ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для опрСдСлСния ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ диска стСрТня ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π°: ВычислСниС ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ. ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ

ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π¨Ρ‚Π΅ΠΉΠ½Π΅Ρ€Π°.

ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ , Ссли распрСдСлСниС массы Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ, Ρ‚ΠΎ замСняСтся Π½Π° – элСмСнтарный ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ, – ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ вСщСства. .

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π¨Ρ‚Π΅ΠΉΠ½Π΅Ρ€Π°: ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси Ρ€Π°Π²Π΅Π½ суммС ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈ проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π°, ΠΈ произвСдСния массы Ρ‚Π°Π»Π° Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ расстояния Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ осями: .

ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ:

  1. ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ½ΠΊΠΎΠ³ΠΎ стСрТня массы , Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ масс ΠΈ пСрпСндикулярной ΡΡ‚Π΅Ρ€ΠΆΠ½ΡŽ:

  2. ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ½ΠΊΠΎΠ³ΠΎ стСрТня массы , Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠ² стСрТня:

  3. Ρ‚ΠΎΠ½ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π° массы , радиуса R ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси симмСтрии, пСрпСндикулярной плоскости ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π°:

  4. ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ диска (Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°) массы , радиуса R, высоты h ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси симмСтрии, пСрпСндикулярной основанию: .

Π’Π΅Π½Π·ΠΎΡ€ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ β€” Π² ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠ΅ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ Ρ‚Π²Ρ‘Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π° β€” тСнзорная Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, ΡΠ²ΡΠ·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠΌΠΏΡƒΠ»ΡŒΡΠ° Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΈ ΠΊΠΈΠ½Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΡΠ½Π΅Ρ€Π³ΠΈΡŽ Π΅Π³ΠΎ вращСния с Π΅Π³ΠΎ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ: Π³Π΄Π΅ β€” Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ, β€” угловая ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ, β€” ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠΌΠΏΡƒΠ»ΡŒΡΠ° Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΈΠΌΠΏΡƒΠ»ΡŒΡΠ° систСмы N ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ (ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π½ΡƒΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°Ρ… Π½ΠΈΠΆΠ΅ индСксом k):

ΠΈ кинСматичСскоС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для скорости Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ:

ΠΈ сравнивая с Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ, Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠΌΠΏΡƒΠ»ΡŒΡΠ° Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ (ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Π² этой ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅), Π½Π΅Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ явноС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€Π° ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ: ΠΈΠ»ΠΈ Π² Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅: , Π³Π΄Π΅ r β€” расстояния ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π΄ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°, ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ вычисляСтся Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ, Π° ri β€” ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠ², i ΠΈ j β€” Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ (ΠΎΡ‚ 1 Π΄ΠΎ 3), индСкс ΠΆΠ΅ k (ΠΎΡ‚ 1 Π΄ΠΎ N) Π² дискрСтной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ Π½ΡƒΠΌΠ΅Ρ€ΡƒΠ΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ систСмы ΠΈΠ»ΠΈ малСнькиС части, Π΅Ρ‘ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅. Π£ΠΆΠ΅ ΠΈΠ· этих Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» явно Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ любого Ρ‚Π΅Π»Π° зависит ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΎΠ½ рассчитан.

Π¦Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΆΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°ΠΌΠΈ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊ осям ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎΠΉ систСмы ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹:

Π³Π΄Π΅ x, y ΠΈ z β€” ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΌΠ°Π»ΠΎΠ³ΠΎ элСмСнта Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠΎΠΌ dV, ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ρ ΠΈ массой dm. Ось OX называСтся Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ осью ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π°, Ссли Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Jxy ΠΈ Jxz ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Π§Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ провСсти Ρ‚Ρ€ΠΈ Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ оси ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ. Π­Ρ‚ΠΈ оси Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ пСрпСндикулярны Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ. ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ… Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… осСй ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Ρ‘Π½Π½Ρ‹Ρ… Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ O Ρ‚Π΅Π»Π°, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°ΠΌΠΈ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π°. ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ мСханичСской систСмы ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ½ΠΎΠΉ оси (Β«

осСвой ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈΒ») называСтся Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Ja, равная суммС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ масс всСх n ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ систСмы Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΈΡ… расстояний Π΄ΠΎ оси: Π³Π΄Π΅: mi β€” масса i-ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ri β€” расстояниС ΠΎΡ‚ i-ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π΄ΠΎ оси. ОсСвой ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π° Ja являСтся ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΉ инСртности Ρ‚Π΅Π»Π° Π²ΠΎ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ оси ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ, ΠΊΠ°ΠΊ масса Ρ‚Π΅Π»Π° являСтся ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΉ Π΅Π³ΠΎ инСртности Π² ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ.

,Π³Π΄Π΅: β€” масса ΠΌΠ°Π»ΠΎΠ³ΠΎ элСмСнта ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠ° Ρ‚Π΅Π»Π° , β€” ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, β€” расстояниС ΠΎΡ‚ элСмСнта Π΄ΠΎ оси a. Если Ρ‚Π΅Π»ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²ΡΡŽΠ΄Ρƒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Π°, Ρ‚ΠΎ

Гироскоп (ΠΈΠ»ΠΈ Π²ΠΎΠ»Ρ‡ΠΎΠΊ) – массивноС Ρ‚Π²Ρ‘Ρ€Π΄ΠΎΠ΅ Ρ‚Π΅Π»ΠΎ, симмСтричноС Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ оси, ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ вращСния Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ Π½Π΅Ρ‘ с большой ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ. Π’ силу симмСтрии гироскопа выполняСтся. ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΏΡ‹Ρ‚ΠΊΠ΅ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉΡΡ гироскоп Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ оси Π½Π°Π±Π»ΡŽΠ΄Π°Π΅Ρ‚ΡΡ гироскопичСский эффСкт – ΠΏΠΎΠ΄ дСйствиСм сил, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅, казалось Π±Ρ‹, Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π²Ρ‹Π·Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ оси гироскопа ОО Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ прямой Πžβ€™O’, ось гироскопа поворачиваСтся Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ прямой Πžβ€™β€™Πžβ€™β€™ (ось ОО ΠΈ прямая Πžβ€™O’ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΌΠΈ Π² плоскости Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆΠ°, Π° прямая Πžβ€™β€™Πžβ€™β€™ ΠΈ силы f1 ΠΈ f2 – пСрпСндикулярными ΠΊ этой плоскости). ОбъяснСниС эффСкта основано Π½Π° использованиС уравнСния ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°

. ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠΌΠΏΡƒΠ»ΡŒΡΠ° поворачиваСтся Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ оси ОΠ₯ Π² силу ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ . ВмСстС с Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ ОΠ₯ поворачиваСтся ΠΈ гироскоп. ВслСдствиС гироскопичСского эффСкта Π½Π° подшипникС, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ вращаСтся гироскоп, Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°ΡŽΡ‚ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ гироскопичСскиС силы. Под дСйствиСм гироскопичСских сил ось гироскопа ΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π·Π°Π½ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ скорости вращСния Π—Π΅ΠΌΠ»ΠΈ.

ОписанноС ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ гироскопа ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΎ Π² основу гироскопичСского компаса. ΠŸΡ€Π΅ΠΈΠΌΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²Π° гироскопа: ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° гСографичСский сСвСрный полюс, Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΅Π½Π° Π²ΠΎΠ·Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡŽ мСталличСских ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ².

ΠŸΡ€Π΅Ρ†Π΅ΡΡΠΈΡ гироскопа – особый Π²ΠΈΠ΄ двиТСния гироскопа ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСсто Π² Ρ‚ΠΎΠΌ случаС, Ссли ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π½Π° гироскоп Π²Π½Π΅ΡˆΠ½ΠΈΡ… сил, ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π°ΡΡΡŒ постоянным ΠΏΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅, поворачиваСтся ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ с осью гироскопа, образуя с Π½Π΅ΠΉ всё врСмя прямой ΡƒΠ³ΠΎΠ». Рассмотрим Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ гироскопа с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π·Π°ΠΊΡ€Π΅ΠΏΠ»Ρ‘Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ Π½Π° оси ΠΏΠΎΠ΄ дСйствиСм силы тяТСсти , – расстояниС ΠΎΡ‚ Π·Π°ΠΊΡ€Π΅ΠΏΠ»Ρ‘Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π΄ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ гироскопа, – ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ гироскопом ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΡŽ. Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ пСрпСндикулярно ΠΊ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ плоскости, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ось гироскопа. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ двиТСния: ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠΏΡƒΠ»ΡŒΡΠ° =
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, измСняСт своё ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² пространствС Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ† описываСт ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ плоскости. Π—Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΠΊ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ гироскоп повСрнулся Π½Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» ось гироскопа описываСт конус Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси с ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ – угловая ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ прСцСссии.

П Π»ΠΎΡΠΊΠΎΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅ΜΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ двиТС́ниС (плоскоС Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅) β€” Π²ΠΈΠ΄ двиТСния Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ Ρ‚Π²Ρ‘Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π°, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ всС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π° ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°ΡŽΡ‚ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ плоскости. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния являСтся ΠΊΠ°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ колСса ΠΏΠΎ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π΄ΠΎΡ€ΠΎΠ³Π΅ . УравнСния плоского двиТСния

: xA= f1(t), yA= f2(t), j = f3(t), Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° А Π½Π°Π·Ρ‹Π². полюсом. ПлоскоС Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π².Ρ‚Π΅Π»Π° слагаСтся ΠΈΠ· ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ всС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π° двиТутся Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ полюс (А),ΠΈ ΠΈΠ· Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ этого полюса. ΠŸΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ зависит ΠΎΡ‚ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π° полюса, Π° Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π° Π½Π΅ зависят. Бкорости Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΏΡ€ΠΈ плоском Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ: ; , vBA= wΓ—BA, Ρ‚.Π΅. ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π’ плоской Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° гСомСтричСской суммС скорости полюса А ΠΈ скорости Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π’ ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΈ плоской Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ полюса А. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°: ΠΏΡ€ΠΈ плоском Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ скоростСй Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Ρ‚Π΅Π»Π° Π½Π° ось, ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΡΡ‰ΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· эти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ собой: v
A
cosa = vBcosb. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Шаля: ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρƒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ полоТСния Π² любоС Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° плоскости ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ΠΎΠΌ этой Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ Π½Π° Π½Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ½ΠΎΠΉ плоскости, совпадаСт с ΠΌ.Ρ†.с. ΠΈ называСтся ΠΌΠ³Π½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΉ (ось Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΉ). ΠŸΡ€ΠΈ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ плоской Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ ΠΌ.Ρ†.с. Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎ измСняСт своС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ГСомСтричСскоС мСсто ΠΌ.Ρ†.с., ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π½Π° Π½Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ½ΠΎΠΉ плоскости, называСтся Π½Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ½ΠΎΠΉ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΈΠ΄ΠΎΠΉ. ГСомСтричСскоС мСсто ΠΌ.Ρ†.с., ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π½Π° плоскости Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹, Π½Π°Π·Ρ‹Π².
ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ½ΠΎΠΉ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΈΠ΄ΠΎΠΉ (колСсо катится ΠΏΠΎ прямой: нСподвиТная Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΈΠ΄Π° – прямая, подвиТная – ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ). ΠŸΡ€ΠΈ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ плоской Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ подвиТная Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΈΠ΄Π° катится Π±Π΅Π· скольТСния ΠΏΠΎ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ½ΠΎΠΉ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΈΠ΄Π΅ (Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠŸΡƒΠ°Π½ΡΠΎ).

ΠšΠΈΠ½Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ энСргия Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния β€” энСргия Ρ‚Π΅Π»Π°, связанная с Π΅Π³ΠΎ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ кинСматичСскиС характСристики Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния Ρ‚Π΅Π»Π° β€” Π΅Π³ΠΎ угловая ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ () ΠΈ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ускорСниС. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ динамичСскиС характСристики Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния β€” ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠΌΠΏΡƒΠ»ΡŒΡΠ° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси вращСния z:

ΠΈ кинСтичСская энСргия , Π³Π΄Π΅ Iz β€” ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси вращСния. ΠŸΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ рассмотрСнии Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ ΠΌΠΎΠ»Π΅ΠΊΡƒΠ»Ρ‹ с Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ осями ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ I

1, I2 ΠΈ I3. Π’Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ энСргия Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠ»Π΅ΠΊΡƒΠ»Ρ‹ Π·Π°Π΄Π°Π½Π° Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ

Π³Π΄Π΅ Ο‰1, Ο‰2, ΠΈ Ο‰3 β€” Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ скорости. Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ случаС, энСргия ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΈ с ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ находится ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅: , Π³Π΄Π΅ β€” Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ.

ΠšΠΈΠ½Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ энСргия Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° Π²Π½Π΅ΡˆΠ½ΠΈΡ… сил (ось вращСния Π½Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ½Π°). Π‘ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ i -ΠΉ частицы Ρ‚Π΅Π»Π° Π³Π΄Π΅ – расстояниС частицы Π΄ΠΎ оси Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠšΠΈΠ½Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ энСргия

Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ угловая ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ вращСния для всСх Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Π°. Π’ соотвСтствии с Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌ измСнСния мСханичСской энСргии систСмы элСмСнтарная Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° всСх Π²Π½Π΅ΡˆΠ½ΠΈΡ… сил Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡŽ кинСтичСской энСргии Ρ‚Π΅Π»Π°:

Π Π°Π±ΠΎΡ‚Π° Π²Π½Π΅ΡˆΠ½ΠΈΡ… сил ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π΅ Ρ‚Π΅Π»Π° Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Ρ€Π°Π²Π½Π° Допустим, Ρ‡Ρ‚ΠΎ диск Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΈΠ»Π° вращаСтся ΠΏΠΎ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ с ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΈ ΠΌΡ‹ останавливаСм Π΅Π³ΠΎ, приТимая ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ ΠΊ ΠΊΡ€Π°ΡŽ диска с постоянным усилиСм. ΠŸΡ€ΠΈ этом Π½Π° диск Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ постоянная ΠΏΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅ сила направлСнная пСрпСндикулярно Π΅Π³ΠΎ оси. Π Π°Π±ΠΎΡ‚Π° этой силы

Π³Π΄Π΅ – радиус диска, – ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π°. Число ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ сдСлаСт диск Π΄ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ остановки,

Π³Π΄Π΅ – ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ диска Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΈΠ»Π° вмСстС с якорСм элСктромотора.

КолСбания – процСссы, Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ·ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒΡŽ повторяСмости ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. Π’ зависимости ΠΎΡ‚ физичСской ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Ρ‹ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ процСсса Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ колСбания: мСханичСскиС, элСктромагнитныС, элСктромСханичСскиС ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅. ВсС эти процСссы, нСсмотря Π½Π° Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Ρƒ, ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ матСматичСскими уравнСниями ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ряд ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ… свойств. ΠœΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ колСбания – это ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰Π΅Π΅ΡΡ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Ρ‚Π΅Π»ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² пространствС. Π Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ пСриодичСскиС ΠΈ нСпСриодичСскиС колСбания. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ колСбания, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ характСристики Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ пСриодичСскими функциями Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. ГармоничСскоС ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠ΅ β€” явлСниС пСриодичСского измСнСния ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса ΠΈΠ»ΠΈ косинуса. НапримСр, гармоничСски колСблСтся Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‰Π°ΡΡΡ Π²ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

ΠΈΠ»ΠΈ , Π³Π΄Π΅ Ρ… β€” Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, t β€” врСмя, ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ β€” постоянныС: А β€” Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ, Ο‰ β€” цикличСская частота ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ, β€” полная Ρ„Π°Π·Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ, β€” Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ„Π°Π·Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ. ΠžΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ гармоничСскоС ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠ΅ Π² Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅

Π‘Π²ΠΎΠ±ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ колСбания ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ дСйствиСм Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΡ… сил систСмы послС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ систСма Π±Ρ‹Π»Π° Π²Ρ‹Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π° ΠΈΠ· полоТСния равновСсия. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ свободныС колСбания Π±Ρ‹Π»ΠΈ гармоничСскими, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ систСма Π±Ρ‹Π»Π° Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ (ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Π»Π°ΡΡŒ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ уравнСниями двиТСния), ΠΈ Π² Π½Π΅ΠΉ отсутствовала диссипация энСргии (послСдняя Π²Ρ‹Π·Π²Π°Π»Π° Π±Ρ‹ Π·Π°Ρ‚ΡƒΡ…Π°Π½ΠΈΠ΅). Π’Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ колСбания ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ воздСйствиСм внСшнСй пСриодичСской силы. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠ½ΠΈ Π±Ρ‹Π»ΠΈ гармоничСскими, достаточно Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ систСма Π±Ρ‹Π»Π° Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ (ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Π»Π°ΡΡŒ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ уравнСниями двиТСния), Π° внСшняя сила сама мСнялась со Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ гармоничСскоС ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠ΅ (Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ этой силы Π±Ρ‹Π»Π° ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ).

ГармоничСский осциллятор (Π² классичСской ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠ΅) β€” это систСма, которая ΠΏΡ€ΠΈ смСщСнии ΠΈΠ· полоТСния равновСсия испытываСт дСйствиС Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ силы , ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡŽ (согласно Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ Π“ΡƒΠΊΠ°): , Π³Π΄Π΅ β€” коэффициСнт Тёсткости систСмы.

Если β€” СдинствСнная сила, Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Π½Π° систСму, Ρ‚ΠΎ систСму Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ простым ΠΈΠ»ΠΈ консСрвативным гармоничСским осциллятором. Π‘Π²ΠΎΠ±ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ колСбания Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ систСмы ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой пСриодичСскоС Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ полоТСния равновСсия (гармоничСскиС колСбания). Частота ΠΈ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ΠΏΡ€ΠΈ этом постоянны, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Ρ‘ΠΌ частота Π½Π΅ зависит ΠΎΡ‚ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹.

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ двиТСния гармоничСского осциллятора ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

Π’ качСствС ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ консСрвативного гармоничСского осциллятора Π²ΠΎΠ·ΡŒΠΌΡ‘ΠΌ Π³Ρ€ΡƒΠ· массы , Π·Π°ΠΊΡ€Π΅ΠΏΠ»Ρ‘Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π½Π° ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π΅ ΠΆΡ‘ΡΡ‚ΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ .ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ β€” это смСщСниС Π³Ρ€ΡƒΠ·Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ полоТСния равновСсия. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, согласно Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ Π“ΡƒΠΊΠ°, Π½Π° Π½Π΅Π³ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ сила: Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°, запишСм ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ ΠΈ замСняя ускорСниС Π½Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ , напишСм: Π­Ρ‚ΠΎ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ описываСт ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ консСрвативного гармоничСского осциллятора. ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ цикличСской частотой осциллятора. (Π—Π΄Π΅ΡΡŒ имССтся Π² Π²ΠΈΠ΄Ρƒ круговая частота, ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΡΡŽΡ‰Π°ΡΡΡ Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ… Π² сСкунду. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ пСрСвСсти Π΅Ρ‘ Π² частоту, Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‰ΡƒΡŽΡΡ Π² Π“Π΅Ρ€Ρ†Π°Ρ…, Π½Π°Π΄ΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΡƒΡŽ частоту Π½Π° ) Π‘ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ этого уравнСния Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅: Π—Π΄Π΅ΡΡŒ β€”Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° (максимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ смСщСния ΠΈΠ»ΠΈ измСнСния ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΎΡ‚ срСднСго значСния ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Π²ΠΎΠ»Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ), β€” частота ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ (ΠΏΠΎΠΊΠ° Π½Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ равная собствСнной частотС), β€” Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ„Π°Π·Π°. ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ Π² Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.

И остаётся условиС Π½Π° частоту ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ:

ΠžΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ частоту ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚Π±Ρ€ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ» Π² Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π΅ этого Π·Π½Π°ΠΊΠ° покрываСтся ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΎΠΌ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π° Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„Π°Π·Ρ‹. ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ уравнСния записываСтся Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅: ,Π³Π΄Π΅ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ„Π°Π·Π° β€” ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ постоянныС. Π­Ρ‚Π° запись исчСрпываСт всС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ позволяСт ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±Ρ‹ΠΌ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ условиям (Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ полоТСнию Π³Ρ€ΡƒΠ·Π° ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ скорости). Π˜Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, консСрвативный гармоничСский осциллятор ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ чисто гармоничСскиС колСбания с частотой, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π΅Π³ΠΎ собствСнной частотС, с Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄ΠΎΠΉ любой Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ с ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„Π°Π·ΠΎΠΉ. ΠšΠΈΠ½Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ энСргия записываСтся Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ .

ΠΈ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ энСргия Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° полная энСргия ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ постоянноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅

Ѐа́за колСба́ний β€” физичСская Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‰Π°ΡΡΡ со Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π΅ΠΌ, ΠΏΡ€ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‰Π°Ρ состояниС ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмы Π² (любой) Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ колСба́ний β€” наимСньший ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΠΊ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, Π·Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ осциллятор ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠ΅. Частота ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ β€” число ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Π² Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ.

ЀизичСский маятник β€” осциллятор, ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ собой Ρ‚Π²Ρ‘Ρ€Π΄ΠΎΠ΅ Ρ‚Π΅Π»ΠΎ, ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ колСбания Π² ΠΏΠΎΠ»Π΅ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ…-Π»ΠΈΠ±ΠΎ сил ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ масс этого Ρ‚Π΅Π»Π°, ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ½ΠΎΠΉ оси, пСрпСндикулярной Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ дСйствия сил ΠΈ Π½Π΅ проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ масс этого Ρ‚Π΅Π»Π°. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ

Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ двиТСния физичСского маятника

ΠŸΡ€Π΅Π½Π΅Π±Ρ€Π΅Π³Π°Ρ сопротивлСниСм срСды, Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ физичСского маятника Π² ΠΏΠΎΠ»Π΅ силы тяТСсти записываСтся ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

Полагая , ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅:

ПослСднСС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ матСматичСского маятника Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ . Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° называСтся ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Ρ‘Π½Π½ΠΎΠΉ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ физичСского маятника.

Π¦Π΅Π½Ρ‚Ρ€ качания β€” Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π½Π°Π΄ΠΎ ΡΠΎΡΡ€Π΅Π΄ΠΎΡ‚ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ всю массу физичСского маятника, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅ измСнился.

ΠŸΠΎΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΠΌ Π½Π° Π»ΡƒΡ‡Π΅, проходящСм ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ подвСса Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ тяТСсти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π½Π° расстоянии ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ подвСса. Π­Ρ‚Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ качания маятника. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ссли всю массу ΡΠΎΡΡ€Π΅Π΄ΠΎΡ‚ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π΅ качания, Ρ‚ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ качания Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ масс. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси подвСса Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ , Π° ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ силы тяТСсти ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ оси . Π›Π΅Π³ΠΊΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ двиТСния Π½Π΅ измСнится.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π“ΡŽΠΉΠ³Π΅Π½ΡΠ°

Если физичСский маятник ΠΏΠΎΠ΄Π²Π΅ΡΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π° Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ качания, Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅ измСнится, Π° прСТняя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° подвСса сдСлаСтся Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ качания.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Вычислим ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ для Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ маятника:

Π‘ΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Ρ‘Π½Π½Ρ‹Ρ… Π΄Π»ΠΈΠ½ для Π΄Π²ΡƒΡ… случаСв ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, сдСланноС Π² Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅.

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ физичСского маятника Если Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ°Π»Π°, Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ эллиптичСского ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅. Π’Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ бСрСтся, ΠΈ получаСтся Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ извСстная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ:

Π­Ρ‚Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π΄Π°Ρ‘Ρ‚ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΠ»Π΅ΠΌΠΎΠΉ точности (ошибка ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ 1 %) ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠ³Π»Π°Ρ…, Π½Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ‹ΡˆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… 4Β°.Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ порядок приблиТСния ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ с ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΠ»Π΅ΠΌΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ (ошибка ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ 1 %) ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠ³Π»Π°Ρ… Π΄ΠΎ 1 Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π° (β‰ˆ60Β°) .

Π‘Π²ΠΎΠ±ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π·Π°Ρ‚ΡƒΡ…Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ колСбания – колСбания, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹ ΠΈΠ·-Π·Π° ΠΏΠΎΡ‚Π΅Ρ€ΡŒ энСргии ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмой с Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠΌ ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠ·ΠΌΠΎΠΌ убывания энСргии ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΅Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ‚Π΅ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Ρƒ вслСдствиС трСния Π² мСханичСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… систСмах, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Ρ€ΡŒ, связанных с Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ‚Π΅ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Ρ‹, ΠΈ излучСния элСктромагнитной энСргии Π² элСктричСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… систСмах.

Π’ΠΈΠ΄ закономСрностСй затухания ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ задаСтся свойствами ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… систСм. ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ систСмы β€” ΠΈΠ΄Π΅Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ систСмы, ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ…, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ физичСскиС свойства систСмы, Π² Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ процСсса ΠΎΡΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ. НапримСр, Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ систСмами ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½Ρ‹ΠΉ маятник ΠΏΡ€ΠΈ ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ… растяТСниях ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹ (ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° выполняСтся Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ Π“ΡƒΠΊΠ°), ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚ΡƒΡ€, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ сопротивлСниС, ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Π΅ΠΌΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ зависят Π½ΠΈ ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΠΊΠ° Π² ΠΊΠΎΠ½Ρ‚ΡƒΡ€Π΅, Π½ΠΈ ΠΎΡ‚ напряТСния. Π Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎ своСй ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Π΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ систСмы ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ уравнСниями, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π΅Ρ‚ основания ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ физичСской ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Ρ‹ с Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ…, Π² Ρ‚ΠΎΠΌ числС ΠΈ Π½Π° Π­Π’Πœ.

Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ свободных Π·Π°Ρ‚ΡƒΡ…Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ систСмы опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ

(1) , Π³Π΄Π΅ s – ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π»ΡŽΡ‰Π°ΡΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, которая описываСт Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΠΎΠΉ физичСский процСсс, Ξ΄ = const β€” коэффициСнт затухания, Ο‰0 – цикличСская частота свободных Π½Π΅Π·Π°Ρ‚ΡƒΡ…Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмы, Ρ‚. Π΅. ΠΏΡ€ΠΈ Ξ΄=0 (ΠΏΡ€ΠΈ отсутствии ΠΏΠΎΡ‚Π΅Ρ€ΡŒ энСргии) называСтся собствСнной частотой ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмы.

РСшСниС уравнСния (1) запишСм Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅

(2)

Π³Π΄Π΅ u=u(t). ПослС взятия ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… (2) ΠΈ подстановки ΠΈΡ… Π² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (1) Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ

(3)

РСшСниС уравнСния (3) зависит ΠΎΡ‚ Π·Π½Π°ΠΊΠ° коэффициСнта ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ искомой Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ. Рассмотрим случай ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ коэффициСнта: (4)

(Ссли (Ο‰02 – Οƒ2)>0, Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΡ‹ Π²ΠΏΡ€Π°Π²Π΅ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ). Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ , Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ функция . Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ уравнСния (1) Π² случаС ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ… Π·Π°Ρ‚ΡƒΡ…Π°Π½ΠΈΠΉ (Ο‰02 >> Οƒ2 )

(5)

Π³Π΄Π΅ (6)

β€” Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° Π·Π°Ρ‚ΡƒΡ…Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ, Π° А0 β€” Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π°.

(5)

Π³Π΄Π΅ (6) β€” Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° Π·Π°Ρ‚ΡƒΡ…Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ

Π—Π°Ρ‚ΡƒΡ…Π°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ Π΄Π°Π΅Ρ‚ колСбаниям Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈ, строго говоря, ΠΊ Π½ΠΈΠΌ нСльзя ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ понятиС ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° ΠΈΠ»ΠΈ частоты. Но Ссли Π·Π°Ρ‚ΡƒΡ…Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Π»ΠΎ, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ условно ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ понятиС ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ° Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ максимумами (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°ΠΌΠΈ) ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π»ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ физичСской Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ . Π’ этом случаС ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Π·Π°Ρ‚ΡƒΡ…Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ с ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ выраТСния (4) Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π΅Π½

Если A(t) ΠΈ А(t + Π’) β€” Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°ΠΌ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄, Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

называСтся Π΄Π΅ΠΊΡ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ затухания, Π° Π΅Π³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ

(7)

β€” логарифмичСским Π΄Π΅ΠΊΡ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ затухания; Ne β€” число ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π·Π° врСмя ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹ Π² Π΅ Ρ€Π°Π·. ЛогарифмичСский Π΄Π΅ΠΊΡ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚ затухания являСтся постоянной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ для Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмы.

Для характСристики ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмы Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ понятиС добротности Q, которая ΠΏΡ€ΠΈ ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ… значСниях логарифмичСского Π΄Π΅ΠΊΡ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½Π°

(8)

(Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π·Π°Ρ‚ΡƒΡ…Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Π»ΠΎ (Ο‰02 >> Οƒ2 ), Ρ‚ΠΎ T принято Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ Π’0).

Из Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ (8) Π²Ρ‹Ρ‚Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄ΠΎΠ±Ρ€ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π° числу ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ne, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ систСма ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ Π·Π° врСмя рСлаксации.

Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Ρ‹ ΠΈ уравнСния, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ для свободных Π·Π°Ρ‚ΡƒΡ…Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… систСм, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ для ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ физичСской ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Ρ‹ β€” мСханичСских (Π² качСствС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° возьмСм ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½Ρ‹ΠΉ маятник) ΠΈ элСктромагнитных (Π² качСствС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° возьмСм элСктричСский ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚ΡƒΡ€).

Π’Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ колСбания, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‚ Π² ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмС ΠΏΠΎΠ΄ дСйствиСм внСшнСй пСриодичСски ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ силы (Π²Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ сила).

ΠŸΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ с Π»Π°Π±ΠΎΡ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΎΠΉ ΠΏΠΎ дисциплинС Β«ΠœΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠ°Β» для Π‘ΠŸΠ±Π“ΠΠ‘Π£ (moodle.spbgasu.ru)



ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π°ΠΌ прямо сСйчас

ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² WhatsApp

ΠžΠŸΠ Π•Π”Π•Π›Π•ΠΠ˜Π• ΠœΠžΠœΠ•ΠΠ’Π Π˜ΠΠ•Π Π¦Π˜Π˜ МАЯВНИКА ΠœΠΠšΠ‘Π’Π•Π›Π›ΠΠ¦Π΅Π»ΡŒ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ – ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠ² двиТСния Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π° Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ маятника МаксвСлла; ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄Ρ‹Ρ… Ρ‚Π΅Π». Β  ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ свСдСния Β  ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈΒ  Ρ‚Π΅Π»Π° являСтся ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΉ инСртности Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ. ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ зависит ΠΎΡ‚ распрСдСлСния массы Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси вращСния. Для опрСдСлСния ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ оси Ρ‚Π΅Π»ΠΎ мыслСнно разбиваСтся Π½Π° элСмСнты, ΠΌΠ°Π»Ρ‹Π΅ Π½Π°ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ… ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ массой  . ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ опрСдСляСтся  . Β Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ оси (7.1) Π³Π΄Π΅Β    – расстояниС ΠΎΡ‚ элСмСнта Π΄ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Π½ΠΎΠΉ оси. Π’ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ (7.2) – ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ вСщСства Π² элСмСнтС объСма  ,Β  находящСмся Π½Π° расстоянии  r Β ΠΎΡ‚ оси. Для ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ диска ΠΈ ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси, приходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ масс пСрпСндикулярно основанию ΠΈΠ»ΠΈ плоскости ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π°, ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ‚ для Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° массой  mΒ  ΠΈ радиусом  RΒ  (ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси, проходящСй пСрпСндикулярно основанию Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΅Π³ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€) (7.3) Π΄Π» ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π° массой  m, Β Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΠΌ радиусом Β rΒ  ΠΈ внСшним радиусом  R (7.4) ΠœΠ°ΡΡ‚Π½ΠΈΠΊ МаксвСлла прСдставляСт собой ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΉ диск  C, ΡƒΠΊΡ€Π΅ΠΏΠ»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π½Π° мСталличСском стСрТнС  DΒ  (рис.7.1). Π—Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Ρ‹ этого стСрТня маятник прикрСпляСтся бифилярно (с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π΄Π²ΡƒΡ… Π½ΠΈΡ‚Π΅ΠΉ) ΠΊ ΠΊΡ€ΠΎΠ½ΡˆΡ‚Π΅ΠΉΠ½Ρƒ.

Β Β Β Β Β Β  ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠ΅ маятника ΠΊ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΡŽ Π½ΠΈΡ‚ΠΈ Ρ‚Ρ‰Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π²ΠΈΡ‚ΠΎΠΊ ΠΊ Π²ΠΈΡ‚ΠΊΡƒ, Π½Π°ΠΌΠ°Ρ‚Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° ΡΡ‚Π΅Ρ€ΠΆΠ΅Π½ΡŒ Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠ² ΠΊ диску. ПослС освобоТдСния маятника Π½ΠΈΡ‚ΠΈ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ°Ρ‚Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ маятника Π²Π½ΠΈΠ· ΠΈ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅
Рис.7.1

– Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси симмСтрии (ось ОО´, рис.7.1). Π’Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ продолТаСтся ΠΏΠΎ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Π² низшСй Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΌΡƒ Π½Π°ΠΌΠ°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΡŽ Π½ΠΈΡ‚ΠΈ Π½Π° ΡΡ‚Π΅Ρ€ΠΆΠ΅Π½ΡŒ, ΠΈ диск поднимаСтся. Π’Π°ΠΊ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‚ колСбания диска Π² Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ плоскости, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π΄Π°Π΅Ρ‚ основаниС Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ устройство маятником. Π”Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ маятника описываСтся двумя уравнСниями Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠΈ. Для ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° масс, прСнСбрСгая силами трСния, ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌΒ  Β Β (Β  – сила натяТСния ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Π½ΠΈΡ‚ΠΈ; прСдполагаСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½ΠΈΡ‚ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹, поэтому сила удваиваСтся – рис.7.1Π°). Π² ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ось Оy, Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π²Π½ΠΈΠ·, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ (7,5) Π’Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π° описываСтся основным ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠΈ вращСния  оси  ΠžΠžβ€™ (Β  – Β Β Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ сил ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси О Πžβ€™;Β  eΒ  – ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ускорСниС;Β    –  ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ оси). Для маятника ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚ нуля ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси  ОО´ (рис.7.1Π±) ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ силы натяТСния. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π³Π΄Π΅Β   –  радиус стСрТня маятника. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠΈ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния ΠΏΡ€ΠΈΠΎΠ±Ρ€Π΅Ρ‚Π°Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ (7.6) БвяТСм ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ускорСниС Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΈ Ρ‚Π°Π½Π³Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ускорСниС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° повСрхности стСрТня (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, А) Π’ отсутствиС ΠΏΡ€ΠΎΡΠΊΠ°Π»ΡŒΠ·Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΡ Π½ΠΈΡ‚ΠΈ ΠΏΠΎ ΡΡ‚Π΅Ρ€ΠΆΠ½ΡŽ Ρ‚Π°Π½Π³Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ускорСниС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΡΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ О (7.7) ОбъСдиняя (7.5)–(7.7), ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Для Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния связь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ Β hΒ  ΠΈ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π΅ΠΌΒ  tΒ  Π² случаС отсутствия Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ скорости ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ записана Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅Β  . Β Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΠΌ ускорСниС  . Β Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, для ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ (7.8) (mΒ  – полная масса маятника;Β    – радиус стСрТня). Π’ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ опрСдСляСтся ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ маятника МаксвСлла, масса ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ измСняСтся с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΊΠΎΠ»Π΅Ρ† Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… радиусов ΠΈ масс. Β  ОписаниС установки ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄ установки прСдставлСн Π½Π° рис.7.2. Π’ основании  1Β  Π·Π°ΠΊΡ€Π΅ΠΏΠ»Π΅Π½Π° ΠΊΠΎΠ»ΠΎΠ½ΠΊΠ°Β  2,Β  ΠΊ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΊΡ€Π΅ΠΏΠ»Π΅Π½ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ½ΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΈΠΉ ΠΊΡ€ΠΎΠ½ΡˆΡ‚Π΅ΠΉΠ½Β  9 Β ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ Π½ΠΈΠΆΠ½ΠΈΠΉ ΠΊΡ€ΠΎΠ½ΡˆΡ‚Π΅ΠΉΠ½Β  7.Β  На Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅ΠΌ ΠΊΡ€ΠΎΠ½ΡˆΡ‚Π΅ΠΉΠ½Π΅ находится элСктромагнит  10,Β  Π° Π½Π° Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΌ ΠΊΡ€ΠΎΠ½ΡˆΡ‚Π΅ΠΉΠ½Π΅ – фотоэлСктронный Π΄Π°Ρ‚Ρ‡ΠΈΠΊΒ  3.

ΠœΠ°ΡΡ‚Π½ΠΈΠΊ прСдставляСт собой диск  5,Β  Π·Π°ΠΊΡ€Π΅ΠΏΠ»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π½Π° оси  6,Β  подвСшСнной Π½Π° Π΄Π²ΡƒΡ… нитях  4 Β (бифилярный подвСс). На диск ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΡΠ°ΠΆΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ смСнныС ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π°Β  11,Β  измСняя Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ систСмы. ΠœΠ°ΡΡ‚Π½ΠΈΠΊ удСрТиваСтся Π² Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ элСктромагнитом  10.Β  ЀотоэлСктричСский Π΄Π°Ρ‚Ρ‡ΠΈΠΊΒ  3  соСдинСн с элСктронным Ρ…Ρ€ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌΒ  8.Β  ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ прСрывания Ρ‚ΠΎΠΊΠ° Π² элСктромагнитС (Ρ‚. Π΅. ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° двиТСния маятника) синхронизирован с запуском отсчСта Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ пСрСсСчСния Π½ΠΈΠΆΠ½ΠΈΠΌ ΠΊΡ€Π°Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π°Β Β  ΠΎΠΏΡ‚ΠΈ-
Рис.7.2

чСской оси Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎΠ΄Π°Ρ‚Ρ‡ΠΈΠΊΠ° (ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ окончания двиТСния Π²Π½ΠΈΠ·) синхронизирован с остановкой отсчСта Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. Π­Π»Π΅ΠΊΡ‚Ρ€ΠΎΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈ этом снова автоматичСски приводится Π² дСйствиС. Π”Π»ΠΈΠ½Ρƒ Π½ΠΈΡ‚Π΅ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅Π³ΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π±Π°Ρ€Π°Π±Π°Π½ΠΎΠΌΒ  14,Β  ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ фиксируСтся Π²ΠΈΠ½Ρ‚ΠΎΠΌΒ  15.Β  ПолоТСниС Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅Π³ΠΎ ΠΊΡ€ΠΎΠ½ΡˆΡ‚Π΅ΠΉΠ½Π° Π½Π° ΠΊΠΎΠ»ΠΎΠ½ΠΊΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π³ΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ Π² зависимости ΠΎΡ‚ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Π½ΠΈΡ‚Π΅ΠΉ. Для этого ослабляСтся Ρ„ΠΈΠΊΡΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ½Ρ‚Β  12,Β  ΠΈ ΠΊΡ€ΠΎΠ½ΡˆΡ‚Π΅ΠΉΠ½Β  7  устанавливаСтся Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½ΠΈΠΆΠ½ΠΈΠΉ ΠΊΡ€Π°ΠΉ маятника с Π½Π°Π΄Π΅Ρ‚Ρ‹ΠΌ Π½Π° Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†ΠΎΠΌ находился нСсколько Π½ΠΈΠΆΠ΅ оси Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎΠ΄Π°Ρ‚Ρ‡ΠΈΠΊΠ°. ПослС этого Π²ΠΈΠ½Ρ‚Β  12  затягиваСтся. ΠŸΡƒΡ‚ΡŒ, ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹ΠΉ маятником, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ²ΠΎΠΉ шкалС  13,Β  располоТСнной вдоль ΠΊΠΎΠ»ΠΎΠ½ΠΊΠΈ. Β  ΠŸΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΎΠΊ выполнСния

  1. ΠΠ°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΡƒ «Бброс», ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π° ΠΈΠ½Π΄ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΎΡ€Π΅ ΡƒΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ Π½ΡƒΠ»ΠΈ.
  2. ΠΠ°ΠΌΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° ось маятника Π½ΠΈΡ‚ΡŒ подвСски, обращая Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠ½Π° Π½Π°ΠΌΠ°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Π»Π°ΡΡŒ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ, Π²ΠΈΡ‚ΠΎΠΊ ΠΊ Π²ΠΈΡ‚ΠΊΡƒ: Π² Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ маятник Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ зафиксирован элСктромагнитом.
  3. ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅ΡΡ‚ΠΈ маятник Π² Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΠΈ Β«ΠŸΡƒΡΠΊΒ»; Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ пСрСсСчСния маятником оптичСской оси Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎΠ΄Π°Ρ‚Ρ‡ΠΈΠΊΠ° Ρ…Ρ€ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ автоматичСски остановлСн. Π‘Π½ΡΡ‚ΡŒ отсчСт Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ двиТСния маятника ΠΏΠΎ ΠΈΠ½Π΄ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΎΡ€Ρƒ Ρ…Ρ€ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° со всСй Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ (Π΄ΠΎ 0,001 с).
  4. Π˜Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΠΉ ΠΈ внСшний Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π° ΡˆΡ‚Π°Π½Π³Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΊΡƒΠ»Π΅ΠΌ, ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠ±ΠΎΡ€Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.
  5. ΠŸΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΏ.4–6 Π΅Ρ‰Π΅ Π΄Π΅Π²ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·.

По шкалС ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡƒΡ‚ΡŒ маятника. По Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π°ΠΌ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠΉ рСкомСндуСтся Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°Π±Π».1. Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° 1

Масса ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π°, Π³, β„– измСрСния , с , с , с2
Радиусы ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π°, ΠΌΠΌ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€. внСшн. Радиус стСрТня Β  1 Β  2 : N Β  Β  Β 
ΠŸΡƒΡ‚ΡŒ маятника, ΠΌΠΌ Β  Β  , с Β 

Β  ΠžΠ±Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠ° Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² экспСримСнта Β 

  1. Π Π°ΡΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ срСднСС арифмСтичСскоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ двиТСния маятника ΠΈ внСсти Π΅Π³ΠΎ Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ.
  2. Π Π°ΡΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ маятника ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ (7.8).
  3. Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΡƒΠΌΠΌΠ°Ρ€Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ

гдС а  = 0,001 с.

  1. Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ (ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΈ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΡƒΡŽ)

(7.9) = 0,5 Π³ = 0,05 ΠΌΠΌ – ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ = 0,5 ΠΌΠΌ

  1. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ расчСтом. Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ маятника ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ, суммируя ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π΅Π³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»

(7.10) Π³Π΄Π΅Β    – ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ основания маятника,Β    – ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π°, Π½Π°Π΄Π΅Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° диск, (7.11) Β 

  1. Π—Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ ΠΈ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ ΠΊ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ ΠΏΠΎ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Π°ΠΌ:

Π°) Β ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΡΠ»ΠΎΡΡŒ ΠΈ Ρ€Π°ΡΡΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π² Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅; Π±) ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ рассчитанноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π°; Π²) ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ Π΄ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ находится истинноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ маятника ΠΈ с ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ; Π³) ΡΡ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚ΡŒ значСния J, рассчитанныС ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌ (7.10) ΠΈ (7.8) ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ нСсовпадСния, Ссли ΠΎΠ½ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ. Β  Β ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ вопросы Β 

  1. Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ?
  2. Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π°? ΠžΡ‚ Ρ‡Π΅Π³ΠΎ зависит Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°?
  3. Как рассчитываСтся ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ диска, ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π°?
  4. Π§Ρ‚ΠΎ прСдставляСт собой маятник МаксвСлла? Какой Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΅Π³ΠΎ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅?
  5. Какими уравнСниями Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠΈ описываСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ маятника МаксвСлла?
  6. КакиС силы Π²Ρ‹Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ маятника? ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… сил Π²Ρ‹Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ маятника?
  7. Как опрСдСляСтся ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ силы ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ силы ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси?
  8. Как опрСдСляСтся энСргия Π² случаС Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ-Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния?
  9. Как вывСсти Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ для опрСдСлСния ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ маятника МаксвСлла, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ сохранСния энСргии?
  10. Π’ Ρ‡Π΅ΠΌ состоит ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, принятоС ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Π΅ расчСтной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹? КакоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ – Π·Π°Π²Ρ‹ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π·Π°Π½ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ – получаСтся Π² этом ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ?
  11. МоТно Π»ΠΈ, ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΠΎΠ²Ρ‹ΡΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠΉ Π·Π° счСт Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π° ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² ΡΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ установки?
  12. Как выводится Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° (7. 9) для расчСта ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ?
  13. ΠŸΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ вносят ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ Π² ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ?

ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π°ΠΌ прямо сСйчас

ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² WhatsApp

ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ

ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ
Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ: ΠšΡ€ΡƒΡ‚ΡΡ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π’Π²Π΅Ρ€Ρ…: Π’Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠŸΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΠΉ: Π¦Π΅Π½Ρ‚Ρ€ масс Рассмотрим Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚, состоящий ΠΈΠ· элСмСнтов. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ ΠΉ элСмСнт ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ массой, Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ полоТСния ΠΈ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ. полная кинСтичСская энСргия ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° записываСтся
(334)

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° состоит просто ΠΈΠ· ТСсткого вращСния ΠΏΠΎΠ΄ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ . Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚, ΠΈΠ· Ρ€Π°Π·Π΄. 8.4, Ρ‡Ρ‚ΠΎ
(335)

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ напишСм
(336)

Π³Π΄Π΅ – Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ вдоль оси вращСния (ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ прСдполагаСтся, ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ нашСй систСмы ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚). Π­Ρ‚ΠΎ слСдуСт ΠΈΠ· Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ кинСтичСская энСргия вращСния ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°
(337)

ΠΈΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅
(338)

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° называСтся ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°, Π° написано
(339)

ΠΊΡƒΠ΄Π° расстояниС ΠΏΠΎ пСрпСндикуляру ΠΎΡ‚ элСмСнта th Π΄ΠΎ оси Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния ΠΌΡ‹ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ пишСм
(340)

Π³Π΄Π΅ прСдставляСт массу ΠΈ прСдставляСт ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ. Π‘Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ уравнСния (338) ΠΈ (340) ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΈΠ³Ρ€Π°Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ°ΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ. Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ Π²ΠΎ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ масса ΠΈΠ³Ρ€Π°Π΅Ρ‚ Π² ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ.

Для Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹, Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Π΅ΠΌ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π² Ρ€Π°Π·Π΄. 8,5 ΡƒΡ€ΠΎΠΆΠ°ΠΉ

(341)

Π³Π΄Π΅ – массовая ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°, являСтся пСрпСндикулярноС расстояниС ΠΎΡ‚ оси вращСния, ΠΈ являСтся элСмСнтом объСма. НаконСц, для ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° постоянной плотности ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ сводится ΠΊ
(342)

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ – полная масса ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°. Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Ρ‹ бСрутся ΠΏΠΎ всСму объСм ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°.

ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° зависит Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΡ‚ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π° ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ этого ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°, Π° ΠΎΡ‚ полоТСния оси, Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ вращаСтся ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚. ОсобСнно, ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ оси.

К соТалСнию, ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠ° ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ оси Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ Π² сСбя Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ нСприятного ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Π° объСма. На самом Π΄Π΅Π»Π΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ вычислСниС ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚ΠΎΠ½ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†ΠΎ Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ симмСтричной оси, проходящСй пСрпСндикулярно ΠΊ плоскости ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π°. Π‘ΠΌ. рис.Β 75. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это масса ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π°, Π° это Π΅Π³ΠΎ радиус. ΠšΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ элСмСнт ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ пСрпСндикулярноС расстояниС ΠΎΡ‚ ось вращСния — Ρ‚.Π΅. , . Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (342) сводится ΠΊ

(343)

Рисунок 75: ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ пСрпСндикулярной оси симмСтрии.

Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ, ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡ‚ΡŒ довольно ΡƒΡ‚ΠΎΠΌΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. К ΡΡ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ, ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π΄Π²Π΅ ΠΌΠΎΡ‰Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‚ Π½Π°ΠΌ просто ΡΠ²ΡΠ·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ оси ΠΊ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρƒ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ оси. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· эти Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ пСрпСндикулярной оси ΠΈ примСняСтся Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΉ Π»Π°ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚. Рассмотрим Π»Π°ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ ( Ρ‚.Π΅. , Ρ‚ΠΎΠ½ΠΊΠΈΠΉ плоский ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚) ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плотности. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, для простоты, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π² – плоскости. ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ -ось задаСтся

(344)

Π³Π΄Π΅ ΠΌΡ‹ опустили Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ -ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» бСрСтся ΠΏΠΎ протяТСнности ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° Π² – плоскости. ΠšΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ слСдуСт ΠΈΠ· наблюдСния, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ось вращСния совпадаСт с -осью. Π’Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΈ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ инСрция ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ осСй – ΠΈ – ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄
(345)
(346)

соотвСтствСнно. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ воспользовались Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°. слСдуСт ΠΏΡ€ΠΈ осмотрС ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅
(347)

Π‘ΠΌ. рис.Β 76.
Рисунок 76: Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° пСрпСндикулярной оси.

Π’ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΎΠ± пСрпСндикулярных осях, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚ΠΎΠ½ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ось симмСтрии, лСТащая Π² плоскости ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π°. ΠŸΡ€ΠΈΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ систСмы ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° Рис.Β 77, ΠΈΠ· симмСтрии Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ . Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, Π³Π΄Π΅ масса ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π°, Π° Π΅Π³ΠΎ радиус. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, пСрпСндикулярная ось Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π½Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

(348)

ΠΈΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅
(349)

ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π° Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ -оси Π΅Π³ΠΎ элСмСнты Π² срСднСм Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ дальшС ΠΎΡ‚ оси вращСния, Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ -оси.
Рисунок 77: ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°Ρ€Π½ΠΎΠΉ оси симмСтрии.

Вторая полСзная Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ… ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ называСтся0070 ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎΠ± оси . Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… осях β€” довольно общая β€” ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ масс этого Ρ‚Π΅Π»Π°, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ оси Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌΡƒ

(350)

Π³Π΄Π΅ – масса Ρ‚Π΅Π»Π°, – пСрпСндикулярноС расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π΄Π²Π΅ оси.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… осях, Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ систСму ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‰ΡƒΡŽ с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ масс рассматриваСмого Ρ‚Π΅Π»Π°. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, сориСнтируСм оси нашСй систСмы ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ -ось совпадаСт с ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ осью вращСния, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΊ вторая ось ΡˆΡ‚ΡƒΠΊ – ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρƒ . Из уравнСния (328), Ρ‚ΠΎΡ‚ Ρ„Π°ΠΊΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ масс находится Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, это ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

(351)

Π³Π΄Π΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Ρ‹ бСрутся ΠΏΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΌΡƒ Ρ‚Π΅Π»Π°. Из уравнСния (342), Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ
(352)

Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ это пСрпСндикулярноС расстояниС ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΎΡ‚ -оси. Аналогично, Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°
(353)

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄Π°Ρ‚ΡŒ
Β 
Β  Β  (354)

Π­Ρ‚ΠΎ слСдуСт ΠΈΠ· ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. (351) ΠΈ (352), Ρ‡Ρ‚ΠΎ
(355)

Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ.

Π’ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… осях для вычислСния ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚ΠΎΠ½ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†ΠΎ Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ оси, которая ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ пСрпСндикулярно плоскости ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π° ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΏΠΎ окруТности ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π°. ΠœΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π° массы ΠΈ радиус Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ оси, которая ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ пСрпСндикулярно плоскости ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π° ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ совпадаСт с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ массы ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π° — . Наша новая ось ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° этой исходной оси, Π½ΠΎ смСщСна Π² сторону Π½Π° пСрпСндикулярном расстоянии. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° оси Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π½Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

(356)

Π‘ΠΌ. рис.Β 78.
Рисунок 78: ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… осях.

Π’ качСствС ΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ прямого примСнСния Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ (342) ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅ΠΌ Ρ€Π°ΡΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚ΠΎΠ½ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ³ΠΎ диска, массы ΠΈ радиуса, Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ оси, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ диска ΠΈ пСрпСндикулярной ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ диска. Π’Ρ‹Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ Π½Π°ΡˆΡƒ систСму ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π² -плоскости с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ось вращСния совпадаСт с -осью. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° (342) сводится ΠΊ

(357)

Π³Π΄Π΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Ρ‹ бСрутся ΠΏΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ диска, Π° ΠΈΠ·Π±Ρ‹Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ -ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π±Ρ‹Π» ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π»Π΅Π½. РазобьСм диск Π½Π° Ρ‚ΠΎΠ½ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π°. Рассмотрим ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†ΠΎ радиуса ΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‚ΠΎΠ»Ρ‰ΠΈΠ½Π°. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ этого ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π° просто . Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π² ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Π°Ρ… Π½Π° , Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄Π°Ρ‚ΡŒ
(358)

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ‚
(359)

ВычислСния, Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, Π΄Π°ΡŽΡ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ стандартныС Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹:

  • ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚ΠΎΠ½ΠΊΠΎΠ³ΠΎ стСрТня массы ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси проходящий Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ стСрТня ΠΈ пСрпСндикулярный Π΅Π³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅, Ρ€Π°Π²Π΅Π½

  • ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚ΠΎΠ½ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ листа массы ΠΈ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² ΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ пСрпСндикулярной оси, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ листа,

  • ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄Ρ‹ΠΉ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€ массы ΠΈ радиуса Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ цилиндричСской оси

  • ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ тонкая сфСричСская ΠΎΠ±ΠΎΠ»ΠΎΡ‡ΠΊΠ° массой ΠΈ радиусом ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°

  • ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ твСрдая сфСра массы ΠΈ радиуса ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°



Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ: ΠšΡ€ΡƒΡ‚ΡΡ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π’Π²Π΅Ρ€Ρ…: Π’Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠŸΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΠΉ: Π¦Π΅Π½Ρ‚Ρ€ масс
Π ΠΈΡ‡Π°Ρ€Π΄ Π€ΠΈΡ†ΠΏΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠΊ 2006-02-02

Π£Π³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ β€” AP Physics 1

ВсС рСсурсы AP Physics 1

7 ДиагностичСскиС тСсты 170 практичСских тСстов Вопрос дня ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Learn by Concept

← ΠŸΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π°Ρ 1 2 Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ β†’

AP Physics 1 Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΊΠ° Β» ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½ΠΎΠ²ΡΠΊΠ°Ρ ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠ° Β» ΠšΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ΅, Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ гармоничСскоС Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Β» ΠšΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΠΈ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Β» Π£Π³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚

Π’ ΠΈΠ·ΠΎΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ систСмС ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅. Π§Ρ‚ΠΎ происходит с ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Ρ‚Π΅Π»Π°?

Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹:

Π‘Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΅Π½ΠΎ.

Π‘Π΄Π²ΠΎΠ΅Π½.

ΠžΡΡ‚Π°Π΅Ρ‚ΡΡ ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½ΠΈΠΌ.

ЧСтвСртуСтся.

Он Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½ ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚:

УдваиваСтся.

ОбъяснСниС:

Π’ ΠΈΠ·ΠΎΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ систСмС Π½Π΅Ρ‚ чистого крутящСго ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°. Если Π² систСмС Π½Π΅Ρ‚ чистого крутящСго ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ систСмы остаСтся ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½ΠΈΠΌ. Π£Π³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρƒ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π½Π° ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°.

Β ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚,  это ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ и  это угловая ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ссли ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ, ,Β ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅, Ρ‚ΠΎ для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚, , остался постоянным, угловая ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ,Β , Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π°. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ являСтся ΠΌΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΠΏΠ»ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΌ тоТдСством. ВсС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ умноТаСтся Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ, остаСтся ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½ΠΈΠΌ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, конСчная угловая ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π² Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π° большС ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ.

Π‘ΠΎΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ± ошибкС

Π― Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°ΡŽ Ρ‚ΠΎΠ»ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€ΡƒΡΠ΅Π»ΡŒ с крутящим ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ 10 Нм. Он ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ . Какова ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ вращСния Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· 3 сСкунды, Ссли ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ Π½Π°Ρ‡Π°Π» Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· состояния покоя?

Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹:

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚:

ОбъяснСниС:

Π£Π³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ карусСли Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· 3 сСкунды Ρ€Π°Π²Π΅Π½ просто

Π£Π³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ

. вращаСтся ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Ρ€Π°Π· Π² ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ‚Ρƒ. Он ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ . Π­Ρ€ΠΈΠ½, астронавт, Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΡΠ΅Ρ‚ солнСчныС ΠΏΠ°Π½Π΅Π»ΠΈ спутника, увСличивая Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Π΄ΠΎ . Как быстро сСйчас вращаСтся спутник?

Possible Answers:

1 rotation every 3 minutes

1 rotation per minute

3 rotations per minute

1 rotation every 9 minutes

9 rotations per minute

Correct answer:

1 rotation ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹Π΅ 3 ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ‚Ρ‹

ОбъяснСниС:

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°:

, Π³Π΄Π΅

Β = ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚

Β = ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ

Β = угловая ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ

Β 

Угловая ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ

ΠΠ°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ спутника составляСт 1 ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ‚Ρƒ, поэтому:

ПослС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Π­Ρ€ΠΈΠ½ Π²Ρ‹Π΄Π²ΠΈΠ½ΡƒΠ»Π° солнСчныС ΠΏΠ°Π½Π΅Π»ΠΈ, ΠΈΠΌΠΏΡƒΠ»ΡŒΡ остался ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½ΠΈΠΌ (сохранСниС ΠΈΠΌΠΏΡƒΠ»ΡŒΡΠ°), Π½ΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ . Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ,

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ это ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ Π² ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ спутник вращаСтся ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹Π΅ 3 ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ‚Ρ‹.

Π‘ΠΎΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ± ошибкС

ΠšΡƒΡΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π³Π»ΠΈΠ½Ρ‹ массы ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° ΠΊΡ€Π°ΠΉ массы Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ диска, Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ со ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ . Какой Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ вращСния?

Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹:

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚:

ПояснСниС:

Π£Π³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ всСгда сохраняСтся.

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, связанноС с ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ ΠΈΠΌΠΏΡƒΠ»ΡŒΡΠΎΠΌ, ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ скорости:

ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

ΠŸΠΎΠ΄ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅77

. Π‘Π’ΠΠ’Π˜Π’Π•Π›Π¬ΠΠ«Π• Π—ΠΠ―Π’Π›Π•ΠΠ˜Π• И ΠΠΠ—ΠΠΠ§Π•ΠΠ˜Π• И

7

. Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠΌΠΏΡƒΠ»ΡŒΡΠ° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρƒ ΠΈΠΌΠΏΡƒΠ»ΡŒΡΠ° ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ.

Π‘ΠΎΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ± ошибкС

Π’ Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ части рисунка ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΡΡ‚Π΅Ρ€ΠΆΠ΅Π½ΡŒ Π½Π° Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡΡ‚ΠΎΠ»Π΅ΡˆΠ½ΠΈΡ†Π΅. Π‘Ρ‚Π΅Ρ€ΠΆΠ΅Π½ΡŒ ΡˆΠ°Ρ€Π½ΠΈΡ€Π½ΠΎ Π·Π°ΠΊΡ€Π΅ΠΏΠ»Π΅Π½ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° рисункС. Он вращаСтся Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π² Π½Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ ΡˆΠ°Ρ€, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ сторонС Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹. Π‘Ρ‚Π΅Ρ€ΠΆΠ΅Π½ΡŒ вращаСтся Π±Π΅Π· трСния со ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Β Β , ΠΏΠΎΠΊΠ° Π½Π΅ коснСтся ΡˆΠ°Ρ€Π°. Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΡƒΠ΄Π°Ρ€Π° ΡΡ‚Π΅Ρ€ΠΆΠ΅Π½ΡŒ останавливаСтся, Π° ΡˆΠ°Ρ€ΠΈΠΊ двиТСтся Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ. Масса стСрТня 0,2 ΠΊΠ³. Масса мяча 0,067 ΠΊΠ³. Π”Π»ΠΈΠ½Π° стСрТня 0,15Β ΠΌ. ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ стСрТня, Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°, Ρ€Π°Π²Π΅Π½: . Какова ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ мяча Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΡƒΠ΄Π°Ρ€Π°?

Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹:

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚:

ОбъяснСниС:

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° сохранСния ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°, поэтому ΠΌΡ‹ устанавливаСм ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ стСрТня Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρƒ мяча. Π‘ΡƒΠ΄ΡŒΡ‚Π΅ остороТны, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π΅ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒΒ Β Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ это относится ΠΊ ΡΡ‚Π΅Ρ€ΠΆΠ½ΡŽ слСва ΠΈ ΡˆΠ°Ρ€Ρƒ справа. НаконСц, справа – эффСктивный радиус мяча Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΡƒΠ΄Π°Ρ€Π°, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ просто Π΄Π»ΠΈΠ½Π° стСрТня.

Π‘ΠΎΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ± ошибкС

ΠšΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Π° вращаСтся Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ Π·Π²Π΅Π·Π΄Ρ‹ Π² Π΄Π°Π»Π΅ΠΊΠΎΠΉ Π³Π°Π»Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ΅, ΠΈ Π½Π° Π½Π΅Π΅ дСйствуСт Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ гравитация. Π§Π΅Ρ€Π΅Π· Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ врСмя солнСчная радиация частично расплавила ΠΊΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρƒ, ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΠ² массу Π΄ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ. ΠŸΡ€ΠΈ этом ΠΈΠ·-Π·Π° Π½Π΅ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΡ€Π±ΠΈΡ‚Ρ‹ Π΅Π³ΠΎ расстояниС Π΄ΠΎ Π·Π²Π΅Π·Π΄Ρ‹ удваиваСтся. КакоС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ всСго описываСт ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ ΡΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ с Π΅Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ условиями (Π΄ΠΎ измСнСния таяния/расстояния)?

Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹:

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚:

ПояснСниС:

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ рассмотрим ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ , Π³Π΄Π΅ Β = ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚, Β = масса спутника, Β = Π΅Π³ΠΎ угловая ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Β = Π΅Π³ΠΎ радиус ΠΎΡ‚ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° Π΅Π³ΠΎ ΠΎΡ€Π±ΠΈΡ‚Ρ‹. Из-Π·Π° отсутствия Π²Π½Π΅ΡˆΠ½ΠΈΡ… сил (ΠΏΠΎΠΌΠΈΠΌΠΎ Π³Ρ€Π°Π²ΠΈΡ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π·Π²Π΅Π·Π΄Ρ‹), Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π½Π° спутник, ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ сохраняСтся. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π΅Π³ΠΎ масса дСлится Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅, Π° Π΅Π³ΠΎ радиус удваиваСтся, Π΅Π³ΠΎ угловая ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠΈΡ‚ΡŒΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚.

Π‘ΠΎΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ± ошибкС

Рассмотрим диск, Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉΡΡ с ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ . ПозднСС Π½Π° диск Π²Π½Π΅Π·Π°ΠΏΠ½ΠΎ надСваСтся ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†ΠΎ. ВычислитС Π½ΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ систСмы.

Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹:

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚:

ПояснСниС:

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ эту Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ, ΠΌΡ‹ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌ сохранСния ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°. Π˜Π·Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉΡΡ диск. Π­Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΌ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π΅ систСмы. ПозТС Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΈ диск, ΠΈ ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†ΠΎ, Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ вмСстС с Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ.

Π‘ΠΎΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ± ошибкС

ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… масс, Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… расстояниСм , Ρ€Π°Π²Π΅Π½

Π”Π²Π° ΡˆΠ°Ρ€Π°, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ массу, ΠΏΡ€ΠΈΠΊΡ€Π΅ΠΏΠ»Π΅Π½Ρ‹ бСзмассовым стСрТнСм ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, располоТСнной нСпосрСдствСнно Π² сСрСдинС ΡΡ‚Π΅Ρ€ΠΆΠ΅Π½ΡŒ. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΡΡ‚Π΅Ρ€ΠΆΠ΅Π½ΡŒ растягиваСтся Π΄ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ . ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Ρ отсутствиС ΠΏΠΎΡ‚Π΅Ρ€ΠΈ количСства двиТСния ΠΈ ось остаСтся постоянной, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π½ΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ вращСния.

Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹:

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚:

ОбъяснСниС:

ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²:

Π‘ΠΎΡ…Ρ€Π°Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠΌΠΏΡƒΠ»ΡŒΡΠ°:

, Π³Π΄Π΅, Π² этом случаС:

ΠšΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ уравнСния:

. :

Π‘ΠΎΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ± ошибкС

Рассмотрим ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ систСму:

Β 

Π”Π²Π΅ сфСричСскиС массы, A ΠΈ B, ΠΏΡ€ΠΈΠΊΡ€Π΅ΠΏΠ»Π΅Π½Ρ‹ ΠΊ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Ρƒ ТСсткого стСрТня Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ Π» . Π‘Ρ‚Π΅Ρ€ΠΆΠ΅Π½ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΊΡ€Π΅ΠΏΠ»Π΅Π½ ΠΊ фиксированной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ p , которая находится посСрСдинС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ массами ΠΈ находится Π½Π° высотС h Π½Π°Π΄ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΠΉ. Π‘Ρ‚Π΅Ρ€ΠΆΠ΅Π½ΡŒ вращаСтся Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ фиксированной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Ρƒ, ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ сСрым Ρ†Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ. это ΡƒΠ³ΠΎΠ», ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ ΡΡ‚Π΅Ρ€ΠΆΠ΅Π½ΡŒ составляСт с Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΡŽ Π² любой ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ (Β Π½Π° рисункС).

Π‘Ρ‚Π΅Ρ€ΠΆΠ΅Π½ΡŒ вращаСтся, ΠΈ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ½ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ ΠΎΠ±Π΅ массы, Ρ€Π°Π²Π΅Π½Β . Π§Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π½Π° мгновСнная линСйная ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ массы A?

Массой стСрТня ΠΏΡ€Π΅Π½Π΅Π±Ρ€Π΅Ρ‡ΡŒ.

Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹:

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚:

ОбъяснСниС:

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΌ Π΄Π°Π½ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ с Π½ΠΈΠΌ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ:

Π“Π΄Π΅:

L = ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚

I = ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ

w = угловая ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π΅ массы Π½Π° стСрТнС (ΠΈ ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€Π΅Π½Π΅Π±Ρ€Π΅Π³Π°Π΅ΠΌ массой самого стСрТня), ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ это Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎ:

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ массы ΠΏΡ€ΠΈΠΊΡ€Π΅ΠΏΠ»Π΅Π½Ρ‹ ΠΊ ТСсткому ΡΡ‚Π΅Ρ€ΠΆΠ½ΡŽ ΠΈ двиТутся ΠΏΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ окруТности, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ: масса A для массы B:

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ скорости A:

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ массы. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ сфСрами, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ… ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ массы ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ:

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ массы ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

Π“Π΄Π΅ r Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ стСрТня ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ для ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… масс. ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠ² ΠΈΡ… Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠ² вмСсто радиуса ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρƒ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ стСрТня, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

ΠœΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π² этом ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ, поэтому ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ. Но сначала Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π½Π°ΡˆΠΈΡ… Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† измСрСния. Π•Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ скорости:

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½ΠΎ, Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΡ€Π° ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ ΠΏΡ‹Ρ…Ρ‚Π΅Ρ‚ΡŒ:

Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ скорости, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡƒΡŽ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ:

Π‘ΠΎΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ± ошибкС

Рассмотрим ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ систСму:

Π”Π²Π΅ сфСричСскиС массы, A ΠΈ B, ΠΏΡ€ΠΈΠΊΡ€Π΅ΠΏΠ»Π΅Π½Ρ‹ ΠΊ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Ρƒ ТСсткого стСрТня Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ l . Π‘Ρ‚Π΅Ρ€ΠΆΠ΅Π½ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΊΡ€Π΅ΠΏΠ»Π΅Π½ ΠΊ фиксированной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ p , которая находится Π½Π° высотС h Π½Π°Π΄ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΠΉ. Π‘Ρ‚Π΅Ρ€ΠΆΠ΅Π½ΡŒ вращаСтся Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ фиксированной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Ρƒ, ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ сСрым Ρ†Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ. – это ΡƒΠ³ΠΎΠ», ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ сторона L стСрТня ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚ с Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚ΠΎΠΌ Π² любой ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ (Β Π½Π° рисункС ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, Ссли масса A Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ).

Π’ настоящСС врСмя систСма находится Π² состоянии покоя ΠΈ удСрТиваСтся Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ масса A находится Π½ΠΈΠΆΠ΅ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ ΠΈΒ . Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΡΡ‚Π΅Ρ€ΠΆΠ΅Π½ΡŒ ΠΎΡΠ²ΠΎΠ±ΠΎΠΆΠ΄Π°ΡŽΡ‚ ΠΈ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‚ Π΅ΠΌΡƒ свободно Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚ΡŒΡΡ. Какой ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ достигаСтся массой B? Π‘ΠΈΠ»Π°ΠΌΠΈ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅Π³ΠΎ трСния ΠΏΡ€Π΅Π½Π΅Π±Ρ€Π΅Ρ‡ΡŒ

Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹:

ПояснСниС:

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ с выраТСния для сохранСния энСргии, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ эту Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ:

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π½Π°ΠΌ сказали, Ρ‡Ρ‚ΠΎ систСма ΠΈΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ покоится, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΊΠΈΠ½Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΡΠ½Π΅Ρ€Π³ΠΈΡŽ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (1):

. Масса A удСрТиваСтся ΠΏΠΎΠ΄ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ 15 градусов Π½ΠΈΠΆΠ΅ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ, поэтому ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ синуса для опрСдСлСния высоты ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ массы. Π‘ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ниТняя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° вращСния ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ высоту 0,

Π“Π΄Π΅ d β€” расстояниС ΠΏΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ΅ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ, Π° r β€” радиус ΠΎΡ‚ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° стСрТня, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΡΡ‚Π΅Ρ€ΠΆΠ΅Π½ΡŒ:

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° для d:

ΠœΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это расстояниС Π½ΠΈΠΆΠ΅ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ начинаСтся масса A, ΠΈ расстояниС Π½Π°Π΄ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΡŽ, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ начинаСтся масса B. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒ находится Π½Π° высотС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρ‹ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ стСрТня Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ нашСй ΠΎΠΏΠΎΡ€Π½ΠΎΠΉ высоты, поэтому ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ:

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠ² ΠΈΡ… Π² нашС Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ энСргии, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ энСргия:

Нас просят Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚, достигаСмый массой B. Π­Ρ‚ΠΎ происходит, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° масса B двиТСтся с максимальной ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° большая ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… масс, масса A, ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ниТнюю Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ вращСния . Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ масса A находится Π½Π° высотС 0 ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ энСргии. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ:

ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ масса B Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π² Π²Ρ‹ΡΡˆΠ΅ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ вращСния, Π° это Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅Π΅ высота Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅ стСрТня. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ:

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ кинСтичСской энСргии:

Нам Π½Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Π»Π΅Π½ скорости, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π΄Π²Π΅ массы всСгда двиТутся с ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, подставив наши Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ Π² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (1), ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚, Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ это ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ для ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ скорости, поэтому Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π½Π°Ρ‡Π½Π΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ:

Π£ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ всС эти значСния, Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΡ€Π° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΏΡ‹Ρ…Π½ΡƒΡ‚ΡŒ:

Π­Ρ‚ΠΎ максимальная ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΡΠΏΡ‹Ρ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ масса B. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠΌΠΏΡƒΠ»ΡŒΡΠ°:

, Π³Π΄Π΅:

, Π³Π΄Π΅ r – ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ стСрТня:

ΠœΡ‹ Π±Ρ‹Π»ΠΈ.

ΠžΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ