Первообразная это интеграл: Первообразная. Неопределённый и определённый интегралы

Вычисление первообразной функции — что это такое?

Поговорим мы сегодня именно об этой прекрасной даме: узнаем, что такое первообразная, как она связана с интегралами и производными, и что самое важное, как её рассчитать без особого труда.

Дифференцирование и интегрирование

Если проанализировать все математические действия, то большинству из них будет соответствовать какое-то обратное:

  • сложение обратно вычитанию,

  • умножение — делению,

  • возведение в степень — извлечению арифметического корня.

С производной то же самое: мы можем продифференцировать функцию, а можем произвести обратный процесс — интегрирование.

Дифференциация — операция взятия полной или частной производной функции.

Интегрирование — процесс поиска интеграла; восстановление функции по её производной.

Нахождение производной от функции обозначается знаком . Так, если исходная функция —

y, то её производная будет обозначаться y′.

Чтобы взять производную от функции, мы воспользуемся таблицей производных и правилами дифференцирования.

Функция f (x)

Производная f’ (х)

С (т. е. константа, любое число)

0

х

1

xn

nxn-1

√x

1/(2√x)

sin x

cos x

cos x

-sin x

tg x

1/cos2(х)

ctg x

-1/sin2x

ex

ex

ax

ax * ln a

ln x

1/x

logax

1/(x * ln a)

Правила дифференцирования

(c ⋅ f)′ = c ⋅ f′

(u + v)′ = u′ + v′

(u – v)′ = u′ – v′

(u ⋅ v)′ = u′v + v′u

(u/v)’ = (u’v – v’u)/v2

u, v, f — это функции, а c — константа (любое число).

У интегрирования тоже есть своё обозначение — ∫. То есть если мы хотим взять интеграл от функции f(x), мы запишем это так: ∫f(x) dx.

Внимательные заметили в записи интегрирования непривычное для нас «dx». Что это такое? Зачем добавлять эти буквы в выражение для интеграла? Сейчас во всём разберёмся!

Демо урок по математике

Узнайте, какие темы у вас «хромают», а после — разбирайте их без зубрежки формул и скучных лекций.

Дифференциал

Разберём буквы dx по отдельности:

  • d — это дифференциал,

  • х — функция, по которой будет произведено дифференцирование.

Так, если мы дифференцируем функции y, f, m, то их дифференциалы запишем соответственно как dy, df, dm.

Дифференциал в математике (от лат. differentia — разность, различие) — линейная часть приращения функции.

То есть это понятие родственно производной — но для чего его записывать рядом с интегралом?

Для понимания важности дифференциала в записи рассмотрим рисунок:

Геометрический смысл интеграла — это площадь фигуры под кривой функции. Если поместить график в декартову систему координат OХY, то эту площадь можно рассчитать относительно и оси ОХ, и оси ОУ, и именно дифференциал вносит ясность в выбор.

Понятие дифференциала в математике очень важное, глубокое, имеет множество нюансов использования, но сейчас нам важно понимать две вещи:

Что такое первообразная?

Пришло время познакомиться с её величеством первообразной! Начнём с определения.

Первообразная для функции f(x) — это такая функция F(x), производная которой равна f(x). То есть выполняется равенство F'(x) = f(x).

Пример 1: мы знаем, что ускорение является производной от скорости. Тогда по нему можно найти скорость, восстановив функцию и найдя его первообразную.

Пример 2: производная функции –sin(x). Посмотрим внимательно в таблицу производных: cos'(x) = –sin(x). Тогда первообразная функции sin(x) будет равна –cos(x) + С с учётом постоянной величины.

Константа

Зачем добавлять константу к первообразной?

Представьте, что нам необходимо найти производную функций:

−cos(x) + 3,
−cos(x) + 5,
−cos(x) − 6.

Тогда производная будет равна sin(x) для всех трёх вариантов, так как производная любого числа равна нулю:

(−cos(x) + 3)’ = sin (x),
(−cos(x) + 5)’ = sin (x),
(−cos(x) − 6)’ = sin (x).

Выходит, что получить исходную функцию в первозданном виде невозможно, но учесть дополнительное слагаемое в виде числа нам нужно. Именно поэтому в первообразной добавляют константу «+ С». Выражение, которое имеет общий вид F(x) + С, называется

множеством первообразных функции.

Отсюда вытекает свойство первообразной: любые две первообразные одной и той же функции отличаются друг от друга не более чем на постоянную величину C.

Правила нахождения первообразной

Нахождение первообразной функции технически связано с поиском неопределённого интеграла функции.

Неопределённый интеграл — это интеграл, для которого не задан промежуток интегрирования.

Важный момент: если продифференцировать можно любую функцию, то найти первообразную функции можно не всегда.

Об этом говорит достаточное условие интегрируемости: если на некотором промежутке функция непрерывна, то она интегрируема на нём.

Каким образом можно найти первообразную функцию? Всё просто! Как и в случае с производной, мы можем воспользоваться готовой таблицей первообразных и свойствами неопределённого интеграла!

  1. «Высокий» логарифм:

  2. «Длинный» логарифм:

Свойства неопределённого интеграла

Свойства неопределённого интеграла можно назвать правилами интегрирования — основываясь на них, мы сможем находить первообразную сложных функций, сводя их к лёгким.

  1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению:

  2. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

  3. Константу можно вынести из-под знака интеграла: то есть, если , то .

  4. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов:

Бесплатные занятия по английскому с носителем

Занимайтесь по 15 минут в день. Осваивайте английскую грамматику и лексику. Сделайте язык частью жизни.

Примеры решения заданий

Задание 1

Найди первообразную функции

  1. Записываем неопределённый интеграл:

  2. Применяем свойство неопределённого интеграла об алгебраической сумме функций:

  3. Выносим константы за знак интеграла:

  4. Проводим интегрирование согласно таблице первообразных:

Задание 2

Вычисли неопределенный интеграл

  1. Раскрываем скобку по формуле квадрата суммы и вносим х в скобку:

  2. Воспользуемся свойством неопределенного интеграла об алгебраической сумме функций, выносим константы за знак интеграла и находим первообразную:

Интегрирование и нахождение первообразной — одна из самых сложных, но одновременно интересных тем алгебры. Иногда задания похожи на головоломку: необходимо выбрать верный способ решения, учесть все нюансы, выполнить верные вычисления. Научиться выполнять такие задания можно на уроках онлайн-курса математики в школе Skysmart: там вы не только подготовитесь к экзаменам, но и научитесь находить нестандартные решения, мыслить логически и строить самые неопровержимые доказательства.

определение, неопределенный интеграл и его свойства, таблица, примеры

  1. Понятие первообразной
  2. Основное свойство первообразной. Неопределенный интеграл
  3. Таблица неопределенных интегралов
  4. Правила нахождения первообразных
  5. Свойства неопределенных интегралов
  6. Примеры

п.1. Понятие первообразной

Функция \(F(x)\) называется первообразной для функции \(f(x)\) на промежутке \(X\), если для всех \(x\in X\) выполняется равенство \(F'(x)=f(x)\).

На практике промежутком \(X\) считают облать определения функции \(F(x)\).

Например:
1) Функция \(F(x)=x^2\) является первообразной для \(f(x)=2x\), т. к. для любого \(x\) производная \(F'(x)=f(x)\).
2) Функция \(F(x)=cos⁡x\) является первообразной для \(f(x)=sin⁡x\), т.к. для любого \(x\) производная \(F'(x)=f(x)\).

Поиск производной данной функции называют дифференцированием.
Поиск первообразной данной функции называют интегрированием.
Дифференцирование и интегрирование являются взаимно обратными операциями.

п.2. Основное свойство первообразной. Неопределенный интеграл

Каждая первообразная для функции \(f(x)\) имеет вид \(F(x)+C\), где \(F(x)\) – одна из этих первообразных, \(C\) – произвольная постоянная.

Действительно, по правилу нахождения производной суммы: $$ (F(x)+C)’=F'(x)+C’=f(x)+0=f(x) $$ Т.е. первообразная определена с точностью до константы.

Например:

Для \(f(x)=sin⁡x\)
Первообразными будут \begin{gather*} F(x)=cos⁡x,\ F(x)=cos⁡x+1, \\ F(x)=cos⁡x-2,\ F(x)=cos⁡x+0,100500 \end{gather*} и т.д.

Множество всех первообразных функции \(f(x)\) называют неопределенным интегралом этой функции: $$ \int f(x)dx=F(x)+C $$

Например: $$ \int x^2 dx=\frac{x^3}{3}+C,\ \ \int \frac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}+C $$

п.

6}{3}-cosx+C\)

Постоянный множитель функции является постоянным множителем первообразной.
Если \(F(x)\) является первообразной для \(f(x)\),
то \(kF(x)\) – первообразная для \(kf(x)\).

Действительно $$ \left(kF(x)\right)’=kF'(x)=kf(x) $$
Например:
Найдем первообразную функции \(y=5sinx+2=5\cdot sinx+2\cdot 1\)
Первообразная для синуса \(F_1(x)=-cosx\), первообразная для единицы \(F_2(x)=⁡x\)
Общая первообразная
\(F(x)=-5cosx+2x\)

Линейное преобразование аргумента функции.
Если \(F(x)\) является первообразной для \(f(x)\),
то для функции с аргументом \(f(kx+b)\) – первообразной будет \(\frac1k F(kx+b)\).

Действительно
Для \(x\) получаем цепочку отображений: \(x\rightarrow kx+b\rightarrow F(kx+b)\)
По правилу дифференцирования сложной функции (см. §45 данного справочника) \begin{gather*} \left(\frac1k F(kx+b)\right)’=\frac1k\cdot F'(kx+b)\cdot (kx+b)’=\frac1k\cdot F'(kx+b)\cdot k=F'(kx+b)=\\ =f(kx+b) \end{gather*}
Например:
Найдем первообразную функции \(y=sin(5x+2) \)
Нам известно, что первообразная для \(f(x)=sin⁡x,\ F=-cos⁡x\)
При преобразовании аргумента \(x\rightarrow 5x+2\) у новой первообразной будет новый аргумент и множитель \(\frac1k=\frac15\). 4-4x+4\frac14 $$

реальный анализ – Разница между интегральной функцией и первообразной.

спросил

Изменено 2 года назад

Просмотрено 510 раз

$\begingroup$

Определение первообразной, данное в моей книге, таково: 9{x}f(x)dx$

Очевидно, $G(x) = F(x) – F(a)$

(это следует из теоремы)

Если теперь взять производные от $F$ и $ G$ вы увидите, что они одинаковы.

Итак, $F$ и $G$ отличаются на константу.

Итак, ответ на ваш вопрос положительный.

$\endgroup$

6

$\begingroup$

Функция $F(x)$ называется первообразной функции от $f(x)$, если $F′(x) = f(x)$ для всех $x$ в области определения f. 2$, потому что $F′(x) = G′(x) = H′(x) = f(x)$ для всех $x$ в области определения $f$. Ясно, что эти функции $F$, $G$ и $H$ отличаются только некоторой постоянной величиной и что производная этой постоянной величины всегда равна нулю. Другими словами, если $F(x)$ и $G(x)$ являются первообразными $f(x)$ на некотором интервале, то $F′(x) = G′(x)$ и $F(x ) = G(x) + C$ для некоторой константы $C$ в интервале. Геометрически это означает, что графики $F(x)$ и $G(x)$ идентичны, за исключением их вертикального положения. 92, вы обнаружите, что когда мы берем неопределенный интеграл, мы на самом деле находим «все» возможные первообразные сразу (поскольку разные значения $C$ дают разные первообразные)

Неопределенный интеграл функции иногда называют общим первообразная функции. Кроме того, мы бы сказали, что определенный интеграл — это число, к которому мы могли бы применить вторую часть основной теоремы исчисления; но первообразная — это функция, к которой мы могли бы применить первую часть основной теоремы исчисления.

$\endgroup$

6

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

Оставить комментарий