Определитель метод крамера: определение, теорема и примеры решения задач - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Определитель и метод Крамера – презентация онлайн

1. ТЕМА № 2

«ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ»
1

2. ОБОЗНАЧЕНИЯ

КВАДРАТНАЯ МАТРИЦА n-го ПОРЯДКА
a11
A
a
n1
a1n
ann
ОБОЗНАЧЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ МАТРИЦЫ
a11
a1n
an1
ann
A det A
2

3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ МАТРИЦ 1-го и 2-го ПОРЯДКОВ

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ 1-го ПОРЯДКА
a11 a11
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ 2-го ПОРЯДКА
a11
a12
a21 a22
a11 a22 a21 a12
3

4. Вычисление определителя матрицы 3-го порядка

Правило Саррюса
4

5. Пример

6. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ КРАМЕРА

7. ОБЩИЙ ВИД СИСТЕМЫ n ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С n НЕИЗВЕСТНЫМИ

a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 ,
a x a x a x b ,
21 1 22 2
2n n
2
an1 x1 aт 2 x2 ann xn bn
7

8. Пример

2 x y 3z 13,
4 x 3 y z 7,
x 2 y 5 z 15
2 x1 x2 3×3 13
4 x1 3×2 x3 7
x 2 x 5 x 15
2
3
1
8

9.

НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ПРИМЕНИМОСТИ ФОРМУЛ КРАМЕРА a11
a12
a21 a22
a31
a32
a13
a23 0
a33
9

10. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

b1
a12
a13
a11
b1
a13
1 b2
a22
a23 ;
2 a21 b2
a23
b3
a32
a33
a31
a33
a11
a12
b1
3 a21 a22
b2
a31
b3
a32
b3
10

11. ФОРМУЛЫ КРАМЕРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

1
x1 ,
2
x2
,
3
x3
11

12. РЕШИТЬ СИСТЕМУ УРАВНЕНИЙ

2 x y 3z 13,
4 x 3 y z 7,
x 2 y 5 z 15
12

13. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГЛАВНОГО И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

2
4
1
1
3
3 1 30 24 1 9 4 20 14 0,
2
5
13
13 1
1 7
3
15 2
3
1 195 42 15 135 26 35 42,
5
14
2 13
2 4
7
1 15
3
1 70 130 13 21 30 260 14,
5
15
2 1 13
3 4
3
7 90 140 7 39 28 60 28.

1 2 15
16

17. ОКОНЧАТЕЛЬНЫЙ ОТВЕТ

1 42
x
3,
14
2 14
y

1,
14
3 28
z
2.
14
17
2 x y 3z 13,
4 x 3 y z 7,
x 2 y 5 z 15
18

“Ах, Крамер, я Вас любила!”. Самый изящный метод решения систем линейных уравнений | Математика не для всех

Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм “Математика не для всех”, чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!

Дорогой Читатель, я уже писал недавно о самом простом методе решения систем линейных уравнений (вот и он). Описанный способ являлся самым популярным, но далеко не самым красивым. Максимальное изящество имеет метод Крамера несмотря на то, что требует обращения с матрицами. Уверяю Вас, в них нет ничего сложного, тем более в статье я проведу небольшой ликбез. Поехали!

Что такое матрица ?

Числовая матрица – это по своей сути таблица, состоящая из строк и столбцов.

Квадратная матрица А 3-го порядка

Кроме понимания, что такое матрица, для решения систем линейных уравнений методом Крамера необходимо знать “определитель матрицы” – скалярную величину (число), которую можно поставить в соответствие любой квадратной матрице. Иначе в терминах отображений (почитайте про них, очень понятно):

Т.е. определитель (детерминант) – это функция, которая отображает (ставит в соответствие) квадратную матрицу порядка n на некоторое число из R (множество вещественных чисел – подробнее тут). У определителя есть много интересных свойств, например, если переставить строки матрицы, то его знак изменится, или если прибавить одну строку матрицы к другой (хоть даже умноженную на какое-либо число) детерминант вообще не изменится.

Как вычислить определитель матрицы?

На самом деле способов его вычисления существует несколько. Для матриц первого и второго ранга вычисления слишком тривиальны:

Определитель матрицы первого порядка равен единственному элементу этой матрицы. Для второй матрицы необходимо вычислить разность произведений элементов главной (от 1 к 3) и побочной диагонали (от 4 к -2).

Для матрицы третьего порядка существует мнемоническое “правило треугольника”, но мне всегда было проще пользоваться исходным способом: а именно разбивать матрицу 3-го порядка на матрицы 2-го и вычислять их определители (метод разложения по строкам):

Определитель матрицы обозначается прямыми скобками

Надеюсь, максимально понятно объяснил. Обратите внимание на минус между первым и вторым слагаемым!

Решение системы линейных уравнений методом Крамера

Швейцарский математик Габриэль Крамер (1704 – 1752). Источник: https://eponym.ru/GaleryImages/IE3AKRY96810I9YJ576FOZV70.jpg

Итак, пусть у нас имеется система линейных уравнений вида :

Тогда мы можем записать ЧЕТЫРЕ определителя на основе этих коэффициентов:

В определителях столбец коэффициентов при соответствующей неизвестной (например, при x1) заменяется столбцом свободных членов системы (b1,b2,b3). Тогда решение будет равно:

Сложно? На примере вспомните или поймете элементарно. Имеем систему уравнений:

Прежде всего запомните, что если в одном из уравнений отсутствует одна из переменных, её надо дописать с нулем, чтобы не забыть. Вычисляем определители по формулам:

Почти готово, подставляем и получаем ответ:

Да, ответ не очень красивый, но это обусловлено случайными коэффициентами, придуманными “на лету”. Кстати, может было бы удобнее решить эту систему методом Гаусса?

Существует еще один классный метод решения систем линейных уравнений. Он может показаться сложнее, но с точки зрения алгоритмической сложности он на голову обходит, например, метод Крамера и совсем немного уступает методу Гаусса.

Подписывайтесь, об этом методе расскажу в одном из следующих выпусков!

Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием.

Путеводитель по каналу “Математика не для всех”

**************************************************************************

О чем я еще пишу:

Теорема неслучайности: неравенство Чебышева

Песнь о замечательных пределах

Ответ тем, кто отрицает пользу математики в обычной жизни

Про важные и интересные числа

Экзотические тригонометрические формулы, которые не дают в школе

Решение уравнений методом крамера и гаусса.

Метод крамера решения систем линейных уравнений

С количеством уравнений одинаковым с количеством неизвестных с главным определителем матрицы, который не равен нулю, коэффициентов системы (для подобных уравнений решение есть и оно только одно).

Теорема Крамера.

Когда определитель матрицы квадратной системы ненулевой, значит, система совместна и у нее есть одно решение и его можно найти по формулам Крамера :

где Δ – определитель матрицы системы ,

Δ i – определитель матрицы системы, в котором вместо i -го столбца находится столбец правых частей.

Когда определитель системы нулевой, значит, система может стать совместной или несовместной.

Этот способ обычно применяют для небольших систем с объемными вычислениями и если когда необходимо определить 1-ну из неизвестных. Сложность метода в том, что нужно вычислять много определителей.

Описание метода Крамера.

Есть система уравнений:

Систему 3-х уравнений можно решить методом Крамера, который рассмотрен выше для системы 2-х уравнений.

Составляем определитель из коэффициентов у неизвестных:

Это будет определитель системы . Когда D≠0 , значит, система совместна. Теперь составим 3 дополнительных определителя:

Решаем систему по формулам Крамера :

Примеры решения систем уравнений методом Крамера.

Пример 1 .

Дана система:

Решим ее методом Крамера.

Сначала нужно вычислить определитель матрицы системы:

Т.к. Δ≠0, значит, из теоремы Крамера система совместна и у нее есть одно решение. Вычисляем дополнительные определители. Определитель Δ 1 получаем из определителя Δ, заменяя его первый столбец столбцом свободных коэффициентов. Получаем:

Таким же путем получаем определитель Δ 2 из определителя матрицы системы заменяя второй столбец столбцом свободных коэффициентов:

Для того чтобы освоить данный параграф Вы должны уметь раскрывать определители «два на два» и «три на три». Если с определителями плохо, пожалуйста, изучите урок

Как вычислить определитель?

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой.

Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

Ответ : ,

Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения.

Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.

Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса) .

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

В ходе решения расчет миноров лучше расписать подробно, хотя, при определенном опыте их можно приноровиться считать с ошибками устно.

В первой части мы рассмотрели немного теоретического материала, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы. Всем, кто зашел на сайт через эту страницу рекомендую ознакомиться с первой частью. Возможно, некоторым посетителям покажется материал слишком простым, но по ходу решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.

А сейчас мы разберём правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы изложены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут научиться решать системы вышеуказанными способами.

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

Ответ : ,

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Решение системы с помощью обратной матрицы

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Методы Крамера и Гаусса – одни из самых популярных методов решения СЛАУ . К тому же, в ряде случаев целесообразно использовать именно конкретные методы. Сессия близка, и сейчас самое время повторить или освоить их с нуля. Сегодня разбираемся с решением методом Крамера. Ведь решение системы линейных уравнений методом Крамера – весьма полезный навык.

Системы линейных алгебраических уравнений

Система линейных алгебраических уравнений – система уравнений вида:

Набор значений x , при котором уравнения системы обращаются в тождества, называется решением системы, a и b – вещественные коэффициенты. Простенькую систему, состоящую из двух уравнений с двумя неизвестными, можно решить в уме либо выразив одну переменную через другую. Но переменных (иксов) в СЛАУ может быть гораздо больше двух, и здесь простыми школьными манипуляциями не обойтись. Что же делать? Например, решать СЛАУ методом Крамера!

Итак, пусть система состоит из n уравнений с n неизвестными.

Такую систему можно переписать в матричном виде

Здесь A – основная матрица системы, X и B , соответственно, матрицы-столбцы неизвестных переменных и свободных членов.

Решение СЛАУ методом Крамера

Если определитель главной матрицы не равен нулю (матрица невырожденная), систему можно решать по методу Крамера.

Согласно методу Крамера, решение находится по формулам:

Здесь дельта – определитель главной матрицы, а дельта x n-ное – определитель, полученный из определителя главной матрицы путем заменой n-ного столбца на столбец свободных членов.

В этом и заключается вся суть метода Крамера. Подставляя найденные по вышеприведенным формулам значения x в искомую систему, убеждаемся в правильности (или наоборот) нашего решения. Чтобы Вы быстрее уловили суть, приведем ниже пример подробного решения СЛАУ методом Крамера:

Даже если у Вас не получится с первого раза, не расстраивайтесь! Немного практики, и Вы начнете щелкать СЛАУ как орешки. Более того, сейчас совершенно необязательно корпеть над тетрадью, решая громоздкие выкладки и исписывая стержень. Можно легко решить СЛАУ методом Крамера в режиме онлайн, лишь подставив в готовую форму коэффициенты. Испробовать онлайн калькулятор решения методом Крамера можно, к примеру, на этом сайте .

А если система оказалась упорной и не сдается, Вы всегда можете обратиться за помощью к нашим авторам, например, чтобы . Будь в системе хоть 100 неизвестных, мы обязательно решим ее верно и точно в срок!

Решить неоднородную систему методом Гаусса и методом Крамера. Определители вычислять,

Метод Крамера.
Вычисляете определитель системы Delta состоящий из коэффициентов при неизвестных:
1 2 3
2 -1 -1
1 3 4
Затем вычисляете определитель Delta1, который отличается от Delta тем, что первый столбец заменен на столбец из свободных элементов:
5 2 3
1 -1 -1
6 3 4
Далее вычисляете определитель Delta2, отличающийся от Delta тем, что второй столбец заменен на столбец свободных элементов.
Далее вычисляете определитель Delta3, отличающийся от Delta тем, что третий столбец заменен на столбец свободных элементов.
Окончательно:
x = Delta1/delta; y = Delta2/Delta; z = Delta3/Delta.
Метод Гаусса.
Метод Гаусса заключается в том, что расширенная матрица системы (или сама система) элементарными преобразованиями приводится к треугольной системе (т. е. в первой строке остаются все переменные, во второй строке – только два переменных, в третьей строке – лишь одна переменная) . Элементарные преобразования – это обмен местами двух строк, сложение (вычитание) из одной строки другой, умноженной на коэффициент.
Я предпочитаю действовать с расширенной матрицей:
1 2 3 5
2 -1 -1 1
1 3 4 6
Если из третьей строки вычесть первую, получим:
1 2 3 5
2 -1 -1 1
0 1 1 1
Прибавим ко второй строки третью и поменяем их местами.
1 2 3 5
0 1 1 1
2 0 0 2
Матрица получилась, конечно, не совсем треугольной, но переменные тут уже легко вычислить. Чему равен х ясно сразу. А y легко выражается через z. Все подставляете в первое уравнение и получаете z а затем и y.
Матричный метод. Если написать систему уравнений в матричном виде получим:
AX = B
тут А – матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных, Х – вектор из неизвесных, В – вектор, состоящий из свободных элементов.
Тогда:
Х = B/A, где 1/A -матрица, обратная А. Найти обратную матрицу можно разными способами. В Вашем случае удобнее всего сделать так:
В матрице А вместо каждого элемента подставить его алгебраическое дополнение – получите союзную матрицу. Далее, разделив каждый элемент союзной матрицы на величину определителя исходной – получите обратную матрицу. Подставляете в уравнение:
Х = B/A, и вычисляете Х. Вот и все.
В числах самостоятельно.

8.5: Детерминанты и правило Крамера

В этом разделе мы присваиваем каждой квадратной матрице \ (A \) действительное число, называемое определителем \ (A \), что в конечном итоге приведет нас к еще одному способу решения согласованные независимые системы линейных уравнений. Определитель определяется рекурсивно, то есть мы определяем его для матриц \ (1 \ times 1 \) и даем правило, по которому мы можем уменьшить определители матриц \ (n \ times n \) к сумме определителей \ ( (n-1) \ times (n-1) \) матриц (Мы поговорим больше о термине “ рекурсивно ” в разделе 9.1). Это означает, что мы сможем вычислить определитель матрицы \ (2 \ times 2 \) как сумму определителей матриц \ (1 \ times 1 \); определитель матрицы \ (3 \ times 3 \) как сумма определителей матриц \ (2 \ times 2 \) и т. д. Чтобы объяснить, как мы возьмем матрицу \ (n \ times n \) и извлечем из нее \ ((n-1) \ times (n-1) \), мы используем следующие обозначения.

Примечание \ (\ PageIndex {1} \)

Для матрицы \ (n \ times n \) \ (A \), где \ (n> 1 \), матрица \ (A_ {ij} \) представляет собой \ ((n-1) \ times (n- 1) \) матрица, образованная удалением \ (i \) -й строки \ (A \) и \ (j \) -го столбца \ (A \).

Например, используя матрицу \ (A \) ниже, мы находим матрицу \ (A_ {23} \), удаляя вторую строку и третий столбец \ (A \).

\ [\ begin {array} {ccc} A = \ left [\ begin {array} {rr> {\ columncolor [gray] {0.7}} r} 3 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 5 \ \ 2 & 1 & 4 \\ \ end {array} \ right] & \ xrightarrow {\ text {Delete \ (R2 \) and \ (C3 \)}} & A_ {23} = \ left [\ begin {array } {rr} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ \ end {array} \ right] \\ \ end {array} \]

Теперь мы можем определить определитель матрицы.

Определение \ (\ PageIndex {1} \): определитель

Учитывая матрицу \ (n \ times n \) \ (A \), определитель матрицы \ (A \), обозначенный \ (\ det (A) \), определяется следующим образом:

Если \ (n = 1 \), то \ (A = \ left [a_ {11} \ right] \) и \ (\ det (A) = \ det \ left (\ left [a_ {11} \ right] \ right) = a_ {11} \). {1 + n} a_ {1n} \ det \ left (A_1n \ right) \]

Существует два обычно используемых обозначения определителя матрицы \ (A \): ‘\ (\ det (A) \)’ и ‘\ (| A | \)’

Мы решили использовать обозначение \ (\ det (A) \) вместо \ (| A | \), потому что мы обнаружили, что последнее часто путают с абсолютным значением, особенно в контексте \ (1 \ умножить на 1 \) матрицу.{1 + n} \). Поскольку записи \ (a_ {11} \), \ (a_ {12} \) и т.д. до \ (a_ {1n} \) составляют первую строку \ (A \), мы говорим, что находим определитель \ (A \) “расширением по первой строке”. Позже в этом разделе мы разработаем формулу для \ (\ det (A) \), которая позволит нам найти ее, развернув по любой строке.

Применяя определение \ ref {terminantdefn} к матрице \ (A = \ left [\ begin {array} {rr} 4 & -3 \\ 2 & 1 \\ \ end {array} \ right] \) получаем

\ [\ begin {array} {rcl} \ det (A) & = & \ det \ left (\ left [\ begin {array} {rr} 4 & -3 \\ 2 & 1 \\ \ end {массив } \ right] \ right) \\ & = & 4 \ det \ left (A_ {11} \ right) – (-3) \ det \ left (A_ {12} \ right) \\ & = & 4 \ det ([1]) +3 \ det ([2]) \\ & = & 4 (1) + 3 (2) \\ & = & 10 \\ \ end {array} \]

Для общей матрицы \ (2 \ times 2 \) \ (A = \ left [\ begin {array} {cc} a & b \\ c & d \\ \ end {array} \ right] \) получаем

\ [\ begin {array} {rcl} \ det (A) & = & \ det \ left (\ left [\ begin {array} {cc} a & b \\ c & d \\ \ end {array} \ right] \ right) \\ & = & a \ det \ left (A_ {11} \ right) – b \ det \ left (A_ {12} \ right) \\ & = & a \ det \ left (\ left [d \ right] \ right) – b \ det \ left (\ left [c \ right] \ right) \\ & = & ad-bc \ end {array} \]

Эту формулу стоит запомнить

Примечание \ (\ PageIndex {1} \)

Для матрицы \ (2 \ times 2 \),

\ [\ det \ left (\ left [\ begin {array} {cc} a & b \\ c & d \\ \ end {array} \ right] \ right) = ad-bc \]

Применение определения \ ref {terminantdefn} к матрице \ (3 \ times 3 \) \ (A = \ left [\ begin {array} {rrr} 3 & 1 & \ hphantom {-} 2 \\ 0 & -1 & 5 \\ 2 & 1 & 4 \\ \ end {array} \ right] \) получаем

\ [\ begin {array} {rcl} \ det (A) & = & \ det \ left (\ left [\ begin {array} {rrr} 3 & 1 & \ hphantom {-} 2 \\ 0 & – 1 & 5 \\ 2 & 1 & 4 \\ \ end {array} \ right] \ right) \\ & = & 3 \ det \ left (A_ {11} \ right) – 1 \ det \ left (A_ { 12} \ right) + 2 \ det \ left (A_ {13} \ right) \\ & = & 3 \ det \ left (\ left [\ begin {array} {rr} -1 & 5 \\ 1 & 4 \\ \ end {array} \ right] \ right) – \ det \ left (\ left [\ begin {array} {rr} 0 & 5 \\ 2 & 4 \\ \ end {array} \ right] \ right ) + 2 \ det \ left (\ left [\ begin {array} {rr} 0 & -1 \\ 2 & 1 \\ \ end {array} \ right] \ right) \\ & = & 3 ((- 1) (4) – (5) (1)) – ((0) (4) – (5) (2)) + 2 ((0) (1) – (- 1) (2)) \\ & = & 3 (-9) – (- 10) +2 (2) \\ & = & -13 \\ \ end {array} \]

Чтобы оценить определитель матрицы \ (4 \ times 4 \), мы должны были бы оценить определители четырех матриц \ (3 \ times 3 \), каждая из которых включает в себя нахождение определителей трех \ (2 \ умножить на 2 \) матрицы.Как видите, наш метод оценки детерминантов быстро выходит из-под контроля, и многие из вас могут потянуться за калькулятором. Существует некоторый математический аппарат, который может помочь нам в вычислении детерминантов, и мы представляем его здесь. Прежде чем сформулировать теорему, нам понадобится еще немного терминологии.

Примечание \ (\ PageIndex {1} \)

Пусть \ (A \) будет матрицей \ (n \ times n \) и \ (A_ {ij} \) определен, как в определении \ ref {Aijdefn}. \ (Ij \) в \ (A \), обозначаемый \ (M_ {ij} \), определяется как \ (M_ {ij} = \ det \ left (A_ {ij} \ right) \).{1 + n} \ det \ left (A_ {1n} \ right) \]

, что на языке кофакторов –

\ [a_ {11} C_ {11} + a_ {12} C_ {12} + \ ldots + a_ {1n} C_ {1n} \]

Теперь мы готовы сформулировать нашу основную теорему о детерминантах.

\ (\ PageIndex {1} \): Свойства определителя

Пусть \ (A = \ left [a_ {ij} \ right] _ {n \ times n} \). \ index {определитель матрицы! свойства матрицы} \ index {! определитель! свойства}

Определитель можно найти, разложив по любой строке.То есть для любого \ (1 \ leq k \ leq n \), \ [\ det (A) = a_ {k_1} C_ {k_1} + a_ {k_2} C_ {k_2} + \ ldots + a_ {kn} C_ {kn} \]
Если \ (A ‘\) – это матрица, полученная из \ (A \) с помощью:
- меняя местами любые две строки, затем \ (\ det (A ‘) = – \ det (A) \).
- заменяя строку ненулевым кратным самой себе (скажем, \ (c \)), тогда \ (\ det (A ‘) = c \ det (A) \)
- заменяет строку на себя плюс число, кратное другой строке, тогда \ (\ det (A ‘) = \ det (A) \)
Если \ (A \) имеет две идентичные строки или строку, состоящую из всех \ (0 \), то \ (\ det (A) = 0 \).{-1} \ right) = \ dfrac {1} {\ det (A)} \).

К сожалению, хотя мы можем легко \ textit {продемонстрировать} результаты теоремы \ ref {terminantprops}, доказательства большинства этих свойств выходят за рамки этого текста. Мы могли бы доказать эти свойства для типичных матриц \ (2 \ times 2 \) или даже \ (3 \ times 3 \) с помощью вычисления грубой силы, но такой способ доказательства противоречит элегантности и симметрии определителя. Мы докажем, какие немногие свойства мы можем использовать после того, как разработаем еще несколько инструментов, таких как Принцип математической индукции в разделе \ ref {Induction} (для очень элегантной трактовки пройдите курс линейной алгебры.Здесь вы, скорее всего, увидите логически обратный подход к детерминантам, нежели тот, который представлен здесь). В частности, определитель определяется как функция, которая переводит квадратную матрицу в действительное число и удовлетворяет некоторым свойствам теоремы \ ref {terminantprops}. На основе этой функции создается формула для определителя.} А пока продемонстрируем некоторые свойства, перечисленные в теореме \ ref {terminantprops}, для матрицы \ (A \) ниже. (Другие будут обсуждаться в упражнениях.)

\ [A = \ left [\ begin {array} {rrr} 3 & 1 & \ hphantom {-} 2 \\ 0 & -1 & 5 \\ 2 & 1 & 4 \\ \ end {array} \ right ] \]

Мы нашли \ (\ det (A) = -13 \), развернув по первой строке. Чтобы воспользоваться преимуществом \ (0 \) во второй строке, мы воспользуемся теоремой \ ref {terminantprops}, чтобы найти \ (\ det (A) = -13 \) путем расширения по этой строке. {i + j} \) перед минором в разложении определителя следует чередующемуся образцу.Ниже приведен образец для матриц \ (2 \ times 2 \), \ (3 \ times 3 \) и \ (4 \ times 4 \), который естественным образом распространяется на более высокие измерения.

\ [\ begin {array} {ccc} \ left [\ begin {array} {cc} + & – \\ – & + \\ \ end {array} \ right] & \ qquad \ left [\ begin {массив } {ccc} + & – & + \\ – & + & – \\ + & – & + \ end {array} \ right] & \ qquad \ left [\ begin {array} {cccc} + & – & + & – \\ – & + & – & + \\ + & – & + & – \\ – & + & – & + \ end {array} \ right] \ end {array} \]

Тем не менее, читателя следует предостеречь от того, чтобы слишком много читать в этих шаблонах знаков.{i + j} \) в формуле; знак соответствующей записи, а также сам второстепенный, определяют окончательный знак члена в разложении определителя.

Чтобы проиллюстрировать некоторые другие свойства теоремы \ ref {terminantprops}, мы используем операции со строками для преобразования нашей \ (3 \ times 3 \) матрицы \ (A \) в верхнюю треугольную матрицу, отслеживая операции со строками, и маркируем каждую последующую матрицу. \ footnote {По сути, мы следуем алгоритму Гаусса Джордана , но нас не волнует получение ведущих \ (1 \).}

\ [\ begin {array} {ccccc} \ left [\ begin {array} {rrr} 3 & 1 & \ hphantom {-} 2 \\ 0 & -1 & 5 \\ 2 & 1 & 4 \\ \ end {array} \ right] & \ xrightarrow [\ text {with \ (- \ frac {2} {3} R1 + R3 \)}] {\ text {Заменить \ (R3 \)}} & \ left [\ begin {array} {rrr} 3 & 1 & \ hphantom {-} 2 \\ 0 & -1 & 5 \\ 0 & \ frac {1} {3} & \ frac {8} {3} \\ \ end {array} \ right] & \ xrightarrow [\ text {\) \ frac {1} {3} R2 + R3 \)}] {\ text {Заменить \ (R3 \) на}} & \ left [\ begin { array} {rrr} 3 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 5 \\ 0 & 0 & \ frac {13} {3} \\ \ end {array} \ right] \\ A & & B & & C \\ \ end {array} \]

Теорема \ ref {terminantprops} гарантирует нам, что \ (\ det (A) = \ det (B) = \ det (C) \), поскольку мы заменяем строку самой собой плюс несколько другой строки, перемещаясь от одной матрицы к следующий.{-1} \\ \ end {array} \ right] \ end {array} \]

Поскольку мы применяем наши допустимые строковые операции к \ (A \), чтобы преобразовать его в сокращенную форму эшелона строк, определитель промежуточных матриц может отличаться от определителя \ (A \) не более чем на \ textit {ненулевое} кратное . Это означает, что если \ (\ det (A) \ neq 0 \), то определитель приведенной формы эшелона строк \ (A \) также должен быть ненулевым, что, согласно определению \ ref {rowechelonform}, означает, что все главные диагональные элементы в приведенной форме эшелона строк \ (A \) должны быть \ (1 \).То есть сокращенная форма эшелона строк \ (A \) есть \ (I_ {n} \), а \ (A \) обратима. И наоборот, если \ (A \) обратимо, то \ (A \) можно преобразовать в \ (I_ {n} \) с помощью операций со строками. Поскольку \ (\ det \ left (I_ {n} \ right) = 1 \ neq 0 \), наша та же логика подразумевает \ (\ det (A) \ neq 0 \). По сути, мы установили, что определитель \ textit {определяет}, является ли матрица \ (A \) обратимой. \ Footnote {В разделе \ ref {CramersRuleMatrixAdjoints} мы узнаем, что определители (в частности, кофакторы) глубоко связаны с обратными матрицы.}

Стоит отметить, что когда мы впервые ввели понятие обратной матрицы, это было в контексте решения линейного матричного уравнения. Фактически, мы пытались «разделить» обе части матричного уравнения \ (AX = B \) на матрицу \ (A \). Точно так же, как мы не можем разделить действительное число на \ (0 \), теорема \ ref {terminantprops} говорит нам, что мы не можем «делить» на матрицу, у которой \ textit {определитель} равен \ (0 \). Мы также знаем, что если матрица коэффициентов системы линейных уравнений обратима, то система непротиворечива и независима.Отсюда следует, что если определитель указанного коэффициента не равен нулю, система является непротиворечивой и независимой.

Правило Крамера и матричные примыкания

В этом разделе мы вводим теорему, которая позволяет нам решать систему линейных уравнений только с помощью определителей. Как обычно, теорема формулируется в полной общности с использованием пронумерованных неизвестных \ (x_1 \), \ (x_2 \) и т. Д. Вместо более привычных букв \ (x \), \ (y \), \ (z \) и т. д. Доказательство общего случая лучше всего довести до курса линейной алгебры.

\ (\ PageIndex {1} \): Правило Крамера

Предположим, что \ (AX = B \) – это матричная форма системы \ (n \) линейных уравнений с \ (n \) неизвестными, где \ (A \) – матрица коэффициентов, \ (X \) – неизвестные матрица, а \ (B \) – постоянная матрица. Если \ (\ det (A) \ neq 0 \), то соответствующая система непротиворечива и независима, а решение для неизвестных \ (x_1 \), \ (x_2 \), \ (\ ldots x_ {n} \) есть выдает:

\ [x_ {j} = \ dfrac {\ det \ left (A_ {j} \ right)} {\ det (A)}, \]

, где \ (A_ {j} \) – матрица \ (A \), \ (j \) -й столбец которой заменен константами из \ (B \).

На словах правило Крамера говорит нам, что мы можем решить для каждого неизвестного по одному, найдя отношение определителя \ (A_ {j} \) к определителю матрицы коэффициентов. Матрица \ (A_ {j} \) находится путем замены столбца в матрице коэффициентов, которая содержит коэффициенты \ (x_ {j} \) константами системы. Следующий пример конкретизирует этот метод.

Пример \ (\ PageIndex {1} \): применение правила Крамера

Используйте правило Крамера, чтобы найти указанные неизвестные.

Решите \ (\ left \ {\ begin {array} {rcr} 2x_1 – 3x_2 & = & 4 \\ 5x_1 + x_2 & = & -2 \ end {array} \ right. \) Для \ (x_1 \) и \ (x_2 \)
Решить \ (\ left \ {\ begin {array} {rcr} 2x – 3y + z & = & -1 \\ x-y + z & = & 1 \\ 3x-4z & = & 0 \ end {array } \ right. \) для \ (z \).

Решение

Записывая эту систему в матричной форме, мы находим \ [\ begin {array} {ccc} A = \ left [\ begin {array} {rr} 2 & -3 \\ 5 & 1 \\ \ end {array} \ right] & \ qquad X = \ left [\ begin {array} {r} x_1 \\ x_2 \\ \ end {array} \ right] & \ qquad B = \ left [\ begin {array} {r} 4 \\ -2 \\ \ end {array} \ right] \\ \ end {array} \] Чтобы найти матрицу \ (A_1 \), мы удаляем столбец матрицы коэффициентов \ (A \), который содержит коэффициенты из \ (x_1 \) и замените его соответствующими записями в \ (B \).Аналогичным образом мы заменяем столбец \ (A \), который соответствует коэффициентам \ (x_2 \), константами, чтобы сформировать матрицу \ (A_2 \). Это дает \ [\ begin {array} {cc} A_1 = \ left [\ begin {array} {rr} 4 & -3 \\ -2 & 1 \\ \ end {array} \ right] & \ qquad A_2 = \ left [\ begin {array} {rr} 2 & 4 \\ 5 & -2 \\ \ end {array} \ right] \\ \ end {array} \] Вычисляя определители, мы получаем \ (\ det (A ) = 17 \), \ (\ det \ left (A_1 \ right) = -2 \) и \ (\ det \ left (A_2 \ right) = -24 \), так что \ [\ begin {array} { cc} x_1 = \ dfrac {\ det \ left (A_1 \ right)} {\ det (A)} = – \ dfrac {2} {17} & \ qquad x_2} = \ dfrac {\ det \ left (A_2 \ right)} {\ det (A)} = – \ dfrac {24} {17} \\ \ end {array} \] Читатель может проверить, что решение системы есть \ (\ left (- \ frac {2 } {17}, – \ frac {24} {17} \ right) \).
Чтобы использовать правило Крамера для нахождения \ (z \), мы идентифицируем \ (x_3 \) как \ (z \). У нас есть \ [\ begin {array} {cccc} A = \ left [\ begin {array} {rrr} 2 & -3 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & 0 & -4 \ end { массив} \ right] & X = \ left [\ begin {array} {r} x \\ y \\ z \ end {array} \ right] & B = \ left [\ begin {array} {r} -1 \\ 1 \\ 0 \ end {array} \ right] & A_3 = A_ {z} = \ left [\ begin {array} {rrr} 2 & -3 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & 0 & 0 \ end {array} \ right] \\ \ end {array} \] Расширение как \ (\ det (A) \), так и \ (\ det \ left (A_ {z} \ right) \) вдоль третьих строк (чтобы воспользоваться преимуществами \ (0 \)) дает \ [z = \ dfrac {\ det \ left (A_ {z} \ right)} {\ det (A)} = \ dfrac { -12} {- 10} = \ dfrac {6} {5} \] Читателю предлагается решить эту систему для \ (x \) и \ (y \) аналогичным образом и проверить ответ.

Наше последнее применение определителей – разработка альтернативного метода нахождения обратной матрицы. \ Footnote {Мы разрабатываем \ textit {метод} в предстоящем обсуждении. Как и в случае с обсуждением в Разделе \ ref {MatMethods}, когда мы разработали первый алгоритм для поиска обратных матриц, мы просим вас развлечь нас.} Давайте рассмотрим матрицу \ (3 \ times 3 \) \ (A \), которую мы так подробно изучено в Разделе \ ref {terminantdefnandprops}

\ [A = \ left [\ begin {array} {rrr} 3 & 1 & \ hphantom {-} 2 \\ 0 & -1 & 5 \\ 2 & 1 & 4 \\ \ end {array} \ right ] \]

С помощью различных методов мы обнаружили, что \ (\ det (A) = -13 \).{-1} \), мы, по сути, решаем матричное уравнение \ (AX = I_3 \), где \ (X = \ left [x_ {ij} \ right] _ {3 \ times 3} \) – это \ ( 3 \ умножить на 3 \) матрицу. Из-за того, как определяется умножение матриц, первый столбец \ (I_3 \) является произведением \ (A \) с первым столбцом \ (X \), второй столбец \ (I_3 \) является произведением \ (A \) со вторым столбцом \ (X \) и третьим столбцом \ (I_3 \) является произведением \ (A \) с третьим столбцом \ (X \). Другими словами, мы решаем три уравнения (читателю предлагается остановиться и подумать над этим).

\ [\ begin {array} {ccc} A \ left [\ begin {array} {r} x_ {11} \\ x_ {21} \\ x_ {31} \ end {array} \ right] = \ left [\ begin {array} {r} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {array} \ right] & \ qquad A \ left [\ begin {array} {r} x_ {12} \\ x_ {22} \ \ x_ {32} \ end {array} \ right] = \ left [\ begin {array} {r} 0 \\ 1 \\ 0 \ end {array} \ right] & \ qquad A \ left [\ begin { массив} {r} x_ {13} \\ x_ {23} \\ x_ {33} \ end {array} \ right] = \ left [\ begin {array} {r} 0 \\ 0 \\ 1 \ end {массив} \ right] \\ \ end {array} \]

Мы можем решить каждую из этих систем, используя правило Крамера.Ориентируясь на первую систему, у нас есть

\ [\ begin {array} {ccc} A_1 = \ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 1 & \ hphantom {-} 2 \\ 0 & -1 & 5 \\ 0 & 1 & 4 \ \ \ end {array} \ right] & A_2 = \ left [\ begin {array} {rrr} 3 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 5 \\ 2 & 0 & 4 \\ \ end {array} \ right] & A_3 = \ left [\ begin {array} {rrr} 3 & 1 & \ hphantom {-} 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ \ end {array} \ right ] \ end {array} \]

Если мы расширим \ (\ det \ left (A_1 \ right) \) по первой строке, мы получим

\ [\ begin {array} {rcl} \ det \ left (A_1 \ right) & = & \ det \ left (\ left [\ begin {array} {rr} -1 & 5 \\ 1 & 4 \\ \ end {array} \ right] \ right) – \ det \ left (\ left [\ begin {array} {rr} 0 & 5 \\ 0 & 4 \\ \ end {array} \ right] \ right) + 2 \ det \ left (\ left [\ begin {array} {rr} 0 & -1 \\ 0 & 1 \\ \ end {array} \ right] \ right) \\ & = & \ det \ left (\ left [\ begin {array} {rr} -1 & 5 \\ 1 & 4 \\ \ end {array} \ right] \ right) \ end {array} \]

Удивительно, но это не что иное, как кофактор \ (C_ {11} \) для \ (A \).Читателю предлагается проверить это, а также утверждения, что \ (\ det \ left (A_2 \ right) = C_ {12} \) и \ (\ det \ left (A_3 \ right) = C_ {13} \ ). \ footnote {Изучив основательный курс линейной алгебры, вы узнаете, что свойства теоремы \ ref {terminantprops} сохраняются одинаково хорошо, если слово «строка» заменяется словом «столбец». Мы не собираемся вдаваться в операции с столбцами в этом тексте, но они действительно упрощают понимание некоторых из того, что мы пытаемся сказать.} (Чтобы увидеть это, хотя это кажется неестественным, разверните первую строку .) Правило Крамера сообщает нам

\ [\ begin {array} {ccc} x_ {11} = \ dfrac {\ det \ left (A_1 \ right)} {\ det (A)} = \ dfrac {C_ {11}} {\ det (A )}, & x_ {21} = \ dfrac {\ det \ left (A_2 \ right)} {\ det (A)} = \ dfrac {C_ {12}} {\ det (A)}, & x_ {31 } = \ dfrac {\ det \ left (A_3 \ right)} {\ det (A)} = \ dfrac {C_ {13}} {\ det (A)} \ end {array} \]

Итак, первый столбец обратной матрицы \ (X \) равен:

\ [\ left [\ begin {array} {r} x_ {11} \\ x_ {21} \\ x_ {31} \ end {array} \ right] = \ left [\ begin {array} {r} \ dfrac {C_ {11}} {\ det (A)} \\ \ dfrac {C_ {12}} {\ det (A)} \\ \ dfrac {C_ {13}} {\ det (A)} \ конец {массив} \ right] = \ dfrac {1} {\ det (A)} \ left [\ begin {array} {r} C_ {11} \\ C_ {12} \\ C_ {13} \ end { массив} \ справа] \]

Обратите внимание на то, что нижние индексы меняются местами от неизвестного к соответствующему сомножителю \ (A \). {- 1} = \ dfrac {1} {\ det (A)} \ left [\ begin {array} {ccc} C_ {11} & C_ {21} & C_ {31} \\ C_ {12} & C_ {22} & C_ {32} \\ C_ {13} & C_ {23} & C_ {33} \\ \ end {array} \ right] = – \ dfrac {1} {13} \ left [\ begin {array} {rrr} -9 & -2 & 7 \\ 10 & 8 & -15 \\ 2 & -1 & -3 \\ \ end {array} \ right] = \ left [\ begin {array} {rrr} \ frac {9} {13} & \ frac {2} {13} & – \ frac {7} {13} \\ – \ frac {10} {13} & – \ frac {8 } {13} & \ frac {15} {13} \\ – \ frac {2} {13} & \ frac {1} {13} & \ frac {3} {13} \\ \ end {array} \ справа] \]

Чтобы обобщить это на обратимые \ (n \ умножить на n \) матрицы, нам понадобится другое определение и теорема.Наше определение дает специальное имя матрице кофакторов, и теорема говорит нам, как использовать ее вместе с \ (\ det (A) \), чтобы найти обратную матрицу.

Определение \ (\ PageIndex {1} \): Присоединенная матрица

Пусть \ (A \) – матрица \ (n \ times n \), а \ (C_ {ij} \) обозначает кофактор \ (ij \) для \ (A \). , присоединенный к к \ (A \), обозначенный \ (\ text {adj} (A) \), представляет собой матрицу, \ (ij \) – элемент которой является кофактором \ (ji \) \ (A \), \ (C_ {ji} \). То есть

\ [\ text {adj} (A) = \ left [\ begin {array} {cccc} C_ {11} & C_ {21} & \ ldots & C_ {n1} \\ C_ {12} & C_ {22} } & \ ldots & C_ {n2} \\ \ vdots & \ vdots & & \ vdots \\ C_ {1n} & C_ {2n} & \ ldots & C_ {nn} \\ \ end {array} \ right] \ ] \ end {defn}

Это новое обозначение значительно сокращает формулу, обратную к матрице.{-1} = \ dfrac {1} {ad-bc} \ left [\ begin {array} {rr} d & -b \\ -c & a \\ \ end {array} \ right] \]

Доказательство теоремы \ ref {adjointinverse}, как и многие другие результаты этого раздела, лучше всего доверить курсу линейной алгебры. В таком курсе вы не только приобретете более сложные методы доказательства, но и получите более широкую перспективу. Авторы уверяют, что настойчивость окупается. Если вы задержитесь на несколько семестров и пройдете курс линейной алгебры, вы увидите, насколько хороши все элементы матрицы, несмотря на утомительные обозначения и море индексов.В рамках этого текста мы докажем несколько результатов, связанных с определителями, в разделе \ ref {Induction}, когда у нас будет хороший принцип математической индукции. А пока убедитесь, что вы разбираетесь в \ textit {механике} матриц, и теория рано или поздно придет.

Авторы и авторство

Карл Ститц, доктор философии (Lakeland Community College) и Джефф Зигер, доктор философии. (Общественный колледж округа Лорейн)

Правило Крамера

10.Решать используя правило Крамера

2х + 3у + г = 10 х – у + г = 4 4x – y – 5z = -8

Каждое неизвестное будет частным от определителя, полученного подставляя ответы в правые части уравнений для коэффициенты неизвестного, деленные на определитель, образованный принимая коэффициенты в левых частях уравнений.

Чтобы оценить детерминанты 3×3, мы сокращаем задачу до нахождение определителей 2×2.Начнем с определителя, которым является во всех низах.

Сначала составьте шахматную доску 3×3 из знаков + и -.

Начало в левом верхнем углу со знаком + и альтернативными знаками в обоих направления.

Затем выберите любую строку или любой столбец. В нашем примере выберем третий ряд. Поскольку не имеет значения, какая строка или столбец, который мы выбираем, в третьей строке больше отрицательных записей, и поэтому будет более поучительным в качестве примера.Умножьте каждую запись в строка или столбец по определителю 2×2, который вы получите, выбрасывая строку и столбец, в котором мы находим запись.

Если вход идет с положительной позиции на шахматной доске массив, добавьте товар. Если с отрицательной позиции, вычесть произведение.

Это дает нам

4 (3 – (-1)) + (2-1) – 5 (-2-3) = 4 (4) + (1) – 5 (-5) = 16 + 1 + 25 = 42

Давайте проверим наш результат, расширив средний столбец.

= -3 (-5-4) – (-10-4) + (2-1) = -3 (-9) – (-14) + (1) = 27 + 14 + 1 = 42

Вы можете показать это независимо от того, какую строку или столбец вы используете в расширение, вы получите тот же ответ. Важно найти определитель внизу внизу, потому что, если он равен нулю, этот метод не будет работать. Будет какой-то параллелизм с плоскости на графике, и единственного решения не будет. Теперь что у нас есть основания в вычислениях для всех трех неизвестных, расширим верхние детерминанты в каждом случае на верхнюю строку.

= 10 (5 – (-1)) – 3 (-20 – (-8)) + (-4-8)
42 = 10 (6) – 3 (-12) + (-12)
42 = 60 + 36-12
42 = 84
42 = 2 = 2 (-20 – (- 8)) – 10 (-5-4) + (-8-16)
42 = 2 (-12) – 10 (-9) + (-24)
42 = -24 + 90-24
42 = 42
42 = 1 = 2 (8 – (- 4)) – 3 (-8-16) + 10 (-1 – (-4))
42 = 2 (12) – 3 (-24) + 10 (3)
42 = 24 + 72 + 30
42 = 126
42 = 3

, и мы получаем тот же ответ, что и с метод замещения, метод сложения, строковые операции, а обратный метод, и этот ответ будет проверить.

верх

Mathwords: Правило Крамера

индекс: нажмите на букву






индекс: предметные области

эта страница обновлена 19-июл-17
Математические слова: термины и формулы от алгебры I до исчисления
написаны, проиллюстрированы и веб-мастером Брюса Симмонса
Авторские права © 2000 Брюс Симмонс
Все права защищены

Что такое правило Крамера? – nebusresearch

KnotTheorist попросил его, когда я призывал обсудить теоремы.И я беру открытую интерпретацию того, что такое «теорема». Я могу сделать правило.

Я впервые узнал о правиле Крамера так, как, как я ожидаю, делает большинство людей. Это был курс алгебры. Я имею в виду школьную алгебру. Под алгеброй средней школы я подразумеваю, что вы тратите примерно восемьсот лет на изучение способов решения относительно x или построения графика y в зависимости от x. Затем сделайте паузу для полярных координат и матриц. Затем вы возвращаетесь к поиску x и y.

Правило Крамера появилось в контексте решения одновременных уравнений.У вас более одной переменной. Итак, x и y. Может быть z. Может быть, даже w, прежде чем тот, кто установит проблему, сдастся и переименует все x ₁ и x ₂ и x ₆₂ и все такое. У вас также есть более одного уравнения. Фактически, у вас ровно столько уравнений, сколько переменных. Существуют ли какие-либо наборы значений этих переменных, которые делают все эти переменные истинными одновременно? Отсюда образное название «одновременные уравнения» или поиск «одновременных решений».

Если все уравнения линейны, то всегда можно сказать, есть ли одновременные решения. Под «линейным» мы подразумеваем то, что мы всегда имели в виду в математике, то есть «что-то, с чем мы можем справиться». Но более точно это означает, что уравнения имеют x, y и любые другие переменные только в первой степени. Никаких x-квадратов или квадратных корней из y, касательных к z или чего-то еще. (В уравнениях также разрешено опускать переменную. То есть, если у вас есть одно уравнение с x, y и z, а другое – только с x и z, а другое – только с y и z, это нормально.Мы притворяемся, что пропущенная переменная присутствует и просто умножается на ноль, и действуем, как прежде.) Один из способов найти эти решения – использовать правило Крамера.

Правило Крамера устанавливает некоторые матрицы на основе системы уравнений. Если система имеет два уравнения, она устанавливает три матрицы. Если система состоит из трех уравнений, она устанавливает четыре матрицы. Если система состоит из двенадцати уравнений, она устанавливает тринадцать матриц. Вы видите здесь закономерность. Затем вы можете взять определитель каждой из этих матриц.Разделив определитель одной из этих матриц на другую, вы узнаете, какое значение x делает все уравнения истинными. Разделив определитель другой матрицы на определитель одной из этих матриц, вы узнаете, какие значения y делают все уравнения истинными. И так далее. Правило говорит вам, какие детерминанты использовать. В нем также говорится, что это значит, если определитель, который вы хотите разделить на, равен нулю. Это означает, что либо нет набора одновременных решений, либо решений бесконечно много.

Мы, студенты, напрасно пытаемся убедить нас, что умение вычислять детерминанты того стоит. Дело не в том, что детерминанты не стоит знать. Просто они, кажется, не говорят нам ничего, о чем мы заботимся. Только когда мы перейдем к отображениям, исчислению, дифференциальным уравнениям и другим важным математическим предметам. Мы никогда не видим этого в старшей школе.

И самая сложная часть детерминантов заключается в том, что для всех крутых вещей, которые они нам рассказывают, на их вычисление уходит навсегда .Определитель для матрицы с двумя строками и двумя столбцами неплох. Три строки и три столбца портятся. Четыре строки и четыре столбца – это ужасно. Определитель для матрицы с пятью строками и пятью столбцами вы можете вычислить только в том случае, если вы очень рассердили своего учителя на вас.

Итак, есть гений и первая проблема с правилом Крамера. Требуется лот расчета. Множество ошибок в расчетах, и ваша работа неверна. И что еще хуже, очевидно, что это не будет неправильным.Вы можете найти ошибку, только просматривая каждый шаг и надеясь поймать то место, где вы каким-то образом ошиблись 36 раз -7 минус 21 раз -8.

Вторая проблема состоит в том, что никто в школьной алгебре не упоминает, почему системы линейных уравнений должны быть интересными для решения. О, может быть, они объяснят, как это работает, чтобы выяснить, где пересекаются две прямые линии. Но это просто сдвигает фразу «и мы заботимся, потому что…?» проблема назад на один шаг. Позже мы сможем понять, что линии представляют собой случаи, когда что-то, что нас интересует, истинно или когда оно меняется с истинного на ложное.

Такого рода проблемы одновременного решения естественным образом возникают в задачах оптимизации. Это проблемы, в которых вы пытаетесь найти максимум с некоторыми ограничениями. Или найдите минимум. Максимумы и минимумы – это одно и то же, если подумать о них достаточно долго. Если все ограничения могут быть выполнены сразу и вы получите максимум (или минимум, что угодно), отлично! Если они не могут… Что ж, вы можете изучить, насколько близко можно подойти и что произойдет, если вы ослабите одно или несколько ограничений.Об этом стоит знать.

Третья проблема с правилом Крамера заключается в том, что как метод оно отстойно. Мы можем быть уверены, что одновременные линейные уравнения заслуживают решения или, по крайней мере, мы должны решить их, чтобы выйти из старшей школы алгебры. И у нас есть компьютеры. Они могут тщательно обработать и вычислить тринадцать определителей матриц размером двенадцать строк на двенадцать столбцов. Они могут даже получить ответ до конца семестра. (Объем работы, необходимой для определения определителя, страшно быстро растет по мере увеличения размера матрицы.) Но вся эта работа может оказаться бессмысленной.

Проблема в том, что правило Крамера численно нестабильно. Прежде чем я даже объясню, что это, вы уже чувствуете, что это плохо. Подумайте обо всех хороших вещах в своей жизни, которые вы называли нестабильными. Справедливо. Но вот что мы подразумеваем под числовой нестабильностью.

1/3 равно 0,3333333? Нет, и мы это знаем. Но достаточно ли это близко? Конечно, в большинстве случаев. Допустим, нам нужна треть шестидесяти миллионов. 0,3333333 умножить на 60000000 равно 19 999 998.Это немного отличается от правильных 20 000 000. Но держу пари, вы бы даже не заметили разницы, если бы вам на это никто не указывал. Даже если вы заметили это, вы можете списать разницу. «Если мы должны, компенсировать разницу за счет мелкой наличности», – можете заявить вы, как если бы это было вполне разумно в данном контексте.

И это потому, что это умножение численно стабильно. Сделайте небольшую ошибку в любом из терминов, и вы получите пропорциональную ошибку в результате. Небольшая ошибка – ну, может быть, она не обязательно останется маленькой.Но он не будет расти слишком быстро.

Итак, теперь вы интуитивно знаете, что такое нестабильный расчет . В этом случае небольшая ошибка не обязательно остается пропорционально малой. Он может вырасти огромным, произвольно огромным и в немногих вычислениях. Так что ваш ответ может быть легко вычислен, но на самом деле бессмысленным.

Это не из-за неисправности компьютера как такового. То есть он работает так, как задумано. Просто нам может потребоваться бесконечно много цифр точности, чтобы результат был правильным.Вы видите, где могут возникнуть проблемы с этим.

Правило Крамера не гарантирует, что это ерунда, и это большое облегчение. Но он уязвим для этого. Вы можете создавать проблемы, которые выглядят безобидными, но компьютер не может. И это, безусловно, наихудший из всех миров, поскольку мы бы не утруждали себя численными расчетами, если бы это не было слишком сложно сделать вручную.

(Позвольте мне направить читателя, который не боится математического жаргона и которому нравится видеть, как хорошие редакторы Википедии ссорятся, на страницу обсуждения правил Крамера.Специально к разделу «Правило Крамера бесполезно»)

Я не хочу слишком сильно углубляться в правило Крамера. Не то, чтобы числовая нестабильность мешала каждой проблеме, с которой вы могли бы ее использовать. И вы можете ценой дополнительной работы определить, будет ли определенный набор уравнений нестабильным. Это требует большого количества вычислений, но если у нас есть компьютер, который может работать нормально. Пусть это. И компьютер может ограничить свою числовую нестабильность, если он может выполнять символические манипуляции.То есть, если он может использовать понятие «одна треть», а не 0,3333333. Программный пакет Mathematica, например, очень хорошо выполняет символьные манипуляции. Вы можете избавиться от многих проблем с числовой нестабильностью, хотя и столкнетесь с проблемой оплаты копии Mathematica.

Если вам просто нужна или просто нужна одна из переменных, то какого черта. Правило Крамера позволяет вам решать только одну или несколько переменных. Мне это кажется нишевым приложением, но оно есть.

И это правило снова появляется в чистом анализе, где числовая нестабильность не имеет значения. Например, когда мы смотрим на дифференциальные уравнения, мы часто находим решения – это комбинации нескольких независимых компонентных функций. Фактически, базы. Проверить, нашли ли мы независимые основы, можно с помощью вещи, называемой вронскианом. Так правило Крамера проявляется в дифференциальных уравнениях.

Википедия также утверждает использование правила Крамера в дифференциальной геометрии.Я верю, что это верное утверждение, и оно найдет отражение во многих механических задачах. В них мы можем использовать наши знания о том, что, скажем, энергия и угловой момент системы являются постоянными величинами, чтобы кое-что сказать нам о том, как положения и скорости зависят друг от друга. Но признаю, что плохо разбираюсь в дифференциальной геометрии. Это то, что действительно причинило мне боль в моей научной жизни. Я не знаю, благодарят ли дифференциальные геометры Правило Крамера за это понимание или они просто рады, что все это убрано.(См. Вышеупомянутую ссору редакторов Википедии.)

Признаюсь, из-за всех этих разговоров о правиле Крамера я не сказал, что это такое. Недостаточно подробностей, чтобы сдать уроки алгебры в старшей школе. Все в порядке. Легко найти. MathWorld имеет правило в довольно простой форме. Mathworld забывает определить, что это значит вектором d . (Это вектор с компонентами d ₁, d ₂ и так далее.) Но это достаточно технических деталей. Если вам нужно что-то рассчитать, используя его, вы, вероятно, можете присмотреться к проблеме и посмотреть, можете ли вы сделать это по-другому.Или вы изучаете алгебру в старшей школе и вам просто нужно усердно ее изучать. Все хорошо. В конце концов вы можете отложить x и y и заняться геометрией.

Определитель и метод Крамера – презентация онлайн

1. ТЕМА № 2

2. ОБОЗНАЧЕНИЯ

3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ МАТРИЦ 1-го и 2-го ПОРЯДКОВ

4. Вычисление определителя матрицы 3-го порядка

5. Пример

6. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ КРАМЕРА

7. ОБЩИЙ ВИД СИСТЕМЫ n ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С n НЕИЗВЕСТНЫМИ

8. Пример

9.

10. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

11. ФОРМУЛЫ КРАМЕРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

12. РЕШИТЬ СИСТЕМУ УРАВНЕНИЙ

13. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГЛАВНОГО И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

17. ОКОНЧАТЕЛЬНЫЙ ОТВЕТ

“Ах, Крамер, я Вас любила!”. Самый изящный метод решения систем линейных уравнений | Математика не для всех

Что такое матрица ?

Как вычислить определитель матрицы?

Решение системы линейных уравнений методом Крамера

Решение уравнений методом крамера и гаусса.

Описание метода Крамера.

Примеры решения систем уравнений методом Крамера.

Системы линейных алгебраических уравнений

Решение СЛАУ методом Крамера

Решить неоднородную систему методом Гаусса и методом Крамера. Определители вычислять,

8.5: Детерминанты и правило Крамера

Правило Крамера и матричные примыкания

Авторы и авторство

Правило Крамера

Mathwords: Правило Крамера

Что такое правило Крамера? – nebusresearch

Оставить комментарий Отменить ответ