Основное уравнение квантовой механики: Уравнение Шредингера

Основное уравнение квантовой механики.

1926г. УрШредингера.

m- масса частицы.

E- полная энергия частицы.

– пси-функция (волновая функция).

– оператор Лапласа.

С помощьюописывается поведение микрочастицы в данный момент времени. , так как это поведение носит вероятностный характер, то с помощьюнадо умерь рассчитывать вероятность обнаружения микрочастицы в данном объеме пространства. А, так как вероятность действительная и положительная, то за меру вероятности берут не саму, а квадрат ее модуля.

плотность вероятности (вероятность [W] обнаружения частицы в данный момент времени в единичном объеме)

; – вероятность достоверного события.

Итак. Решив уравнение, получаем значение; зная ее можем рассчитать вероятность нахождения частицы в данный момент времени в данном объеме пространства.

Чтобыбыла объективной характеристикой поведения микрочастицы, она должна обладать следующими свойствами:

1. Непрерывность. Разрывможет приводить к неверным результатам при расчете вероятности.

2. Однозначность, чтобы не было неоднозначности при расчете вероятности.

3. Конечность, потому что вероятность не мож быть > 1.

В теории дифференциального уравнения подобного типа (2-го порядка частных производных) доказывается, что решения, удовлетворяющие свойствам непрерывности, имеют место только при определенных значениях параметра, входящего в это уравнение. Таким параметром в данном уравнении является Е (энергия микрочастицы). Следовательно, из уравнения Шредингера без каких-либо постулатов вытекает дескретный ряд значений полной энергии микрочастицы.

Применение уравнения (1) к атому h3.

Решение уравнения дает:

1. Значение энергии. ; n=1,2,3…

dV- объем, в котором находится частица.

dW- вероятность нахождения частицы в заданном объеме.

Т.к. электрон в атоме имеет три степени свободы (i=3), тоявляется функцией трех квантовых чисел ().

n- главное квантовое число (n=1,2,3…).

l- азимутальное (орбитальное) квантовое число (l=0,1,2,…,n-1). l принимает n различных значений.

m- магнитное квантовое число ().m принимает 2l+1 различных значений.

Сколько может быть различных состояний электрона с одним и тем же значением n?

Не может быть двух состояний (электронов), в которых все квантовые числа одинаковые.

Под термином: «различные квантовые состояния» понимаются состояния, которые отличаются значение хотя бы одного квантового числа.

Это есть принцип Паули для электрона в атоме (n2).

()-обозначение двух противоположных направления собственных спиновых моментов (Mzs).

Состояние с l=0 называется s–состоянием; с l=2 называется р–состоянием; с l=3 называется d–состоянием.

Физический смысл квантовых чисел.

1. n– гл квантовое число Определяет энергию . Данн велич дискрет, строго определ.

2. l– азимутальное (орбитальное) квантовое число

. Определяет момент импульса на орбите (орбитальный механический момент). Определяет форму орбиты.

Мплоскости орбиты. Из уравнения Шредингера следует. Данная величина дискретная, строго определенная.

3. m– магнитное квантовое число. Определяет проекцию момента импульса на ось. Определяет ориентацию орбиты в пространстве. Mz=m-дискретная величина. Рис.1.9.

Пример.

Электрон находится в р-состянии (l=1, m=0,1). Следовательно,Mz=0, Mz=+;-

Итак.

1. , описывающая поведение электрона в атоме, является функцией трех квантовых чисел, так как электрон в атоме имеет три степени свободы.

2. В каждом квантовом состоянии, которому соответствуют определенные значения квантовых чисел l, m и n, электрон обладает определенными (дискретными) значениями трех характеристик: En, M, Mz.

3.электрон обладает собственным механическим моментом, который получил название спина. Msz=ms; ms=S; ms– спиновое магнитное квантовое число.

S- спиновое число. Sэл=1/2; Mzs=

Mzs- проекция на заданное направление.

Полный момент электрона

4. С у четом спина полный набор квантовых чисел есть n,l,m. Первые три связаны с движением электрона в атоме, четвертый – с собственным свойством электрона.

Полный набор собственных характеристик электрона тоже 4: E, M, Mzs, Mz.

5. Так как в каждом квантовом состоянии электрон имеет две ориентации спина, то число различных квантовых состояний, соответствующих определенному значению n будет 2n2принцип Паули для электрона в атоме.

6. Так какзависит от квантовых чисел, смысл которых разобран, то, следовательно, известно значение. А, зная, можно рассчитать вероятность обнаружения электрона в атоме водорода в различных квантовых состояниях. Рис.2.

Следовательно, радиусы боровских орбит соответствуют расстояниям, на которых максимальна вероятность обнаружения электрона в атоме, но электрон может быть ближе и дальше этого расстояния с меньшей вероятностью. Следовательно, движение электрона в атоме есть некое электронное облако (форму определяет l), плотность которого максимальна на расстояниях, соответствующих боровским радиусам орбит. Вкладывая такой смысл в боровские радиусы, можно сохранить понятие орбит.

7.

Отличительные особенности квантовой механики: вероятность поведения частиц, и дискретность всех характеристик частиц. Рис.2.1

Атомная физика

Волновая функция является главным объектом изучения в квантовой механике. Говоря о каком-то состоянии в классической физике, мы подразумевали, что в момент времени t=0 частица имела некие положение и скорость (импульс), а дальнейшая ее судьба предопределена уравнениями движения Ньютона.

Состояние в квантовой механике имеет иной смысл: в момент времени задана волновая функция, изменение которой регулируется пока не известным нам уравнением (Шредингера). В этом смысле теперь понимается

причинность: в классике — точные предсказания положений и скоростей, в квантовой механике — предсказания состояний (волновых функций). Уравнения новой физики (в данном случае — уравнение Шредингера) никогда не выводятся логически из прежних принципов (иначе это будет не новая теория, а следствие старой). Но квантово-механическое уравнение должно иметь некие классические корни, поскольку классическая механика хороша в области своей применимости. Далее мы приведем не вывод, но наводящие соображения (как в разд. 3.3 для соотношений неопределенностей).

Свободной частице соответствует волна де Бройля, которую мы записываем в виде классической плоской волны (в комплексной форме)

 

(4.5)

где модуль волнового вектора k связан с длиной волны соотношением

C амплитуда. Мы использовали уже известную связь энергии и импульса частицы с частотой и длиной волны де Бройля. Искомое уравнение для волновой функции не должно содержать

и   так как это характеристики конкретного состояния частицы. Попробуем найти операции над волновой функцией свободной частицы, позволяющие исключить параметры и  Е и р. Имеем для производной по времени

 

(4.6)

и по пространственной координате

 

(4.7)

Такие же уравнения возникнут при дифференцировании по , и . Повторяя дифференцирование по координатам, получаем

 

(4. 8)

Складывая (4.8) с аналогичными уравнениями для вторых производных по , и , приходим к соотношению

 

(4.9)

где знаком  обозначен оператор Лапласа:

Рис. 4.6. Пьер-Симо́н Лапла́с (1749–1827)

В этом месте возникает различие между релятивистским и нерелятивистским случаями. Рассматриваемая здесь квантовая механика — нерелятивистская теория, в которой

Это классическое coотношение позволяет связать дифференцирование по времени в (4.6) с дифференцированием по пространственным координатам в (4. 9) и тем самым исключить из уравнения зависимость от энергии и импульса частицы:

 

(4.10)

Это уравнение вполне бы нас устроило, но написано оно пока только для свободной частицы. Легко понять, как должно выглядеть уравнение для системы с постоянным значением  потенциальной энергии. Полная энергия равна сумме

так что получаем

 

(4.11)

В случае частицы, находящейся в произвольном потенциальном поле, вблизи точки  потенциальную энергию можно считать постоянной величиной , так что искомое обобщение почти с очевидностью следует из уравнения (4. 11):

 

(4.12)

Это и есть основное уравнение квантовой механики — знаменитое общее уравнение Шредингера. Подчеркнем еще раз, что вывести его строго невозможно, но можно угадать, исходя из наводящих соображений. Соответствие уравнения и его следствий физической реальности проверяется экспериментально. Уравнение Шредингера по сути есть аналог классического соотношения между полной энергией  частицы и ее кинетической энергией . Для свободной частицы они совпадают. При наличии потенциального поля это соотношение принимает вид

Мы уже знаем, что полной энергии соответствует производная по , компонентам импульса — производные по x,y,z, а кинетической энергии — вторые производные по пространственным координатам, поскольку импульс входит в нее во второй степени. Классической потенциальной энергии, как мы видим, в квантовой механике соответствует обычное произведение  на волновую функцию.

Уравнение Шредингера линейно по искомой волновой функции, откуда сразу же вытекают следствия:

 

  • Если  — решение уравнения (4.12), то  — также его решение при любой константе СА. Следовательно, подбором постоянной А можно добиться выполнения условия нормировки (4.3).

  • Если  и   решения уравнения Шредингера, то линейная комбинация  — также его решение (принцип суперпозиции, то есть основа явления интерференции).

5.4: пример в квантовой механике

  1. Последнее обновление
  2. Сохранить как PDF
  • Идентификатор страницы
    106830
    • Марсия Левитус
    • Университет штата Аризона

    Основной постулат квантовой механики устанавливает, что состояние квантово-механической системы определяется функцией, называемой волновой функцией . 2\) по всему пространству должен быть равен 1). 92}+U(x)\psi(x)=E \psi(x)\]

    Обратите внимание, что положение частицы определяется \(x\), потому что мы предполагаем одномерное движение. Константа \(\hbar\) (произносится как «h-bar») определяется как \(h/(2\pi)\), где \(h\) — постоянная Планка. \(U(x)\) представляет собой потенциальную энергию, которой подвергается частица, и зависит от сил, действующих в системе. Например, если бы мы анализировали атом водорода, потенциальная энергия была бы обусловлена ​​силой взаимодействия между протоном (положительно заряженным) и электроном (отрицательно заряженным), которая зависит от их расстояния. Постоянная \(Е\) есть полная энергия, равная сумме потенциальной и кинетической энергий.

    Это будет сбивать с толку, пока мы не увидим несколько примеров, так что не расстраивайтесь и наберитесь терпения. Начнем с обсуждения простейшей (с математической точки зрения) квантово-механической системы. Наша система состоит из частицы массы \(m\), которая может свободно перемещаться в одном измерении между двумя «стенами». Стены непроницаемы, и поэтому вероятность того, что вы найдете частицу за пределами этого одномерного ящика, равна нулю. Это не слишком отличается от мячика для пинг-понга, подпрыгивающего в комнате. Неважно, как сильно вы отбиваете мяч о стену, вы никогда не найдете его с другой стороны. Однако мы увидим, что для микроскопических частиц (малой массы) система ведет себя совершенно иначе, чем для макроскопических частиц (мячик для пинг-понга). Поведение макроскопических систем описывается законами того, что мы называем классической механикой, а поведение молекул, атомов и субатомных частиц описывается законами квантовой механики. Только что описанная проблема известна как проблема «частицы в ящике» и может быть расширена до большего количества измерений (например, частица может двигаться в трехмерном ящике) или геометрий (например, частица может двигаться по поверхности сферы, или внутри области круга).

    Рисунок \(\PageIndex{1}\): Задача о частице в одномерном ящике (CC BY-NC-SA; Marcia Levitus)

    Мы начнем с простейшего случая, который представляет собой задачу, известную как частица в одномерном ящике» (рис. \(\PageIndex{1}\)). Это простая физическая задача, которая, как мы увидим, дает элементарное описание сопряженных линейных молекул. В этой задаче частица может свободно перемещаться в одном измерении внутри «коробки» длиной \(L\). В этом контексте «свободно» означает, что на частицу не действует никакая сила, поэтому потенциальная энергия внутри ящика равна нулю. Частице не позволено двигаться за пределы ящика, и физически мы гарантируем, что это правда, навязывая бесконечную потенциальную энергию на краях ящика (\(x = 0\) и \(x = L\)) и снаружи поле (\(x < 0\) и \(x > L\)).

    \[U(x)=\left\{\begin{matrix} \infty & x<0 \\ 0 & 0L \end{matrix}\right. \nonumber\]

    Поскольку потенциальная энергия вне ящика равна бесконечности, вероятность найти частицу в этих областях равна нулю. Это означает, что \(\psi(x)=0\), если \(x>L\) или \(x<0\). А как насчет \(\psi(x)\) внутри коробки? Чтобы найти волновые функции, описывающие состояния системы, мы должны решить уравнение Шредингера:

    \[-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi(x)} {dx^2}+U(x)\psi(x)=E \psi(x) \nonnumber\] 92}+ E\psi(x)=0\]

    Помните, что \(\hbar\) — константа, \(m\) — масса частицы (также постоянная), а \(E\) — энергия. Энергия частицы постоянна в том смысле, что она не является функцией \(х\). Мы увидим, что существует множество (на самом деле бесконечных) возможных значений энергии частицы, но это числа, а не функции \(х\). Имея все это в виду, надеюсь, вы поймете, что уравнение Шредингера для одномерной частицы в ящике является однородным ОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Имеются ли у нас какие-либо начальные или граничные условия? На самом деле да, потому что волновая функция должна быть непрерывной функцией \(x\). Это означает, что не может быть резких скачков плотности вероятности при перемещении в пространстве. В частности, в данном случае это означает, что \(\psi(0)=\psi(L)=0\), поскольку вероятность нахождения частицы вне ящика равна нулю. 92}}L\right)}=0 \nonumber\]

    Мы можем сделать \(A=0\), но это приведет к тому, что волновая функция будет равна нулю при всех значениях \(x\). Это то, что мы раньше называли «тривиальным решением», и хотя это решение является решением с математической точки зрения, оно не является таковым, когда мы думаем о физике проблемы. 2\) для состояния с наименьшей энергией (\(n=1\)) представлена ​​на рисунке \(\PageIndex{2}\). Вероятность найти электрон больше в центре, чем на краях; ничего подобного тому, что мы ожидаем от макроскопической системы. График симметричен относительно центра прямоугольника, а это означает, что вероятность найти частицу в левой части такая же, как и в правой. Это хорошая новость, потому что задача действительно симметрична, и нет никаких дополнительных сил, притягивающих или отталкивающих частицу в левой или правой половине ящика. 92dx=1 \nonumber\]

    , как и должно быть в случае нормализованной волновой функции. Обратите внимание, что эти вероятности относятся к состоянию с наименьшей энергией (\(n=1\)), и будут разными для состояний с возрастающей энергией.

    Задача о частице в ящике также доступна в видеоформате: http://tinyurl.com/mjsmd2a

    Где химия?

    До сих пор мы говорили о системе, которая кажется довольно далекой от всего, что нас (химиков) волнует. 2}{2m}\;(n=1, 2, 3…\infty) \label{eqn2}\] 9{-21}J\;(n=1, 2, 3…\infty) \nonumber\]

    Обратите внимание, что энергии быстро возрастают. Энергия десятого уровня (\(E_{10}\)) в сто раз больше энергии первого! Количество уровней бесконечно, но мы, конечно, знаем, что электроны заполнят те, которые имеют меньшую энергию. Это аналог атома водорода. Мы знаем, что существует бесконечное число энергетических уровней, но в отсутствие внешнего источника энергии мы знаем, что электрон будет находиться на 1s-орбитали, которая является самым низким энергетическим уровнем. Этот электрон имеет бесконечное количество доступных уровней, но нам нужен внешний источник энергии, если мы хотим, чтобы электрон занимал более высокое энергетическое состояние. Те же понятия применимы и к молекулам. Как вы узнали из общей химии, у нас не может быть более двух электронов на данном уровне, поэтому мы поместим наши 22 \(\pi\) электрона (по 2 на двойную связь) на первые 11 уровней (Рисунок \(\PageIndex {4 осталось).

    Рисунок \(\PageIndex{4}\): Модель частицы в ящике применительно к каротину (CC BY-NC-SA; Marcia Levitus)

    Мы можем перевести электрон на первый незанятый уровень (в этом случае \(n =12\)) с помощью света соответствующей частоты (\(\nu\)). Энергия фотона равна \(E = h\nu\), где \(h\) – постоянная Планка. Чтобы молекула поглощала свет, длина волны светового луча должна точно соответствовать зазору в энергии между самым высоким занятым состоянием (в данном случае \(n=11\)) и самым низким незанятым состоянием. Длина волны света связана с частотой как: \(\lambda = c/\nu\), где \(c\) – скорость света. Следовательно, чтобы создать возбужденное состояние, показанное в правой части рисунка \(\PageIndex{4}\), мы должны использовать свет со следующей длиной волны: 9{-9}м\)), которая является общепринятой единицей для описания длины волны света в видимой и ультрафиолетовой областях электромагнитного спектра. На самом деле довольно легко измерить спектр поглощения каротина. Вам просто нужно иметь раствор каротина, посветить раствор светом разных цветов (длин волн) и посмотреть, какой процент света проходит. Свет, который не проходит, поглощается молекулами из-за переходов, подобных показанному на рисунке \(\PageIndex{4}\). На самом деле усвоение каротина происходит в 49 лет.7 нм, а не 1242 нм. Несоответствие связано с огромным приближением частицы в модели ящика. Электроны подвержены взаимодействиям с другими электронами и с ядрами атомов, поэтому неверно, что потенциальная энергия равна нулю. Хотя разница кажется большой, вы не должны слишком разочаровываться в результате. На самом деле очень впечатляет, что такая простая модель может дать предсказание, которое не так уж далеко от экспериментального результата. В настоящее время химики используют компьютеры для анализа более сложных моделей, которые нельзя решить аналитически, как мы только что решили задачу о частице в ящике. Тем не менее, есть некоторые качественные аспекты модели частиц в ящике, которые полезны, несмотря на приближения. Один из этих аспектов заключается в том, что длина волны поглощаемого света становится меньше по мере того, как мы уменьшаем размер ящика. Из уравнения \ref{eqn2} мы можем написать: 92}{2m}(2n_1+1) \nonumber\]

    Молекулы с более длинной сопряженной системой будут поглощать свет с большей длиной волны (меньшая энергия), а молекулы с более короткой сопряженной системой будут поглощать свет с более короткой длиной волны (более высокая энергия ). Например, рассмотрим следующую молекулу, которая является членом семейства флуоресцентных красителей, известных как цианины. Сопряженная система содержит 8 \(\pi\) электронов, и молекула поглощает свет с длиной волны около 550 нм. Эта длина волны соответствует зеленой области видимого спектра. Раствор поглощает зеленый цвет и позволяет всему остальному достигать глаз. Красный — дополнительный цвет зеленого, поэтому эта молекула в растворе будет казаться вам красной.

    Теперь посмотрите на этот другой цианин, который имеет два дополнительных \(\pi\) электрона:

    Частица в модели ящика говорит вам, что этот цианин должен поглощать свет с большей длиной волны (с меньшей энергией), поэтому вас не должно удивлять, что раствор этого соединения поглощает свет с длиной волны около 670 нм. Это соответствует оранжево-красному участку спектра, и раствор будет казаться нам синим. Если вместо этого мы укоротим сопряженную цепь, мы получим соединение, которое поглощает синий цвет (450 нм) и будет желтым в растворе. Мы только что соединили дифференциальные уравнения, квантовую механику и цвета вещей… впечатляет!


    Эта страница под названием 5.4: Пример в квантовой механике распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Марсией Левитус с использованием исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами Платформа LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

    1. Наверх
    • Была ли эта статья полезной?
    1. Тип изделия
      Раздел или Страница
      Автор
      Марсия Левитус
      Лицензия
      CC BY-NC-SA
      Версия лицензии
      4,0
      Показать страницу TOC
      № на стр.
    2. Теги
      1. [email protected]://www.public.asu.edu/~mlevitus/chm240/book.pdf

    Шпаргалка по квантовой физике для чайников

    Обновлено: 14 февраля 2022 г.

    Учебное пособие по квантовой физике для чайников

    Исследуйте книгу Купить на Amazon

    Занимаясь квантовой физикой, вы столкнетесь со спиновыми отношениями, операторами и коммутационными соотношениями множество формул и принципов. Вы также узнаете о различных эффектах, названных в честь людей, таких как гамильтониан, принцип неопределенности Гейзенберга, уравнение Шредингера и эффект Комптона.

    Эта Шпаргалка содержит краткий справочник по некоторым основным уравнениям, используемым в квантовой физике.

    Квантовая физика и гамильтониан

    Одной из центральных задач квантовой механики является вычисление энергетических уровней системы. Оператор энергии, называемый гамильтонианом , , сокращенно H, , дает вам полную энергию. Нахождение энергетических уровней системы сводится к нахождению собственных значений задачи

    .

    Собственные значения можно найти, решив уравнение:

    Принцип неопределенности Гейзенберга

    В квантовой физике вы сталкиваетесь с принципом неопределенности Гейзенберга, который гласит, что чем лучше вы знаете положение частицы, тем меньше вы знаете ее импульс, и наоборот. Например, в направлении x это выглядит так:

    , где D x – неопределенность измерения положения частицы x , D p x – погрешность измерения импульса в направлении x , а

    Это соотношение верно для всех трех измерений:

    Уравнение Шредингера

    Когда квантово-механическое состояние может быть описано волновой функцией,

    то это решение уравнения Шредингера, которое записывается через потенциал

    и энергия

    вот так:

    Уравнение Шредингера работает и в трех измерениях:

    Спиновые операторы и коммутация в квантовой физике

    Не думайте, что квантовая физика лишена чего-либо, кроме сухой науки.

    Оставить комментарий