Поиск обратной матрицы методом гаусса: Обратная матрица методом Жордано-Гаусса онлайн

def inverse_matrix(matrix_origin):
    """
    Функция получает на вход матрицу, затем добавляет к ней единичную матрицу, 
    проводит элементарные преобразования по строкам с первоначальной, добиваясь получения слева единичной матрицы. 
    В этом случае справа окажется матрица, которая является обратной к заданнй первоначально 
    """
    # Склеиваем 2 матрицы: слева - первоначальная, справа - единичная
    n = matrix_origin.shape[0]
    m = np.hstack((matrix_origin, np.eye(n)))
    
    for nrow, row in enumerate(m):
        # nrow равен номеру строки
        # row содержит саму строку матрицы
        divider = row[nrow] # диагональный элемент
        # делим на диагональный элемент:
        row /= divider
        # теперь вычитаем приведённую строку из всех нижележащих строк:
        for lower_row in m[nrow+1:]:
            factor = lower_row[nrow] # элемент строки в колонке nrow
            lower_row -= factor*row # вычитаем, чтобы получить ноль в колонке nrow
    # обратный ход:
    for k in range(n - 1, 0, -1):
        for row_ in range(k - 1, -1, -1):
            if m[row_, k]:
                # 1) Все элементы выше главной диагонали делаем равными нулю
                m[row_, :] -= m[k, :] * m[row_, k]
    return m[:,n:].
 
     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Результат инвертирования вашей матрицы

array([[ 0.04128819,  0.09805945,  0.08980182],
       [ 0.15689513, -0.08790039, -0.01401625],
       [ 0.1734104 , -0.18025555,  0.206115  ]])

Я добавил jupyter notebook со своим вариантом, он быстрее на 10-15% за счёт выбора операций индексирования.

2.4: Обратные матрицы — Математика LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

• Рупиндер Секон и Роберта Блум
• Колледж Де Анза

Цели обучения

В этом разделе вы научитесь:

1. Находить обратную матрицу, если она существует.
2. Используйте инверсию для решения линейных систем. {-1}\).

   Пример \(\PageIndex{1}\)

   Имея приведенные ниже матрицы \(A\) и \(B\), убедитесь, что они обратные.

   \[A=\left[\begin{array}{ll}
   4 & 1 \\
   3 & 1
   \end{array}\right] \quad B=\left[\begin{array}{cc }
   1 & -1 \\
   -3 & 4
   \end{array}\right] \nonumber \]

   Решение

   Матрицы являются обратными, если произведение \(AB\) и \(BA\ ) оба равны единичной матрице размерности \(2 \times 2\): \(I_2\),

   \[\mathrm{AB}=\left[\begin{array}{ll}
   4 & 1 \\
   3 & 1
   \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc }
   1 & -1 \\
   -3 & 4
   \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
   1 & 0 \\
   0 & 1
   \end{array} \right]=\mathrm{I}_{2} \nonumber \]

   и

   \[\mathrm{BA}=\left[\begin{array}{cc}
   1 & -1 \\
   – 3 & 4
   \end{массив}\right]\left[\begin{array}{ll}
   4 & 1 \\
   3 & 1
   \end{массив}\right]=\left[\begin{массив {ll}
   1 & 0 \\
   0 & 1
   \end{массив}\right]=\mathrm{I}_{2} \nonumber \]

   Очевидно, что это так; следовательно, матрицы A и B обратны друг другу.

   Пример \(\PageIndex{2}\)

   Найдите обратную матрицу \(\mathrm{A}=\left[\begin{array}{ll}
   3 & 1 \\
   5 & 2
   \ конец{массив}\справа]\).

   Решение

   Предположим, \(A\) имеет обратное значение, и оно равно

   \[B=\left[\begin{array}{ll}
   a & b \\
   c & d
   \end{массив}\right] \nonumber \]

   Затем \(AB = I_2\): \(\left[\begin{array}{cc}
   3 & 1 \\
   5 & 2
   \end{массив}\right]\left[\begin{array}{ll}
   a & b \\
   c & d
   \end{массив}\right]=\left[ \begin{array}{ll}
   1 & 0 \\
   0 & 1
   \end{array}\right]=I_{2}\)

   После умножения двух матриц в левой части мы получаем

   \[\left[\begin{array}{cc}
   3 a+c и 3 b+d \\
   5 a+2 c и 5 b+2 d
   \end{массив}\right]=\left[\begin{массив}{cc}
   1 & 0 \\
   0 & 1
   \end{массив}\ right] \nonumber \]

   Приравнивая соответствующие записи, получаем четыре уравнения с четырьмя неизвестными:

   \[\begin{array}{ll}
   3 a+c=1 & 3 b+d=0 \\
   5 a+2 c=0 & 5 b+2 d=1
   \end{array} \nonumber \]

   Решая эту систему, получаем: \(a = 2 \quad b = -1 \quad c = – 5 \quad d = 3\)
   Следовательно, обратной матрицей \(A\) является \(B=\left[\begin{array}{cc}
   2 & -1 \\
   -5 & 3
   \end{массив}\right] \nonnumber\)

   В этой задаче нахождение обратной матрицы \(A\) сводилось к решению системы уравнений:

   \[\begin{array}{ll}
   3 a+c=1 и 3 b+d=0 \\
   5 a+2 c=0 и 5 b+2 d=1
   \end{array} \ не число \]

   На самом деле это можно записать как две системы, одну с переменными \(a\) и \(c\), а другую с \(b\) и \(d\). Расширенные матрицы для обоих приведены ниже.

   \[\left[\begin{array}{llll}
   3 & 1 & | & 1 \
   5 & 2 & | & 0
   \end{массив}\right] \text { и }\left[\begin{массив}{llll}
   3 & 1 & | & 0 \
   5 & 2 & | & 1
   \end{массив}\right] \nonumber \]

   Глядя на две расширенные матрицы, мы замечаем, что матрица коэффициентов для обеих матриц одинакова. Это означает, что операции над строками метода Гаусса-Жордана также будут такими же. Можно сэкономить много работы, если два правых столбца сгруппировать вместе, чтобы сформировать одну расширенную матрицу, как показано ниже. 9{-1}\) матрица.

   То, что вы только что увидели, не случайно. Это метод, который часто используется для нахождения обратной матрицы. Перечислим шаги следующим образом:

   Метод нахождения обратной матрицы

   1. Запишите расширенную матрицу \([ A | I_n ]\).

   2. Запишите расширенную матрицу из шага 1 в сокращенной ступенчатой ​​форме строк.

   3. Если редуцированная ступенчатая форма строки в 2 есть \([ I_n | B]\), то \(B\) является обратной формой \(A\).

   4. Если левая часть редуцированного эшелона строки не является единичной матрицей, то обратной не существует.

   Пример \(\PageIndex{3}\)

   Имея приведенную ниже матрицу A, найдите ее обратную.

   \[A=\left[\begin{array}{ccc}
   1 & -1 & 1 \\
   2 & 3 & 0 \\
   0 & -2 & 1
   \end{массив}\right] \номер \]

   Решение

   Расширенную матрицу запишем следующим образом.

   \[\left[\begin{массив}{ccccccc}
   1 & -1 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\
   2 & 3 & 0 & | & 0 & 1 & 0 \\
   0 & -2 & 1 & | & 0 & 0 & 1
   \end{array}\right] \nonumber \]

   Мы уменьшим эту матрицу, используя метод Гаусса-Жордана.

   Умножив первую строку на -2 и прибавив ее ко второй строке, мы получим

   \[\left[\begin{array}{ccccccc}
   1 & -1 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\
   0 & 5 & -2 & | &-2&1&0\
   0 & -2 & 1 & | & 0 & 0 & 1
   \end{array}\right] \nonumber \]

   Если поменять местами вторую и третью строки, то получится

   \[\left[\begin{array}{ccccccc}
   1 & -1 и 1 и | & 1 & 0 & 0 \\
   0 & -2 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \\
   0 & 5 & -2 & | & -2 & 1 & 0
   \end{массив}\right] \nonumber \]

   Разделить вторую строку на -2. Результат

   \[\left[\begin{array}{ccccccc}
   1 & -1 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\
   0 & 1 & -1 / 2 & | & 0 & 0 & -1 / 2 \
   0 & 5 & -2 & | & -2 & 1 & 0
   \end{array}\right] \nonumber \]

   Давайте проделаем здесь две операции. 1) Прибавьте вторую строку к первой, 2) Прибавьте -5 раз вторую строку к третьей. И мы получаем

   \[\left[\begin{array}{ccccccc}
   1 & 0 & 1 / 2 & | & 1 & 0 & -1 / 2 \\
   0 & 1 & -1 / 2 & | &0&0&-1/2\
   0 и 0 и 1 / 2 и | & -2 & 1 & 5 / 2
   \end{array}\right] \nonumber \]

   Умножение третьей строки на 2 дает

   \[\left[\begin{array}{ccccccc}
   1 & 0 и 1 / 2 и | & 1 & 0 & -1 / 2 \\
   0 & 1 & -1 / 2 & | & 0 & 0 & -1 / 2 \\
   0 & 0 & 1 & | & -4 & 2 & 5
   \end{массив}\right] \nonumber \]

   Умножьте третью строку на 1/2 и прибавьте ко второй. 9{-1}=\left[\begin{array}{rrr}
   3 & -1 & -3 \\
   -2 & 1 & 2 \\
   -4 & 2 & 5
   \end{массив}\right ]\)

   Нужно проверить результат, перемножив две матрицы, чтобы увидеть, действительно ли произведение равно единичной матрице.

   Теперь, когда мы знаем, как найти обратную матрицу, мы будем использовать обратную сторону для решения систем уравнений. Этот метод аналогичен решению простого уравнения, подобного приведенному ниже. \[ \frac{2}{3}x = 4 \nonumber \]

   Пример \(\PageIndex{4}\)

   Решите следующее уравнение: \(\frac{2}{3}x = 4\)

   Решение

   Чтобы решить приведенное выше уравнение, мы умножаем обе части уравнения мультипликативным обратным к \(\frac{2}{3}\), которое оказывается равным \(\frac{3}{2}\). Получаем

   \[\begin{array}{l}
   \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} x=4 \cdot \frac{3}{2} \\
   x =6
   \конец{массив} \номер\]

   Мы используем пример \(\PageIndex{4}\) в качестве аналогии, чтобы показать, как решаются линейные системы вида \(AX = B\).

   Чтобы решить линейную систему, сначала запишем систему в матричном уравнении \(AX = B\), где \(A\) – матрица коэффициентов, \(X\) – матрица переменных, а \(B\ ) матрица постоянных членов.
   Затем мы умножаем обе части этого уравнения на мультипликативную обратную матрицу \(A\).

   Рассмотрим следующий пример.

   Пример \(\PageIndex{5}\)

   Решите следующую систему

   \begin{aligned}
   3 x+y&=3 \\
   5 x+2 y&=4
   \end{align}

   Решение

   Чтобы решить приведенное выше уравнение, сначала мы представим систему как

   \[AX = B \nonumber \]

   , где A – матрица коэффициентов, а B – матрица постоянных терминов. Получаем

   \[\left[\begin{array}{ll}
   3 & 1 \\
   5 & 2
   \end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
   x \ \
   y
   \end{массив}\right]=\left[\begin{array}{l}
   3 \\
   4
   \end{массив}\right] \nonumber \] 9{-1}\), получаем

   \[\begin{array}{c}
   {\left[\begin{array}{cc}
   2 & -1 \\
   -5 & 3
   \end{ array}\right]\left[\begin{array}{cc}
   3 & 1 \\
   5 & 2
   \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
   x \\
   y
   \end{массив}\right]=\left[\begin{array}{cc}
   2 & -1 \\
   -5 & 3
   \end{массив}\right]\left[\begin{ array}{c}
   3 \\
   4
   \end{массив}\right]} \\
   {\left[\begin{массив}{cc}
   1 & 0 \\
   0 & 1
   \end{массив}\right]\left[\begin{array}{c}
   x \\
   y
   \end{массив}\right]=\left[\begin{array}{c}
   2 \ \
   -3
   \end{массив}\right]} \\
   {\left[\begin{array}{c}
   x \\
   y
   \end{массив}\right]=\left[\begin {array}{c}
   2 \\
   -3
   \end{array}\right]}
   \end{array} \nonumber \]

   Следовательно, \(x = 2\) и \(y = -3\).

   Пример \(\PageIndex{6}\)

   Решите следующую систему:

   \begin{aligned}
   x-y+z &=6 \\
   2 x+3 y &=1 \\
   -2 y+z &=5
   \end{aligned}

   Решение

   Чтобы решить приведенное выше уравнение, запишем систему в матричной форме \(AX = B\) следующим образом:

   \[\left[\begin{array}{rrr}
   1 & -1 & 1 \\
   2 & 3 & 0 \\
   0 & -2 & 1
   \end{array }\right]\left[\begin{array}{l}
   x \\
   y \\
   z
   \end{массив}\right]-\left[\begin{array}{l}
   6 \\
   1 \\
   5
   \end{массив}\right] \nonnumber \] 9{-1}\), получаем

   \[\left[\begin{array}{rrr}
   3 & -1 & -3 \\
   -2 & 1 & 2 \\
   -4 & 2 & 5
   \end{массив}\right]\left[\begin{array}{rrr}
   1 & 1 & 1 \\
   2 & 3 & 0 \\
   0 & 2 & 1
   \end{массив}\right ]\left[\begin{array}{l}
   x \\
   y \\
   z
   \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr}
   3 & -1 & – 3 \\
   -2 & 1 & 2 \\
   -4 & 2 & 5
   \end{массив}\right]\left[\begin{массив}{l}
   6 \\
   1 \\
   5
   \end{array}\right] \nonumber \]

   После перемножения матриц получаем

   \begin{aligned}
   {\left[\begin{array}{ lll}
   1 & 0 & 0 \\
   0 & 1 & 0 \\
   0 & 0 & 1
   \end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
   x \\
   y \\
   z
   \end{массив}\right]=\left[\begin{array}{r}
   2 \\
   -1 \\
   3
   \end{массив}\right]} \\
   { \left[\begin{array}{l}
   х \\
   у \\
   z
   \end{массив}\right]=\left[\begin{array}{r}
   2 \\
   -1 \\
   3
   \end{массив}\right]}
   \end{выровненный}

   Напоминаем читателю, что не всякая система уравнений может быть решена методом обращения матриц. Хотя метод Гаусса-Жордана работает для любой ситуации, метод обратной матрицы работает только в тех случаях, когда существует обратная квадратная матрица. В таких случаях система имеет единственное решение.

   Метод нахождения обратной матрицы

   1. Запишите расширенную матрицу \(\left[\mathrm{A} | \mathrm{I}_{\mathrm{n}}\right]\).
   2. Запишите расширенную матрицу на шаге 1 в сокращенной ступенчатой ​​форме строк.
   3. Если редуцированная форма эшелона строк в 2 имеет вид \(\left[\mathrm{I}_{\mathrm{n}} | \mathrm{B}\right]\), то \(B\) является обратным \(А\).
   4. Если левая часть редуцированного эшелона строки не является единичной матрицей, то обратная матрица не существует.

   Метод решения системы уравнений при наличии единственного решения 9{-1}B \text{ где } I \text{ — единичная матрица} \nonumber \]

   ---

   Эта страница под названием 2.4: Inverse Matrices распространяется под лицензией CC BY 4. 0 и была создана, изменена и/или курирована Рупиндером Секоном и Робертой Блум с использованием исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

   1. Наверх
   • Была ли эта статья полезной?

   1. Тип изделия

      Раздел или Страница

      Автор

      Рупиндер Сехон и Роберта Блум

      Лицензия

      СС BY

      Версия лицензии

      4,0

      Показать страницу TOC

      нет

   2. Теги

      1. обратная матрица
      2. источник@https://www. deanza.edu/faculty/bloomroberta/math21/afm3files.html.html

   Как вычислить обратную матрицу

   Акса Амир

   Бесплатный курс собеседования по проектированию систем

   Многие кандидаты отклоняются или понижаются в рейтинге из-за плохой успеваемости на собеседовании по проектированию систем. Выделитесь на собеседованиях по проектированию систем и получите работу в 2023 году благодаря этому популярному бесплатному курсу. 9k(Ak)−1=(A−1)k, где kkk — постоянная степень матрицы.

Обратимая матрица AAA также должна поддерживать следующие свойства:

• Матрица AAA должна быть квадратной матрицей с размерами n×nn \times nn×n.

• Строки и столбцы матрицы AAA должны быть линейно независимыми.

• Любой диагональный элемент матрицы AAA не должен быть равен нулю.

• Решение Ax=bAx = bAx=b может быть вычислено как x=A−1bx= A^{-1}bx=A−1b, если матрица AAA обратима. 9ТА-1=АТ.

Обратная матрица 2×22 × 22×2

Вот как мы вычисляем обратную матрицу 2×22 × 22×2:

Примечание: Если определитель матрицы AAA равна нулю, матрица необратима.

Пример

Рассмотрим следующую матрицу:

Мы можем вычислить обратную матрицу AAA, используя следующие шаги:

Обратная матрица будет следующей:

Обратная матрица 3×33 \times 33× 3 матрица

Обратная матрица 3×33 х 33×3 может быть вычислена любым из этих двух методов:

Метод Гаусса-Жордана

Процедура Гаусса-Жордана матрица. Он начинается с двух матриц: обратимой матрицы AAA и единичной матрицы III. Единичная матрица позже преобразуется в обратную матрицу:

Рассмотрим следующую матрицу:

Обратную матрицу AAA можно вычислить следующим образом: 9{i+j} M_{ij}Cij​=(−1)i+jMij​.

Пример

Давайте рассмотрим пример, поясняющий процедуру. Рассмотрим следующую матрицу:

Определитель матрицы равен 4.