Первая производная и вторая производная: ВТОРАЯ ПРОИЗВОДНАЯ | это… Что такое ВТОРАЯ ПРОИЗВОДНАЯ?

Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике – Элементы математического анализа

Справочник по математике

Элементы математического анализа

Производная функции

Выпуклые вверх функции

Выпуклые вниз функции

Вторая производная функции

Достаточные условия выпуклости вверх и выпуклости вниз функции

Точки перегиба

Необходимые условия для существования точки перегиба

Достаточные условия для существования точки перегиба

Выпуклые вверх функции

      Определение 1. Функцию   y = f (x)   называют выпуклой вверх на интервале   (a, b),  если для любых двух точек таких, что   x₁ x₂ ,   график функции   y = f (x)   расположен выше отрезка, соединяющего точки   A₁ = (x₁;  f (x₁))   и   A₂ = (x₂;  f (x₂)) .

      Функция, график которой изображен на рисунке 1, выпукла вверх на интервале   (a, b) .

Рис.1

      Пример 1. Примером функции, выпуклой вверх на , является функция   y = – x²   (рис. 2).

Рис.2

Выпуклые вниз функции

      Определение 2. Функцию   y = f (x)   называют выпуклой вниз на интервале   (a, b),   если для любых двух точек таких, что   x₁ x₂ ,   график функции   y = f (x)   расположен ниже отрезка, соединяющего точки   A₁ = (x₁;  f (x₁))   и   A₂ = (x₂;  f (x₂)) .

      Функция, график которой изображен на рисунке 3, выпукла вниз на интервале   (a, b) .

Рис.3

      Пример 2. Примером функции, выпуклой вниз на , является функция   y = x²   (рис. 4).

Рис.4

Вторая производная функции

      Определение 3. Если у функции   y = f (x)   существует производная в некоторой точке   x₀ ,   то эту производную часто называют первой производной или производной первого порядка функции   y = f (x)   в точке   x₀ .

      Пусть у функции   y = f (x)   существует производная во всех точках . Тогда, вычисляя в каждой точке производную   f ‘ (x),   мы получим функцию   y = f ‘ (x).   Если у функции   y = f ‘ (x)   существует производная в некоторой точке   x₀   интервала   (a, b),   то эту производную называют второй производной или производной второго порядка функции   y = f (x)   в точке   x₀ .

      Для производной второго порядка   y = f (x)   используются обозначения:

      Например,

      Точно так же, как это было сделано при определении второй производной функции   f (x),   можно определить и производные более высоких порядков: третью производную, четвертую производную и т.д. (конечно же, при условии, что они существуют).

Достаточные условия выпуклости вверх и выпуклости вниз функции

      При исследовании направления выпуклости функции (выпуклость вверх или выпуклость вниз) важную роль играет вторая производная этой функции.

      Утверждение 1. Если функция   f (x)   имеет на интервале   (a, b)   вторую производную, причем для всех выполнено условие

f ” (x) > 0 ,

то функция   f (x)   выпукла вниз на интервале   (a, b).

      Утверждение 2. Если функция   f (x)   имеет на интервале   (a, b)   вторую производную, причем для всех выполнено условие

f ” (x) < 0 ,

то функция   f (x)   выпукла вверх на интервале   (a, b).

      Доказательства утверждений 1 и 2 выходят за рамки школьного курса математики и здесь не приводятся.

      Пример 3. Функция   y = ln x   на интервале удовлетворяет условию

      В силу утверждения 2 отсюда следует, что функция   y = ln x   выпукла вверх (рис. 5) на всей своей области определения .

Рис.5

      Пример 4. Функция   y = e ^x   на интервале удовлетворяет условию

и, в силу утверждения 1, функция   y = e ^x   выпукла вниз (рис. 6) на всей своей области определения .

Рис.6

Точки перегиба

      Определение 4. Пусть функция   y = f (x)   определена на некотором интервале   (a, b) ,   содержащем точку   x₀ .   Говорят, что при переходе через точку   x₀   функция   f (x)   меняет направление выпуклости, если на одном из интервалов

(a, x₀)   и   (x₀,  b)

функция выпукла вверх, а на другом – выпукла вниз.

      Определение 5. Пусть функция   y = f (x)   определена на некотором интервале   (a, b) ,   содержащем точку   x₀ , а у графика функции   в точке   (x₀;  f (x₀))   существует касательная. Если функция   f (x)   при переходе через точку   x₀   меняет направление выпуклости, то точку   x₀   называют точкой перегиба функции   f (x) .

      Замечание 1 . Если   x₀   – точка перегиба функции   y = f (x),   то график функции   y = f (x)   при переходе через точку   x₀   переходит с одной стороны от касательной в точке   (x₀;  f (x₀))   на другую сторону от касательной, то есть «перегибается» через касательную.

      Пример 5. Рассмотрим функцию   y = x³,   график которой изображен на рисунке 7.

Рис.7

      Поскольку

y (0) = 0,   y’ (0) = 0,

то прямая   y = 0   (ось абсцисс   Ox )   является касательной к графику функции   y = x³   в точке   (0; 0).

      Кроме того,

      Поэтому   y” > 0   при   x > 0   и   y” < 0   при   x < 0 .   Таким образом, функция   y = x³   выпукла вверх при   x < 0   и выпукла вниз при   x > 0 ,   и точка   x = 0   является точкой перегиба графика функции   y = x³.   График функции   y = x³   при переходе через точку   x = 0   переходит из нижней полуплоскости в верхнюю полуплоскость, то есть «перегибается» через касательную   y = 0 .

Необходимые условия для существования точки перегиба

      Утверждение 3. Если точка   x₀   является точкой перегиба графика функции   f (x),   то в точке   x₀   либо вторая производная   f ” (x) = 0 ,   либо   f ” (x)   не существует.

      Замечание 2. Условия существования точки перегиба, сформулированные в утверждении 3, являются необходимыми, но не являются достаточными.

      Действительно, рассмотрим функцию   y = x⁴,   график которой изображен на рисунке 8.

Рис.8

      Вычисляя вторую производную этой функции

замечаем, что   y ” (0) = 0 ,   однако точка   x = 0   не является точкой перегиба графика функции   y = x⁴,   так как функция   y = x⁴   выпукла вниз, как при   x < 0 ,   так и при   x > 0 .

Достаточные условия для существования точки перегиба

      Утверждение 4. Пусть функция   y = f (x)   определена на некотором интервале   (a, b) ,   содержащем точку   x₀ , имеет первую производную в каждой точке интервала   (a, b)   и имеет вторую производную в каждой точке интервала   (a, b)   за исключением, быть может, самой точки   x₀ .

      Если для точек выполнено условие:

f ” (x) > 0   при   x < x₀   и   f ” (x) < 0   при   x > x₀ ,

либо выполнено условие:

f ” (x) < 0   при   x < x₀   и   f ” (x) > 0   при   x > x₀ ,

то точка   x₀   является точкой перегиба графика функции   f (x).

      Другими словами, точка   x₀   является точкой перегиба графика функции   f (x),   если при переходе через точку   x₀   вторая производная функции меняет свой знак.

      Пример 6. Найти интервалы, на которых функция

y (x) = x⁴ – 6x³ + 12x²

выпукла вверх, а также интервалы, на которых эта функция выпукла вниз. Определить точки перегиба.

      Решение. Вычислим вторую производную функции:

y’ (x) = 4x³ – 18x² + 24x ,

y” (x) = 12x² – 36x + 24 = 12(x² – 3x + 2) = 12(x – 1) (x – 2) .

y” (x) = 12x² – 36x + 24 =
= 12(x² – 3x + 2) =
= 12(x – 1) (x – 2) .

      Отсюда вытекает, что вторая производная существует во всех точках и обращается в нуль в точках   x = 1   и   x = 2 . Воспользуемся методом интервалов и изобразим на рисунке 9 диаграмму знаков второй производной   y” (x)

Рис.9

      При переходе через точку   x = 1   вторая производная функции   y” (x)   меняет знак с   «+»   на   «–» . Следовательно,   x = 1   – точка перегиба графика функции.

      При переходе через точку   x = 2   вторая производная функции   y” (x)   меняет знак с   «–»   на   «+» . Следовательно,   x = 2   также является точкой перегиба графика функции.

      При и при вторая производная функции   y” (x) > 0,   следовательно, функция   y (x)   выпукла вниз на этих интервалах.

      При вторая производная функции   y” (x) < 0,   следовательно, функция   y (x)   выпукла вверх на интервале   (1, 2) .

    &nbsp ;На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

1.5. Физический смысл производной

Если тело движется по прямой по закону s=s(t), то за промежуток времени t (от момента t до момента t+t) оно пройдет некото­рый путь s. Тогда есть средняя скорость движения за промежуток времени t.

Скоростью движения тела в данный момент времени t называется предел отношения приращения пути s к приращению времени t, когда приращение времени стремится к нулю:

Следовательно, производная пути s по времени t равна скорости прямолинейного движения тела в дан­ный момент времени:

Скорость протекания физических, химических и дру­гих процессов также выражается с помощью произ­водной.

Производная функции y=f(x) равна скорости изме­нения этой функции при данном значении аргумента

х:

Пример 10. Закон движения точки по прямой задан формулой s=5t³-3t²+4 (s—в метрах, t—в секун­дах). Найти скорость движения точки в конце первой секунды.

Решение. Скорость движения точки в данный мо­мент времени равна производной пути s по времени t:

v (t) = s = 15t² – 6t, v (1) = 15-6 = 9.

Итак, скорость движения точки в конце первой се­кунды равна 9 м/с.

Пример 11. Тело, брошенное вертикально вверх, дви­жется по закону , гдеv₀  начальная скорость, g  ускорение свободного падения тела. Найти скорость этого движения для любого момента времени t. Сколько времени будет подниматься тело и на какую высоту оно поднимется, если v₀ = 40 м/с?

Решение. Скорость движения точки в данный мо­мент времени t равна производной пути s по времени t:

В высшей точке подъема скорость тела равна нулю:

v₀–gt = 0,

gt = v₀, t = v₀/g, t = 40/g  4,1 t = 4,1 c.

За 40/g секунд тело поднимется на высоту

, s  81,5 м.

1.6. Вторая производная

Производная функции y=f(x) в общем случае является функцией от x. Если от этой функции вычислить производную, то получим производ­ную второго порядка или вторую производную функции y=f(x).

Второй производной функции y=f(x) называется производная от ее первой производной

y =f (x).

Вторая производная функции обозначается одним из символов  y”, f”(х), Таким образом, (у’) = у”.

Аналогично определяются и обозначаются производ­ные любого порядка. Например, производная третьего порядка:

или

Пример 12. Найти вторую производную функции f (x)=e^{sin x}.

Решение. Сначала найдем первую производную

f (x) = e^sin

x (sin x)’ = e^{sin x} cos x.

Дифференцируя еще раз, найдем вторую производную:

f”(x) = e^{sin x} (cos x)+ (e^{sin x}) cos x = e^{sin x} (-sin x)+ e^{sin x} cos xcos x =

=e^{sin x} (cos²x-sin x).

Пример 13. Найти вторую производную функции и вычислить ее значение прих=2.

Решение. Сначала найдем первую производную:

Дифференцируя еще раз, найдем вторую производ­ную:

Вычислим значение второй производной при х=2; имеем у” (2) = 4/(2-1)³ = 4/1 = 4.

1.7. Физический смысл второй производной

Если тело движется прямолинейно по закону s=s(t), то вторая производная пути s по времени t равна ускорению дви­жения тела в данный момент времени t:

а (t) = v’ = s”.

Таким образом, первая производная характеризует скорость некоторого процесса, а вторая производная — ускорение того же процесса.

Пример 14. Точка движется по прямой по закону s=t – sin t. Найти скорость и ускорение движения при t=/2.

Решение. Скорость движения тела в данный мо­мент времени равна производной пути s по времени t, а ускорение  второй производной пути s по времени t. Находим:

v (t) = s = 1-cos t; тогда

a (t) = s” = – (-sin t) = sin t; тогда

Пример 15. Скорость прямолинейного движения про­порциональна квадратному корню из пройденного пути (как, например, при свободном падении). Доказать, что это движение происходит под действием постоянной силы.

Решение. По закону Ньютона, сила F, вызываю­щая движение, пропорциональна ускорению, т.е.

F = ka(t) или F = ks (t).

Согласно условию, v(t)=s (t)=Дифференцируя это равенство, найдем

Следовательно, действующая сила F=k²/2=const.

Что вам говорит вторая производная? (5 ключевых идей) – JDM Educational

Вы можете знать, как вычислить вторую производную функции, но знаете ли вы, что это значит? Вторая производная функции дает нам много информации о графике и о том, как он выглядит, особенно если рассматривать его с первой производной.

Итак, что вам говорит вторая производная? Вторая производная показывает вогнутость и точки перегиба графика функции. С первой производной это говорит нам о форме графика. Вторая производная является производной от первой производной. В физике второй производной положения является ускорение (производная скорости).

Конечно, вторая производная не является самой высокой производной функции, которую мы можем взять. Мы можем взять третью, четвертую и пятую производные, если предыдущая производная дифференцируема.

В этой статье мы поговорим о второй производной и о том, что она говорит вам о функции и ее графике. Мы также рассмотрим несколько примеров, чтобы прояснить концепцию.

Начнем.

Что такое вторая производная функции?

Вторая производная функции f(x) есть производная от производной f(x). В других обозначениях:

• f(x) — исходная функция
• f'(x) — производная от f'(x)
• f”(x) — вторая производная от f (x) и первая производная от f'(x)

Помните, что производная функции говорит нам о наклоне касательной в данной точке. То есть первая производная функции говорит нам, как функция изменяется.

О чем говорит вторая производная?

Вторая производная f’’(x) показывает, насколько быстро меняется первая производная f’(x). Однако вторая производная может рассказать нам гораздо больше, например:

длинное деление многочленов

Включите JavaScript

длинное деление многочленов

• Вогнутость графика функции функция открывается: вверх или вниз)
• Точки перегиба графика функции (при изменении вогнутости)
• Форма графика функции (вместе с первой производной)
• Скорость изменения первой производной (производная первой производной)
• Ускорение объекта (скорость изменения скорости: объект ускоряется или замедляется?)

Вторая производная положения — это ускорение, которое может сказать нам, как изменяется скорость автомобиля.

Давайте подробнее рассмотрим каждый из них вместе с некоторыми примерами.

Вторая производная для вогнутости графика функции

Знак второй производной f’’(x) говорит нам о вогнутости графика функции f(x). По сути, это говорит нам, открывается ли функция вверх (как чаша) или вниз (как купол).

Вот что вам нужно знать о второй производной в связи с вогнутостью функции:

• Функция f(x) является вогнутой (или вогнутой вниз), если вторая производная f”(x) равна отрицательная, с f ”(x) < 0. Графически вогнутая функция открывается вниз, и вода, вылитая на кривую, будет скатываться.
• Функция f(x) является выпуклой (или вогнутой вверх), если f”(x) положительна, причем f”(x) > 0. Графически выпуклая функция открывается вверх, и вода выливается на кривая заполнит его.

Вот график вогнутой (вогнутой вниз) функции:

Это график вогнутой (вогнутой вниз) функции. Его вторая производная везде отрицательна, и он открывается вниз (как купол). Вода будет стекать с формы.

Вот график выпуклой (вогнутой вверх) функции:

Это график выпуклой (вогнутой вверх) функции. Его вторая производная везде положительна, и он открывается вверх (как чашка). Вода собиралась на дне формы.

Давайте посмотрим на несколько примеров, чтобы увидеть, можем ли мы найти вогнутость некоторых функций.

Пример 1. Нахождение вогнутости f(x) = x

²

Рассмотрим функцию f(x) = x ² .

Первая производная равна f’(x) = 2x по степенному правилу.

Вторая производная равна f’’(x) = 2, опять же по степенному правилу.

Так как 2 всегда положительно, мы имеем f’’(x) > 0 для всех значений x. Это означает, что f(x) выпукла (вогнута вверх) для всех значений x и открывается вверх.

Вы можете увидеть график f(x) = x ² ниже.

График функции f(x) = x ² является выпуклым (вогнутым вверх) при всех значениях x, поскольку вторая производная везде положительна.

Пример 2.

Нахождение вогнутости f(x) = x ³

Рассмотрим функцию f(x) = x ³ .

Первая производная равна f’(x) = 3x ² по степенному правилу.

Вторая производная равна f’’(x) = 6x, опять же по степенному правилу.

Поскольку 6x положительно для x > 0, мы имеем f’’(x) > 0 для всех положительных значений x. Это означает, что f(x) выпукла (вогнута вверх) для всех положительных значений x и открывается вверх на интервале x > 0.

Поскольку 6x отрицательно при x < 0, имеем f''(x) < 0 для всех отрицательных значений x. Это означает, что f(x) вогнута (вогнута вниз) для всех отрицательных значений x и открывается вниз на интервале x < 0,9.0003

При x = 0 имеем f”(x) = 6x = 6(0) = 0, что означает, что f(x) не является ни выпуклой, ни вогнутой при x = 0. Это означает, что x = 0 является возможным точка перегиба для f(x) = x ³ (подробнее об этом позже).

Вы можете увидеть график f(x) = x ³ ниже.

График функции f(x) = x ³ является вогнутым (вогнутым вниз) при x < 0 и выпуклым (вогнутым вверх) при x > 0. Он не является ни вогнутым, ни выпуклым при x = 0, так как f”(0 ) = 0.

Вторая производная для точек перегиба графика функции

Теперь, когда мы знаем, как найти вогнутость функции f(x), мы также можем найти любые точки перегиба, которые могут существовать (обратите внимание, что некоторые функции не имеют точек перегиба).

Точка перегиба функции f(x) — это точка изменения вогнутости (с положительной на отрицательную или с отрицательной на положительную). По определению вторая производная f(x) будет равна нулю в точке перегиба (поэтому f”(x) = 0).

Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы увидеть, можем ли мы найти точки перегиба некоторых функций.

Пример 1: Нахождение точек перегиба f(x) = x

³ – 6x ² + 7x – 5

Допустим, мы хотим найти точки перегиба f(x) = x ³ – 6x ² + 7x – 5.

Первая производная равна f'(x) = 3x ² – 12x + 7 по степенному правилу.

Вторая производная равна f’’(x) = 6x – 12, опять же по степенному правилу.

Мы ищем точку, где f’’(x) = 0, чтобы найти возможную точку перегиба:

• F ” (x) = 0 [это необходимо, но недостаточно, для точки перегиба]
• 6x – 12 = 0
• 6x = 12
• x = 2

Таким образом, точка x = 2 является возможной точкой перегиба функции f(x). Для подтверждения мы должны убедиться, что знак f”(x) меняется при x = 2.

Для этого мы выберем два значения x: одно меньше 2, а другое больше 2 .  Затем мы оценим f”(x) при обоих этих значениях x и сравним знаки.

Выберем x = 1 (при x < 2) и x = 3 (при x > 2).

При x = 1 имеем:

• f”(x) = 6x – 12
• f”(1) = 6(1) – 12
• f”( ) = -6
• f”(1) < 0

При x = 3 имеем:

• f”(x) = 6x – 12
9 3) = 6(3) – 12
• f”(1) = 6
• f”(1) > 0

Таким образом, f”(x) отрицательна слева от x = 2 и положительна справа от x = 2. Это означает, что f”(x) меняет знак при x = 2 и, следовательно, меняет вогнутость при x = 2.

Итак, x = 2 является точкой перегиба f(x) = x ³ – 6x ² + 7x – 5, что мы можем видеть на графике ниже.

График f(x) = x ³ – 6x ² + 7x – 5 имеет точку перегиба при x = 2, так как f”(2) = 0 и вогнутость изменяется (то есть f”( х) меняет знаки). При x = 2 график переключается с вогнутого вниз на вогнутый вверх.

Пример 2. Нахождение точек перегиба функции f(x) = x

⁴

Рассмотрим функцию f(x) = x ⁴ – 1.

Первая производная равна f'(x) = 4x ³ , по силовому правилу.

Вторая производная равна f’’(x) = 12x ² , опять же по степенному правилу.

Мы ищем точку, где f”(x) = 0, чтобы найти возможную точку перегиба:

• f”(x) = 0   [это необходимо, но недостаточно для точки перегиба]
• 12x ² = 0
• x ² = 0
• x = 0

Таким образом, точка x = 0 является возможной точкой инфекции F (x). Однако мы можем показать, что f’’(x) не меняет знака.

Во-первых, мы знаем, что x ² >= 0 для всех действительных значений x.

Отсюда следует, что 6x ² >= 0 для всех действительных значений x.

Тогда f’’(x) >= 0 для всех действительных значений x.

Поскольку f’’(x) никогда не бывает отрицательным, оно никогда не может менять знак. Итак, вогнутость f(x) никогда не может измениться, и эта функция не имеет точки перегиба, как мы можем видеть на графике ниже.

График функции f(x) = x ⁴ – 1. Он никогда не меняет вогнутость, так как вторая производная f”(x) всегда положительна или равна нулю (никогда не отрицательна). График всегда выпуклый.

Вторая производная формы графика функции

Вторая производная функции может также сказать нам форму функции f(x), если мы также рассмотрим первую производную.

В следующей таблице показаны возможные комбинации знаков f’(x) и f’’(x) и что они нам говорят:

Sign of f'(x)	Sign of f”(x)	Function Behavior
–	–	Decreasing; Вогнутая
–	0	Убывающая; Возможна Перегиб Точка
–	+	Убывающая; Выпуклая
0	–	Возможна местная крайний; Вогнутая
0	0	Возможна местная крайняя; Возможен Перегиб Точечный
0	+	Возможен местный крайний; Выпуклая
+	–	Возрастающая; Вогнутая
+	0	Возрастающая; Возможен Перегиб Точка
+	+	Увеличение; Выпуклая

Эта таблица обобщает поведение
функции f(x) на основе
знаков f'(x) и f”(x) [первая
и вторая производные f(x)].

Давайте рассмотрим пример, чтобы увидеть, как это работает на практике.

Пример: Нахождение формы f(x) = x

³ – 12x ² + 36x – 24.

Рассмотрим функцию f(x) = x ³ – 12x ² + 4 36

Первая производная равна f'(x) = 3x ² – 24x + 36, по степенному правилу.

Вторая производная равна f’’(x) = 6x – 24, опять же по степенному правилу.

Первая производная равна нулю, когда:

• F ‘(x) = 0
• 3x ² – 24x + 36 = 0
• 3 (x ² – 8x + 12) = =. 0
• 3(x – 2)(x – 6) = 0

Таким образом, x = 2 и x = 6 являются значениями, где f'(x) = 0.

Вторая производная равна нулю, когда:

• f”(x) = 0
• 6x – 24 = 0
• 6(x – 4) = 0

x2 ) = 0,

В следующей таблице показаны интервалы с различными знаками для f'(x) и f”(x):

f”(x)
x < 2	+	–
x = 2	0	–
(2, 4)	–	–
x = 4	–	0
(4, 6)	–	+
x = 6	0	+
x> 6	+	+

2

. когда х < 2.

Вогнутость вниз и локальный максимум при x = 2.

Вогнутость вниз и уменьшение при 2 < x < 4.

Точка перегиба и уменьшение при x = 4.

9 Вогнутость вверх и вверх уменьшается при 4 < x < 6.

Вогнутость вверх и локальный минимум при x = 6.

Вогнутость вверх и увеличивается при x > 6.

Мы можем проверить это с помощью графика ниже.

График функции f(x) = x ³ – 12x ² + 36x – 24. Изменяет вогнутость при x = 4, имеет локальный максимум при x = 2 и локальный минимум при x = 6.

Вторая производная для скорости изменения первой производной

Вторая производная является производной первой производной. Итак, f’’(x) говорит нам, как быстро f’(x) меняется в данной точке.

Мы можем использовать эту идею в бизнесе, чтобы выяснить, когда компания увеличивает свой доход, насколько быстро растет доход и замедляется ли рост.

Пример: первая и вторая производные для прибыли компании

Предположим, что компания имеет функцию прибыли, заданную выражением f(x) = -2x ² + 800x + 10 000, где x — количество произведенных и проданных товаров.

Первая производная равна f’(x) = -4x + 800 по степенному правилу. Эта функция говорит нам, как изменяется прибыль: когда она положительна, прибыль компании увеличивается.

Вторая производная равна f’’(x) = -4, опять же по степенному правилу. Эта функция говорит нам, замедляется или ускоряется темп роста прибыли.

Мы знаем, что f ‘(x) = 0 Когда:

• F’ (x) = 0
• -4x + 800 = 0
• -4x = -800
• x =. 200

Это говорит нам о том, что:

• Для любого значения x < 200 f'(x) положительна, и прибыль растет с каждым дополнительным произведенным и проданным товаром.
• При x = 200 рост прибыли прекращается, так как f'(x) = 0. произведено и продано (это может быть связано с увеличением стоимости приобретения редких деталей или материалов выше определенного порога).

Давайте проанализируем конкретный уровень производства: x = 100.

при x = 100 Мы получаем прибыль:

• F (x) = -2x ² + 800x + 10 0009
• F f (100) = -2(100) ² + 800(100) + 10000
• f(100) = =2(10000) + 80000 + 10000

• = -0,

  5

• f(100) = 70 000

Таким образом, прибыль компании составляет 70 000 долларов при уровне производства x = 100. Имеет ли смысл производить больше?

При x = 100 изменение прибыли равно:

• f'(x) = -4x + 800
• f'(100) = -4(100) + 800
19 f’ 9 (100) = -400 + 800
• f'(100) = 400

Таким образом, прибыль компании вырастет на 400 долларов, если мы произведем дополнительный товар после того, как будет произведено x = 100.

Последний вопрос: как увеличение производства влияет на рост прибыли?

При x = 100 вторая производная прибыли равна:

• f”(x) = -4
• f”(100) = -4

Таким образом, каждый раз, когда мы производим дополнительный товар, получаемая нами дополнительная прибыль уменьшается на 4 доллара. Таким образом, при увеличении нашего производства прибыль увеличивается меньше.

График функции f(x) = -2x ² + 800x + 10 000, которая дает прибыль компании при уровне производства x. Прибыль компании увеличивается до тех пор, пока не будет произведено и продано х = 200 единиц продукции.

Вторая производная для ускорения объекта

Помните, что если f(x) — функция положения объекта, то f’(x) — скорость объекта, а f’’(x) — ускорение объекта.

Итак, вторая производная функции положения объекта сообщает нам его ускорение.

Давайте посмотрим на пример.

Пример: использование второй производной для нахождения ускорения объекта

Предположим, что положение объекта определяется функцией f(t) = t ³ – 27t ² + 18t – 9, где t — время в секундах (начиная с t = 0).

Первая производная равна f’(t) = 3t ² – 54t + 18 по степенному правилу.

Вторая производная равна f’’(t) = 6t – 54, опять же по степенному правилу.

Таким образом, ускорение объекта в момент времени t определяется выражением f’’(t).

Ускорение (вторая производная) равно нулю, когда:

• f’’(t) = 0
• 6t – 54 = 0
• 6(t – 9) = 6 0 9 000031

  Таким образом, t = 9 — это значение, при котором f’’(t) = 0.

  Для любого значения t, превышающего 9, f’’(t) является положительным (положительное ускорение). Например:

  • f”(1) = 6(1 – 9) = 6(-8) = -48 < 0

  Для любого значения t меньше 9, f”(t) отрицательно (отрицательное ускорение). Например:

  • f”(10) = 6(10 – 9) = 6(1) = 6 > 0

  Это означает, что t = 9 является точкой перегиба функции положения f(t ), как мы видим на графике ниже.

  График функции положения функция f(t) = t ³ – 27t ² + 18t – 9 для объекта. Его ускорение (вторая производная) отрицательно для t < 9 и положительно для t > 9, что означает, что мы имеем точку перегиба при t = 9.

  Заключение

  Теперь вы знаете, о чем говорит вторая производная и что она из себя представляет. У вас также есть несколько примеров того, как он используется, чтобы дать нам больше информации о функции и ее форме.

  Здесь вы можете узнать, как построить график функции от ее производной.

  Вы можете узнать о том, когда функция включена (сопоставляется со всем доменом кода) в моей статье здесь.

  Вы можете узнать о том, как решить задачу с начальным значением (которая может включать вторые производные) в моей статье здесь.

  Здесь вы можете узнать, как использовать производные и графики для нахождения максимумов функций.

  Надеюсь, эта статья оказалась вам полезной. Если это так, пожалуйста, поделитесь ею с теми, кто может использовать эту информацию.

  Не забудьте подписаться на мой канал YouTube и получать обновления о новых математических видео!

  Подпишитесь на наш канал на YouTube!

  ~Джонатон

  Тест второй производной

  Тест второй производной
  

  Вогнутость и точки перегиба
  

  Пример:  

  Рассмотрим типичный горнолыжный склон. В какой момент на склоне тебе больше всего весело? Другими словами, где наклон наибольший?
  

  Определение Если ф'(х) возрастает, то функция равна вогнутый до и если ф'(х) убывает, то функция равна вогнутый вниз . К определяем, возрастает ли производная, берем вторую производную.

  Пример:  

  Пусть 

  f (х) = 3x ² – x ³
  
  Затем  

  f ‘(х)  = 6x – 3x ²  
  

  
  и 

  f ”(х)  = 6 – 6х.

  Решение

  6–6 крат > 0
  
  мы видим, что функция вогнута, когда x <1.

  Решение

  6–6 крат < 0
  
  мы видим, что функция вогнута вниз, когда x > 1.

  Когда x = 1, мы говорим, что f(x) имеет точек перегиба .  
  

  
  Упражнение: . Определите, где функция вогнута вверх и вогнута. вниз:
  

  1. f(x) = x ³ – x
     

  2. f(x) = x ⁴ – 6x ²
     

  3. 
     
     

  ---

  Второй производный тест

  
  Предположим, что дважды дифференцируемая функция имеет относительный максимум в точке x = с. По критерию первой производной производная положительна слева от c и минус справа от c. Переход от позитива к отрицательный означает, что производная убывает при x = c. Уменьшение первая производная подразумевает отрицательную вторую производную. Точно так же на относительного минимума вторая производная положительна. Отсюда следует

  Тест второй производной Позволять ф быть дважды дифференцируемой функцией вблизи с такой, что f ‘(c) = 0. Тогда Если f ”(х) > 0 затем ф(с) является относительным минимумом. Если f ”(х) < 0 затем ф(с) является относительным максимумом. Если f ”(x) = 0, используйте тест первой производной. Оставить комментарий Отменить ответ Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться. Меню Поиск: