Понятие предела: Понятие предела числовой последовательности. Алгебра, 10 класс: уроки, тесты, задания.

5.07.1 Понятие предела функции

Пусть функция определена на некотором промежутке и – предельная точка для множества . Возьмем из последовательность точек, отличных от :

(2)

Сходящуюся к . Значения функции в точках этой последовательности тоже образуют числовую последовательность

, (3)

Которая может оказаться сходящейся или расходящейся. Поскольку выбор последовательности (2) ничем не обусловлен, кроме того только, чтобы она сходилась к точке , то ее можно составлять различными способами. Соответственно и последовательностей (3) можно составить сколько угодно. Если все последовательности (3) имеют своим пределом одно и то же число , то говорят, что функция имеет в точке предел, равный .

Если же хотя бы одна из последовательностей (3) имеет предел, отличный от , или вообще не имеет предела, то говорят, что в точке функция предела не имеет.

Дадим теперь строгое определение предела функции в точке «на языке последовательностей».

Определение.

(По Гейне). Число называется пределом функции в точке , если для любой последовательности точек из области определения функции, отличных от , сходящейся к точке (), последовательность соответствующих значений функции сходится к числу .

Обозначают: , или при .

Существует другое определение предела функции в точке, которое называют определением «на языке » или определением «на языке неравенств». Оно принадлежит Коши.

Определение. (По Коши). Число называется пределом в точке , если для любого , найдется такое число , что для всех , , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Определения по Коши и по Гейне эквивалентны (то есть одно следует из другого), поэтому можно пользоваться любым из них.

Пример 1. По определению предела доказать, что функция имеет в точке предел, равный . Каково должно быть , если равно 1, и ?

Решение. Возьмем любое . Задача состоит в том, чтобы по этому найти такое , при котором из неравенства следовало бы неравенство . Преобразуем последнее неравенство к виду или . Отсюда видно, что можно взять . В частности, если , то ; если , то ; если , то .

Пример 2. Пользуясь определением предела, показать, что .

Решение.

Пусть произвольное положительное число. Найдем такое число (разумеется оно будет зависеть от ), чтобы для всех , удовлетворяющих неравенству , выполнялось неравенство . Преобразуем . Используя неравенство , оценим : . Следовательно, . Для выполнения неравенства достаточно потребовать, чтобы , то есть чтобы . Отсюда (второй корень уравнения равный отбрасываем, так как ).

Пример 3. Пользуясь определением предела функции в точке, доказать, что .

Решение. Воспользуемся определением предела функции «на языке последовательностей». Пусть – произвольная последовательность значений , сходящаяся к 2, то есть . Тогда и . По теореме о пределе суммы получим:

.

Определение. (бесконечный предел). Говорят, что функция имеет в точке бесконечный предел, если для любого найдется такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Обозначается или при .

Аналогично определяются и соотношения и .

Определение. (предел функции на бесконечности). Число называется пределом функции при , если для любого найдется такое вещественное число , что для всех .

Пример 4. Пользуясь определением предела функции на бесконечности, доказать, что .

Решение. Возьмем произвольное и определим значения , для которых выполняется неравенство

. (*)

Так как при любом , то неравенство (*) можно переписать так: , или . Логарифмируя по основанию , получим: , откуда . Если за взять число , то для всех будет , следовательно, .

Предлагаем читателю самостоятельно сформулировать на языке неравенств определения пределов: , , , , .

< Предыдущая		Следующая >

Методическая разработка на тему: “Понятие предела функции” | Методическая разработка:

Министерство сельского хозяйства и продовольствия Самарской области

государственное бюджетное  профессиональное образовательное учреждение

Самарской области

 «Борский государственный техникум»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА УРОКА

по предмету: ОУП. 03 «Математика» и ЕН.01 «Математика»

На тему: «Понятие предела функции»

Подготовила:

Ромаева Н. С. – преподаватель

математики

с. Борское, 2019 г.

---

Пояснительная записка.

Трудно назвать научную область, в которой бы не применялись математические методы изучения реальных объектов и процессов. Одним из важнейших разделов математики, используемых для описания и решения прикладных задач, является математический анализ. Примеры практических задач, дают нам ясное представление о значимости производной в области физики, геометрии, механики, биологии и экономики. Решение прикладных задач имеет большое воспитательное значение, так как воспитывает умение распознать то или иное математическое понятие в различных ситуациях и позволяет знакомить учащихся с математическим моделированием как методом научного познания окружающего мира.

В структуре изучаемой дисциплины ОУП.03 Математика, а также ЕН.01 Математика выделяется следующий раздел: «Математический анализ». Содержание раздела включает тему урока «Понятие предела функции».

В результате изучения данной темы студент должен

Знать:

-определение предела функции в точке;

-методы нахождения предела функции в точке;

-принципы раскрытия неопределенностей разного типа;

Уметь:

-находить предел функции в точке;

-определять определенности;

-применять методы раскрытия неопределенностей и вычисления предела функции в точке.

---

Тема урока: Предел функции в точке.

Цели урока:

• Образовательные:

• ввести понятие предела числа, предела функции;
• дать понятия о видах неопределенности;
• научиться вычислять пределы функции;
• систематизировать полученные знания, активизировать самоконтроль, взаимоконтроль.

• Развивающие:

• уметь применять полученные знания для вычисления пределов.
• развивать  математическое мышление.

• Воспитательная: воспитать интерес к математике и к дисциплинам умственного труда.

Формы работы учащихся:  фронтальная, индивидуальная

Необходимое оборудование:  интерактивная доска, мультимедиа проектор, карточки с устными и подготовительными упражнениями.

ВВЕДЕНИЕ

Методическая разработка предназначена для изучения математики алгоритмическими методами.

В данной методичке систематизируются понятия предела и непрерывности функций в точке. Повторяются и углубляются знания по данной теме.

Теоретический материал разработки изложен в доступной форме, приводится достаточное количество примеров, что способствует лучшему усвоению учебного материала.

Методическая разработка предназначена для студентов техникума I-II курсов.

---

Ознакомление с теорией предела функции. Подготовительные упражнения.

1. Предел функции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.
Записывается предел следующим образом  .

Вычислим предел: 
Подставляем вместо х – 3.
Заметим, что предел числа равен самому числу.

Примеры: вычислите пределы 

Если в некоторой точке области определения функции существует предел и этот предел равен значению функции в данной точке, то функция называется непрерывной (в данной точке).

Вычислим значение функции в точке x0 = 3 и значение его предела в этой точке.

Значение предела и значение функции в этой точке совпадает, следовательно, функция непрерывна в точке x0 = 3.

Но при вычислении пределов зачастую появляются выражения, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределённостями.

Основные виды неопределенностей:  

2. Раскрытие неопределенностей

Для раскрытия неопределенностей используют следующее:

• упрощают выражение функции: раскладывают на множители, преобразовывают функцию с помощью формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, домножают на сопряженное, что позволяет в дальнейшем сократить и т. д., и т.п.;
• если предел при раскрытии неопределенностей существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению, если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.

Пример: вычислим предел.
Разложим числитель на множители 

3. Вычисление пределов функции

 Пример 1. Вычислите предел функции: 

При прямой подстановке, получается неопределенность:

Разложим на множители числитель и знаменатель и вычислим предел.

Пример 2. Вычислите предел функции: 

При прямой подстановке, получается неопределенность.

Помножим и числитель,  и знаменатель на .

Учтем, что если число разделить на бесконечно большое число получится ноль. То есть предел Аналогично  

Пример 3. Вычислите предел функции: 

При прямой подстановке, получается неопределенность.

Помножим и числитель,  и знаменатель на .

Мы учли, что 

4. Самостоятельные упражнения

Вычислите пределы:

1)               2)  

3)      4)  

5)              6)  

7)                 8) ;

9)                10)  

11)       12)  

5. Подведение итогов урока

Данный урок первый  по теме: «Предел функции». На уроке рассмотрены способы нахождения пределов. Разобрано что такое неопределенность, как раскрывать неопределенности. Надо заметить, что есть пределы, для которых невозможно найти числовое значение.

6. Домашнее задание

---

ЛИТЕРАТУРА

Основная

1. Башмаков М.И. Математика. – М.: Издательский центр «Академия», 2014.
2. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов (на базе средней школы). – М.: Наука, 1980.
3. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – М.: АСТ, 2006.
4. Алгебра и начало анализа, I и П ч. /Под редакцией Г.Н.Яковлева. – М.: Наука, 1978.
5. Геометрия, ч. I. /Под редакцией Г.Н.Яковлева. – М.: Наука, 1977.
6. Яремчук Ф.П., Руденко П.А. Алгебра и элементарные функции (справочник). – Киев: Наукова думка, 1976.

Дополнительная

1. Курс математики для техникумов, ч. I и П. /Под ред. Н.М.Матвеева. – М.: Наука, 1977.
2. Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов.- М.: Наука, 1972.
3. Калкин Р.А. Алгебра и элементарные функции. – М.: Наука, 1969.

Важный предел – концепция

Важный предел в исчислении, который играет центральную роль в нахождении производных экспоненциальных функций, включает в себя нахождение предела, когда h приближается к 0 специальной функции. Этот предел, один из немногих важных пределов

исчисления, представляет собой функцию натурального логарифма. Функция полезна в исчислении, потому что производная натурального логарифма имеет очень простую форму.

пределы натуральный логарифм численное приближение

Нам нужен очень важный результат, прежде чем мы сможем продолжить разговор о производных экспоненциальных функций и об этом пределе. Итак, предположим, что a — некоторое положительное число, некоторая константа.

Я хочу узнать, каким будет значение этого предела. Это будет отличаться для каждого другого значения. Один из способов сделать это — сделать наблюдение, что этот предел будет казаться примерно равным самому другому частному, пока h выбрано достаточно малым, потому что я беру предел, когда h приближается к нулю. Итак, скажем, например, я выбираю h как я не знаю 0,1, a как 0,1 минус 1 больше 0,1, это то, о чем я думаю. Это разумное приближение для этого предела, и еще лучше было бы использовать меньшее значение h, например 0,01 здесь и здесь. Вот что мы собираемся сделать, и я хочу конкретно рассмотреть этот предел, когда а равно 2 и когда а равно 3, так что прямо сейчас мы собираемся сравнить на ti84 предел, когда h приближается к нулю 2 к h минус 1 по h и ln 2. Предел, когда h приближается к нулю 3 к h минус 1 по h и ln 3. Итак, обратите внимание, что эти числа одинаковы, я хочу посмотреть, как эти значения сравниваются. Итак, давайте посмотрим на это на TI-84.
Хорошо, мы смотрим на TI-84. Помните, что первое, на что мы хотели обратить внимание, это предел, когда h приближается к нулю от 2 до h минус 1 над h. Итак, я собираюсь ввести 2 к h, и мне нужно использовать альфа-карат, который равен h минус 1, а затем разделить на h, то есть разделить на альфа-карат. Хорошо, и это 2 к h минус 1 вместо h, давайте нажмем Enter, это равно 1. Теперь я на самом деле не указал, что такое значение h, поэтому, вероятно, он использует любое сохраненное значение h, которое у него было до того, как я начал. Итак, давайте на самом деле посмотрим, каково значение h, это 1, это довольно хорошо, но мне действительно нужно, чтобы h стало равным нулю, поэтому мне нужно что-то меньшее. Давайте попробуем сохранить 0,1, поэтому вы просто вводите это число, а затем нажимаете кнопку «Сохранить», сохраняете, а затем альфа-карат, это h. Итак, я сохраняю 0,1 как h и ввожу, а затем вместо того, чтобы вводить все это выражение снова и снова, я делаю вторую запись, вторую запись, и вы просто продолжаете нажимать вторую запись, и она идет назад по записям, которые вы только что ввели. выполнено, теперь нажмите это снова, и теперь обратите внимание, что я получаю 0,7177, теперь это новое значение другого частного для h равно 0,1.
Теперь давайте сделаем это снова, давайте уменьшим значение h, чтобы я дважды ввел вторую запись, чтобы вернуться к этой команде. Итак, позвольте мне вернуться, а затем я собираюсь вставить вторую вставку с нулем. Итак, теперь это 0,01, которое устанавливается, когда h нажимает ввод, а затем нажимает вторую запись, вторую запись, теперь давайте снова выполним это разностное частное 0,69555, теперь помните, я пытаюсь выяснить, к какому пределу это приближается, когда h становится маленьким. Итак, давайте позволим h становиться все меньше и меньше, пока мы не увидим какое-то ограничивающее поведение, поэтому вторая запись, снова нажмите вторую запись. Теперь я собираюсь сделать это 0,000, поэтому вторая вставка еще одна 0, теперь у нас есть одна тысячная, а затем снова вторая запись, вторая запись снова другое частное выполнить 0,693. Хорошо, это довольно хорошо 0,693, кажется, что на данный момент оно сходится к ближайшим 100.

Итак, похоже, что значение будет около 0,693, теперь мы должны сравнить это значение с натуральным логарифмом 2.
Теперь это также около 0,693, так что интересно, что они очень похожи друг на друга. И оказывается, что есть одно и то же, если довести h до нуля, то это значение будет в точности равно ln2. Теперь я также хотел сделать то же самое для 3, поэтому нажмите вторую запись, вторую запись еще раз, я все еще помню, что у меня h равно 0,001, все, что мне нужно сделать, это перейти и изменить это с 3 на h. Итак, просто введите 3, введите, так что помните, что h равно 0,001, я получаю 1,09.9 давайте посмотрим, что такое ln3, ln3 тоже, если округлить до ближайшей тысячи, тоже 1,099. Получается, что это количество всегда будет равняться натуральному логарифму этого числа.
Давайте вернемся к доске, хорошо, так что же мы только что узнали? Мы узнали, что эти 2 выражения на самом деле равны, предел, когда h приближается к нулю от 2 до h минус 1 над h, равен ln2. Предел, когда h приближается к нулю от 3 до h минус 1 по h, равен ln3, и в общем случае предел по мере приближения h к нулю от a до h минус 1 по h равен натуральному логарифму этого числа a.

Основы лимита. концепция, изменившая мир | Фикри Мульяна Сетиаван | Упрощенная математика

Исчисление для всех

Концепция, изменившая мир

По сути, значение предела в математике такое же, как и значение предела в реальном мире. Ограничение означает границу. Что это значит?

Напомню, что в функции f(x)=2x+3 x называется доменом, а 2x+3 называется кодоменом. Теперь, в понятии предела, мы ограничиваем значение x (домен) до значения , назовем его значением «a». Почему просто подойти? Почему бы нам просто не написать x=a? Это связано с тем, что в некоторых задачах по математике и физике иногда мы не можем подставить значение «а» в переменную х. По какой-то причине иногда мы можем вычислить только значение функции, значение x которой близко к значению «a». Что такое пример? Попробуйте решить следующие вопросы!

Если вы вычислите его правильно, вы найдете результат y = 0/0 , что означает, что результат не определен. Правда, результат не определен. Ну, вот где работает концепция ограничений. Мы не можем вычислить значение y, когда x = 1, но мы можем вычислить значение y, когда x приближается к 1. Слово «приближение» здесь означает, что значение x очень близко к 1. Можно интерпретировать, что значение x, приближающееся к 1, равно 0,9999999999… или 1,0000000000000001. Оба значения настолько близки к 1, что представляют собой значение y, когда x равно 1.

На графике выше мы все еще можем видеть значение y при x=1, потому что это значение является предельным значением, а именно предел y, когда x приближается к 1. Значение y=2 не является точным значением, когда x=1. Когда x=1, значение y все еще не определено, но мы можем использовать предельное значение.

Мы не можем сказать, что значение y = 2, когда x = 1, потому что на самом деле значение y не определено, когда x = 1. Однако мы знаем, что когда значение x очень близко к 1, то значение y очень близко к 2. Чтобы выразить это, математики используют понятие предела. Таким образом, приведенное выше утверждение может быть выражено следующим образом:

Предельное значение y при приближении x к 1 равно 2

Мы можем записать это утверждение следующим образом:

Lim означает предел. x -> 1 означает “значение x близко к 1”. Вот общая форма предельной концепции:

Приведенное выше уравнение означает «предельное значение f(x) при приближении x к значению a равно k ». k здесь может быть константой или полиномом.

Есть условие, что предел f(x) при x=a равен k , то есть левый предел и правый предел должны совпадать.

Левый предел — это значение y, когда x приближается к и слева. Например, a=1, тогда левым пределом является значение y [f(x)], когда x приближается к 1 слева, т. е. x=0,9999999999….

Правый предел представляет собой значение y, когда x приближается к и справа. В приведенном выше примере правый предел — это значение y, когда x приближается к 1 справа, т. е. y = 2,000000…..1, а левый предел — это значение y, когда x приближается к 1 слева, т. е. y = 1.9999999…

Может быть, будет проще понять, если мы посмотрим на график напрямую. Взгляните на следующий график:

Понятие предела используется в производных и интегралах, использующих понятие «малых частей». Ладно, может быть, вы не понимаете, поэтому я приведу вам еще один пример. Вы когда-нибудь читали мой пост «, можете ли вы решить эту загадку? — Парадокс Зенона »?. В этой статье я косвенно использую понятие предела, который является пределом для x, стремящегося к бесконечности

1. Подстановка. Для предела f(x) для x, близкого к a , мы можем вычислить значение предела, непосредственно заменив x=a так, чтобы предельное значение было f(a).
2. Бывают случаи, когда замена невозможна. Например, в предельной задаче (x²-1)/(x-1) для x близко к 1.