Ускорение точки в прямолинейном движении
Ускорение точки в прямолинейном движении [c.83]Ускорение точки в прямолинейном движении. Равномерно переменное движение [c.241]
Ускорением точки в прямолинейном движении называется величина, характеризующая быстроту изменения скорости с те- [c.241]
Вектор у/е направлен к центру О диска. Относительное ускорение, как ускорение точки в прямолинейном движении, будет [c.244]
Отсюда следует, что величина скорости численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику движения (фиг. 21), т. е. у = 1 а. Направление скорости совпадает с направлением прямолинейной траектории точки. Ускорение точки в прямолинейном движении равно производной от скорости по времени, т. е. [c.368]
Найдем, как располагается вектор а по отношению к траектории точки.
Как по графику скорости прямолинейного движения точки определить алгебраическую величину ускорения точки в любой момент времени
Пример 105. На материальную точку, совершающую прямолинейное движение, действует сила F, равномерно убывающая с течением времени и по истечении Т сек обращающаяся в нуль. Какой скорости достигнет точка по истечении Т сек и какой путь она пройдет за это время, если п начальный момент (/ 0) скорость точки равна нулю, а ее ускорение равно (рис.
141)
[c.247]
Ускорение точки В направлено вдоль прямой О1В, так как точка В движется прямолинейно, и равно сумме ускорения полюса, вращательного ускорения и центростремительного ускорения при движении вокруг полюса. Принимая за полюс точку А, имеем
Вектор ускорения. При равномерном прямолинейном движении точки скорость сохраняет свою величину и свое направление. При неравномерном и криволинейном движении скорость изменяется по величине и по направлению. Изменение величины и направления скорости происходит с течением времени. Пространственно-временной мерой изменения скорости точки в данное мгновение и в данной системе отсчета, является ускорение точки Пусть скорость точки в некоторое мгновение изображается вектором II (рис. 82, а), а через промежуток времени М она изменилась [c.128]
Дан график скорости и = f(t) прямолинейного движения точки. Определить ускорение точки в момент времени f = 12 с.
В прямолинейном движении точка имеет только касательное ускорение [c.146]
Если точка совершает прямолинейное движение, то направление ускорения т известно. При этом Ф=—ти), а по модулю Ф—пиш. Ясно, что при равномерном прямолинейном движении точки (т. е. при движении точки по инерции) ее сила инерции обращается в нуль. [c.494]
Ускорение а образует острый угол со скоростью V в ускоренном движении и тупой — в замедленном, оно перпендикулярно V в равномерном движении или в моменты экстремума v , а” исчезает в прямолинейном движении, в точке перегиба траектории, в начальный и конечный моменты криволинейного движения, а также в моменты мгновенной остановки точки.
Мы знаем, что ускорение в прямолинейном движении точки [c.255]
Найдем, как располагается вектор о) по отношению к траектории точки.
При прямолинейном движении вектор w направлен, очевидно, вдоль прямой, по которой движется точка. Если траекторией точки является плоская кривая, то вектор ускорения w, так же как и вектор гг ер> лежит в плоскости этой кривой и направлен в сторону ее вогнутости. Если траектория не является плоской кривой, то вектор г )(.р будет направлен в сторону вогнутости траектории и будет лежать в плоскости, проходящей через касательную к траектории в точке М и прямую, параллельную касательной в соседней точке Мх (см. рис. 142). Б пределе, когда точка стремится к М, эта плоскость занимает положение так называемой соприкасающейся плоскости ). Следовательно, в общем случае вектор ускорения т лежит е соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости кривой.
По аналогии с формулами, определяющими скорость и ускорение в прямолинейном движении точки, можно написать формулы для угловой скорости и углового ускорения. Так, формула угловой скорости при равнопеременном вращении будет
90]
Сопоставляя вращательное движение тела с прямолинейным движением точки, мы видим, что угловое перемещение в первом случае аналогично пути во втором случае точно так же угловая скорость и угловое ускорение, характеризующие вращательное движение, соответствуют скорости и ускорению прямолинейного движения точки. Поэтому формулы, связывающие угловое перемещение, угловую скорость и угловое ускорение при равнопеременном вращении, могут быть выведены аналогично тому, как мы делали это для определения пути, скорости и ускорения при равнопеременном прямолинейном движении точки ( 69 и 70).
Задача 64. Прямолинейное движение точки задано уравнением 8 = 4/ — 2 + 3, где 5 — в ж, / — в сек. Определить скорость и ускорение точки в начальный момент времени, в конце первой и четвертой секунд. [c.109]
Изучение динамики точки начинаем с составления и интегрирования уравнений прямолинейного движения точки рассказываем, как правильно выбирать систему отсчета, в какой форме записать ускорение точки в проекции на направление движения, чтобы переменные в дифференциальном уравнении разделились, учим правильно записывать начальные условия и проверять решение по начальным данным.
Пример 9. Пользуясь формулами для ускорения точки в полярной системе координат, доказать, что если ускорение точки равно нулю, точка будет совершать равномерное и прямолинейное движение. [c.17]
НОРМАЛЬНОЕ ускорение (центростремительное ускорение), составляющая ускорения точки при криволинейном движении, направленная по гл. нормали к траектории в сторону центра кривизны. При прямолинейном движении Н. у. равно нулю. [c.469]
В рассмотренном механизме задача об определении скоростей и ускорений сводилась к двукратному графическому дифференцированию заданной кривой перемещений. В ряде задач теории механизмов приходится пользоваться интегрированием кинематических диаграмм. Пусть, например, задана (рис. 4.39, а) диаграмма ускорения ас какой-либо точки механизма, имеющей прямолинейное движение, в функции времени t. Требуется построить диаграммы V = V (О с — с (О- Ось абсцисс (рис.
4.39, а) разбивается на равные участки и из точек /, 2,
[c.110]
Для приложения силы инерции необходимо знать направление ускорения точки. При прямолинейном движении направление а извесшо. В этом случае сила Рц направлена противоположно а, по модулю Р =та.
Законы прямолинейного равнопеременного и равномерного движения точки. В различных задачах техники и физики встречается случай прямолинейного равнопеременного (равноускоренного или равнозамедленного) движения. Движение точки называется равнопеременным, если в любые равные промежутки времени ее скорость изменяется на одну и ту же величину. С математической точки зрения такое определение означает, что производная от алгебраической скорости по времени имеет постоянное значение во все время движения. Нормальное ускорение точки при прямолинейном движении равно нулю, так как для прямой р = оо. Касательное ускорение при равнопеременном движении OL т onst = a.
Если за все время движения точки вдоль прямолинейной траектории (вдоль оси Ох) модуль ее вектора ускорения остается неизменным, то такое прямолинейное движение точки называют равномернопеременным. При этом в за висимости от того, будут ли величины х и 15 [c.235]
В том случае, когда равнодействующая сила R v ivi. (13.3)) имеет постоянное направление, а начальная скорость точки направлена по линии действия R (плн равна нулю), движение материальной точки будет прямолинейным. Примем прямолинейную траекторию точки за ось Ох, установив на траектории положительное направление. В прямолинейном движении удобнее рассматривать пе векторы силы, скорости и ускорения точки, а их алгебраические значения, различая направления этих векторов знаком. Эти алгебраические значения суть проекции рассматриваемых векторов па ось Ох.
Поскольку проекции на любую другую ось тождественпо равны пулю, то мы для сокращения записи опускаем индекс осп, записывая, например, v вместо и обозначая модуль скорости через lul.
[c.248]
Из произвольной точки о у (рис. в) откладьшаем в масштабе вектор Oia, равный ускорению а . Ускорение точки В направлено вдоль прямой О-уВ, так как точка В движется прямолинейно, и равно сумме ускорений полюса, вращательного ускорения и центростремительного ускорения при движении вокруг полюса. Принимая за полюс точку Л, имеем [c.584]
Ускорение а образует острый угол со скоростью V в ускоренном движении н тупой—в замедленном ускорение а перпендикулярно V в равномерном движении и при Ущах и Кщш- Ускорение а равно нулю в прямолинейном движении, в точках перегиба траектории, в начальный и конечный момент криволинейного движения и в момент мгновенной остановки точки. (Здесь применимы формулы для прямолинейного движения, где только вместо ускорения а следует брать а ).
[c.115]
Грузик (материальная точка) в покое на гладком горизонтальном, столе. Надавив на Г4)узик рукой ( приложив усилие ), мы почувствуем через напряжение мышц это усилие по величине и направлению. Это чувство и лежит в первоначальной основе нашего представления о силе, грубом и нуждающемся в объективности и строгом измерении величины возникающего понятия. Однако какое бы тело ни давило на наш грузик, мы имеем возможность мысленно сравнивать это давление с усилием своей руки в этой обстановке (или многих похожих других). Продолжая наше примитивное наблюдение, кроме мускульного представления о силе, заметим (увидим), что грузик придет в движение в направлении силы и за короткое время почти прямолинейно переместится, грубо тем больше, чем больше усилие руки. Почти пропорциональность этих перемещений ускорениям точки в начальный момент времени позволяет постулировать общую меру мгновенных значений для всяких сил, что и ведет при соответствующих важных дополнениях mutatis mutandis к второму закону Ньютона.
О мускульных и сопоставимых зрительных ощущениях силы мы можем почти забыть они где-то в правой и левой частях основного уравнения та = F.
[c.27]
Далее, как известно, ускорение каждой точки системы слагается геометрически из ускорения при вращении около точки С (движения относительного) и ускорения самой точки С (движения переносного). Ускорения первого движения (относительного), как мы видели, сводятся к одним лишь центростремительным и, следовательно, оказываются направленными все к точке С Что касается ускорения самой точки С при ее вращении около то это ускорение оказывается направленным от С по направлению, перпендикулярному к С С, в сторону А, а в пределе, что мы и рассматриваем, будет направлено по нормали СА, Следовательно, на нормали СА всегда найдется такая точка Л, ускорение которой в относительном движении равно ускорению самой точки С, так что в результате ускорение такой точки А будет равно нулго, и, следовательно, эта точка в данный момент времени будет двигаться прямолинейно и равномерно.
[c.93]
Прямолинейное движение, скорость (22) — 10. Ускорение в прямолинейном движении (22)— 11. Скорость в криволинейном движении (23)— 12. Ускорен 1е в криволинейном движении (24)— 13. Составляющие скорости вдоль и перпендикулярно к раииусу-векто-ру (25)— 14. Составляющие ускорения ( 6)— 15. 11риложение к точке, равномерно движущейся по кругу (27)— 16. Секториальная скорость (27) — 17. Приложение к движению по эллипсу (29). [c.10]
Ускорение в прямолинейном движении. Ускорение есть изменени скорости и может быть постоянным или переменным. Так как случай, когда оно является переменным, включает в себе случай, когда оно постоянно, то достаточно рассмотреть первый. Определение ускорения в данный момент i аналогично определению скорости, и если ускэ-рение обозначим через а, то оно дается формулой [c.23]
В рассмотренных примерах исследуемая точка двигалась прямолинейно.
Для точек, имеющих криволинейное движение, удобнее строить кинематические диаграммы, дающие не только абсолютные значения скоростей и ускорений исследуемых точек, но и направления векторов полных скоростей и ускорений. Для этого откладываем векторы скоростей и ускорений, полученные на планах скоростей и ускорений, из общих полюсов / и я в их истинном наиравлеиин. Если после этого соединить концы всех векторов плавной кривой, то полученная диаграмма будет называться годографом скорости или соответствегию годографом ускорения.
[c.105]Это условие выполняется при р = со, г. е. при прямолинейном движении точки. При движении точки по криволинейной траектории р = сс в точках перегиба, в которых происходит изменение выпуклости траектории па вогнутость, и наоборот (рис. 20). Нормальное ускорение обращается также в нуль в моменты времени, в которые i = 0, т. е. в моменты изменения направления движения точки по чраектории. Для маятника такими моментами являются мометы отклонения маятника на наибольший угол как в одну сторону, так и в другую.
Эти моменты соответствуют мгновенным остановкам маятника.
[c.120]
Ускорение точки С направлено параллельно оси 0,>> вследствие ее прямолинейного движения в JTOM направлении. Следовательно, = = =–—а 1 sin р=-3,87/0,75=-5,16 м/с Й(, = й , созР=-2,55 м/с, так как [c.171]
§ 5. Понятие ускорения точки
Ускорение точки характеризует быстроту изменения ее скорости. Положим, что точка движется по криволинейной траектории (рис. 2.7). В момент времени она занимает положение и имеет скорость . В момент времени точка занимает положение и имеет скорость . Перенося вектор
в точку
и соединяя концы векторов и
и , получим вектор , выражающий приращение
вектора скорости за время .
Отношение приращения вектора скорости промежутку времени , в течение которого произошло это приращение, называется средним ускорением
. (2.11)
Рассмотрим предел выражения (2.11) при приближении к нулю. Получим истинное ускорение точки в момент времени , т. е. в положении ,
;
. (2.12)
Таким образом, вектор ускорения равен первой производной от вектора скорости по времени или второй производной от радиуса-вектора по времени.
Заметим, что вектор
находится в плоскости
(рис. 2.7), проходящей через касательную к траектории в точке
и параллельной касательной в точке . При ,
стремящемся к нулю, плоскость
вращается вокруг касательной , будучи все время параллельной
вектору .
Плоскость, с которой
совпадает предельное положение плоскости
при
называется соприкасающейся плоскостью к кривой в точке . Вектор
находится все время в плоскости
и направлен в сторону вогнутости траектории. Поэтому вектор
лежит в соприкасающейся плоскости и тоже направлен в сторону вогнутости
траектории. Ускорение измеряется в , .
§ 6. Определение ускорения при координатном
способе задания движения
При определении ускорения в случае задания движения в прямоугольных координатах, т. е. в виде
; ; ,
последовательность операций аналогична действиям, описанным в § 5. Сначала найдем проекции вектора ускорения на координатные оси:
;
;
.
(2.13)
Проекции ускорения точки на координатные оси равны вторым производным от соответствующих координат по времени или первым производным по времени от проекций скорости на соответствующие оси.
Модуль ускорения определяется по формуле
. (2.14)
Направление вектора ускорения определяется направляющими косинусами:
; ; . (2.15)
Задача 2.5. Движение точки задано уравнениями:
; ,
где – в , – в . Определить величину и направление ускорения при .
Решение. Находим проекции ускорения на координатные оси:
;
.
Как видно, проекции ускорения не зависят от времени движения, значит ускорение тоже постоянно
и его направление
; .
§ 7. Разложение вектора ускорения по естественным
осям траектории
Проведем в точке кривой соприкасающуюся плоскость (рис.2.8), определение которой дано в разделе § 6, и плоскость, перпендикулярную к касательной. Эта плоскость называется нормальной плоскостью. Линия пересечения нормальной и соприкасающейся плоскостей называется главной нормалью кривой. Прямая, перпендикулярная к главной нормали и касательной, называется бинормалью.
Рассмотрим три взаимно перпендикулярные оси: касательную,
направленную в сторону возрастания дуговой координаты; главную нормаль, направленную
в сторону вогнутости кривой; бинормаль, направленную по отношению к двум другим
осям подобно тому, как ось
направлена по отношению к осям
и .
Эти три оси называются
естественными осями кривой. Единичные векторы этих осей принято обозначать соответственно
,
и .
Из курса высшей математики известно, что угол поворота касательной при переходе точки из одного положения в другое называется углом смежности. Предел отношения угла смежности к приращению дуговой координаты , когда она стремится к нулю, называется кривизной кривой в точке
. (2.16)
Величина , обратная кривизне кривой, называется радиусом кривизны:
. (2.17)
Представим вектор скорости в виде произведения его проекции на
касательную и единичного вектора . Тогда
.
Величина единичного вектора
постоянна, направление же его при движении точки вдоль ее траектории меняется.
Поэтому вектор
нельзя рассматривать как постоянный и его производная по времени не равна
нулю. Дифференцируя последнее выражение как произведение двух функций времени,
получим
. (2.18)
Выясним, чему равна производная . Возьмем на кривой (рис. 2.9) два положения движущейся точки и , соответствующие моментам времени и . Орты касательной в этих точках соответственно и . Перенося в точку , определим приращение орта . Как видно из рисунка,
;
.
Следовательно,
.
Из рис. 2.9 видно, что угол, образованный вектором
и касательной, .
При
и поэтому . Это значит, что вектор
направлен по нормали к траектории, а так как он лежит в соприкасающейся
плоскости, то эта нормаль является главной нормалью.
Значит,
,
и равенство (2.18) примет вид
. (2.19)
Первое слагаемое суммы (2.19) называется касательным ускорением
точки , второе – нормальным ускорением . Тогда
. (2.20)
Проекции ускорения на касательную и главную нормаль соответственно равны:
; (2.21)
. (2.22)
Проекция ускорения на бинормаль всегда равна нулю.
Модуль полного ускорения точки определяется через ее касательное и
нормальное ускорения
.
(2.23)
Задача 2.5. Уравнения движения пальца кривошипа дизеля в период пуска имеют вид:
; ,
где – в , – в . Найти скорость, касательное и нормальное ускорения пальца.
Решение. Находим проекции скорости точки на координатные оси. Так как
;
,
получаем
;.
Определяем модуль вектора скорости
Находим проекции ускорения на координатные оси:
.
Определяем модуль вектора ускорения. Так как
то
.
Определяем модуль касательного ускорения:
,
тогда модуль нормального ускорения:
§ 8.
Некоторые
частные случаи движения точки
Пользуясь полученными результатами, исследуем зависимость значений ее нормального и касательного ускорений от характера движения точки.
При равномерном движении, когда численное значение скорости постоянно, касательное ускорение обращается в нуль. Оно отлично от нуля только при неравномерном движении и поэтому характеризует изменение скорости по величине.
При прямолинейном движении, когда радиус кривизны траектории равен бесконечности, нормальное ускорение обращается в нуль. Оно отлично от нуля только при криволинейном движении и, следовательно, характеризует изменение скорости по направлению.
Обе составляющие ускорения обращаются в нуль только при равномерном и прямолинейном движении.
Неравномерное движение точки называется ускоренным,
если модуль скорости возрастает, и замедленным – в противоположном случае.
Легко
доказать, что движение является ускоренным, если знаки величин
и
одинаковы, и замедленным, если эти знаки различны. При ускоренном движении
вектор касательного ускорения направлен в ту же сторону, что и скорость, при замедленном
– в противоположную сторону.
Движение называется равнопеременным в том случае, если касательное
ускорение постоянно, т. е.
, (2.24)
откуда
.
Интегрируя последнее выражение и имея в виду, что при , получим
. (2.25)
Формула (2.25) определяет скорость равнопеременного движения. Подставляем в нее значение . Интегрируя и имея в виду, что при , получим
.
(2.26)
Выражение (2.26) называют уравнением равнопеременного движения точки по траектории.
Зависимость скорости и ускорения. Скорость, ускорение, равномерное и равноускоренное прямолинейное движение
Ускорение – это величина, которая характеризует быстроту изменения скорости.
Например, автомобиль, трогаясь с места, увеличивает скорость движения, то есть движется ускоренно. Вначале его скорость равна нулю. Тронувшись с места, автомобиль постепенно разгоняется до какой-то определённой скорости. Если на его пути загорится красный сигнал светофора, то автомобиль остановится. Но остановится он не сразу, а за какое-то время. То есть скорость его будет уменьшаться вплоть до нуля – автомобиль будет двигаться замедленно, пока совсем не остановится. Однако в физике нет термина «замедление». Если тело движется, замедляя скорость, то это тоже будет ускорение тела, только со знаком минус (как вы помните, скорость – это векторная величина).
> – это отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменении произошло. Определить среднее ускорение можно формулой:
Рис. 1.8. Среднее ускорение. В СИ единица ускорения – это 1 метр в секунду за секунду (или метр на секунду в квадрате), то есть
Метр на секунду в квадрате равен ускорению прямолинейно движущейся точки, при котором за одну секунду скорость этой точки увеличивается на 1 м/с. Иными словами, ускорение определяет, насколько изменяется скорость тела за одну секунду. Например, если ускорение равно 5 м/с 2 , то это означает, что скорость тела каждую секунду увеличивается на 5 м/с.
Мгновенное ускорение тела (материальной точки) в данный момент времени – это физическая величина, равная пределу, к которому стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени к нулю. Иными словами – это ускорение, которое развивает тело за очень короткий отрезок времени:
При ускоренном прямолинейном движении скорость тела возрастает по модулю, то есть
V 2 > v 1
а направление вектора ускорения совпадает с вектором скорости
Если скорость тела по модулю уменьшается, то есть
V 2
то направление вектора ускорения противоположно направлению вектора скорости Иначе говоря, в данном случае происходит замедление движения , при этом ускорение будет отрицательным (а
Рис.
1.9. Мгновенное ускорение.
При движении по криволинейной траектории изменяется не только модуль скорости, но и её направление. В этом случае вектор ускорение представляют в виде двух составляющих (см. следующий раздел).
Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.
Рис. 1.10. Тангенциальное ускорение.
Направление вектора тангенциального ускорения (см. рис. 1.10) совпадает с направлением линейной скорости или противоположно ему. То есть вектор тангенциального ускорения лежит на одной оси с касательной окружности, которая является траекторией движения тела.
Нормальное ускорение
Нормальное ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела.
То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения (см. рис. 1.10). Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается буквой Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.
Полное ускорение
Полное ускорение при криволинейном движении складывается из тангенциального и нормального ускорений по и определяется формулой:
(согласно теореме Пифагора для прямоугольно прямоугольника).
При прямолинейном равноускоренном движении тело
- двигается вдоль условной прямой линии,
- его скорость постепенно увеличивается или уменьшается,
- за равные промежутки времени скорость меняется на равную величину.
Например, автомобиль из состояния покоя начинает двигаться по прямой дороге, и до скорости, скажем, в 72 км/ч он двигается равноускоренно. Когда заданная скорость достигнута, то авто движется без изменения скорости, т. е. равномерно. При равноускоренном движении его скорость возрастала от 0 до 72 км/ч.
И пусть за каждую секунду движения скорость увеличивалась на 3,6 км/ч. Тогда время равноускоренного движения авто будет равно 20 секундам. Поскольку ускорение в СИ измеряется в метрах на секунду в квадрате, то надо ускорение 3,6 км/ч за секунду перевести в соответствующие единицы измерения. Оно будет равно (3,6 * 1000 м) / (3600 с * 1 с) = 1 м/с 2 .
Допустим, через какое-то время езды с постоянной скоростью автомобиль начал тормозить, чтобы остановиться. Движение при торможении тоже было равноускоренным (за равные промежутки времени скорость уменьшалась на одинаковую величину). В данном случае вектор ускорения будет противоположен вектору скорости. Можно сказать, что ускорение отрицательно.
Итак, если начальная скорость тела нулевая, то его скорость через время в t секунд будет равно произведению ускорения на это время:
При падении тела «работает» ускорение свободного падения, и скорость тела у самой поверхности земли будет определяться по формуле:
Если известна текущая скорость тела и время, которое понадобилось, чтобы развить такую скорость из состояния покоя, то можно определить ускорение (т.
е. как быстро менялась скорость), разделив скорость на время:
Однако тело могло начать равноускоренное движение не из состояния покоя, а уже обладая какой-то скоростью (или ему придали начальную скорость). Допустим, вы бросаете камень с башни вертикально вниз с приложением силы. На такое тело действует ускорение свободного падения, равное 9,8 м/с 2 . Однако ваша сила придала камню еще скорости. Таким образом, конечная скорость (в момент касания земли) будет складываться из скорости, развившийся в результате ускорения и начальной скорости. Таким образом, конечная скорость будет находиться по формуле:
Однако, если камень бросали вверх. То начальная его скорость направлена вверх, а ускорение свободного падения вниз. То есть вектора скоростей направлены в противоположные стороны. В этом случае (а также при торможении) произведение ускорения на время надо вычитать из начальной скорости:
Получим из этих формул формулы ускорения. В случае ускорения:
at = v – v 0
a = (v – v 0)/t
В случае торможения:
at = v 0 – v
a = (v 0 – v)/t
В случае, когда тело равноускоренно останавливается, то в момент остановки его скорость равна 0.
Тогда формула сокращается до такого вида:
Зная начальную скорость тела и ускорение торможения, определяется время, через которое тело остановится:
Теперь выведем формулы для пути, которое тело проходит при прямолинейном равноускоренном движении . Графиком зависимость скорости от времени при прямолинейном равномерном движении является отрезок, параллельный оси времени (обычно берется ось x). Путь при этом вычисляется как площадь прямоугольника под отрезком. То есть умножением скорости на время (s = vt). При прямолинейном равноускоренном движении графиком является прямая, но не параллельная оси времени. Эта прямая либо возрастает в случае ускорения, либо убывает в случае торможения. Однако путь также определяется как площадь фигуры под графиком.
При прямолинейном равноускоренном движении эта фигура представляет собой трапецию. Ее основаниями являются отрезок на оси y (скорость) и отрезок, соединяющий точку конца графика с ее проекцией на ось x. Боковыми сторонами являются сам график зависимости скорости от времени и его проекция на ось x (ось времени).
Проекция на ось x – это не только боковая сторона, но еще и высота трапеции, т. к. перпендикулярна его основаниям.
Как известно, площадь трапеции равна полусумме оснований на высоту. Длина первого основания равна начальной скорости (v 0), длина второго основания равна конечной скорости (v), высота равна времени. Таким образом получаем:
s = ½ * (v 0 + v) * t
Выше была дана формула зависимости конечной скорости от начальной и ускорения (v = v 0 + at). Поэтому в формуле пути мы можем заменить v:
s = ½ * (v 0 + v 0 + at) * t = ½ * (2v 0 + at) * t = ½ * t * 2v 0 + ½ * t * at = v 0 t + 1/2at 2
Итак, пройденный путь определяется по формуле:
s = v 0 t + at 2 /2
(К данной формуле можно прийти, рассматривая не площадь трапеции, а суммируя площади прямоугольника и прямоугольного треугольника, на которые разбивается трапеция.)
Если тело начало двигаться равноускоренно из состояния покоя (v 0 = 0), то формула пути упрощается до s = at 2 /2.
Если вектор ускорения был противоположен скорости, то произведение at 2 /2 надо вычитать.
Понятно, что при этом разность v 0 t и at 2 /2 не должна стать отрицательной. Когда она станет равной нулю, тело остановится. Будет найден путь торможения. Выше была приведена формула времени до полной остановки (t = v 0 /a). Если подставить в формулу пути значение t, то путь торможения приводится к такой формуле.
На данном уроке мы с вами рассмотрим важную характеристику неравномерного движения – ускорение. Кроме того, мы рассмотрим неравномерное движение с постоянным ускорением. Такое движение еще называется равноускоренным или равнозамедленным. Наконец, мы поговорим о том, как графически изображать зависимости скорости тела от времени при равноускоренном движении.
Домашнее задание
Решив задачи к данному уроку, вы сможете подготовиться к вопросам 1 ГИА и вопросам А1, А2 ЕГЭ.
1. Задачи 48, 50, 52, 54 сб. задач А.П. Рымкевич, изд. 10.
2. Запишите зависимости скорости от времени и нарисуйте графики зависимости скорости тела от времени для случаев, изображенных на рис.
1, случаи б) и г). Отметьте на графиках точки поворота, если такие есть.
3. Рассмотрите следующие вопросы и ответы на них:
Вопрос. Является ли ускорение свободного падения ускорением, согласно данному выше определению?
Ответ. Конечно, является. Ускорение свободного падения – это ускорение тела, которое свободно падает с некоторой высоты (сопротивлением воздуха нужно пренебречь).
Вопрос. Что произойдет, если ускорение тела будет направлено перпендикулярно скорости движения тела?
Ответ. Тело будет двигаться равномерно по окружности.
Вопрос. Можно ли вычислять тангенс угла наклона, воспользовавшись транспортиром и калькулятором?
Ответ. Нет! Потому что полученное таким образом ускорение будет безразмерным, а размерность ускорения, как мы показали ранее, должно иметь размерность м/с 2 .
Вопрос. Что можно сказать о движении, если график зависимости скорости от времени не является прямой?
Ответ.
Можно сказать, что ускорение этого тела меняется со временем. Такое движение не будет являться равноускоренным.
Можно сказать, что ускорение этого тела меняется со временем. Такое движение не будет являться равноускоренным.При прямолинейном движении векторы и направлены вдоль одной прямой, которая является в то же время и траекторией движения. Вдоль этой же прямой в направлении движения телами условились направлять и координатную ось (ось X). В таком случае вектор разности а значит и вектор ускорения а, лежш на той же прямой (см. § 6). Но куда он направлен – в сторону движения (так же как ось X) или против него?
В § 6 мы видели, что проекция разности двух векторов на какую-нибудь ось равна разности их проекций на ту же ось. Следовательно, для проекций векторов и на ось X можно написать
Здесь а – проекция вектора а на ось проекции векторов и на ту же ось.
Так как все три вектора лежат на одной прямой (оси X), то абсолютные значения их проекций равны абсолютным значениям самих векторов.
Рассмотрим 2 случая ускоренного движения тела.
Первый случай.
Скорость тела по абсолютному значению растет (тело «разгоняется»). Это значит, что Тогда из формулы (1) видно, что проекция ускорения а положительна и равна Вектор а, следовательно, направлен так же, как ось X, т. е. в сторону движения. Когда, например, бронебойный снаряд движется при выстреле в стволе орудия, его скорость растет и ускорение направлено так же, как и скорость (рис. 39).
Второй случай. Тело тормозится, т. е. абсолютное значение его скорости уменьшается Из формулы (1) видно, что проекция ускорения а в этом случае отрицательна:
Из формулы (1) можно получить выражение для скорости :
В этой формуле, повторяем, – проекции векторов на ось X, которые могут быть как положительными, так и отрицательными.
При решении задач выражение для скорости (2) удобно записывать так, чтобы из него сразу было видно, как направлен вектор ускорения.
Если скорость тела растет (разгон), то и
Когда же скорость тела уменьшается (торможение),
Понятно, что тело, которое тормозится, должно когда-то остановиться.
Это произойдет, как это видно из формулы (26), тогда, когда станет равным т. е. в момент времени Но если ускорение остается постоянным (по модулю и направлению) и после этого момента, то тело, остановившись, начнет двигаться в противоположную сторону. Это видно из того, что при станет больше, чем скорость изменит свой знак на обратный. Так
движется, например, тело, брошенное вертикально вверх: долетев до высшей точки траектории, тело начинает движение вниз.
Если и вектор ускорения направлен так же, как и ось координат, то из формулы (2а) следует, что
Если же ось координат выбрана так, что направление вектора ускорения противоположно направлению оси координат, то из формулы (26) следует, что
Знак в этой формуле означает, что вектор скорости, так же как и вектор ускорения, направлен противоположно направлению оси координат. Модуль скорости, конечно, и в этом случае увеличивается со временем.
Обычно мы называем движение с возрастающей по абсолютной величине скоростью ускоренным движением, а движение с убывающей скоростью медленным движение Но в механике любое неравномерное движение является ускоренным движением.
Трогается ли автомобиль с места или тормозит, в обоих случаях он движется с ускорением. Ускоренное прямолинейное движение отличается от замедленного только знаком проекции вектора ускорения.
Мы знаем, что и перемещение, и скорость, и траектория движения различны относительно разных тел отсчета, движущихся друг относительно друга.
А ускорение? Относительно ли оно?
Ускорение тела, как мы теперь знаем, определяется векторной разностью двух значений его скорости в различные моменты времени. При переходе от одной системы координат к другой, движущейся относительно первой равномерно и прямолинейно, изменятся оба значения скорости. Но изменятся они на одну и ту же величину. Разность же их останется неизменной. Поэтому и ускорение останется неизменным.
Во всех системах отсчета, движущихся друг относительно друга прямолинейно и равномерно, ускорение тела одинаково.
Но ускорения тела будут различными в системах отсчета, движущихся с ускорением друг относительно друга.
В этом случае ускорения складываются так же, как скорости (см. § 10).
Задача. Автомобиль проезжает мимо наблюдателя, двигаясь со скоростью 10 м/сек. В этот момент водитель нажимает на тормоз, и автомобиль начинает двигаться с ускорением Сколько времени пройдет с того момента, когда водитель нажал на тормоз, до остановки автомобиля?
Решение. Выберем за начало отсчета то место, в котором находится наблюдатель, и направим координатную ось в сторону движения автомобиля. Тогда проекция скорости автомобиля на эту ось будет положительной. Так как скорость автомобиля
уменьшается, то проекция ускорения отрицательна и мы должны воспользоваться формулой (26):
Подставляя в эту формулу численные значения заданных величин, получим:
За положительное направление координатной оси можно принять и направление, противоположное движению. Тогда проекция начальной скорости автомобиля будет отрицательной а проекция ускорения – положительной, и применять тогда нужно формулу (2а):
Результат получился тот же.
Да он и не может зависеть от того, как выбрано направление оси координат!
Упражнение 9
1. Что такое ускорение и для чего его нужно знать?
2. При любом неравномерном движении изменяется скорость. Как ускорение характеризует это изменение?
3. Чем отличается замедленное прямолинейное движение от ускоренного?
4. Что такое равноускоренное движение?
5. Троллейбус, трогаясь с места, движется с постоянным ускорением Через сколько времени он приобретет скорость 54 км/ч?
6. Автомобиль, движущийся со скоростью 36 км/ч, останавливается при торможении в течение 4 сек. С каким ускорением движется автомобиль при торможении?
7. Грузовик, двигаясь с постоянным ускорением, на некотором участке пути увеличил свою скорость с 15 до 25 м/сек. За какое время произошло это увеличение скорости, если ускорение грузовика равно
8. Какая скорость движения была бы достигнута, если бы тело двигалось прямолинейно с ускорением в течение 0,5 ч при начальной скорости, равной нулю?
Часть механики, в которой изучают движение, не рассматривая причины, вызывающие тот или иной характер движения, называют кинематикой .
Механическим движением называют изменение положения тела относительно других тел
Системой отсчёта называют тело отсчёта, связанную с ним систему координат и часы.
Телом отсчёта называют тело, относительно которого рассматривают положение других тел.
Материальной точкой называют тело, размерами которого в данной задаче можно пренебречь.
Траекторией называют мысленную линию, которую при своём движении описывает материальная точка.
По форме траектории движение делится на:
а) прямолинейное – траектория представляет собой отрезок прямой;
б) криволинейное – траектория представляет собой отрезок кривой.
Путь – это длина траектории, которую описывает материальная точка за данный промежуток времени. Это скалярная величина.
Перемещение – это вектор, соединяющий начальное положение материальной точки с её конечным положением (см. рис.).
Очень важно понимать, чем путь отличается от перемещения.
Самое главной отличие в том, что перемещение – это вектор с началом в точке отправления и с концом в точке назначения (при этом абсолютно неважно, каким маршрутом это перемещение совершалось). А путь – это, наборот, скалярная величина, отражающая длину пройденной траектории.
Равномерным прямолинейным движением называют движение, при котором материальная точка за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения
Скоростью равномерного прямолинейного движения называют отношение перемещения ко времени, за которое это перемещение произошло:
Для неравномерного движения пользуются понятием средней скорости. Часто вводят среднюю скорость как скалярную величину. Это скорость такого равномерного движения, при котором тело проходит тот же путь за то же время, что и при неравномерном движении:
Мгновенной скоростью называют скорость тела в данной точке траектории или в данный момент времени.
Равноускоренное прямолинейное движение – это прямолинейное движение, при котором мгновенная скорость за любые равные промежутки времени изменяется на одну и ту же величину
Зависимость координаты тела от времени в равномерном прямолинейном движении имеет вид: x = x 0 + V x t , где x 0 – начальная координата тела, V x – скорость движения.
Свободным падением называют равноускоренное движение с постоянным ускорением g = 9,8 м/с 2 , не зависящим от массы падающего тела. Оно происходит только под действием силы тяжести.
Скорость при свободном падении рассчитывается по формуле:
Перемещение по вертикали рассчитывается по формуле:
Одним из видов движения материальной точки является движение по окружности. При таком движении скорость тела направлена по касательной, проведённой к окружности в той точке, где находится тело (линейная скорость). Описывать положение тела на окружности можно с помощью радиуса, проведённого из центра окружности к телу. Перемещение тела при движении по окружности описывается поворотом радиуса окружности, соединяющего центр окружности с телом. Отношение угла поворота радиуса к промежутку времени, в течение которого этот поворот произошёл, характеризует быстроту перемещения тела по окружности и носит название угловой скорости
ω :
Угловая скорость связана с линейной скоростью соотношением
где r – радиус окружности.
Время, за которое тело описывает полный оборот, называется периодом обращения. Величина, обратная периоду – частота обращения – ν
Поскольку при равномерном движении по окружности модуль скорости не меняется, но меняется направление скорости, при таком движении существует ускорение. Его называют центростремительным ускорением , оно направлено по радиусу к центру окружности:
Основные понятия и законы динамики
Часть механики, изучающая причины, вызвавшие ускорение тел, называется динамикой
Первый закон Ньютона:
Cуществуют такие системы отсчёта, относительно которых тело сохраняет свою скорость постоянной или покоится, если на него не действуют другие тела или действие других тел скомпенсировано.
Свойство тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения при уравновешенных внешних силах, действующих на него, называется инертностью. Явление сохранения скорости тела при уравновешенных внешних силах называют инерцией.
Инерциальными системами отсчёта называют системы, в которых выполняется первый закон Ньютона.
Принцип относительности Галилея:
во всех инерциальных системах отсчёта при одинаковых начальных условиях все механические явления протекают одинаково, т.е. подчиняются одинаковым законам
Масса – это мера инертности тела
Сила – это количественная мера взаимодействия тел.
Второй закон Ньютона:
Сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на ускорение, сообщаемое этой силой:
$F↖{→} = m⋅a↖{→}$
Сложение сил заключается в нахождении равнодействующей нескольких сил, которая производит такое же действие, как и несколько одновременно действующих сил.
Третий закон Ньютона:
Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, расположены на одной прямой, равны по модулю и противоположны по направлению:
$F_1↖{→} = -F_2↖{→} $
III закон Ньютона подчёркивает, что действие тел друг на друга носит характер взаимодействия.
Если тело A действует на тело B, то и тело B действует на тело
A (см. рис.).
Или короче, сила действия равна силе противодействия. Часто возникает вопрос: почему лошадь тянет сани, если эти тела взаимодействуют с равными силами? Это возможно только за счёт взаимодействия с третьим телом – Землёй. Сила, с которой копыта упираются в землю, должна быть больше, чем сила трения саней о землю. Иначе копыта будут проскальзывать, и лошадь не сдвинется с места.
Если тело подвергнуть деформации, то возникают силы, препятствующие этой деформации. Такие силы называют силами упругости .
Закон Гука записывают в виде
где k – жёсткость пружины, x – деформация тела. Знак «−» указывает, что сила и деформация направлены в разные стороны.
При движении тел друг относительно друга возникают силы, препятствующие движению. Эти силы называются силами трения. Различают трение покоя и трение скольжения. Сила трения скольжения подсчитывается по формуле
где N – сила реакции опоры, µ – коэффициент трения.
Эта сила не зависит от площади трущихся тел. Коэффициент трения зависит от материала, из которого сделаны тела, и качества обработки их поверхности.
Трение покоя возникает, если тела не перемещаются друг относительно друга. Сила трения покоя может меняться от нуля до некоторого максимального значения
Гравитационными силами называют силы, с которыми любые два тела притягиваются друг к другу.
Закон всемирного тяготения:любые два тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.
Здесь R – расстояние между телами. Закон всемирного тяготения в таком виде справедлив либо для материальных точек, либо для тел шарообразной формы.
Весом тела называют силу, с которой тело давит на горизонтальную опору или растягивает подвес.
Сила тяжести – это сила, с которой все тела притягиваются к Земле:
При неподвижной опоре вес тела равен по модулю силе тяжести:
Если тело движется по вертикали с ускорением, то его вес будет изменяться.
При движении тела с ускорением, направленным вверх, его вес
Видно, что вес тела больше веса покоящегося тела.
При движении тела с ускорением, направленным вниз, его вес
В этом случае вес тела меньше веса покоящегося тела.
Невесомостью называется такое движение тела, при котором его ускорение равно ускорению свободного падения, т.е. a = g. Это возможно в том случае, если на тело действует только одна сила – сила тяжести.
Искусственный спутник Земли – это тело, имеющее скорость V1, достаточную для того, чтобы двигаться по окружности вокруг Земли
На спутник Земли действует только одна сила – сила тяжести, направленная к центру Земли
Первая космическая скорость – это скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно обращалось вокруг планеты по круговой орбите.
где R – расстояние от центра планеты до спутника.
Для Земли, вблизи её поверхности, первая космическая скорость равна
Различают 3 вида равновесия: устойчивое, неустойчивое и безразличное. Если при выведении тела из положения равновесия возникают силы, стремящиеся вернуть это тело обратно, это устойчивое равновесие. Если возникают силы, стремящиеся увести тело ещё дальше из положения равновесия, это неустойчивое положение ; если никаких сил не возникает – безразличное (см. рис. 3).
Когда речь идёт не о материальной точке, а о теле, которое может иметь ось вращения, то для достижения положения равновесия помимо равенства нулю суммы сил, действующих на тело, необходимо, чтобы алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на тело, была равна нулю.
Здесь d -плечо силы. Плечом силы d называют расстояние от оси вращения до линии действия силы.
Условие равновесия рычага:
алгебраическая сумма моментов всех вращающих тело сил равна нулю.
Давлением называют физическую величину, равную отношению силы, действующей на площадку, перпендикулярную этой силе, к площади площадки:
Для жидкостей и газов справедлив закон Паскаля:
давление распространяется по всем направлениям без изменений.
Если жидкость или газ находятся в поле силы тяжести, то каждый вышерасположенный слой давит на нижерасположенные и по мере погружения внутрь жидкости или газа давление растёт. Для жидкостей
где ρ – плотность жидкости, h – глубина проникновения в жидкость.
Однородная жидкость в сообщающихся сосудах устанавливается на одном уровне. Если в колена сообщающихся сосудов залить жидкость с разными плотностями, то жидкость с большей плотностью устанавливается на меньшей высоте. В этом случае
Высоты столбов жидкости обратно пропорциональны плотностям:
Гидравлический пресс представляет собой сосуд, заполненный маслом или иной жидкостью, в котором прорезаны два отверстия, закрытые поршнями. Поршни имеют разную площадь. Если к одному поршню приложить некоторую силу, то сила, приложенная ко второму поршню, оказывается другой.
Таким образом, гидравлический пресс служит для преобразования величины силы. Поскольку давление под поршнями должно быть одинаковым, то
Тогда A1 = A2.
На тело, погружённое в жидкость или газ, со стороны этой жидкости или газа действует направленная вверх выталкивающая сила, которую называют силой Архимеда
Величину выталкивающей силы устанавливает закон Архимеда : на тело, погружённое в жидкость или газ, действует выталкивающая сила, направленная вертикально вверх и равная весу жидкости или газа, вытесненного телом:
где ρ жидк – плотность жидкости, в которую погружено тело; V погр – объём погружённой части тела.
Условие плавания тела – тело плавает в жидкости или газе, когда выталкивающая сила,действующая на тело, равна силе тяжести, действующей на тело.
1.4. Законы сохранения Импульсом тела называют физическую величину, равную произведению массы тела на его скорость:Импульс – векторная величина. [p] =кг·м/с. Наряду с импульсом тела часто пользуются импульсом силы. Это произведение силы на время её действия
Изменение импульса тела равно импульсу действующей на это тело силы.
Для изолированной системы тел (система, тела которой взаимодействуют только друг с другом) выполняется закон сохранения импульса : сумма импульсов тел изолированной системы до взаимодействия равна сумме импульсов этих же тел после взаимодействия.
Механической работой называют физическую величину, которая равна произведению силы, действующей на тело, на перемещение тела и на косинус угла между направлением силы и перемещения:
Мощность – это работа, совершённая в единицу времени:
Способность тела совершать работу характеризуют величиной, которую называют энергией. Механическую энергию делят на кинетическую и потенциальную. Если тело может совершать работу за счёт своего движения, говорят, что оно обладает кинетической энергией. Кинетическая энергия поступательного движения материальной точки подсчитывается по формуле
Если тело может совершать работу за счёт изменения своего положения относительно других тел или за счёт изменения положения частей тела, оно обладает потенциальной энергией.
Пример потенциальной энергии: тело, поднятое над землёй, его энергия подсчитывается по формуле
где h – высота подъёма
Энергия сжатой пружины:
где k – коэффициент жёсткости пружины, x – абсолютная деформация пружины.
Сумма потенциальной и кинетической энергии составляет механическую энергию. Для изолированной системы тел в механике справедлив закон сохранения механической энергии : если между телами изолированной системы не действуют силы трения (или другие силы, приводящие к рассеянию энергии), то сумма механических энергий тел этой системы не изменяется (закон сохранения энергии в механике). Если же силы трения между телами изолированной системы есть, то при взаимодействии часть механической энергии тел переходит во внутреннюю энергию.
1.5. Механические колебания и волны Колебаниями называются движения, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени. Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени.
Гармоническими колебаниями называются такие колебания, в которых колеблющаяся физическая величина x изменяется по закону синуса или косинуса, т.е.
Величина A, равная наибольшему абсолютному значению колеблющейся физической величины x, называется амплитудой колебаний . Выражение α = ωt + ϕ определяет значение x в данный момент времени и называется фазой колебаний. Периодом T называется время, за которое колеблющееся тело совершает одно полное колебание. Частотой периодических колебаний называют число полных колебаний, совершённых за единицу времени:
Частота измеряется в с -1 . Эта единица называется герц (Гц).
Математическим маятником называется материальная точка массой m, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити и совершающая колебания в вертикальной плоскости.
Если один конец пружины закрепить неподвижно, а к другому её концу прикрепить некоторое тело массой m, то при выведении тела из положения равновесия пружина растянется и возникнут колебания тела на пружине в горизонтальной или вертикальной плоскости.
Такой маятник называется пружинным.
Период колебаний математического маятника определяется по формуле
где l – длина маятника.
Период колебаний груза на пружине определяется по формуле
где k – жёсткость пружины, m – масса груза.
Распространение колебаний в упругих средах.
Среда называется упругой, если между её частицами существуют силы взаимодействия. Волнами называется процесс распространения колебаний в упругих средах.
Волна называется поперечной , если частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны. Волна называется продольной , если колебания частиц среды происходят в направлении распространения волны.
Длиной волны называется расстояние между двумя ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе:
где v – скорость распространения волны.
Звуковыми волнами называют волны, колебания в которых происходят с частотами от 20 до 20 000 Гц.
Скорость звука различна в различных средах. Скорость звука в воздухе равна 340 м/c.
Ультразвуковыми волнами называют волны, частота колебаний в которых превышает 20 000 Гц. Ультразвуковые волны не воспринимаются человеческим ухом.
4.3: Движение с ускорением, когда вектор скорости меняет направление
Одно из ключевых отличий от одномерного движения заключается в том, что в двух измерениях возможно ускорение даже при постоянной скорости. Напомним, вектор ускорения определяется как производная по времени вектора скорости ( уравнение 4.1.4 ). Это означает, что если вектор скорости изменяется со временем, то вектор ускорения отличен от нуля. Если длина вектора скорости (скорости) постоянна, все еще возможно, что направление вектора скорости изменяется со временем и, таким образом, что вектор ускорения не равен нулю.Это, например, то, что происходит, когда объект движется по кругу с постоянной скоростью (меняется направление вектора скорости).
На рисунке \(\PageIndex{1}\) показан вектор скорости \(\vec v(t)\) в два разных момента времени, \(\vec v_1\) и \(\vec v_2\) , а также разность векторов \(\Delta \vec v=\vec v_2 – \vec v_1\) между ними.При этом длина вектора скорости не менялась со временем (\(||\vec v_1||=||\vec v_2||\)). Вектор ускорения определяется как:
\[\begin{выровнено} \vec a = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \vec v}{\Delta t}\end{выровнено}\]
и будет иметь направление, параллельное \(\Delta \vec v\), и величину, пропорциональную \(\Delta v\). Таким образом, даже если вектор скорости не изменяет амплитуду (скорость постоянна), вектор ускорения может быть ненулевым, если вектор скорости меняет направление .2}\\ \hat v &= \frac{v_x}{v}\hat x+\frac{v_y}{v}\hat y\\\end{aligned}\]
В самом общем случае со временем может меняться как величина скорости, так и ее направление.
То есть и направление, и величина вектора скорости являются функциями времени:
\[\begin{выровнено} \vec v(t)&=v(t)\шляпа v(t)\end{выровнено}\]
Когда мы берем производную по времени от \(\vec v(t)\) для получения вектора ускорения, нам нужно взять производную от произведения двух функций времени, \(v(t)\) и \( \шляпа v(t)\).Используя правила взятия производной произведения, вектор ускорения определяется как:
\[\begin{aligned} \vec a &= \frac{d}{dt}\vec v(t)= \frac{d}{dt}v(t)\hat v(t)\nonumber \end {выровнено}\]
\[ \vec a = \frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt} \]
и имеет два термина. Первый член, \(\frac{dv}{dt}\hat v(t)\), равен нулю, если скорость постоянна (\(\frac{dv}{dt}=0\)). Второй член, \(v(t)\frac{d\hat v}{dt}\), равен нулю, если направление вектора скорости постоянно (\(\frac{d\hat v}{dt}= 0\)).2}\конец{выровнено}\]
Другими словами, если величина скорости постоянна, то компоненты \(х\) и \(у\) перестают быть независимыми (если компонента \(х\) становится больше, то \(у\).
2}}\frac{dv_x}{dt}\hat y\nonumber\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x – \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\frac {dv_x}{dt}\шляпа y\nonumber \end{выровнено}\]
\[\vec a=\frac{dv_{x}}{dt}\left( \hat x – \frac{v_{x}(t)}{v_{y}(t)}\hat y \right )\]
, где большая часть алгебры, которую мы сделали, состояла в том, чтобы разделить \(x\) и \(y\) компоненты вектора ускорения, и мы использовали цепное правило, чтобы получить производную квадратного корня.Результирующий вектор ускорения показан на рисунке \(\PageIndex{2}\) вместе с вектором скорости 1 .
Рисунок \(\PageIndex{2}\): Иллюстрация того, что вектор ускорения перпендикулярен вектору скорости, если скорость постоянна.Вектор скорости имеет компоненты \(v_x\) и \(v_y\), что позволяет нам вычислить угол \(\theta\), который он составляет с осью \(x\):
\[\begin{выровнено} \tan(\theta)=\frac{v_y}{v_x}\end{выровнено}\]
Точно так же вектор, параллельный ускорению, имеет компоненты \(1\) и \(-\frac{v_x}{v_y}\), что позволяет нам определить угол \(\phi\), под которым делает с осью \(x\):
\[\begin{выровнено} \tan(\phi)=\frac{v_x}{v_y}\end{выровнено}\]
Обратите внимание, что \(\tan(\theta)\) является инверсией \(\tan(\phi)\), или, другими словами, \(\tan(\theta)=\cot(\phi)\) , что означает, что \(\theta\) и \(\phi\) дополняют друг друга и, таким образом, должны в сумме давать \(\frac{\pi}{2}\) (90).
Это означает, что вектор ускорения перпендикулярен вектору скорости, если скорость постоянна, а направление скорости изменяется .
Другими словами, когда мы записываем вектор ускорения, мы можем идентифицировать два компонента, \(\vec a_{\parallel}(t)\) и \(\vec a_{\perp}(t)\):
\[\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt}\\ &=\vec a_{ \parallel}(t) + \vec a_{\perp}(t)\\ \следовательно \vec a_{\parallel}(t)&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)\\ \ поэтому \vec a_{\perp}(t)&=v\frac{d\hat v}{dt}=\frac{dv_x}{dt} \left(\hat x – \frac{v_x(t)}{ v_y(t)}\шляпа y\right)\end{выровнено}\]
, где \(\vec a_{\parallel}(t)\) — составляющая ускорения, параллельная вектору скорости и отвечающая за изменение его величины, а \(\vec a_{\perp}(t )\), — составляющая, перпендикулярная вектору скорости и отвечающая за изменение направления движения.
Упражнение \(\PageIndex{1}\)
Спутник движется по круговой орбите вокруг Земли с постоянной скоростью.
Что можно сказать о его векторе ускорения?
- Имеет нулевую величину.
- Перпендикулярно вектору скорости.
- Он параллелен вектору скорости.
- Он находится в направлении, отличном от параллельного или перпендикулярного вектору скорости.
- Ответить
Сноски
1.Скорее, это вектор, параллельный вектору ускорения, который проиллюстрирован, поскольку множитель \(\frac{dv_{x}}{dt}\) был опущен (как вы помните, умножение на скаляр только изменяет длину, не направление)
Предварительная физика: описание движения с использованием скалярных и векторных величин
Что такое прямолинейное равноускоренное движение?
В этом посте мы описываем равномерное прямолинейное (прямолинейное) движение и равноускоренное движение посредством качественных описаний и использования скалярных и векторных величин, как часть подготовительного курса физики модуля Кинематика и подраздела Движение в Прямая линия.
Прямолинейное движение – смещение, скорость и ускорение объекта вдоль прямой линии, а равноускоренное движение – когда ускорение объекта постоянно, например, при падении теннисного мяча с высоты и наблюдении за его ускорением вниз под действием силы тяжести.
Следующее видео охватывает определения равномерного и неравномерного движения, чтобы обеспечить более четкое понимание того, что такое движение.
Что такое векторы и скаляры?
Скалярная величина – это величина, которая не зависит от направления, например скорости, тогда как векторная величина имеет величину и направление.
В следующих двух видеороликах это становится более понятным благодаря представлению свойств каждого из них и рассмотрению бесчисленных примеров.
Часть 1. Введение в векторы и скаляры
Часть 2. Примеры векторов и скаляров
Все формулы прямолинейного равноускоренного движения. Графическое представление движения. Закон равноускоренного движения
1439.
Мотоцикл в течение 5 секунд может увеличить свою скорость от 0 до 72 км/ч. Определить ускорение мотоцикла.
1440. Определить ускорение лифта в высотном доме, если он увеличивает свою скорость на 3,2 м/с в течение 2 с.
1441. Автомобиль, движущийся со скоростью 72 км/ч, тормозит равномерно и останавливается через 10 с. Каково ускорение автомобиля?
1442. Как назвать движения, при которых ускорение постоянно? равен нулю?
Равноускоренный, равномерный.
1443. Сани, катясь с горы, движутся с равномерным ускорением и в конце третьей секунды от начала движения имеют скорость 10,8 км/ч. Определить, с каким ускорением движутся сани.
1444. Скорость автомобиля за 1,5 минуты движения увеличилась с 0 до 60 км/ч. Найдите ускорение автомобиля в м/с2, в см/с2.
1445. Мотоцикл «Хонда», двигаясь со скоростью 90 км/ч, стал равномерно тормозить и через 5 секунд сбросил скорость до 18 км/ч.
Каково ускорение мотоцикла?
1446. Объект из состояния покоя начинает двигаться с постоянным ускорением, равным 6 10-3 м/с2. Определить скорость через 5 минут после начала движения. Какой путь прошел предмет за это время?
1447. Яхта спускается на воду по наклонным стапелям. Первые 80 см она преодолела за 10 секунд. За какое время яхта преодолела оставшиеся 30 м, если ее движение оставалось равноускоренным?
1448.Грузовик трогается с места с ускорением 0,6 м/с2. За какое время он преодолеет путь длиной 30 м?
1449. Поезд отправляется со станции, двигаясь равноускоренно в течение 1 мин 20 с. Каково ускорение электропоезда, если за это время его скорость стала 57,6 км/ч? Какой путь она прошла за указанное время?
1450. Самолет для взлета равномерно разгоняется за 6 секунд до скорости 172,8 км/ч. Найдите ускорение самолета.Какой путь прошел самолет при разгоне?
1451. Товарный поезд, удаляясь, двигался с ускорением 0,5 м/с2 и разогнался до скорости 36 км/ч.
Каким путем он пошел?
1452. Скоростной поезд тронулся со станции с равномерным ускорением и, пройдя 500 м, достиг скорости 72 км/ч. Каково ускорение поезда? Определить время его разгона.
1453. При выходе из ствола пушки снаряд имеет скорость 1100 м/с.Длина ствола орудия составляет 2,5 м. Внутри ствола снаряд двигался равномерно. Каково его ускорение? За какое время снаряд прошел всю длину ствола?
1454. Электропоезд, идущий со скоростью 72 км/ч, начал тормозить с постоянным ускорением, равным по модулю 2 м/с2. Сколько времени потребуется, чтобы остановиться? Какое расстояние он проедет до полной остановки?
1455. Городской автобус двигался равномерно со скоростью 6 м/с, а затем начал замедляться с ускорением, равным 0.6 м/с2. За какое время до остановки и на каком расстоянии от нее следует начинать торможение?
1456. Сани скользят по ледяной дорожке с начальной скоростью 8 м/с, и за каждую секунду их скорость уменьшается на 0,25 м/с.
Через какое время сани остановятся?
1457. Самокат, движущийся со скоростью 46,8 км/ч, останавливается при равномерном торможении на 2 с. Каково ускорение скутера? Какой у него тормозной путь?
1458.Теплоход, идущий со скоростью 32,4 км/ч, начал плавно тормозить и, подойдя к причалу через 36 секунд, полностью остановился. Каково ускорение теплохода? Какой путь он прошел за время торможения?
1459. Товарный состав, проходя мимо шлагбаума, начал тормозить. Через 3 минуты он остановился на перекрестке. Какова начальная скорость товарного поезда и модуль его ускорения, если шлагбаум находится на расстоянии 1,8 км от узла?
1460.Тормозной путь поезда 150 м, время торможения 30 с. Найдите начальную скорость поезда и его ускорение.
1461. Электропоезд, двигаясь со скоростью 64,8 км/ч, после начала торможения до полной остановки прошел 180 м. Определить время его разгона и торможения.
1462.
Самолет летел равномерно со скоростью 360 км/ч, затем в течение 10 секунд двигался равномерно: его скорость увеличилась на 9 м/с в секунду.Определите, какую скорость приобрел самолет. Какое расстояние он пролетел при равноускоренном движении?
1463. Мотоцикл, двигаясь со скоростью 27 км/ч, начал равномерно разгоняться и за 10 секунд достиг скорости 63 км/ч. Определить среднюю скорость мотоцикла при равномерном ускорении. Какой путь он прошел за время равноускоренного движения?
1464. Прибор считает интервалы времени равные 0.75 с. Мяч трижды скатывается с наклонного желоба. Скатившись с наклонного желоба, он продолжает движение по горизонтальному желобу и проходит за первый промежуток времени 45 см. Определить мгновенную скорость мяча в конце наклонного желоба и ускорение мяча при движении по этому желобу.
1465. Отправляясь со станции, поезд движется равномерно с ускорением 5 см/с2. За какое время поезд достигнет скорости 36 км/ч?
1466.
При отправлении поезда со станции его скорость за первые 4 с увеличилась на 0,2 м/с, за следующие 6 с еще на 30 см/с и за следующие 10 с на 1,8 км/ч. Как двигался поезд в течение этих 20 секунд?
1467. Сани, катясь с горы, движутся с равномерным ускорением. На определенном участке пути скорость саней возрастала в течение 4 с с 0,8 м/с до 14,4 км/ч. Определить ускорение саней.
1468.Велосипедист начинает движение с ускорением 20 см/с2. За какое время велосипедист достигнет скорости 7,2 км/ч?
1469. На рис. 184 изображен график скорости некоторого равноускоренного движения. Используя шкалу, приведенную на рисунке, определите расстояние, пройденное в этом движении за 3,5 секунды.
1470. На рис. 185 показан график скорости некоторого переменного движения. Перенесите рисунок в тетрадь и отметьте штриховкой площадь, численно равную пути, пройденному за 3 с.Чему примерно равен этот путь?
1471. В течение первого промежутка времени от начала равноускоренного движения шарик проходит канавку длиной 8 см.
Какое расстояние пройдет мяч за три таких промежутка, прошедших с начала движения?
1472. За 10 равных промежутков времени от начала движения тело, двигаясь равномерно ускоренно, прошло 75 см. Сколько сантиметров прошло это тело за первые два одинаковых промежутка времени?
1473.Поезд, отправляясь со станции, движется с равномерным ускорением и за первые две секунды проходит 12 см. Какое расстояние пройдет поезд за 1 минуту, считая от начала движения?
1474. Поезд, отправляясь со станции, движется равномерно с ускорением 5 см/с2. За какое время он разовьет скорость 28,8 км/ч и какое расстояние проедет за это время поезд?
1475. Локомотив по горизонтальному пути приближается к склону со скоростью 8 м/с, затем движется вниз по склону с ускорением 0.2 м/с. Определить длину спуска, если локомотив проходит его за 30 с.
1476. Начальная скорость тележки, движущейся по наклонной доске, 10 см/с. Тележка прошла всю длину доски, равную 2 м, за 5 с.
Определить ускорение тележки.
1477. Пуля вылетает из ствола ружья со скоростью 800 м/с. Длина ствола 64 см. Считая равноускоренное движение пули внутри ствола, определить ускорение и время движения.
1478. Автобус, двигаясь со скоростью 4 м/с, начинает равномерно ускоряться на 1 м/с в секунду. Какое расстояние проедет автобус за шесть секунд?
1479. Грузовик, имея некоторую начальную скорость, начал движение с равномерным ускорением: за первые 5 с он прошел 40 м, а за первые 10 с – 130 м. Найдите начальную скорость грузовика и его ускорение.
1480. Лодка, отойдя от причала, стала двигаться равномерно.Пройдя некоторое расстояние, он достиг скорости 20 м/с. Какова была скорость лодки в тот момент, когда она проплыла половину этого пути?
1481. Лыжник скатывается с горы с нулевой начальной скоростью. В середине горы его скорость была 5 м/с, через 2 с скорость стала 6 м/с. Считая, что она возрастает равномерно, определить скорость лыжника через 8 с после начала движения.
1482. Автомобиль трогается с места и движется с равномерным ускорением.За какую секунду от начала движения путь, пройденный автомобилем, вдвое больше пути, пройденного им за предыдущую секунду?
1483. Найти путь, пройденный телом за восьмую секунду движения, если оно начинает двигаться равномерно ускоренно без начальной скорости и за пятую секунду проходит путь 27 м.
1484. Провожающие становятся в начале головного вагона поезда. Поезд трогается с места и движется с равномерным ускорением.За 3 секунды мимо провожающих проезжает весь головной вагон. За какое время весь поезд, состоящий из 9 вагонов, пройдет мимо провожающих?
1485. Материальная точка движется по закону x = 0,5t². Что это за движение? Что такое точечное ускорение? Постройте график зависимости от времени:
а) координаты точки;
б) скорость точки;
в) ускорение.
1486. Поезд остановился через 20 с после начала торможения, пройдя за это время 120 м.
Определить начальную скорость поезда и ускорение поезда.
1488. Построить графики скорости равномерно замедленного движения для случаев:
1) V0 = 10 м/с, а = – 1,5 м/с2;
2) V0 = 10 м/с; а = – 2 м/с2.
Масштаб в обоих случаях одинаков: 0,5 см – 1 м/с; о, 5 см – 1 сек.
1489. Изобразите расстояние, пройденное за время t, на графике скорости равнозамедленного движения. Примем V0 = 10 м/с, а = 2 м/с2.
1490.Опишите движения, графики скоростей которых даны на рис. 186, а и б.
а) движение будет одинаково медленным;
б) сначала тело будет двигаться равномерно, затем равномерно. На 3-м участке движение будет столь же медленным.
Вообще равноускоренное движение называется такое движение, при котором вектор ускорения остается неизменным по величине и направлению. Примером такого движения является движение камня, брошенного под определенным углом к горизонту (без учета сопротивления воздуха).
В любой точке траектории ускорение камня равно ускорению свободного падения. Для кинематического описания движения камня удобно выбрать систему координат так, чтобы одна из осей, например ось OY , была направлена параллельно вектору ускорения. Тогда криволинейное движение камня можно представить в виде суммы двух движений – прямолинейного равноускоренного движения вдоль оси OY и равномерного прямолинейного движения в перпендикулярном направлении, т.е.е. по оси ОХ (рис. 1.4.1).
Таким образом, изучение равноускоренного движения сводится к изучению прямолинейного равноускоренного движения. В случае прямолинейного движения векторы скорости и ускорения направлены вдоль прямой линии движения. Поэтому скорость υ и ускорение a в проекциях на направление движения можно рассматривать как алгебраические величины.
Рис. 1.4.1. Проекции векторов скорости и ускорения на оси координат. |
а х = 0, а у = – г При равноускоренном прямолинейном движении скорость тела определяется по формуле
(*)
В этой формуле υ 0 – скорость тела в момент t = 0 ( начальная скорость ), a = const – ускорение.На графике скорости υ ( t ) эта зависимость имеет вид прямой (рис. 1.4.2).
Рисунок 1.4.2. Графики скорости координат |
Ускорение можно определить по наклону графика скорости. корпус . Соответствующие построения показаны на рис. 1.4.2 для графика I. Ускорение численно равно отношению сторон треугольника ABC :
Чем больше угол β, образующий график скорости со временем ось, т.е., чем больше наклон графика ( крутизна ), тем больше ускорение тела.
Для графика I: υ 0 = –2 м/с, a = 1/2 м/с 2.
Для графика II: υ 0 = 3 м/с, a = –1/3 м / с 2
График скорости также позволяет определить проекцию движения. с тел на некоторое время t … Выделим на оси времени некоторый малый интервал времени Δ t … Если этот интервал времени достаточно мал, то и изменение скорости на этом интервале мало , я.т. е. движение в течение этого промежутка времени можно считать равномерным с некоторой средней скоростью, равной мгновенной скорости υ тела в середине промежутка Δ t . Следовательно, перемещение Δ с за время Δ t будет равно Δ с = υΔ t . Это перемещение равно площади заштрихованной полосы (рис. 1.4.2). Разбивая промежуток времени от 0 до некоторой точки t на малые промежутки Δ t , получаем, что перемещение s за заданное время t при равноускоренном прямолинейном движении равно площади трапеция ODEF .
.. Соответствующие построения сделаны для графа II на рис. 1.4.2. Время t принято равным 5,5 с.
Так как υ – υ 0 = в , то окончательная формула для равномерно ускоренного движения тела с за интервал времени от 0 до t запишется так:
(**)
Чтобы найти координату y тел в любой момент времени t необходимо начать координату y 0 добавить движение во времени t :
(***)
Это выражение называется законом равномерно ускоренного движения .
При анализе равноускоренного движения иногда возникает задача определения перемещения тела по заданным значениям начальной υ 0 и конечной υ скоростей и ускорений a . Эту задачу можно решить с помощью записанные выше уравнения путем исключения из них времени t … Результат запишется как
Из этой формулы можно получить выражение для определения конечной скорости υ тела, если известна начальная скорость υ 0 , ускорение a и перемещение с :
Если начальная скорость υ 0 равна нулю, эти формулы принимают вид
.
s , a , y 0 — алгебраические величины.В зависимости от конкретного типа движения каждое из этих значений может принимать как положительные, так и отрицательные значения.
В этом уроке мы рассмотрим важную характеристику неравномерного движения – ускорение. Кроме того, будем рассматривать неравномерное движение с постоянным ускорением. Такое движение еще называют равноускоренным или равнозамедленным. Наконец, поговорим о том, как графически изобразить зависимость скорости тела от времени при равноускоренном движении.
Домашнее задание
Решив задачи к этому уроку, вы сможете подготовиться к вопросам 1 ГИА и вопросам А1, А2 экзамена.
1. Задачи 48, 50, 52, 54 сбн. задачи А.П. Рымкевича, изд. десять.
2. Запишите зависимости скорости тела от времени и начертите графики зависимости скорости тела от времени для случаев, представленных на рис. 1, случаи б) и г). Отметьте опорные точки на графиках, если таковые имеются.
3. Рассмотрите следующие вопросы и ответы:
Вопрос. Является ли ускорение следствием ускорения свободного падения, как определено выше?
Ответ. Конечно. Ускорение свободного падения — это ускорение тела, свободно падающего с определенной высоты (сопротивлением воздуха пренебречь).
Вопрос. Что произойдет, если ускорение тела будет направлено перпендикулярно скорости тела?
Ответ. Тело будет двигаться равномерно по окружности.
Вопрос. Можно ли вычислить тангенс угла наклона с помощью транспортира и калькулятора?
Ответ. Нет! Потому что полученное таким образом ускорение будет безразмерным, а размерность ускорения, как мы показали ранее, должна иметь размерность м/с 2.
Вопрос. Как быть с движением, если график зависимости скорости от времени непрямой?
Ответ. Можно сказать, что ускорение этого тела меняется со временем. Такое движение не будет равноускоренным.
Темы кодификатора ЕГЭ: виды механического движения, скорость, ускорение, уравнения прямолинейного равноускоренного движения, свободное падение.
Равноускоренное движение — движение с постоянным вектором ускорения. Таким образом, при равноускоренном движении направление и абсолютная величина ускорения остаются неизменными.
Зависимость скорости от времени.
При изучении равномерного прямолинейного движения вопрос о зависимости скорости от времени не возникал: скорость во время движения была постоянной.Однако при равноускоренном движении скорость изменяется во времени, и нам предстоит выяснить эту зависимость.
Давайте снова попрактикуемся в базовой интеграции. Исходим из того, что производная вектора скорости есть вектор ускорения:
. (1)
В нашем случае имеем. Что нужно продифференцировать, чтобы получить постоянный вектор? Функционал, конечно. Но не только: к нему можно добавить произвольный постоянный вектор (ведь производная постоянного вектора равна нулю).
Таким образом,
. (2)
Что означает константа? В начальный момент времени скорость равна своему начальному значению: . Следовательно, приняв в формуле (2), получим:
Значит, константа есть начальная скорость тела. Теперь соотношение (2) принимает окончательный вид:
. (3)
В конкретных задачах выбираем систему координат и переходим к проекциям на оси координат. Зачастую достаточно двух осей и прямоугольной декартовой системы координат, и векторная формула (3) дает два скалярных равенства:
, (4)
.(5)
Формула для третьей составляющей скорости, если нужно, выглядит аналогично.)
Закон движения.
Теперь мы можем найти закон движения, то есть зависимость радиус-вектора от времени. Напомним, что производная от радиус-вектора есть скорость тела:
Подставим сюда выражение для скорости, данное по формуле (3):
(6)
Теперь нужно проинтегрировать равенство (6). Это несложно.
Чтобы его получить, нужно продифференцировать функцию.Чтобы его получить, нужно различать. Не забудем добавить произвольную константу:
Понятно, что это начальное значение радиус-вектора в момент времени. В результате получаем искомый закон равноускоренного движения:
. (7)
Переходя к проекциям на оси координат, вместо одного векторного равенства (7) получаем три скалярных равенства:
. (8)
. (9)
. (10)
Формулы (8) – (10) дают зависимость координат тела от времени и поэтому служат решением основной задачи механики для равноускоренного движения.
Вернемся к закону движения (7). Обратите внимание, что – смещение тела. Тогда
получаем зависимость водоизмещения от времени:
Прямолинейное равноускоренное движение.
Если равноускоренное движение прямолинейно, то ось координат удобно выбрать вдоль прямой, вдоль которой движется тело. Например, пусть это будет ось. Тогда для решения задач нам будет достаточно трех формул:
где – проекция смещения на ось.
Но очень часто помогает еще одна формула, являющаяся их следствием. Выразим время из первой формулы:
и подставляем в формулу переезда:
После алгебраических преобразований (обязательно их сделать!) приходим к соотношению:
Эта формула не содержит времени и позволяет быстрее прийти к ответу в тех задачах, где время не фигурирует.
Свободное падение.
Свободное падение — важный частный случай равноускоренного движения.Так называется движение тела вблизи поверхности Земли без учета сопротивления воздуха.
Свободное падение тела независимо от его массы происходит с постоянным ускорением свободного падения, направленным вертикально вниз. Практически во всех задачах при расчетах предполагается м/с.
Давайте проанализируем несколько задач и посмотрим, как работают полученные нами формулы для равноускоренного движения.
Задача … Найти посадочную скорость капли дождя, если высота облаков км.
Раствор.
Направим ось вертикально вниз, поместив начало координат в точку отрыва капли. Используем формулу
Имеем: – необходимую посадочную скорость,. Получаем: откуда. Рассчитать: м/с. Это 720 км/ч, порядка скорости пули.
На самом деле капли дождя падают со скоростью несколько метров в секунду. Почему такое несоответствие? Парусность!
Задача … Тело брошено вертикально вверх со скоростью м/с.Найдите его скорость в с.
Вот так. Рассчитать: м/с. Это значит, что скорость будет равна 20 м/с. Знак проекции указывает на то, что тело будет лететь вниз.
Задание. Камень был брошен вертикально вверх с балкона на высоту м со скоростью м/с. Через какое время камень упадет на землю?
Раствор. Направим ось вертикально вверх, поместив начало координат на поверхности Земли. Используем формулу
Имеем: так, или.Решив квадратное уравнение, получим в.
Горизонтальный бросок.
Равноускоренное движение не обязательно является прямолинейным.
Рассмотрим движение тела, брошенного горизонтально.
Предположим, что тело брошено горизонтально со скоростью с высоты. Найдем время и расстояние полета, а также узнаем, по какой траектории происходит движение.
Выберем систему координат, как показано на рис. 1 .
Используем формулы:
В нашем случае .Получаем:
. (11)
Время полета находим из условия, что в момент падения координата тела обращается в нуль:
Дальность полета – значение координаты на момент времени:
Получаем уравнение траектории, исключив из уравнений (11) время. Выражаем из первого уравнения и подставляем во второе:
Мы получили зависимость от , представляющую собой уравнение параболы. Следовательно, тело летит по параболе.
Бросок под углом к горизонту.
Рассмотрим несколько более сложный случай равноускоренного движения: полет тела, брошенного под углом к горизонту.
Предположим, что тело брошено с поверхности Земли со скоростью, направленной под углом к горизонту.
Найдем время и расстояние полета, а также узнаем, по какой траектории движется тело.
Выберем систему координат, как показано на рис. 2.
Начнем с уравнений:
(Обязательно проведите эти расчеты самостоятельно!) Как видите, зависимость от снова уравнение параболы.Попробуйте также показать, что максимальная подъемная сила определяется по формуле.
Еще больше полезной информации и интересной ежедневной рассылки — на нашем телеграм-канале, присоединяйтесь к нам!
Равное ускорение: определение и примеры
Равноускоренное движение — это движение с переменной скоростью, но с постоянным ускорением (a = const).
Простейшим случаем такого движения является равноускоренное прямолинейное движение.
Вот типичные примеры равноускоренного движения:
- пианино падает с 12 этажа с ускорением свободного падения g;
- автомобиль разгоняется со светофора от 0 до 60 км/ч с ускорением 1 метр в секунду в квадрате;
- Автобус плавно тормозит перед светофором. Это тоже равноускоренное движение, только векторы скорости и ускорения направлены в разные стороны.
Это тоже равноускоренное движение, только векторы скорости и ускорения направлены в разные стороны.Вопросы с ответами на равноускоренное движение
Вопрос 1 … График движения представляет собой прямую линию. Равноускорено ли движение тела?
Ответ: Да. Если график представляет собой кривую, то ускорение тела изменяется во времени. Равномерное движение, также описываемое прямой линией, является частным случаем равноускоренного движения с нулевым ускорением.Перемещение при равноускоренном движении численно равно площади трапеции, ограниченной осями координат и графиком.
Вопрос 2 … Тело движется равномерно по окружности. Как направлено ускорение?
Ответ: перпендикулярно телу. В общем случае при криволинейном движении ускорение имеет две составляющие: нормальную (центростремительное ускорение) и касательную, направленную по касательной к скорости.Тангенциальное ускорение при равномерном круговом движении равно нулю.
Вопрос 3 … Является ли ускорение под действием силы тяжести постоянным ускорением?
Ответ: Да.
Вопрос 4 … Может ли тело иметь нулевую скорость и ненулевое ускорение?
Ответ: Да, возможно. После того, как скорость станет равной нулю, тело начнет двигаться в другом направлении.
Вопрос 5 … Что такое ускорение?
Ответ: Векторная физическая величина, характеризующая изменение скорости в единицу времени.При равноускоренном движении скорость изменяется одинаково за равные промежутки времени.
Задачи равномерно ускоренного движения
Обратимся сначала к уже приведенным примерам.
Задача №1. Равноускоренное движение
Состояние
Рояль падает с 12 этажа с нулевой начальной скоростью. Сколько времени потребуется, чтобы достичь земли? Один этаж имеет высоту 3 метра, сопротивлением воздуха пренебрегаем.
Раствор
Известно, что пианино движется с ускорением свободного падения g.
Применим формулу пути из кинематики:
Начальная скорость равна нулю, а за точку отсчета возьмем место, с которого пианино начало двигаться вниз.
Ответ: 2,7 секунды.
Скорость свободно падающих тел не зависит от их массы. Любое тело в гравитационном поле Земли будет падать с одинаковым ускорением.Этот факт был экспериментально установлен Галилео Галилеем в его знаменитых опытах по сбрасыванию предметов с Пизанской башни.
Задача №2. Равноускоренное движение
Состояние
Автобус ехал со скоростью 60 км/ч и начал тормозить на светофоре с ускорением 0,5 метра в секунду в квадрате. Через сколько секунд его скорость станет равной 40 км/ч?
Раствор
Запомните формулу скорости:
В условии задана начальная скорость, но автобус тормозит, значит, векторы скорости и ускорения направлены в противоположные стороны.В проекции на горизонтальную ось ускорение будет записано со знаком минус:
Ответ: 11 секунд.
2+2t.Чему равно ускорение тела?
Раствор
Напомним, что скорость — это производная пути по времени, а ускорение — производная скорости:
Ответ: 16 метров в секунду в квадрате.
При решении физических задач без знания производной не обойтись.
Кстати! Для всех наших читателей действует скидка 10% на любая работа .
Задача № 4. Нахождение ускорения при равноускоренном движении
Состояние
Грузовик разгоняется по дороге, в кузове находится незакрепленный груз.С каким максимальным ускорением должен разогнаться грузовик, чтобы груз не начал двигаться к заднему борту? Коэффициент трения груза о дно кузова k = 0,2, g = 10 м/с2
Раствор
Чтобы решить эту задачу, вам нужно использовать второй закон Ньютона. Сила трения в этом случае равна F = kmg.
Ответ: 2 метра в секунду в квадрате.
Задача № 5. Нахождение ускорения и скорости при равноускоренном движении
Состояние
За пятую секунду прямолинейного движения с постоянным ускорением тело проходит путь 5 м и останавливается.
Найдите ускорение тела.
Раствор
Конечная скорость тела v равна 0, v равна нулю – скорость в конце 4-й секунды.
Ответ: 10 метров в секунду в квадрате.
Нужна помощь в решении проблем? Контакт
Что такое неускоренное движение? – Ответы на все
Что такое неускоренное движение?
Non Uniform Acceleration — Движение ускоряется, но ускорение неравномерно.Затем скажем, что скорость увеличивается на 4 м/с в следующую 1 секунду, что означает ускорение на 4 м/с².)….
Что такое ускоренное прямолинейное движение?
Тело движется с постоянным ускорением или равноускоренным прямолинейным движением (u.a.r.m), когда его траектория представляет собой прямую линию, а его ускорение постоянно и отлично от 0. Это означает, что скорость увеличивается или уменьшается по своей величине равномерно.
Что такое ускоренное и неускоренное движение?
При равномерном линейном движении изменение линейной скорости равно нулю, следовательно, это движение без ускорения.
В то время как равномерное круговое движение всегда ускоряется, потому что направление скорости постоянно меняется, следовательно, скорость изменяется, что вызывает изменение ускорения.
Что такое непрямолинейное движение?
Говорят, что объект находится в прямолинейном движении, когда объект движется по прямой линии. Говорят, что объект находится в прямолинейном движении, когда два объекта движутся прямолинейно и параллельно друг другу. Существует два типа линейного движения: равномерное движение и неравномерное движение.
Почему равномерное круговое движение ускоряется?
Когда объект движется по кругу, он постоянно меняет свое направление. Объект, совершающий равномерное круговое движение, движется с постоянной скоростью. Тем не менее, он ускоряется из-за изменения направления. Направление ускорения внутрь.
Каковы примеры неравномерного движения?
Примеры неравномерного движения
- Бегущая лошадь.
- Мужчина бежит 100 метров.
- Попрыгунчик.
- Автомобиль столкнулся с другим автомобилем.
- Самолет движется сквозь облака и приземляется.
- Перетаскивание ящика с пути.
- Автобус едет по рынку.
- Автомобиль останавливается.
В чем причина всякого ускоренного движения?
Движение по окружности ускоряется, даже если скорость постоянна, потому что направление постоянно меняется. Для всех других видов движения оба эффекта вносят свой вклад в ускорение.Поскольку ускорение имеет как величину, так и направление, оно является векторной величиной. Скорость также является векторной величиной.
Что такое прямолинейное движение, приведите пример?
Люди, едущие на лифте внутри здания, движутся прямолинейно. Горячая вода, попадающая в кофейную чашку из кофейного автомата, движется прямолинейно. Шары для боулинга на дорожке движутся прямолинейно. Самолеты в небе, которые движутся по прямой линии, находятся в прямолинейном движении.
В чем сходство и различие между прямолинейным и криволинейным движением?
question_answer Ответы(3)
| Прямолинейное движение | Криволинейное движение |
|---|---|
| Когда объект движется прямолинейно, говорят, что он движется прямолинейно. | Когда объект движется по криволинейной траектории, говорят, что он движется криволинейно. |
| Пример: Автомобиль движется по прямой дороге | Пример: Автомобиль делает поворот |
В чем сходство прямолинейного и криволинейного движения?
Академия АБХЬЯС
| Прямолинейное движение | Криволинейное движение |
|---|---|
| 1. Когда объект в поступательном движении движется по прямой линии, говорят, что он движется прямолинейно. | 1. Когда объект в поступательном движении движется по криволинейной траектории, говорят, что он движется криволинейно. |
Является ли равномерное круговое движение ускоренным?
Объект, совершающий равномерное круговое движение, движется с постоянной скоростью.
Тем не менее, он ускоряется из-за изменения направления. Направление ускорения внутрь.
Прямолинейное движение – определение, примеры, типы, формула
Прямолинейное движение (или Линейное движение ) — это особая форма движения.Это движение, которое происходит в одном направлении или оси. Все параметры, связанные с движением, относятся к одному направлению. Следовательно, движение также называется движением в одном измерении .
Определение прямолинейного движения
Определение прямолинейного движения может быть сформулировано как движение, которое происходит только в одном направлении . Его также можно назвать прямолинейным движением. Все движение можно описать без использования векторов.
Примеры прямолинейного движения
Вот несколько примеров прямолинейного движения из нашей повседневной жизни.
- Спортсмен, бегущий по дорожке
- Бусина, движущаяся по неподвижному стержню
- Поезд, движущийся по прямой
- Пловец, плывущий параллельно
- Объект, падающий прямо вниз
Участвующие количества
Здесь мы обсудим некоторые величины, связанные с линейным движением.
Расстояние
Это общее расстояние , пройденное движущимся объектом/частицей. Например, если объект переместится на 10 метров вперед и на 6 метров назад, общее пройденное расстояние составит 10+6 = 16 метров .
Рабочий объем
Это NET расстояние между начальной и конечной точками движения. Используя тот же пример, что и выше, если тело движется на 10 м вперед и на 6 м назад, оно находится всего в (10-6) м от начальной точки. Таким образом, водоизмещение составляет всего 4 метра .
Скорость
Скорость \((\mathbf{v})\) скорость изменения смещения. У него есть направление. В линейном движении это направление представлено положительным или отрицательным знаком. жирный шрифт указывает на то, что у него есть направление.
Средняя скорость Задается смещением \(\mathbf{s_2 – s_1}\), деленным на общий интервал времени \((t_2 – t_1)\), в течение которого оно занимает укрытие.
Другими словами,
\(\bar{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{s_2-s_1}}{t_2 – t_1}\)
Мгновенная скоростьЭто предел средней скорости когда временной интервал достигает нуля .Он дает скорость объекта в конкретный момент времени.
\(\mathbf{v} = \lim_{{(t_2 – t_1)} \rightarrow 0} \frac{\mathbf{s_2-s_1}}{t_2-t_1} = \lim_{{\Delta t} \rightarrow 0} \frac{\mathbf{\Delta s}}{\Delta t} = \frac{d\mathbf{s}}{dt}\)
Таким образом, это производная смещения по времени.
Скорость
Скорость (\(v)\) — величина скорости. Как таковая, она не имеет направления и всегда неотрицательна. В отличие от скорости, она выделена жирным шрифтом, так как не имеет направления.
Средняя скоростьОбозначается \(\bar{v}\). Его можно определить расстоянием (\(Delta d)\), пройденным за заданный интервал времени \((\Delta t)\).
математически,
\(\bar{v} = \frac{\Delta d}{\Delta t}\)
Ускорение
Это скорость изменения скорости .
2 = 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{s}\)
Они применимы для равноускоренное движение.
Прямолинейное движение происходит в одном направлении и, таким образом, является одномерным. Это можно назвать движением по прямой.
Криволинейное движение происходит по кривой , а не по линии. Таким образом, он может быть двух- или трехмерным.
ускоренное предложение%20движения – предложения ускоренного%20движения на хинди
Слова на примере Предложения:
- Ускорено, следует включить ускоренное композиция क्या त्वरित कंपोजिटिंग सक्रिय की कंपोजिटिंग सक्रिय की जानी चाहिए в последние годы темпы расширения были дополнительно ускорены.हाल ही के केर्षों में विका …
- Ускоренные испытательные испытательные каучуки или пластмассы. тестируется производителями с использованием теста на ускоренное старение, называемого «испытание на выносливость», при максимальной температуре и напряжении в течение определенного времени. В е…
- ускоренный ребенок Эти продукты, по словам Цзэна, богаты белком или важными элементами и ускоряют рост детей амортизация Эта ускоренная амортизация постепенно увеличится до 25 000 долларов США к 2003 году.NASCAR получает 101 миллион долларов за счет ускоренной амортизации своих трибун. Другие предприятия хотят ускорить…
- ускоренная эрозия Kmart сталкивается с перспективой ускоренной эрозии доли рынка и лояльности клиентов. Ускоренная эрозия на этом участке, по-видимому, является прямым результатом добычи заполнителей. Произошло…
- ускоренный поток “Много рабочих мест переместилось в Мексику, Китай, Японию, и это ускоряет поток бизнеса за границу .” Montana Flume — это ограничитель со свободным сливом, который ускоряется…
- ускоренный кадр Ускоренные кадры, перемещающиеся в искривленном пространстве-времени (см. ниже). Фундаментальный принцип относительности неприменим к ускоряющим системам отсчета. Как можно определить ускоряющую систему от…
- ускоренное движение С помощью этого он смог проверить равноускоренное движение. О такой точке говорят, что она совершает «равноускоренное движение». Для ускоренного движения ускоренная рама …
- ускоренное продвижение по службе Его военная карьера развивалась успешно, и он получил ускоренное продвижение по службе в армии.В течение трех лет он получил ускоренное повышение до доцента с постоянным пребыванием в должности. Позже в том же году …
- ускоренное испытание Но даже если испытание не удастся, сказал Кадиш, военные продолжат свою программу ускоренных испытаний. У . С . оборонные аналитики говорят, что в прошлом году Север провел ускоренные испытания ракетных двигателей, возможно…
- Ускоренный метод испытаний Ускоренный метод испытаний на прочность цемента Ускоренные методы испытаний систем покрытия атмосферной поверхности для морских сооружений Ускоренные методы испытаний на светостойкость цветных. ..
- ускоренное тестирование После ускоренного тестирования летом 2008 года модуль Sniper был введен в эксплуатацию. Существует две важные стратегии тестирования стабильности CRM; простые исследования в реальном времени и ускоренное тестирование. Бу…
тестируется производителями с использованием теста на ускоренное старение, называемого «испытание на выносливость», при максимальной температуре и напряжении в течение определенного времени. В е…
ниже). Фундаментальный принцип относительности неприменим к ускоряющим системам отсчета. Как можно определить ускоряющую систему от…
..предложение с ускоренным%20движением на хинди. Каковы примеры предложений для ускоренного%20движения? значение, перевод, произношение, синонимы и примеры предложений на английском языке предоставлены Hindlish.ком.
Формула ускорения тела при прямолинейном равноускоренном движении. Прямолинейное равноускоренное движение. Формулы и решение задач. Среднескоростная связь
Графическое изображение равномерного прямолинейного движения
Механический механизм представлен графически. Зависимость физических величин выражается с помощью функций.
Обозначение:
В (t) – изменение скорости во времени
а (t) – изменение ускорения во времени
По зависимость ускорения от времени … Так как при равномерном движении ускорение равно нулю, то зависимость a(t) представляет собой прямую линию, лежащую на оси времени.
Скорость от времени … Так как тело движется прямолинейно и равномерно (v = const), т.е. скорость не меняется со временем, то график с зависимостью скорости от времени v(t) представляет собой прямой, параллельной оси времени.
Проекция смещения тела численно равна площади прямоугольника АОБС под графиком, так как модуль вектора смещения равен произведению вектора скорости на время, в течение которого было произведено смещение.
Правило определения пути по графику v(t): при прямолинейном равномерном движении модуль вектора смещения равен площади прямоугольника под графиком скорости.
Зависимость движения от времени. График s (t) – наклонная линия :
Из графика видно, что проекция скорости равна:
Рассмотрев эту формулу, можно сказать, что чем больше угол, тем быстрее движется тело и тем больший путь оно проходит за меньшее время.
Правило определения скорости по графику s(t): Тангенс угла наклона графика к оси времени равен скорости движения.
Неравномерное прямолинейное движение.
Равномерное движение – это движение с постоянной скоростью. Если скорость тела меняется, говорят, что оно движется неравномерно.
Движение, при котором тело совершает неравные перемещения через равные промежутки времени, называется неравномерным или переменным движением .
Для характеристики неравномерности движения вводится понятие средней скорости.
Средняя скорость движения равна отношению всего пути, пройденного материальной точкой, к интервалу времени, за который этот путь пройден.
В физике наибольший интерес вызывает не средняя, а мгновенная скорость , который определяется как предел, к которому стремится средняя скорость за бесконечно малый интервал времени Δ t :
Мгновенная скорость Переменное движение есть скорость тела в данный момент времени или в данной точке траектории .
Мгновенная скорость тела в любой точке криволинейной траектории направлена по касательной к траектории в этой точке.
Разница между средней и мгновенной скоростями показана на рисунке.
Движение тела, при котором его скорость за любые равные промежутки времени изменяется одинаково, называется равноускоренным или равноускоренным движением.
Ускорение – это векторная физическая величина, характеризующая скорость изменения скорости, которая численно равна отношению изменения скорости к интервалу времени, в течение которого это изменение произошло.
Если скорость изменяется одинаково в течение всего времени движения, то ускорение можно рассчитать по формуле:
Условные обозначения:
V x – Скорость тела при равноускоренном прямолинейном движении
V xo – Начальная скорость тела
ax – Ускорение тела
t – Время движения тела
Ускорение показывает, как быстро изменяется скорость тела. Если ускорение положительно, то скорость тела увеличивается, движение ускоряется.Если ускорение отрицательное, то скорость уменьшается, движение замедляется.
Единица ускорения в СИ [м/с 2].
Ускорение измеряется Акселерометр
Уравнение скорости для равномерно ускоренного движения: vx = v xo + axt
Уравнение равноускоренного прямолинейного движения (перемещение при равномерно ускоренном движении):
Легенда:
при равноускоренном прямолинейном движенииV xo – Начальная скорость тела
V x – Скорость тела при равноускоренном прямолинейном движении
ax – Ускорение тела
t – Время движения тела
Еще формулы для нахождения перемещений при равноускоренном прямолинейном движении, которые можно использовать при решении задач:
Если известны начальная, конечная скорости движения и ускорение.
Если известны начальная, конечная скорость движения и время всего движения
Графическое изображение неравномерного прямолинейного движения
Механический механизм представлен графически. Зависимость физических величин выражается с помощью функций. Обозначение:
В (т) – изменение скорости во времени
S (t) – изменение смещения (пути) во времени
При прямолинейном равноускоренном движении кузова
- движется по условной прямой,
- его скорость постепенно увеличивается или уменьшается,
- за равные промежутки времени скорость изменяется на одинаковую величину.
Например, автомобиль из состояния покоя начинает двигаться по прямой дороге, и до скорости, скажем, 72 км/ч движется равномерно. При достижении заданной скорости автомобиль движется без изменения скорости, то есть равномерно. При равноускоренном движении его скорость возрастала с 0 до 72 км/ч.
И пусть скорость увеличивается на 3,6 км/ч за каждую секунду движения. Тогда время равноускоренного движения автомобиля будет равно 20 секундам. Поскольку ускорение в СИ измеряется в метрах в секунду в квадрате, необходимо перевести ускорение в 3.6 км/ч в секунду в соответствующих единицах. Оно будет равно (3,6 * 1000 м) / (3600 с * 1 с) = 1 м/с 2.
Допустим, после некоторого времени движения с постоянной скоростью автомобиль начинает тормозить до упора. Движение при торможении также было равноускоренным (за равные промежутки времени скорость уменьшалась на одинаковую величину). В этом случае вектор ускорения будет противоположен вектору скорости. Можно сказать, что ускорение отрицательное.
Значит, если начальная скорость тела равна нулю, то его скорость через время t секунд будет равна произведению ускорения к этому времени:
При падении тела “работает” ускорение свободного падения, и скорость тела у самой поверхности земли будет определяться по формуле:
Если известна текущая скорость тела и время, которое потребовалось для развития такой скорости из состояния покоя, то можно определить ускорение (т.
е., как быстро изменилась скорость) путем деления скорости на время:
Однако тело могло начать равноускоренное движение не из состояния покоя, а уже имея некоторую скорость (или ему была задана начальная скорость). Допустим, вы бросаете камень прямо с башни, используя силу. На такое тело действует ускорение свободного падения, равное 9,8 м/с 2 . Однако ваша сила придала камню большую скорость. Таким образом, конечная скорость (в момент касания земли) будет суммой скорости, развиваемой в результате ускорения, и начальной скорости.Таким образом, конечная скорость будет найдена по формуле:
Однако, если камень был брошен вверх. Тогда его начальная скорость направлена вверх, а ускорение свободного падения — вниз. То есть векторы скорости направлены в противоположные стороны. В этом случае (как и при торможении) из начальной скорости нужно вычесть произведение ускорения на время:
Получим из этих формул формулы ускорения. В случае ускорения:
at = v – v 0
a = (v – v 0) / t
В случае торможения:
at = v 0 – v
a = (v 0 – v) / t
В случае, когда тело останавливается равномерно ускоренно, то в момент остановки его скорость равна 0.
Тогда формула приводится к следующему виду:
Зная начальную скорость тела и ускорение торможения, определяют время, через которое тело остановится:
Теперь выведем формулы пути, который проходит тело при прямолинейном равноускоренном движении … График зависимости скорости от времени при прямолинейном равноускоренном движении представляет собой отрезок, параллельный оси времени (обычно ось х взятый). В этом случае путь вычисляется как площадь прямоугольника под отрезком линии.То есть умножением скорости на время (s = vt). При прямолинейном равноускоренном движении график представляет собой прямую линию, но не параллельную оси времени. Эта прямая либо увеличивается в случае ускорения, либо уменьшается в случае торможения. Однако путь также определяется как площадь фигуры под графиком.
При прямолинейном равноускоренном движении эта фигура является трапецией. Его основаниями являются отрезок на оси у (скорости) и отрезок, соединяющий конечную точку графика с его проекцией на ось абсцисс.
Стороны — это сам график зависимости скорости от времени и его проекция на ось абсцисс (ось времени). Проекция на ось абсцисс – это не только боковая сторона, но и высота трапеции, так как она перпендикулярна ее основаниям.
Как известно, площадь трапеции равна половине суммы оснований на высоту. Длина первого основания равна начальной скорости (v 0), длина второго основания равна конечной скорости (v), высота равна времени.Таким образом, получаем:
с = ½ * (v 0 + v) * t
Выше была приведена формула зависимости конечной скорости от начальной и ускорения (v = v 0 + at). Поэтому в формуле пути мы можем заменить v:
s = ½ * (v 0 + v 0 + at) * t = ½ * (2v 0 + at) * t = ½ * t * 2v 0 + ½ * t * at = v 0 t + 1/2at 2
Итак, пройденный путь определяется по формуле:
с = v 0 t + at 2/2
(Эту формулу можно получить, не считая площади трапеции, а суммируя площади прямоугольника и прямоугольного треугольника, на которые делится трапеция.
)
Если тело начало двигаться равномерно ускоренно из состояния покоя (v 0 = 0), то формула пути упрощается до s = at 2/2.
Если вектор ускорения был противоположен скорости, то необходимо вычесть произведение 2/2. Ясно, что в этом случае разница между v 0 t и at 2/2 не должна становиться отрицательной. Когда она достигнет нуля, тело остановится. Тормозной путь будет найден. Выше была формула времени до полной остановки (t = v 0 / a).Если в формулу пути подставить значение t, то путь торможения сводится к такой формуле.
Темы кодификатора ЕГЭ: виды механического движения, скорость, ускорение, уравнения прямолинейного равноускоренного движения, свободное падение.
Равноускоренное движение — движение с постоянным вектором ускорения. Таким образом, при равноускоренном движении направление и абсолютная величина ускорения остаются неизменными.
Зависимость скорости от времени.
При изучении равномерного прямолинейного движения вопрос о зависимости скорости от времени не возникал: скорость во время движения была постоянной.
Однако при равноускоренном движении скорость изменяется во времени, и нам предстоит выяснить эту зависимость.
Давайте снова попрактикуемся в базовой интеграции. Исходим из того, что производная вектора скорости есть вектор ускорения:
. (1)
В нашем случае имеем.Что нужно продифференцировать, чтобы получить постоянный вектор? Функционал, конечно. Но не только: к нему можно добавить произвольный постоянный вектор (ведь производная постоянного вектора равна нулю). Таким образом,
. (2)
Что означает константа? В начальный момент времени скорость равна своему начальному значению: . Следовательно, приняв в формуле (2), получим:
Значит, константа есть начальная скорость тела. Теперь соотношение (2) принимает окончательный вид:
.(3)
В конкретных задачах выбираем систему координат и переходим к проекциям на оси координат. Зачастую достаточно двух осей и прямоугольной декартовой системы координат, и векторная формула (3) дает два скалярных равенства:
, (4)
.
(5)
Формула для третьей составляющей скорости, если нужно, выглядит аналогично.)
Закон движения.
Теперь мы можем найти закон движения, то есть зависимость радиус-вектора от времени.Напомним, что производная от радиус-вектора есть скорость тела:
Подставим сюда выражение для скорости, данное по формуле (3):
(6)
Теперь нужно проинтегрировать равенство (6). Это несложно. Чтобы его получить, нужно продифференцировать функцию. Чтобы его получить, нужно различать. Не забудем добавить произвольную константу:
Понятно, что это начальное значение радиус-вектора в момент времени. В результате получаем искомый закон равноускоренного движения:
.(7)
Переходя к проекциям на оси координат, вместо одного векторного равенства (7) получаем три скалярных равенства:
. (8)
. (9)
. (10)
Формулы (8) – (10) дают зависимость координат тела от времени и поэтому служат решением основной задачи механики для равноускоренного движения.
Вернемся к закону движения (7). Обратите внимание, что – смещение тела. Тогда
получаем зависимость водоизмещения от времени:
Прямолинейное равноускоренное движение.
Если равноускоренное движение прямолинейно, то ось координат удобно выбрать вдоль прямой, вдоль которой движется тело. Например, пусть это будет ось. Тогда для решения задач нам будет достаточно трех формул:
где – проекция смещения на ось.
Но очень часто помогает еще одна формула, являющаяся их следствием. Выразим время из первой формулы:
и подставляем в формулу переезда:
После алгебраических преобразований (обязательно их сделать!) приходим к соотношению:
Эта формула не содержит времени и позволяет быстрее прийти к ответу в тех задачах, где время не фигурирует.
Свободное падение.
Свободное падение — важный частный случай равноускоренного движения. Так называется движение тела вблизи поверхности Земли без учета сопротивления воздуха.
Свободное падение тела независимо от его массы происходит с постоянным ускорением свободного падения, направленным вертикально вниз. Практически во всех задачах при расчетах предполагается м/с.
Давайте проанализируем несколько задач и посмотрим, как работают полученные нами формулы для равноускоренного движения.
Задача … Найти посадочную скорость капли дождя, если высота облаков км.
Раствор. Направим ось вертикально вниз, поместив начало координат в точку отрыва капли. Используем формулу
Имеем: – необходимую посадочную скорость,. Получаем: откуда. Рассчитать: м/с. Это 720 км/ч, порядка скорости пули.
На самом деле капли дождя падают со скоростью несколько метров в секунду. Почему такое несоответствие? Парусность!
Задача … Тело брошено вертикально вверх со скоростью м/с. Найдите его скорость в с.
Вот так. Рассчитать: м/с. Это значит, что скорость будет равна 20 м/с. Знак проекции указывает на то, что тело будет лететь вниз.
Задание. Камень был брошен вертикально вверх с балкона, расположенного на высоте м, со скоростью м/с. Через какое время камень упадет на землю?
Раствор. Направим ось вертикально вверх, поместив начало координат на поверхности Земли.Используем формулу
Имеем: так, или. Решив квадратное уравнение, получим в.
Горизонтальный бросок.
Равноускоренное движение не обязательно линейно. Рассмотрим движение тела, брошенного горизонтально.
Предположим, что тело брошено горизонтально со скоростью с высоты. Найдем время и расстояние полета, а также выясним, по какой траектории происходит движение.
Выберем систему координат, как показано на рис.один .
Используем формулы:
В нашем случае . Получаем:
. (11)
Время полета находим из условия, что в момент падения координата тела обращается в нуль:
Дальность полета – значение координаты на момент времени:
Получаем уравнение траектории, исключив из уравнений (11) время.
Выражаем из первого уравнения и подставляем во второе:
Мы получили зависимость от , представляющую собой уравнение параболы.Следовательно, тело летит по параболе.
Бросок под углом к горизонту.
Рассмотрим несколько более сложный случай равноускоренного движения: полет тела, брошенного под углом к горизонту.
Предположим, что тело брошено с поверхности Земли со скоростью, направленной под углом к горизонту. Найдем время и расстояние полета, а также выясним, по какой траектории движется тело.
Выберем систему координат, как показано на рис.2.
Начнем с уравнений:
(Обязательно проведите эти расчеты самостоятельно!) Как видите, зависимость от снова уравнение параболы. Попробуйте также показать, что максимальная подъемная сила определяется по формуле.
1) Аналитический метод.Мы считаем, что дорога прямая. Запишем уравнение движения велосипедиста. Так как велосипедист двигался равномерно, его уравнение движения:
(начало координат находится в начальной точке, поэтому начальная координата велосипедиста равна нулю).
Мотоциклист двигался с равномерным ускорением. Он также начал движение из начальной точки, поэтому его начальная координата равна нулю, начальная скорость мотоциклиста также равна нулю (мотоциклист начал движение из состояния покоя).
Учитывая, что мотоциклист начал движение позже, уравнение движения мотоциклиста:
При этом скорость мотоциклиста изменилась по закону:
В момент, когда мотоциклист догнал велосипедиста, их координаты равны, т.е.е. или:
Решая это уравнение для, находим время встречи:
Это квадратное уравнение. Определить дискриминант:
Определяем корни:
Подставляем числовые значения в формулы и вычисляем:
Второй корень отбросим как несоответствующий физическим условиям задачи: мотоциклист не смог догнать велосипедиста через 0,37 с после начала движения велосипедиста, так как сам покинул исходную точку только через 2 с после начала движения велосипедиста.
Таким образом, время, когда мотоциклист догнал велосипедиста:
Подставить это значение времени в формулу закона изменения скорости мотоциклиста и найти значение его скорости в этот момент:
2) Графический метод.
На одной координатной плоскости строим графики изменения во времени координат велосипедиста и мотоциклиста (график для координаты велосипедиста выделен красным, для мотоциклиста – зеленым).Видно, что зависимость координаты от времени для велосипедиста представляет собой линейную функцию, а график этой функции представляет собой прямую линию (случай равномерного прямолинейного движения). Мотоциклист двигался равномерно, поэтому зависимость координаты мотоциклиста от времени представляет собой квадратичную функцию, графиком которой является парабола.
Скорость и длина волны. Уравнение бегущей волны. Волновые явления (дифракция, интерференция…)
Тепловые двигатели
Гипотеза Планка. Явление фотоэффекта. Уравнение Эйнштейна. Фотоны. Квантовые постулаты Бора.