Практическое занятие 3. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера. | План-конспект занятия:
Практическое занятие 3. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.
1. Внимательно изучите материал (устно).
Основной теоретический материал.
Метод Крамера . Применение для систем линейных уравнений.
Задана система N линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с неизвестными, коэффициентами при которых являются элементы матрицы , а свободными членами – числа
Первый индекс возле коэффициентов указывает в каком уравнении находится коэффициент, а второй – при котором из неизвестным он находится.
Если определитель матрицы не равен нулю
то система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение. Решением системы линейных алгебраических уравнений называется такая упорядоченная совокупность чисел , которая при превращает каждое из уравнений системы в правильную равенство. Если правые части всех уравнений системы равны нулю, то систему уравнений называют однородной. В случае, когда некоторые из них отличны от нуля – неоднородной Если система линейных алгебраических уравнений имеет хоть одно решение, то она называется совместной, в противном случае – несовместимой. Если решение системы единственное, то система линейных уравнений называется определенной. В случае, когда решение совместной системы не единственное, систему уравнений называют неопределенной. Две системы линейных уравнений называются эквивалентными (или равносильными), если все решения одной системы является решениями второй, и наоборот. Эквивалентны (или равносильны) системы получаем с помощью эквивалентных преобразований.
Эквивалентные преобразования СЛАУ
1) перестановка местами уравнений;
2) умножение (или деление) уравнений на отличное от нуля число;
3) добавление к некоторого уравнения другого уравнения, умноженного на произвольное, отличное от нуля число.
Решение СЛАУ можно найти разными способами, например , по формулам Крамера (метод Крамера)
Теорема Крамера.
Если определитель системы линейных алгебраических уравнений с неизвестными отличен от нуля то эта система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера: – определители, образованные с заменой -го столбца, столбцом из свободных членов.
Если , а хотя бы один из отличен от нуля, то СЛАУ решений не имеет. Если же , то СЛАУ имеет множество решений.
Задача 1.
Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решить систему методом Крамера
Решение.
Найдем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных
Так как , то заданная система уравнений совместная и имеет единственное решение. Вычислим определители:
По формулам Крамера находим неизвестные
Итак единственное решение системы.
Задача 2.
Дана система четырех линейных алгебраических уравнений. Решить систему методом Крамера.
Решение.
Найдем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных. Для этого разложим его по первой строке.
Найдем составляющие определителя:
Подставим найденные значения в определитель
Детерминант , следовательно система уравнений совместная и имеет единственное решение. Вычислим определители по формулам Крамера:
Разложим каждый из определителей по столбцу в котором есть больше нулей.
По формулам Крамера находим
Решение системы
2. Выполните в тетради (письменно).
Решите систему уравнений по формулам Крамера
1) 2) 3) |
Критерии оценивания:
Работа оценивается на «3»,если: самостоятельно полностью и верно решена одна из систем.
Работа оценивается на «4»,если: самостоятельно полностью и верно решены любые две системы.
Работа оценивается на «5»,если: самостоятельно полностью и верно решены три системы.
Решение систем линейных уравнений методом крамера
«РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
МЕТОДОМ КРАМЕРА»
Уравнение называется линейными, если оно содержит переменные (неизвестные) только в первой степени и не содержит произведений неизвестных.
Обычно линейное уравнение определяется, как уравнение вида:
ax + b = 0,
где а и b – любые числа.
Система уравнений называется система уравнений составленная из двух или более линейных уравнений
Решение системы уравнений
1)Решением системы из двух уравнений является пара чисел (x, y), которые при подстановке в уравнения системы, обращают каждое уравнение системы в верное равенство.
2)Решением системы из трех уравнений является тройка чисел (x, y, z), которые при подстановке в уравнения системы, обращают каждое уравнение системы в верное равенство.
Габриель Крамер (1704-1752)- швейцарский математик.
Он установил правила решения систем n линейных уравнений с n неизвестными (правило Крамера) и заложил основы теории определителей.
« МЕТОД КРАМЕРА»
Пусть – определитель матрицы системы А, j –определитель матрицы получаемый из матрицы а заменой j-столбца столбцом свободных членов.Тогда если не равна 0 , то система имеет единственное решение определяемое по формулам : Xj=
j-это x1,x2,x3
– это число – определитель системы
Метод Крамера
Пусть нам требуется решить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными: (1)
в которой определитель системы (он составлен из коэффициентов при неизвестных) ∆≠0, а определители получаются из определителя системы ∆ посредством замены свободными членами элементов соответственно первого, второго и третьего столбцов.
Теорема (правило Крамера). Если определитель системы ∆≠0, то рассматриваемая система (1) имеет одно и только одно решение, причём
Решите систему методом Крамера :
Решение:
- Вычислим определитель системы:
- Так как определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера.
2) Составим и вычислим необходимые определители :
Решите систему методом Крамера:
- Находим неизвестные по формулам Крамера:
Ответ:
Метод Гаусса
Ранее рассмотренный метод можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений.
Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x 1 . Для этого второе уравнение разделим на а 21 и умножим на – а
Метод Гаусса
Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x 2 . Для этого третье уравнение разделим на , умножим на и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:
Отсюда из последнего уравнения легко найти x 3 , затем из 2-го уравнения x 2 и, наконец, из 1-го – x 1 .
Решение:
- Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие
Для этого второе уравнение умножим на , а затем сложим с 1-ым уравнением.
Решите систему методом Гаусса:
Аналогично третье уравнение умножим на , а затем сложим с первым.
В результате исходная система примет вид:
- Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x 2 . Для этого третье уравнение умножим на , и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:
Решите систему методом Гаусса:
- На этом прямой ход метода Гаусса закончен, начинаем обратный ход.
Из последнего уравнения полученной системы уравнений находим x 3 :
Из второго уравнения получаем:
Из первого уравнения находим оставшуюся неизвестную переменную и этим завершаем обратный ход метода Гаусса:
Ответ:
3
Используйте правило Крамера, чтобы решить (если возможно) систему уравнений.
Исчисление Предварительное исчисление
Сэм Р.
спросил 20.05.20-2x +3y -5z = -11
4x -y +z = -3
-x -4y +6z =15
Было бы очень полезно, если бы вы могли показать свою работу. Спасибо!
Подписаться І 1
Еще
Отчет
2 ответа от опытных наставников
Лучший Новейшие Самый старыйАвтор: ЛучшиеНовыеСамыеСтарые
Стивен Х. ответил 20.05.20
Репетитор
4,8 (546)
Изучите исчисление у опытного инженера
Об этом репетиторе ›
Об этом репетиторе ›
Создайте матрицу -2 3 -5 и найдите определитель D = -2(-6+4) -3*(24+1) -5*(-16-1) = 14
4 -1 1
– 1 -4 6
Создайте новую матрицу для x, подставив набор решений в столбец 1 -11 3 -5 , затем найдите определитель.
-3 -1 1
15 -4 6
det = -11*(-6+4)-3*(-18-15) -5*(12+15) = -14
Рассчитайте значение x, разделив -14/D = -1
Повторите для y и z, найдя y=4 и z=5
Голосовать за 0 Понизить
Подробнее
Отчет
Том С. ответил 20.05.20
Репетитор
5 (60)
Опытный, терпеливый репетитор по математике средней школы, колледжа и SAT/ACT
Смотрите таких репетиторов
Смотрите таких репетиторов
Матрица коэффициентов A = -2 3 -5 b = -11
4 -1 1 -3
-1 -4 6 15
det(A) = (-2)(-1)(6) + (4)(-4)(-5) + (3)(1)(-1) – (-5)(-1)(-1) -(1)(-4)(-2) – (6 )(4)(3) = 12 + 80 -3 + 5 -8 -72 = 14
Теперь замените первый столбец A на b.