Введение понятия производной функции. Физический смысл производной.
Введение понятия производной функции.
Производная – главнейшее понятие математического анализа. Она характеризует изменение функции аргумента x в некоторой точке. При этом и сама производная является функцией от аргумента x.
Прежде чем погрузиться в понятие производной, разберём ещё одно понятие – предел функции.
Определение. Если при приближении аргумента к числу , значения функции приближаются к некоторому числу , то число называют пределом функции в точке . Обозначается это так: .
Попробуем объяснить это «на пальцах». Пусть задана функция . Выбираем значения х такие, чтобы они плавно приближали нас к некоторому числу а. Например, числа 0,5; 0,4; 0,3; 0,2; 0,1 приближаются к 0. Это могут быть и отрицательные числа.
Вычисляя значения в каждой из этих точек, мы обнаружим, что эти значения приближаются к некоторому числу. Это число и есть предел функции при .
Например,
Т.е., при стремлении аргумента к единице, достаточно в функцию подставить вместо х эту единицу и посчитать полученный пример.
Ещё пример:
Мы привели самые простые примеры пределов, однако, их вычисление – это целый раздел математического анализа. В школьный курс этот раздел не входит. Поэтому, на этом и остановимся.
Введём теперь понятие производной.
Пусть функция определена на некотором интервале, и – два произвольных значения аргумента из этого интервала.
Определение. Разность между двумя значениями аргумента называется приращением аргумента , т.е. .
Из этой формулы можно найти значение аргумента .
Определение. Разность между двумя значениями функции называется приращением функции .
Итак, основное определение:
Определение. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при .
Если этот предел конечный, то функция называется дифференцируемой в точке , причём, она обязательно будет непрерывной в этой точке. Поэтому,
Определение. Функция называется непрерывной в точке , если
.Если функция непрерывна в каждой точке некоторого интервала, то она непрерывна на этом интервале.
Нахождение производной называется дифференцированием функции, поэтому выражение «продифференцировать функцию» равносильно выражению «найти производную функции».
Для того, чтобы понять, зачем нужна производная функции, рассмотрим её физический смысл.
Физический смысл производной. Пусть функция описывает закон движения материальной точки по прямой линии, т.е. – путь, пройденный точкой от начала отсчёта за время . Тогда за время точка пройдёт путь , а за время – путь . За промежуток времени точка пройдёт отрезок пути .
Отношение называется средней скоростью движенияза время , а предел этого отношения при определяет мгновенную скорость точки в момент времени .
Понятие скорости, заимствованное из физики, удобно при исследовании поведения произвольной функции. Какую бы зависимость ни отражала функция , отношение определяет среднюю скорость изменения относительно изменения , а – мгновенную скорость изменения при .
Обобщая всё вышесказанное, заключаем:
скорость есть производная координаты (пути) по времени, т.
е.
или
Таким образом, делаем вывод:
Производная функции по аргументу есть мгновенная скорость изменения функции. В этом состоит физический смысл производной.
Для функции заполнить таблицу, указав для данного приращения аргумента соответствующее приращение функции .
Найти , если:
Рассмотреть приращение функции в точке как функцию от приращения аргумента и построить график функции :
Используя определение производной, найти производную функции:
Пользуясь определением производной, вычислить значение производной функции в указанной точке :
Пользуясь определением производной, вычислить значение производной функции в точке :
Точка движется по закону .
Найти:
среднюю скорость движения точки за промежуток времени от до
мгновенную скорость движения;
скорость движения в момент времени
Точка движется по закону . Найти:
среднюю скорость движения точки за промежуток времени от до
мгновенную скорость движения;
скорость движения в момент времени
Точка движется по закону . Найти:
среднюю скорость движения точки за промежуток времени от до
мгновенную скорость движения;
скорость движения в момент времени
Точка движется по закону . Найти:
мгновенную скорость движения;
скорость движения в момент времени
Точка движется по закону . Найти:
мгновенную скорость движения;
скорость движения в момент времени
Пользуясь определением производной, вычислить значение производной функции в каждой точке её существования:
Пользуясь определением производной, выяснить, существует ли производная функции в точке
Пользуясь определением производной, вычислить значение производной функции в каждой точке её существования:
Подобрать коэффициенты и так, чтобы функция была непрерывная в точке и имела в этой точке производную:
3
Производная: основные определения и понятия
Данная статья рассматривает основные понятия, для решения задач с производными с одной переменной.
Пусть х – это аргумент функции f(x) и ∆x возьмем малое число, не равное 0. Значение ∆x называют приращением аргумента функции и читают как «дельта икс». На рисунке видно, что красная линия относится для изменений аргумента от значения х до x+∆x.
Определение 2Когда значение аргумента x0 переходит к x0+∆x, тогда и значение функции меняется от f(x0) до f(x0+∆x), если имеется условие монотонности функции из отрезка [x0;x0+∆x]. Приращение функции f(x) – это разность f(x0+∆x)-f(x0)=∆f(x) приращения аргумента. Это приведено на рисунке, расположенном ниже.
Пример 1Для полного уяснения рассмотрим на конкретном примере. Если взять функцию f(x)=sin(x2), тогда следует зафиксировать точку x0=1.6 и приращение аргумента вида ∆x=0.4. Тогда получим, что приращение функции при переходе от x0=1.6 к x0+∆x=1.6+0.4=2 будет равно:
∆f(x)=∆sin(x2)=sin((x0+∆x)2)-sin(x02)==sin 22-sin 1.62=sin 4-sin 2.56≈-1.306
Так как приращение ∆f(x) отрицательное из отрезка [1.
6; 2], то это указывает на убывание функции. Обозначим это графически.
Определение производной функции в точке
Когда функция вида f(x) определена из промежутка (a;b), тогда x0 и x0+∆x считаются точками данного промежутка. Производная функции f(x) в точке x0 – это предел отношений приращения функции к приращению аргумента, когда ∆x→0. Данное определение записывается как f'(x0)=lim∆x→0∆f(x)∆x.
Если последний предел принимает конкретное значение, тогда существует конечная производная в точке. Когда предел бесконечен, то и сама производная бесконечна в этой точке. Когда предел не существует, то и производной в заданной точке не существует.
Функция f(x) дифференцируема в точке x0, если конечная производная в ней существует.
Когда функция вида f(x) дифференцируема в каждой точке из промежутка (a;b), тогда функцию называют дифференцируемой на заданном промежутке. Отсюда получаем, что любая точка х из промежутка (a;b) может принимать значения функции f'(x), иначе говоря, имеет место определение новой функции вида f'(x), которая называется производной функции f(x) из интервала (a;b).
Нахождение производной иначе называют дифференцированием
Из выше указанного получаем, что производная в точке является числом, а производная функции на промежутке является функцией. Когда необходимо вычислять производную, обязательно обращаемся к нахождению переделов.
Пример 2Найти производную функции sin(2x) в точке x0=π6.
Решение
Для нахождения производной в точке необходимо начать с написания предела отношения приращения функции к приращению аргумента, применив тригонометрические формулы. Получаем, что
(sin(2×0))’=lim∆x→0∆sin(2×0)∆x=lim∆x→0sin(2(x0+∆x))-sin(2×0)∆x==lim∆x→02·sin2(x0+∆x)-2×03·cos2(x0+∆x)+2×02∆x==2·lim∆x→0sin(∆x)·cos(2×0+∆x)∆x
Для упрощения используем первый замечательный предел и в результате получаем, что
(sin(2×0))’=2·lim∆x→0sin(∆x)·cos(2×0+∆x)∆x==2·lim∆x→0sin(∆x)∆x·lim∆x→0cos(2×0+∆x)==2·1·cos(2×0+0)=2cos(2×0)=2cos2·π6==2cosπ3=2·12=1
Ответ: (sin(2×0))’=1.
Пример 3Найти производную функции f(x)=3×3-1 из промежутка x∈133; +∞
Решение
Для поиска производной из интервала понимаем, что результат должен быть функцией.
f'(x)=3×3-1’=lim∆x→0f(x+∆x)-f(x)∆x==lim∆x→03(3+∆x)3-1-3×3-1∆x=00
Получаем неопределенность в результате. Поэтому следует произвести домножение на сопряженное выражение для применения формул сокращенного умножения, приведения подобных слагаемых и последующим сокращением выражения. Тогда получим, что
f'(x)=lim∆x→03(x+∆x)3-1-3×3-1∆x==lim∆x→0(3(x+∆x)3-1-3×3-1)(3(x+∆x)3-1+3×3-1)∆x·(3(x+∆x)3-1+3×3-1)==lim∆x→03(x+∆x)3-1-3×3-12∆x·3(x+∆x)3-1+3×3-1==lim∆x→03(x+∆x)3-1-(3×3-1)∆x·3(x+∆x)3-1+3×3-1==3·lim∆x→03×2+3x∆x+(∆x)23(x+∆x)3-1+3×3-1==3·3×2+3x·0+(0)23(x+0)3-1+3×3-1=9x223x3-1
Ответ: 3×3-1’=9x223x3-1 и x∈133; +∞
Для решения таких примеров необходимо учитывать то, что область определения функции f(x) может не совпадать с областью определения производной этой функции.
Предыдущий пример имеет область определения вида Dfx:x∈[133;+∞), а производная определена на интервале Dfx:x∈133;+∞. То есть при дифференцировании функция f'(x) – это производная заданной функции f(x) из промежутка x∈D(f(x))D(f'(x)).
Получение формул таблиц производных основано на определении производной. Они достаточно удобны, что способствует скорейшему дифференцированию сложных выражений. Использование понятия производной применяют для доказательств правил дифференцирования.
Автор: Ирина Мальцевская
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
3.2 Производная как функция
Цели обучения
- Определить производную функцию заданной функции.
- Постройте производную функцию по графику заданной функции.
- Укажите связь между производными и непрерывностью.
- Опишите три условия, при которых функция не имеет производной.
- Объясните значение производной высшего порядка.
Как мы видели, производная функции в данной точке дает нам скорость изменения или наклон касательной к функции в этой точке. Если мы продифференцируем функцию положения в данный момент времени, мы получим скорость в этот момент. Кажется разумным заключить, что знание производной функции в каждой точке даст ценную информацию о поведении функции. Однако процесс нахождения производной даже при нескольких значениях с использованием методов из предыдущего раздела быстро стал бы довольно утомительным. В этом разделе мы определяем производную функцию и изучаем процесс ее нахождения. 9{\prime}(a)[/latex] мы также можем использовать [latex]\frac{dy}{dx}\Big|_{x=a}[/latex] Использование [latex]\frac{dy} Нотация {dx}[/latex] (называемая нотация Лейбница) довольно распространена в технике и физике.
[латекс]\frac{dy}{dx}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim}\frac{\Delta y}{\Delta x}[/latex].
Рисунок 1. Производная выражается как [латекс]\frac{dy}{dx}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim}\frac{\Delta y}{\Delta x}[/ латекс].
Мы уже обсуждали, как построить график функции, поэтому, имея уравнение функции или уравнение производной функции, мы могли бы построить график. Учитывая оба, мы ожидаем увидеть соответствие между графиками этих двух функций, поскольку [латекс]f ^ {\prime}(x)[/latex] дает скорость изменения функции [латекс]f(x) [/latex] (или наклон касательной к [latex]f(x)[/latex]).
9{\prime}(x)[/latex] над осью [latex]x[/latex]?
Показать решение
Теперь, когда мы можем изобразить производную, давайте рассмотрим поведение графиков. Сначала рассмотрим связь между дифференцируемостью и непрерывностью. Мы увидим, что если функция дифференцируема в точке, она должна быть там непрерывной; однако функция, непрерывная в точке, не обязательно должна быть дифференцируемой в этой точке. На самом деле функция может быть непрерывной в точке и не быть дифференцируемой в этой точке по одной из нескольких причин. 9{\ prime} (a) = \ underset {x \ to a} {\ lim} \ frac {f (x) -f (a)} {xa} [/ латекс].
Мы хотим показать, что [latex]f(x)[/latex] непрерывен в [latex]a[/latex], показав, что [latex]\underset{x\to a}{\lim}f(x )=f(a)[/латекс]. Таким образом,
[латекс]\begin{array}{lllll} \underset{x\to a}{\lim}f(x) & =\underset{x\to a}{\lim}(f(x) -f(a)+f(a)) & & & \\ & =\underset{x\to a}{\lim}(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot ( x-a)+f(a)) & & & \text{Умножить и разделить} \, f(x)-f(a) \, \text{by} \, x-a.
{\prime}(0)[/латекс] не определен. Это наблюдение приводит нас к мысли, что непрерывность не влечет дифференцируемости. Давайте исследовать дальше. Для [латекс]f(x)=|x|[/латекс], 9{\prime}(0)[/latex] не существует. Беглый взгляд на график [latex]f(x)=\sqrt[3]{x}[/latex] проясняет ситуацию. Функция имеет вертикальную касательную в точке 0 ((Рисунок)).
Рис. 5. Функция [latex]f(x)=\sqrt[3]{x}[/latex] имеет вертикальную касательную в точке [latex]x=0[/latex]. Она непрерывна в 0, но не дифференцируема в 0.
Функция [latex]f(x)=\begin{cases} x \sin(\frac{1}{x}) & \text{if} \, x \ne 0 \\ 0 & \text{if} \, x = 0 \end{cases}[/latex] также имеет производную, которая демонстрирует интересное поведение при 0. Мы видим, что 9{\ prime} (0) = \ underset {x \ to 0} {\ lim} \ frac {x \ sin (1 / x) -0} {x-0} = \ underset {x \ to 0} {\ lim} \sin(\frac{1}{x})[/latex].
Этого предела не существует, в основном потому, что наклоны секущих постоянно меняют направление по мере приближения к нулю ((Рисунок)).
Рис. 6. Функция [latex]f(x)=\begin{cases} x \sin(\frac{1}{x}) & \text{if} \, x \ne 0 \\ 0 & \ text{if} \, x = 0 \end{cases}[/latex] не дифференцируема в точке 0.
Итого:
- Заметим, что если функция не является непрерывной, она не может быть дифференцируемой, так как всякая дифференцируемая функция должна быть непрерывной. Однако, если функция непрерывна, она может не быть дифференцируемой.
- Мы видели, что [latex]f(x)=|x|[/latex] не может быть дифференцируемым в 0, потому что пределы наклона касательных линий слева и справа не совпадают. Визуально это вылилось в острый угол на графике функции в 0. Отсюда делаем вывод, что для того, чтобы быть дифференцируемой в точке, функция должна быть в этой точке «гладкой».
- Как мы видели на примере [latex]f(x)=\sqrt[3]{x}[/latex], функция не может быть дифференцируемой в точке, где есть вертикальная касательная.
- Как мы видели с [латексом]f(x)=\begin{cases} x \sin(\frac{1}{x}) & \text{if} \, x \ne 0 \\ 0 & \text{ if} \, x = 0 \end{cases}[/latex] функция может не быть дифференцируемой в точке и более сложными способами.
2 + bx + c & \text{if} \, x < - 10 \\ -\frac{1}{4}x + \frac{5}{2} & \text{if} \, x \ge -10 \end{cases}[/latex], где [latex]x [/latex] и [latex]f(x)[/latex] указаны в дюймах. Чтобы вагон двигался по трассе плавно, функция [latex]f(x)[/latex] должна быть непрерывной и дифференцируемой при -10. Найдите значения [latex]b[/latex] и [latex]c[/latex], которые делают [latex]f(x)[/latex] непрерывными и дифференцируемыми. 92 & \text{if} \, x \ge 3 \end{cases}[/latex] обе непрерывны и дифференцируемы в 3.Показать решение
Производная функции сама по себе является функцией, поэтому мы можем найти производную производной. Например, производная функции положения — это скорость изменения положения или скорость. Производная скорости — это скорость изменения скорости, то есть ускорение. Новая функция, полученная дифференцированием производной, называется второй производной. Кроме того, мы можем продолжать брать производные, чтобы получить третью производную, четвертую производную и так далее.
В совокупности они обозначаются как 9{\prime}(x)=0[/латекс]. - Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она в этой точке непрерывна. Функция не является дифференцируемой в точке, если она не является непрерывной в этой точке, если она имеет в этой точке вертикальную касательную или если график имеет острый угол или точку возврата.
- Производные высшего порядка — это производные производных от второй производной до производной [latex]n\text{th}[/latex].
- Производная функция 92[/latex]
6. [latex]f(x)=\sqrt{2x}[/latex]
Показать решение
7. [латекс]f(x)=\sqrt{x-6}[/latex]
8. [латекс]f(x)=\frac{9}{x}[/latex ]
Показать решение
9. [латекс]f(x)=x+\frac{1}{x}[/latex]
10. [латекс]f(x)=\frac{1}{\sqrt{ x}}[/latex]
Показать решение
В следующих упражнениях используйте график [latex]y=f(x)[/latex] для построения графика его производной [latex]f^{\prime}(x)[/latex].
9h-1}{h}[/latex]Показать решение
Для следующих функций:
- набросок графика и
- используют определение производной, чтобы показать, что функция не является дифференцируемой в точке [latex]x=1[/latex].
21. [латекс]f(x)=\begin{case} 2\sqrt{x} & \text{if} \, 0 \le x \le 1 \\ 3x-1 & \text{if } \, x>1 \end{case}[/latex]
22. [latex]f(x)=\begin{cases} 3 & \text{if} \, x<1 \\ 3x & \text{if} \, x \ge 1 \end{cases}[/latex] 92+2 & \text{if} \, x \le 1 \\ x & \text{if} \, x>1 \end{cases}[/latex]
24. [latex]f(x )=\begin{case} 2x & \text{if} x \le 1 \\ \frac{2}{x} & \text{if} \, x>1 \end{cases}[/latex]
Показать решение
Для следующих графиков
- определите, для каких значений [latex]x=a[/latex] существует [latex]\underset{x\to a}{\lim}f(x)[/latex] но [latex]f[/latex] не является непрерывным в точке [latex]x=a[/latex], и
- определить, для каких значений [latex]x=a[/latex] функция непрерывна, но не дифференцируема при [latex]x=a[/latex].
9{\ prime} (x) = \ underset {h \ to 0} {\ lim} \ frac {f (x + h) -f (x)} {h} [/ латекс]
37. [latex]P(x)[/latex] обозначает население города в момент времени [latex]x[/latex] в годах.
38. [latex]C(x)[/latex] обозначает общую сумму денег (в тысячах долларов), потраченную на льготы [latex]x[/latex] клиентами в парке развлечений.
Показать решение
39. [латекс]R(x)[/латекс] обозначает общую стоимость (в тысячах долларов) производства [латекс]х[/латекс] радиочасов.
40. [latex]g(x)[/latex] обозначает оценку (в процентах), полученную за тест с учетом [latex]x[/latex] часов обучения.
Показать решение
41. [latex]B(x)[/latex] обозначает стоимость (в долларах) учебника по социологии в университетских книжных магазинах США в [latex]x[/latex] лет с 1990 года.
42.
[латекс]р(х)[/латекс] обозначает атмосферное давление на высоте [латекс]х[/латекс] футов.Показать решение 9{\prime}(t)[/latex] представляет и как оно ведет себя при увеличении [latex]t[/latex].
- Что говорит нам производная о том, как этот город пострадал от вспышки гриппа?
Показать решение
В следующих упражнениях используйте следующую таблицу, в которой показана высота [латекс]h[/латекс] ракеты Сатурн-5 для миссии Аполлон-11 [латекс]t[/латекс] через несколько секунд после запуска.
| Время (секунды) | Высота (метры) 9{\ простое число} (т) [/латекс]. Линейная, квадратичная или кубическая функция лучше всего соответствует данным?52. Используя наилучшую линейную, квадратичную и кубическую аппроксимацию данных, определите, что [латекс]H”(t), \, G”(t)[/латекс] и [латекс]F ”(t)[/latex] есть. Каков физический смысл [латекс]H”(t), \, G”(t)[/латекс] и [латекс]F”(t)[/латекс] и каковы их единицы измерения? Показать решение Глоссарий
2.6 Скорость изменения и производная – методы исчисления 1Скорость изменения и производная Когда мы введем понятие производной функции, мы увидим, что оно связано со знакомыми понятиями из алгебры, такими как наклон и скорость изменения. Нас часто интересует скорость изменений, таких как изменение численности населения, изменение концентрации лекарства в кровотоке, изменение дохода компании, изменение скорости автомобиля и т. д. Следующий пример позволяет нам исследовать скорость изменения скорости падающего объекта. Мгновенная скоростьПредположим, мы роняем помидор с крыши 100-футового здания и измеряем время его падения. Рисунок 2.48 Подробное описание: Каждая точка имеет измерение времени в секундах, соответственно как 0, 0,5, 1,0, 1,5, 2 и 2,5.
Некоторые вопросы требуют небольшого расчета:
Некоторые вопросы сложнее:
В целом, чем короче временной интервал, для которого мы вычисляем среднюю скорость, тем лучше средняя скорость будет аппроксимировать мгновенную скорость. Средняя скорость за интервал времени равна [latex]\dfrac{\Delta\text{position}}{\Delta\text{time}}[/latex], что представляет собой наклон секущей через две точки на график зависимости высоты от времени. Мгновенная скорость в определенное время и на определенной высоте представляет собой наклон касательной линии на графике в точке, заданной этим временем и высотой. Рисунок 2. 49 Подробное описание: На горизонтальной оси указано время в секундах. Вертикальная ось обозначена как высота в футах. Линия касается кривой в точке (0,5, 96) с меткой m = -24 фута/с. Пунктирная касательная показана в точке (1.0, 84) с меткой m = -40 ft/s. Средняя против мгновенной скоростиСредняя скорость = [латекс]\dfrac{\Delta\text{position}}{\Delta\text{время}}[/latex] = наклон секущей через 2 точки. Мгновенная скорость = наклон касательной к графику. Растущие бактерии Предположим, мы настроили машину для подсчета количества бактерий, растущих на чашке Петри. Сначала бактерий мало, поэтому популяция растет медленно. Затем нужно разделить больше бактерий, чтобы популяция росла быстрее. Позже для растущей популяции становится больше бактерий и меньше места и питательных веществ, поэтому популяция снова растет медленно. Наконец, бактерии израсходовали большую часть питательных веществ, и их популяция сокращается по мере того, как бактерии умирают. Рисунок 2.50 Подробное описание: Пик кривой приходится приблизительно на (13, 5). Кривая помечена как бактерии. Горизонтальная ось простирается от 0 до 20 со временем метки в днях. Вертикальная ось простирается от 0 до 5 с количеством меток в тысячах.
Подробное описание: Пик кривой приходится приблизительно на (13, 5). Кривая помечена как бактерии. Горизонтальная ось простирается от 0 до 20 со временем метки в днях. Вертикальная ось простирается от 0 до 5 с количеством меток в тысячах. Показана касательная, проходящая через (3, 500) с меткой касательной m = 320/день. Секущая проходит через точки (3, 500) и (10, 4500) с меткой секущей m = 570/сут. Касательные линииПопробуйте!График ниже представляет собой график [латекс]у=f(х)[/латекс]. Мы хотим найти наклон касательной в точке (1, 2). Рисунок 2.52Подробное описание: График начинается с (1, 0) и увеличивается до максимума в (0,8, 2,1). Затем график уменьшается и достигает минимума в точке (2, -1), а затем график увеличивается до точки (2,6, 0,3). Сначала проведите секущую между (1, 2) и (2, −1) и вычислите ее наклон. Примечание: секущая линия — это прямая линия, соединяющая две точки на кривой. Теперь нарисуйте секущую линию между (1, 2) и (1,5, 1) и вычислите ее наклон. Сравните две нарисованные линии. Что было бы лучшим приближением касательной к кривой в точке (1, 2)? Теперь проведите секущую между (1, 2) и (1,3, 1,5) и вычислите ее наклон. Является ли эта линия еще лучшим приближением касательной? Теперь нарисуйте наилучшую линию касательной и измерьте ее наклон. Вы видите закономерность на склонах? Вы должны были заметить, что по мере того, как интервал становился все меньше и меньше, секущая становилась ближе к касательной, а ее наклон приближался к наклону касательной. В некоторых приложениях нам нужно знать, где график функции [latex]f(x)[/latex] имеет горизонтальные касательные линии (наклоны = 0).
Пример 1Ниже приведен график [латекс]у = г(х)[/латекс]. При каких значениях [latex]x[/latex] график [latex]g(x)[/latex] имеет горизонтальные касательные? Рисунок 2.53 Подробное описание: График уменьшается, затем увеличивается, затем уменьшается, затем увеличивается, затем уменьшается. Мы могли бы оценить наклон [latex]L[/latex] по графику, но не будем. Вместо этого мы воспользуемся идеей, что секущие через крошечные промежутки приближаются к касательной. Рис. 2.54 (a) Подробное описание: ось x проходит от -1 до 3, а ось y проходит от 0 до 10. Мы видим, что линия, проходящая через (2,4) и (3,9) на графике [latex]f[/latex] является аппроксимацией наклона касательной, и мы можем вычислить этот наклон точно : [латекс] м = \ гидроразрыва {\ Delta y} {\ Delta x} = \ гидроразрыва {9-4} {3-2} = 5 [/латекс]. Но [latex]m = 5[/latex] — это всего лишь оценка наклона касательной, а не очень хорошая оценка. Это слишком большое. Мы можем получить лучшую оценку, выбрав вторую точку на графике [latex]f[/latex], которая ближе к (2,4) — точка (2,4) фиксирована и должна быть одной из точек мы используем. Из второго рисунка видно, что наклон прямой, проходящей через точки (2,4) и (2,5,6,25), является лучшим приближением наклона касательной в точках (2,4): [латекс ]m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{6,25 – 4}{2,5 – 2} = \frac{2,25}{0,5} = 4,5[/latex], лучшая оценка, но все же приближение. Мы можем легко вычислить этот предел с помощью прямой подстановки, обнаружив, что по мере того, как интервал [latex]h[/latex] сжимается до 0, наклон секущей приближается к наклону касательной, 4. Задача касательной прямой и мгновенная проблема скорости – это та же проблема. В каждой задаче мы хотели знать, насколько быстро что-то было меняется в момент времени , а ответом оказалось нахождение наклона касательной , которую мы аппроксимировали наклоном секущей .
ПроизводнаяМы можем рассматривать производную по-разному. Вот три из них:
Обозначение производнойПроизводная [латекс]у = f(x)[/латекс] по отношению к [латекс]х[/латекс] записывается как \[f'(x)\] ( читать вслух как «[latex]f[/latex] prime of [latex]x[/latex]») или \[y’\] (читать вслух как «почему Prime») или \[\frac{dy}{ dx}\] (читается вслух как «ди почему ди экс») или \[\frac{df}{dx}.\] Обозначение, похожее на дробь, называется Обозначение Лейбница .
Глагольные формыМы находим производную функции, или взять производную функции, или продифференцировать функцию. Мы используем адаптацию нотации [latex]\frac{df}{dx}[/latex] для обозначения «найти производную от [latex]f(x)[/latex]:» \[\frac{d }{dx}\left[f(x)\right]=\frac{df}{dx}.\] [В книге используются круглые скобки вместо квадратных скобок — обе формы записи допустимы.]
Формальная алгебраическая Определение\[f'(x)=\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\] Практическое определение Производную можно аппроксимировать, глядя на среднюю скорость изменения или наклон секущей на очень маленьком интервале.
Взгляд в будущееВскоре у нас будут методы для вычисления точных значений производных по формулам. Если функция дана вам в виде таблицы или графика, вам все равно придется аппроксимировать таким образом.
Это основа нашего обсуждения деривативов. Примечательно, что такая простая идея (наклон касательной) и такое простое определение (для производной [латекс]f'(x)[/латекс]) приведут к столь многим важным идеям и приложениям.
Пример 3Найдите наклон касательной к [latex]f(x)=\frac{1}{x}[/latex] при [latex]x = 3[/latex]. Наклон касательной представляет собой значение производной [latex]f'(3)[/latex]. [latex]f(3)=\frac{1}{3}[/latex] и [latex]f(3+h)=\frac{1}{3+h}[/latex], поэтому, используя формальное предельное определение производной, \[ f'(3)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\lim\limits_{h \to 0}\frac{\frac{1}{3+h}-\frac{1}{3}}{h}. Мы можем упростить, приведя дроби к общему знаменателю: Таким образом, наклон касательной к [ латекс]f(x)=\frac{1}{x}[/latex] при [latex]x = 3[/latex] равно [latex]-\frac{1}{9}[/latex]. Производная как функция Теперь мы знаем, как найти (или хотя бы приблизительно) производную функции для любого [latex]x[/latex]-значения; это означает, что мы также можем думать о производной как о функции.
Пример 4Ниже приведен график функции [latex]y=f(x)[/latex]. Мы можем использовать информацию на графике, чтобы заполнить таблицу со значениями [latex]f'(x):[/latex] Рис. 2.57 -ось простирается от 0 до 2. Максимум достигается в (1,1), а минимум достигается в (3, -1).
Мы также можем оценить значения [латекс]f'(x)[/латекс] при некоторых нецелочисленных значениях [латекс]х[/латекс]: [латекс]f'(0,5) \приблизительно 0,5[/латекс] и [латекс]f'(1,3) \приблизительно -0,3[/латекс]. Мы можем думать даже о целых интервалах. Например, если [латекс]0 \lt x \lt 1[/латекс], то [латекс]f(x)[/латекс] возрастает, все наклоны положительны, и поэтому [латекс]f'(x) [/латекс] положительный. Значения [latex]f'(x)[/latex] определенно зависят от значений [latex]x[/latex], а [latex]f'(x)[/latex] является функцией [ латекс]х[/латекс]. Мы можем использовать результаты в таблице, чтобы набросать график [latex]f'(x). Подробное описание: Ось x простирается от 0 до 5, а ось Y простирается от -1 до 2. Метка на графике m(x) = наклон f(x).
Пример 5Показан график высоты [латекс]h(t)[/латекс] ракеты в момент времени [латекс]t[/латекс]. Рис. 2.59 Подробное описание: Ось X простирается от 0 до 10 и помечена как время в секундах. Вертикальная ось простирается от 0 до 300 и отмечена высотой в футах. График начинается с (0, 0) и достигает максимума в (5, 300), а затем уменьшается. Подробное описание: Верхний график показывает, что сначала увеличивается, а затем уменьшается. Обратите внимание, что производная зависит от [латекс] x,[/latex] и что эта формула сообщит нам наклон касательной к [latex]f[/latex] при любом значении [latex]x[/latex]. Например, если бы мы хотели узнать наклон касательной [латекс]f[/латекс] при [латекс]х = 3[/латекс], мы просто вычислили бы: [латекс]f'(3)=4(3) -4=8[/латекс]. Формула для производной функции очень мощная, но, как вы можете видеть, вычисление производной с использованием определения предела занимает очень много времени. Интерпретация производнойДо сих пор мы подчеркивали производную как наклон линии, касательной к графику. Эта интерпретация очень наглядна и полезна при изучении графика функции, и мы продолжим ее использовать. Однако производные используются в самых разных областях и приложениях, и в некоторых из этих областей используются другие интерпретации. Ниже приведены несколько интерпретаций производной, которые обычно используются.
Общее Скорость изменения: [latex]f ‘(x)[/latex] — это скорость изменения функции в [latex]x[/latex]. Если единицами для [latex]x[/latex] являются годы, а единицами для [latex]f(x)[/latex] являются люди, то единицы для [latex]\frac{df}{dx}[/latex ] представляют собой [латекс]\frac{\text{люди}}{\text{год}}[/латекс], скорость изменения численности населения.
ГрафическийНаклон: [латекс]f ‘(x)[/латекс] — это наклон линии, касательной к графику [латекс]f[/латекс] в точке [латекс]( х, f(x))[/латекс] .
ФизическаяСкорость: Если [latex]f(x)[/latex] — это положение объекта в момент времени [latex]x[/latex], то [latex]f ‘(x)[/latex] ] — это скорость объекта в момент времени [latex]x[/latex]. Если единицами измерения [latex]x[/latex] являются часы, а [latex]f(x)[/latex] — расстояние, измеренное в милях, то единицы измерения для [latex]f ‘(x) = \frac{df} {dx}[/latex] — [латекс]\frac{\text{миль}}{\текст{час}}[/латекс], миль в час, что является мерой скорости.
Ускорение: если [latex]f(x)[/latex] — это скорость объекта в момент времени [latex]x[/latex], то [latex]f ‘(x)[/latex] — это ускорение объекта в момент времени [latex]x[/latex]. Если единицами измерения для [латекс]х[/латекс] являются часы, а [латекс]f(х)[/латекс] имеет единицы измерения [латекс]\фракция{\текст{мили}}{\текст{час}}[ /латекс], то единицы измерения ускорения [латекс]f ‘(x) = \frac{df}{dx}[/latex] равны [латекс]\frac{\text{мили/час}}{\text{ час}} =\frac{\text{миль}}{\текст{час}^2}[/латекс], мили в час в час.
БизнесПредельные затраты, предельный доход и предельная прибыль: мы рассмотрим эти термины более подробно позже в этом разделе. По сути, предельные затраты составляют примерно 90 569 дополнительных 90 570 затрат на создание еще одного объекта после того, как мы уже создали [латекс]x[/латекс] объектов. Если единицами измерения [латекс]x[/латекс] являются велосипеды, а единицами измерения [латекс]f(x)[/латекс] являются доллары, то единицы измерения [латекс]f ‘(x) = \frac{df} {dx}[/latex] равны [латекс]\frac{\text{доллары}}{\text{велосипед}}[/латекс], стоимость одного велосипеда. В бизнес-контексте слово « предельный » обычно означает производную или скорость изменения некоторой величины. Одной из сильных сторон исчисления является то, что оно обеспечивает единство и экономию идей среди различных приложений. Словарь и задачи могут быть разными, но идеи и даже обозначения исчисления по-прежнему полезны.
Пример 7 Предположим, что кривая спроса на виджеты имеет вид [latex]D(p)=\frac{1}{p}[/latex], где [latex]D[/latex] — количество виджетов тысячами по цене [латекс]п[/латекс] долларов. |
|---|
5 \text{ s}}=-40 \text{ ft/s}\]
Средняя скорость между [латекс]t = 0,5[/латекс] и [латекс]t = 1[/латекс] составляет [латекс]\dfrac{-12\text{ футов}}{0,5\текст{с}} = – 24\text{ футов/с}[/latex], а средняя скорость между [latex]t = 1[/latex] и [latex]t = 1,5[/latex] равна [latex]\dfrac{-20\text { футов}}{0,5\текст{ с}} = -40\текст{ фут/с}[/латекс], поэтому мы можем быть достаточно уверены, что мгновенная скорость находится между -24 фут/с и -40 фут/с.
Это хорошая новость — мы знаем, как найти наклон секущей.
Показана касательная, проходящая через (2, 4). Показана секущая, проходящая через (2, 4) и (3, 9) с меткой m = 5.
2[/латекс], наклоны линий, проходящих через точки и (2,4), становятся лучше. аппроксимации наклона касательной, и эти наклоны все ближе и ближе к 4,92 \справа)[/латекс]. По мере того, как [latex]h[/latex] становится все меньше и меньше, этот наклон приближается к наклону касательной к графику [latex]f[/latex] в точке (2,4). Более формально мы могли бы написать: \ [\text{Наклон касательной} = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{h\to 0} (4+h). \]
Эта идея является ключом к определению наклона кривой.
Чем меньше интервал, тем ближе он к истинной мгновенной скорости изменения, наклону касательной или наклону кривой.
\]
Входные данные те же самые [latex]x[/latex]; вывод представляет собой значение производной при этом значении [latex]x[/latex].
[/latex]
Ось X простирается от 0 до 10. Вертикальная ось проходит от 0 до 300 и обозначается как рост в футах. График начинается с (0, 0) и достигает максимума в (5, 300), а затем уменьшается. На нижнем графике показана убывающая линия, проходящая через (5, 0). Вертикальная ось отмечена как скорость в футах в секунду. 92-4h}{h} \qquad \text{(Теперь упростим.)}\\ 
В следующем разделе мы определим некоторые шаблоны, которые позволят нам начать создавать набор правил для поиска производных без необходимости определения предела.
