Основные пределы формулы: Теория пределов

97

79, ∞ ^{. больница Правило}

Если мы получаем неопределенный вид, то мы дифференцируем числитель и знаменатель отдельно, пока не получим конечное значение. Помните, что мы будем дифференцировать числитель и знаменатель одинаковое количество раз. Аналогично для всех тригонометрических функций

• LIM _{x ⇢ 0} SIN ^-1 X/X = LIM _{X ⇢ 0} X/SIN ^-1 X = 1

Lim _{x ⇢ 0} SIN ^-1 x /x =1

lim _{x ⇢ 0} 1/√1+x ²   [Использование L-Hospital]

= 1/√(1 + (0) ² ) 2 ^{= 1 = 1 здесь все тригонометрические функции0018}

lim _{x ⇢ a} sin(x – a) / (x – a) 

=1

lim _{x ⇢ a} cos(x – a)/1 

⇢ a lim x 1 = 2 cos(a – a) = cos(0) =1

• lim _x⇢∞ sinx/x = 0
• lim _x⇢∞ cosx/x = 0 _{x1 lim 1811 sin(1/x) / (1/x) = 0}

lim _{x ⇢ ∞} sin(1/x)/(1/x) = 0

Пусть 1/x = h

Итак, ограничивает изменения до 0

Поскольку 1\∞ = 0

LIM _{H ⇢ 0} SINH/H

Как мы видим ранее, если LIM _{x ⇢ 0} SINX/X = 1

SO, LIM _{H ⇢ 0} SINH/H = 1

Exponiented Ограничения

• LIM _{x ⇢ 0} E ^x – 1 /x = 1
• Lim _{x ⇢ 0} A ^x – 1 /x = log _E A
• Lim _{x x x = E A}
• Lim _{x x x x = E A}
• Lim _{x x x =} e ^λx – 1 /x = λ

Здесь мы получаем желаемый результат, используя правило L-больницы.

Альтернативный метод: Использование расширения

e ^x = 1 + X + X ² /2! + Х ³ /3! + X ⁴ /4!+ … ∞

lim _{x ⇢ 0}  e ^x – 1 /x = 1

lim _{x ⇢ 0} (1 + X + X 22^{! —) -1 /х}

lim _{х ⇢ 0} (Х + Х ² /2! + —)/х

lim _{х ⇢ 0} 1 + Х + Х ² /2!+—

lim _{х ⇢ 0} 1 + 0 + 0 + 0 + 0— = 1

Логарифмические ограничения

• LIM _{x ⇢ 0} Log (1 + x) /x = 1
• LIM _{x ⇢ E} log _E x = 1
• Lim _{x ⇢ 0 E x = 1}
• Lim _{x ⇢ 0 E x = 1}
• Lim _{x ⇢ 0} e x = 1
• Lim _{x ⇢ 0} E x = 1
• Lim _{x ⇢ 0} e x = 1
• _e (1 – x) /x  = -1
• lim _{x ⇢ 0} log _a (1 + x) /x = log _a e

Просто доказано с помощью L-hospital и расширения метод.

Некоторые важные расширения 

12.  (Here, sinhx is a hyperbolic function)

Sample problems

Question 1: Solve, lim _{x ⇢0}  (x – sinx ) /(1 – cosx).

Решение:

Использование L-больницы,

lim _{x ⇢ 0} (1 – cosx) / (sinx)

lim

x sinx / cosx = sin(0) / cos(0) = 0/1 = 0 
 

 

 

Решение:

с использованием L-госпитального

LIM _{X ⇢ 0} (2) (E ^2x ) / COS4X

LIM _{x ⇢ 0} 2 (E ⁰ ) / COS4) / COS4) / COS4) / COS4) / COS4) / COS4) / COS4) / COS4). (0) = 2/1= 2

Вопрос 3: Решить, lim _{x ⇢ 0} (1 – cosx) / x ²

Решение:

с использованием L-госпитального

LIM _{x ⇢ 0} SINX/2x = 1/2 {SINX/X = 1}

Вопрос 4: Solve, LIM _{x ⇢ ∞} .

Решение:

LIM _{x ⇢ ∞} (1 +)

1 + Lim _{x ∞ ∞}

Как мы знаем, x = ∞

SO 1/x = 0

1 + 0 = 0

Question 5: Solve, lim _{x ⇢ π/2} (tanx) ^cosx 

Solution:

let Y = lim _{x ⇢ π/2}   (tanx) ^cosx

Взятие log _E Обе стороны,

Log _E Y = LIM _{X ⇢ π/2} LOG _E (TANX) ^COSX

Log _E Y = LIM _{x π/π/π/π/π/π/π/π./π./π./π./π/π./π/π./π/π/π/π/π/π/π/π/. 2} cosx log _e (tanx)

log _e y = lim _{x ⇢ π/2} loge(tanx)/secx

Использование l-hospital,

log _e y = lim _{x ⇢ π/2} cosx /sin ^{2 0 2} x0 90 Теперь 30 90 Показатель с обеих сторон,

Y = LIM _{x ⇢ π/2} E ⁰

Y = LIM _{x ⇢ π/2} (TANX) ^COSX = 1

ВОПРОС 6: LIM _{x ⇢ 0}  

Решение:

limx⇢0 \frac{1+\frac{x}{1!} + \frac{x ² }{2!} + \frac{x ³ }{3!} – ( 1+ x+ \frac{x ² }{2!} ) }{x ³ }

limx⇢ 0 \ frac {\ frac {x ³ } {3!}} {x ³ } = 1/3! = 1/6

Вопрос 7: Решай, LIM _{A ⇢ 0}

Решение:

с использованием L-госпитального (дифференцирование числителя и знаменита W. R.T A)

LIM _{a ⇢ 0} x. ^a logx = logx

Вопрос 8: Решить, lim 9{-n}+1\}\). Это в точности то же самое, что и функция выше, за исключением того, что доменом теперь являются натуральные числа, а не действительные числа. Если вы хотите узнать «предел, когда \(n\) стремится к бесконечности», вы будете искать очень большие значения \(n\), точно так же, как вы искали очень большие значения \(x\).

Имея в виду, что процесс будет очень похож на просмотр пределов последовательностей и функций, давайте углубимся!

См. Ограничения функции для обзора функций и способов определения их пределов.

Определение предела последовательности

Во-первых, давайте взглянем на неформальное определение предела последовательности:

предел последовательности — это значение, к которому приближается последовательность по мере того, как число членов становится очень большим. большой.

Более формально:

Пусть \( L \) будет действительным числом. Последовательность имеет предел \( L \) по мере того, как \( n \) приближается к \( \infty \), если задано \( \epsilon > 0 \) , существует число \( M > 0 \) такое, что \( n > M \) подразумевает \( \left| s_n – L \right| < \epsilon \). Мы пишем, что

\[ \lim\limits_{n \to \infty} s_n = L, \]

и говорят, что последовательность сходится к \( L \) . Говорят, что последовательности, не имеющие предела, расходятся .

Взяв предел функции как \( x \to \infty\), вы взяли кандидата на предел (для удобства назовите его \( L \)), а затем проверили, сможете ли вы «поймать» функцию значения, близкие к \(L\), если \(x\) достаточно велики.

Прежде чем идти дальше, давайте посмотрим на картину происходящего. 9{-n} +1 \} \) . Кандидатом на предел является \( L = 1 \). Нарисуйте точки последовательности вместе с возможным пределом \( L = 1 \) и нарисуйте линии \( y = L + \epsilon = 1 + \epsilon \) и \( y = L – \epsilon = 1 – \эпсилон\) .

Перехват значений последовательности | StudySmarter Original

Как видите, каким бы маленьким ни было \( \epsilon \), вы всегда сможете уйти достаточно далеко (другими словами, выбрать достаточно большое \( M \) ), чтобы последовательность значения заключены между линиями \( y = 1 + \epsilon \) и \( y = 1 + \epsilon \). Это означает, что последовательность сходится к пределу \( L = 1 \).

Как математически записать предел последовательности?

Существует два основных способа записи “предел последовательности при стремлении \(n\) к бесконечности равен \(L\)”, и вы можете использовать любой из них:

1. \[ \{ s_n \ } \к л; \] или

2. \[ \lim\limits_{n \to \infty} s_n = L . \]

Оба означают одно и то же. Вы также можете сказать, что последовательность \( \{s _n \} \) сходится к \( L \).

Естественно, вы не хотите выбирать кандидата для предела, а затем должны найти подходящее \( M \), которое достаточно велико каждый раз, когда вы хотите показать, сходится ли последовательность и к чему она сходится. К счастью, поскольку последовательности являются функциями, вы можете использовать те же правила ограничений для функций, что и для последовательностей.

Единственность предела сходящейся последовательности

Прежде чем говорить о единственности предела последовательности, давайте подумаем о решении линейного уравнения. Мы говорим, что линейное уравнение \[ ax+b=0, \], где \( a \) и \( b \) – действительные числа, имеет единственное решение. Это означает, что только одно значение \(x\) удовлетворяет любой заданной паре значений \(a\) и \(b\).

То же самое можно сказать и о пределе последовательности. Если последовательность сходится к некоторому значению и, следовательно, имеет предел, мы говорим, что этот предел уникален для этой последовательности.

Пределы последовательности Формулы

Предположим, у вас есть две последовательности \( \{s _n \} \) и \( \{t _n \} \) , и вы знаете, что обе они сходятся. Другими словами, существуют числа \( L \) и \( P \) такие, что

\[ \lim\limits_{n \to \infty} s_n = L \mbox{ и } \lim\limits_{n \ в \infty} t_n = P . \]

Тогда выполняются следующие правила:

Правило суммы:

\[ \lim\limits_{n \to \infty} (s_n + t_n ) = \lim\limits_{n \to \infty} s_n + \lim\limits_{n \to \infty} t_n = L + P . \]

Правило разности:

\[ \lim\limits_{n \to \infty} (s_n – t_n ) = \lim\limits_{n \to \infty} s_n – \lim\limits_{n \to \ infty} t_n = L – P . \]

Правило продукта:

\[ \lim\limits_{n \to \infty} (s_n \cdot t_n ) = \left( \lim\limits_{n \to \infty} s_n \right) \ cdot \left( \lim\limits_{n \to \infty} t_n \right) = L \cdot P . \]

Постоянное множественное правило: для любой константы \( C \),

\[ \lim\limits_{n \to \infty} (C \cdot s_n ) = C\cdot \lim\limits_{n \to \infty} s_n = C \cdot L. \]

Частное правило: Если \( P \not= 0 \) и \( t_n \not= 0 \) для всех \( n \in \mathbb{n} \), то

\[ \lim\ limit_{n \to \infty} \left( \frac{s_n}{t_n} \right) = \frac{\lim\limits_{n \to \infty} s_n}{\lim\limits_{n \to \infty } t_n }= \frac{L}{P} . \]

Необходимо знать, что оба предела, с которыми вы работаете, сойдутся, чтобы эти свойства оставались верными!

Итак, как свойства пределов последовательностей помогают понять, что если последовательность сходится, предел должен быть уникальным?

Предположим, у вас есть последовательность, которая сходится к двум разным вещам, скажем, \( \{ s_n \} \to L\) и \( \{ s_n \} \to P\) , где \( L \not= П \). Затем вы можете использовать правило разности, чтобы сказать, что

\[ \lim\limits_{n \to \infty} (s_n – s_n ) = \lim\limits_{n \to \infty} s_n – \lim\limits_{n \to \infty} s_n = L – P . \]

Но постойте, \( s_n – s_n = 0 \), так что также верно, что

\[ \lim\limits_{n \to \infty} (s_n – s_n ) = \lim\limits_ {n \to \infty} 0 = 0.\]

Теперь вы знаете, что \( L – P = 0 \), или, другими словами, что \( L = P \). Так что на самом деле у вас не было двух разных лимитов!

Это называется “доказательство от противного” и является обычной математической техникой. {-n} +1 \} \) , используйте свойства пределов для последовательностей, чтобы найти предел как \( n \to \infty \ ). 9{-n} +\lim\limits_{n \to \infty} 1 \\ &= 0 + 1 \\ &= 1. \end{align} \]

Убедитесь, что условия для использования правил для последовательностей встретились очень важно. Помните, что вы должны знать, что обе последовательности сходятся и что, если вы используете правило отношения, у последовательности в знаменателе есть ненулевой предел. Если это не так, может случиться все что угодно!

Что произойдет, если одна из ваших последовательностей не сходится? Даже если предел произведения существует, вы не можете умножить то, чего не существует. Следующие три примера покажут вам, что может произойти, если оба предела не сходятся.

Пример 1: Возьмите последовательности \( \{ s_n \} = \{ n \} \) и

\[ \{ t_n \} = \left\{ \frac{1}{n} \right\} . \]

Тогда \( \{ s_n \} \) расходится, а \( \{ t_n \} \to \infty \). Но

\[ \begin{align} \lim\limits_{n \to \infty} (s_n \cdot t_n ) &= \lim\limits_{n \to \infty} n \cdot \frac{1}{n } \\ &= \lim\limits_{n \to \infty} 1 \\ &= 1 . \end{align} \]

Таким образом, здесь вы получаете 1 для лимита продукта.

Пример 2: Можно ли получить что-то еще за лимит продукта, если лимит одной из последовательностей не выходит? Если вместо этого вы возьмете последовательность 92 \cdot \frac{1}{n} \\ &= \lim\limits_{n \to \infty} n , \end{align} \]

и произведение расходится. Таким образом, вы можете получить лимит продукта, которого нет!

Таким образом, если у вас нет правильных условий для использования правила продукта, может случиться что угодно, и вы не можете заранее предсказать, что это может быть!

Примеры пределов последовательностей

Давайте посмотрим на другие примеры того, какие виды пределов может иметь функция, и случаи, когда у нее нет предела.

Имеет ли последовательность

\[ \{ s_n \} = \left\{ 2 + \frac{4}{n} \right\} \]

предел? Если так, то, что это?

Ответ:

Другой способ сформулировать этот вопрос: “Приближается ли указанная выше последовательность к одному значению, когда \( n \) становится большим? Посмотрим!

В вопросе есть \( \frac{4 {n} \) term. Давайте посмотрим на функцию, эквивалентную этому. Для функции

\[ f(x) = \frac{1}{x} \]

вы знаете, что

\[ \begin {align} \lim\limits_{x \to \infty} f(x) &= \lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{x} \\ &= 0 \end{align} \ ]

, потому что функция имеет горизонтальную асимптоту \( y =0 \). Это означает, что последовательность

\[ \{ t_n \} = \left\{ \frac{1}{n} \right\} \]

также имеет

\[ \begin{align} \lim\limits_{ n \to \infty} t_n &= \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} \\ &= 0 \end{align} \]

, так как последовательность такая же, как и функции, кроме домена. На самом деле, вы можете увидеть это и графически.

График последовательности {1/n} на положительной оси X | StudySmarter Оригинал

Теперь, когда мы вспомнили характеристики обратной функции, давайте вернемся к первоначальному вопросу. Теперь вы знаете, что можете применить правило суммы, чтобы получить

\[ \begin{align} \lim\limits_{n \to \infty} s_n &= \lim\limits_{n \to \infty} \left( 2 + \frac{4}{n} \right) \\ &= \lim\limits_{n \to \infty} 2 + \lim\limits_{n \to \infty} \frac{4}{n}, \end {align} \]

, а затем постоянное правило, чтобы получить:

\[ \begin{align} \lim\limits_{n \to \infty} 2 + \lim\limits_{n \to \infty} \frac {4}{n} &= 2 + 4 \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} \\ &= 2 + 4 \cdot 0 \\ &= 2. \end{align } \]

Таким образом, последовательность имеет предел, и значение равно 2.

Сходится ли последовательность

\[ \left\{ \frac{1 + 4n}{5 + 6n} \right\} \]

? Если да, то к чему он сходится?

Ответ:

Иногда вам нужно попробовать разные вещи, чтобы найти ту, которая позволит вам правильно использовать правила. Вы хотели бы использовать правило отношения, чтобы решить эту проблему.

Сначала попробуйте настроить две последовательности: \( \{ s_n \} = \{ 1 + 4n \} \) и \( \{ t_n \} = \{ 5 + 6n \} \). К сожалению, есть проблема, поскольку правило отношения требует, чтобы обе эти последовательности имели предел, и ни одна из них не сходится к конечному числу!

Для второй попытки разбейте его на две части вместо одной. Вы знаете, что

\[ \frac{1+4n}{5+6n} = \frac{1}{5+6n} + 4 \cdot \frac{n}{5 + 6n}, \]

, которое определенно ближе к полезности, но все же не совсем из-за этого термина

\[ \frac{n}{5+6n} \]

.

Вторая попытка натолкнет вас на мысль, что сначала нужно вынести \( n \) из знаменателя. Тогда у вас есть

\[ \frac{1+4n}{5+6n} = \frac{1+4n}{n \left( \frac{5}{n}+6 \right) } . \]

Было бы очень хорошо сократить это \( n \) в знаменателе с единицей в числителе, но для этого вам нужно сначала разложить это на множители: \[ \begin{align} \frac{1 +4n}{5+6n} & =\frac{n \left(\frac{1}{n}+4 \right) }{n \left( \frac{5}{n}+6 \right) } \\ &= \frac{ \frac{1}{n} + 4}{ \frac{5}{n} + 6}. \end{align} \]

Алгебра на помощь! Теперь настройте две последовательности для использования частного правила:

\[ \{ s_n \} = \left\{\frac{1}{n}+4 \right\} \mbox{ и } \{ t_n \} = \left\{ \frac{5}{n} + 6 \right\}. \]

Оба из них имеют пределы, на самом деле

\[ \lim\limits_{n \to \infty} s_n = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n}+ 4 \right) = 4 \]

и

\[ \lim\limits_{n \to \infty} t_n = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{5}{n} +6 \right) = 6 \]

, где вы применили правило суммы и правило константы, как в предыдущем примере. Теперь вы знаете, что можете применить правило частного, чтобы получить

\[ \begin{align} \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1 + 4n}{5 + 6n} &= \lim\limits_{ n \to \infty} \frac{s_n}{t_n} \\ &= \frac{4}{6} \\ &= \frac{2}{3}. \end{выравнивание} \]

Следовательно, последовательность сходится, и предел равен \( \frac{2}{3} \).

Вы можете сделать эту задачу короче, если вспомните свойства рациональных функций. Если наибольшая степень в числителе совпадает с наибольшей степенью в знаменателе, вы можете «поделить» коэффициенты, чтобы получить предел. В этом случае наибольшая степень в числителе равна 4n , а наибольшая степень в знаменателе — 6n , поэтому деление дает 4/6 = 2/3, что одновременно является пределом и говорит вам, что 9n \право\} \) сходятся? Если да, то к чему он сходится?

Ответ:

Чтобы получить представление о том, как ведет себя эта последовательность, давайте выпишем некоторые члены этой последовательности.

\[ \{-1, 1, -1, 1, \dots \} \]

Если последовательность имеет предел, то предел должен быть либо \(-1 \), либо \(1 \) поскольку это единственные два значения в последовательности, и они вообще не меняются. Давайте посмотрим, что происходит графически, когда вы пытаетесь выбрать \( L = 1 \) в качестве предельного значения.

Является ли L=1 пределом последовательности? | StudySmarter Original

Глядя на рисунок выше, вы можете видеть, что не имеет значения, насколько большое значение \( M \) вы выберете, невозможно получить все значения последовательности между двумя линиями \( y = 1 + \эпсилон\) и \(у = 1 – \эпсилон\). Это означает, что эта последовательность не сходится.

Можно также сказать, что последовательность расходится с .

Доказательство предела последовательности

Иногда вы столкнетесь с такой последовательностью, как

\[ \left\{ \frac{ \cos n }{n} \right\} \]

где невозможно применить свойства пределов для последовательностей. В таком случае может помочь Теорема сжатия. Поскольку последовательности — это всего лишь особый вид функций, теорему сжатия можно переформулировать для последовательностей.

Обзор теоремы о сжатии для функций см. в разделе Теорема о сжатии .

Теорема сжатия: Предположим, что есть две последовательности \( \{ s_n \} \) и \( \{ t_n \} \), обе из которых сходятся к одному и тому же значению \( L \), и что существует существует \( N \ in \mathbb{N} \) такой, что \( s_n \ le w_n \le t_n \) для всех \( n \ge N \). Затем

\[ \lim\limits_{n \to \infty} w_n = L . \]

Давайте посмотрим, как применяется теорема сжатия. Возвращаясь к последовательности

\[ \left\{ \frac{ \cos n }{n} \right\}, \]

, идея состоит в том, чтобы «втиснуть» ее между двумя последовательностями, которые, как вы знаете, сходятся. Во-первых, давайте посмотрим на график некоторых значений этой последовательности.

График значений последовательности, сходящихся к 0 | StudySmarter Original

Конечно, похоже, что она сходится к нулю, но вам нужно найти две последовательности, которые, как вы знаете, сходятся к нулю, чтобы «втиснуть» ее между ними. Одна последовательность, с которой вы уже работали и которая сходится к нулю, — это последовательность 9. 0003

\[ \{ s_n \} = \left\{ \frac{1}{n} \right\}. \]

Вы также знаете, что \( -1 \le \cos n \le 1 \) для любого \( n\), поэтому

\[ – \frac{1}{n} \le \frac{ \ cos n}{n} \le \frac{1}{n} \]

также для любого \( n \). Это означает, что вы можете взять вторую последовательность, которую вам нужно сжать, чтобы она была

\[ \{ t_n \} = \left\{ -\frac{1}{n} \right\}. \]

Взглянув на график для всех трех последовательностей,

Используя теорему о сжатии, найдя 2 последовательности, которые сходятся к 0, чтобы использовать их для «сжатия» исходной последовательности | StudySmarter Оригинал

Таким образом, использование теоремы сжатия для последовательностей доказывает, что последовательность

\[ \{ w_n \} = \left\{ \frac{ \cos n }{n} \right\} \]

сходится.

Теорема об абсолютном значении

Существует очень удобное следствие теоремы о сжатии для последовательностей, называемое теоремой об абсолютном значении.

Теорема абсолютного значения: Пусть \( \{ s_n \} \) будет последовательностью. Если

\[ \lim\limits_{n \to \infty} \left| с_н \право| = 0, \]

9п \право| \\ &= \lim\limits_{n \to \infty} 1 \\ &= 1. \end{align} \]

Таким образом, хотя абсолютное значение последовательности сходится, сама последовательность не сходится. Поэтому проверка условия, что предел абсолютного значения последовательности равен нулю, с помощью применения теоремы об абсолютном значении очень важна!

Последовательности, расходящиеся до бесконечности

Иногда последовательность становится все больше и больше, как в случае с последовательностью. Это несколько более приятная ситуация, чем та, которая просто продолжает прыгать, но все равно не сходится. Вместо этого у него есть специальное имя. 9n = \infty , \]

последовательность \( \{ s_n \} \) расходится к бесконечности.

Ограничение последовательности — ключевые выводы

• Пусть \(L\) — действительное число. Последовательность имеет предел \( L \) по мере того, как \( n \) приближается к \( \infty \), если задано \( \epsilon > 0 \) , существует число \( M > 0 \) такое, что \( n > M \) подразумевает \( \left| s_n – L \right| < \epsilon \). Мы пишем, что

  \[ \lim\limits_{n \to \infty} s_n = L, \]

  и говорим, что последовательность сходится к \( L \) . Говорят, что последовательности, не имеющие предела, расходятся .

• Если последовательность \( \{ s_n \} \) такова, что

  \[ \lim\limits_{n \to \infty} s_n = \pm \infty , \]

  , то мы говорим, что последовательность расходится до \(\pm\infty\).

• Теорема сжатия: Предположим, что есть две последовательности \( \{ s_n \} \) и \( \{ t_n \} \), обе из которых сходятся к одному и тому же значению \( L \), и что существует \( N \ в \mathbb{N} \) такое, что \( s_n \ le w_n \le t_n \) для всех \( n \ge N \). Затем

  \[ \lim\limits_{n \to \infty} w_n = L . \]

• Абсолютное значение Теорема: Пусть \( \{ s_n \} \) будет последовательностью. Если

  \[ \lim\limits_{n \to \infty} \left| с_н \право| = 0, \]

  затем

  \[ \lim\limits_{n \to \infty} s_n = 0. \]

• Если последовательность сходится, то она имеет единственный предел.

• Предположим, у вас есть две последовательности \( \{s _n \} \) и \( \{s _n \} \) , и существуют числа \( L \) и \( P \) такие, что

  \[ \lim\limits_{n \to \infty} s_n = L \mbox{ и } \lim\limits_{n \to \infty} t_n = P . \]

  Тогда выполняются следующие правила:

  Правило суммы:

  \[ \lim\limits_{n \to \infty} (s_n + t_n ) = \lim\limits_{n \to \infty} s_n + \lim\limits_{n \to \infty} t_n = L + P . \]

  Правило разности:

  \[ \lim\limits_{n \to \infty} (s_n – t_n ) = \lim\limits_{n \to \infty} s_n – \lim\limits_{n \ в \infty} t_n = L – P . \]

  Правило продукта:

  \[ \lim\limits_{n \to \infty} (s_n \cdot t_n ) = \left( \lim\limits_{n \to \infty} s_n \right) \cdot \ влево( \lim\limits_{n \to \infty} t_n \right) = L \cdot P . \]

  Постоянное множественное правило: для любой константы \( C \),

  \[ \lim\limits_{n \to \infty} (C \cdot s_n ) = C\cdot \lim\limits_{n \to \infty} s_n = C \cdot L. \]

  Частное правило: Если \( P \not= 0 \) и \( t_n \not= 0 \) для всех \( n \in \mathbb {n} \), затем

  \[ \lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{s_n}{t_n} \right) = \frac{\lim\limits_{n \to \infty} s_n} {\lim\ limit_{n \to \infty} t_n }= \frac{L}{P} . \]

Что стоит за шокирующей нехваткой детских смесей в Америке?

Подпишитесь на рассылку новостей Дерека здесь.

Дефицит детских смесей в Америке превратился из любопытного неудобства в полномасштабный национальный кризис.

Во многих штатах, включая Техас и Теннесси, в магазинах распродано более половины детских смесей. По всей стране в наличии нет 40% детских смесей, что в двадцать раз больше, чем в первой половине 2021 года. Поскольку родители начали накапливать запасы детских смесей, розничные торговцы, такие как Walgreens, CVS и Target, перешли к ограничению покупок.

Дефицит всего не новость. Но нормировать предметы первой необходимости для отчаявшихся родителей? Это закрученный поворот в истории американского дефицита.

Нехватку детских смесей в США вызывают три фактора: бактерии, вирус и торговая политика.

Во-первых, бактерии. После недавней смерти по меньшей мере двух младенцев от редкой инфекции Управление по санитарному надзору за качеством пищевых продуктов и медикаментов провело расследование в компании Abbott, крупного производителя детских смесей, и обнаружило следы патогена

Cronobacter sakazakii 9.1034 на заводе в Мичигане. В результате FDA отозвало несколько марок смесей, а родителям посоветовали не покупать и не использовать некоторые смеси, связанные с растением.

Отзыв является обычным явлением. Тысячи лекарств и продуктов отзываются каждый год, и они не вызывают кризис в аптеках и не требуют от CVS введения нормирования предметов первой необходимости в советском стиле. Значит, здесь происходит что-то еще.

Это подводит нас ко второй причине: вирусу. Пандемия запутала все виды цепочек поставок, но я не могу представить себе рынок, на который она повлияла бы больше, чем на детское питание. «Весной 2020 года продажи смесей резко выросли, поскольку люди накапливали смеси так же, как запасали туалетную бумагу», — сказал мне Лайман Стоун, директор по исследованиям консалтинговой фирмы Demographic Intelligence. Затем, когда «семьи работали со своими запасами, продажи сильно упали. Это колебание сделало планирование производства чрезвычайно трудным. Было сложно получить представление о реальном размере рынка». Между тем, исследование Стоуна показало, что всплеск рождаемости в начале 2022 года соответствовал «очень резкому снижению показателей грудного вскармливания» среди молодых матерей, что снова увеличило спрос на молочные смеси.

Вкратце: спрос на молочные смеси резко вырос, поскольку родители копили в 2020 году; затем спрос упал, что вынудило поставщиков сократить производство до 2021 года; и теперь, когда в 2022 году все больше молодых матерей требуют больше молочных смесей, заказы растут быстрее, чем восстанавливается предложение.

Наконец, третий фактор: регулирующая и торговая политика Америки. И хотя большинству людей это может показаться не таким интересным, как бактерии и вирусы, это может быть самой важной частью истории.

Регулирование FDA в отношении детских смесей настолько строгое, что большинство товаров, поставляемых из Европы, запрещено покупать здесь из-за технических особенностей, таких как требования к маркировке. Тем не менее, одно исследование показало, что многие европейские смеси соответствуют рекомендациям FDA по питанию и в некоторых отношениях могут быть даже лучше, чем американские смеси, потому что Европейский союз запрещает определенные виды сахара, такие как кукурузный сироп, и требует, чтобы смеси содержали более высокую долю. лактозы.

Некоторые родители, которых не волнует одобрение FDA, пытаются обойти правила, заказывая смесь из Европы через сторонних поставщиков. Но известно, что таможенные агенты США задерживают грузы на границе.

Политика США также ограничивает ввоз смеси, которая соответствует требованиям FDA. При больших объемах налог на импорт смесей может превышать 17 процентов. А при президенте Дональде Трампе США заключили новое торговое соглашение с Северной Америкой, которое активно препятствует импорту детских смесей из Канады, нашего крупнейшего торгового партнера.

Американская формула политики искажает отрасль еще одним способом. В Министерстве сельского хозяйства есть специальная группа под названием WIC (сокращение от «Специальная программа дополнительного питания для женщин, младенцев и детей»), которая предоставляет различные услуги беременным и кормящим женщинам и их маленьким детям. Он также является крупнейшим покупателем детских смесей в Соединенных Штатах, заключая контракты с небольшим количеством одобренных компаний-производителей смесей. В результате индустрия детских смесей в США мизерна по своему замыслу. Анализ, проведенный Министерством сельского хозяйства США в 2011 году, показал, что практически все продажи детских смесей в США приходится на три компании: Abbott, Mead Johnson и Gerber.

Администрация Байдена сосредоточена на расширении внутреннего производства детских смесей для удовлетворения потребностей семей. Но большая проблема — это наша торговая политика. «США — захваченный рынок для отечественных производителей молочных продуктов, таких как Abbott, и во время кризиса отсутствие альтернативных поставок становится довольно большой проблемой», — считает либертарианец Скотт Линциком, директор по общей экономике и торговле Института Катона. танк, сказал мне.

Консервативные популисты и даже либералы, которые скептически относятся к глобализации, иногда утверждают, что если бы США производили все в пределах наших границ, наша экономика была бы более устойчивой. Но нехватка детских смесей говорит о том, что так не всегда бывает. Вместо этого мы видим, что происходит, когда мы сокращаем торговлю с другими странами для товаров первой необходимости: мы более уязвимы для чрезвычайных ситуаций, таких как зараженный бактериями завод в Мичигане.

Есть лучший способ.