Формула периода математического маятника
Ландсберг Г.С. 2017-11-29 23:05 (0)
Период колебаний физического маятника зависит от многих обстоятельств: от размеров и формы тела, от расстояния между центром тяжести и точкой подвеса и от распределения массы тела относительно этой точки; поэтому вычисление периода подвешенного тела —довольно сложная задача. Проще обстоит дело для математического маятника. Из наблюдений над подобными маятниками можно установить следующие простые законы.
1. Если, сохраняя одну и ту же длину маятника (расстояние от точки подвеса до центра тяжести груза), подвешивать разные грузы, то период колебаний получится один и тот же, хотя массы грузов сильно различаются. Период математического маятника не зависит от массы груза.
2. Если при пуске маятника отклонять его на разные (но не слишком большие) углы, то он будет колебаться с одним и тем же периодом, хотя и с разными амплитудами. Пока не слишком велики амплитуды, колебания достаточно близки по своей форме к гармоническому (§ 5) и период математического маятника не зависит от амплитуды колебаний.
Впервые этот факт был установлен в 1655 г. Галилеем якобы при следующих обстоятельствах. Галилей наблюдал в Пизанском соборе качания паникадила на длинной цепи, которое толкнули при зажигании. В течение богослужения размахи качаний постепенно затухали (§ 11), т. е. амплитуда колебаний уменьшалась, но период оставался одним и тем же. В качестве указателя времени Галилей пользовался собственным пульсом.
Выведем теперь формулу для периода колебаний математического маятника.
Рис. 16. Колебания маятника в плоскости (а) и движение по конусу (б)
При качаниях маятника груз движется ускоренно по дуге (рис. 16, а) под действием возвращающей силы , которая меняется при движении. Расчет движения тела под действием непостоянной силы довольно сложен. Поэтому мы для упрощения поступим следующим образом.
Заставим маятник совершать не колебание в одной плоскости, а описывать конус так, чтобы груз двигался по окружности (рис. 16, б). Это движение может быть получено в результате сложения двух независимых колебаний: одного — по-прежнему в плоскости рисунка и другого — в перпендикулярной плоскости. Очевидно, периоды обоих этих плоских колебаний одинаковы, так как любая плоскость качаний ничем не отличается от всякой другой. Следовательно, и период сложного движения — обращения маятника по конусу — будет тот же, что и период качания водной плоскости. Этот вывод можно легко иллюстрировать непосредственным опытом, взяв два одинаковых маятника и сообщив одному из них качание в плоскости, а другому — вращение по конусу.
Но период обращения «конического» маятника равен длине описываемой грузом окружности, деленной на скорость:
.
Если угол отклонения от вертикали невелик (малые амплитуды), то можно считать, что возвращающая сила направлена по радиусу окружности , т. е, равна центростремительной силе:
С другой стороны, из подобия треугольников и следует, что . Так как , то отсюда
.
Приравняв оба выражения друг другу, мы получаем для скорости обращения
.
Наконец, подставив это в выражение периода , находим
.
Итак, период математического маятника зависит только от ускорения свободного падения и от длины маятника , т. е. расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза. Из полученной формулы следует, что период маятника не зависит от его массы и от амплитуды (при условии, что она достаточно мала). Другими словами, мы получили путем расчета те основные законы, которые были установлены ранее из наблюдений.
Но наш теоретический вывод дает нам больше: он позволяет установить количественную зависимость между периодом маятника, его длиной и ускорением свободного падения. Период математического маятника пропорционален корню квадратному из отношения длины маятника к ускорению свободного падения. Коэффициент пропорциональности равен .
На зависимости периода маятника от ускорения свободного падения основан очень точный способ определения этого ускорения. Измерив длину маятника и определив из большого числа колебаний период , мы можем вычислить с помощью полученной формулы . Этот способ широко используется на практике.
Известно (см. том I, §53), что ускорение свободного падения зависит от географической широты места (на полюсе , а на экваторе ). Наблюдения над периодом качаний некоторого эталонного маятника позволяют изучить распределение ускорение свободного падения по широте. Метод этот настолько точен, что с его помощью можно обнаружить и более тонкие различия в значении на земной поверхности. Оказывается, что даже на одной параллели значения в разных точках земной поверхности различно. Эти аномалии в распределении ускорения свободного падения связаны с неравномерной плотностью земной коры. Они используются для изучении распределения плотности, в частности для обнаружения залегания в толще земной коры каких-либо полезных ископаемых. Обширные гравиметрические изменения, позволившие судить о залегании плотных масс, были выполнены в СССР в области так называемой Курской магнитной аномалии (см.
Видео
Физика воздуха. Сжимаемость воздуха.
2020-05-23
Что такое электричество? | ПРОСТО ФИЗИКА с Алексеем Иванченко
2020-05-23
Курс подготовки к ЕГЭ. Физика. Урок №1 Кинематика равномерного движения
2018-12-22
Батавские слезки – опыты
2017-12-15
Тепловой рычаг – физические опыты
2017-12-15
Секрет ЖК-монитора – поляризационная пленка
2017-12-15
ЛАЗЕР В ВОДЕ – физические опыты
2017-12-15
ЭЛЕКТРОХРОМНАЯ ПЛЕНКА с токопроводящим слоем и жидкокристаллической основой
2017-12-15
Урок из космоса.
Физика невесомости
2017-12-12
Абсолютный ноль – погоня за абсолютным нулём
2017-12-12
Формула | Название формулы | Физические величины |
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ | ||
Связь периода и частоты колебаний | T – период колебаний (с, секунда) – частота колебаний (Гц, Герц) – продолжительность колебаний (с, секунда) −количество колебаний – Циклическая частота колебаний (рад/с) – масса (кг) – коэффициент жесткости пружины (Н/м) – длина нити маятника (м, метр) м/с2, ускорение свободного падения – изменение линейного размера пружины (м, метр) – Энергия (Дж, Джоуль) – высота (м, метр) –скорость (м/с) A – амплитуда колебаний (м, метр) – ускорение (м/с2) – начальная фаза колебаний λ – длина волны (м, метр) | |
Циклическая частота колебаний | ||
Период колебаний пружинного маятника | ||
Период колебаний математического маятника | ||
Закон сохранения энергии для пружинного маятника | ||
Закон сохранения энергии для математического маятника | ||
Длина волны | ||
Уравнение гармонических колебаний | ||
Скорость при гармонических колебаниях | ||
Ускорение при гармонических колебаниях | ||
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ | ||
Формула Томпсона | T – период колебаний (с, секунда) – Циклическая частота колебаний (рад/с) I – сила тока (А, Ампер) U – напряжение (В, Вольт) R – сопротивление (Ом) С – Электроемкость (Ф, Фарад) L – индуктивность катушки (Гн, Генри) q – электрический заряд (Кл, Кулон) , – число витков на обмотках трансформатора – начальная фаза колебаний | |
Собственная частота колебательного контура | ||
Закон сохранения энергии для колебательного контура | ||
Действующее значение силы переменного тока | ||
Действующее значение напряжения переменного тока | ||
Емкостное сопротивление | ||
Индуктивное сопротивление | ||
Закон Ома для цепи переменного тока | ||
Коэффициент трансформации | ||
; | Сила тока в колебательном контуре | |
Электрический заряд в колебательном контуре |
5.

Раздел Цели обучения
К концу этого раздела вы сможете делать следующее:
- Описывать закон Гука и простое гармоническое движение
- Описать периодическое движение, колебания, амплитуду, частоту и период
- Решение задач простого гармонического движения с участием пружин и маятников
Поддержка учителей
Поддержка учителей
Цели обучения в этом разделе помогут вашим учащимся освоить следующие стандарты:
- (7) Научные концепции. Учащийся знает характеристики и поведение волн. Ожидается, что студент:
- (A) исследуют и описывают колебательное движение и распространение волн в различных типах сред.
Кроме того, руководство по физике для средней школы обращается к содержанию этого раздела лабораторной работы под названием «Движение в двух измерениях», а также к следующим стандартам:
- (7) Научные понятия.
Учащийся знает характеристики и поведение волн. Ожидается, что студент:
- (А) изучить и описать колебательное движение и распространение волн в различных типах сред.
Основные термины раздела
амплитуда | деформация | положение равновесия | частота |
Закон Гука | период | периодическое движение | |
восстанавливающая сила | простое гармоническое движение | простой маятник |
Закон Гука и простое гармоническое движение
Представьте себе машину, припаркованную у стены. Если бульдозер втолкнет машину в стену, машина не сдвинется с места, но заметно изменит форму. Изменение формы из-за приложения силы является деформацией. Известно, что даже очень малые силы вызывают некоторую деформацию. При малых деформациях могут произойти две важные вещи. Во-первых, в отличие от примера с автомобилем и бульдозером, объект возвращается к своей первоначальной форме после прекращения действия силы. Во-вторых, размер деформации пропорционален силе. Это второе свойство известно как закон Гука. В форме уравнения закон Гука равен
F=−kx,F=−kx,
, где x – величина деформации (например, изменение длины), вызванная восстанавливающей силой F , а k – константа, зависящая от форму и состав предмета. Возвращающая сила — это сила, возвращающая объект в положение равновесия; знак минус стоит потому, что восстанавливающая сила действует в направлении, противоположном перемещению. Обратите внимание, что восстанавливающая сила пропорциональна деформации Это изменение положения под действием силы. В отсутствие силы объект находился бы в положении равновесия. Силовая постоянная k связана с жесткостью системы. Чем больше силовая постоянная, тем жестче система. Более жесткую систему труднее деформировать, и она требует большей восстанавливающей силы. Единицы k — ньютоны на метр (Н/м). Одним из наиболее распространенных применений закона Гука является решение задач, связанных с пружинами и маятниками, которые мы рассмотрим в конце этого раздела.
Поддержка учителей
Поддержка учителей
[BL] Повторить концепцию силы.
[BL][OL][AL] Ввести закон Гука и силовую постоянную пружины.
Колебания и периодическое движение
Что общего у океанского буя, ребенка на качелях, гитары и биения сердец? Все они колеблются. То есть они перемещаются туда и обратно между двумя точками, как линейка, показанная на рис. 5.37. Все колебания связаны с силой. Например, вы толкаете ребенка на качелях, чтобы он начал движение.
Рисунок 5,37 Линейка смещена из положения равновесия.
Поддержка учителей
Поддержка учителей
[BL][OL][AL] Найдите пружины или резиновые ленты с различной степенью жесткости. Попросите учащихся прикрепить к ним грузы, чтобы построить осцилляторы. Познакомить с терминами «частота» и «период времени». Попросите учащихся понаблюдать, как жесткость пружины влияет на них. Как на них влияет масса системы? Как влияет на них начальная сила?
Первый закон Ньютона подразумевает, что объект, колеблющийся вперед и назад, испытывает силы. Без силы объект двигался бы по прямой линии с постоянной скоростью, а не колебался бы. Рассмотрим, например, выдергивание пластиковой линейки влево, как показано на рис. 5.38. Деформация линейки создает силу в противоположном направлении, известную как восстанавливающая сила. После освобождения восстанавливающая сила заставляет линейку вернуться к своему устойчивому положению равновесия, где результирующая сила, действующая на нее, равна нулю. Однако к тому времени, когда линейка туда попадает, она набирает обороты и продолжает двигаться вправо, вызывая противоположную деформацию. Затем его толкают влево, обратно через равновесие, и процесс повторяется до тех пор, пока он постепенно не потеряет всю свою энергию. Простейшие колебания возникают, когда возвращающая сила прямо пропорциональна смещению. Напомним, что закон Гука описывает эту ситуацию уравнением F = − кх . Следовательно, закон Гука описывает и применяется к простейшему случаю колебаний, известному как простое гармоническое движение.
Рисунок
5,38
(а) Пластиковая линейка отпущена, и возвращающая сила возвращает линейку в положение равновесия. (b) Суммарная сила равна нулю в положении равновесия, но линейка имеет импульс и продолжает двигаться вправо. в) Возвращающая сила направлена в противоположную сторону. Он останавливает линейку и снова возвращает ее к равновесию. (d) Теперь импульс линейки направлен влево. д) При отсутствии демпфирования (вызванного силами трения) линейка достигает исходного положения. Оттуда движение будет повторяться.
Когда вы дергаете гитарную струну, в результате получается устойчивый звук, который длится долгое время. Каждое колебание струны занимает столько же времени, сколько и предыдущее. Периодическое движение — это движение, которое повторяется через равные промежутки времени, например, когда объект подпрыгивает вверх и вниз на пружине или маятник качается вперед и назад. Время совершения одного колебания (полного цикла движения) остается постоянным и называется периодом T . Его единицами обычно являются секунды.
Частота f — количество колебаний в единицу времени. Единицей частоты в системе СИ является герц (Гц), определяемый как количество колебаний в секунду. Соотношение между частотой и периодом составляет
f= 1/T.f= 1/T.
Как видно из уравнения, частота и период — это разные способы выражения одного и того же понятия. Например, если вы получаете зарплату два раза в месяц, вы можете сказать, что частота выплат — две в месяц, или что период между чеками — полмесяца.
Если нет трения, замедляющего его, то объект в простом движении будет вечно колебаться с одинаковым смещением по обе стороны от положения равновесия. Положение равновесия — это положение, в котором объект естественным образом находился бы в отсутствие силы. Максимальное отклонение от равновесия называется амплитудой X . Единицы амплитуды и смещения одинаковы, но зависят от типа колебаний. Для объекта на пружине, показанного на рис. 5.39, единицами измерения амплитуды и перемещения являются метры.
Рисунок
5,39
Объект, прикрепленный к пружине, скользящей по поверхности без трения, представляет собой простой гармонический осциллятор. При выходе из равновесия объект совершает простое гармоническое движение с амплитудой X и периодом T . Максимальная скорость объекта возникает, когда он проходит через точку равновесия. Чем жестче пружина, тем меньше период T . Чем больше масса объекта, тем больше период T .
Масса m и силовая постоянная k являются единственными факторами, влияющими на период и частоту простого гармонического движения. Период простого гармонического осциллятора равен
T=2πmkT=2πmk
и, поскольку f = 1/ T , частота простого гармонического осциллятора равна
f=12πкм.f=12πкм.
Смотреть физику
Введение в гармоническое движение
В этом видеоролике показано, как построить график смещения пружины в направлении x с течением времени на основе периода. Посмотрите первые 10 минут видео (вы можете остановиться, когда рассказчик начнет освещать исчисление).
Если бы амплитуда смещения пружины была больше, как бы это повлияло на график смещения во времени? Что произошло бы с графиком, если бы период был больше?
Большая амплитуда привела бы к более высоким пикам и впадинам, а более длинный период привел бы к большему разделению во времени между пиками.
Большая амплитуда приведет к меньшим пикам и впадинам, а более длинный период приведет к большему расстоянию между пиками.
Большая амплитуда приведет к более высоким пикам и впадинам, а более длинный период приведет к более короткому расстоянию между пиками.
Большая амплитуда приведет к меньшим пикам и впадинам, а более длинный период приведет к более короткому расстоянию между пиками.
Решение задач о пружине и маятнике с помощью простого гармонического движения
Прежде чем решать задачи с пружинами и маятниками, важно сначала понять, как работает маятник. На рис. 5.40 представлена полезная иллюстрация простого маятника.
Рисунок
5.40
Простой маятник имеет груз небольшого диаметра и нить, которая имеет очень маленькую массу, но достаточно прочна, чтобы не растягиваться. Линейное смещение от равновесия равно s, длине дуги. Также показаны силы, воздействующие на груз, в результате чего результирующая сила равна − мг 9 .0126 sin θ к положению равновесия, т. е. восстанавливающая сила.
Поддержка учителей
Поддержка учителей
[BL] Обзор простого гармонического движения.
К повседневным маятникам относятся старомодные часы, детские качели или грузило на леске. При небольших смещениях менее 15 градусов маятник испытывает простые гармонические колебания, а это означает, что его возвращающая сила прямо пропорциональна его смещению. Маятник в простом гармоническом движении называется простым маятником. Маятник имеет объект с небольшой массой, также известный как маятник, который висит на тонкой проволоке или веревке. Положение равновесия маятника — это когда угол θθ равен нулю (то есть когда маятник висит прямо вниз). Вполне логично, что без приложения силы именно здесь будет лежать маятниковый груз.
Поддержка учителей
Поддержка учителей
[BL][OL][AL]Построить простые маятники разной длины. Попросите студентов измерить их периоды времени или частоты. Постоянны ли они для данного маятника? Как масса влияет на частоту? Как на это влияет начальное смещение? Что произойдет, если слегка подтолкнуть маятник, чтобы он запустился? Это меняет частоту? Как длина влияет на частоту?
Перемещение маятника на длину дуги с . Вес м г имеет составляющие м г cos θθ вдоль струны и м г sin θθ по касательной к дуге. Натяжение струны точно компенсирует составляющую м г cos θθ, параллельную струне. Это оставляет чистую восстанавливающую силу обратно к положению равновесия, которая проходит по касательной к дуге и равна – м г sin θθ .
Для малоугловых колебаний простого маятника период равен T=2πLg. T=2πLg.
На период простого маятника влияют только его длина и ускорение свободного падения. Период совершенно не зависит от других факторов, таких как масса или амплитуда. Однако обратите внимание, что T зависит от g . Это означает, что если мы знаем длину маятника, мы можем использовать его для измерения гравитации! Это пригодится в книге «Измерение ускорения под действием силы тяжести: период маятника».
Советы для успеха
Напряжение представлено переменной T , а период представлен переменной T . Важно не путать их, поскольку напряжение — это сила, а период — это продолжительность времени.
Рабочий пример
Измерение ускорения свободного падения: период маятника
Каково ускорение свободного падения в области, где простой маятник длиной 75 000 см имеет период 1,7357 с?
Стратегия
Нас просят найти g , зная период T и длину L маятника. Мы можем решить T=2πLgT=2πLg для g , предполагая, что угол отклонения меньше 15 градусов. Напомним, что когда угол отклонения меньше 15 градусов, считается, что маятник находится в простом гармоническом движении, что позволяет нам использовать это уравнение.
Решение
- Возведите в квадрат T=2πLgT=2πLg и найдите г .
г=4π2LT2g=4π2LT2
- Подставить известные значения в новое уравнение.
г=4π20,75000 м(1,7357 с)2g=4π20,75000 м(1,7357 с)2
- Вычислите, чтобы найти г .
г = 9,8281 м/с2g = 9,8281 м/с2
Обсуждение
Этот метод определения г может быть очень точным. Вот почему в этом примере длина и период даны пятизначным числам.
Рабочий пример
Закон Гука: насколько жестки автомобильные пружины?
Чему равна постоянная силы системы подвески автомобиля, показанной на рис. 5.41, которая оседает на 1,20 см, когда в нее садится человек массой 80,0 кг?
Рисунок 5.41 Автомобиль на стоянке. (exfordy, Flickr)
Стратегия
Считайте, что автомобиль находится в положении равновесия x = 0 до того, как человек сядет в него. Затем автомобиль опускается на 1,20 см, что означает, что он смещается в положение x = −1,20×10 −2 м.
В этой точке пружины создают восстанавливающую силу F , равную весу человека
w = м г = (80,0 кг)(9,80 м/с 2 24) Мы принимаем эту силу равной F по закону Гука. Зная F и x , мы можем найти силовую постоянную k . Решение Решить закон Гука, F = − kx , для k . k=Fxk=Fx Подставьте известные значения и найдите k . k=-784 Н-1,20×10-2 м=6,53×104 Н/мк=-784 Н-1,20×10-2 м=6,53×104 Н/м Обсуждение Обратите внимание, что F и x имеют противоположные знаки, потому что они в противоположных направлениях — восстанавливающая сила вверх, а смещение вниз. Также обратите внимание, что автомобиль будет раскачиваться вверх и вниз, когда человек садится в него, если бы не амортизаторы. Подпрыгивающие автомобили — верный признак плохих амортизаторов. 20. Сила 70\,\text{Н}, приложенная к пружине, заставляет ее сместиться на 0,3\,\text{м}. Чему равна постоянная силы пружины? {-233}\,\text{Н/м} {-21}\,\text{Н/м} 21\,\text{Н/м} Практические задачи
Снап Лаборатория
Нахождение гравитации с помощью простого маятника
Используйте простой маятник, чтобы найти ускорение свободного падения g в вашем доме или классе.
- 1 строка
- 1 секундомер
- 1 маленький плотный предмет
- Отрежьте кусок нити или зубной нити длиной около 1 м.
- Прикрепите к концу шнура небольшой предмет высокой плотности (например, металлическую гайку или ключ от машины).
- Начиная с угла менее 10 градусов, дайте маятнику раскачиваться и измерьте период маятника для 10 колебаний с помощью секундомера.
- Вычислить г .
Проверка захвата
Насколько точно это измерение для г ? Как это можно улучшить?
- Точность для значения г будет увеличиваться с увеличением массы плотного объекта.
- Точность для значения г будет увеличиваться с увеличением длины маятника.
- Значение г будет более точным, если угол отклонения больше 15°.
- Значение г будет более точным, если оно поддерживает простое гармоническое движение.
Проверьте свое понимание
22.
Что такое деформация?
Деформация – это величина восстанавливающей силы.
Деформация – это изменение формы из-за приложения силы.
Деформация — это максимальное усилие, которое можно приложить к пружине.
Деформация восстанавливает первоначальную форму после устранения внешней силы.
23.
Чему по закону Гука пропорциональна деформация?
- Сила
- Скорость
- Рабочий объем
- Постоянная силы
24.
Что такое колебания?
- Движение, приводящее к небольшим перемещениям
- Движение, которое периодически повторяется
- Периодическое повторяющееся движение между двумя точками
- движение, противоположное направлению возвращающей силы
25.
Верно или неверно — Колебания могут происходить без приложения силы.
- Правда
- Ложь
Поддержка учителей
Поддержка учителей
Используйте вопросы «Проверьте свое понимание», чтобы оценить, достигают ли учащиеся целей обучения в этом разделе. Если учащиеся не могут справиться с определенной задачей, функция «Проверить понимание» поможет определить, какая цель вызывает проблему, и направит учащихся к соответствующему содержанию.
Маятник
МаятникПростой маятник — это маятник, который можно рассматривать как точечную массу, подвешенную к нити или стержню незначительной массы. Это резонансная система с одной резонансной частотой. Для малых амплитуд период такого маятника может быть приблизительно равен:
Шон Кэрролл рассказывает об открытии Галилеем того факта, что при малых амплитудах период и частота не зависят от амплитуды. «В 1581 году молодой Галилео Галилей, как сообщается, сделал прорывное открытие, когда скучал во время церковной службы в Пизе. ветра, например) и медленнее, когда он не двигался так далеко. Заинтригованный, Галилей решил измерить, сколько времени требуется для каждого колебания, используя единственное приблизительно периодическое событие, к которому он имел доступ: биение его Он обнаружил кое-что интересное: количество ударов сердца между качаниями люстры было примерно одинаковым, независимо от того, были ли качания широкими или узкими. влияют на частоту этих колебаний». | Index Periodic motion concepts Carroll | |||||
| Назад |
Движение простого маятника подобно простому гармоническому движению в том смысле, что уравнение для углового смещения
| Индекс Концепции периодического движения | |||||||||||||
|