Первообразные как решать: Первообразная функции. Формула Ньютона-Лейбница – подготовка к ЕГЭ по Математике

Первообразная функции. Формула Ньютона-Лейбница – подготовка к ЕГЭ по Математике

Функция F(x), для которой f(x) является производной, называется первообразной функции y = f(x). Функции вида у = F(x) + C образуют множество первообразных функции у = f(x).

Сейчас объясним, что это значит.

Вспомним таблицу производных. В левой колонке — функции, в правой — их производные. Например, — производная от функции , — производная функции . А чем будет являться для функции ? Или — для функции ? Вы уже догадались. Первообразной.

Заметим, кстати, что — производная не только функции , но и функций , — в общем, всех функций вида Здесь C — константа, то есть постоянная величина, и ее производная равна нулю.

Аналогично, функция — производная для всех функций вида , где — константа.

Посмотрим на таблицу первообразных. Каждая функция в левом столбце таблицы является производной для функции в правом столбце.

Таблица первообразных

Первообразная суммы функций равна сумме их первообразных.

Первообразная разности функций — разности первообразных.

Первообразная от функции , где — постоянный множитель, равна произведению на первообразную функции , то есть .

Множество всех первообразных функции называется неопределенным интегралом данной функции. Записывается это так:

Нахождение первообразной называется также интегрированием функции. А нахождение производной — дифференцированием функции. Интегрирование (то есть нахождение первообразной) и дифференцирование (взятие производной) — взаимно-обратные действия.

Но интегралы — отдельная тема. В задачах ЕГЭ по математике неопределенные интегралы не встречаются, а теме «Первообразная» посвящено всего несколько задач в первой части ЕГЭ. Для их решения надо знать только таблицу первообразных и еще одну важную формулу.

Формула для вычисления площади под графиком функции (Формула Ньютона-Лейбница) 

Пусть в прямоугольной системе координат задана фигура, ограниченная графиком непрерывной функции , осью и прямыми и . Пусть функция неотрицательна на отрезке [a; b].

Тогда площадь этой фигуры вычисляется по формуле:

Такую фигуру называют еще криволинейной трапецией. А сама формула носит название

«Формула Ньютона-Лейбница».

1. Значение первообразной функции в точке 0 равно 6. Найдите . 

Найдем первообразную функции с помощью таблицы первообразных. Получим:

При получим:

Значит, и

Ответ: 40,5

2. Значение первообразной функции в точке 0 равно -13. Найдите

Найдем первообразную функции с помощью таблицы первообразных. Получим:

При x = 0 получим: Значит, и

Ответ: -14

3. На рисунке изображен график функции . Найдите значение выражения , где – одна из первообразных функции .

По формуле Ньютона-Лейбница, разность первообразных — это площадь, ограниченная графиком функции, осью X и прямыми y=a и y=b.

В этой задаче нужная фигура ограничена графиком функции, осью и прямыми и . Это квадратик, и площадь его равна 4.

Ответ: 4.

4. На рисунке изображён график некоторой функции . Функция  — одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Решение. По формуле Ньютона-Лейбница, площадь под графиком функции на отрезке [a,b] равна разности значений первообразной в концах отрезка, то есть

В нашей задаче имеем:

Дальше — просто арифметика.

Ответ: 13,5.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Первообразная функции. Формула Ньютона-Лейбница» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 07. 05.2023

что это такое, основные свойства, как найти

Первообразная, основные понятия и определения

Рассмотрим некую функцию . Попробуем вычислить производную от данной функции. Для этого следует вспомнить формулу:

Тогда получим:

Из этого следует, что:

С помощью данной записи можно объяснить, что такое первообразная:

Аналогичным образом можно составить выражение:

Если обобщить рассматриваемые соотношения, то получится вывести формулу:

Здесь n отлично от (-1)

Заметим, что в том случае, когда n = -1, первообразная функции будет вычисляться следующим образом:

В результате, первообразная функция определяется, как функция, производная которой равна начальной функции.

Определение 1

Функцию y = F(x) называют первообразной функции y = f(x) на интервале Х в случае, когда для  какого-либо x?X справедливо следующее соотношение:

F(x) = f(x).

Определение 2

Ключевое свойство первообразных: какая-либо первообразная для функции f на интервале I может быть представлена в виде:

F(x) + C, где:

• F(x) является одной из первообразных для функции f(х) на промежутке I;
• С является произвольной постоянной.

Из основного свойства первообразной легко вывести несколько полезных свойств, которые можно применять как в средних классах школы, так и будучи студентом.

1. Любое число допустимо записать, как С. Независимо от его значения, получится первообразная для f на интервале I.
2. Если взять любую первообразную Ф для f на интервале I, то при этом получится найти такое С, при котором для каждого х из интервала I будет справедливо равенство .

Первообразная и интеграл

Формула Ньютона-Лейбница определяет связь между первообразной функции и интегралом. Соотношение вытекает из соответствующей теоремы.

Определение 3

Теорема Ньютона-Лейбница: при непрерывности функции f(x) на интервале [a, b] и ?(x) в виде какой-либо первообразной данной функции на рассматриваемом отрезке справедливо следующее равенство:

Докажем теорему. Представим, что на интервале [a, b] имеется некая интегрируемая функция f. Запишем какую-то переменную х с произвольным значением:

Далее определим новую функцию:

Данная функция определена для любых значений:

Это возможно при условии существования интеграла от f на интервале [a, b]. При этом имеется также интеграл от f на интервале [a, x] при a?x?b. Заметим, что из определения вытекает следующее:

В этом случае:

Нужно подтвердить беспрерывность функции F на интервале [a, b]. Предположим, что:

В таком случае:

При условии:  получим, что:

В результате F не прерывается на интервале [a, b]. При этом не имеет значение наличие разрывов у f. Важным условием является тот факт, что f интегрируется на [a, b].

График f имеет вид:

Источник: ru.wikipedia.org

Рассмотрим переменную фигуру aABx. Ее площадь можно определить, как F(x). Приращение при этом составит:

Выражение равно площади фигуры xBC(x+h), которая по причине ограниченности f стремится к нулю, когда h > 0 При этом не имеет значение, будет ли x точкой непрерывности или разрыва f, к примеру, точкой x-d.

Далее допустим, что функция f, кроме того, что интегрируема на интервале [a, x], также не прерывается в точке x?[a,x]. Попробуем доказать, что в таком случае имеется производная функции F в данной точке, которая равна:

F'(x)=f(x)

В действительности, для рассматриваемой точки х справедливо, что:

По предположению:

В связи с тем, что f(x) является постоянной по отношению к t, получим:

Так как функция f не прерывается в точке x для любого ? > 0 допустимо такое значение ?, что   в случае . По этой причине:

Согласно записанному соотношению, было доказано, что левая часть рассматриваемого неравенства есть 0, когда h > 0 . Рассмотрим повторно выражение:

Если h > 0 , то существует производная от F в точке х. Кроме того, справедливым является равенство:

F'(x)=f(x)

Если x=a, b, здесь речь идет соответственно о правой и левой производной. В том случае, когда f не прерывается на интервале [a, b], по представленным ранее доказательствам, ей соответствует такая функция:

Данная функция обладает производной:

F'(x)=f(x)

При этом:

a?x?b

В таком случае функция F(x) является первообразной для f на интервале [a, b]. Данное утверждение носит название теоремы об интеграле с переменным верхним пределом, либо теоремы Барроу.

В ходе вычислений получилось доказать, что в пределах отрезка [a, b] у произвольной функции f, которая не прерывается на рассматриваемом интервале, имеется первообразная. Уравнение первообразной имеет вид:

Предположим существование произвольной первообразной функции f(x) в виде ? на интервале [a, b]. Известно, что:

В этом случае, С играет роль некой постоянной. Запишем предположительные условия:

x=a

F(a)=0

Тогда получим, что:

?(a) = C

В результате:

С другой стороны:

В связи с этим:

Важно запомнить, что запрещено применять записанную формулу в том случае, когда в примере имеется разрывная функция, либо функция, не ограниченная в пределах рассматриваемого интервала интегрирования. Подобные вычисления будут некорректными, как в примере:

Заметим, что в записанном соотношении отсутствует смысл, так как интеграл от положительной функции не может быть меньше, чем ноль. Причина подобной ошибки заключается в разрывности и неограниченности функции под знаком интеграла в нуле. В таком случае, для решения этого примера нельзя использовать формулу Ньютона-Лейбница.

Таблица первообразных и правила их нахождения

Представим таблицу первообразных функций. Заметим, что любое из выражений справа требуется дополнить константой.

Источник: krasavtsev.blogspot.com

Решать задания на поиск первообразной функции удобно с использованием нескольких правил. Рассмотрим их подробнее.

Правило 1

Первообразная функции суммы или разности представляет собой сумму или разность соответственно первообразных функций:

F(x + у) = F(x) + F(у)

F(x – у) = F(x) – F(у).

Попробуем применить данное правило, чтобы найти первообразную для следующей функции:

В случае каждой из записанных функций определим первообразную, согласно правилу:

В результате первообразная начальной функции равна:

или любая функция вида

Правило 2

В том случае, когда F(x) является первообразной для f(x), получим, что k*F(x)представляет собой первообразную для функции k*f(x). При этом допускается вынесение коэффициента за функцию.

Представим, что имеется некая функция, первообразную которой нужно определить:

у = 8 sin x

Зная, что для sin x однозначная первообразная равна – cos x. В таком случае, первообразная начальной функции имеет следующий вид:

у = –8 cos x

Попробуем решить еще один типичный пример на нахождение первообразной функции:

Запишем первообразную для :

Запишем первообразную для х:

Первообразная для 1 равна х. В таком случае, первообразная начальной функции будет записана в следующем виде:

Правило 3

В том случае, когда y = F(x) является первообразной функции y = f(x), первообразная для функции y = f(kx + m) является 

В некоторых случаях по условию задачи требуется найти первообразные с определенной точкой. Следует отметить, что отличия между первообразными некой функции заключаются в сдвиге по вертикали на какое-либо число. Из этого можно сделать вывод, что при рассмотрении любой точки на координатной плоскости в любом случае через нее проходит лишь одна первообразная.

Разберем типичную задачу. Дана функция:

Попробуем найти первообразную в точке:

Выполним вычисления, относительно каждого из слагаемых:

Вычислим первообразную:

Исходя из полного условия задачи, данная функция пересекает точку М (–1; 4). По этой причине при подстановке на место х числа -1 и на место F(x) числа 4 в итоге получается верное числовое равенство:

Заметим, что данное соотношение записано, относительно константы С. Вычислим С:

Путем подстановки значения С в общее уравнение получим первообразную:

Примеры решения задач

Задача 1

Дана функция, для которой нужно определить первообразную:

у = cos (7x)

Решение

Ответ: 

Задача 2

Найти интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

Решение

Сначала требуется определить непрерывность подынтегральной функции  на интервале . Затем можно перейти к определению первообразной путем устранения пределов интегрирования и решения любым из методов. Здесь целесообразно воспользоваться способом непосредственного интегрирования. Согласно табличному значению:

Тогда:

Если С имеет нулевое значение, то одна из первообразных равна:

Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница:

Ответ: 

Задача 3

Найти определенный интеграл:

Решение

Вычислим определенный интеграл путем интегрирования по частям:

Здесь применена формула Ньютона-Лейбница. С ее помощью также можно найти второй интеграл:

Ответ: 

Задача 4

Дана одна из первообразных функции f(x):

Требуется определить f(0).

Решение

Согласно определению первообразной:

В результате:

Тогда:

f(0) = -2

Ответ: -2

Задача 5

Дана первообразная функции f(x):

Необходимо определить f(1).

Решение

Вспомним определение первообразной:

В таком случае:

В результате:

f(1) = 12

Ответ: 12

б \ эквив с \ текст { (мод } п) \end{уравнение*}

, где \(a\) или \(b\) может быть переменной, а \(n\) может быть простым числом или степенью простого числа. j\) для некоторого \(i,j\in\mathbb{Z}\text{.}\) Тогда наша конгруэнтность станет равной 9j\text{(mod}n) \end{уравнение*}

и думать о нем как о решении в показателях \(ib\) и \(j\) будет продуктивно.

Подраздел 10.5.1 Нахождение более высокого корня

¶

В качестве введения давайте рассмотрим один из способов решения первого сравнения, используя эту идею.

Во-первых, найдите примитивный корень по модулю \(17\text{.}\). Очевидно, мы могли бы просто попросить Sage и его встроенную команду примитивный_корень или использовать Лемму 10.2.3 методом проб и ошибок. В недалеком прошлом в конце каждого текста по теории чисел была таблица первообразных корней! 9{5}\Стрелка вправо 3i=5 \Стрелка вправо i=5/3\текст{.} \end{уравнение*}

Здесь мы попробуем сделать что-то очень похожее.

Что очень важно, так это то, что эта конгруэнтность в каком-то смысле больше не является конгруэнтностью в \(\mathbb{Z}_{17}\text{.}\). (U_{17}\text{,}\) циклическая группа порядка \(\phi(17)=16\text{.

}\) Но циклическая группа порядка \(16\) будет такой же, как мышление по модулю шестнадцать! Таким образом, мы можем убрать показатели, как в предварительном исчислении, но сделать что-то (mod \(16\)): 9{10}\text{ (мод. }19) \end{уравнение*}

дает

\begin{уравнение*} 16x\equiv 10\text{ (mod }18)\text{.} \end{уравнение*}

Поскольку каждое из чисел в этом последнем сравнении четно, мы можем привести его к \(8x\equiv 5\) (mod \(9\)), что далее сводится к легко решаемому \(-x\ эквивалент 5\) (mod \(9\)).

Взяв \(x\equiv -5\equiv 4\text{,}\) и приняв во внимание исходный модуль \(18\text{,}\), который предполагает, что мы могли бы положить \(x\equiv 4, 13\) при решении исходного сравнения. И действительно 9{5}\text{ (мод. }19) \end{уравнение*}

, что дает

\begin{уравнение*} 4x\equiv 5\text{ (mod }18)\text{.} \end{уравнение*}

Однако, поскольку \(\gcd(4,18)=2\nmid 5\text{,}\) по предложению 5.1.1 это последнее сравнение не имеет решений, то и исходное сравнение не имеет решений. (Оказывается, \(16\) имеет только порядок \(9\) как элемент \(U_{19}\text{,}\) и, очевидно, \(13\) не является одним из элементов в подгруппа, сгенерированная \(16\text{.}\))

CodingBat [email protected] apcsa-primitives

CodingBat [email protected]

id/email
пароль
забыл пароль | создать учетную запись

о | помощь | помощь по коду+видео | сделано | prefs

Кодовая практика CodingBat

[email protected] apcsa-primitives

Описание:AP CS A — примитивные данные (блок 1)

Проблемы с примитивными данными (AP Computer Science A)

Эти задачи под силу большинству студентов, обладающих практическими знаниями примитивных типов данных, а также небольшим пониманием операторов if (условных) и, возможно, некоторых логических операторов, таких как && (и), || (или), ! (нет).

Таким образом, они могут быть назначены с небольшой подготовкой к ним в Блоке 1. Или они могут быть предельно простым набором задач в Блоке 3.

Я думаю, что большинство учителей должны чувствовать себя нормально, давая эти задачи учащимся в первом разделе курса, поскольку они начинаются буквально настолько легко, насколько это можно себе представить (возвращают ввод без изменений) и доходят до все еще среднего уровня сложности, время, когда они сделаны.

Создание согласованного кода решения CodingBat

Запомните структуру решения CodingBat, чтобы не пропустить важную информацию:

Шаг 1: создайте выходную переменную и присвойте ей начальное значение. Это должен быть тот же тип данных, что и метод, который вы заполняете, поэтому, если сигнатура метода public boolean areMyEyesClosed(int amountOfLight) , тип данных является логическим, и вы должны создать выходную переменную, например

 логический вывод = истина; 

Вы можете назвать свою выходную переменную как угодно.

Шаг 2: перейдите в конец метода и верните выходную переменную. Это очень просто, сделайте так, чтобы последняя строка вашего метода читалась как

 обратный выход; 

(при условии, что ваша переменная называется выходом)

Шаг 3: прочитайте фактическое описание проблемы и используйте логику, чтобы присвоить новое значение вашей выходной переменной. Это часто будет включать некоторые операторы if и, в более поздних наборах задач, циклы. Некоторые проблемы явно сложнее других. Этот код должен располагаться между первым оператором (объявлением выходной переменной) и последним оператором (возвратом вашей выходной переменной). В нашем примере задача может заключаться в том, что любое положительное количество света указывает на то, что ваши глаза открыты. Таким образом, код может выглядеть следующим образом.

  если (сумма света > 0)
  {
    вывод = ложь;
  }
 

Таким образом, полный код для этого примера метода может выглядеть следующим образом.