Расчет скорости и ускорения точки по уравнениям ее движения
Другие примеры решений >
Помощь с решением задач >
Решение
Расчет траектории движения точки
Уравнения движения можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки.
Наш видеоурок по теме:
Чтобы узнать вид траектории в координатной форме, надо получить прямую зависимость между переменными x и y, для этого избавимся от параметра времени t, выразив его, например, из первого уравнения и подставив во второе.
Получилось квадратное уравнение. То есть точка движется по параболе.
Построим ее рассчитав несколько её точек.
Построение траектории движения точки
Положение точки на траектории
Определим положения точки в начале движения и в заданный момент времени.
Для этого в исходные уравнения подставляем соответственно сначала 0
потом половину секунды.
Положение точки на ее траектории в заданный момент обозначим буквой M, и все остальные параметры будем рассчитывать для неё.
Расет скорости точки
Направление и величину скорости точки определим как векторную сумму её проекций на оси координат.
Здесь i, j — орты осей x и y.
vx, vy — проекции вектора скорости на оси координат.
Проекции вектора скорости получим, взяв первые производные по времени t от соответствующих заданных уравнений движения точки.
Далее выбрав масштаб, из точки M последовательно и с учетом знака, откладываем оба вектора.
Проекции вектора скорости на оси координат
Сам вектор скорости получим, соединив точку M с концом второго вектора и направив его по ходу движения точки.
Здесь надо отметить, что вектор скорости всегда должен располагаться по касательной к траектории. Любое другое положение будет указывать на ошибки в расчетах.
Рассчитаем модуль вектора скорости
Расчет ускорений точки
Проекции полного ускорения точки на оси координат определяются как вторая производная от исходных уравнений движения точки.
В этом примере, горизонтальная проекция ускорения оказалась равной нулю, поэтому его модуль и направление будут совпадать с вертикальной.
Проекции скорости точки на оси координат
Касательная составляющая полного ускорения это производная скорости точки по времени.
Ее можно рассчитать по этой формуле.
Вектор касательного ускорения, если оно, конечно, есть, всегда направлен вдоль вектора скорости.
Нормальное, касательное и полное ускорения точки
Положительная величина говорит об ускоренном движении точки и тогда направления скорости и касательного ускорения совпадают.
В противном случае они разнонаправлены, и движение точки замедляется.
Модуль нормального ускорения определим по формуле Пифагора, так как векторы касательного и центростремительного ускорений всегда взаимно перпендикулярны.
Расчет радиуса кривизны траектории
Осталось найти только радиус кривизны траектории в точке M, который равен отношению квадрата скорости к модулю нормального ускорения.
Результаты расчетов
На рисунке показано положение точки M в заданный момент времени и векторы скорости и ускорений в выбранном масштабе.
Скорость, ускорение и радиус кривизны траектории в заданный момент времени
Вектор v строим по составляющим vx и vy, причем этот вектор должен по направлению совпадать с касательной к траектории.
Вектор a строим по составляющим ax и ay и затем раскладываем на составляющие векторы aτ и an. Совпадение величин aτ и an, найденных из чертежа, с их значениями, полученными аналитически, служит критерием правильности решения.
Другие примеры решения задач >>
Распределение по группам и краткая памятка студенту младших курсов по организации учебного процесса Дорогие друзья, 1 сентября в НГАСУ (Сибстрин) начнется новый учебный год в традиционной форме, занятия будут проводиться максимально в очном формате с соблюдением эпидемиологических требований БЕЗ ОГРАНИЧЕНИЙ ПО ВАКЦИНАЦИИ ОТ COVID-19. Поздравляем студентов, профессорско-преподавательский состав и сотрудников университета с предстоящим Днём знаний и началом учебного года! Заселение в общежития НГАСУ(Сибстрин) студентов 1, 2, 3, 4, 5, 6 курсов курса будет проводиться с 28-31 августа. Комиссия по заселению будет находиться на площади университета в помещении шатра,там же будут размещены распределенные по общежитиям списки обучающихся. Вход в общежитие разрешен только обучающимся, без сопровождения родственников. Список близлижайших гостиниц для сопровождающих. |
Начало занятий в университете Поздравляем студентов, профессорско-преподавательский состав и сотрудников с предстоящим Днем знаний и началом учебного года! Занятия студентов очной формы обучения всех направлений подготовки и специальности 2-6 курсов начинаются 1 сентября по расписанию 1-ой недели. 1-го сентября состоятся торжественные собрания для студентов 1-го курса (занятий по расписанию в этот день для 1 курса не будет). Начало занятий студентов 1-го курса со 2 сентября. Списки групп будут размещены на сайте университета 27.08.2021 в первой половине дня.Расписание занятий можно найти на сайте университета в разделе «Студентам», а также в учебных корпусах университета на стендах расписаний. В связи с возможной заменой преподавателей в потоках и группах просим преподавателей и студентов после 1 сентября 2021 года проводить регулярную сверку расписания занятий. Информация об организационных собраниях студентов и расписании очно-заочной и заочной форм обучения … |
Открыт прием заявок на VIII Международный профессиональный конкурс НОПРИЗ |
Касательное ускорение и нормальное ускорение
Так как вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости т Мп, а бинормаль Mb перпендикулярна к соприкасающейся плоскости, то проекция ускорения на бинормаль всегда равна нулю (a = 0), и при проецировании ускорения на три естественные оси мы имеем только две проекции касательное ускорение и нормальное ускорение. [c.154]При разложении ускорения по осям естественного трехгранника получаем две составляющие (касательное ускорение и нормальное ускорение), как и при векторном способе задания движения. Однако нри естественном способе задания движения касательное ускорение понимают несколько иначе, чем при других способах задания движения.
Если бы мгновенный центр вращения оставался неподвижным, т. е. ы=0, то ускорения точек твердого тела определялись бы как ускорения во вращательном движении твердого тела. При этом касательное ускорение и нормальное ускорение уп можно задать проекциями на неподвижные оси координат [c.104]
Касательное ускорение и нормальное ускорение [c.175]
КАСАТЕЛЬНОЕ УСКОРЕНИЕ И НОРМАЛЬНОЕ УСКОРЕНИЕ [c.177]
Ускорение этой точки складывается из нормального и касательного ускорений. Величина нормального ускорения [c.282]
Определение касательного (тангенциального) и нормального ускорений точки при координатном способе задания движения [c.42]
Если относительное и переносное движения заданы в естественной форме, то для определения ускорений приходится сначала определять их нормальную и касательную составляющие. Так, для определения относительного ускорения надо определить относительное касательное н относительное нормальное ускорения, а уж потом по формулам (20) и (19) — полное относительное ускорение. Аналогично для определения переносного ускорения определяют переносные касательное и нормальное ускорения, а затем полное переносное ускорение. Для получения полного абсолютного ускорения нужно взять геометрическую сумму полного относительного и полного переносного ускорений, которые составляют между собой, вообще говоря, угол, отличный от прямого.
Решение. Из рассмотрения треугольника Л1].4В (рис. 1.106) видно, что между касательным ац и нормальным ускорениями точки /И существует [c.115]
Касательное (тангенциальное) и нормальное ускорения. Несвободное движение. [c.90]
КАСАТЕЛЬНОЕ (ТАНГЕНЦИАЛЬНОЕ) И НОРМАЛЬНОЕ УСКОРЕНИЯ [ГЛ. V
В момент времени I скорость точки V, ее касательное ускорение а , нормальное ускорение а и полное ускорение а. Для [c.87]
К вариантам 25—32.) Вращение колеса вокруг неподвижной оси определяется уравнением ф = ++ В момент времени t скорость точки обода колеса равна V, ее касательное ускорение а/, нормальное ускорение и полное ускорение а (табл. 1.21). Для соответствующего варианта найти числовые значения величин, не указанные в табл. 1.21, и построить графики скорости и касательного ускорения точки обода колеса. [c.88]
Вектор ускорения представлен геометрической суммой двух составляющих — касательного ускорения и нормального [c.294]
Для определения ускорения точки в том случае, когда сё движение зад о естественным способом, нужно вектор а разложить па два составляющих ускорения касательное (тангенциальное) ускорение и нормальное ускорение а . Величины этих составляющих ускорений равны [c.370]
Найти величину и направление скорости, касательное, нормальное н полное ускорения точки в момент i = 5 с. Построить также графики скорости, касательного и нормального ускорений. [c.101]
Уравнения движения пальца кривошипа дизеля в период пуска имеют вид л = 75 eos у = 75 sin (х, у — в сантиметрах, t — в секундах). Найти скорость, касательное и нормальное ускорения пальца. [c.101]
КАСАТЕЛЬНОЕ И НОРМАЛЬНОЕ УСКОРЕНИЯ ТОЧКИ [c.108]
Таким образом, мы доказали, что проекция ускорения точки на касательную равна первой производной от числового значения скорости или второй производной от расстояния (криволинейной координаты) S по времени, а проекция ускорения на главную нормаль равна квадрату скорости, деленному на радиус кривизны траектории в данной точке кривой] проекция ускорения на бинормаль равна нулю. Это одна из важных теорем кинематики. Величины Ох и йп называют касательным и нормальным ускорениями точки. [c.109]
Покажем, как можно найти касательное и нормальное ускорения точки, когда движение задано координатным способом, например, уравнениями (4). Для этого по формулам (12) — (15) находим v я а. Беря производную по времени от найденной скорости у, можно определить a —do dt. Но обычно это проще делать иначе. [c.114]
А н k — постоянные величины). Найти скорость, касательное и нормальное ускорения груза и те положения, в которых эти величины обращаются в нуль. [c.114]
Из закона движения следует, что груз совершает вдоль траектории гармонические колебания с дуговой амплитудой А. В крайних положениях (а точках В, и Bj) sin kt= 1, а следовательно, os kt=Q. Поэтому в точках и скорость и нормальное ускорение обращаются в нуль касательное же ускорение имеет здесь наибольшее по модулю значение [c.114]
Касательное и нормальное ускорения точки [c.175]
И также значения Ug = 15 см/с и Oij = 42 см/с. Радиус окружности — траектории точки / = 150 см. Определим касательное и нормальное ускорения точки по формулам (73.8) и (73.5) и полное ускорение точки по формуле (73.7) [c.177]
Определяем касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны траектории. Касательное ускорение определяем по формуле (73.8) [c.189]
Что характеризуют собой касательное и нормальное ускорения точки [c.190]
При каком движении точки равно нулю касательное ускорение и при каком — нормальное ускорение [c.190]
При неравномерном криволинейном относительном движении относительное ускорение точки Wr состоит из касательного и нормального ускорений [c.310]
Соединим точку М плоской фигуры с мгновенным центром скоростей Р н мгновенным центром ускорений Q отрезками РМ и QM, затем разложим ускорение точки w на составляюш,ие один раз на касательное ускорение и нормальное ускорение w , а другой раз на враш,ательное ускорение wqm и центростремительное ускорениеШум го враш,енни фигуры вокруг мгновенного центра ускорений Q. Касательное ускорение Wt и нормальное ускорение направлены по касательной и главной нормали к траектории точки М, т. е. перпендикулярно к отрезку РМ и вдоль этого отрезка. [c.257]
Ускорение этой точки складывается из нормалыгого и касательного ускорений. Модуль нормального ускорения равен [c.425]
Точка движется но радиусу диска согласно уравнению г = ае , где a,k — постоянные величины. Диск вращается вокруг оси, перпендикулярной его плоскости н нроходяиеей через центр, согласно уравнению ф = Л/. Определить абсолютную скорость, абсолютное ускорение, касательное и нормальное ускорения точки. [c.174]
Найти траекторию, скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны траектории в любом положении, выразиа их через скорость в этом положении. [c.115]
Если полюс А движется не прямолинейно, то его ускорение можно тоже представить как сумму касательной а и нормальной а Х сост-авляющих, тогда [c.141]
В том случае, если требуется определить касательное и нормальное ускорения движения точки, заданного уравнениями движения (65.1), то сначала по формулам (68.2) и (71.3) определяют модул1с скорости и ускорения точки [c.177]
До определе[ ия нормального ускорения точки найдем модуль ее касательного ускорепил по ( Ор.муле (73.8) [c.188]
Пример 59. Точка движется с иостояииым тангенциальным ускорением а по окружности радиуса без начальной скорости. Через сколько секунд после начала движения касательное и нормальное ускорения станут численно равны между собой [c.157]
Определить и построить на чертеже траекторию точки
Определить и построить на чертеже траекторию точки, показав на ней ее положении в начальный момент времени (t = 0) и в момент времени (t = t1). 2. Для момента времени t = t1 определить и построить на чертеже: − скорость и ускорение точки; − касательное и нормальное ускорения. 3. Установить характер движения точки (ускоренное, замедленное). 4. Определить радиус кривизны траектории точки в момент времени t = t1.
Дано:
Уравнения движения являются параметрическими уравнениями траектории точки М. Чтобы получить уравнение траектории в обычной координатной форме, исключим время t из уравнений движения.
Из условия траектория точки лежит в плоскости параллельной плоскости xy.
Для определения скорости точки находим проекции скорости на оси координат:
Для момента времени с
м/с;
Аналогично проекции ускорения точки
Для момента времени с
м/с2;
Касательное ускорение находим путем дифференцирования модуля скорости
м/с2
Знак “+” при dV/dt показывает, что движение точки ускоренное и, следовательно, направления совпадают.
Нормальное ускорение точки: м/с2.
Радиус кривизны траектории в той точке, где при t = 1 с находится точка М:
м.
Строим траекторию в плоскости параллельной плоскости xy. (рис.) и показываем на ней положение точки М в заданный момент времени. Вектор строим по составляющим , причем он направлен по касательной к траектории точки. Вектор находим как по составляющим , так и по .
З А Д А Н И Е К3
ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Цель − в положении механизма, указанном на чертеже, соответствующем номеру варианта и заданном углом ϕ, определить аналитически и построить на чертеже: 1) положение мгновенных центров скоростей всех звеньев, совершающих плоскопараллельное движение; 2) скорости всех точек механизма; 3) угловые скорости всех звеньев; 4) ускорение точки A; 5) ускорения других точек механизма (по указанию преподавателя) методом полюса; 6) угловые ускорения соответствующих звеньев; 7) касательное и нормальное ускорения точки B; 8) установить характер движения точки B (ускоренное, замедленное, мгновенная остановка).
Определение скоростей точек и угловых скоростей звеньев.
Скорость точки А м/с. направлена перпендикулярно ОА в сторону вращения звена ОА. Скорость точки В направлена перпендикулярно О1В. Тогда по теореме о скоростях твердого тала имеем м/с. Мгновенный центр скоростей звена АВ находится в бесконечности. Следовательно звено АВ совершает поступательное движение и м/с.Угловая скорость звена О1В с-1
(Траектория движения точки Е неопределенна и ее скорость и ускорение найти невозможно)
Определение ускорения точки А.
Ускорение точки А складывается из нормального и тангенциального ускорений Где м/с2. Направлено от А к О
м/с2. Так как
По теореме об ускорениях твердого тела имеем или в развернутом виде(*)
Определим входящие в равенство (*) величины. и определены выше по величине и направлению.
м/с2.
направлено перпендикулярно АВ.
м/с2. направлено от В к О1
направлено перпендикулярно О1В
Таким образом в равенстве (*) неизвестны только величины и
Спроецируем равенство (*) на оси координат х – направление АВ и у – перпендикулярное АВ.
м/с2.
м/с2.
Угловое ускорение звена АВ рад/с2.
Аналогично для точки М имеем
(**)
Определим входящие в равенство (*) величины. и определены выше по величине и направлению.
м/с2.
м/с2. направлено перпендикулярно АВ.
Спроецируем равенство (**) на оси координат х – направление АВ и у – перпендикулярное АВ.
м/с2.
м/с2.
З А Д А Н И Е К4
ДВИЖЕНИЕ
ТОЧКИ ОТНОСИТЕЛЬНО ДВУХ СИСТЕМ ОТСЧЕТА, ПЕРЕМЕЩАЮЩИХСЯ ОДНА ОТНОСИТЕЛЬНО ДРУГОЙ
Цель − определить скорость и ускорение точки по отношению к основной (неподвижной) системе отсчета.
Диск D вращается вокруг неподвижной оси Oz так, что уравнение её вращательного движения имеет вид:, где k – заданная постоянная величина. По пластинке, по дуге ABC окружности радиусом R, движется точка M так, что траекторная координата этого движения изменяется согласно уравнению , где a, b, c – заданные постоянные в
Часть работы скрыты для сохранения уникальности. Зарегистрируйся и получи фрагменты + бесплатный расчет стоимости выполнения уникальной работ на почту.
еличины (траекторная координата отсчитывается от точки H). Определить скорость и ускорение точки M относительно неподвижной системы отсчёта Oxyz в момент времени t = t1.
Дано: рад; м; м; м; с
Определим где будет находится точка М в момент времени t1 = 1 с
Определим сначала положение точки Н
НМ = см угол поворота точки по окружности следовательно точка М совпадает с точкой С
Определение абсолютной скорости точки
Абсолютная скорость точки (1)
Относительная скорость
При t1 =1 c см/с
Переносная скорость Где
Следовательно для момента времени t1 =1с
см/с направлена перпендикулярно ОМ
Так как относительная и переносная скорости взаимно перпендикулярны то абсолютная скорость точки М см/с
Показываем найденные скорости на рисунке
Определение абсолютного ускорения
Абсолютное ускорение определяется соотношением
(2)
Определим входящие в равенство (2) величины при t1 = 1 c
см/с2 см/с2 направлено к центру окружности
Где рад/с2. Тогда см /с2 см/с2
Кориолисово ускорение так как угол между относительной скоростью и вектором угловой скорости ( осью вращения) равен , то
м/с2 Направление вектора кориолисова ускорения найдем по правилу Журавского. Cпроецировав на оси координат получим
см/с2
см/с2.
см/с2.
м/с2
ElenaNikSm 5.0
Ключевой опыт: – научные статьи (написание и редактирование), – отчеты о выполнении научно-исследовательских работ (НИР, НИОКР), – маркетинговые исследования (исследования рынка), – презентации, – переводы с английского научных публикаций.
Нанять автора
Формула тангенциального ускорения – радиальное ускорение, центростремительное ускорение и примеры
Для объекта, демонстрирующего круговое движение, всегда есть некоторые параметры, описывающие его природу.
Если мы говорим о скорости частицы, то есть угловой скорости, она остается постоянной на протяжении всего движения; однако угловое ускорение состоит из двух типов компонентов: тангенциального и радиального ускорения.
Касательное ускорение действует по касательной к направлению движения частицы и остается перпендикулярно направлению радиальной составляющей.Теперь обсудим формулу тангенциального и радиационного ускорения.
Формула тангенциального ускорения и центростремительного ускорения
Значение тангенциального ускорения – это мера того, как тангенциальная скорость точки на заданном радиусе изменяется со временем. Тангенциальное ускорение похоже на линейное ускорение; однако он более наклонен к касательному направлению, что, очевидно, связано с круговым движением.
Если мы говорим о узком промежутке между центростремительным ускорением, то есть ускорением, действующим по направлению к центру круга, вдоль которого тело или частица создают круговое движение.
Мы можем видеть, что между двумя типами ускорения есть узкая линия различия, и что разница заключается в том, как ускорение действует на частицу при круговом движении.
Теперь давайте обсудим уравнение тангенциального ускорения, за которым следует центростремительное ускорение.
Формула тангенциального ускорения
Предположим, что вы и ваши друзья играете со струной. Вы находитесь в середине струны, и ваши друзья присоединились к ней из рук в руки и движутся с высокой скоростью или меняют скорость круговыми движениями.
Здесь мы говорим об угловой скорости, и мы знаем, что изменение скорости называется ускорением, то есть угловым ускорением. Итак, мы можем записать первую производную угловой скорости по времени для углового ускорения.
Формула тангенциального ускорения
Здесь мы стремимся описать формулу тангенциального ускорения, поэтому мы сосредоточимся на ней больше, поскольку наша статья опирается на то же самое.
Теперь запишем уравнение тангенциального ускорения в
следующим образом:
Касательное ускорение (at) = r x \ [\ frac {d \ omega} {dt} \]….(1)
Итак, мы обозначаем тангенциальное ускорение индексом «ct» вместе с английской буквой «a».
Здесь \ [\ frac {d \ omega} {dt} \] = угловое ускорение
r = радиус окружности
Поскольку движение говорит о положении определенного объекта, поэтому назовите ‘r’ как радиус-вектор.
Мы также знаем, что угловая скорость может быть записана, поэтому мы можем переписать приведенное выше уравнение (1), чтобы получить формулу тангенциального ускорения кругового движения в новой форме:
at = r𝛼….(2)
Формула центростремительного ускорения
Центростремительное ускорение объекта, совершающего круговое движение по кругу r и имеющего скорость v в метрах в секунду, определяется следующим уравнением центростремительного ускорения:
aC = v2 / r
Итак, мы обозначаем центростремительное ускорение индексом «c» вместе с английской буквой «a».
Теперь мы подробно обсудим формулу радиального и тангенциального ускорения.
Формула тангенциального и радиального ускорения
Мы уже обсуждали формулу тангенциального ускорения в приведенном выше контексте, говоря об узкой разнице между центростремительным и тангенциальным ускорением, мы также увидели небольшую разницу между тангенциальным ускорением и формулой центростремительного ускорения.
Теперь давайте обсудим радиальное ускорение:
Радиальное ускорение
Мы определяем радиальное ускорение как компонент, который указывает вдоль радиус-вектора, вектор положения, который указывает из центра, обычно вращающегося, и положение частицы, которая ускоряется.
Формула для радиального ускорения имеет следующий вид:
ar = v2 / r… .. (3)
Здесь мы видим, что термин ‘r’ или радиус-вектор имеет разницу в тангенциальном ускорении и центростремительном ускорении. формула ускорения. Также мы замечаем, что центростремительное ускорение и радиальное ускорение имеют одну и ту же формулу.
(Изображение будет добавлено в ближайшее время)
Поиск тангенциального ускорения
Теперь мы рассмотрим одну задачу, чтобы найти тангенциальное ускорение объекта.
Пример:
Если объект совершает круговое движение, каково будет его тангенциальное ускорение? Также определите общее ускорение объекта.
Ответ:
Общее ускорение объекта определяется следующим уравнением:
\ [\ vec {a} _ {(total)} \] = \ [\ vec {a} _ {r} \] + \ [\ vec {a} _ {t} \]
Теперь тангенциальное ускорение можно определить путем вычитания радиальной составляющей ускорения из общего ускорения следующим образом:
\ [\ vec {a} _ {t } \] = \ [\ Vec {a} _ {(total)} \] – \ [\ vec {a} _ {r} \]
при θ (cap) = \ [\ vec {a} _ { (total)} \] – \ [\ vec {a} _ {r} \] r (cap)
Если мы хотим узнать общее ускорение в модульной функции, у нас есть следующее уравнение:
\ [ \ vec {a} _ {(всего)} \] = | \ [\ vec {a} _ {(всего)} \] | = \ [\ sqrt {a_ {r} ^ {2} + a_ {t} ^ {2}} \]
Итак, полное ускорение – это квадратный корень из суммы квадратов радиального и тангенциального ускорений.
10.3 Связь угловых и трансляционных величин – University Physics Volume 1
Линейное ускорение центрифуги
Центрифуга имеет радиус 20 см и ускоряется с максимальной скорости вращения 10 000 об / мин до состояния покоя за 30 секунд при постоянном угловом ускорении. Он вращается против часовой стрелки. Какова величина полного ускорения точки на конце центрифуги при t = 29,0 с? T = 29,0 с? Каково направление вектора полного ускорения?Стратегия
Имея предоставленную информацию, мы можем вычислить угловое ускорение, которое затем позволит нам найти тангенциальное ускорение.Мы можем найти центростремительное ускорение при t = 0t = 0, вычислив тангенциальную скорость в это время. С помощью величин ускорений мы можем вычислить общее линейное ускорение. Из описания вращения в задаче мы можем набросать направление вектора полного ускорения.Решение
Угловое ускорение равно α = ω − ω0t = 0− (1.0 × 104) 2π / 60.0s (рад / с) 30.0s = −34.9rad / s2. α = ω − ω0t = 0− (1.0 × 104) 2π / 60.0s (рад / с) /s)30.0s=−34.9rad/s2.Следовательно, тангенциальное ускорение равно
при = rα = 0.2 м (-34,9рад / с2) = -7,0 м / с2. At = rα = 0,2 м (-34,9рад / с2) = -7,0 м / с2.Угловая скорость при t = 29.0st = 29.0с равна
. ω = ω0 + αt = 1.0 × 104 (2π60.0s) + (- 34.9rad / s2) (29.0s) = 1047.2rad / s − 1012.71 = 35.1rad / s. ω = ω0 + αt = 1.0 × 104 (2π60 0,0 с) + (- 34,9рад / с2) (29,0 с) = 1047,2рад / с − 1012,71 = 35,1рад / с.Таким образом, тангенциальная скорость при t = 29.0st = 29.0с равна
vt = rω = 0,2 м (35,1рад / с) = 7,0 м / с. vt = rω = 0,2 м (35,1рад / с) = 7,0 м / с.Теперь мы можем рассчитать центростремительное ускорение при t = 29.0st = 29.0s:
ac = v2r = (7,0 м / с) 20,2 м = 245.0 м / с2.ac = v2r = (7,0 м / с) 20,2 м = 245,0 м / с2.Поскольку два вектора ускорения перпендикулярны друг другу, величина общего линейного ускорения составляет
| a → | = ac2 + at2 = (245,0) 2 + (- 7,0) 2 = 245,1 м / с2. | a → | = ac2 + at2 = (245,0) 2 + (- 7,0) 2 = 245,1 м / с2.Поскольку центрифуга имеет отрицательное угловое ускорение, она замедляется. Общий вектор ускорения показан на рисунке 10.16. Угол относительно вектора центростремительного ускорения составляет
θ = tan − 1−7.0245.0 = −1,6 °. θ = tan − 1−7.0245,0 = -1,6 °.Знак минус означает, что вектор полного ускорения наклонен по часовой стрелке.
Фигура 10,16 Векторы центростремительного, тангенциального и полного ускорения. Центрифуга замедляется, поэтому тангенциальное ускорение идет по часовой стрелке, а не по направлению вращения (против часовой стрелки).
Значение
Из рисунка 10.16 видно, что вектор тангенциального ускорения противоположен направлению вращения.Величина тангенциального ускорения намного меньше центростремительного ускорения, поэтому вектор полного линейного ускорения будет составлять очень малый угол по отношению к вектору центростремительного ускорения.4.5: Равномерное круговое движение – Physics LibreTexts
Цели обучения
- Найдите центростремительное ускорение объекта, движущегося по круговой траектории.
- Используйте уравнения кругового движения, чтобы найти положение, скорость и ускорение частицы, совершающей круговое движение.
- Объясните разницу между центростремительным ускорением и тангенциальным ускорением, возникающим в результате неравномерного кругового движения.
- Оцените центростремительное и тангенциальное ускорение при неравномерном круговом движении и найдите вектор полного ускорения.
Равномерное круговое движение – это особый тип движения, при котором объект движется по кругу с постоянной скоростью. Например, любая точка пропеллера, вращающегося с постоянной скоростью, совершает равномерное круговое движение.Другими примерами являются секундная, минутная и часовая стрелки часов. Примечательно, что точки на этих вращающихся объектах действительно ускоряются, хотя скорость вращения постоянна. Чтобы увидеть это, мы должны проанализировать движение в терминах векторов.
Центростремительное ускорение
В одномерной кинематике объекты с постоянной скоростью имеют нулевое ускорение. Однако в двух- и трехмерной кинематике, даже если скорость постоянна, частица может иметь ускорение, если она движется по криволинейной траектории, такой как окружность.В этом случае вектор скорости меняется, или \ (\ frac {d \ vec {v}} {dt} \) ≠ 0. Это показано на рисунке \ (\ PageIndex {1} \). Поскольку частица движется против часовой стрелки во времени \ (\ Delta \) t по круговой траектории, ее вектор положения перемещается из \ (\ vec {r} (t) \) в \ (\ vec {r} (t + \ Delta t ) \). Вектор скорости имеет постоянную величину и касается пути при изменении от \ (\ vec {v} \) (t) до \ (\ vec {v} \ left (t + \ Delta t \ right) \), только меняя свое направление. Поскольку вектор скорости \ (\ vec {v} (t) \) перпендикулярен вектору положения \ (\ vec {r} \) (t), треугольники, образованные векторами положения и \ (\ Delta \ vec { r} \), а векторы скорости и \ (\ Delta \ vec {v} \) аналогичны.Кроме того, с
\ [| \ vec {r} (t) | = | \ vec {r} (t + \ Delta t) | \ nonumber \]
и
\ [| \ vec {v} (t) | = | \ vec {v} (t + \ Delta t) |, \ nonumber \]
два треугольника равнобедренные. Из этих фактов мы можем сделать утверждение
\ [\ dfrac {\ Delta v} {v} = \ dfrac {\ Delta r} {r} \]
или
\ [\ Delta v = \ dfrac {v} {r} \ Delta r. \]
Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): (a) Частица движется по кругу с постоянной скоростью, с векторами положения и скорости в моменты времени \ (t \) и \ (t + \ Delta t \).{2}} {r} \ ldotp \]Направление ускорения также можно найти, отметив, что по мере приближения \ (\ Delta \) t и, следовательно, \ (\ Delta \ theta \) к нулю вектор \ (\ Delta \ vec {v} \) приближается к направлению перпендикулярно \ (\ vec {v} \). В пределе \ (\ Delta t → 0, \) \ (\ Delta \ vec {v} \) перпендикулярно \ (\ vec {v} \). Поскольку \ (\ vec {v} \) касается окружности, ускорение \ (\ frac {d \ vec {v}} {dt} \) указывает на центр окружности. {2}} {r} \ ldotp \ label {4.27} \]
Направление вектора ускорения – к центру круга (Рисунок \ (\ PageIndex {2} \)). Это радиальное ускорение и называется центростремительным ускорением , поэтому мы даем ему индекс \ (c \). Слово центростремительный происходит от латинских слов centrum (что означает «центр») и petere (что означает искать ») и, таким образом, принимает значение« поиск центра ».
Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): Вектор центростремительного ускорения указывает на центр круговой траектории движения и представляет собой ускорение в радиальном направлении.Также показан вектор скорости, касающийся окружности.Давайте рассмотрим несколько примеров, которые иллюстрируют относительные величины скорости, радиуса и центростремительного ускорения.
Пример \ (\ PageIndex {1} \): создание ускорения на 1 g
Самолет летит со скоростью 134,1 м / с по прямой и делает разворот по круговой траектории на уровне земли. Каким должен быть радиус окружности, чтобы вызвать центростремительное ускорение в 1 g для пилота и струи по направлению к центру круговой траектории?
Стратегия
Зная скорость струи, мы можем найти радиус окружности в выражении для центростремительного ускорения.{2}} = 1835 \; m = 1,835 \; км \ ldotp \]
Значение
Чтобы создать у пилота большее ускорение, чем g, струе придется либо уменьшить радиус своей круговой траектории, либо увеличить скорость по существующей траектории, либо и то, и другое.
Упражнение 4.5
Радиус маховика 20,0 см. Какова скорость точки на краю маховика, если она испытывает центростремительное ускорение 900,0 см / с 2 ?
Центростремительное ускорение может иметь широкий диапазон значений в зависимости от скорости и радиуса кривизны круговой траектории.Типичные центростремительные ускорения приведены в таблице \ (\ PageIndex {1} \).
| Объект | Центростремительное ускорение (м / с 2 или g) |
|---|---|
| Земля вокруг Солнца | 5,93 x 10 -3 |
| Луна вокруг Земли | 2,73 x 10 -3 |
| Спутник на геостационарной орбите | 0.233 |
| Внешний край компакт-диска при воспроизведении | 5,75 |
| Струя в бочке ролика | (2-3 г) |
| Американские горки | (5 г) |
| Электрон, вращающийся вокруг протона в простой модели атома Бора | 9,0 x 10 22 |
Уравнения движения для равномерного кругового движения
Частица, совершающая круговое движение, может быть описана ее вектором положения \ (\ vec {r} (t) \).На рисунке \ (\ PageIndex {3} \) показана частица, совершающая круговое движение против часовой стрелки. Когда частица движется по окружности, ее вектор положения сметает угол \ (\ theta \) с осью x. Вектор \ (\ vec {r} (t) \), образующий угол \ (\ theta \) с осью x, показан с его компонентами вдоль осей x и y. Величина вектора положения равна \ (A = | \ vec {r} (t) | \), а также является радиусом круга, так что с точки зрения его компонентов
\ [\ vec {r} (t) = A \ cos \ omega \ hat {i} + A \ sin \ omega t \ hat {j} \ ldotp \ label {4.28} \]
Здесь \ (\ omega \) – константа, называемая угловой частотой частицы. Угловая частота измеряется в радианах (рад) в секунду и представляет собой просто количество радианов угловой меры, через которую проходит частица за секунду. Угол \ (θ \), который имеет вектор положения в любой конкретный момент времени, равен \ (\ omega \) t.
Если \ (T \) – период движения или время, чтобы совершить один оборот (\ (2 \ pi \, rad \)), то
Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): вектор положения частицы, движущейся по кругу, с ее компонентами по осям x и y.Частица движется против часовой стрелки. Угол \ (\ theta \) – угловая частота \ (\ omega \) в радианах в секунду, умноженная на \ (t \).Скорость и ускорение можно получить из функции положения путем дифференцирования:
\ [\ vec {v} (t) = \ frac {d \ vec {r} (t)} {dt} = -A \ omega \ sin \ omega t \ hat {i} + A \ omega \ cos \ омега т \ шляпа {j} \ ldotp \ label {4.29} \]
Из рисунка \ (\ PageIndex {3} \) видно, что вектор скорости касается окружности в месте нахождения частицы и имеет величину A \ (\ omega \).{2} \ vec {r} \) (t).
Пример \ (\ PageIndex {2} \): круговое движение протона
Протон имеет скорость 5 x 10 6 м / с и движется по окружности в плоскости xy радиуса r = 0,175 м. Каково его положение в плоскости xy в момент времени t = 2,0 x 10 −7 с = 200 нс? При t = 0 положение протона составляет 0,175 м \ (\ hat {i} \), и он вращается против часовой стрелки. Набросайте траекторию.
Решение
По приведенным данным протон имеет период и угловую частоту:
\ [T = \ frac {2 \ pi r} {v} = \ frac {2 \ pi (0.{−7} \, мс = 200 \, нс \). Показана траектория протона. Угол, под которым протон движется по окружности, составляет 5,712 рад, что немного меньше одного полного оборота.
Значение
Мы выбрали начальное положение частицы по оси абсцисс. Это было совершенно произвольно. Если бы была задана другая начальная позиция, у нас было бы другое конечное положение при t = 200 нс.
Неравномерное круговое движение
Круговое движение не обязательно должно иметь постоянную скорость.Частица может двигаться по кругу и ускоряться или замедляться, показывая ускорение в направлении движения.
При равномерном круговом движении частица, совершающая круговое движение, имеет постоянную скорость, а круг имеет фиксированный радиус. Если скорость частицы тоже меняется, то мы вводим дополнительное ускорение в направлении, касательном к окружности. Такое ускорение происходит в точке на вершине, которая изменяет скорость вращения, или в любом ускоряющем роторе. В работе «Векторы смещения и скорости» мы показали, что центростремительное ускорение – это скорость изменения направления вектора скорости во времени.Если скорость частицы изменяется, то она имеет тангенциальное ускорение , , то есть скорость изменения величины скорости во времени:
\ [a_ {T} = \ frac {d | \ vec {v} |} {dt} \ ldotp \ label {4.31} \]
Направление тангенциального ускорения касается окружности, тогда как направление центростремительного ускорения радиально внутрь к центру окружности. Таким образом, частица, движущаяся по кругу с тангенциальным ускорением, имеет общее ускорение , которое является векторной суммой центростремительного и тангенциального ускорений:
\ [\ vec {a} = \ vec {a} _ {c} + \ vec {a} _ {T} \ ldotp \ label {4.32} \]
Векторы ускорения показаны на рисунке \ (\ PageIndex {5} \). Обратите внимание, что два вектора ускорения \ (\ vec {a} _ {c} \) и \ (\ vec {a} _ {T} \) перпендикулярны друг другу, причем \ (\ vec {a} _ {c } \) в радиальном направлении и \ (\ vec {a} _ {T} \) в тангенциальном направлении. Общее ускорение \ (\ vec {a} \) указывает под углом между \ (\ vec {a} _ {c} \) и \ (\ vec {a} _ {T} \).
Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): Центростремительное ускорение указывает на центр круга. Тангенциальное ускорение является касательным к окружности в месте расположения частицы.{2}}, c_ {1} = 4.0 \; м / с, c_ {2} = 6,0 \; м \ cdotp s \ ldotp \]Каково полное ускорение частицы при t = 2,0 с?
Стратегия
Нам даны скорость частицы и радиус круга, поэтому мы можем легко вычислить центростремительное ускорение. Направление центростремительного ускорения – к центру круга. Мы находим величину тангенциального ускорения, взяв производную по времени от | v (t) | используя уравнение \ ref {4.{2} \]
и \ (\ theta \) = tan −1 \ (\ left (\ dfrac {3.1} {1.5} \ right) \) = 64 ° от касательной к окружности. См. Рисунок \ (\ PageIndex {6} \).
Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): векторы тангенциального и центростремительного ускорения. Чистое ускорение \ (\ vec {a} \) – это векторная сумма двух ускорений.Значение
Направления центростремительного и тангенциального ускорений можно описать более удобно в терминах полярной системы координат с единичными векторами в радиальном и тангенциальном направлениях.Эта система координат, которая используется для движения по криволинейным траекториям, подробно обсуждается позже в книге.
Авторы и авторство
Сэмюэл Дж. Линг (Государственный университет Трумэна), Джефф Санни (Университет Лойола Мэримаунт) и Билл Мобс со многими авторами. Эта работа лицензирована OpenStax University Physics в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution License (4.0).
Тангенциальное и радиальное ускорение при линейно-криволинейном движении – стенограмма видео и урока
Тангенциальное ускорение
Тангенциальное ускорение – это когда объект движется по круговой траектории и либо ускоряется, либо замедляется.Тангенциальное ускорение похоже на линейное ускорение, но немного отличается от прямолинейного линейного ускорения. Объект линейно ускоряется, если он движется по прямой линии: например, самолет ускоряется по взлетно-посадочной полосе во время взлета. Сравните это с автомобилем, разгоняющимся на повороте дороги. Автомобиль ускоряется по касательной к кривой своей траектории. Используя движение автомобиля, мы еще немного исследуем тангенциальное ускорение.
Для получения тангенциального ускорения должно быть угловое ускорение (α), а разница в длине векторов угловой скорости (ω) показывает угловое ускорение.Связь между угловым ускорением и тангенциальным ускорением – это радиус кривой, по которой движется объект. Как видите, наша формула:
Чем больше радиус, тем больше тангенциальное ускорение.
Допустим, наша машина имеет начальную угловую скорость ω1 = 3 рад / с, а через 1 секунду она имеет угловую скорость ω2 = 4 рад / с. Радиус его пути – 20 метров. Мы можем рассчитать угловое ускорение, используя уравнение кинематики вращения, которое можно читать как:
Теперь мы можем вычислить тангенциальное ускорение автомобиля, используя угловое ускорение и радиус криволинейной траектории.
Обратите внимание, что конечными единицами тангенциального ускорения являются м / с2, что является линейным ускорением! Это имеет смысл, потому что круг или кривую можно рассматривать как большое количество крошечных отрезков прямой, соединенных встык. Представьте, что вы идете по кругу радиусом 100 метров. Если бы вам не сказали, что вы идете по изогнутой дороге, неизбежно возникнет вопрос, знаете ли вы? Возможно нет.Если вы начнете ускоряться по этой кривой, вы будете ускоряться по касательной и по углу, даже не осознавая этого.
Радиальное ускорение
Давайте представим, что наша машина, двигавшаяся по кривой в предыдущем разделе, на самом деле движется по непрерывной кривой, образующей круг. На этот раз угловая скорость нашей машины останется постоянной. На диаграмме точки, обозначающие скорость автомобиля в два разных момента времени, имеют стрелки, касательные к его траектории. Эти стрелки представляют тангенциальные скорости объекта, которые существуют по всей окружности круговой траектории.Изменение скорости – это ускорение, и мы можем визуально показать, что такое радиальное ускорение, графически сложив векторы скорости, используя общее уравнение для ускорения в качестве ориентира.
Уравнение ускорения требует, чтобы начальная скорость ( v 1) была отрицательной, поэтому она изменилась на обратную при добавлении к конечной скорости ( v 2).Когда полученный вектор нарисован, мы видим, что он указывает прямо на центр круга. Это радиальное ускорение или центростремительное ускорение. Центростремительный означает «поиск центра», что уместно, потому что, когда объект движется по изогнутой траектории, он всегда ускоряется к центру круга. Также обратите внимание, что радиальное ускорение всегда будет перпендикулярно тангенциальной скорости.
Мы можем вывести уравнение, которое определит величину радиального ускорения, и для этого вернемся к кругу с радиусом r и центром с координатами x-y (0,0).Масса начинается с x = – r и движется по часовой стрелке с постоянной угловой скоростью. Векторы тангенциальной скорости v t нарисованы в двух местах: x = – r и x = r , но помните, что этот вектор существует в каждой точке окружности.
Исчисление дает нам процесс определения уравнений скорости и ускорения для объекта, если мы знаем его уравнение положения, поэтому давайте определим уравнение положения для автомобиля, движущегося по окружности.Глядя на пунктирную линию на диаграмме, мы видим, что координата автомобиля x равна r cos (θ), и мы можем получить θ в терминах постоянной угловой скорости ω, умножив ее на время.
Теперь у нас есть все ингредиенты для нашего уравнения положения. Обратите внимание, что r отрицательно, потому что наша позиция x = 0 находится в центре круга, и мы начинаем движение с радиусом r влево.
Если мы возьмем производную положения по времени, мы получим тангенциальную скорость.
Еще одна производная и получаем тангенциальное ускорение.
Однако нам нужно уравнение радиального ускорения, а не уравнение тангенциального ускорения. Использование зависимости между угловой скоростью и тангенциальной скоростью приведет к преобразованию тангенциального ускорения в радиальное. v = ω r , следовательно, ω = v / r . Включение v / r для ω в наше уравнение тангенциального ускорения вместе с подключением t = 0 для нашего времени начала дает нам уравнение радиального ускорения:
Резюме урока
Давайте на пару минут рассмотрим, что мы узнали о тангенциальном и радиальном ускорении в криволинейном линейном движении.Прежде всего, мы узнали, что круговое движение также называется линейным движением , потому что круговое движение имеет связанные с ним линейные компоненты. Объект, движущийся по криволинейной траектории, имеет тангенциальную скорость, связанную с его угловой скоростью по уравнению:
v = ω r
Если угловая скорость меняется, то он ускоряется по углу. Касательное ускорение и угловое ускорение также связаны радиусом криволинейной траектории с уравнением:
a = α r
Объект, движущийся по круговой траектории, не обязательно должен иметь угловое и тангенциальное ускорение. поскольку объект может двигаться с постоянной скоростью, но все, что движется по круговой траектории, должно иметь радиальное ускорение .Радиальное ускорение всегда направлено к центру окружности, всегда перпендикулярно тангенциальной скорости, и его величина определяется уравнением:
a t = v 2/ r
Теперь вы должен уметь определять основные различия между радиальным и тангенциальным ускорением и знать, как их решать при линейно-криволинейном движении.
Как найти тангенциальное ускорение? – Mvorganizing.org
Как найти тангенциальное ускорение?
Он равен произведению углового ускорения α на радиус вращения.Тангенциальное ускорение = радиус вращения * его угловое ускорение. Он всегда измеряется в радианах на секунду в квадрате. Его размерная формула [T-2].
Увеличивается ли центростремительное ускорение с увеличением радиуса?
Центростремительное ускорение прямо пропорционально радиусу кривизны, поэтому оно уменьшается с увеличением радиуса кривизны. Центростремительное ускорение прямо пропорционально радиусу кривизны, поэтому оно увеличивается с увеличением радиуса кривизны.
Что произойдет с центростремительным ускорением, если радиус увеличить вдвое?
Где – центростремительное ускорение объекта, – это скорость объекта, и – это радиус, в котором объект движется по окружности. Скорость имеет квадратичную зависимость от центростремительного ускорения, поэтому, когда скорость увеличивается вдвое, центростремительное ускорение увеличивается в четыре раза.
Радиальное и центростремительное ускорение – одно и то же?
Центростремительное (радиальное) ускорение – это ускорение, при котором объект движется по круговой траектории или поворачивается.Фактически, из-за своего направления центростремительное ускорение также называется «радиальным» ускорением.
Какая связь между ускорением и радиусом?
Радиальное ускорение прямо пропорционально квадрату линейной скорости и обратно пропорционально радиусу криволинейной траектории. Радиальное ускорение прямо пропорционально произведению квадрата угловой скорости и радиуса криволинейной траектории.
Как найти ускорение по радиусу?
Радиальное ускорение равно квадрату скорости, деленному на радиус круговой траектории объекта.
Постоянно ли тангенциальное ускорение?
В случае равномерного кругового движения скорость (v) частицы при равномерном круговом движении постоянна (по определению). Это означает, что тангенциальное ускорение aT равно нулю. Следовательно, угловое ускорение (aTr) также равно нулю.
Меняется ли тангенциальное ускорение с радиусом?
Люди иногда забывают, что угловое ускорение не меняется с радиусом, а тангенциальное ускорение меняется.
В чем разница между тангенциальным и радиальным ускорением?
Это центростремительное ускорение направлено по радиусу, поэтому его также можно назвать радиальным ускорением ar.Если скорость непостоянна, то также имеет место тангенциальное ускорение при. Тангенциальное ускорение действительно касается траектории движения частицы.
В чем разница между тангенциальным и радиальным ускорением точки на вращающемся теле?
Направление тангенциального ускорения касается окружности, тогда как направление центростремительного ускорения радиально внутрь к центру окружности.
Что вызывает тангенциальное ускорение?
Когда объект совершает равномерное круговое движение, результирующая сила на объект действует в направлении, перпендикулярном движению (скорости) объекта.Составляющая горизонтальной силы создаст тангенциальное ускорение, которое приведет к ускорению объекта вдоль оси x.
Что такое тангенциальная составляющая ускорения?
Тангенциальная составляющая – это часть ускорения, касательная к кривой, а нормальная составляющая – это часть ускорения, которая перпендикулярна (или ортогональна) кривой. Если мы сделаем это, мы можем записать ускорение как, → a = aT → T + aN → N.
Что такое тангенциальное и нормальное ускорение?
Тангенциальное ускорение – это мера скорости изменения величины вектора скорости, т.е.е. скорость и нормальное ускорение являются мерой скорости изменения направления вектора скорости.
Как найти тангенциальное и нормальное ускорение?
⇀a (t) = a⇀T⇀T (t) + a⇀N⇀N (t). Здесь ⇀T (t) – единичный касательный вектор к кривой, определяемой r (t), а ⇀N (t) – единичный вектор нормали к кривой, определенной r (t). Нормальная составляющая ускорения также называется центростремительной составляющей ускорения или иногда радиальной составляющей ускорения.
Какова формула нормального ускорения?
Нормальное ускорение – это скорость изменения скорости перпендикулярно кривой.2}. Касательное ускорение – это скорость изменения касательной скорости к плоской кривой.
В чем разница между тангенциальной скоростью и тангенциальным ускорением?
Если тангенциальная скорость не меняет направления, значит, объект не движется по кругу. Касательное ускорение возникает в результате изменения тангенциальной скорости объекта. Объект может двигаться по кругу и не иметь тангенциального ускорения.
Когда при движении нормальная составляющая ускорения равна нулю?
Прямолинейное движение – Нормальный компонент ускорения равен нулю.
Что такое тангенциальное ускорение?
Линейное или тангенциальное ускорение относится к изменениям величины скорости, но не ее направления. Из «Равномерного кругового движения и гравитации» мы знаем, что центростремительное ускорение при круговом движении ac относится к изменениям направления скорости, но не ее величины.
Какая составляющая ускорения?
Величина aN, ĸv2 называется нормальной составляющей ускорения, потому что она измеряет ускорение, приложенное под прямым углом к скорости.В частности, нормальная составляющая ускорения является мерой того, насколько быстро меняется направление вектора скорости.
Что такое нормальная скорость?
Нормальная скорость добавляет внутреннюю нормальную скорость vn (t) или задает ускорение v0 (t) границы. Часть в нормальном направлении используется для определения граничного условия. Для Внутренней скорости введите значение Внутренней скорости vn (единица СИ: м / с).
Какие 3 примера скорости?
Итак, движется ли это машина, падает мяч или земля движется вокруг Солнца, все это имеет скорость!
Как определить скорость по ускорению?
Скорость – это скорость изменения положения во времени, а ускорение – это скорость изменения скорости.Оба являются векторными величинами (и, следовательно, также имеют заданное направление), но единицами измерения скорости являются метры в секунду, а единицами ускорения являются метры в секунду в квадрате.
Может ли нормальное ускорение быть отрицательным?
Обратите внимание, что тангенциальное ускорение ¨ s может быть положительным или отрицательным, в то время как нормальное или центростремительное ускорение всегда положительно, потому что произведение ˙ s ˙ θ = v 2 / R всегда положительно (s и θ оба увеличиваются, если движение находится в направлении единичного тангенциального вектора, или оба уменьшаются, если движение…
Может ли тело иметь положительную скорость и отрицательное ускорение?
Да, тело может иметь положительную скорость и отрицательное ускорение одновременно.
Какой пример отрицательного ускорения?
(2) Когда мы бросаем мяч вверх, на него действует также отрицательное ускорение. Таким образом, когда мяч достигает наивысшей точки, его скорость становится равной нулю.
Steve Boddeker’s Mechanics Ch 4
Канал 4.1
Футбольный мяч сбивается с вершины холма. Его координаты x и y как функции время задаются следующими выражениями:
х = 8 т у = -5 т 2 + 6 т (пусть g ≈ 10 м / с 2 )
(а) Что такое Начальная скорость? (не использовать единичные векторы)
(b) Используйте единицу векторное обозначение (i, j, k) для записи позиции, скорость и уравнения вектора ускорения для любого времени t.
Дано: | |||
х = на 2 + v ox t + x o х = 0 + 8 т + 0 v ox = 8 м / с | г = на 2 + v oy t + y o г = -5 т 2 + 6 т + 0 v oy = 6 м / с | а = -5 а = -10 м / с 2 | |
(а) против 2 = v вол 2 + v oy 2 против 2 = 8 2 + 6 2 v = 10 м / с тангенс угла θ = 6 / 8; θ = 36.9 10 м / с @ 36.9 | (b) r (t) = (8t) i + (-5 t 2 + 6 t) j v (t) = (8) i + (-10 t + 6) j a (t) = -10 j | как получить v y ? а = Δv / Δt -10 = v f – 6 / Δt v f = -10t + 6 | |
Канал 4 На рисунке ниже показано общее ускорение частица движется по часовой стрелке по окружности радиуса 2.00 метров на определенном момент времени. В этот момент найдите (а) радиальное ускорение (б) тангенциальное ускорение (c) скорость частицы | ||
(а) a r = cos 30 a a r = 17,3 м / с 2 | (б) a t = sin 30 a a t = 10.0 м / с 2 | (c) a r = v 2 / r 17,3 м / с 2 = в 2 /2 м v = 5,89 м / с |
Канал 4 Бомбардировщик развивает скорость 300 м / с под углом q ниже горизонтали. Бомбардировщик сбрасывает бомбу, на высоте 1600 метров относительно к цели.Смещение бомба составляет 2000 м (точка попадания в цель). Найти θ? Подсказка: cos 2 θ + sin 2 θ = 1 1 + tan 2 θ = 1 / cos 2 θ Также см. Прилагаемое изображение | |||
sinΦ = 1600/2000; cosΦ = х / 2000 x = при 2 + v x -init т + х или 1200 = 0 + 300cosq t + 0 t = 4 / cosq у = при 2 + v y -init t + y o 1600 = 10 т 2 + 300sinq t 320 = т 2 + 60 синк т | 320 = (4 / cosq) 2 + 60 sinq (4 / cosq) 320 = 16 (1 / cos 2 q) + 240 sinq / cosq 320 = 16 (тангенс 2 q + 1) + 240 танк 19 = tan 2 q + 15 tanq (танк + 7.5) 2 = 19 + (15/2) 2 tanq = -7,5 8,67 q = 49,6 | ||
Кан 4.3 # 19
Игрок по месту должен ударить по мячу с точки в 36 м от Цель. Половина толпы надеется, что мяч будет очистить перекладину высотой 3,05 метра. При ударе мяч отрывается от земли со скоростью 20 м / с и угол 53 градуса над горизонтом.
(a) Насколько мяч отрывается от перекладина?
(b) Прилетает ли мяч к перекладине, продолжая подниматься, или при падении?
Dx = 36 м Dy = 3,05 м q = 53 (3-4-5 D) v = 20 м / с | (а) v x = Dx / Dt 12 м / с = 36 / т т = 3 секунды | (б) d y = при 2 + v y -init t + d y -init 3.05 = -4,9 т 2 + 12 т + 0 4,9 т 2 – 16 т + 3,05 = 0 (16 (144 4 (4,9) 3,05) ) / 2 (4,9) т = (16 14) / 9,8 т = 3,06 сек, 0,20 сек 12 м / с = Dx / 3,06 секунды Dx = 36,72 м Он едва преодолевает перекладину; таким образом, по убыванию . |
v y = sin 53 20 м v y = 16 м / с v x = cos 53 20 м v x = 12 м / с | d y = at 2 + v y -init t + d y -init д y = -9.8 (3) 2 + 16 (3) d y = 3,9 метра за 3 секунды 3,9 м преодолевает планку 3,05 м на 0,85 метра |
Канал 4.4 # 32
Астронавт, вращающийся вокруг Земли на рисунке P4.32, готовится состыковаться со спутником Westar VI. Спутник находится на круговой орбите 600 км. над поверхностью Земли, где ускорение свободного падения равно 8.21 м / с 2 . Радиус Земли – 6400 км. Определите скорость спутника и время, необходимое для завершения одного витка вокруг Земли.
а = v 2 / г 8,21 = (2p * (6,4 + 0,6) * 10 6 ) 2 / (6,4 + 0,6) * 10 6 т 2 | t = 5800 секунд t = 1 час 36 2/3 минуты |
Ch 4.5 # 35 На рисунке ниже показано общее ускорение частица движется по часовой стрелке по кругу радиусом 2,50 метра при определенном момент времени. В этот момент найдите (а) радиальное ускорение (б) скорость частицы (c) его тангенциальное ускорение | ||||
(а) a r = cos 30 a a r = 13 м / с 2 | (б) a r = v 2 / r 13 м / с 2 = v 2 /2.5 м v = 5,7 м / с | (c) a 2 = a r 2 + a t 2 15 2 = 13 2 + т 2 a t = 7,5 м / с 2 | ||
канал 4 # 63
Автомобиль припаркован на крутом склоне с видом на океан, где наклон составляет 37 °.0 ниже горизонтали. Нерадивый водитель оставляет машину в нейтраль, а стояночные тормоза неисправны. Начиная с состояния покоя при t = 0, машина катится вниз по склону с постоянным ускорением 4 м / с 2 , едет 50 м до края отвесного обрыва. Обрыв находится на высоте 30 м над уровнем океана. Найдите (а) скорость автомобиля, когда он достигает края обрыва. и время прибытия туда, (б) скорость | |
автомобиль, когда он приземляется в океане, (c) общий временной интервал что автомобиль находится в движении, и (d) положение автомобиля, когда он приземляется в океан относительно подножия утеса. | |
Дано: a = 4 м / с 2 г = при 2 + v o t + r o r наклон = ((-4) t 2 + 50) м v = dr / dt v = -4t м / с | (б) v y = v cosθ v y = 20 cos53 v y = 12.0 м / с | v x = v sinθ v x = 20 sin53 v x = 16,0 м / с | а = Δv / Δt -10 = (v y -f -12) / 1,53 сек v y -f = – 27,3 м / с |
v = (16 i – 27.3) j ) м / с | |||
(a) Используйте перспективу с точки зрения, где моя нулевая точка является вершиной и его ускорение таким образом (+) ускорение r наклон = а т 2 50 = 4 т 2 т наклон = 5,00 сек v = 4 т сверху v = 4 (5) v = 20 м / с | (c) d y = gt 2 + v y-i т + д г-я 0 = -10 т 2 + -12 т + 30 т 2 + 2.4 т = 6 (т + 1,2) 2 = 6 + 1,2 2 т обрыв = 1,53 секунды т итого = 5,00 + 1,53 = 6,53 с | (г) d x = 16 (1,53) d x = 24,5 метра или r = 24,5 i метров | |
Ch 4.2 # 5
При t = 0 частица, движущаяся в xy самолет с постоянным ускорением имеет скорость v i = 3i 2j м / с и находится в начале. При t = 3 секунды скорость частиц v = (9i + 7j) м / с. Найдите
(а) ускорение частицы а = Дв / Дт а = (9 3) я + (7 – -2) j / 3 а = 6i + 9j / 3 a = 2i + 3j м / с 2 | (b) его координаты в любой момент времени t. r = r o + v o t + при 2 r (t) = 0 + (3i 2j) * t + (2i + 3j) * t 2 x (t) = 3t + t 2 y (t) = -2t + 3t 2 /2 |
Канал 4.3 # 22
Пикирующий бомбардировщик развивает скорость 280 м / с под углом q ниже горизонтали. Когда высота самолета 2.15 км, сбрасывает бомбу, который поражает цель на земле. В величина смещения от точки сброса бомбы до цель – 3,25 км. Найдите угол q. | |||
х = при 2 + v x -init t + х o 2437 = 0 + 280 cosq t + 0 t = 8,7 / cosq | г = при 2 + v y -init t + y o 2150 = 10 т 2 + 280 синк т 430 = t 2 + 56 sinq t | где t = 8.7 / cosq 430 = 75,8 / cos 2 q + 487 tanq | |
Заглушка в excel и увеличивайте q, пока левая сторона не станет равной правой. 0,583 радиан или 33,4 | |||
Канал 4.4 # 31
Молодой Давид, убивший Голиафа, раньше экспериментировал с пращами борьба с гигантом.Он обнаружил, что может вращать строп длиной 0,6 м с номинальной скоростью 8 оборотов в секунду. Если бы он увеличил длину до 0,9 м, он мог бы вращать строп всего 6 оборотов в секунду. (а) Какая скорость вращения дает больше скорость для камня на конце пращи? б) Что такое центростремительное ускорение камня при 8 оборотах в секунду? (c) Что такое центростремительное ускорение при 6 об / с?
(а) v = 8 об / с * 2pr ,6 / об v = 16p * 0,6 v = 9.6p м / с v = 6 об / с * 2пр ,9 / об v = 12p * 0,9 v = 10,8p м / с Таким образом, при 6 об / с большая тангенциальная скорость | а = Dv / Dt = v 2 / r a = (w * 2pr / t) 2 / r a = (2w) 2 p 2 r / t 2 |
(б) а = (2w) 2 p 2 r / t 2 a = (2 * 8) 2 p 2 (0.6) / 1 2 a = 1516 м / с 2 | |
(c) a = (2w) 2 p 2 r / t 2 a = (2 * 6) 2 p 2 (0,9) / 1 2 a = 1279 м / с 2 |
Канал 4.6 # 41
Река имеет постоянную скорость м / с.Студент плывет вверх по течению на расстояние 1 км. и плывет обратно к исходной точке. Если ученик может плавать со скоростью 1,2 м / с в стоячей воде, сколько времени поездку взять?
Сравните это со временем, которое займет поездка, если вода все еще были.
(a) v нетто вверх = 1,2 м / с 0,5 м / с v net up = 0,7 м / с т нетто вверх = 1000 м / 0,7 м / с т нетто до = 1428.6 сек | т итого = t нетто вверх + t нетто вниз т итого = 1428,6 с + 588,2 с т итого = 2017 с |
v net down = 1,2 м / с + 0,5 м / с v net down = 1,7 м / с т нетто внизу = 1000 м / 1,7 м / с т нетто вниз = 588.2 секунды | (б) общее время без тока = 2000 м / 1,2 м / с общее время без тока = 1667 секунд (2017 1667) / 1667 = 21,0% с током занимает на 21% больше времени, чем без тока |
канал 4 # 56 Мальчик может бросить мяч на максимальное расстояние по горизонтали 40 м. на ровном игровом поле. Как далеко может он тот же мяч вертикально вверх бросает? Предположим, что его мышцы придают мячу одинаковую скорость в каждой кейс. v x = cos q v v y = sin q v |
а = Дв / Дт -10 = (0 – sinq v) / t верх t верх = v sinq / 10 т всего = т верх + t нижний Уровень Земля: t верх = t низ т всего = v sinq / 5 | Бросок прямо вверх единственная сила, действующая на него – сила тяжести а = Дв / Дт -10 = (0 – (10r) ) / Dt т = (r / 10) секунд |
v x = Dx / t итого vcosq = R / (v sinq / 5) против 2 = 5R / sinqcosq v = (10р) м / с | d y = at 2 + v o t d y = -10 (r / 10) * 2 + (10r) * (r / 10) d y = r |
Давайте решим еще раз, но на этот раз общее пройденное расстояние равно r вместо 40 метров.
v x = cos q v
v y = sin q v
a y = Dv / Dt -10 = (0 – sin q v) / t решить для время t = sin q * v / 10
, но это только половина время. Таким образом, т всего = (2 * грех q v / 10) = грех q * v / 5
Мы также знаем v x = d x / т всего куда v x = cos к * в
cos q v = r / грех q v / 5
v 2 = 5 r / (sin q cos q) Где q должно быть 45, поскольку мы знаем, что он был брошен на максимальное расстояние.
v 2 = 5 r / (0,707 * 0,707) = 10 r v = (10к)
Итак, теперь мы знаем максимальную скорость, с которой мяч может быть брошен, который теперь указывается вверх.
-10 = (0 (10r) ) / t t = (r / 10) секунд
д л = при 2 + v лет t = -10 (r / 10) * 2 + (10r) * (r / 10) = r
Канал 4 # 57
Камень на конце пращи вращается по вертикальному кругу радиуса 1.2 м при постоянной скорости v i = 1,5 м / с, как на рисунке P4.57. Центр тетивы находится на высоте 1,5 м над землей. Каков радиус действия камня, если он выпущен при натяжении пращи? наклонен под углом 30,0 с горизонталь (а) в точке А? (б) в B? Какое ускорение камня (с) непосредственно перед его выпуском в A? (г) сразу после того, как это выпущен в A?
v y = sin 60 * 1.5 v x = cos 60 * 1,5 v y = 1,3 м / с v x = 0.75 м / с | ||
(а) а и = Dv y / Dt -9,8 = (0-1,3) / т т верх = 0,133 сек d y -init = 0,3 + 1,2 + sin30 * 1,2 d y – дюйм = 2,1 м d верх = at 2 + v o t + d y -init d верх = 0.75 т 5 т 2 + 2,1 d верх = 2,185 м d низ = при 2 + v y -ini t + d y-ini 2,185 = 9,8 т 2 т нижний = 0,668 сек т всего = т верх + t нижний т итого = 0,133 + 0,668 т итого = 0.8 сек v x = Dx / Dt 0,75 м / с = Dx / 0,8 с Dx = 0,60 метра | ||
(b) d выше земли = v o in y compt + at 2 2,1 м = 1,2 т + 5т 2 5т 2 + 1,2т 2,1 = 0 [-b (b 2 4ac) 1/2 ] / 2a (-1,2 6.6) / 10 т = 0,54 секунды v x = Dx / Dt 0,75 м / с = Dx / 0,54 с Dx = 0,40 метра | ||
(в) а = Дв / Дт a = v 2 / r а = 2,25 / 1,2 a = 1,875 м / с 2 | (г) сразу после его выпуска ВЕЗДЕ, единственный сила, действующая на него (пренебрегая трением воздуха), – это сила тяжести, которая имеет скорость ускорения из 9.8 м / с 2 направлено вниз |
канал 4 # 65
Решительный койот снова вышел, чтобы попытаться поймать неуловимый роудраннер. Койот носит пара роликовых коньков Acme с реактивным двигателем, которые обеспечивают постоянное горизонтальное ускорение 15 м / с 2 . В койот стартует в покое в 70 м от края обрыва в момент, когда Roadrunner проносится мимо него в направлении обрыва.а) если дорожный бегун движется с постоянной скоростью, определите минимальную скорость, которую он должен должны добраться до обрыва раньше койота. На краю обрыва дорожный бегун убегает, внезапно сделав поверните, в то время как койот продолжает идти прямо. (b) Если обрыв находится на высоте 100 м над полом каньон, определите, где койот приземляется в каньоне (предположим, что его коньки оставаться в горизонтальном положении и продолжать работать, когда он находится в полете). (c) Определить компоненты скорости удара койотов.
(а) d = d o + v o t + в 2
Дистанция Койота = при 2 70 м = 15 т 2 t = 3.055 секунд
Таким образом, бегун должен преодолеть такое же расстояние по постоянная скорость в 3,055 секунды.
v пр. = Δx / Δt v дорога бегун = 70 м / 3,055 с = 22,9 м / с
(b) Глубина каньона 100 м, поэтому койот находится в свободном падении. на 100 м
100 м = d o y + v o yt + a y t 2 = 10t 2 = 4,47 секунды
(c) d = d o + v o t + at 2 d x = at 2 = 15 (7.52) 2 = всего 424 метра по оси x
70 м было до того, как койот покинул обрыв, поэтому койот приземлился 354 метра в каньон.
(d) Общее время, в течение которого койот ускорялся в направлении x. составляет 3,055 + 4,47 = 7,52 секунды
a = Dv / Dt = 15 = Dv / 7,52 секунды v f x dir = 113 м / с
10 = Дв / 4.47 v f л директория = 44.7 м / с
Канал 4.6 # 38
Heather на своем Corvette ускоряется со скоростью (3,00 i 2,00 j ) м / с 2 , в то время как Джилл на своем Jaguar разгоняется до (1.00 i + 3,00 j ) м / с 2 . Оба начинают с покоя в начале пути. Система координат xy.Через 5,00 с: (а) какова скорость Хизерс по отношению к Джилл, (б) как они далеко друг от друга, и (c) каково ускорение Хизерса относительно Джилл?
Руководство по интеграции Другие подсказки v = ∫ a dt напротив (a = dv / dt) х = ∫ v dt напротив (v = dx / dt) | ∫dt ∫ т 0 дт поднять показатель на единицу возьмите новый индекс и поместите в знаменателе т 1 /1 (с т и к т ф ) | Попробуйте на ∫ т дт ∫ т 1 дт т 2 (от т до к т ф ) |
НАГРЕВАТЕЛЬ | v (t) = (3∫dt i 2∫dt j ) v (t) = (3t i 2t j ) м / с v (5) = (15 i 10 j ) м / с | (а) | v (5) H | – | v (5) J | = ((15-5) i + (-10-15) j ) | v (5) H | – | v (5) J | = ((10) i + (-25) j ) м / с | v (5) H | – | v (5) J | = (10 2 + -25 2 ) 1/2 | v (5) H | – | v (5) J | = 26.9 м / с (b) | x (5) H | – | x (5) J | = ((37,5-12,5) i + (-25-37,5) j ) | x (5) H | – | x (5) J | = ((25) i + (-62,5) j ) м | x (5) H | – | x (5) J | = (25 2 + -62,5 2 ) 1/2 | x (5) H | – | x (5) J | = 67,3 м | а = дв / дт a ∫dt = ∫dv v = dx / dt v ∫dt = ∫dx скорость = | v | | |
x (t) = (3t∫dt i 2t∫dt j ) х (t) = (1.5 т 2 i t 2 j ) м / с x (5) = (37,5 i 25 j ) м / с | ||||
ДЖИЛЛ | v (t) = (1∫dt i + 3∫dt j ) v (t) = (t i + 3t j ) м / с v (5) = (5 i + 15 j ) м / с | |||
(в) a H – a J = (3.00 i 2,00 j ) – (1,00 i + 3,00 j ) a H – a J = (2 i 5 j ) м / с 2 | ||||
x (t) = (t∫dt i + 3t∫dt j ) x (t) = (t 2 i +1.5т 2 j ) м / с x (5) = (12,5 i + 37,5 j ) м / с | ||||
Канал 4.1 # 2
Мяч для гольфа выбит из мишени на краю обрыва. Его координаты x и y как функции время задаются следующими выражениями:
x = 18 т или с агрегатами x = 18 м / с * т
у = 4 т 4.9 т 2 или с блоками y = 4 м / с * t 4,9 м / с 2 * т 2
(a) Запишите векторное выражение для положения мяча в виде функция времени, используя единичные векторы i и j. r (t) = (18t) i + (4t 4,9 т 2 ) j или r (t) = (18t) i + (4t г т 2 ) j | Затем используйте нотацию единичного вектора для записи выражений для (d) положение r (t) = (18t) i + (4t 4.9т 2 ) j г (3) = (18 * 3) я + (4 * 3 4,9 * 3 2 ) j = 54 i 32,1 j r (3) = 54 i 32,1 j |
Взяв производные, получим выражения для (b) вектор скорости v как функция времени. v = dr / dt = 18 i + (4 9,8 т) j | (e) скорость v (3) = (18) я + (4 9.8 * 3) к v = (18) i – (25,4) j |
(c) вектор ускорения a, как функция времени. а = dv / dt = (0) i + (-9,8) j a = dv / dt = – (9,8 м / с 2 ) j (с агрегатами) | (f) ускорение мяча для гольфа все на время t = 3,00 секунды. а = дв / дт а = – (9,8 м / с 2 ) j (с агрегатами) |
экспериментов месяца | Университет Миллерсвилля
Интерес к маятнику Фуко привел к этой стратегии использования маятника на вводном курсе механики в колледже.Общая стратегия состоит в том, чтобы маятник Фуко работал все время «в фоновом режиме». На него обращают внимание во время нормального развития курса, когда уместны приложения. В какой-то момент студенты прокомментируют факт изменения плоскости колебаний. Здесь можно обсудить маятник Фуко и вращение Земли. Версия этого обсуждения находится в конце документа.
Положение, скорость и ускорение
Поскольку движение происходит по дуге окружности, проще всего обсудить тангенциальную составляющую движения.Это движение предлагает примеры скорости и ускорения, которые отличаются от движения снаряда. В частности, ускорение не постоянное.
- Тангенциальное положение (измеренное от нижней точки поворота) изменяет до максимального значения амплитуду движения.
- Тангенциальная скорость равна нулю, когда положение максимальное, и самое большое в нижней точке. Это похоже на вертикальное движение снаряда, но не то же самое, потому что ускорение не является постоянным.
- Полезно думать о движении, как о начале из состояния покоя в максимальном положении и ускорении вниз по кривой.
- Тангенциальное ускорение является максимальным при максимальном положении и нулем в нижней точке.
Круговое движение
Центростремительное ускорение равно v 2 / R, даже если величина скорости непостоянна.
- Радиальное положение постоянно, а радиальная скорость равна нулю.
- Радиальное ускорение – центростремительное ускорение; максимум в нижней точке колебания и ноль на вершине колебания.
Законы Ньютона
Неприводной маятник включает в себя два вектора силы: струну и силу тяжести, которые вместе вызывают ускорение маятника.
- Чистая сила – это векторная сумма, лежащая в плоскости, определяемой двумя отдельными векторами силы.
- Ускорение совпадает с направлением действующей силы.
- Даже при изменении натяжения и ускорения струны движение остается в плоскости, определяемой силой струны и силой тяжести.
- Чистая сила имеет как радиальную, так и тангенциальную составляющие, как и ускорение.
Силы трения и сопротивления
При выключенном драйвере маятник гаснет.График зависимости амплитуды маятника от времени предполагает экспоненциальный спад, соответствующий силе сопротивления, пропорциональной скорости в воздухе. Более пристальное рассмотрение показывает значительное отклонение от экспоненциального поведения.
Работа и энергия
- Энергия в идеальном маятнике течет вперед и назад между кинетической и потенциальной энергией, при этом общая энергия остается постоянной.
- В реальном маятнике трение преобразует часть общей механической энергии в нагрев в каждом цикле.Работа трения равна потере механической энергии.
- Насос громкоговорителя добавляет потенциальную энергию маятнику в нижней части качелей, выполняя работу.
- Смещение почти вертикальное, а скорость боба почти горизонтальная. Для справедливого приближения, в нижней части качелей работа динамика практически не влияет на кинетическую энергию.
- В верхней части качелей громкоговоритель опускается обратно. Поскольку струна только тянет и не может толкать, громкоговоритель не воздействует на маятник во время этого движения.
- Вершина качелей выше, потому что боб достиг ее, когда динамик находится в «верхнем» положении. Боб поворачивается вниз, когда динамик находится в нижнем положении.
- Падение потенциальной энергии больше, чем было бы, если бы говорящий не действовал. Результирующая кинетическая энергия в нижней части качелей больше, чем она была бы, если бы динамик не действовал.
- Громкоговоритель добавляет фиксированное количество потенциальной энергии внизу качелей.
(Кроме того: Мерон Волли рассчитал, что общая энергия, добавленная за цикл, составит
где m – масса боба, L – длина струны, A – амплитуда углового маятника, B – амплитуда динамика, а omega – угловая частота.Ее результаты можно посмотреть в архиве)
- Если энергия, добавленная динамиком, больше, чем энергия, теряемая на трение, амплитуда маятника увеличивается. Когда это происходит, потери на трение увеличиваются, и, в конце концов, маятник обретает стационарную амплитуду.
- Если динамик движется вниз, когда маятник находится в нижней части качания, он убирает энергию из качания, «ослабляя» движение до тех пор, пока маятник не перестанет раскачиваться.
Неинерциальная система отсчета
Водитель может рассматриваться как приложение искусственной гравитации в неинерциальной системе отсчета:
- В системе отсчета, которая движется вместе с драйвером громкоговорителя, динамик неподвижен, а лаборатория перемещается вверх и вниз.Это ускоренная неинерциальная система отсчета.
- Ускоренная система отсчета отображает «искусственную гравитацию» в дополнение к «нормальной» гравитации. Размер искусственной силы тяжести такой же, как и величина ускорения, а направление противоположно направлению ускорения.
- В неинерциальной системе отсчета «гравитация» больше, когда динамик ускоряется вверх, и меньше, когда динамик ускоряется вниз.
- Громкоговоритель поднимается прямо перед нижней точкой, поэтому существует дополнительная сила тяжести, добавляющая скорость маятнику.
- Громкоговоритель опускается прямо перед высшей точкой, так что маятник качается выше под действием меньшей силы тяжести.
Импульс
Для маятника не сохраняется ни линейный, ни угловой момент, о чем свидетельствует тот факт, что импульс боба равен нулю дважды за каждый период.
Вращательное движение
Уравнения движения маятника компактно выражаются через крутящий момент, момент инерции и угловой момент.
Простое гармоническое движение
- Стандартное простое обсуждение гармонического движения может быть применено к маятнику, кратковременно, с выключенным драйвером, для небольшой амплитуды.
- В долгосрочной перспективе при выключенном драйвере маятник должен быть описан в терминах затухающего гармонического движения. Экспоненциальный спад амплитуды легче всего анализировать, но в эксперименте он верен только приблизительно.
- «Время затухания», в течение которого амплитуда падает приблизительно до 1/3 (строго 1 / е) от ее первоначальной амплитуды, является обратной величиной ширины резонансной кривой.
- При включенном драйвере движение приводится в движение затухающим гармоническим движением. Частота драйвера должна соответствовать собственной частоте, чтобы поддерживать длительный эффект.
- Драйвер будет эффективен, его частота находится в пределах ширины резонансной кривой. Он будет работать независимо от того, находится ли частота драйвера выше или ниже собственной частоты.
- В реальной жизни собственная частота маятника несколько ниже для больших амплитуд. Лучшая частота драйвера немного выше собственной частоты маятника. Таким образом, если амплитуда увеличивается, эффективность драйвера снижается. Эта отрицательная обратная связь уменьшает амплитуду до номинального значения.Движение выше резонанса увеличивает стабильность системы.
Земля в движении
Вращение плоскости колебаний маятника Фуко вызвано вращением Земли вокруг своей оси. Это легче всего понять, представив маятник с точкой поворота над северным полюсом. Маятник вращается в неизменной плоскости колебаний, в то время как Земля вращается (на восток, против часовой стрелки, если смотреть сверху вниз с северного полюса) вокруг нее один раз в день.С точки зрения пассажира на Земле, маятник вращается по часовой стрелке один раз в сутки.
Для мест, не находящихся на полюсе, аргумент требует более подробной информации. Математическое обсуждение доступно здесь: corirot.htm
Обсуждение в виде иллюстраций см. Ниже.
Скольжение шайбы на север по вращающейся Земле
Мы используем хоккейную шайбу как замену маятниковому бобу, потому что движение шайбы не ускоряется (при условии отсутствия трения на льду).Шайба, вынужденная скользить по поверхности земли, следует по траектории большого круга, как показано на рисунке.
Представьте, что шайба скользит к окну хоккейных ворот. Если земля не вращается, большой круг, за которым следует шайба, является меридианом; линия долготы, проходящая через северный полюс. Эта линия представлена на чертеже вертикальной линией.
Если Земля вращается, вращаясь на восток, то в дополнение к северной составляющей скорости шайба имеет восточную составляющую.Он следует за «наклоненным» большим кругом на рисунке. Окно ворот также перемещается на восток.
Однако окно перемещается медленнее, поскольку за один день проходит окружность меньшего круга, чем начальная точка шайбы. Это означает, что компонент движения шайбы на восток больше, чем у окна, и шайба не попадает, проходя к востоку от окна.
Если бы шайба была запущена в сторону окна, которое находилось на юге, это окно имело бы большую скорость на восток, и шайба не попала бы на запад.Маятник вращается по часовой стрелке при каждом качании.
Скольжение шайбы на восток по вращающейся Земле
На этот раз мы хотим отправить шайбу в окно, которое находится к востоку от нас. Мы знаем, что шайба будет следовать по большому кругу, и что только один большой круг проходит между точкой запуска и окном. Мы определяем этот большой круг, исходя из предположения, что Земля неподвижна. Прогнозируемый путь для шайбы показан жирной линией от начала до окна на рисунке выше.
Кидаем шайбу по направлению большого круга. Поскольку Земля вращается на восток, скорость шайбы имеет дополнительный восточный компонент, добавленный к нашему вектору скорости броска. В результате шайба выбрасывается под слишком малым углом. Он следует по другому большому кругу, который ведет его к южной стороне окна.
Если бы окно находилось к западу от нас, наш угол запуска был бы слишком большим, а другой большой круг поднимался бы слишком высоко, унося шайбу к северной стороне окна.
Маятник аналогичным образом вращается по часовой стрелке при каждом качании.
Поскольку плоскость маятника вращается по часовой стрелке при каждом качании, вращений накапливается достаточно, чтобы мы могли различать их гораздо более четко, чем мы можем видеть вращение при одном колебании.
Формальный анализ (см., Например, «Классическая динамика частиц и систем» Джерри Б. Мариона, Стивена Т. Торнтона) дает период вращения плоскости колебаний, выраженный в широте, L , скорость вращения = ( sin L ) x (15 градусов в час)
На северном полюсе L составляет 90 градусов, и маятник вращается один раз в день.На широте 40 градусов маятник совершает полный оборот примерно за 36 часов, вращаясь со скоростью примерно 10 градусов в час вместо 15 градусов в час.
Марион и Торнтон говорят, что вращение наблюдалось еще в 1659 году Винченцо Вивиани, учеником Галилея. .
.