Первая производная это: ПЕРВАЯ ПРОИЗВОДНАЯ | это... Что такое ПЕРВАЯ ПРОИЗВОДНАЯ? - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

1. Физический смысл первой производной

Урок № 9

Т е м а. ФИЗИЧЕСКИЙ И МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ.

ПОНЯТИЕ ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ.

Механическое истолкование производной было впервые дано И. Ньютоном. Оно заключается в следующем.

Производная y функции – это мгновенная скорость изменения этой функции. В частности, если зависимость между пройденным путём и временем при прямолинейном неравномерном движении выражается уравнением , то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени нужно найти производнуюи подставить в неё соответствующее значение, то есть

П р и м е р 1. Точка движется прямолинейно по закону (s выражается в метрах, t – в секундах). Найти скорость движения через 3 секунды после начала движения.

Решение. Скорость прямолинейного движения равна производной пути по времени, то есть .

Подставив в уравнение скорости с, получим

П р и м е р 2. Маховик, задерживаемый тормозом, поворачивается за tс на угол

(t) = 4t – 0,2t² (рад). Найдите:

а) угловую скорость вращения маховика в момент t = 6 с;

б) в какой момент времени маховик остановится?

Решение. а) Угловая скорость вращения маховика определяется по формуле Тогда

Подставляя t = 6 с, получим .

б) В тот момент, когда маховик остановится, его скорость будет равна нулю . Поэтому. Отсюда

П р и м е р 3. Тело массой 6 кг движется прямолинейно по закону Найти кинетическую энергию телачерез 3 с после начала движения.

Решение. Найдём скорость движения тела в любой момент времени t.

Вычислим скорость тела в момент времени .

Определим кинетическую энергию тела в момент времени

2. Производная второго порядка. Производная n-го порядка.

Производная от данной функции называется первой производной или производной первого порядка. Но производная функции также является функцией, и если она дифференцируема, то от неё, в свою очередь, можно найти производную.

Производная от производной называется второй производной или производной второго порядка и обозначается .

Производная от второй производной называется производной третьего порядка и обозначается Производнуюn-го порядка обозначают или

Примеры.

1) 2)

Механический смысл второй производной.

Если первая производная функции – это мгновенная скорость изменения любого процесса, заданного функцией, то вторая производная – это скорость изменения скорости, то есть ускорение, то есть

Итак, первая производная – это скорость изменения процесса, вторая производная – ускорение.

Пример 4. Точка движется прямолинейно по закону . Найти скорость и ускорение точки в момент.

Решение. Найдём скорость точки в любой момент времени t.

Вычислим скорость в момент времени .

Найдём ускорение точки в любой момент времени t.

и , то есть ускорение в этом случае является величиной постоянной.

Пример 5. Тело массой 3 кг движется прямолинейно по закону +5. Найти силу, действующую на тело в момент времени

Решение. Сила, действующая на тело, находится по формуле

Найдём скорость движения точки в любой момент времени t.

Тогда .

Найдём ускорение: =

Тогда .

Геометрический и механический смысл производной

Содержание:

Механический смысл производной
Геометрический смысл производной

С вычислением производной мы сталкиваемся всякий раз, когда требуется определить скорость изменения одной величины – функции в зависимости от изменения другой величины – независимой переменной.

Определение

Средней скоростью изменения функции $y=f(x)$ при переходе независимой переменной от значения $x$ к значению $x+\Delta x$ называется отношение приращения $\Delta y$ функции к приращению $\Delta x$ независимой переменной, то есть

$$V_{c p}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$

Определение

Истинной или мгновенной скоростью изменения функции $y=f(x)$ при заданном значении независимой переменной $x$ называется предел, к которому стремится средняя скорость изменения функции при стремлению к нулю приращения аргумента $\Delta x$:

$$V=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} V_{c p}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=f^{\prime}(x)$$

Механический смысл производной

Теорема

(Механический смысл производной)

Пусть задан путь $s=f(x)$ движения материальной точки. {\prime}\left(x_{0}\right)=-1$$

Больше примеров решений Решение производных онлайн

Читать дальше: геометрическое применение производной: уравнения касательной и нормали, угол между кривыми.

Правило первой производной

Главная > Математика > Предварительное исчисление > Правило первой производной

Первая производная может использоваться для определения точек локального минимума и/или максимума функции, а также интервалов возрастания и убывания.

На рис. 1 представлен график полиномиальной функции 2х ³ + 3х ² – 30х.

Первая производная точки — это наклон касательной в этой точке. Когда наклон касательной равен 0, точка является либо локальным минимумом, либо локальным максимумом. Таким образом, когда первая производная точки равна 0, точка является местоположением локального минимума или максимума.

ПРОВЕРКА ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ:

Предположим, что c является точкой, в которой первая производная равна 0, f ^‘ (c) = 0

, тогда c является локальным максимумом .
Если f ^‘ меняется с отрицательного на положительное в точке c, то c является локальным минимумом .
Если f ^‘ не изменяется в точке с, то минимума/максимума в точке с не существует.

Поскольку производная представляет собой наклон касательной, если производная положительна, это означает, что наклон положителен и функция возрастает. Точно так же, если производная отрицательна, наклон отрицателен, и функция убывает. Поэтому у нас есть тест, чтобы определить, увеличивается или уменьшается интервал.

Если первая производная на интервале положительна, функция на этом интервале возрастает. Если первая производная на интервале отрицательна, то функция на этом интервале убывает.

ПРОВЕРКА ПОВЫШЕНИЯ/УМЕНЬШЕНИЯ:

Если f ^‘ > 0 на интервале, функция увеличивается на этом интервале.
Если f ^‘

Рассмотрим несколько примеров.

Для работы с этими примерами требуется использование различных производных правил. Если вы не знакомы с правилом, перейдите в соответствующую тему для ознакомления.

Пример 1: Определить локальные точки минимума и максимума и интервалы возрастания и убывания функции для f(x) = 2x ³ + 3x ² – 36x.

Шаг 1: Найдите значения x, когда первая производная равна 0, f′(x)=0.

Найдите первую производную:

f(x) = 2x ³ + 3x ² – 36x

f′(x)=6×2+6x−36

Установите производную равной нулю:

0 = 6x ² + 6x – 36

Фактор:

0 = 6(х ² + х – 6)

0 = 6 (х + 3) (х – 2)

Приравняйте каждый множитель к нулю и решите:

6 ≠ 0

х + 3 = 0; х = -3

х – 2 = 0; х = 2

Шаг 2: Создайте таблицу интервалов, которые заканчиваются/начинаются с таких значений x, что f′(x)=0

Возьмите значения x, найденные на шаге 1, и создайте таблицу интервалов.

Чтобы определить знак первой производной, выберите число в интервале и решите.

Если первая производная на отрезке положительна, функция возрастает. Если первая производная на отрезке отрицательна, то функция снижается.

Интервал	f′(x)=6×2+6x−36		ф
−∞≤x≤−3	f′(−4)=6(−4)2+6(−4)−36=36	+	Увеличение по −∞≤x≤−3
−3≤x≤2	f′(0)=6(0)2+6(0)−36=−36	–	Уменьшение на −3≤x≤2
2≤x≤∞	f′(3)=6(3)2+6(3)−36=36	+	Возрастая на 2≤x≤∞

Шаг 3: Примените тест первой производной, чтобы определить точки минимума/максимума.

Поскольку первая производная изменяется с положительной на отрицательную при -3, при -3 имеется локальный максимум. Максимальное значение в этот момент:

f(−3)=2(−3)3+3(−3)2−30(−3)=63 Локальный максимум: (-3, 63)

Поскольку первая производная изменяется с отрицательной на положительную в точке 2, в точке 2 имеется локальный минимум. Максимальное значение в этой точке равно:

f(2)=2(2)3+3(2)2−30(2)=−32 Локальный минимум: (2, -32)

Пример 2: Определить локальные точки минимума и максимума, а также интервалы возрастания и убывания функции для f(x) = 2 sin x на интервале 0≤x≤2π.

Шаг 1: Найдите значения x, когда первая производная равна 0, f′(x)=0.

Найдите первую производную:

f(x)=2sinx

f′(x)=2cosx

Установите производную равной нулю:

0 = 2 потому что х

Решите для х:

0 = потому что х

cos−10=x

π2, −3π2=x

Шаг 2: Создайте таблицу интервалов, которые заканчиваются/начинаются с таких значений x, что f′(x)=0.

Возьмите значения x, найденные на шаге 1, и создайте таблицу интервалов.

Чтобы определить знак первой производной, выберите число в интервале и решите.

Интервал	f′(x)=2cosx		ф
0≤x≤π2	f′(1)=2cos1≈1,08	+	Возрастание на 0≤x≤π2
π2≤x≤3π2	f′(2)=2cos2≈−0,83	–	Убывающий по π2≤x≤3π2
3π2≤x≤2π	f′(6)=2cos6≈1,92	+	Возрастая по 3π2≤x≤2π

Шаг 3: Примените тест первой производной, чтобы определить точки минимума/максимума.

Поскольку первая производная меняется с положительной на отрицательную в точке π2, в точке π2 имеется локальный максимум. Максимальное значение в этот момент:

f(π2)=2sinπ2=2 Локальный максимум: (π2, 2)

Поскольку первая производная меняется с отрицательной на положительную в точке 3π2, в точке 3π2 имеется локальный минимум. Максимальное значение в этот момент:

f(3π2)=2sin3π2=−2 Локальный минимум: (3π22, −2)

Тест первой производной

Критерий первой производной используется для проверки возрастания или убывания функции в своей области определения, а также для определения ее локальных максимумов и минимумов.

Первая производная — это наклон линии, касательной к графику функции в данной точке. Может быть полезно думать о первой производной как о наклоне функции. При положительном наклоне график увеличивается. Когда он отрицательный, график убывающий. Точки, в которых наклон равен 0, называются критическими точками и являются точками, которые могут быть локальными минимумами или максимумами. Первый тест производной включает проверку поведения функции вокруг этих точек, чтобы определить, являются ли они локальными минимумами или максимумами.

Проверка первой производной основана на том факте, что знак первой производной не меняется между критическими точками. Таким образом, если мы находим критические точки функции, мы можем проверить точки в интервалах между критическими точками, чтобы определить, возрастает или убывает функция на этих интервалах. Затем, определив, увеличивается или уменьшается функция до и после критической точки, мы можем определить, является ли точка минимумом, максимумом или ни тем, ни другим.

Для дифференцируемой функции можно использовать тест первой производной, чтобы найти локальные минимумы или максимумы функции, выполнив следующие шаги:

Найти f'(x).
Найдите f'(x) = 0 или undefined, чтобы найти критические точки функции.
Проверить точку в каждом интервале между критическими точками, чтобы определить, увеличивается или уменьшается функция в пределах интервала; функция возрастает в точке а, если f'(a) > 0; оно убывает в точке a, если f'(a)

После нахождения критических точек функции можно применить тест первой производной. Пусть критическая точка a такая, что f'(a) = 0,

Если f’ меняется с положительного на отрицательное при x = a, то f имеет локальный максимум в точке a.
Если f’ меняется с отрицательного на положительное в точке x = a, то точка является локальным минимумом в точке a.
Если f’ не меняет знак в точке x = a, то f не имеет локальных экстремумов в точке a.

Пример

Найдите любой относительный экстремум для f(x) = x ³ – 12x + 1.

Сначала продифференцируйте функцию:

Затем найдите f'(x) = 0 или undefined. В этом случае, поскольку f(x) является многочленом, он определен во всей своей области определения, и нам нужно решить только для f'(x) = 0.

Таким образом, x = -2 или 2. Это критические точки f(x), поэтому интервалы, которые нам нужно проверить, равны (-∞, -2), (-2, 2) и (2, ∞). Напомним, что внутри этих интервалов знак f’ не меняется, поэтому нам нужно выбрать только одну точку в каждом интервале. Подстановка x = -3, 0 и 3 в f’,

находим, что f’ положительна на интервале (-∞, -2), отрицательна на интервале (-2, 2) и положительна на интервале (2, ∞), что означает что график f(x) увеличивается, уменьшается и увеличивается на этих соответствующих интервалах, как показано в таблице ниже:

Интервал	Знак f’	f увеличивается/уменьшается
(-∞, -2)	+	увеличение
(-2, 2)	–	уменьшение
(2, ∞)	+	увеличение

Используя эту таблицу, мы можем затем определить, имеет ли f(x) локальные экстремумы в этих критических точках.

Первая производная это: ПЕРВАЯ ПРОИЗВОДНАЯ | это… Что такое ПЕРВАЯ ПРОИЗВОДНАЯ?