Вычисление первообразной функции — что это такое?
Поговорим мы сегодня именно об этой прекрасной даме: узнаем, что такое первообразная, как она связана с интегралами и производными, и что самое важное, как её рассчитать без особого труда.
Дифференцирование и интегрирование
Если проанализировать все математические действия, то большинству из них будет соответствовать какое-то обратное:
сложение обратно вычитанию,
умножение — делению,
возведение в степень — извлечению арифметического корня.
С производной то же самое: мы можем продифференцировать функцию, а можем произвести обратный процесс — интегрирование.
Дифференциация — операция взятия полной или частной производной функции.
Интегрирование — процесс поиска интеграла; восстановление функции по её производной.
Нахождение производной от функции обозначается знаком ′. Так, если исходная функция —
Чтобы взять производную от функции, мы воспользуемся таблицей производных и правилами дифференцирования.
Функция f (x) | Производная f’ (х) |
|---|---|
С (т. е. константа, любое число) | 0 |
х | 1 |
xn | nxn-1 |
1/(2√x) | |
sin x | cos x |
cos x | -sin x |
tg x | 1/cos2(х) |
ctg x | -1/sin2x |
ex | ex |
ax | ax * ln a |
ln x | 1/x |
logax | 1/(x * ln a) |
Правила дифференцирования
(c ⋅ f)′ = c ⋅ f′
(u + v)′ = u′ + v′
(u – v)′ = u′ – v′
(u ⋅ v)′ = u′v + v′u
(u/v)’ = (u’v – v’u)/v2
u, v, f — это функции, а c — константа (любое число).
У интегрирования тоже есть своё обозначение — ∫. То есть если мы хотим взять интеграл от функции f(x), мы запишем это так: ∫f(x) dx.
Внимательные заметили в записи интегрирования непривычное для нас «dx». Что это такое? Зачем добавлять эти буквы в выражение для интеграла? Сейчас во всём разберёмся!
Демо урок по математике
Узнайте, какие темы у вас «хромают», а после — разбирайте их без зубрежки формул и скучных лекций.
Дифференциал
Разберём буквы dx по отдельности:
d — это дифференциал,
х — функция, по которой будет произведено дифференцирование.
Так, если мы дифференцируем функции y, f, m, то их дифференциалы запишем соответственно как dy, df, dm.
Дифференциал в математике (от лат. differentia — разность, различие) — линейная часть приращения функции.
То есть это понятие родственно производной — но для чего его записывать рядом с интегралом?
Для понимания важности дифференциала в записи рассмотрим рисунок:
Геометрический смысл интеграла — это площадь фигуры под кривой функции. Если поместить график в декартову систему координат OХY, то эту площадь можно рассчитать относительно и оси ОХ, и оси ОУ, и именно дифференциал вносит ясность в выбор.
Понятие дифференциала в математике очень важное, глубокое, имеет множество нюансов использования, но сейчас нам важно понимать две вещи:
Что такое первообразная?
Пришло время познакомиться с её величеством первообразной! Начнём с определения.
Первообразная для функции f(x) — это такая функция F(x), производная которой равна f(x). То есть выполняется равенство F'(x) = f(x).
Пример 1: мы знаем, что ускорение является производной от скорости. Тогда по нему можно найти скорость, восстановив функцию и найдя его первообразную.
Пример 2: производная функции –sin(x). Посмотрим внимательно в таблицу производных: cos'(x) = –sin(x). Тогда первообразная функции sin(x) будет равна –cos(x) + С с учётом постоянной величины.
Константа
Зачем добавлять константу к первообразной?
Представьте, что нам необходимо найти производную функций:
−cos(x) + 3,
−cos(x) + 5,
−cos(x) − 6.
Тогда производная будет равна sin(x) для всех трёх вариантов, так как производная любого числа равна нулю:
(−cos(x) + 3)’ = sin (x),
(−cos(x) + 5)’ = sin (x),
(−cos(x) − 6)’ = sin (x).
Выходит, что получить исходную функцию в первозданном виде невозможно, но учесть дополнительное слагаемое в виде числа нам нужно. Именно поэтому в первообразной добавляют константу «+ С». Выражение, которое имеет общий вид F(x) + С, называется
Отсюда вытекает свойство первообразной: любые две первообразные одной и той же функции отличаются друг от друга не более чем на постоянную величину C.
Правила нахождения первообразной
Нахождение первообразной функции технически связано с поиском неопределённого интеграла функции.
Неопределённый интеграл — это интеграл, для которого не задан промежуток интегрирования.
Важный момент: если продифференцировать можно любую функцию, то найти первообразную функции можно не всегда.
Об этом говорит достаточное условие интегрируемости: если на некотором промежутке функция непрерывна, то она интегрируема на нём.
Каким образом можно найти первообразную функцию? Всё просто! Как и в случае с производной, мы можем воспользоваться готовой таблицей первообразных и свойствами неопределённого интеграла!
«Высокий» логарифм:
«Длинный» логарифм:
Свойства неопределённого интеграла
Свойства неопределённого интеграла можно назвать правилами интегрирования — основываясь на них, мы сможем находить первообразную сложных функций, сводя их к лёгким.
Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению:
Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
Константу можно вынести из-под знака интеграла: то есть, если , то .
Неопределённый интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов:
Бесплатные занятия по английскому с носителем
Занимайтесь по 15 минут в день. Осваивайте английскую грамматику и лексику. Сделайте язык частью жизни.
Примеры решения заданий
Задание 1
Найди первообразную функции
Записываем неопределённый интеграл:
Применяем свойство неопределённого интеграла об алгебраической сумме функций:
Выносим константы за знак интеграла:
Проводим интегрирование согласно таблице первообразных:
Задание 2
Вычисли неопределенный интеграл
Раскрываем скобку по формуле квадрата суммы и вносим х в скобку:
Воспользуемся свойством неопределенного интеграла об алгебраической сумме функций, выносим константы за знак интеграла и находим первообразную:
Интегрирование и нахождение первообразной — одна из самых сложных, но одновременно интересных тем алгебры.
Иногда задания похожи на головоломку: необходимо выбрать верный способ решения, учесть все нюансы, выполнить верные вычисления. Научиться выполнять такие задания можно на уроках онлайн-курса математики в школе Skysmart: там вы не только подготовитесь к экзаменам, но и научитесь находить нестандартные решения, мыслить логически и строить самые неопровержимые доказательства.
определение, неопределенный интеграл и его свойства, таблица, примеры
- Понятие первообразной
- Основное свойство первообразной. Неопределенный интеграл
- Таблица неопределенных интегралов
- Правила нахождения первообразных
- Свойства неопределенных интегралов
- Примеры
п.1. Понятие первообразной
Функция \(F(x)\) называется первообразной для функции \(f(x)\) на промежутке \(X\), если для всех \(x\in X\) выполняется равенство \(F'(x)=f(x)\).
На практике промежутком \(X\) считают облать определения функции \(F(x)\).
Например:
1) Функция \(F(x)=x^2\) является первообразной для \(f(x)=2x\), т.
к. для любого \(x\) производная \(F'(x)=f(x)\).
2) Функция \(F(x)=cosx\) является первообразной для \(f(x)=sinx\), т.к. для любого \(x\) производная \(F'(x)=f(x)\).
Поиск производной данной функции называют дифференцированием.
Поиск первообразной данной функции называют интегрированием.
Дифференцирование и интегрирование являются взаимно обратными операциями.
п.2. Основное свойство первообразной. Неопределенный интеграл
Каждая первообразная для функции \(f(x)\) имеет вид \(F(x)+C\), где \(F(x)\) – одна из этих первообразных, \(C\) – произвольная постоянная.
Действительно, по правилу нахождения производной суммы: $$ (F(x)+C)’=F'(x)+C’=f(x)+0=f(x) $$ Т.е. первообразная определена с точностью до константы.
Например:
Для \(f(x)=sinx\)
Первообразными будут \begin{gather*} F(x)=cosx,\ F(x)=cosx+1, \\ F(x)=cosx-2,\ F(x)=cosx+0,100500 \end{gather*} и т.д.
Множество всех первообразных функции \(f(x)\) называют неопределенным интегралом этой функции: $$ \int f(x)dx=F(x)+C $$
Например: $$ \int x^2 dx=\frac{x^3}{3}+C,\ \ \int \frac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}+C $$
п.
6}{3}-cosx+C\)Постоянный множитель функции является постоянным множителем первообразной.
Если \(F(x)\) является первообразной для \(f(x)\),
то \(kF(x)\) – первообразная для \(kf(x)\).
Действительно $$ \left(kF(x)\right)’=kF'(x)=kf(x) $$
Например:
Найдем первообразную функции \(y=5sinx+2=5\cdot sinx+2\cdot 1\)
Первообразная для синуса \(F_1(x)=-cosx\), первообразная для единицы \(F_2(x)=x\)
Общая первообразная
\(F(x)=-5cosx+2x\)
Линейное преобразование аргумента функции.
Если \(F(x)\) является первообразной для \(f(x)\),
то для функции с аргументом \(f(kx+b)\) – первообразной будет \(\frac1k F(kx+b)\).
Действительно
Для \(x\) получаем цепочку отображений: \(x\rightarrow kx+b\rightarrow F(kx+b)\)
По правилу дифференцирования сложной функции (см. §45 данного справочника) \begin{gather*} \left(\frac1k F(kx+b)\right)’=\frac1k\cdot F'(kx+b)\cdot (kx+b)’=\frac1k\cdot F'(kx+b)\cdot k=F'(kx+b)=\\ =f(kx+b) \end{gather*}
Например:
Найдем первообразную функции \(y=sin(5x+2) \)
Нам известно, что первообразная для \(f(x)=sinx,\ F=-cosx\)
При преобразовании аргумента \(x\rightarrow 5x+2\) у новой первообразной будет новый аргумент и множитель \(\frac1k=\frac15\).
4-4x+4\frac14 $$
реальный анализ – Разница между интегральной функцией и первообразной.
спросил
Изменено 2 года назад
Просмотрено 510 раз
$\begingroup$
Определение первообразной, данное в моей книге, таково: 9{x}f(x)dx$
Очевидно, $G(x) = F(x) – F(a)$
(это следует из теоремы)
Если теперь взять производные от $F$ и $ G$ вы увидите, что они одинаковы.
Итак, $F$ и $G$ отличаются на константу.
Итак, ответ на ваш вопрос положительный.
$\endgroup$
6
$\begingroup$
Функция $F(x)$ называется первообразной функции от $f(x)$, если $F′(x) = f(x)$ для всех $x$ в области определения f.
2$, потому что $F′(x) = G′(x) = H′(x) = f(x)$ для всех $x$ в области определения $f$. Ясно, что эти функции $F$, $G$ и $H$ отличаются только некоторой постоянной величиной и что производная этой постоянной величины всегда равна нулю. Другими словами, если $F(x)$ и $G(x)$ являются первообразными $f(x)$ на некотором интервале, то $F′(x) = G′(x)$ и $F(x ) = G(x) + C$ для некоторой константы $C$ в интервале. Геометрически это означает, что графики $F(x)$ и $G(x)$ идентичны, за исключением их вертикального положения. 92, вы обнаружите, что когда мы берем неопределенный интеграл, мы на самом деле находим «все» возможные первообразные сразу (поскольку разные значения $C$ дают разные первообразные)
Неопределенный интеграл функции иногда называют общим первообразная функции.
Кроме того, мы бы сказали, что определенный интеграл — это число, к которому мы могли бы применить вторую часть основной теоремы исчисления; но первообразная — это функция, к которой мы могли бы применить первую часть основной теоремы исчисления.
$\endgroup$
6
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.