степенные ряды Разложение функций в степенные ряды Сумма степенного ряда Равномерная сходимость Другие функциональные ряды Приближенные вычисления с помощью рядов Вычисление интеграла разложением функции в ряд Как найти частное решение ДУ приближённо с помощью ряда? Вычисление пределов Ряды Фурье. Двойные интегралы Как вычислить двойной интеграл? Примеры решений Двойные интегралы в полярных координатах Как найти центр тяжести плоской фигуры? Тройные интегралы Как вычислить произвольный тройной интеграл? Криволинейные интегралы Интеграл по замкнутому контуру Формула Грина. Работа силы Поверхностные интегралы. Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса. Примеры решений типовых задач комплексного анализа Как найти функцию комплексной переменной? Решение ДУ методом операционного исчисления Как решить систему ДУ операционным методом? Основы теории вероятностей Задачи по комбинаторике Задачи на классическое определение вероятности Геометрическая вероятность Задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей Зависимые события Формула полной вероятности и формулы Байеса Независимые испытания и формула Бернулли Локальная и интегральная теоремы Лапласа Статистическая вероятность Случайные величины. Математическое ожидание Дисперсия дискретной случайной величины Функция распределения Геометрическое распределение Биномиальное распределение Распределение Пуассона Гипергеометрическое распределение вероятностей Непрерывная случайная величина, функции F x и f x Как вычислить математическое ожидание и дисперсию НСВ? Равномерное распределение Показательное распределение Нормальное распределение. Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом. Заказать контрольную Часто задаваемые вопросы Гостевая книга. Авторские работы на заказ. По высшей математике и физике. На данном уроке мы познакомимся с одним из самых важных и наиболее распространенных приемов, который применяется в ходе решения неопределенных интегралов — методом замены переменной. Для успешного освоения материала требуются начальные знания и навыки интегрирования. Если есть ощущение пустого полного чайника в интегральном исчислении, то сначала следует ознакомиться с материалом Неопределенный интеграл. Технически метод замены переменной в неопределенном интеграле реализуется двумя способами:. На уроке Неопределенный интеграл. Примеры решений мы научились раскрывать дифференциал, напоминаю пример, который я приводил: Смотрим на таблицу интегралов и находим похожую формулу: Раскрывая дифференциал, легко проверить, что: Но, тем не менее, остался вопрос, а как мы пришли к мысли, что на первом шаге нужно записать наш интеграл именно так: Почему так, а не иначе? Поэтому мысленное рассуждение при решении должно складываться примерно так: Я посмотрел в таблицу и нашел похожую формулу. Если я запишу , тогда. В ходе примерно таких мысленных рассуждений и рождается запись:. Теперь можно пользоваться табличной формулой:. Открываем таблицу производных и дифференцируем ответ: Обратите внимание, что в ходе проверки мы использовали правило дифференцирования сложной функции. Смотрим в таблицу интегралов и находим наиболее похожую вещь: Те, кому трудно сразу сообразить, на какую дробь нужно домножать, могут быстренько на черновике раскрыть дифференциал: Ага, получается , значит, чтобы ничего не изменилось, мне надо домножить интеграл на. Далее используем табличную формулу: Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно. При определенном опыте решения интегралов, подобные примеры будут казаться лёгкими, и щелкаться как орехи:. Строго говоря, решение должно выглядеть так: Поэтому на практике таким длинным решением часто пренебрегают и сразу записывают, что. Но будьте готовы при необходимости объяснить преподавателю, как Вы решали! В качестве примера я взял интеграл, который мы рассматривали в самом начале урока. Идея метода замены состоит в том, чтобы сложное выражение или некоторую функцию заменить одной буквой. В данном случае напрашивается: Вторая по популярности буква для замены — это буква. В принципе, можно использовать и другие буквы, но мы всё-таки будем придерживаться традиций. Но при замене у нас остаётся! С дифференциалами, думаю, дружба уже у всех налажена. Так как , то. После разборок с дифференциалом окончательный результат рекомендую переписать максимально коротко: Теперь по правилам пропорции выражаем нужный нам: В заключении осталось провести обратную замену. И коротко, и удобно. А теперь самое время вспомнить первый способ решения: Это фактически одно и то же. Но с точки зрения оформления задания метод подведения функции под знак дифференциала — гораздо короче. Если первый способ короче, то зачем тогда использовать метод замены? Как видите, в результате замены исходный интеграл значительно упростился — свёлся к обычной степенной функции. Это и есть цель замены — упростить интеграл. Ленивые продвинутые люди запросто решат данный интеграл методом подведения функции под знак дифференциала: Другое дело, что такое решение очевидно далеко не для всех студентов. Кроме того, уже в этом примере использование метода подведения функции под знак дифференциала значительно повышает риск запутаться в решении. Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока. Время от времени в ходе решения интегралов встречается следующий трюк: Наверняка некоторые обратили внимание, что в моей справочной таблице нет правила замены переменной. Правило внесло бы путаницу в объяснение и понимание, поскольку в вышерассмотренных примерах оно не фигурирует в явном виде. Настало время рассказать об основной предпосылке использования метода замены переменной: В этой связи при нахождении интегралов довольно часто приходится заглядывать в таблицу производных. В рассматриваемом примере замечаем, что степень числителя на единицу меньше степени знаменателя. В таблице производных находим формулу , которая как раз понижает степень на единицу. Кстати, здесь не так сложно подвести функцию под знак дифференциала: Интегрировать некоторые дроби можно научиться на уроке Интегрирование некоторых дробей. Смотрим в таблицу производных и находим наш арккосинус: У нас в подынтегральном выражении находится арккосинус и нечто похожее на его производную. Осталось выяснить, во что превратится оставшаяся часть подынтегрального выражения. По правилу пропорции выражаем нужный нам остаток: Внимательные читатели заметили, что я рассмотрел мало примеров с тригонометрическими функциями. И это не случайно, поскольку под интегралы от тригонометрических функций отведён отдельный урок. Более того, на указанном уроке даны некоторые полезные ориентиры для замены переменной, что особенно актуально для чайников, которым не всегда и не сразу понятно, какую именно замену нужно проводить в том или ином интеграле. Также некоторые типы замен можно посмотреть в статье Определенный интеграл. Более опытные студенты могут ознакомиться с типовой заменой в интегралах с иррациональными функциями. Замена при интегрировании корней является специфической, и её техника выполнения отличается от той, которую мы рассмотрели на этом уроке. Как можно отблагодарить автора? Качественные работы без плагиата — Zaochnik. Копирование материалов сайта запрещено. Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида Элементы высшей алгебры: Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы Пределы: Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных Функции и графики: Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи ФНП: Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов Интегралы: Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты Числовые ряды: Признак Лейбница Ряды повышенной сложности Функциональные ряды: Примеры решений Кратные интегралы: Работа силы Поверхностные интегралы Элементы векторного анализа: Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса Комплексный анализ: Я выполнил проверку, а Вы? Подготовка к ЕГЭ По высшей математике и физике Помогут разобраться в теме, подготовиться к экзамену.

    Тема детства в стихах русских поэтов

    Какой прогноз погоды в башкирии на неделю

    Леди бюст челябинск каталог

    Интегрирование заменой

    С какого возраста делают ээг детям

    Как правильно готовить раков

    Анекдоты про какашки

    Работа в челябинске график 3 3

    Сколько идет исполнительный лист

    Интегрирование методом замены переменной

    Сколько стоят очки 6

    Акт приема передачи помещения образец

    Сони st26i характеристики

    Гостья из будущего фильм 1985 сколько серий

    Тесты шевроле трекер

    Стихи день учителя начальных классов

    Первый триместр беременности по неделям

    Интегрирование с помощью замены переменной.

    Банковская карта google platinum

    На газоне растут грибы что делать

    Департамент сша результаты розыгрыша грин карт

    Глобальная история земли

    Сколько стоит поставить газ на ваз

    Объяснитель урока: Свойства определенных интегралов

    В этом объяснении мы узнаем, как использовать свойства определенного интегрирования, такие как порядок пределов интегрирования, пределы нулевой ширины, суммы и разности.

    Определенные интегралы связаны с накоплением или суммой определенной величины и тесно связаны с первообразными. Они предоставляют нам мощный инструмент, который помогает нам понимать и моделировать явления реального мира, как они проявляются во многих дисциплинах, от чистой математики с геометрическими приложениями, такими как площадь поверхности и объем, до физики при определении массы объекта, работы. сделано, или давление, оказываемое на объект, и это лишь некоторые из них.

    Определенный интеграл функции 𝑓 (𝑥) от 𝑥 = 𝑎 до 𝑥 = 𝑏 можно интерпретировать как область со знаком под кривой 𝑓 (𝑥) от 𝑥 = 𝑎 до 𝑥 = 𝑏; наглядное представление этого интеграла дано на диаграмме.

    Итак, как определяются определенные интегралы? Прежде чем дать точное определение, отметим, что мы можем оценить площадь под кривой для некоторой функции 𝑦 = 𝑓 (𝑥), ограниченной = 𝑎 и 𝑥 = 𝑏, сначала разбив интервал [𝑎, 𝑏] на 𝑛 подынтервалы одинаковой ширины, [𝑥, 𝑥]  для 𝑖 = 1,…, 𝑛, как показано на диаграмме.

    Это дает 𝑛 прямоугольников одинаковой ширины, Δ𝑥, где высота каждого прямоугольника задается значением функции в каждой точке, 𝑓 (𝑥) , от правой конечной точки каждого подинтервала. Площадь каждого прямоугольника равна произведению этой высоты и ширины, 𝑓 (𝑥) Δ𝑥. Мы можем оценить площадь под кривой 𝑓 (𝑥), суммируя площади каждого прямоугольника как площадь≈𝑓 (𝑥) Δ𝑥 + ⋯ + 𝑓 (𝑥) Δ𝑥 = 𝑓 (𝑥) Δ𝑥.

    Это также известно как правая сумма Римана. По мере того, как количество прямоугольников 𝑛 становится больше, а ширина Δ𝑥 становится меньше, эта оценка будет приближаться к истинной площади под кривой.Фактически, определенный интеграл, который дает точную площадь под кривой, определяется путем взятия предела этой суммы, когда количество прямоугольников приближается к бесконечности.

    Определение: Определенный интеграл

    Для функции 𝑓, которая является непрерывной и определенной на интервале [𝑎, 𝑏], мы можем разделить интервал на 𝑛 подинтервалов [𝑥, 𝑥]  равной ширины, Δ𝑥, и выберите точки выборки 𝑥∈ [𝑥, 𝑥] ∗ . Определенный интеграл от = 𝑎 до 𝑥 = 𝑏 определяется в терминах суммы Римана как 𝑓 (𝑥) 𝑥 = 𝑓𝑥Δ𝑥,  → ∞ ∗ dlim куда 𝑥 = 𝑎 + 𝑖Δ𝑥, Δ𝑥 = 𝑏 − 𝑎𝑛 = 𝑥 − 𝑥 при условии, что предел существует и дает одно и то же значение для всех точек выборки 𝑥∈ [𝑥, 𝑥] ∗ .

    Не имеет значения, какая точка выборки 𝑥 ∗  в подынтервале [𝑥, 𝑥] выбрана. Поскольку разность или ширина слагаемых Δ𝑥 → 0, то же самое происходит и между любыми двумя точками интервала. Это потому, что выбор 𝑥 ∗  произвольный, что может привести к различным суммам Римана, которые сходятся к одному и тому же значению. В частности, обычно используются следующие варианты:

    • Если 𝑥 = 𝑥 ∗ , то есть функция 𝑓 вычисляется на правом конце каждого подинтервала, то у нас есть правая сумма Римана.Определенный интеграл по этой сумме равен 𝑓 (𝑥) 𝑥 = 𝑓 (𝑥) Δ𝑥. → ∞dlim Это выбор, который большинство людей используют при нахождении конкретной суммы Римана или определенного интеграла для простоты, и он соответствует приведенному выше примеру с оценкой площади под кривой с использованием 𝑛 прямоугольников одинаковой ширины и диаграммы с пределом как 𝑛 → ∞.
    • Если 𝑥 = 𝑥 ∗ , то есть функция 𝑓 вычисляется на левом конце каждого подинтервала, то у нас есть левая сумма Римана.
    • Если 𝑥 = (𝑥 + 𝑥) 2 ∗ , то есть функция 𝑓 вычисляется в средней точке каждого подинтервала, то у нас есть средняя сумма Римана.

    Определенный интеграл всегда дает площадь со знаком под кривой; площадь, определяемая определенным интегралом над осью, всегда положительна, а площадь под осью всегда отрицательна, как показано на диаграмме.

    Если есть участки кривой, которые находятся ниже и выше оси в интервале [𝑎, 𝑏], то определенным интегралом будет площадь над осью за вычетом площади под осью в пределах интервал [𝑎, 𝑏].

    На практике определенные интегралы обычно вычисляются с использованием основной теоремы исчисления путем вычисления первообразной подынтегральной функции и нахождения разности, вычисленной в предельных точках.

    Теорема: вторая часть фундаментальной теоремы исчисления (аксиома Ньютона – Лейбница)

    Пусть 𝑓 – вещественная функция на отрезке [𝑎, 𝑏], а 𝐹 – первообразная в [𝑎, 𝑏] : 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓 (𝑥).

    Если интегрируем по Риману на [𝑎, 𝑏], то 𝑓 (𝑡) 𝑡 = [𝐹 (𝑡)] = 𝐹 (𝑏) −𝐹 (𝑎) .d

    Согласно первой части теоремы первообразные всегда существуют, когда непрерывно, но вторая часть основной теоремы исчисления несколько сильнее, поскольку не предполагает, что непрерывно.

    Определенные интегралы также обладают определенными свойствами, такими как неопределенные интегралы, производные и пределы. Напомним эти свойства, которым будет уделено основное внимание в этом объяснении.

    Свойство: Свойства определенных интегралов

    1. Переменная 𝑥, которая появляется в определенных интегралах, называется фиктивной переменной, и мы можем заменить ее другой, чтобы получить тот же результат: 𝑓 (𝑥) 𝑥 = 𝑓 (𝑡) 𝑡 .dd
    2. Определенный интеграл от константы 𝑐∈ℝ пропорционален ширине интервала: 𝑐𝑥 = 𝑐 (𝑏 − 𝑎).d
    3. Предел нулевой ширины при 𝑏 = 𝑎 означает, что (𝑥) 𝑥 = 0. d
    4. Мы можем поменять местами пределы для любого определенного интеграла, используя 𝑓 (𝑥) 𝑥 = −𝑓 (𝑥) 𝑥.dd
    5. Мы можем разбить определенные интегралы суммой или разностью:  (𝑓 (𝑥) ± 𝑔 (𝑥)) 𝑥 = 𝑓 (𝑥) 𝑥 ± 𝑔 (𝑥) 𝑥.ddd
    6. Мы можем выделить константу 𝑐∈ℝ из определенных интегралов: 𝑐𝑓 (𝑥) 𝑥 = 𝑐𝑓 (𝑥) 𝑥.dd
    7. Мы также можем разделить вверх интеграла с пределами [𝑎, 𝑏] для некоторого значения 𝑐∈ℝ на двух соседних интервалах [𝑎, 𝑐] и [𝑐, 𝑏]: 𝑓 (𝑥) 𝑥 = 𝑓 (𝑥) 𝑥 + 𝑓 ( 𝑥) 𝑥.ddd
    8. Если 𝑓 (𝑥) ≥0, то 𝑓 (𝑥) 𝑥≥0.d
    9. Если 𝑓 (𝑥) ≥𝑔 (𝑥), то 𝑓 (𝑥) 𝑥 ≥𝑔 (𝑥) 𝑥.dd
    10. Мы также обладаем свойством ограниченности; если 𝑚≤𝑓 (𝑥) ≤𝑀, то 𝑚 (𝑏 − 𝑎) ≤𝑓 (𝑥) 𝑥≤𝑀 (𝑏 − 𝑎) .d
    11. Свойство модуля определяется как |||| 𝑓 ( 𝑥) 𝑥 |||| ≤ | 𝑓 (𝑥) | 𝑥.dd
    12. Наконец, у нас есть свойство для четных и нечетных функций при интегрировании по интервалу [−𝑎, 𝑎].
      Для четных функций 𝑓 (−𝑥) = 𝑓 (𝑥) имеем 𝑓 (𝑥) 𝑥 = 2𝑓 (𝑥) 𝑥.dd Для нечетных функций 𝑓 (−𝑥) = – 𝑓 (𝑥) имеем 𝑓 (𝑥) 𝑥 = 0.d

    Второе свойство соответствует определенному интегралу постоянной функции 𝑓 (𝑥) = 𝑐 между 𝑥 = 𝑎 и 𝑥 = 𝑏, как показано на диаграмме.

    Определенный интеграл дает площадь со знаком под кривой, равную площади прямоугольника длиной | 𝑐 | и | 𝑏 − 𝑎 | с точностью до знака.

    Другие свойства определенных интегралов можно показать непосредственно из основной теоремы исчисления; например, используя седьмое свойство, мы можем разделить интеграл и применить основную теорему исчисления, чтобы получить 𝑓 (𝑥) 𝑥 = 𝑓 (𝑥) 𝑥 + 𝑓 (𝑥) 𝑥 = (𝐹 (𝑐) – 𝐹 (𝑎)) + (𝐹 (𝑏) −𝐹 (𝑐)) = 𝐹 (𝑏) −𝐹 (𝑎).ddd

    Это интуитивно понятное свойство, так как площади каждой из частей складываются в общую площадь [𝑎, 𝑏]. Это можно визуализировать следующим образом.

    Когда нам дается конкретная функция для интегрирования на интервале [𝑎, 𝑏], мы можем использовать эти свойства, чтобы помочь вычислить интеграл путем его упрощения, за которым часто следует применение основной теоремы исчисления.

    Теперь давайте оценим определенный интеграл (𝑥) = 𝑥5 + 𝑥 от = −7 до 𝑥 = 7, как показано на графике.

    Функция 𝑓 нечетная, поскольку удовлетворяет условию 𝑓 (−𝑥) = – 𝑓 (𝑥). Следовательно, используя 12-е свойство определенных интегралов для нечетных функций, имеем 5 + 𝑥𝑥 = 0.d

    Это также можно реализовать из графика графика, поскольку интеграл в правой части ось (> 0) точно отменяет интеграл в левой части (𝑥0), так как последний ниже оси даст отрицательное значение.

    Предположим, мы хотим найти определенный интеграл 𝑓 (𝑥) = 𝑥𝑥cos от 𝑥 = −𝜋 до 𝑥 = 𝜋, как показано на графике.

    Если нам дан интеграл 𝑥𝑥𝑥 = −2𝜋, cosd, который мы можем найти путем двукратного интегрирования по частям, то мы можем вычислить интеграл на интервале [−𝜋, 𝜋], используя тот факт, что функция 𝑓 четна, поскольку удовлетворяет условию 𝑓 (−𝑥) = 𝑓 (𝑥). Следовательно, используя 12-е свойство определенных интегралов для четных функций, имеем 𝑥𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥𝑥 = −4𝜋.cosdcosd

    Это также можно реализовать из графика графика, поскольку интеграл в правой части оси (𝑥> 0) в точности совпадает с интегралом в левой части (𝑥0).

    А теперь давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы попрактиковаться и углубить наше понимание свойств определенных интегралов.

    В первом примере мы вычислим определенный интеграл, используя свойство обращения пределов интегрирования и вычленения константы из интеграла.

    Пример 1: Вычисление определенного интеграла с использованием свойства обращения пределов интегрирования

    Если 𝑔 (𝑥) 𝑥 = 10d, определите значение 7𝑔 (𝑥) 𝑥d.

    Ответ

    В этом примере мы хотим вычислить определенный интеграл, используя свойство обращения пределов интегрирования и вычленения константы из интеграла.

    Свойства определенных интегралов, которые мы будем использовать, следующие: 𝑐𝑓 (𝑥) 𝑥 = 𝑐𝑓 (𝑥) 𝑥, 𝑐∈ℝ, 𝑓 (𝑥) 𝑥 = −𝑓 (𝑥) 𝑥.. dddd

    Применяя эти свойства, мы можем определить значение данного интеграла как 7𝑔 (𝑥) 𝑥 = 7𝑔 (𝑥) 𝑥 = −7𝑔 (𝑥) 𝑥 = −7 × 10 = −70.ddd

    Теперь давайте рассмотрим пример, в котором мы будем вычислять определенный интеграл, используя свойство сложения двух функций и интеграла от константы на том же интервале.

    Пример 2: Вычисление определенного интеграла с использованием свойства сложения интеграла двух функций на одном интервале

    Функция 𝑓 непрерывна на [−4,4] и удовлетворяет условию 𝑓 (𝑥) 𝑥 = 9 d.Определите  [𝑓 (𝑥) −6] 𝑥d.

    Ответ

    В этом примере мы хотим вычислить определенный интеграл, используя свойство сложения интеграла двух функций и интеграла константы на том же интервале.

    Свойства определенных интегралов, которые мы будем использовать, следующие:  [𝑓 (𝑥) −𝑔 (𝑥)] 𝑥 = 𝑓 (𝑥) 𝑥 − 𝑔 (𝑥) 𝑥, 𝑐𝑥 = 𝑐 (𝑏 − 𝑎) , 𝑐∈ℝ.dddd

    Применяя эти свойства, мы можем определить значение данного интеграла как  [𝑓 (𝑥) −6] 𝑥 = 𝑓 (𝑥) 𝑥 −  6𝑥 = 9−6 (4−0) = – 15.ddd

    В следующем примере мы вычислим определенный интеграл, используя свойство сложения двух определенных интегралов и вычленения константы из интеграла.

    Пример 3: Вычисление определенного интеграла с использованием свойства сложения двух определенных интегралов за один и тот же интервал

    Если 𝑓 (𝑥) 𝑥 = 82d и 𝑔 (𝑥) 𝑥 = 74d , найдите  [2𝑓 (𝑥) −4𝑔 (𝑥)] 𝑥d.

    Ответ

    В этом примере мы хотим вычислить определенный интеграл, используя свойство сложения интеграла двух функций и выделения константы из интеграла.

    Свойства определенных интегралов, которые мы будем использовать, следующие:  [𝑓 (𝑥) −𝑔 (𝑥)] 𝑥 = 𝑓 (𝑥) 𝑥 − 𝑔 (𝑥) 𝑥, 𝑐𝑓 (𝑥) 𝑥 = 𝑐 𝑓 (𝑥) 𝑥, 𝑐∈ℝ.ddddd

    Применяя эти свойства, мы можем определить значение данного интеграла как  [2𝑓 (𝑥) −4𝑔 (𝑥)] 𝑥 = 2𝑓 (𝑥) 𝑥 +  − 4𝑔 (𝑥) 𝑥 = 2𝑓 (𝑥) 𝑥 − 4𝑔 (𝑥) 𝑥 = 2 × 82−4 × 74 = −132. ddddd

    Теперь давайте рассмотрим пример, в котором мы найдем границы интеграла, где значения подынтегральной функции лежат в определенном интервале.

    Пример 4: Вычисление определенного интеграла с использованием ограниченного свойства интегралов

    Предположим, что на [−2,5] значения 𝑓 лежат в интервале [𝑚, 𝑀].Между какими границами лежит 𝑓 (𝑥) 𝑥d?

    Ответ

    В этом примере мы хотим найти границы интеграла, используя свойство, в котором значения 𝑓 лежат в определенном интервале.

    В частности, следующее свойство утверждает, что если 𝑚≤𝑓 (𝑥) ≤𝑀, то 𝑚 (𝑏 − 𝑎) ≤𝑓 (𝑥) 𝑥≤𝑀 (𝑏 − 𝑎) .d

    При применении этого свойство с 𝑎 = −2 и 𝑏 = 5, имеем 𝑏 − 𝑎 = 7. Таким образом, 7𝑚≤𝑓 (𝑥) 𝑥≤7𝑀.d

    В следующем примере мы вычислим определенный интеграл, используя свойство разбиения интеграла на два соседних интервала.

    Пример 5: Вычисление определенного интеграла с использованием свойства сложения двух определенных интегралов по двум соседним интервалам

    Если 𝑓 (𝑥) 𝑥 = −2,4d и 𝑓 (𝑥) 𝑥 = −1,4 d, найдите 𝑓 (𝑥) 𝑥d.

    Ответ

    В этом примере мы хотим вычислить определенный интеграл, используя свойство разделения интеграла между двумя соседними интервалами.

    Свойство определенных интегралов, которое мы будем использовать, это 𝑓 (𝑥) 𝑥 = 𝑓 (𝑥) 𝑥 + 𝑓 (𝑥) 𝑥.ddd

    При применении этого свойства и замене для заданных значений имеем 𝑓 (𝑥) 𝑥 = 𝑓 (𝑥) 𝑥 + 𝑓 (𝑥) 𝑥, −2.4 = −1,4 + 𝑓 (𝑥) 𝑥, dddd, что при перестановке дает 𝑓 (𝑥) 𝑥 = −2,4 + 1,4 = −1.d

    Теперь давайте рассмотрим пример, в котором мы будем использовать свойство разбиения интеграла по смежным интервалам, чтобы выразить сумму трех определенных интегралов как один интеграл. Мы также будем использовать свойство, чтобы изменить пределы интеграции.

    Пример 6: Выражение суммы трех определенных интегралов по соседним интервалам как одного интеграла

    Функция 𝑓 непрерывна на ℝ.Запишем 𝑓 (𝑥) 𝑥 + 𝑓 (𝑥) 𝑥 − 𝑓 (𝑥) 𝑥ddd в виде 𝑓 (𝑥) 𝑥d.

    Ответ

    В этом примере мы хотим вычислить определенный интеграл, используя свойство обращения пределов интегрирования и разделения интеграла между двумя соседними интервалами.

    Свойства определенных интегралов, которые мы будем использовать, следующие: 𝑓 (𝑥) 𝑥 = 𝑓 (𝑥) 𝑥 + 𝑓 (𝑥) 𝑥, 𝑓 (𝑥) 𝑥 = −𝑓 (𝑥) 𝑥.. ddddd

    Мы можем объединить первые два члена, используя первое свойство как 𝑓 (𝑥) 𝑥 + 𝑓 (𝑥) 𝑥 = 𝑓 (𝑥) 𝑥 ddd и перепишем третий член как 𝑓 (𝑥) 𝑥 = −𝑓 (𝑥) 𝑥.dd

    Следовательно, снова применяя первое свойство к оставшимся двум членам, получаем 𝑓 (𝑥) 𝑥 + 𝑓 (𝑥) 𝑥 − 𝑓 (𝑥) 𝑥 = −𝑓 (𝑥 ) 𝑥 + 𝑓 (𝑥) 𝑥 + 𝑓 (𝑥) 𝑥 = 𝑓 (𝑥) 𝑥 + 𝑓 (𝑥) 𝑥 = 𝑓 (𝑥) 𝑥. ddddddddd

    В следующем примере мы будем использовать свойство определенных интегралов для четных функций в интервале [−𝑎, 𝑎], чтобы вычислить интеграл от заданного значения.

    Пример 7: Определенное интегрирование четных функций

    Если четная функция 𝑓 непрерывна в интервале [−4,4], где 𝑓 (𝑥) 𝑥 = 2d, определите значение 𝑓 ( 𝑥) 𝑥d.

    Ответ

    В этом примере мы хотим вычислить определенный интеграл, используя свойство интеграла четных функций на интервале [−𝑎, 𝑎].

    Свойство определенных интегралов, которое мы будем использовать для четных функций 𝑓 (−𝑥) = 𝑓 (𝑥), равно 𝑓 (𝑥) 𝑥 = 2𝑓 (𝑥) 𝑥.dd

    On применяя это свойство, мы можем определить значение данного интеграла как 𝑓 (𝑥) 𝑥 = 2𝑓 (𝑥) 𝑥 = 4.dd

    Теперь давайте рассмотрим пример, в котором мы будем использовать свойство определенных интегралов для нечетных функций на интервале [−𝑎, 𝑎] вычислять интеграл от заданного значения.Мы также будем использовать это свойство, чтобы разбить интеграл на два смежных интервала.

    Пример 8: Нахождение определенного интегрирования нечетной функции с использованием свойств определенного интегрирования

    Функция 𝑓 нечетная, непрерывная на [−1,7] и удовлетворяет 𝑓 (𝑥) 𝑥 = −17d . Определите 𝑓 (𝑥) 𝑥d.

    Ответ

    В этом примере мы хотим вычислить определенный интеграл, используя свойство интеграла от нечетных функций на интервале [−𝑎, 𝑎] и разбивая интеграл между двумя соседними интервалами.

    Свойства определенных интегралов, которые мы будем использовать для нечетных функций 𝑓 (−𝑥) = – 𝑓 (𝑥), следующие: 𝑓 (𝑥) 𝑥 = 0, 𝑓 (𝑥) 𝑥 = 𝑓 (𝑥) 𝑥 + 𝑓 (𝑥) 𝑥.dddd

    Применяя эти свойства, мы можем определить значение данного интеграла как 𝑓 (𝑥) 𝑥 = 𝑓 (𝑥) 𝑥 + 𝑓 (𝑥) 𝑥 = 0−17 = −17.ddd

    В следующем примере мы будем использовать свойство определенных интегралов для четных функций на интервале [−𝑎, 𝑎], чтобы вычислить интеграл от заданных значений. Мы также будем использовать это свойство для обращения пределов интегралов и разбиения интеграла по двум смежным интервалам.

    Пример 9: Нахождение определенного интегрирования четной функции с использованием свойств определенного интегрирования

    Функция 𝑓 является четной, непрерывной на [−8,8] и удовлетворяет условию 𝑓 (𝑥) 𝑥 = 19d и 𝑓 (𝑥) 𝑥 = 13d. Определите 𝑓 (𝑥) 𝑥d.

    Ответ

    В этом примере мы хотим вычислить определенный интеграл, используя свойство интеграла четных функций на интервале [−𝑎, 𝑎], обращая пределы интеграла и разделяя интеграл между двумя соседними интервалами. .

    Свойства определенных интегралов, которые мы будем использовать для четных функций 𝑓 (−𝑥) = 𝑓 (𝑥), следующие: 𝑓 (𝑥) 𝑥 = 2𝑓 (𝑥) 𝑥, 𝑓 (𝑥) 𝑥 = − 𝑓 (𝑥) 𝑥, 𝑓 (𝑥) 𝑥 = 𝑓 (𝑥) 𝑥 + 𝑓 (𝑥) 𝑥.ddddddd

    При применении второго и Третье свойство, мы можем записать определенный интеграл в виде 𝑓 (𝑥) 𝑥 = 𝑓 (𝑥) 𝑥 + 𝑓 (𝑥) 𝑥 = 𝑓 (𝑥) 𝑥 − 𝑓 (𝑥) 𝑥.. ddddd

    Мы можем определить каждую из этих частей из интегралов, заданных с использованием симметрии четных функций, заданных как 𝑓 (𝑥) 𝑥 = 𝑓 (𝑥) 𝑥. dd

    Применяя эту симметрию, мы можем определить первую часть как 𝑓 (𝑥) 𝑥 = 𝑓 (𝑥) 𝑥 = 13.dd

    Аналогичным образом можно определить вторую часть. Применяя первое свойство, заметим, что 𝑓 (𝑥) 𝑥 = 2𝑓 (𝑥) 𝑥 = 19, 𝑓 (𝑥) 𝑥 = 192.ddd

    Таким образом, в силу симметрии, имеем 𝑓 (𝑥) 𝑥 = 192.d

    Следовательно, мы можем определить данный интеграл как 𝑓 (𝑥) 𝑥 = 𝑓 (𝑥) 𝑥 − 𝑓 (𝑥) 𝑥 = 192−13 = −72.ddd

    Теперь давайте рассмотрим пример, в котором мы будем использовать свойство определенных интегралов для нечетных функций на интервале [−𝑎, 𝑎] для вычисления интеграла.

    Пример 10: Использование свойств определенного интегрирования нечетной функции для вычисления интеграла

    Определите 9𝑥 − 6𝑥2𝑥 + 9𝑥d.

    Ответ

    В этом примере мы хотим вычислить определенный интеграл нечетной функции, как показано на графике, используя свойство интеграла нечетных функций на интервале [−1,1].

    Давайте сначала продемонстрируем, что подынтегральное выражение действительно является нечетной функцией. Используя 𝑓 (−𝑥) = – 𝑓 (𝑥), имеем 𝑓 (−𝑥) = 9 (−𝑥) −6 (−𝑥) 2 (−𝑥) + 9 = −9𝑥 + 6𝑥2𝑥 + 9 = −9𝑥 −6𝑥2𝑥 + 9 = −𝑓 (𝑥) .

    Свойство определенных интегралов, которое мы будем использовать для нечетных функций, равно 𝑓 (𝑥) 𝑥 = 0.d

    On применяя это свойство, мы можем вычислить данный интеграл как 9𝑥 − 6𝑥2𝑥 + 9𝑥 = 0.d

    В последнем примере мы будем использовать свойство определенных интегралов для четных функций на интервале [−𝑎, 𝑎] и основную теорему исчисления для вычисления определенного интеграла.

    Пример 11: Оценка определенного интегрирования функции мощности

    Evaluate 𝑥𝑥d.

    Ответ

    В этом примере мы хотим вычислить определенный интеграл четной функции, как показано на графике, используя свойство интеграла четных функций на интервале [−1,1].

    Давайте сначала продемонстрируем, что подынтегральное выражение действительно является четной функцией. Используя свойство четной функции 𝑓 (−𝑥) = 𝑓 (𝑥), имеем 𝑓 (−𝑥) = (- 𝑥) = 𝑥 = 𝑓 (𝑥) .

    Свойство определенных интегралов мы будем использовать для четных функций (𝑥) 𝑥 = 2𝑓 (𝑥) 𝑥.dd

    Применяя это свойство к данному интегралу, мы имеем 𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥. dd

    Начнем с нахождения первообразной по его неопределенному интегралу: 𝑥𝑥 = 𝑥89 + 𝐶.d

    Для определенного интеграла мы можем применить фундаментальная теорема исчисления, что утверждает, что если непрерывно на [𝑎, 𝑏] и 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓 (𝑥), то 𝑓 (𝑥) 𝑥 = [𝐹 (𝑥)] = 𝐹 (𝑏) −𝐹 (𝑎).d

    Отметим, что мы можем игнорировать константу интегрирования для первообразной 𝐹 (𝑥), поскольку она сокращается в разности 𝐹 (𝑏) −𝐹 (𝑎).

    Подынтегральное выражение для нашего интеграла очевидно непрерывно и определено для всех точек 𝑥∈ [0,1]. Следовательно, оценивая первообразную в предельных точках и находя их разность, имеем 𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥 = 2𝑥89 = 2 (1) 89− (0) 89 = 289. dd

    Ключевые моменты

    Ключевые свойства определенных интегралов, которые мы должны помнить, следующие:

    • Интеграл постоянной пропорционален ширине интервала: 𝑐𝑥 = 𝑐 (𝑏 − 𝑎).d
    • Обращая пределы интегрирования, мы имеем 𝑓 (𝑥) 𝑥 = −𝑓 (𝑥) 𝑥.dd
    • Распределяя сложение или разность по интегралу, имеем  (𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔 (𝑥)) 𝑥 = 𝑓 (𝑥) 𝑥 ± 𝑔 (𝑥) 𝑥.ddd
    • Вынося константу за пределы интеграла, имеем 𝑐𝑓 (𝑥) 𝑥 = 𝑐𝑓 (𝑥) 𝑥.dd
    • Разбивая интеграл по двум смежным интервалам, получаем 𝑓 (𝑥) 𝑥 = 𝑓 (𝑥) 𝑥 + 𝑓 (𝑥) 𝑥.. ddd
    • Если 𝑓 (𝑥) ≥0, то 𝑓 (𝑥) 𝑥≥0.d
    • Если 𝑓 (𝑥) ≥𝑔 (𝑥), то 𝑓 (𝑥) 𝑥≥𝑔 ( 𝑥) 𝑥.dd
    • Если 𝑚≤𝑓 (𝑥) ≤𝑀, то 𝑚 (𝑏 − 𝑎) ≤𝑓 (𝑥) 𝑥≤𝑀 (𝑏 − 𝑎) .d
    • Для четных функций 𝑓 (- 𝑥) = 𝑓 (𝑥), имеем 𝑓 (𝑥) 𝑥 = 2𝑓 (𝑥) 𝑥.dd Для нечетных функций 𝑓 (−𝑥) = – 𝑓 (𝑥) имеем 𝑓 (𝑥) 𝑥 = 0.d

    Основная теорема исчисления – Концепция

    Основная теорема исчисления – важная теорема, связывающая первообразные и определенные интегралы в исчислении. Фундаментальная теорема исчисления утверждает, что если функция f имеет первообразную F, то определенный интеграл от f от a до b равен F (b) -F (a).Эта теорема полезна для нахождения чистого изменения, площади или среднего значения функции по региону.

    Мне нужно ввести очень важную тему «Фундаментальная теорема исчисления». Вот теорема прямо здесь. Если f – непрерывная функция и капитал F является антипроизводной малого f, то определенный интеграл от a до b малого f числа x dx равен капиталу F числа b минус капитал F a.И снова заглавная буква F является антипроизводной этой внутренней функции. Это b то же самое, что это b, это a то же самое, что this a. Таким образом, вы можете точно вычислить определенный интеграл, используя антипроизводную, просто вычисляя его и вычитая.
    Итак, давайте посмотрим, как это работает на примере. Говорит найти точную площадь под y = x в квадрате плюс 1 от x = 0 до x = 2. Таким образом, точная площадь равна определенному интегралу этой функции от 0 до 2. Это будет интеграл от 0 до 2 от x в квадрате плюс 1 dx. Итак, это интеграл, который я собираюсь решить.Давайте рассмотрим это здесь.
    В этом интеграле от 0 до 2 это мое маленькое f от x. Мне нужна антипроизводная для этого, а антипроизводная была бы капиталом f x, равным одной трети x в кубе плюс x. Также верно и то, что одна треть x в кубе плюс x плюс 1 является антипроизводной от x в квадрате плюс 1. Вы можете использовать любую антипроизводную, это не имеет значения, и именно поэтому большинство людей предпочтут использовать антипроизводную. с +0 здесь. Поэтому мне нужно оценить эту антипроизводную на уровне 2, а затем оценить ее на уровне 0 и вычесть.Таким образом, это будет равно капиталу f, равному 2 минус капитал f, равному 0. Теперь капитал f, равный 2, равен одной трети от 2 в кубе, одной трети от 2 в кубе плюс 2 минус капитал f, равного 0, одной трети от 0 в кубе плюс 0. Это равно просто будет 0. Одна треть от 2 в кубе, 8 третей плюс 2-0. Так что это будет нашим ответом. 2 – это 6 третей, так что это 14 третей или примерно 4 и 2 трети. Это точное значение площади под этой кривой, и мы получили его, используя всего пару вычислений, антипроизводная оценивается как 2 минус антипроизводная, оцененная как 0.
    А теперь несколько полезных обозначений. Когда вы используете фундаментальную теорему исчисления, вам часто нужно место для размещения антипроизводных. Поэтому иногда люди пишут в скобках, записывают антипроизводную, которую они собираются использовать для x в квадрате плюс 1, а затем помещают пределы интеграции, 0 и 2, прямо здесь, а затем просто оценивают как мы сделали. Так что вы увидите, как я использую эти обозначения в следующих уроках.

    Вычисление интегралов простых форм – видео и стенограмма урока

    Первый пример: особые формы трапеции

    Давайте рассмотрим действительно конкретный пример.Допустим, вы направляетесь в город и на скорости t = 0 вы разгоняетесь до 30 миль в час. Ваша скорость линейно уменьшается (то есть это прямая линия), так что за один час ( t = 1) вы разгонитесь только до 20 миль в час. Допустим, вы попадаете в пробку, когда едете в город.

    Я могу изобразить это как скорость как функцию времени между t = 0 и t = 1, где функция f (t) = 30 – 10 t . Вам не нужно знать, откуда взялось это уравнение; сказать, что это дано вам.Таким образом, при t = 0 ваша скорость составляет 30 миль в час, а при t = 1 ваша скорость составляет 20 миль в час. Чтобы определить, как далеко вы продвинулись за этот час, мы хотим взять интеграл от t = 0 до t = 1 из (30-10 t ) dt . Итак, мы интегрируем вашу скорость за этот период времени.

    Если я посмотрю на это, это просто трапеция. Если я хочу найти площадь под кривой, то есть интеграл, я могу просто использовать то, что знаю о геометрии, и вычислить площадь трапеции.Площадь трапеции будет ( f ( t слева) + f ( t справа)) / 2 * дельта ( t ). Какой у нас рост слева? Это f (t) на левой границе. Итак, это f ( t = 0).

    Пример трапеции

    Давайте подключим это: (30-10 (0)) + 30-10 (1) / 2 * дельта ( t ). Упрощенно получаем (30 + 20) / 2 * дельта ( т ).Дельта ( t ) – это изменение времени (помните, что дельта – это изменение), поэтому изменение времени составляет 1-0 или 1 час. Я перехожу с 0 часов на 1 час, поэтому моя дельта ( t ) равна 1. Если я включу все это в формулу трапеции, я получу (30 + 20) / 2 * 1 = 25. Итак, у меня есть проехал 25 миль за час.

    Пример 2: Общие формы трапеции

    Попробуем немного обобщить это. Допустим, у нас есть функция y = x , и мы хотим найти площадь под этой кривой между x = a и x = b .Это просто запись интеграла от a до b от xdx . Опять же, поскольку y = x – прямая линия, это просто трапеция на ее стороне. Я знаю, что площадь равна ширине одной стороны плюс ширина другой, деленная на 2 высоты. Итак, для ширины с левой стороны у меня есть значение моей функции x = a . Ширина с другой стороны – f (b) . Я делю это на 2, и мой рост равен x , так что это b – a.2) / 2.

    А как насчет более простого случая? Скажем, моя скорость или моя функция постоянна, c . У меня есть график y = c от x = a до x = b . Интеграл от a до b cdx представляет собой площадь под этой кривой. Это просто прямоугольник, поэтому я знаю, что площадь равна высоте, умноженной на ширину. Ширина b a , изменение x , а моя высота c , потому что везде по линии y равно c .

    dx . Если я использую свою формулу для интегрирования константы, я обнаруживаю, что интеграл от 0 до 10 из 7 dx равен (10-0) 7, что составляет всего 70.

    Оставить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    Ширина равна b минус a, а высота равна c.