Понятие предела: Понятие предела числовой последовательности. Алгебра, 10 класс: уроки, тесты, задания.

5.07.1 Понятие предела функции

Пусть функция определена на некотором промежутке и – предельная точка для множества . Возьмем из последовательность точек, отличных от :

(2)

Сходящуюся к . Значения функции в точках этой последовательности тоже образуют числовую последовательность

, (3)

Которая может оказаться сходящейся или расходящейся. Поскольку выбор последовательности (2) ничем не обусловлен, кроме того только, чтобы она сходилась к точке , то ее можно составлять различными способами. Соответственно и последовательностей (3) можно составить сколько угодно. Если все последовательности (3) имеют своим пределом одно и то же число , то говорят, что функция имеет в точке предел, равный .

Если же хотя бы одна из последовательностей (3) имеет предел, отличный от , или вообще не имеет предела, то говорят, что в точке функция предела не имеет.

Дадим теперь строгое определение предела функции в точке «на языке последовательностей».

Определение.

(По Гейне). Число называется пределом функции в точке , если для любой последовательности точек из области определения функции, отличных от , сходящейся к точке (), последовательность соответствующих значений функции сходится к числу .

Обозначают: , или при .

Существует другое определение предела функции в точке, которое называют определением «на языке » или определением «на языке неравенств». Оно принадлежит Коши.

Определение. (По Коши). Число называется пределом в точке , если для любого , найдется такое число , что для всех , , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Определения по Коши и по Гейне эквивалентны (то есть одно следует из другого), поэтому можно пользоваться любым из них.

Пример 1. По определению предела доказать, что функция имеет в точке предел, равный . Каково должно быть , если равно 1, и ?

Решение. Возьмем любое . Задача состоит в том, чтобы по этому найти такое , при котором из неравенства следовало бы неравенство . Преобразуем последнее неравенство к виду или . Отсюда видно, что можно взять . В частности, если , то ; если , то ; если , то .

Пример 2. Пользуясь определением предела, показать, что .

Решение.

Пусть произвольное положительное число. Найдем такое число (разумеется оно будет зависеть от ), чтобы для всех , удовлетворяющих неравенству , выполнялось неравенство . Преобразуем . Используя неравенство , оценим : . Следовательно, . Для выполнения неравенства достаточно потребовать, чтобы , то есть чтобы . Отсюда (второй корень уравнения равный отбрасываем, так как ).

Пример 3. Пользуясь определением предела функции в точке, доказать, что .

Решение. Воспользуемся определением предела функции «на языке последовательностей». Пусть – произвольная последовательность значений , сходящаяся к 2, то есть . Тогда и . По теореме о пределе суммы получим:

.

Определение. (бесконечный предел). Говорят, что функция имеет в точке бесконечный предел, если для любого найдется такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Обозначается или при .

Аналогично определяются и соотношения и .

Определение. (предел функции на бесконечности). Число называется пределом функции при , если для любого найдется такое вещественное число , что для всех .

Пример 4. Пользуясь определением предела функции на бесконечности, доказать, что .

Решение. Возьмем произвольное и определим значения , для которых выполняется неравенство

. (*)

Так как при любом , то неравенство (*) можно переписать так: , или . Логарифмируя по основанию , получим: , откуда . Если за взять число , то для всех будет , следовательно, .

Предлагаем читателю самостоятельно сформулировать на языке неравенств определения пределов: , , , , .

< Предыдущая   Следующая >

Методическая разработка на тему: “Понятие предела функции” | Методическая разработка:

Министерство сельского хозяйства и продовольствия Самарской области

государственное бюджетное  профессиональное образовательное учреждение

Самарской области

 «Борский государственный техникум»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА УРОКА

по предмету: ОУП. 03 «Математика» и ЕН.01 «Математика»

На тему: «Понятие предела функции»

Подготовила:

Ромаева Н. С. – преподаватель

математики

с. Борское, 2019 г.


Пояснительная записка.

Трудно назвать научную область, в которой бы не применялись математические методы изучения реальных объектов и процессов. Одним из важнейших разделов математики, используемых для описания и решения прикладных задач, является математический анализ. Примеры практических задач, дают нам ясное представление о значимости производной в области физики, геометрии, механики, биологии и экономики. Решение прикладных задач имеет большое воспитательное значение, так как воспитывает умение распознать то или иное математическое понятие в различных ситуациях и позволяет знакомить учащихся с математическим моделированием как методом научного познания окружающего мира.

В структуре изучаемой дисциплины ОУП.03 Математика, а также ЕН.01 Математика выделяется следующий раздел: «Математический анализ». Содержание раздела включает тему урока «Понятие предела функции».

В результате изучения данной темы студент должен

Знать:

-определение предела функции в точке;

-методы нахождения предела функции в точке;

-принципы раскрытия неопределенностей разного типа;

Уметь:

-находить предел функции в точке;

-определять определенности;

-применять методы раскрытия неопределенностей и вычисления предела функции в точке.


Тема урока: Предел функции в точке.

Цели урока:

  • Образовательные:
  • ввести понятие предела числа, предела функции;
  • дать понятия о видах неопределенности;
  • научиться вычислять пределы функции;
  • систематизировать полученные знания, активизировать самоконтроль, взаимоконтроль.
  • Развивающие:
  • уметь применять полученные знания для вычисления пределов.
  • развивать  математическое мышление.
  • Воспитательная: воспитать интерес к математике и к дисциплинам умственного труда.

Формы работы учащихся:  фронтальная, индивидуальная

Необходимое оборудование:  интерактивная доска, мультимедиа проектор, карточки с устными и подготовительными упражнениями.

ВВЕДЕНИЕ

Методическая разработка предназначена для изучения математики алгоритмическими методами.

В данной методичке систематизируются понятия предела и непрерывности функций в точке. Повторяются и углубляются знания по данной теме.

Теоретический материал разработки изложен в доступной форме, приводится достаточное количество примеров, что способствует лучшему усвоению учебного материала.

Методическая разработка предназначена для студентов техникума I-II курсов.


Ознакомление с теорией предела функции. Подготовительные упражнения.

1. Предел функции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.
Записывается предел следующим образом  .

Вычислим предел: 
Подставляем вместо х – 3.
Заметим, что предел числа равен самому числу.

Примеры: вычислите пределы 

Если в некоторой точке области определения функции существует предел и этот предел равен значению функции в данной точке, то функция называется непрерывной (в данной точке).

Вычислим значение функции в точке x0 = 3 и значение его предела в этой точке.

Значение предела и значение функции в этой точке совпадает, следовательно, функция непрерывна в точке x0 = 3.

Но при вычислении пределов зачастую появляются выражения, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределённостями.

Основные виды неопределенностей:  

2. Раскрытие неопределенностей

Для раскрытия неопределенностей используют следующее:

  • упрощают выражение функции: раскладывают на множители, преобразовывают функцию с помощью формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, домножают на сопряженное, что позволяет в дальнейшем сократить и т. д., и т.п.;
  • если предел при раскрытии неопределенностей существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению, если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.

Пример: вычислим предел.
Разложим числитель на множители 

3. Вычисление пределов функции

 Пример 1. Вычислите предел функции: 

При прямой подстановке, получается неопределенность:

Разложим на множители числитель и знаменатель и вычислим предел.

Пример 2. Вычислите предел функции: 

При прямой подстановке, получается неопределенность.

Помножим и числитель,  и знаменатель на .

Учтем, что если число разделить на бесконечно большое число получится ноль. То есть предел Аналогично  

Пример 3. Вычислите предел функции: 

При прямой подстановке, получается неопределенность.

Помножим и числитель,  и знаменатель на .

Мы учли, что 

4. Самостоятельные упражнения

Вычислите пределы:

1)               2)  

3)      4)  

5)              6)  

7)                 8) ;

9)                10)  

11)       12)  

5. Подведение итогов урока

Данный урок первый  по теме: «Предел функции». На уроке рассмотрены способы нахождения пределов. Разобрано что такое неопределенность, как раскрывать неопределенности. Надо заметить, что есть пределы, для которых невозможно найти числовое значение.

6. Домашнее задание


ЛИТЕРАТУРА

Основная

  1. Башмаков М.И. Математика. – М.: Издательский центр «Академия», 2014.
  2. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов (на базе средней школы). – М.: Наука, 1980.
  3. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – М.: АСТ, 2006.
  4. Алгебра и начало анализа, I и П ч. /Под редакцией Г.Н.Яковлева. – М.: Наука, 1978.
  5. Геометрия, ч. I. /Под редакцией Г.Н.Яковлева. – М.: Наука, 1977.
  6. Яремчук Ф.П., Руденко П.А. Алгебра и элементарные функции (справочник). – Киев: Наукова думка, 1976.

Дополнительная

  1. Курс математики для техникумов, ч. I и П. /Под ред. Н.М.Матвеева. – М.: Наука, 1977.
  2. Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов.- М.: Наука, 1972.
  3. Калкин Р.А. Алгебра и элементарные функции. – М.: Наука, 1969.

Важный предел – концепция

Важный предел в исчислении, который играет центральную роль в нахождении производных экспоненциальных функций, включает в себя нахождение предела, когда h приближается к 0 специальной функции. Этот предел, один из немногих важных пределов

исчисления, представляет собой функцию натурального логарифма. Функция полезна в исчислении, потому что производная натурального логарифма имеет очень простую форму.

пределы натуральный логарифм численное приближение

Нам нужен очень важный результат, прежде чем мы сможем продолжить разговор о производных экспоненциальных функций и об этом пределе. Итак, предположим, что a — некоторое положительное число, некоторая константа.

Я хочу узнать, каким будет значение этого предела. Это будет отличаться для каждого другого значения. Один из способов сделать это — сделать наблюдение, что этот предел будет казаться примерно равным самому другому частному, пока h выбрано достаточно малым, потому что я беру предел, когда h приближается к нулю. Итак, скажем, например, я выбираю h как я не знаю 0,1, a как 0,1 минус 1 больше 0,1, это то, о чем я думаю. Это разумное приближение для этого предела, и еще лучше было бы использовать меньшее значение h, например 0,01 здесь и здесь. Вот что мы собираемся сделать, и я хочу конкретно рассмотреть этот предел, когда а равно 2 и когда а равно 3, так что прямо сейчас мы собираемся сравнить на ti84 предел, когда h приближается к нулю 2 к h минус 1 по h и ln 2. Предел, когда h приближается к нулю 3 к h минус 1 по h и ln 3. Итак, обратите внимание, что эти числа одинаковы, я хочу посмотреть, как эти значения сравниваются. Итак, давайте посмотрим на это на TI-84.
Хорошо, мы смотрим на TI-84. Помните, что первое, на что мы хотели обратить внимание, это предел, когда h приближается к нулю от 2 до h минус 1 над h. Итак, я собираюсь ввести 2 к h, и мне нужно использовать альфа-карат, который равен h минус 1, а затем разделить на h, то есть разделить на альфа-карат. Хорошо, и это 2 к h минус 1 вместо h, давайте нажмем Enter, это равно 1. Теперь я на самом деле не указал, что такое значение h, поэтому, вероятно, он использует любое сохраненное значение h, которое у него было до того, как я начал. Итак, давайте на самом деле посмотрим, каково значение h, это 1, это довольно хорошо, но мне действительно нужно, чтобы h стало равным нулю, поэтому мне нужно что-то меньшее. Давайте попробуем сохранить 0,1, поэтому вы просто вводите это число, а затем нажимаете кнопку «Сохранить», сохраняете, а затем альфа-карат, это h. Итак, я сохраняю 0,1 как h и ввожу, а затем вместо того, чтобы вводить все это выражение снова и снова, я делаю вторую запись, вторую запись, и вы просто продолжаете нажимать вторую запись, и она идет назад по записям, которые вы только что ввели.
выполнено, теперь нажмите это снова, и теперь обратите внимание, что я получаю 0,7177, теперь это новое значение другого частного для h равно 0,1.
Теперь давайте сделаем это снова, давайте уменьшим значение h, чтобы я дважды ввел вторую запись, чтобы вернуться к этой команде. Итак, позвольте мне вернуться, а затем я собираюсь вставить вторую вставку с нулем. Итак, теперь это 0,01, которое устанавливается, когда h нажимает ввод, а затем нажимает вторую запись, вторую запись, теперь давайте снова выполним это разностное частное 0,69555, теперь помните, я пытаюсь выяснить, к какому пределу это приближается, когда h становится маленьким. Итак, давайте позволим h становиться все меньше и меньше, пока мы не увидим какое-то ограничивающее поведение, поэтому вторая запись, снова нажмите вторую запись. Теперь я собираюсь сделать это 0,000, поэтому вторая вставка еще одна 0, теперь у нас есть одна тысячная, а затем снова вторая запись, вторая запись снова другое частное выполнить 0,693. Хорошо, это довольно хорошо 0,693, кажется, что на данный момент оно сходится к ближайшим 100.
Итак, похоже, что значение будет около 0,693, теперь мы должны сравнить это значение с натуральным логарифмом 2.
Теперь это также около 0,693, так что интересно, что они очень похожи друг на друга. И оказывается, что есть одно и то же, если довести h до нуля, то это значение будет в точности равно ln2. Теперь я также хотел сделать то же самое для 3, поэтому нажмите вторую запись, вторую запись еще раз, я все еще помню, что у меня h равно 0,001, все, что мне нужно сделать, это перейти и изменить это с 3 на h. Итак, просто введите 3, введите, так что помните, что h равно 0,001, я получаю 1,09.9 давайте посмотрим, что такое ln3, ln3 тоже, если округлить до ближайшей тысячи, тоже 1,099. Получается, что это количество всегда будет равняться натуральному логарифму этого числа.
Давайте вернемся к доске, хорошо, так что же мы только что узнали? Мы узнали, что эти 2 выражения на самом деле равны, предел, когда h приближается к нулю от 2 до h минус 1 над h, равен ln2. Предел, когда h приближается к нулю от 3 до h минус 1 по h, равен ln3, и в общем случае предел по мере приближения h к нулю от a до h минус 1 по h равен натуральному логарифму этого числа a.

Основы лимита. концепция, изменившая мир | Фикри Мульяна Сетиаван | Упрощенная математика

Исчисление для всех

Концепция, изменившая мир

По сути, значение предела в математике такое же, как и значение предела в реальном мире. Ограничение означает границу. Что это значит?

Напомню, что в функции f(x)=2x+3 x называется доменом, а 2x+3 называется кодоменом. Теперь, в понятии предела, мы ограничиваем значение x (домен) до значения , назовем его значением «a». Почему просто подойти? Почему бы нам просто не написать x=a? Это связано с тем, что в некоторых задачах по математике и физике иногда мы не можем подставить значение «а» в переменную х. По какой-то причине иногда мы можем вычислить только значение функции, значение x которой близко к значению «a». Что такое пример? Попробуйте решить следующие вопросы!

Если вы вычислите его правильно, вы найдете результат y = 0/0 , что означает, что результат не определен. Правда, результат не определен. Ну, вот где работает концепция ограничений. Мы не можем вычислить значение y, когда x = 1, но мы можем вычислить значение y, когда x приближается к 1. Слово «приближение» здесь означает, что значение x очень близко к 1. Можно интерпретировать, что значение x, приближающееся к 1, равно 0,9999999999… или 1,0000000000000001. Оба значения настолько близки к 1, что представляют собой значение y, когда x равно 1.

На графике выше мы все еще можем видеть значение y при x=1, потому что это значение является предельным значением, а именно предел y, когда x приближается к 1. Значение y=2 не является точным значением, когда x=1. Когда x=1, значение y все еще не определено, но мы можем использовать предельное значение.

Мы не можем сказать, что значение y = 2, когда x = 1, потому что на самом деле значение y не определено, когда x = 1. Однако мы знаем, что когда значение x очень близко к 1, то значение y очень близко к 2. Чтобы выразить это, математики используют понятие предела. Таким образом, приведенное выше утверждение может быть выражено следующим образом:

Предельное значение y при приближении x к 1 равно 2

Мы можем записать это утверждение следующим образом:

Lim означает предел. x -> 1 означает “значение x близко к 1”. Вот общая форма предельной концепции:

Приведенное выше уравнение означает «предельное значение f(x) при приближении x к значению a равно k ». k здесь может быть константой или полиномом.

Есть условие, что предел f(x) при x=a равен k , то есть левый предел и правый предел должны совпадать.

Левый предел — это значение y, когда x приближается к и слева. Например, a=1, тогда левым пределом является значение y [f(x)], когда x приближается к 1 слева, т. е. x=0,9999999999….

Правый предел представляет собой значение y, когда x приближается к и справа. В приведенном выше примере правый предел — это значение y, когда x приближается к 1 справа, т. е. y = 2,000000…..1, а левый предел — это значение y, когда x приближается к 1 слева, т. е. y = 1.9999999…

Может быть, будет проще понять, если мы посмотрим на график напрямую. Взгляните на следующий график:

Понятие предела используется в производных и интегралах, использующих понятие «малых частей». Ладно, может быть, вы не понимаете, поэтому я приведу вам еще один пример. Вы когда-нибудь читали мой пост «, можете ли вы решить эту загадку? — Парадокс Зенона »?. В этой статье я косвенно использую понятие предела, который является пределом для x, стремящегося к бесконечности

  1. Подстановка. Для предела f(x) для x, близкого к a , мы можем вычислить значение предела, непосредственно заменив x=a так, чтобы предельное значение было f(a).
  2. Бывают случаи, когда замена невозможна. Например, в предельной задаче (x²-1)/(x-1) для x близко к 1.

Оставить комментарий