Определитель матрицы методом гаусса онлайн: Определитель матрицы методом Гаусса онлайн

Метод Гаусса с выбором главного элемента.

При «обычном» применении метода Гаусса на k-том шаге исключается k-тое неизвестное. Это возможно, если коэффициент при k-том неизвестном отличен от нуля. Условием применимости такого метода является неравенство нулю всех угловых миноров матрицы A, то есть ,,,…,. Однако, может оказаться, что системаимеет единственное решение, хотя какой-либо из угловых миноров матрицыA равен 0. Кроме того, заранее обычно неизвестно, все ли угловые миноры матрицы A отличны от 0. Отметим также, что если в процессе вычислений встречаются ведущие элементы, которые достаточно малы по сравнению с другими элементами матрицы, то это способствует увеличению погрешностей округлений (при делении на маленькие числа погрешность возрастает).

Избежать указанных недостатков «обычного» метода Гаусса позволяет метод Гаусса с выбором главного элемента.

Пусть, как и прежде, дана система .

Сначала добиваются выполнения условий,путем перестановки в случае необходимости двух уравнений системы. Найденный максимальный по модулю коэффициент, обозначенный при перенумерации через, называют первым главным элементом. Исключивиз всех уравнений, начиная со второго, получим систему

.

Далее с полученной системой без первого уравнения поступим аналогично, как и со всей системой . А именно, осуществив, если нужно, перестановку двух уравнений и произведя соответствующую перенумерацию, обеспечиваем выполнение неравенств,. Найденный максимальный по модулю коэффициент, обозначенный, называется вторым главным элементом. Исключивиз всех уравнений, начиная с третьего, получим систему

.

Если определитель системы отличен от нуля, то после-го шага будет получена система вида

.

Заметим, что можно на k-ом шаге искать главный элемент не только в k-ом столбце на местах ниже диагонального, а во всех столбцах, начиная с k-го и кончая m-ым, и во всех строках, начиная с k-ой, кончая m-ой. Преимущество этой модификации заключается в том, что погрешность округлений будет еще меньшей, однако этот метод не очень удобен для реализации вследствие перестановок столбцов, что приведет к перенумерации не только коэффициентов, но и неизвестных.

Описанные выше рассуждения называют прямым ходом метода Гаусса.

Обратный ход будет заключаться в последовательном определении ,, …,.

Заметим, что применение метода Гаусса с выбором главного элемента позволяет вычислить определитель матрицы A по формуле

,

где k – число перестановок строк и столбцов на всех шагах приведения матрицы к треугольному виду. Заметим также, что описанный выше алгоритм можно использовать в различных задачах линейной алгебры: при вычислении рангов матриц, при нахождении обратной матрицы и так далее.

Если определитель матрицы равен нулю, то это обстоятельство выяснится при вычислениях, так как на некотором шаге окажется равным нулю главный элемент или элемент .

«Метод прогонки решения систем алгебраических уравнений

с трехдиагональной матрицей.

Достаточные условия применимости метода прогонки.

Итерационные методы. Метод простых итераций.»

Метод прогонки решения систем алгебраических уравнений

с трехдиагональной матрицей.

Метод прогонки является модификацией метода Гаусса для частного случая разряженных систем трехдиагональной матрицы, которые возникают при моделировании некоторых инженерных и краевых задач.

Рассмотрим следующую задачу:

, (3.1)

где ,,,,для всех. Матрица этой системы

содержит нули везде кроме главной диагонали и двух соседних и является трехдиагональный. Это система линейных алгебраических уравнений относительно величин ,, …,.

Будем находить неизвестные по следующей формуле:() с неизвестными коэффициентами прогонкии().

Подставимв (3.1).

,

,

,

.

Так как это равенство выполняется для любого , тои. Итак для

(3.2)

(3.3)

Это прогоночные коэффициенты. Для определения изаметим, чтои. Отсюда видно, чтои. Знаяи, из (3.2) и (3.3) определим все прогоночные коэффициенты. Этот процесс называется прямым ходом прогонки:.

Далее заметим, что по условию . С другой стороны. Итак

, .

Теперь, зная , можно найти все(). Этот процесс называется обратным ходом прогонки.

Метод прогонки является точным методом, а, следовательно, результат, отвлекаясь от погрешностей вычислений, можно считать точным.

Вычисление определителя матрицы – онлайн-инструменты для работы с числами

Скоро в продаже Эти числовые инструменты уже в пути

Создание номеров Numberwang

Создание списка номеров Numberwang.

Переписать числа

Учитывая числа и грамматику, рекурсивно переписать их.

Создать число с плавающей запятой

Создать число из мантиссы, основания и экспоненты.

Визуализация числа с плавающей запятой

Показать, как число fp представлено в компьютере. 9б форма.

Преобразование научной записи в число

Преобразование числа в научной записи в обычное число.

Создать символьную нумерацию

Создать список буквенных чисел (a, b, c, …, z, aa, ab, …).

Создать римскую нумерацию

Создать список римских цифр (i, ii, iii, iv, v…).

Создать нумерацию Брайля

Создать список цифр Брайля (⠂, ⠆, ⠒, ⠲, ⠢, …).

Генерация случайных двоичных чисел

Создать список случайных двоичных чисел.

Создание случайных восьмеричных чисел

Создание списка случайных восьмеричных чисел.

Создание случайных десятичных чисел

Создание списка случайных десятичных чисел.

Создание случайных шестнадцатеричных чисел

Создание списка случайных шестнадцатеричных чисел.

Вычислить текущую сумму

Вычислить кумулятивную сумму списка чисел.

Вычисление текущего произведения

Вычисление кумулятивного произведения списка чисел.

Вычислить факториал

Найти факториал числа.

Создание числовых анаграмм

Создание одной или нескольких числовых анаграмм.

Создание числовых биграмм

Создание списка цифровых биграмм из числа.

Создание числовых триграмм

Создание списка цифровых триграмм из числа.

Генерация числовых N-грамм

Создание списка цифровых nграмм из числа.

Создание полиномиальной последовательности

Создать список чисел полиномиальной прогрессии.

Создание префиксов SI

Создание списка префиксов метрик.

Анализ числа

Сообщить, сколько цифр встречается сколько раз.

Преобразование числа в порядковое

Преобразование количественного числительного в порядковое.

Преобразование порядкового числа в число

Преобразование порядкового числа в количественное.

Преобразование числа в римское число

Преобразование арабских цифр в римские.

Преобразование римских чисел в обычные числа

Преобразование римских цифр в арабские.

Создание чисел Негафибоначчи

Вычисление серии расширенных чисел Фибоначчи.

Генерация простых чисел Фибоначчи

Поиск чисел, которые являются одновременно числами Фибоначчи и простыми числами.

Проверка числа Фибоначчи

Проверка, является ли число числом Фибоначчи.

Проверка простых чисел Фибоначчи

Проверяет, является ли число одновременно числом Фибоначчи и простым числом.

Построить слова Фибоначчи

Создать последовательность слов Фибоначчи.

Создать слова Трибоначчи

Создать последовательность слов Трибоначчи.

Генерировать числа Негалука

Вычислить серию расширенных чисел Лукаса.

Генерировать простые числа Лукаса

Вычислить серию расширенных чисел Лукаса.

Lucas Prime Test

Проверить, является ли число одновременно числом Лукаса и простым числом.

Вычисление следа матрицы

Найдите сумму элементов главной диагонали матрицы.

Вычислить собственные значения матрицы

Найти собственные значения матрицы.

Умножение матриц

Вычисление произведения двух матриц.

Добавить матрицы

Вычислить сумму двух матриц.

Вычитание матриц

Вычисление разности двух матриц.

Генерация чисел Мозера де Брюйна

Вычисление последовательности чисел Мозера-Брейна.

Сгенерировать числа Колакоски

Вычислить последовательность чисел Ольденбургера-Колакоски.

Сгенерировать числа Стэнли

Вычислить последовательность чисел Стэнли.

Генерировать числа Гийсвейта

Вычислить последовательность самоописывающих чисел Гийсвейта.

Сгенерировать числа Рудина-Шапиро

Вычислить последовательность чисел Русина-Шапиро.

Генерация чисел Баума-Свита

Вычисление последовательности чисел Баума-Свита.

Генерация последовательности Туэ-Морса

Вычисление членов ряда чисел Туэ-Морса.

Создание идеальных чисел

Создание списка совершенных чисел.

Создание почти идеальных чисел

Создание списка почти идеальных чисел.

Создать последовательность избыточных чисел

Вычислить последовательность избыточных чисел.

Создать последовательность неполных чисел

Вычислить последовательность неполных чисел.

Расчет чисел кривой дракона

Создать список порядковых номеров для складывания бумаги.

Создание составных чисел

Создание списка чисел, которые не являются простыми.

Нарисовать таблицу чисел

Создать таблицу чисел.

Проверить, является ли число совершенным

Проверить, является ли заданное число совершенным числом.

Проверить, является ли число обильным

Проверить, является ли данное число обильным числом.

Проверить, является ли число недостаточным

Проверить, является ли данное число недостаточным.

Вычислить модуль

Найти модуль числа.

Группировка цифр числа

Группировка цифр числа.

Разделить число на цифры

Создать список цифр из числа.

Printf Numbers

Применение функций sprintf или printf к числам.

Создайте номера Zalgo

Позвольте Zalgo уничтожить ваши номера.

Повторить номер

Повторить номер несколько раз.

Зеркальное число

Создать зеркальную копию номера.

Дополнение числа нулями

Добавление нулей к числу.

Обратный порядок цифр

Обратный порядок цифр в числе.

Поворот числа

Циклический поворот цифр числа влево или вправо.

Увеличить число

Добавить единицу к заданному числу.

Увеличить все цифры в числе

Добавить единицу к каждой цифре в числе.

Уменьшить число

Вычесть единицу из заданного числа.

Уменьшить все цифры в числе

Вычесть единицу из каждой цифры в числе.

Находить закономерности в числах

Находить закономерности в последовательностях чисел.

Подсчет числа вхождений

Узнайте, как часто встречаются числовые значения.

Вычисление процентов

Найти x% числа.

Создание больших чисел

Создание списка больших чисел.

Генерация малых чисел

Создать список маленьких чисел.

Создание натуральных чисел

Создание списка натуральных чисел.

Создание рациональных чисел

Создание списка рациональных чисел.

Создать последовательность констант

Создать серию чисел, в которой все термины одинаковы.

Создание действительных чисел

Создание последовательности действительных чисел.

Создание комплексных чисел

Создание списка комплексных чисел.

Создать двоичные числа

Создать последовательность двоичных чисел.

Создание пар чисел

Создание последовательности пар чисел.

Создание троек чисел

Создание последовательности троек чисел.

Создание кортежей чисел

Создание последовательности n-кортежей чисел.

Переплетение чисел

Переплетение двух или более чисел поразрядно.

Найти десятичное представление числа

Переписать число в десятичной форме.

Преобразование дроби в десятичную

Преобразование дроби в десятичное число.

Преобразование десятичного числа в дробь

Преобразование десятичного числа в дробь.

Преобразование двоичного числа в восьмеричное

Преобразование числа с основанием два в число с основанием восемь.

Преобразование двоичного числа в десятичное число

Преобразование числа с основанием два в число с основанием десять.

Преобразование двоичного числа в шестнадцатеричное

Преобразование числа с основанием два в число с основанием шестнадцать.

Преобразование восьмеричного числа в двоичное

Преобразование числа с основанием восемь в число с основанием два.

Преобразование восьмеричного числа в десятичное

Преобразование числа с основанием восемь в число с основанием десять.

Преобразование восьмеричного числа в шестнадцатеричное

Преобразование числа с основанием восемь в число с основанием шестнадцать.

Преобразование десятичного числа в двоичное

Преобразование числа с основанием десять в число с основанием два.

Преобразование десятичного числа в восьмеричное число

Преобразование десятичного числа в восьмеричное.

Преобразование десятичного числа в шестнадцатеричное

Преобразование числа с основанием десять в число с основанием шестнадцать.

Преобразование шестнадцатеричного числа в двоичное число

Преобразование числа с основанием шестнадцать в число с основанием два.

Преобразование шестнадцатеричного числа в восьмеричное

Преобразование числа с основанием шестнадцать в число с основанием восемь.

Преобразование шестнадцатеричного числа в десятичное число

Преобразование числа с основанием шестнадцать в число с основанием десять.

Преобразование любого числа в любое основание

Преобразование любого числа в любом основании в любое другое основание.

Изменение мантиссы числа

Изменение значения числа.

Изменить показатель степени числа

Изменить степень числа.

Замена цифр буквами

Замена цифр в числе буквами алфавита.

Создание спирали чисел

Создание спирали из цифр числа.

Удалить десятичную точку

Удалить десятичный разделитель из десятичного числа.

Проверка числа Numberwang

Проверка, является ли данный номер числом numberwang.

Онлайн-калькулятор для расчета определителя 4×4

Онлайн-калькулятор для расчета определителя 4×4

Онлайн-калькулятор вычисляет значение определителя матрицы 4×4 с помощью разложения Лапласа по строке или столбцу и алгоритма Гаусса.

Определитель 4×4

det A=|a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44|

Введите коэффициенты

а ₁₁ =

а ₁₂ =

а ₁₃ =

а ₁₄ =

а ₂₁ =

а ₂₂ =

а ₂₃ =

а ₂₄ =

₃₁ =

а ₃₂ =

а ₃₃ =

а ₃₄ =

а ₄₁ =

а ₄₂ =

а ₄₃ =

а ₄₄ =

Вычисление значения определителя с помощью расширения Лапласа

Вы можете выбрать строку или столбец, которые будут использоваться для расширения.

Расчет с помощью алгоритма Гаусса

Примечание. Если ведущие коэффициенты равны нулю, то столбцы или строки меняются местами соответственно, чтобы было возможно деление на старший коэффициент. Значение определителя правильное, если после преобразований нижняя треугольная матрица равна нулю, а все элементы главной диагонали равны 1.

Объяснение методов

Теорема Лапласа о расширении

Теорема Лапласа о развитии предлагает метод вычисления определителя, в котором определитель развивается после строки или столбца. Размерность уменьшается и может быть уменьшена далее шаг за шагом до скаляра.

det A=∑i=1n-1i+j⋅aijdetAij ( Расширение по j-му столбцу )

det A=∑j=1n-1i+j⋅aijdetAij ( Разложение по i-й строке )

где A _ij , подматрица A, которая возникает, когда i-я строка и j- й столбец удален.

Пример разложения Лапласа по первой строке матрицы 3×3.

det A=|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|

Первый элемент определяется коэффициентом a ₁₁ и субдетерминант, состоящий из элементов с зеленым фоном.

|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|=>a11|a22a23a32a33|

Второй элемент задается коэффициентом a ₁₂ и субдетерминантом, состоящим из элементов с зеленым фоном.

|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|=>a12|a21a23a31a33|

Третий элемент задается коэффициентом a ₁₃ и субдетерминантом, состоящим из элементов с зеленым фоном.

|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|=>a13|a21a22a31a32|

С тремя элементами определитель может быть записан как сумма определителей 2×2.

det A=|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|=a11|a22a23a32a33|-a12|a21a23a31a33|+a13|a21a22a31a32|

Важно учитывать, что знаки элементов чередуются следующим образом.

|+-+-+-+-+|

Метод Гаусса

В методе Гаусса определитель преобразуется таким образом, что элементы нижней матрицы треугольника становятся равными нулю. Для этого вы используете правила коэффициента строки и добавление строк. Добавление строк не меняет значения определителя. Факторы ряда должны рассматриваться как множители перед определителем.