Определенный интеграл решить: ∫ Найти интеграл от y = f(x) = x2 dx (х 2)

Определенный интеграл от 0 до 1. Примеры вычисления определённых интегралов

Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл… Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?

Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.

Изучаем понятие « интеграл»

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц , но суть вещей не изменилась.

Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа.

Сведения о , необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x) .

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x) , производная которой равна функции f(x) .

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как читайте в нашей статье.

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

Полная таблица интегралов для студентов

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.

Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Точки а и b называются пределами интегрирования.

« Интеграл»

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

• Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

• Константу можно выносить из-под знака интеграла:

• Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

Свойства определенного интеграла

• Линейность:

• Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

• При любых точках a , b и с :

Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

В каждой главе будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Понятие определённого интеграла и формула Ньютона-Лейбница

Определённым интегралом от непрерывной функции f (x ) на конечном отрезке [a , b ] (где ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. (Вообще, понимание заметно облегчится, если повторить тему неопределённого интеграла) При этом употребляется запись

Как видно на графиках внизу (приращение первообразной функции обозначено ),

определённый интеграл может быть как положительным, так и отрицательным числом (Вычисляется как разность между значением первообразной в верхнем пределе и её же значением в нижнем пределе, т. е. как F (b ) – F (a )).

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [a , b ] – отрезком интегрирования.

Таким образом, если F (x ) – какая-нибудь первообразная функция для f (x ), то, согласно определению,

(38)

Равенство (38) называется формулой Ньютона-Лейбница

. Разность F (b ) – F (a ) кратко записывают так:

Поэтому формулу Ньютона-Лейбница будем записывать и так:

(39)

Докажем, что определённый интеграл не зависит от того, какая первообразная подынтегральной функции взята при его вычислении. Пусть F (x ) и Ф(х ) – произвольные первообразные подынтегральной функции. Так как это первообразные одной и той же функции, то они отличаются на постоянное слагаемое: Ф(х ) = F (x ) + C . Поэтому

Тем самым установлено, что на отрезке [a , b ] приращения всех первообразных функции f (x ) совпадают.

Таким образом, для вычисления определённого интеграла необходимо найти любую первообразную подынтегральной функции, т.е. сначала следует найти неопределённый интеграл. Постоянная С из последующих вычислений исключается. Затем применяется формула Ньютона-Лейбница: в первообразную функцию подставляется значение верхнего предела b , далее – значение нижнего предела a и вычисляется разность F(b) – F(a) . Полученное число и будет определённым интегралом. .

При a = b по определению принимается

Пример 1.

Решение. Сначала найдём неопределённый интеграл:

Применяя формулу Ньютона-Лейбница к первообразной

(при С = 0), получим

Однако при вычислении определённого интеграла лучше не находить отдельно первообразную, а сразу записывать интеграл в виде (39).

Пример 2. Вычислить определённый интеграл

Решение. Используя формулу

Найти определённый интеграл самостоятельно, а затем посмотреть решение

Свойства определённого интеграла

Теорема 2. Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования , т.е.

(40)

Пусть F (x ) – первообразная для f (x ). Для f (

t ) первообразной служит та же функция F (t ), в которой лишь иначе обозначена независимая переменная. Следовательно,

На основании формулы (39) последнее равенство означает равенство интегралов

Теорема 3. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла , т.е.

(41)

Теорема 4. Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций , т.е.

(42)

Теорема 5. Если отрезок интегрирования разбит на части, то определённый интеграл по всему отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям , т.е. если

(43)

Теорема 6.

При перестановке пределов интегрирования абсолютная величина определённого интеграла не меняется, а изменяется лишь его знак , т. е.

(44)

Теорема 7 (теорема о среднем). Определённый интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке внутри его , т.е.

(45)

Теорема 8. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и подынтегральная функция неотрицательна (положительна), то и определённый интеграл неотрицателен (положителен), т.е. если

Теорема 9.

Если верхний предел интегрирования больше нижнего и функции и непрерывны, то неравенство

можно почленно интегрировать , т.е.

(46)

Свойства определённого интеграла позволяют упрощать непосредственное вычисление интегралов.

Пример 5. Вычислить определённый интеграл

Используя теоремы 4 и 3, а при нахождении первообразных – табличные интегралы (7) и (6), получим

Определённый интеграл с переменным верхним пределом

Пусть f (x ) – непрерывная на отрезке [a , b ] функция, а F (x ) – её первообразная. Рассмотрим определённый интеграл

(47)

а через t обозначена переменная интегрирования, чтобы не путать её с верхней границей. При изменении х меняется и опредёленный интеграл (47), т.е. он является функцией верхнего предела интегрирования х , которую обозначим через Ф (х ), т.е.

(48)

Докажем, что функция Ф (х ) является первообразной для f (x ) = f (t ). Действительно, дифференцируя Ф (х ), получим

так как F (x ) – первообразная для f (x ), а F (a ) – постояная величина.

Функция Ф (х ) – одна из бесконечного множества первообразных для f (x ), а именно та, которая при x = a обращается в нуль. Это утверждение получается, если в равенстве (48) положить x = a и воспользоваться теоремой 1 предыдущего параграфа.

Вычисление определённых интегралов методом интегрирования по частям и методом замены переменной

где, по определению, F (x ) – первообразная для f (x ). Если в подынтегральном выражении произвести замену переменной

то в соответствии с формулой (16) можно записать

В этом выражении

первообразная функция для

В самом деле, её производная, согласно правилу дифференцирования сложной функции , равна

Пусть α и β – значения переменной t , при которых функция

принимает соответственно значения a и b , т.е.

Но, согласно формуле Ньютона-Лейбница, разность F (b ) – F (a ) есть

Если определения из учебника слишком сложны и непонятны, прочитайте нашу статью. Мы постараемся максимально просто, “на пальцах” объяснить основные моменты такого раздела математики, как определенные интегралы. Как вычисляется интеграл, читайте в данной инструкции.

С геометрической точки зрения интеграл функции – это площадь фигуры, образуемой графиком данной функции и осью в пределах интегрирования. Запишите интеграл, проанализируйте функцию под интегралом: если подынтегральное выражение возможно упростить (сократить, вынести множитель на знак интеграла, разбить на два простых интеграла), сделайте это. Откройте таблицу интегралов, чтобы определить, производная какой функции стоит под интегралом. Ответ найден? Выпишете множитель, вынесенный за интеграл (если это имело место), запишите найденную из таблицы функцию, подставьте границы интеграла.

Для вычисления значения интеграла рассчитайте его значение в верхней границе и вычтите его значение в нижней границе. Разница – и есть искомая величина.

Чтобы проверить себя или хотя бы уяснить ход решения задачи на интегралы, удобно пользоваться онлайн-сервисом нахождения интегралов , однако прежде чем приступать к решению, ознакомьтесь с правилами ввода функций . Огромнейшее его преимущество в том, что здесь пошагово расписывается все решение задачи с интегралом.

Конечно, здесь рассмотрены лишь самые простые варианты интегралов – определенные, на самом деле разновидностей интегралов великое множество, изучаются они в курсе высшей математики, математического анализа и дифференциальных уравнений в ВУЗах для студентов технических специальностей.

>> >> >> Методы интегрирования

Определение интеграла, определенного и неопределенного, таблица интегралов, формула Ньютона-Лейбница, интегрирование по частям, примеры вычисления интегралов.

Неопределенный интеграл

Пусть u = f(x) и v = g(x) – функции, имеющие непрерывные . Тогда, по произведения,

d(uv))= udv + vdu или udv = d(uv) – vdu.

Для выражения d(uv) первообразной, очевидно, будет uv, поэтому имеет место формула:

∫ udv = uv – ∫ vdu (8.4.)

Эта формула выражает правило интегрирования по частям . Оно приводит интегрирование выражения udv=uv”dx к интегрированию выражения vdu=vu”dx.

Пусть, например, требуется найти ∫xcosx dx. Положим u = x, dv = cosxdx, так что du=dx, v=sinx. Тогда

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x – ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем замена переменной. Но есть целые классы интегралов, например, ∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax и другие, которые вычисляются именно с помощью интегрирования по частям.

Определенный интеграл

Методы интегрирования , понятие определенного интеграла вводится следующим образом. Пусть на отрезке определена функция f(x). Разобьем отрезок [ a,b] на n частей точками a= x 0 Δ x i =x i – x i-1 . Сумма вида f(ξ i)Δ x i называется интегральной суммой, а ее предел при λ = maxΔx i → 0, если он существует и конечен, называется определенным интегралом функции f(x) от a до b и обозначается:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке , числа a и b носят название нижнего и верхнего предела интеграла .

Методы интегрирования имеют следующие свойства:

Последнее свойство называется теоремой о среднем значении .

Пусть f(x) непрерывна на . Тогда на этом отрезке существует неопределенный интеграл

∫f(x)dx = F(x) + C

и имеет место формула Ньютона-Лейбница , cвязывающая определенный интеграл с неопределенным:

F(b) – F(a). (8.6)

Геометрическая интерпретация: представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y=f(x), прямыми x = a и x = b и отрезком оси Ox.

Несобственные интегралы

Интегралы с бесконечными пределами и интегралы от разрывных (неограниченных) функций называются несобственными. Несобственные интегралы I рода – это интегралы на бесконечном промежутке, определяемые следующим образом:

(8.7)

Если этот предел существует и конечен, то называется сходящимся несобственным интегралом от f(x) на интервале [а,+ ∞), а функцию f(x) называют интегрируемой на бесконечном промежутке [а,+ ∞). В противном случае про интеграл говорят, что он не существует или расходится.

Аналогично определяются несобственные интегралы на интервалах (-∞,b] и (-∞, + ∞):

Определим понятие интеграла от неограниченной функции. Если f(x) непрерывна для всех значений x отрезка , кроме точки с, в которой f(x) имеет бесконечный разрыв, то несобственным интегралом II рода от f(x) в пределах от a до b называется сумма:

если эти пределы существуют и конечны. Обозначение:

Примеры вычисления интегралов

Пример 3. 30. Вычислить ∫dx/(x+2).

Решение. Обозначим t = x+2, тогда dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| + C .

Пример 3.31 . Найти ∫ tgxdx.

Решение.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = – ∫dcosx/cosx. Пусть t=cosx, тогда ∫ tgxdx = -∫ dt/t = – ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Пример 3.32 . Найти ∫dx/sinx

Пример 3.33. Найти .

Решение. =

.

Пример 3.34 . Найти ∫arctgxdx.

Решение. Интегрируем по частям. Обозначим u=arctgx, dv=dx. Тогда du = dx/(x 2 +1), v=x, откуда ∫arctgxdx = xarctgx – ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; так как
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Пример 3.35 . Вычислить ∫lnxdx.

Решение. Применяя формулу интегрирования по частям, получим:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Тогда ∫lnxdx = xlnx – ∫x 1/x dx =
= xlnx – ∫dx + C= xlnx – x + C.

Пример 3.36 . Вычислить ∫e x sinxdx.

Решение. Применим формулу интегрирования по частям. Обозначим u = e x , dv = sinxdx, тогда du = e x dx, v =∫sinxdx= – cosx → ∫ e x sinxdx = – e x cosx + ∫ e x cosxdx. ∫e x cosxdx также интегрируем по частям: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Имеем:
∫ e x cosxdx = e x sinx – ∫ e x sinxdx. Получили соотношение ∫e x sinxdx = – e x cosx + e x sinx – ∫ e x sinxdx, откуда 2∫e x sinx dx = – e x cosx + e x sinx + С.

Пример 3.37. Вычислить J = ∫cos(lnx)dx/x.

Решение.Так как dx/x = dlnx, то J= ∫cos(lnx)d(lnx). Заменяя lnx через t, приходим к табличному интегралу J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Пример 3.38 . Вычислить J = .

Решение. Учитывая, что = d(lnx), производим подстановку lnx = t. Тогда J = .

Пример 3.39 . Вычислить J = .

Решение. Имеем: . Поэтому =

Для того чтобы научиться решать определенные интегралы необходимо:

1) Уметь находить неопределенные интегралы.

2) Уметь вычислить определенный интеграл.

Как видите, для того чтобы освоить определенный интеграл, нужно достаточно хорошо ориентироваться в «обыкновенных» неопределенных интегралах. Поэтому если вы только-только начинаете погружаться в интегральное исчисление, и чайник еще совсем не закипел, то лучше начать с урока Неопределенный интеграл. Примеры решений .

В общем виде определенный интеграл записывается так:

Что прибавилось по сравнению с неопределенным интегралом? Прибавились пределы интегрирования .

Нижний предел интегрирования
Верхний предел интегрирования стандартно обозначается буквой .
Отрезок называется отрезком интегрирования .

Прежде чем мы перейдем к практическим примерам, небольшое «факью» по определенному интегралу.

Что такое определенный интеграл? Я бы мог вам рассказать про диаметр разбиения отрезка, предел интегральных сумм и т.д., но урок носит практический характер. Поэтому я скажу, что определенный интеграл – это ЧИСЛО. Да-да, самое что ни на есть обычное число.

Есть ли у определенного интеграла геометрический смысл? Есть. И очень хороший. Самая популярная задача – вычисление площади с помощью определенного интеграла .

Что значит решить определенный интеграл? Решить определенный интеграл – это значит, найти число.

Как решить определенный интеграл? С помощью знакомой со школы формулы Ньютона-Лейбница:

Формулу лучше переписать на отдельный листочек, она должна быть перед глазами на протяжении всего урока.

Этапы решения определенного интеграла следующие:

1) Сначала находим первообразную функцию (неопределенный интеграл). Обратите внимание, что константа в определенном интеграле никогда не добавляется . Обозначение является чисто техническим, и вертикальная палочка не несет никакого математического смысла, по сути – это просто отчёркивание. Зачем нужна сама запись ? Подготовка для применения формулы Ньютона-Лейбница.

2) Подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: .

3) Подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: .

4) Рассчитываем (без ошибок!) разность , то есть, находим число.

Всегда ли существует определенный интеграл? Нет, не всегда.

Например, интеграла не существует, поскольку отрезок интегрирования не входит в область определения подынтегральной функции (значения под квадратным корнем не могут быть отрицательными). А вот менее очевидный пример: . Такого интеграла тоже не существует, так как в точках , отрезка не существует тангенса. Кстати, кто еще не прочитал методический материал Графики и основные свойства элементарных функций – самое время сделать это сейчас. Будет здорово помогать на протяжении всего курса высшей математики.

Для того чтобы определенный интеграл вообще существовал, необходимо чтобы подынтегральная функция быланепрерывнойна отрезке интегрирования .

Из вышесказанного следует первая важная рекомендация: перед тем, как приступить к решению ЛЮБОГО определенного интеграла, нужно убедиться в том, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке интегрирования . По студенческой молодости у меня неоднократно бывал казус, когда я подолгу мучался с нахождением трудной первообразной, а когда наконец-то ее находил, то ломал голову еще над одним вопросом: «что за ерунда получилась?». В упрощенном варианте ситуация выглядит примерно так:

???!!!

Нельзя подставлять отрицательные числа под корень!

Если для решения (в контрольной работе, на зачете, экзамене) Вам предложен несуществующий интеграл вроде

то нужно дать ответ, что интеграла не существует и обосновать – почему.

Может ли определенный интеграл быть равен отрицательному числу? Может. И отрицательному числу. И нулю. Может даже получиться бесконечность, но это уже будетнесобственный интеграл , коим отведена отдельная лекция.

Может ли нижний предел интегрирования быть больше верхнего предела интегрирования? Может, и такая ситуация реально встречается на практике.

– интеграл преспокойно вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница.

Без чего не обходится высшая математика? Конечно же, без всевозможных свойств. Поэтому рассмотрим некоторые свойства определенного интеграла.

В определенном интеграле можно переставить верхний и нижний предел, сменив при этом знак:

Например, в определенном интеграле перед интегрированием целесообразно поменять пределы интегрирования на «привычный» порядок:

– в таком виде интегрировать значительно удобнее.

Как и для неопределенного интеграла, для определенного интеграла справедливы свойства линейности:

– это справедливо не только для двух, но и для любого количества функций.

В определенном интеграле можно проводить замену переменной интегрирования , правда, по сравнению с неопределенным интегралом тут есть своя специфика, о которой мы еще поговорим.

Для определенного интеграла справедлива формула интегрирования по частям :

Пример 1

Решение:

(1) Выносим константу за знак интеграла.

(2) Интегрируем по таблице с помощью самой популярной формулы . Появившуюся константу целесообразно отделить от и вынести за скобку. Делать это не обязательно, но желательно – зачем лишние вычисления?

(3) Используем формулу Ньютона-Лейбница

.

Сначала подставляем в верхний предел, затем – нижний предел. Проводим дальнейшие вычисления и получаем окончательный ответ.

Пример 2

Вычислить определенный интеграл

Это пример для самостоятельно решения, решение и ответ в конце урока.

Немного усложняем задачу:

Пример 3

Вычислить определенный интеграл

Решение:

(1) Используем свойства линейности определенного интеграла.

(2) Интегрируем по таблице, при этом все константы выносим – они не будут участвовать в подстановке верхнего и нижнего предела.

(3) Для каждого из трёх слагаемых применяем формулу Ньютона-Лейбница:

СЛАБОЕ ЗВЕНО в определенном интеграле – это ошибки вычислений и часто встречающаяся ПУТАНИЦА В ЗНАКАХ. Будьте внимательны! Особое внимание заостряю на третьем слагаемом:

– первое место в хит-параде ошибок по невнимательности, очень часто машинально пишут

(особенно, когда подстановка верхнего и нижнего предела проводится устно и не расписывается так подробно). Еще раз внимательно изучите вышерассмотренный пример.

Следует заметить, что рассмотренный способ решения определенного интеграла – не единственный. При определенном опыте, решение можно значительно сократить. Например, я сам привык решать подобные интегралы так:

Здесь я устно использовал правила линейности, устно проинтегрировал по таблице. У меня получилась всего одна скобка с отчёркиванием пределов:

(в отличие от трёх скобок в первом способе). И в «целиковую» первообразную функцию, я сначала подставил сначала 4, затем –2, опять же выполнив все действия в уме.

Какие недостатки у короткого способа решения? Здесь всё не очень хорошо с точки зрения рациональности вычислений, но лично мне всё равно – обыкновенные дроби я считаю на калькуляторе.
Кроме того, существует повышенный риск допустить ошибку в вычислениях, таким образом, студенту-чайнику лучше использовать первый способ, при «моём» способе решения точно где-нибудь потеряется знак.

Несомненными преимуществами второго способа является быстрота решения, компактность записи и тот факт, что первообразная

находится в одной скобке.

Вычисление площадей плоских фигур с помощью определённого интеграла 11 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей |

1. Основная формула для вычисления площади плоских фигур с помощью определенного интеграла

 

Рассмотрим постановку задачи о площади криволинейной трапеции.

 

Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями (рис. 1).

.

Рис. 1. Площадь криволинейной трапеции

Как мы пытались ее решить:

Первый способ.

Разбили отрезок на  одинаковых отрезков, заменили искомую площадь площадью поступенчастой линии, легко ее сосчитали и получили приближенное решение нашей задачи. Далее устремили  в пределе и

получили искомую площадь S. Ввели обозначение .

Это определенный интеграл. Вот таким образом мы пытались решить задачу. Мы знаем теперь, как приближенно ее решить, знаем обозначения для точного решения, но точного решения еще не знаем.

Затем мы получили точное решение задачи следующим образом: рис. 2:

Рис. 2. Функция S (x)

Ввели функцию . Каждому площадь под соответствующей частью кривой . Так, введенная функция удовлетворяет единственному закону, а именно:

Каждому  соответствует единственное значение .

Мы доказали, что производная этой же функции  и доказали, что точная площадь вычисляется следующим образом. Надо найти любую первообразную от функциии взять приращение этих первообразных. То есть взять первообразную в точке  и отнять первообразную в точке  И в результате мы получили формулу, которой мы будем пользоваться для вычисления площадей.

 .

 

2. Методика нахождения площади на примере

 

 

Методику нахождения площади рассмотрим сначала на относительно простом примере.

 

Пример 1.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение.

Вот искомая площадь:

Рис. 3. Площадь

Вот формула:

Это общая формула. Конкретно к нашему случаю она применима так:

Пределы интегрирования .

 

=.

Вычислили площадь криволинейной фигуры.

Ответ:

В следующей задаче площадь искомой фигуры образовывается с помощью  А именно:

 

3. Пример 2

 

 

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

 

Решение.

Посмотрим, как выглядит фигура (рис. 4).

Рис. 4. Фигура, ограниченная линиями

Формула та же самая:

В нашем случае . Итак, надо найти определенный интеграл

=-(-1)+1=1+1=2.

Искомая площадь найдена, и ответ получен.

Ответ: 2

 

4. Пример 3

 

 

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

 

Решение.

Рис. 5. Площадь фигуры, ограниченной линиями

Формула для площади та же самая:

 

В нашем случае .

Ответ:

В следующем примере ищется площадь под параболой.

 

5. Пример 4

 

 

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

 

Решение.

Схематически изобразим параболу  Корни

Рис. 6. Парабола

Применим известную формулу

И применим ее для данной функции  и пределов интегрирования

 

Искомая площадь найдена.

Ответ:

В предыдущих задачах площадь образовывалась с помощью разных кривых, но эта площадь находилась над осью . В следующей задаче наоборот.

 

6. Пример 5. Случай, если фигура находится под осью

 

 

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

 

Решение.

Посмотрим, что это за фигура. График в пределах от Π до 2Π расположен под осью Ox (рис. 7).

 

Рис. 7. График в пределах от Π до 2Π

Ясно, что если возьмем определенный интеграл, то мы получим отрицательное число.

Вычисляем.

1. Сначала вычисляем определенный интеграл от π до 2π от подынтегральной функции

Надо найти первообразную.

По таблице первообразных: .

=-1-1=-2.

2. Для того чтобы найти площадь, надо взять модуль =2.

Ответ: 2.

 

7. Пример. Общий случай для нахождения площади плоской фигуры, ограниченной двумя кривыми. Выводы

 

 

Следующее усложнение – искомая площадь расположена между двумя кривыми.

 

А именно:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (рис. 8)

 

Рис. 8. Площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение.

Итак, площадь образуют 2 кривые, одна из них может находиться под осью .

Каким образом мы будем решать эту задачу?

Во-первых, мы можем сдвинуть фигуру на такое положительное , что площадь находится над осью . Рис. 9.

Рис. 9. Сдвиг фигуры

Затем мы возьмем соответствующий определенный интеграл и найдем площадь. Искомая площадь равна разности двух площадей.

Площадь под верхней кривой  минус площадь под нижней кривой .

Каждую из площадей мы умеем находить.

Таким образом, в общем виде была поставлена задача, в общем виде получен ответ.

Ответ:

 

Обсудим и постановку задачи, и полученный важный результат.

Нам надо было найти площадь фигуры, ограниченной линиями

 .

Мы использовали известный прием: эту площадь подняли на некоторое , и это  Так вот, эту площадь теперь можно считать без введения . Правило следующее:

Площадь фигуры, ограниченной прямыми линиями  непрерывных на отрезке  и таких, что для всех  из отрезка  вычисляется по формуле, которую мы вывели:

Рассмотрим первый конкретный пример на нахождение площади между двумя линиями.

 

8. Пример 6

 

 

Найти площадь фигуры, ограниченную линиями

 

 .

Решение. Для начала построим графики этих линий и поймем, где та площадь, которую нам надо искать.

График квадратичной функции – парабола. Корни – 0, 4, ветви вниз. График

 – биссектриса первого координатного угла. Вот площадь, которую надо найти:

Рис. 10. Искомая площадь

Но для этого сначала надо найти точки пересечения и решить стандартную задачу.

1. Находим точки пересечения. Для этого решаем систему: .

Отсюда получаем квадратное уравнение относительно :

Мы нашли , то есть, пределы интегрирования. Это первое важное действие.

Теперь стандартное действие:

2. =  =()

 

Искомая площадь равна 4,5

Ответ: 4,5

 

9. Пример 7. Случай, когда часть площади плоской фигуры лежит под осью

 

 

Во втором примере часть площади находится под осью , но на методику это не влияет.

 

Пример 6.

Итак, требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение.

Сначала построим графики, посмотрим, какую площадь нам нужно найти. Рис. 11.

Первая функция – парабола, ветви вниз. График второй функции – прямая линия.

Есть две точки пересечения, их придется найти, а именно взять пределы интегрирования, и тогда будем решать задачу по знакомому нам плану.

Рис. 11. Площадь фигуры, ограниченной линиями

Первое действие – найти пределы интегрирования и второе – найти площадь.

Пределы интегрирования найдем из системы.

 

То есть, пределы интегрирования найдены.

= ()

Ответ:

Итак, мы показали, каким образом можно вычислять площади плоских фигур с помощью определенного интеграла.

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Ru.scribd.com (Источник).
2. Math5you.ru (Источник).
3. Dok.opredelim.com (Источник).

 

Домашнее задание

1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , ,
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 
3. Алгебра и начала анализа, Мордкович А. Г.: № 1030, 1033, 1037, 1038.

 

 

Использование основной теоремы для вычисления определенных интегралов

Все ресурсы AB исчисления AP

3 диагностических теста 164 практических теста Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущая 1 2 3 Следующая →

AP Calculus AB Помощь » Интегралы » Основная теорема исчисления » Использование основной теоремы для вычисления определенного интеграла

Использование основной теоремы исчисления для вычисления определенного интеграла

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Здесь мы используем основную теорему исчисления:

Здесь мы не беспокоимся о добавлении константы c, потому что мы вычисляем определенный интеграл.

Сообщить об ошибке

Оценить .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Мы можем интегрировать это без особых проблем

. Старт

. Перепишите мощность

. Интегрировать

. Оценить

. Упростить

 

Обратите внимание, что нас не просили оценивать, поэтому вам не следует пытаться использовать первую часть Фундаментальной теоремы исчисления. Это дало бы нам неправильный ответ .

Сообщить об ошибке

Используя Фундаментальную теорему исчисления и полностью упростив решение интеграла.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы решить интеграл, мы сначала должны знать, что основная теорема исчисления 

.

Поскольку   обозначает первообразную, мы должны вычислить первообразную в двух пределах интегрирования, 3 и 6.  

Чтобы найти первообразную, мы должны знать, что в интеграле .

Первообразная функции  равна , поэтому мы должны вычислить .

Согласно правилам логарифмирования, вычитание двух логарифмов равносильно получению логарифма дроби этих двух значений: 

.

Затем мы можем упростить до окончательного ответа 

Сообщить об ошибке

Используя основную теорему исчисления, решить интеграл.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы решить интеграл с помощью основной теоремы, мы должны сначала взять первообразную функции. Антипроизводная от  это . Поскольку пределы интегрирования равны 1 и 3, мы должны вычислить первообразную при этих двух значениях.

 обозначает антипроизводную.

Когда мы это сделаем, 

 и .

Следующим шагом является нахождение разницы между значениями на каждом пределе интегрирования, поскольку Основная теорема утверждает

.

Таким образом, мы вычитаем, чтобы получить окончательный ответ .

Сообщить об ошибке

Решите, используя Фундаментальную теорему исчисления.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы решить интеграл, мы сначала должны знать, что основная теорема исчисления 

.

Так как  обозначает первообразную, мы должны вычислить первообразную в двух пределах интегрирования, 0 и 3.  

Первообразная функции  равна , поэтому мы должны вычислить .

Когда мы подставляем 3 в первообразную, решение равно , а когда мы подставляем 0 в первообразную, решение равно 0.  

Чтобы найти окончательный ответ, мы должны взять разность этих двух решений, так что окончательный ответ.

Сообщить об ошибке

Решите, используя Фундаментальную теорему исчисления.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы решить интеграл, мы сначала должны знать, что основная теорема исчисления 

.

Так как обозначает первообразную, мы должны вычислить первообразную в двух пределах интегрирования, 0 и 2. оценивать .

Когда мы подставляем 3 в первообразную, решение равно , а когда мы подставляем 0 в первообразную, решение равно 0.  

Чтобы найти окончательный ответ, мы должны найти разницу между этими двумя решениями, поэтому окончательный ответ равен .

Сообщить об ошибке

Вычислить неопределенный интеграл: 

Возможные ответы:

Правильный ответ:

5 Объяснение:

 

Сначала вычислите неопределенный интеграл:

Обратите внимание, что  является производной от . Итак, приступайте к определению новой переменной: 

Теперь интеграл можно записать в терминах

Следовательно:

Когда мы перейдем к вычислению неопределенного интеграла, константа интегрирования будет проигнорирована, поскольку она будет вычтена при вычислении.

Мы можем либо вернуться к исходной переменной и оценить исходные пределы интегрирования, либо найти новые пределы интегрирования, соответствующие новой переменной. Давайте рассмотрим оба эквивалентных метода: 

 

Решение 1)

 

  поэтому последний член исчезает. Первый член сводится к  , поскольку функция тангенса равна .

 

 

Решение 2)

Мы могли бы решить и без преобразования исходной переменной. Вместо этого мы могли бы просто изменить пределы интегрирования. Используйте определение, присвоенное переменной , которое было  , а затем используйте его, чтобы определить, какое значение принимается, когда  (нижний предел) и когда  (верхний предел).

Отчет о ошибке

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Это фундаментальная теорема задачи исчисления. Поскольку производная и антипроизводная компенсируют друг друга, нам просто нужно вставить пределы в нашу функцию (с внешней переменной). Затем мы умножаем каждую на производную от оценки:

Сообщить об ошибке

Возможные ответы:

Правильный ответ:

65 9001 Объяснение:

Используя основную теорему исчисления, производная антипроизводной просто дает нам функцию с подставленными пределами, умноженную на производную соответствующих границ:

На последнем шаге мы сделали использование следующего тригонометрического тождества:

Сообщить об ошибке

Вычислить следующий неопределенный интеграл:

Возможные ответы:

Правильный ответ:

4

4

4

4

4 Пояснение:

Вычислите следующий неопределенный интеграл:

Вспомните, что мы можем разделить вычитание и сложение внутри интегралов на отдельные интегралы. Это означает, что мы можем рассмотреть нашу проблему в два этапа.

Напомним, что мы можем интегрировать любой экспоненциальный член, добавляя 1 к показателю степени и разделив на новый показатель степени.

Итак,

Далее напомним, что интеграл синуса есть отрицательный косинус. Однако у нас уже есть отрицательный синус, поэтому должен получиться положительный косинус.

Теперь мы можем объединить наши две половины, чтобы получить окончательный ответ.

Обратите внимание, что у нас есть только одна буква «с», потому что с — это просто константа, а не переменная.

Сообщить об ошибке

← Назад 1 2 3 Далее →

Уведомление об авторских правах

Все ресурсы AP Calculus AB

3 диагностических теста 164 практических теста Вопрос дня Карточки Learn by Concept

Видео урока: Основная теорема исчисления: вычисление определенных интегралов

Стенограмма видео

Основная теорема исчисление: вычисление определенных интегралов. В этом видео мы научимся вычислять определенные интегралы, используя основную теорему исчисления. Теорема обычно формулируется в две части. Для целей этого видео мы сосредоточимся на второй части. Это говорит нам о том, что если строчная буква 𝑓 — непрерывная функция на отрезке между 𝑎 и 𝑏, а заглавная 𝐹 — это любая первообразная строчной 𝑓. Здесь выражено как заглавная 𝐹 простое число из 𝑥 равно строчной 𝑓 из 𝑥. Тогда интеграл между 𝑎 и 𝑏 строчной 𝑓 из 𝑥 по отношению к 𝑥 равно прописной 𝐹 из 𝑏 минус заглавная 𝐹 из 𝑎.

Интересный момент обратите внимание, что мы сказали, что заглавная 𝐹 — это любая производная от строчной 𝑓. Это означает, что если их много первообразных, не имеет значения, какую из них мы выберем для использования нашей теоремы. Чтобы понять это, давайте подумаем вернемся к тому, что мы подразумеваем под первообразной. К настоящему времени мы должны быть знакомы с тот факт, что первая часть основной теоремы исчисления по существу говорит нам, что дифференциация и интеграция являются обратными процессами. Это означает, что мы можем найти общая форма первообразной функции, строчная буква 𝑓 из 𝑥, путем оценки неопределенный интеграл этой функции. Рассмотрим пример функция. Строчная 𝑓 одна из 𝑥 равна две 𝑥. Его первообразная, заглавная 𝐹 один из 𝑥, будет равен неопределенному интегралу от двух 𝑥 по 𝑥.

Чтобы решить эту проблему, мы используем силу правило интегрирования, повышая степень 𝑥 на единицу и деля на новый сила. Конечно, здесь мы не должны забывать чтобы добавить нашу константу интегрирования, 𝑐. Проще говоря, наш ответ записывается как 𝑥 в квадрате плюс 𝑐. Теперь эта постоянная интегрирования 𝑐 может принимать любое значение. И наше выражение по-прежнему будет одна из бесконечного числа первообразных нашей исходной функции 𝐹 одна из 𝑥. Если мы возьмем случай 𝑐 равно ноль, 𝐹 одно из 𝑥 будет просто 𝑥 в квадрате. 𝑐 равно пяти дало бы нам первообразная 𝑥 в квадрате плюс пять. 𝑐 может быть даже отрицательным 𝜋, что будет означать, что наша первообразная будет 𝑥 в квадрате минус 𝜋. Все это первообразы две 𝑥.

Учитывая, что основная теорема исчисления позволяет нам использовать любую из этих первообразных для оценки определенного интеграл, что мы делаем. Продолжим использовать наш пример функция 𝑓 одна из 𝑥 равна двум 𝑥. Что теперь мы смотрим на определенный интеграл между 𝑎 и 𝑏 этой функции. Теорема говорит нам, что это равно первообразной заглавной 𝐹 одной из 𝑏 минус заглавной 𝐹 одной из 𝑎. Мы можем произвольно выбрать один из наших первообразные, например, 𝑥 в квадрате плюс пять. Если 𝐹 одно из 𝑥 равно 𝑥 в квадрате плюс пять, то 𝐹 одно из 𝑏 равно 𝑏 в квадрате плюс пять. Аналогичные рассуждения следуют для 𝐹 один из 𝑎. Упрощая, мы видим, что существует это плюс пять и минус пять членов, которые компенсируют друг друга. И поэтому у нас осталось 𝑏 в квадрате минус 𝑎 в квадрате.

На самом деле, если бы мы использовали общий форме, которая включала бы любую константу 𝑐, произошло бы то же самое. Таким образом, независимо от константы мы использования, мы приходим к тому же результату. Учитывая этот факт, мы можем просто предпочитают полностью игнорировать постоянную интегрирования при оценке определенного интеграл. А это по сути эквивалентно к случаю, когда 𝑐 равно нулю. Если бы мы рассматривали этот случай как начать с того, что мы пришли бы к тому же ответу, но с меньшим количеством шагов за работой.

Давайте теперь посмотрим на пример нашего теорема на практике.

Пусть 𝑓 из 𝑥 равно шести 𝑥 в квадрате плюс один. Оцените определенный интеграл от 𝑓 от 𝑥 равно двум до 𝑥 равно трем.

Этот вопрос нам задали для вычисления определенного интеграла, который в стандартных обозначениях выглядел бы как это. Мы видим, что подынтегральная функция является нашей функция 𝑓 из 𝑥. А пределы интегрирования равны два и три, как указано в вопросе. Чтобы вычислить этот определенный интеграл, мы собираемся использовать вторую часть фундаментальной теоремы исчисления. Это говорит нам о том, что если строчная буква 𝑓 является непрерывной функцией на отрезке между 𝑎 и 𝑏 и заглавной 𝐹 простое число 𝑥 равно строчному 𝑓 числа 𝑥. Другими словами, столица 𝐹 — это первообразная строчной 𝑓. Тогда интеграл между 𝑎 и 𝑏 строчной буквы 𝑓 из 𝑥 по отношению к 𝑥 равно заглавной 𝐹 из 𝑏 минус заглавная 𝐹 из 𝑎.

Теперь применим эту теорему к решить нашу проблему. Наша функция, строчная буква 𝑓 из 𝑥, равно шести 𝑥 в квадрате плюс один. Чтобы найти эту первообразную, заглавная 𝐹 из 𝑥, мы можем интегрировать строчные 𝑓 из 𝑥. Если применить правило мощности интегрирование, повышая мощность 𝑥 в каждом из наших терминов, а затем деля на новой мощности, мы получаем ответ шесть 𝑥 в кубе на три плюс 𝑥. И мы также добавляем нашу константу интеграция 𝑐. В этот момент мы помним, что фундаментальная теорема исчисления позволяет нам использовать любую первообразную, что означает 𝑐 может принимать любое значение. Для нас имеет смысл выбрать самый простой возможный случай, когда 𝑐 равно нулю. По сути, это означает, что мы можем игнорировать эту константу. Упрощая, первообразная то, что мы будем использовать, равно двум 𝑥 в кубе плюс 𝑥. Отлично. Положим эту первообразную на одну сторону и вернемся к нашему первоначальному расчету.

Вопрос задал нам вычислить этот определенный интеграл. Наш верхний предел интегрирования равен три. И наш нижний предел равен двум. Основная теорема исчисления затем говорит нам, что этот интеграл равен капиталу 𝐹 трех минус капитал 𝐹 числа два. Теперь, поскольку мы только что нашли прописная 𝐹 из 𝑥, наша первообразная, мы можем подставить значения трех и два в эту функцию. После того, как мы ввели эти значения, мы можем выполнить несколько упрощений для нашего нового выражения. После проработки этих упрощения, мы приходим к ответу 39. На этом шаге мы завершили вопрос. Определенный интеграл, заданный в вопрос оценивается как 39. Мы вычислили наш интеграл, используя первообразная данной функции 𝐹 от 𝑥. И инструмент, который мы использовали, чтобы помочь нам была вторая часть основной теоремы исчисления.

Хорошо, прежде чем двигаться дальше, быстро слово об обозначении. Учитывая определенный интеграл между 𝑎 и 𝑏 функции 𝑓 от 𝑥 по отношению к 𝑥, очень часто вы увидите следующее шаг записывается в следующем виде. С первообразной данная функция написана в скобках так и пределы интегрирования переносятся к правой скобке. И это просто сокращение. Это способ выразить первообразную как функцию, прежде чем мы подставим в наши пределы интегрирования и оценивать. Это эквивалентно тому, что мы должны теперь узнайте, что такое заглавная 𝐹 из 𝑏 минус заглавная 𝐹 из 𝑎. Вы почти всегда будете видеть этот шаг, так как это очень полезное сокращение, которое помогает упорядочить нашу работу.

Оглядываясь назад на наши предыдущие пример функции, 𝑓 один из 𝑥 равен двум 𝑥. Если бы мы рассмотрели определенное интеграл между одной и тремя этой функции по 𝑥, наш следующий шаг будет выглядеть примерно так, с первообразной 𝑓 одной из 𝑥 в скобках, как показано. Затем мы продолжили бы нашу оценку, подставив три и один, пределы интегрирования. И мы в конце концов пришли к ответу из восьми.

Давайте рассмотрим пример вопроса используя это обозначение.

Вычислить интеграл между нулем и два из двух грех 𝑥 минус три 𝑒 к 𝑥 по отношению к 𝑥.

Чтобы ответить на этот вопрос, мы будем использовать вторую часть основной теоремы исчисления. Это говорит нам о том, что если строчная буква 𝑓 — непрерывная функция на отрезке между 𝑎 и 𝑏, а заглавная 𝐹 — это любая первообразная строчной 𝑓. Тогда интеграл между 𝑎 и 𝑏 строчной буквы 𝑓 из 𝑥 по отношению к 𝑥 равно заглавной 𝐹 из 𝑏 минус заглавная 𝐹 из 𝑎. Возвращаясь к нашему вопросу, первое, что мы могли бы заметить, это то, что функция нижнего регистра 𝑓, которая является нашей подынтегральная функция состоит из двух разных членов. Первый термин предполагает синус тригонометрической функции. А второй предполагает экспоненциальный 𝑒. Теперь мы должны быть знакомы с тот факт, что и тригонометрические, и экспоненциальные функции этого вида непрерывны по всему набору действительных чисел. Таким образом, мы выполнили критерии того, что наша функция 𝑓 должна быть непрерывной на отрезке между 𝑎 и 𝑏, что в нашем случае является замкнутым интервалом между нулем и двумя.

Теперь, учитывая, что у нас есть два терминах, мы могли бы обнаружить, что наша работа становится яснее, если мы разделим их на отдельные интегралы. Мы бы сделали это так, не забывая сохранять пределы интегрирования одинаковыми для обоих терминов. Теперь мы можем оценить каждое из этих интегралы отдельно. Первообразная двух грехов 𝑥 равна отрицательные два cos 𝑥. И первообразная отрицательного три 𝑒 к 𝑥 отрицательно три 𝑒 к 𝑥. Конечно, помните, мы можем игнорировать постоянная интегрирования в обоих случаях, так как мы работаем с определенным интегралы.

Здесь отметим, что мы выразили наша первообразная в скобках, с переносом пределов интегрирования на правая скобка в обоих случаях. Учитывая, что обе эти скобки имеют одинаковые пределы интегрирования, мы можем просто их объединить. Теперь вы могли заметить, что мы можно было бы перейти непосредственно от нашего исходного интеграла к этому шагу, обрабатывая каждый из условия индивидуально. Вместо того, чтобы разбивать наш интеграл на два, а затем рекомбинируя, мы просто нашли бы первообразную каждого наших условий. Однако, если вы не уверены, нет ничего плохого в том, чтобы написать метод полностью.

Чтобы продолжить наш вопрос, мы теперь подставляем в пределах нашего интегрирования, которые равны нулю и двум. Затем мы приходим к следующему выражение. С нашим первым набором скобок, нет необходимости в упрощениях. Так что мы можем просто оставить это. Для второго набора скобок мы могли бы вспомнить, что cos нуля равен единице. Итак, минус два, потому что ноль равен к минус два. Наряду с этим, 𝑒 в степени ноль тоже единица. Итак, минус три 𝑒 в степени нуля это минус три. Наш второй набор скобок поэтому становится минус два минус три, что составляет минус пять. Но для нашего окончательного ответа мы вычитая это. Так что у нас остался положительный результат пять. И вот мы подошли к финалу отвечать. Определенный интеграл, заданный в вопрос оценивается как минус два, потому что два минус три 𝑒 в квадрате плюс пять.

Хорошо, если мы вернемся к фундаментальной теоремы исчисления, еще одним важным условием, которое следует учитывать, является непрерывность строчной буквы 𝑓, для которой мы интегрируем. Помните, что теорема утверждает что наша функция должна быть непрерывной на отрезке между 𝑎 и 𝑏. Эти 𝑎 и 𝑏 образуют пределы наш интеграл. Если строчная 𝑓 не является непрерывной на этом интервале, то нельзя с уверенностью сказать, что это соотношение истинный. Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим функция один над квадратным корнем из 𝑥. Если бы мы построили график этой функции, это может выглядеть примерно так. Теперь рассмотрим определенное интеграл нашей функции от единицы до двойки по 𝑥. Это можно интерпретировать как площадь под кривой между единицей и двойкой, как показано на нашем графике.

Чтобы оценить это, мы могли бы захотеть перевыразите единицу над квадратным корнем из 𝑥, чтобы мощность 𝑥 была в большей степени управляемая форма. Затем мы используем знакомое правило мощности интеграции. А мы бы упростили. Если бы мы продолжили, мы бы не нашли проблемы. И мы достигнем числового отвечать. Хорошо, а что произойдет, если нас попросили оценить определенный интеграл между отрицательной единицей и единицей? Здесь мы можем столкнуться с некоторые проблемы. Из нашего графика должно быть ясно что 𝑓 из 𝑥 не определено, когда 𝑥 меньше или равно нулю. Пытаясь представить площадь под наша кривая между этими границами была бы бессмысленной. Поскольку наша функция не определена над частью замкнутого интервала между отрицательной единицей и единицей нельзя сказать, быть непрерывным. Учитывая этот факт, нет смысла в продолжении, так как мы не можем использовать основную теорему исчисления для оценки этот интеграл.

Давайте рассмотрим пример проиллюстрировать это.

Вычислите интеграл между четырьмя и девять отрицательных, умноженных на квадратный корень из 𝑥 по отношению к 𝑥.

Этот вопрос нам задали вычислить определенный интеграл. С вопросами такого типа он может иногда бывает полезно переместить постоянные факторы, такие как отрицательная двойка, из внутри подынтегральной функции наружу. Далее, мы также можем найти это полезным чтобы перевыразить наш квадратный корень из 𝑥 как 𝑥 в степени половины или 𝑥 в степени 0,5. И мы скоро увидим, почему. Чтобы продвинуться с этим вопросом, мы собираемся использовать вторую часть фундаментальной теоремы исчисления. Это дает нам возможность оценить определенные интегралы, используя первообразную функции, которая образует подынтегральная функция

Здесь мы отмечаем, что теорема утверждает, что функция, строчная буква 𝑓, должна быть непрерывной на отрезке между 𝑎 и 𝑏. 𝑎 и 𝑏 — пределы интеграции, которых в нашем случае четыре и девять. Теперь функция, которую мы сейчас работа со строчной 𝑓 — это квадратный корень из 𝑥, который мы только что выразили как 𝑥 в половинной степени. Эта функция не непрерывна по всему набору действительных чисел, а непрерывен только тогда, когда 𝑥 больше или равно нулю. К счастью, оба предела нашего определенный интеграл, четыре и девять, больше или равен нулю. И поэтому мы можем сказать, что квадратный корень из 𝑥 непрерывен на отрезке между четырьмя и девять. Это значит, что все в порядке использовать нашу теорему.

Чтобы продолжить нашу оценку, мы используйте степенное правило интегрирования, увеличив степень 𝑥 на единицу и разделив на новая власть. Первопроизводная 𝑥 к степень половины, следовательно, два больше, чем три раза 𝑥 в степени три больше два. Опять же, мы собираемся изменить это постоянный множитель за скобками, чтобы облегчить наши расчеты. Далее подставляем в наши пределы интеграции. Сейчас, на данном этапе, может быть полезнее увидеть нашу силу трех над двумя, выраженную в виде куба квадрата корень. Удобно, девять и четыре оба квадратных числа. И мы можем упростить наши скобки будет три в кубе минус два в кубе. Теперь мы продвигаемся вперед с еще несколькими упрощения. И в конце концов мы приходим к ответу отрицательного 76 над тремя. Это окончательный ответ на наш вопрос.

Мы оценили данный определенный интеграл, используя вторую часть основной теоремы исчисления, чтобы помочь нас. По пути мы обязательно подтверждаем, что наша функция строчными буквами 𝑓 была непрерывной на отрезке между пределами интегрирования. Последний момент, который мы не действительно идти в ранее. Мы можем сказать, что квадрат корень из 𝑥 не является непрерывным, когда 𝑥 меньше нуля, потому что на самом деле квадрат корень 𝑥 не определен над действительными числами, когда 𝑥 меньше нуля. И, конечно же, функция не может быть непрерывной в точках, где она не определена.

Теперь идем дальше. Еще одна вещь, которую стоит учитывать, это случаи кусочных функций или случаи, связанные с абсолютным значением функция. Причина, по которой нам может понадобиться подумать внимательно относиться к этим функциям, заключается в том, что они могут рассматриваться как имеющие различные поведения в разных регионах своей области.

Давайте посмотрим, как с этим справиться в следующий пример.

Вычисление определенного интеграла между отрицательными четырьмя и пятью абсолютного значения 𝑥 минус два по отношению к 𝑥.

Этот вопрос нам задали для вычисления определенного интеграла функции, которую мы будем называть строчной буквой 𝑓. Эта функция является абсолютным значением или модуль 𝑥 минус два. Теперь для любого действительного числа мы можем выразить функцию абсолютного значения как кусочную функцию. Мы можем сделать это, вспомнив, что если 𝑥 минус два дает отрицательное число или абсолютное значение, мы умножим это отрицательным, чтобы превратить его в положительное число. Итак, когда 𝑥 минус два больше или равно нулю, наша функция просто равна 𝑥 минус два. Но когда 𝑥 минус два меньше, чем ноль, наша функция умножается на отрицательную единицу. Так что это минус 𝑥 минус два. Конечно, наверное, больше нам полезно изолировать 𝑥 на одной стороне этих неравенств. Мы делаем это, добавляя два к обоим стороны. Теперь, это также может быть полезно для нас чтобы упростить это как минус 𝑥 плюс два.

Хорошо. Теперь, когда мы повторно выразили нашу кусочно, мы можем представить, как это могло бы выглядеть графически. Здесь мы видим график. Хотя масштаб не точен, и график, и кусочное определение должны показать нам разницу в поведение нашей функции по обе стороны от 𝑥 равно двум. Мы видим острый угол в точке два, ноль на нашем графике. На самом деле, мы бы сказали, что наша функция не дифференцируема, когда 𝑥 равно двум. Но он непрерывен, когда 𝑥 равно два. Это важно, потому что для того, чтобы чтобы вычислить наш определенный интеграл, мы будем использовать вторую часть основного теорема исчисления. Это позволяет нам оценить определенный интеграл с использованием первообразной в верхнем регистре 𝐹 функции, которая образует наше подынтегральное выражение, строчная буква 𝑓. Условием для этого является то, что нижний регистр 𝑓 должен быть непрерывным на замкнутом интервале между 𝑎 и 𝑏, которые пределы интегрирования. Учитывая, что наша функция в нижнем регистре 𝑓 является непрерывным, когда 𝑥 равно двум, мы можем заключить, что оно непрерывна по всему множеству действительных чисел. А значит, условие непрерывности удовлетворен.

Хорошо, на оценку определенного интеграл. Мы уже сказали, что наша функция ведет себя по-разному по обе стороны от линии 𝑥 равно двум. Полезным первым шагом для нас будет разбить наш интеграл на две части. Первый идет от самого низкого связанный, отрицательное четыре до двух, а второй – от двух до пяти. Поскольку верхний предел нашего первого интеграл совпадает с нижним пределом нашего второго интеграла, сумма этих двух будет таким же, как наш исходный интеграл. Теперь, когда мы разделили наш интеграл на две части, мы можем заменить две разные подфункции, которые мы определяется с использованием кусочного определения абсолютного значения 𝑥 минус два. Мы можем понять это по рассматривая наши интегралы как площадь под этими линиями. От минус четырех до двух, наш функция ведет себя как минус 𝑥 плюс два. А с двух до пяти наша функция ведет себя как 𝑥 минус два. Мы можем интерпретировать сумму этих две площади совпадают с нашим первоначальным интегралом.

Отсюда мы можем двигаться вперед, используя знакомое степенное правило интегрирования. Мы повышаем мощность 𝑥 для каждого наших условий и разделить на новую власть. Давайте приберёмся, чтобы освободить место для следующие шаги. Здесь мы ввели пределы оба интеграла. И немного цвета было добавлено к помогите следить за расчетом. Нам нужно пройти еще несколько шаги упрощения. Опять же, мы расчистим место. А мы продолжим упрощать. В конце концов, мы достигаем точки, когда мы выразим все в терминах половин. И мы приходим к окончательному ответу сорок пять таймов или 45 больше двух. На этом мы завершили нашу вопрос. Мы сделали это, сначала выразив абсолютное значение 𝑥 минус два как кусочная функция. Затем, разделив наш исходный на две части и используя вторую часть основной теоремы исчисление, чтобы помочь нам оценить каждую отдельную часть.

Хорошо. Чтобы закончить, давайте пройдемся некоторые ключевые моменты. Вторая часть основного Теорема исчисления говорит нам, является ли строчная 𝑓 непрерывной функцией на замкнутом интервал между 𝑎 и 𝑏 и если заглавная 𝐹 является любой первообразной строчной 𝑓, который мы можем выразить как заглавное 𝐹 простое число 𝑥 равно строчному 𝑓 из 𝑥. Тогда интеграл между 𝑎 и 𝑏 строчной буквы 𝑓 из 𝑥 по отношению к 𝑥 равно заглавной 𝐹 из 𝑏 минус заглавная 𝐹 из 𝑎. Помните, мы можем использовать любой первообразная строчной буквы 𝑓 функции. Это означает, что мы можем принять решение случае, что делает наши расчеты максимально простыми. Когда 𝑐, наша константа интеграции, равна нулю, что, по сути, позволяет нам игнорировать это.

Часто при задании определенного интеграла, нашим следующим шагом будет запись первообразной в скобках с пределы интегрирования переносятся на правую скобку. Это способ выразить первообразную как функцию до ввода пределов интегрирования. Но это, как правило, промежуточный вариант. шаг на пути к столице 𝐹 из 𝑏 минус столица 𝐹 из 𝑎. Чтобы использовать эту теорему, не забудьте проверить, что строчная 𝑓 непрерывна и действительно определена на замкнутом интервал между 𝑎 и 𝑏. Если это не так, то интеграция может потерпеть неудачу. Наконец, кусочные функции или функции, включающие абсолютные значения, могут потребовать от вас разбить интеграл на несколько частей, так как эти типы функций ведут себя по-разному в разных области своих владений.