Порядок дифференциального уравнения: Найти вид общего решения дифференциального уравнения. Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача коши - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Дифференциальные уравнения (4) – Задача

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x, искомую функцию y и ее производные.

F(x, y, y, y, …, y⁽ⁿ⁾) = 0

Порядок старшей производной, входящей в уравнение, называется порядком уравнения.

Пример:

xy – 3y = 0 – уравнение I порядка

y + 5y – 4y = 0 – уравнение II порядка

Решением (интегралом) дифференциального уравнения называется функция y = f(x), которая обращает исходное уравнение в тождество.

Пример:

y + y = 0

y(x) = 2sinx

y^{ = 2cosx}

y^{ = –2sinx}

–2sinx + 2sinx = 0

y = c₁sinx + c₂cosx

Общим решением дифференциального уравнения называется его решение, которое содержит столько произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

y = (x, c₁, c₂, …, c

n) – общее решение дифференциального уравнения n-го порядка.

Если общее решение задано неявно, то его называют общим интегралом уравнения.

Ф(x, y, c₁, c₂, …, c_n) – общий интеграл.

Геометрически общий интеграл представляет собой семейство интегральных кривых, являющихся графиками решений уравнения.

Пример:

Если в общем решении произвольным постоянным c_i придать конкретное значение, то мы получим частное решение дифференциального уравнения. Геометрически частное решение представляет собой одну интегральную кривую. Частных решений бесконечное множество, как и дифференциальных кривых.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

F(x, y, y) = 0

Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка.

y = f(x, y)

y(x₀) = y₀

– начальное условие

Совокупность дифференциального уравнения и начального условия называется задачей Коши.

ТЕОРЕМА: Если f(x, y) и непрерывны в некоторой области плоскости XOY, содержащей точку (x₀; y₀), то решение задачи Коши единственное.

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными.

Уравнением с разделенными переменными называются уравнения вида

f(x)dx = g(y)dy или M(x)dx + N(y)dy = 0.

Если дифференциалы функций равны, то сами функции отличаются на константу.

Пример:

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

y = f(x)y(y) или M₁(x)N₁(y)dx + M₂(x)N₂(y)dy = 0

ЗАМЕЧАНИЕ: . Необходимо привести уравнение к уравнению с разделяющимися переменными, т.е. преобразовать его таким образом, чтобы множитель при dx содержал только переменную x, а множитель при dy – только

y. Это действие называется разделением переменных.

Пример:

Уравнения, приводимые к уравнениям с разделяющимися переменными.

y = f(ax + by), Замена: z = ax + by

Пример:

Однородные уравнения первого порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:

Функция f(x; y) называется однородной функцией n-го измерения, если для любого  выполняется равенство

Пример:

Утверждение 1:

Если f(x; y) – однородная функция нулевого измерения, то она является функцией аргумента

Доказательство:

Утверждение 2:

Если функция M(x; y) и функция N(x; y) однородные функции одного измерения, то их отношение есть однородная функция нулевого измерения.

Доказательство:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Уравнение y = f(x; y), где f(x; y) – однородная функция нулевого измерения, называется однородным уравнением первого порядка.

Проверка однородности:

Решение однородных уравнений первого порядка.

Пример:

Уравнения, приводимые к однородным.

УТВЕРЖДЕНИЕ: Если c = c₁ = 0, то (*) – однородное уравнение первого порядка.

Пример:

Линейные уравнения первого порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Линейным уравнением первого порядка называется уравнение линейное относительно

y и y. (Относительно x линейность никто не гарантирует.

)

y + P(x)y = Q(x) (1)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Если Q(x) = 0, то линейное уравнение называется линейным однородным уравнением.

УТВЕРЖДЕНИЕ: Линейное однородное уравнение y + P(x)y = 0 (2) является уравнением с разделяющимися переменными.

Доказательство:

ДВА СПОСОБА РЕШЕНИЯ

1) Чтобы решить уравнение (1) необходимо найти общее решение соответствующего однородного уравнения (2). В полученном решении постоянную c рассматривать как функция от x, т.е. c = c(x), подставить в (1) и найти c.

Пример:

2) y + P(x)y = Q(x)

Метод Бернулли.

Пример:

Иногда, чтобы получить линейное уравнение, требуется поменять ролями

x и y по теореме о производной обратной функции.

Пример:

Найти кривые, у которых площадь трапеций, ограниченных осями координат, касательной и ординатой точки касания, равна 27.

Решение дифференциальных уравнений (диффуров). Дифференциальные уравнения, порядок дифференциального уравнения. Системы дифференциальных уравнений.

Таблицы DPVA.ru – Инженерный Справочник

Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva. ru: главная страница / / Техническая информация / / Математический справочник / / Решение уравнений и неравенств. Системы уравнений. Формулы. Методы. / / Решение дифференциальных уравнений (диффуров). Дифференциальные уравнения, порядок дифференциального уравнения. Системы дифференциальных уравнений.

Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

Дополнительная информация от Инженерного cправочника DPVA, а именно – другие подразделы данного раздела:

Решение уравнений. Формулы приведения для полиномов. Разность квадратов, квадрат разности, квадрат суммы, разность и сумма кубов, куб разности и суммы. Они же “формулы сокращенного умножения”.

Решение уравнений. Формулы сокращенного умножения. Разность квадратов, сумма кубов и разность кубов и разность четвертых степеней.

Квадрат суммы и квадрат разности и куб суммы и куб разности.

Квадратные уравнения. Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Формула дискриминанта. ( Дискриминат на 4 и на 1). Теорема Виета. 3 способа.

Квадратные уравнения и неравенства. Алгоритмы решения квадратного уравнения и неравенства. Формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения. Теорема Виета. Примерно 7 класс (13 лет)

Биквадратные уравнения. Решение биквадратных уравнений. Нахождение корней биквадратных уравнений.

Неравенства, понятия, строгие, нестрогие, решение. Свойства неравенств. Решение линейных неравенств. Решение квадратных неравенств. Метод интервалов при решении неравенств.

Решение показательных уравнений. Решение логарифмических уравнений. Примеры значений логарифмических и показательных функций.

Решение показательных неравенств. Решение логарифмическмх неравенств. Решение иррациональных неравенств. Решение неравенств с модулем. Часто применяемые неравенства

Решение уравнений.

Результант пары многочленов. Задача о наличии одинаковых корней у различных уравнений.

Решения кубических уравнений с вещественными коэффициентами. Универсальные методы. Дискриминант кубического уравнения. Формула Виета для кубического уравнения.

Основные формулы и таблицы логарифмов. Действия со степенями и корнями. (ссылка).

Основные тригономентрические формулы и таблицы значений синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов (ссылка)

Системы уравнений. Понятие системы уравнений. Свойства систем уравнений. Линейные системы уравнений. Основные методы решения систем уравнений

Вы сейчас здесь: Решение дифференциальных уравнений (диффуров). Дифференциальные уравнения, порядок дифференциального уравнения. Системы дифференциальных уравнений.

1966 Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста.
Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.

Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса. Free xml sitemap generator

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и их интегрирование: определение, задача Коши

п.1. Понятие дифференциального уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение – это уравнение, в которое входят производные некоторой функции, а также может входить сама функция, независимая переменная и параметры.
Порядок дифференциального уравнения – это наивысший порядок производных, входящих в это уравнение.
Степень дифференциального уравнения – это степень старшей производной, если уравнение является многочленом относительно этой производной. 2=19\) – ДУ первого порядка третьей степени
$\sqrt{y+1}=y’x$ – ДУ первого порядка первой степени

Самыми простыми для решения будут такие уравнения, у которых можно разделить переменные, т.е. собрать всё, что связано с функцией $y$, по одну сторону знака равенства, и всё, что связано с независимой переменной $x$, – по другую сторону.

Дифференциальное уравнение первого порядка $y’=f(x,y)$ называется уравнением с разделяющимися переменными, если функцию $f(x,y)$ можно представить в виде произведения двух функций $f(x,y)=g(x)\cdot h(y)$, по отдельности зависящих только от независимой переменной $x$ и только от функции $y$.

Например:
Уравнение $\sqrt{y+1}=y’x$ является уравнением с разделяющимися переменными, т.к. $$ y’=\frac{\sqrt{y+1}}{x}=g(x)\cdot h(y),\ \ \text{где}\ g(x)=\frac1x,\ h(y)=\sqrt{y+1} $$

Алгоритм решения ДУ с разделяющимися переменными
На входе: уравнение первого порядка $y’=f(x,y)$, для которого $f(x,y)=g(x)\cdot h(y)$
Шаг 1. {\frac23}-1,\ x\geq 1\)

п.3. Закон радиоактивного распада

В многочисленных экспериментах по определению радиоактивности вещества был установлен следующий факт:

Число распадов ΔN, которые произошли за интервал времени Δt, пропорционально числу атомов N в образце.

Перейдем к бесконечно малым $dN$ и $dt$ и запишем соответствующее этому факту дифференциальное уравнение: $$ \frac{dN}{td}=-\lambda N $$ где знак «-» учитывает уменьшение числа атомов N со временем.
Полученное ДУ является уравнением с разделяющимися переменными.
Найдем его общее решение: $$ \frac{dN}{N}=-\lambda dt\Rightarrow\int\frac{dN}{N}=-\lambda\int dt\Rightarrow \ln N=-\lambda t+C $$ Пусть в начальный момент времени $t=0$ в образце было $N_0$ атомов.
Решаем задачу Коши, находим $C:\ \ln N_0=-\lambda\cdot 0+C\Rightarrow C=\ln N_0$
Подставляем найденное C в общее решение. Получаем: $$ \ln N=-\lambda N+\ln N_0\Rightarrow \ln N-\ln N_0=-\lambda t\Rightarrow\ln\frac{N}{N_0}=-\lambda t\Rightarrow\frac{N}{N_0}=e^{-\lambda t} $$

Закон радиоактивного распада
Количество атомов радиоактивного вещества убывает по экспоненциальному закону: $$ N(t)=N_0e^{-\lambda t} $$ где $N_0$ – начальное количество атомов вещества, $\lambda$ – постоянная распада, характеризующая вероятность распада в единицу времени.

За время $\tau=\frac 1\lambda$ число атомов радиоактивного вещества уменьшается в e раз.
За время $T_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda}$ (время полураспада) число атомов радиоактивного вещества уменьшается в 2 раза.

п.4. Зарядка конденсатора

Соберем цепь, состоящую из конденсатора C, резистора R, источника ЭДС E и ключа K.
Пусть в начальный момент времени конденсатор разряжен, напряжение на обкладках: $U(0)=0$
Замкнем ключ и начнем зарядку конденсатора.

По закону Ома для замкнутой цепи можем записать: $$ I(R+r_0)+U=\varepsilon $$ где $I$ – ток в цепи, $I(R+r_0)$ – падение напряжения на резисторе и источнике, $U$ – напряжение на конденсаторе, $\varepsilon$ – ЭДС источника.
Ток в цепи равен производной от заряда по времени: $$ I=\frac{dq}{dt}=\frac{d(CU)}{dt}=C\frac{dU}{dt} $$ Подставляем: $$ C\frac{dU}{dt}\cdot (R+r_0)=\varepsilon-U $$ Получили ДУ с разделяющимися переменными: $$ \frac{dU}{\varepsilon-U}=\frac{dt}{C(R+r_0)} $$ Интегрируем (не забываем про минус перед U в знаменателе): $$ \int\frac{dU}{\varepsilon-U}=-\ln(\varepsilon-U),\ \ \int\frac{td}{C(R+r_0)} = \frac{t}{C(R+r_0)} $$ Общее решение: $$ \ln(\varepsilon-U)=-\frac{t}{C(R+r_0)}+B $$ где $B$ константа, которую мы обозначили так, чтобы не путать с емкостью. 4=\frac{1}{16} $$ в 16 раз.
Получаем: $$ m\left(4T_{\frac12}\right)=\frac{m_0}{16},\ \ m\left(4T_{\frac12}\right)=\frac{64}{16}=4\ \text{(г)} $$ Ответ: 4 г

Пример 4. Выведите зависимость $U(t)$ на обкладках конденсатора при его разрядке в RC-цепи.

Разрядка конденсатора происходит в цепи без источника ЭДС.
Пусть в начальный момент заряд на обкладках $U(0)=U_0.$
Замкнем ключ и начнем разрядку конденсатора.

По закону Ома для замкнутой цепи: $$ IR+U=0 $$ Ток в цепи равен производной от заряда по времени: $$ I=\frac{dq}{dt}=\frac{d(CU)}{dt}=C\frac{dU}{dt} $$ Подставляем: $$ RC\frac{dU}{dt}=-U $$ Получили ДУ с разделяющимися переменными: $$ \frac{dU}{U}=-\frac{dt}{RC} $$ Интегрируем: $$ \int\frac{dU}{U}=\ln U,\ \ \int{dt}{RC}=\frac{t}{RC} $$ Общее решение: $$ \ln U=-\frac{t}{RC}+B $$ где $B$ константа, которую мы обозначили так, чтобы не путать с емкостью.
Начальное условие $U(0)=0$. {-\frac{t}{RC}} $$

Например, $при U_0=5В,\ RC=0,01 с$ график разрядки конденсатора имеет вид:

9 Дифференциальные уравнения – СтудИзба

Лекция 11. Дифференциальные уравнения.

Дифференциальным уравнением называется уравнение относительно независимой переменной, неизвестной функции и ее производных.

Дифференциальное уравнение общего вида выглядит следующим образом:

. Здесь x – независимая переменная, y(x) – неизвестная функция.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.

Если, пользуясь теоремой о неявной функции, из уравнения общего вида удается выразить явно старшую производную, то такое уравнение называется уравнением, разрешенным относительно старшей производной.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Порядок и степень дифференциального уравнения

Порядок и степень дифференциального уравнения помогают решить дифференциальное уравнение. Дифференциальные уравнения можно сопоставить с полиномиальными выражениями, а порядок и степень дифференциального уравнения помогает узнать шаги, необходимые для решения дифференциального уравнения, и количество возможных решений дифференциального уравнения.

Давайте узнаем больше о том, как найти порядок и степень дифференциального уравнения, с примерами и часто задаваемыми вопросами.

Как найти порядок и степень дифференциального уравнения?

Порядок и степень дифференциального уравнения помогают нам определить тип и сложность дифференциального уравнения. Подобно полиномиальному уравнению, дифференциальное уравнение имеет дифференциал зависимой переменной относительно независимой переменной, и здесь порядок и степень дифференциального уравнения помогают найти решения дифференциального уравнения.

Порядок дифференциального уравнения можно определить, сначала определив производные в данном выражении дифференциального уравнения.Различные производные в дифференциальном уравнении следующие.

Первая производная: dy / dx или y ‘
Вторая производная: d ² y / dx ², или y ”
Третья производная: d ³ y / dx ³, или y ”
n-я производная: d ⁿ y / dx ⁿ, или y ^{” ” ….. n раз}

Кроме того, самая высокая производная, присутствующая в дифференциальном уравнении, определяет порядок дифференциального уравнения, а показатель степени самой высокой производной представляет степень дифференциального уравнения.Подобно полиномиальному уравнению от переменной x, дифференциальное уравнение имеет производные зависимой переменной по отношению к производным независимой переменной.

Давайте теперь разберемся с каждым из порядка дифференциальных уравнений и степени дифференциального уравнения.

Порядок дифференциальных уравнений

Порядок дифференциального уравнения – это наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение.Рассмотрим следующие дифференциальные уравнения,

dy / dx = e ^x, (d ⁴ y / dx ⁴) + y = 0, (d ³ y / dx ³) ² + x ² (d ² y / dx ²) + xdy / dx + 3 = 0

В приведенных выше примерах дифференциальных уравнений наивысшая производная имеет первый, четвертый и третий порядок соответственно.

Дифференциальное уравнение первого порядка

В первом примере видно, что это дифференциальное уравнение первого порядка со степенью, равной 1.Все линейные уравнения в виде производных имеют первый порядок. Он имеет только первую производную, такую как dy / dx, где x и y – две переменные, и представляется как: dy / dx = f (x, y) = y ’

Дифференциальное уравнение второго порядка

Уравнение, которое включает производную второго порядка, является дифференциальным уравнением второго порядка. Он представлен как; d / dx (dy / dx) = d ² y / dx ² = f ”(x) = y”

Степень дифференциального уравнения

Степень дифференциального уравнения – это наивысшая степень производной высшего порядка в дифференциальном уравнении.Степень дифференциального уравнения всегда является положительным целым числом. Сначала необходимо определить порядок дифференциального уравнения, а затем можно определить степень дифференциального уравнения. Степень дифференциального уравнения сравнима со степенью переменной в полиномиальном выражении. Вот несколько примеров дифференциальных уравнений.

7 (d ⁴ y / dx ⁴) ³ + 5 (d ² y / dx ²) ⁴ + 9 (dy / dx) ⁸ + 11 = 0
(dy / dx) ² + (dy / dx) – Cos ³ x = 0
(d ² y / dx ²) + x (dy / dx) ³ = 0

В приведенных выше дифференциальных уравнениях степени уравнений равны трем, двум и одному соответственно.

Связанные темы

Следующие разделы помогают лучше понять порядок дифференциальных уравнений.

Часто задаваемые вопросы о порядке и степени дифференциального уравнения

Как определить порядок и степень дифференциального уравнения?

Порядок дифференциального уравнения может быть найден путем определения старшей производной, которая может быть найдена в дифференциальном уравнении. А степень дифференциального уравнения – это степень этой производной высшего порядка в дифференциальном уравнении.Давайте проверим порядок и степень дифференциального уравнения на следующих примерах дифференциальных уравнений.

dy / dx = e ^x, (d ⁴ y / dx ⁴) + y = 0, (d ³ y / dx ³) ² + x ² (d ² y / dx ²) + xdy / dx + 3 = 0

В этих дифференциальных уравнениях дифференциальные уравнения первого порядка – первой степени, четвертого порядка – первой степени и третьего порядка – второй степени соответственно.

Каковы порядок и степень дифференциального уравнения?

Степень дифференциального уравнения – это степень наивысшей упорядоченной производной, присутствующей в уравнении. Сначала необходимо определить порядок дифференциального уравнения, чтобы найти степень дифференциального уравнения. Чтобы найти степень дифференциального уравнения, нам нужно иметь положительное целое число в качестве индекса каждой производной.

Как узнать, является ли дифференциальное уравнение дифференциальным уравнением первого или второго порядка?

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет степень, равную 1.Все линейные уравнения в виде производных имеют первый порядок. Имеет только первую производную dy / dx. А уравнение, которое включает в себя производную второго порядка, является дифференциальным уравнением второго порядка. Он представлен как; d / dx (dy / dx) = d ² y / dx ² = f ”(x) = y”

В чем разница между порядком и степенью дифференциального уравнения?

Порядок дифференциального уравнения отличается от степени дифференциального уравнения. Порядок дифференциального уравнения – это высшая производная в дифференциальном уравнении, а степень дифференциального уравнения – это степень этой высшей производной в дифференциальном уравнении. Прежде чем определять степень дифференциального уравнения, необходимо определить порядок дифференциального уравнения.

Дифференциальные уравнения. Определения. Орден, степень. Общие, частные и особые решения.

Дифференциальные уравнения. Определения. Орден, степень. Общее, частное и единственное решения.
SolitaryRoad.com
Владелец сайта: Джеймс Миллер
[ Домой ] [ Вверх ] [ Информация ] [ Почта ]
Дифференциальные уравнения. Определения. Орден, степень. Общие, частные и особые решения.
Определения
Def. Дифференциальное уравнение. Дифференциальное уравнение – это уравнение, содержащее производные от зависимая переменная по отношению к одной или нескольким или независимым переменным. Следующие типичные примеры:
Когда используется только первая производная, уравнение часто записывается в терминах дифференциалы. Например, 2) выше может быть написано
Def. Обыкновенное дифференциальное уравнение. Дифференциальное уравнение, содержащее единственное независимая переменная. Производные, входящие в уравнение, являются обычными производными.
Def. Уравнение с частными производными. Дифференциальное уравнение, содержащее два или более независимые переменные. Производные, входящие в уравнение, являются частными производными.
Def. Порядок дифференциального уравнения. Порядок наивысшей упорядоченной производной входящие в уравнение.Уравнения 2) и 4), указанные выше, относятся к первому порядку, а уравнения 1) и 3) имеют второй порядок.
Def. Степень дифференциального уравнения. В общем, степень высшего порядка. производная, входящая в уравнение. Однако не каждое дифференциальное уравнение имеет степень. Если производные встречаются в радикалах или дробях, степень которых может не быть. Если уравнение можно рационализировать и очистить от дробей по отношению ко всем имеющимся производным, тогда его степень – это степень наивысшей упорядоченной производной, входящей в уравнение.
Пример. Уравнения 1), 2) и 4) выше относятся к первой степени, а уравнение 3) – ко второй. степень. Дифференциальное уравнение (y ”) ^2/3 = 2 + 3y ‘можно рационализировать, возведя обе части в куб получаем (y ”) ² = (2 + 3y ‘) ³. Таким образом, он второй степени.
Def. Линейное дифференциальное уравнение. Линейное дифференциальное уравнение – это уравнение форма
, где a _i (x) являются функциями только x.Это уравнение, в котором каждый член имеет первую степень зависимая переменная и ее производные.
Решения дифференциальных уравнений. Решением дифференциального уравнения является любое свободное от производных соотношение между задействованными переменными, которое сводит дифференциальное уравнение к личности. Решение может принимать форму выражаемой зависимой переменной явно как функция независимой переменной (или переменных), как в y = f (x), или неявно как в отношении типа f (x, y) = 0.
Def. Основные константы. Набор констант называется существенным, если их нельзя заменить на меньшее количество констант.
Решение содержит n существенных произвольных констант. Пример очень простого дифференциальное уравнение имеет вид
Решение такого уравнения включает n повторных интегрирований, каждое из которых дает произвольная константа. Таким образом, решение содержит n произвольных существенных констант.Например, в уравнение
имеем после двукратного интегрирования
y = x ³ + C ₁ x + C ₂
Этот результат называется общим решением дифференциального уравнения. Любое решение, которое может быть полученное из него путем присвоения конкретных значений C ₁ и C ₂, называется частным решением.
Общее решение дифференциального уравнения также называется примитивом.
Теорема. Общее решение или примитив дифференциального уравнения порядка n всегда содержит ровно n произвольных существенных констант.
Особые решения. В дополнение к общему решению дифференциальное уравнение может также иметь исключительное решение. Особое решение – это решение, которое нельзя получить путем присвоения определенных значений к произвольным постоянным общего решения. Это уравнение оболочки семьи кривых, представленных общим решением.Эта огибающая удовлетворяет дифференциальному уравнению потому что в каждой из его точек наклон и координаты точки такие же, как у некоторого члена семейства кривых, представляющих общее решение.
Джеймс / Джеймс. Математический словарь
Наличие решений. Не каждое дифференциальное уравнение имеет решение. Например, там не может быть какой-либо действительной функцией, удовлетворяющей дифференциальному уравнению
(г) ² + 1 = 0
Почему? Потому что для любой действительной функции левая часть уравнения будет больше, или равно единице и, следовательно, не может быть нулем.Фактически, только относительно небольшое количество дифференциальных уравнений имеют решения. Из них только некоторые могут быть решены в закрытой аналитической форме. Лишь немногие могут быть решается в терминах элементарных функций (т. е. рациональных алгебраических, тригонометрических, экспоненциальных и логарифмические функции, знакомые из элементарного исчисления). Некоторые другие можно решить в термины высших трансцендентных функций. В остальном необходимо использовать численное приближение такие методы, как представление степенного ряда.
Большинство дифференциальных уравнений возникает из задач физики, техники и науки.Эти уравнения часто имеют определенные условия, называемые граничными или начальными условиями, связанными с им, что они должны удовлетворить. Тогда мы должны спросить не только, существует ли решение для уравнения, но и также, если таковой существует, он также будет удовлетворять указанным начальным условиям. Например, предположим, что мы хотите решить дифференциальное уравнение
ху ‘- 2у = 0
при начальном условии x = 0, y = 1. Общее решение уравнения:
5) y = Ax ²
, но изучение пункта 5) показывает, что не существует значения A, которое удовлетворяло бы начальным условиям.
Методы решения. Не существует общей процедуры решения дифференциального уравнения. Только несколько простых уравнений можно решить прямым интегрированием. Большинство уравнений решаются методы, разработанные для конкретного типа уравнения. У каждого из различных типов есть свои метод решения. Как правило, для решения уравнения необходимо уметь распознавать тип и вспомните правильный метод решения.
Список литературы
1. Росс Р. Миддлмисс. Дифференциальное и интегральное исчисление.Глава. XXIX
2. Джеймс / Джеймс. Математический словарь.
3. Мюррей Р. Шпигель. Прикладные дифференциальные уравнения.
4. Джеймс Б. Скарборо. Дифференциальные уравнения и приложения.
5. Фрэнк Эйрес. Дифференциальные уравнения (Шаум).
6. Эшбах. Справочник по основам инженерии.
7. Эрл Рейнвилл. Элементарные дифференциальные уравнения.
Ещё с сайта SolitaryRoad.com:
Путь истины и жизни
Божье послание миру
Иисус Христос и Его учение
Мудрые слова
Путь просветления, мудрости и понимания
Путь истинного христианства
Америка, коррумпированная, развратная, бессовестная страна
О целостности и ее отсутствии
Проверка на христианство человека – это то, что он есть
Кто попадет в рай?
Высший человек
О вере и делах
Девяносто пять процентов проблем, с которыми сталкивается большинство людей. пришли из личной глупости
Либерализм, социализм и современное государство всеобщего благосостояния
Желание причинить вред, мотивация поведения
Учение:
О современном интеллектуализме
О гомосексуализме
О самодостаточной загородной жизни, усадьбе
Принципы жизни
Актуальные притчи, заповеди, аранжировка Котировки. Общие поговорки. Альманах бедного Ричарда.
Америка сбилась с пути
Действительно большие грехи
Теория формирования характера
Моральное извращение
Ты то, что ты ешь
Люди подобны радиотюнерам – выбирают и слушайте одну длину волны и игнорируйте остальные
Причина черт характера — по Аристотелю
Эти вещи идут вместе
Телевидение
Мы то, что мы едим – живем в рамках диеты
Как избежать проблем и неприятностей в жизни
Роль привычки в формировании характера
Истинный христианин
Что такое истинное христианство?
Личные качества истинного христианина
Что определяет характер человека?
Любовь к Богу и любовь к добродетели тесно связаны
Прогулка по одинокой дороге
Интеллектуальное неравенство между людьми и властью в хороших привычках
Инструменты сатаны.Тактика и уловки, используемые дьяволом.
Об ответе на ошибки
Настоящая христианская вера
Естественный путь – Неестественный путь
Мудрость, разум и добродетель тесно связаны
Знание – это одно, мудрость – другое
Мои взгляды на христианство в Америке
Самое главное в жизни – понимание
Оценка людей
Мы все примеры – хорошо или плохо
Телевидение — духовный яд
Главный двигатель, который решает, “кто мы”
Откуда берутся наши взгляды, взгляды и ценности?
Грех – это серьезное дело. Наказание за это настоящее. Ад является реальным.
Самостоятельная дисциплина и регламентация
Достижение счастья в жизни — вопрос правильных стратегий
Самодисциплина
Самоконтроль, самообладание, самодисциплина – основа многого в жизни
Мы наши привычки
Что создает моральный облик?
[ Домой ] [ Вверх ] [ Информация ] [ Почта ]
Дифференциально-алгебраические уравнения – Scholarpedia
Dr.Стивен Л. Кэмпбелл, Государственный университет Северной Каролины, Роли, Северная Каролина, США.
Ву Хоанг Линь, факультет математики, механики и информатики, Вьетнамский национальный университет, Ханой, Вьетнам
Линда Р. Петцольд, факультет машиностроения и факультет компьютерных наук, Калифорнийский университет в Санта-Барбаре, Калифорния
Дифференциально-алгебраическое уравнение ( DAE ) – это уравнение, включающее неизвестную функцию и ее производные. ДАУ (первого порядка) в самом общем виде имеет вид \ [\ тег {1} F (t, x, x ‘) = 0, \ quad t_0 \ leq t \ leq t_f, \]
где \ (x = x (t) \, \) неизвестная функция, а \ (F = F (t, u, v) \) имеют компоненты \ (N \), обозначенные \ (x_i \) и \ (F_i, \ i = 1,2, …, N \, \) соответственно. Каждую DAE можно записать как DAE первого порядка. Термин DAE обычно зарезервирован для случая, когда старшая производная \ (x ‘\) не может быть решена в терминах других членов \ (t, x, \), когда (1) рассматривается как алгебраическая связь между тремя переменными. \ (t, х, х ‘\.\) Якобиан \ (\ partial F / \ partial v \) вдоль частного решения ДАУ может быть сингулярным. Системы уравнений, подобные (1), также называются неявными системами, обобщенными системами или дескрипторными системами. DAE может быть задачей с начальным значением, где \ (x \) задано в начальный момент времени, \ (x (t_0) = x_0 \, \) или краевой задачей, решение которой зависит от \ (N \) двухточечные граничные условия \ (g (x (t_0), x (t_f)) = 0 \. \)
Метод решения DAE будет зависеть от ее структуры.Особый, но важный класс ДАУ вида (1) – это полуявное ДАУ или обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) с ограничениями \ [\ тег {2} \ begin {array} {ccc} у ‘& = & f (t, y, z) \\ 0 & = & g (t, y, z), \ end {массив} \]
, которые часто появляются в приложениях. Здесь \ (x = (y, z) \) и \ (g (t, y, z) = 0 \) – явные ограничения.
Где возникают DAE?
ДАУ в общей форме (1) или специальной форме (2) возникают при математическом моделировании широкого спектра задач из инженерии и науки. например, в механике многотельных и гибких тел, проектировании электрических схем, оптимальном управлении, несжимаемых жидкостях, молекулярной динамике, химической кинетике (приближения квазистационарного состояния и частичного равновесия), и контроль химических процессов.
Пример. Простой пример DAE возникает в результате моделирования движения маятника в декартовых координатах.
Рисунок 1: Маятник
Предположим, что маятник имеет длину 1, и пусть координаты крошечного шарика массы 1 на конце стержня равны \ ((x_1, x_2) \. \) Уравнения движения Ньютона дают \ [\ тег {3} \ begin {array} {rcl} x_1 ” & = & – \ lambda x_1 \\ x_2 ” & = & – \ lambda x_2 – g, \ end {массив} \]
где \ (g \) – сила тяжести, а \ (\ lambda \) – множитель Лагранжа.2 & = & 1. \ end {массив} \]

В этом очень простом случае многотельной механической системы замена переменных \ (x_1 = \ sin \ theta, x_2 = \ cos \ theta \) с последующей некоторой алгеброй дает хорошо известное ОДУ для маятника \ (\ theta ” = – g \ sin \ theta \. \). Однако такая простая процедура исключения обычно невозможна в более общих ситуациях.
Дополнительные примеры реальных DAE-систем, включая многотельные механические системы, электрическую цепь и заданную задачу управления траекторией, можно найти в Brenan et al.(1996). Следует отметить, что ограничение в механике, например в примере с маятником является физическим, в то время как ограничение в других задачах, таких как проблема предписанного пути, не является физическим, а скорее является частью технических характеристик.
Почему они важны?
DAE являются обобщением обыкновенных дифференциальных уравнений (ODE) \ [\ тег {5} \ begin {array} {ccc} х ‘& = & f (t, x), \ end {массив} \]
, для которого существует очень богатая литература как по математической теории, так и по численным решениям.Хотя ODE стандартной формы можно записать как DAE, более общая форма DAE допускает проблемы, которые могут сильно отличаться от ODE стандартной формы. Класс DAE включает задачи, демонстрирующие фундаментальные математические свойства, отличные от свойств ODE, а также создают дополнительные проблемы для их численного решения. С другой стороны, неявный DAE модели сформулированы более естественным образом, чем явные, как показывают приведенные выше примеры. Проще получить сложную модель DAE, поэтому очень желательно иметь возможность работать с моделью DAE, если это возможно.’& = & z \\ 0 & = & y – q (t), \ end {массив} \]
, где задана достаточно гладкая функция \ (q \). Ясно, что единственное решение – это \ (y = q (t), \ z = q ‘(t) \, \), и никаких начальных или граничных условий не требуется. То есть, если наложено произвольное начальное условие, оно вполне может не соответствовать DAE. Кроме того, можно видеть, что решение зависит от производной неоднородной части (или производной входа, если функция \ (q \) играет роль входа), чего не может произойти в случае ODE.Другое отличие состоит в том, что даже если заданы согласованные начальные значения, теория существования и единственности более сложна и включает дополнительные технические предположения помимо достаточной гладкости, как в случае ODE. Тот факт, что в первом уравнении этого примера нужно дифференцировать \ (y \, \), что подразумевает дифференцирование входной функции \ (q \, \), чтобы найти \ (z \, \), делает ключ разница. Для ОДУ стандартной формы решение всегда более непрерывно, чем ввод.Другими словами, DAE может включать как интеграцию, так и дифференциацию.
Указатель и математическая структура
Индекс
Индекс – это понятие, используемое в теории DAE для измерения расстояния от DAE до связанного с ним ODE. Индекс представляет собой неотрицательное целое число, которое предоставляет полезную информацию о математической структуре и возможных сложностях анализа и численного решения DAE. В целом, чем выше индекс ДАУ, тем больше трудностей можно ожидать при ее численном решении.Существуют разные определения индекса: индекс Кронекера (для DAE с линейными постоянными коэффициентами), индекс дифференциации (Brenan et al. 1996), индекс возмущения (Hairer et al. 1996), индекс послушности (Griepentrog et al. 1986), геометрический индекс (Rabier и др., 2002) и индекс странности (Кункель и др., 2006). По простым задачам они идентичны. В более сложных нелинейных и полностью неявных системах они могут быть разными. Фактически индекс может стать локальным понятием с разными значениями в разных регионах.Индекс может даже быть неопределенным в так называемых особых точках, которые обычно демонстрируют тупиковые явления (Rabier et al. 2002, Riaza 2008).
Поскольку DAE включает в себя сочетание дифференцирования и интегрирования, можно надеяться, что дифференцирование ограничений (в полуявной системе DAE) и подстановка по мере необходимости из дифференциальных уравнений, при необходимости многократно, даст явную систему ODE для всех неизвестные. Решения DAE – это те решения этого ODE, которые находятся в подмножестве, называемом многообразием решений.Количество повторов, необходимое для этого преобразования, называется дифференциальным индексом DAE. Таким образом, ОДУ имеют индекс \ (0 \. \). Рассмотрим несколько простых примеров.
Пример. Пусть \ (q (t) \) заданная гладкая функция, и рассмотрим следующие задачи для \ (x (t) \. \)
\ [\ tag {7} х (t) = q (t) \]
– (тривиальная) DAE индекса 1, поскольку для получения ОДУ требуется одно дифференцирование \ (x ‘= q’ (t) \. \)
\ [\ tag {8} \ begin {array} {ccc} х_1 & = & q (t) \\ x_2 & = & x_1 ‘, \ end {массив} \]
дифференцируя первое уравнение, получаем \ (x_2 = x_1 ‘= q’ (t) \), а затем \ (x_2 ‘= x_1’ ‘= q’ ‘(t) \.\) Индекс равен \ (2 \), поскольку необходимы два дифференцирования.
Обратите внимание, что в то время как условия начального или граничного значения \ (m \) должны быть заданы для определения решения ОДУ первого порядка размера \ (m \, \) для простых DAE в приведенном выше примере, решение полностью определяется правая часть, и есть только одно начальное условие, которое является непротиворечивым. Общие системы DAE обычно включают также некоторые подсистемы ODE. Таким образом, система DAE, как правило, будет иметь \ (l \) степеней свободы , где \ (l \) находится где-то между \ (0 \) и \ (m \.\) Однако в целом может быть трудно или, по крайней мере, не сразу очевидно, какие \ (l \) фрагменты информации необходимы для определения решения. Начальные или граничные условия, указанные для DAE, должны быть согласованными. Другими словами, они должны удовлетворять ограничениям и, возможно, даже дифференцированным ограничениям системы. Например, начальное условие для системы индекса-1 (7) (которое необходимо, если записать его как ОДУ) должно удовлетворять \ (x_1 (0) = q (0) \. \) Для системы индекса-2 (8) ситуация несколько сложнее.Мало того, что любое решение должно удовлетворять очевидному ограничению \ (x_1 (t) = q (t) \, \), существует также скрытое ограничение \ (x_2 (t) = q ‘(t) \, \), поэтому единственное непротиворечивое начальные условия: \ (x_1 (0) = q (0), \ x_2 (0) = q ‘(0) \. \) Это важное различие между индексом-1 и с более высоким индексом (индекс больше \ (1 \)) DAE. DAE с более высоким индексом включают некоторые скрытые ограничения.
Рассмотрим снова полуявный DAE (2). Индекс равен единице, если \ (\ partial g / \ partial z \) неособо, потому что в этом случае одно дифференцирование алгебраического уравнения дает \ (z ‘\.\) Для полуявной ДАУ индекса-1 можно различать дифференциальные переменные \ (y \), производная которых входит в уравнения, и алгебраические переменные \ (z \), производная которых не фигурирует явно. Также стоит отметить, что алгебраические переменные могут быть менее гладкими, чем дифференциальные переменные по одной производной, например алгебраические переменные могут быть недифференцируемыми.
В общем случае (1) каждый компонент решения \ (x \) может представлять собой смесь дифференциальных и алгебраических компонентов, что значительно затрудняет качественный анализ, а также численное решение таких задач с высоким индексом, и рискованнее. Т \) \ [\ тег {9} \ begin {array} {rcl} x_1 ‘& = & x_3 \\ 0 & = & x_2 (1-x_2) \\ 0 & = & x_1x_2 + x_3 (1-x_2) -t. \ end {массив} \]
Второе уравнение имеет два решения \ (x_2 = 0 \) и \ (x_2 = 1 \. \). Если дана непрерывность \ (x_2 \), то \ (x_2 \) не переключается между этими двумя значениями. . Легко видеть, что если \ (x_2 = 0 \, \), то система находится в полуявном виде и имеет индекс-1, тогда как для случая \ (x_2 = 1 \, \) система имеет индекс-2 и, в отличие от случая index-1, начальное значение \ (x_1 \) не требуется.
Теперь, если заменить алгебраическое уравнение, включающее \ (x_2 \), на \ (x_2 ‘= 0 \, \), то индекс новой системы DAE будет зависеть от начального условия. Если \ (x_2 (0) = 1 \), индекс равен 2, в противном случае индекс равен 1.
Специальные формы DAE
Общая система DAE (1) может включать в себя задачи, которые недостаточно четко определены в математическом смысле, а также проблемы, которые приведут к отказу любого прямого метода дискретизации (см. Раздел «Численное решение»). К счастью, многие из проблем с более высоким индексом, встречающихся на практике, могут быть выражены как комбинация более ограничительных структур ODE в сочетании с ограничениями.{\ prime} & = & f (t, y, z) \\ 0 & = & g (t, y, z), \ end {массив} \]
где предполагается, что якобиан \ (g_z \) неособен для всех t. Это просто полу-явная система DAE с индексом 1, упомянутая выше. Полуявные DAE с индексом 1 очень тесно связаны с неявными ODE. После решения относительно \ (z \) в алгебраическом уравнении (используя теорему о неявной функции, это можно сделать в принципе), замена \ (z \) в дифференциальное уравнение дает так называемое базовое ОДУ в \ (y \) (хотя уникальность не гарантируется).{\ prime} & = & f (t, y, z) \\ 0 & = & g (t, y), \ end {массив} \]
где \ (g_y f_z \) предполагается неособым для всех t. Обратите внимание, что алгебраическая переменная \ (z \) отсутствует во втором уравнении. Это чистая DAE индекса 2, и все алгебраические переменные играют роль переменных индекса 2. Пример, возникающий из моделирования течения несжимаемой жидкости с помощью дискретных уравнений Навье-Стокса, приведен в Ascher et al. (1998).
Численное решение
Численные подходы к решению ДАУ можно условно разделить на два класса: (i) прямые дискретизации данной системы и (ii) методы, предполагающие переформулировку (например,г. уменьшение индекса) в сочетании с дискретизацией. Стремление к как можно более прямой дискретизации возникает из-за того, что изменение формулировки может быть дорогостоящим, может потребовать большего ввода от пользователя и может потребовать большего вмешательства пользователя. Причина популярности подходов к переформулировке заключается в том, что, как оказалось, прямая дискретизация ограничена в своей полезности, по существу, системами DAE с индексом-1, индексом-2 по Гессенбергу и с индексом-3 по Хессенбергу.
К счастью, многие DAE, встречающиеся на практике, либо имеют индекс-1, либо, если индекс выше, могут быть выражены как простая комбинация систем Хессенберга. Однако могут возникнуть некоторые трудности и в худшем случае, и наиболее устойчивые прямые приложения численных методов ОДУ не всегда работают, как можно было бы надеяться, даже для этих ограниченных классов задач. Для DAE с индексом больше двух обычно лучше использовать один из методов уменьшения индекса, чтобы решить проблему в форме с меньшим индексом.
Дифференциальные уравнения, такие как \ [\ тег {12} \ begin {array} {rcl} у ‘& = & f (t, y, z) \\ \ varepsilon z ‘& = & g (t, y, z), \ end {массив} \]
, где \ (\ varepsilon \) – малый параметр, называются сингулярно возмущенными системами ОДУ.Когда параметр \ (\ varepsilon \) установлен равным \ (0 \, \) (12) становится DAE (2). Поскольку система (12) (в общем случае) очень жесткая для малых \ (\ varepsilon \, \), естественно рассмотреть методы жестких ОДУ для прямой дискретизации предельной ДАУ, а также для ДАУ вида (1) в целом. В частности, полезны методы ODE, которые имеют жесткое затухание, такие как методы коллокации BDF и Radau.
Численные методы / Прямая дискретизация
Обратный метод Эйлера / Пример нестабильности
Идея прямой дискретизации проста: аппроксимировать \ (x \) и \ (x ‘\) формулой дискретизации, такой как многоступенчатые методы или методы Рунге-Кутта.В качестве иллюстрации использования прямой дискретизации рассмотрим обратный метод Эйлера, простейший метод, обладающий свойством жесткого затухания. Применяя формулу обратной разности к \ (x ‘\) в (1), система нелинейных уравнений \ (N \) для \ (x_n \) \ [\ tag {13} F (t_n, x_n, \ frac {x_n-x_ {n-1}} {h_n}) = 0 \ mbox {for} n = 1,2, …, \]
результатов. Здесь \ (t_n \) – моменты времени, в которые мы вычисляем приближение, \ (x_n \) – приближение \ (x (t_n) \, \) и \ (h_n = t_n-t_ {n-1} \ ) – временной шаг или размер шага.После рекурсивного решения этой системы нелинейных уравнений получается численное решение для (1). Этот метод хорошо работает для DAE с индексом 1 и особенно подходит для жестких DAE с индексом 1, а также для жестких ODE.
Для DAE с более высоким индексом этот простой метод, а также другие методы, не всегда получается. В худшем случае существуют простые DAE-системы с более высоким индексом и четко определенными и стабильными решениями, для которых обратный метод Эйлера и фактически все другие многоступенчатые методы и методы Рунге-Кутты нестабильны или даже неприменимы.См. Пример 10.1 в Ascher et al. (1998). См. Также моделирование многотельной механики, в котором наглядно показано использование стабильных и нестабильных численных методов. Некоторые практические трудности также могут возникнуть при решении нелинейной системы (13) для \ (x_n \) с заданным \ (x_ {n-1} \. \). Решение должно быть выполнено с помощью итеративного численного метода, такого как метод Ньютона метод. Из-за этих технических трудностей, как правило, не рекомендуется прямая дискретизация полностью неявных DAE с индексом выше единицы.Было показано, что для полностью неявных DAE с индексом-1 и полу-явного индекса-2 метод обратного Эйлера является точным, стабильным и сходящимся первого порядка. s a_ {ij} K_j, \ quad i = 1,2 ,.s a_ {ij} K_j, \\ g \ left (t_ {n-1} + c_i h, Y_ {ni}, Z_ {ni} \ right) & = & 0. \ quad я = 1,2, …, с. \ end {массив} \]
Можно избежать квадратурного шага (16) для алгебраических переменных \ (z \), используя строго точные методы, то есть методы Рунге-Кутты, удовлетворяющие \ (b_j = a_ {sj}, \ j = 1 , 2, …, s, \. \) Вместо (16) просто устанавливают \ (y_n = Y_ {ns} \. \) Как и в случае с общими многошаговыми методами, существуют дополнительные условия порядка, которые коэффициенты метода должны удовлетворять, чтобы метод достиг порядка выше 2.Для методов Рунге-Кутты требование дополнительных условий порядка возникает даже для полуявных DAE с индексом 1.
Следует также отметить, что реализация методов прямой дискретизации для DAE сталкивается с некоторыми дополнительными практическими трудностями, такими как получение согласованного набора начальных условий, обработка плохого согласования итерационной матрицы и, наконец, оценка ошибок и контроль шага для DAE Hessenberg с индексом 2.
Для некоторых специальных классов DAE, таких как полуявные DAE в форме Хессенберга и ODE на многообразиях, в частности, для DAE, возникающих в многотельной механике, существуют очень эффективные и надежные численные методы, называемые стабилизированными или прогнозируемыми методами.Основная идея состоит в том, чтобы сначала дискретизировать дифференциальные уравнения соответствующим численным методом ОДУ. За этим этапом следует этап пост-стабилизации или этап проекции координат, чтобы приблизить численное решение к удовлетворению ограничения, см. Eich-Soellner et al. (1998).
Подробнее о числовых значениях DAE см. Ascher et al. (1998), Brenan et al. (1996) и Hairer et al. (1998).
Программное обеспечение
Задачи начального значения
Код DASSL Петцольда использует формулы BDF для решения общих DAE индекса-1, см. Brenan et al.(1996) для подробностей. Также доступны версии для крупномасштабных задач (так называемые DASPK) и для анализа чувствительности. Некоторые более поздние версии DASPK также могут решать DAE с индексом 2 Хессенберга. Также существует код DASPKADJOINT, который реализует сопряженный метод анализа чувствительности DAE-систем.
Код RADAU5 от Hairer & Wanner (1998) основан на трехэтапном методе коллокации Радау. Он решает DAE вида \ (Mx ‘= f (t, x) \, \), где \ (M \) – постоянная квадратная матрица, которая может быть сингулярной.Код применим к задачам индекса 1,2,3. Переменные с более высоким индексом должны быть идентифицированы пользователем.
Код IDA является частью программного пакета SUNDIALS (набор средств решения нелинейных и дифференциальных / алгебраических уравнений), который был разработан Сербаном и Хиндмаршем из Ливерморской национальной лаборатории Лоуренса, США. Он написан на C для решения нелинейных DAE, но является производным от пакета DASPK, написанного на Fortran. Также доступен связанный с SUNDIALS код CPODES (решатель координатной проекции для ODE с инвариантами), написанный Сербаном.
DAEPACK – это программная библиотека, разработанная Полом Бартоном и его группой в Массачусетском технологическом институте. DAEPACK – это аббревиатура от «Пакет дифференциально-алгебраических уравнений», однако его область применения не ограничивается анализом DAE. DAEPACK включает в себя как символьные, так и числовые компоненты для моделирования, а также для общих численных расчетов.
Другие коды: MEXX от Lubich et al. (1992), LIMEX Деуфлхард и др. (1987), GELDA и GENDA Kunkel et al. (1997) также доступны.
Краевые задачи
Код COLDAE по Ascher et al. (1994) использует прогнозируемое сопоставление Гаусса с BVP для полуявных DAE с индексом 2.
Список литературы
Ascher U.M .; Петцольд Л. (1998) Компьютерные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциально-алгебраических уравнений. Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), Филадельфия, Пенсильвания.
Brenan K.E .; Кэмпбелл С.Л .; Петцольд Л.Р. (1996) Численное решение начальных задач в дифференциально-алгебраических уравнениях. Переиздание и исправление оригинала 1989 г. с дополнительной главой и дополнительными ссылками. Классика прикладной математики, 14. Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), Филадельфия, Пенсильвания.
Кэмпбелл С.Л. и Петцольд Л. (1983) Канонические формы и разрешимые особые системы дифференциальных уравнений, SIAM J. Alg. Диск. Meth. 4: 517-521
Hairer E .; Ваннер Г.(1996) Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. II. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. Второе издание. Ряды Спрингера в вычислительной математике, 14. Springer-Verlag, Berlin.
Петцольд Л.Р. (1982) Дифференциальные / алгебраические уравнения не являются ОДУ, SIAM J. Sci. Стат. Вычисл., 3: 367-384.
Rabier P.J .; Райнбольдт W.C. (2002) Теоретический и численный анализ дифференциально-алгебраических уравнений. Справочник по численному анализу, Vol. VIII, 183-540, Handb. Нумер.Anal., VIII, Северная Голландия, Амстердам.
Риаза Р. (2008), Дифференциально-алгебраические системы: аналитические аспекты и приложения схем, World Scientific, Сингапур.
Внутренние ссылки

Внутренние ссылки
Филип Холмс и Эрик Т. Ши-Браун (2006) Стабильность. Академия наук, 1 (10): 1838.
Лоуренс Ф. Шампин и Скип Томпсон (2007) Жесткие системы. Академия наук, 2 (3): 2855.
Рекомендуемая литература
Эйх-Зёлльнер Э. и Фюрер К. (1998) Численные методы в многотельных системах. Teubner Verlag, Штутгарт, Германия.
Грипентрог Э., Мэрц Р. (1986) Дифференциально-алгебраические уравнения и их численная обработка. С резюме на немецком, французском и русском языках. Teubner-Texte zur Mathematik [Teubner Texte zur Mathematik], 88. BSB B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, Лейпциг.
Хайрер Э. , Любич К., Рош М. (1989) Численное решение дифференциально-алгебраических систем методами Рунге-Кутты, Конспект лекций по математике No.1409, Шпрингер-Верлаг, Берлин.
Кункель П., Мерманн В. (2006), Анализ и численное решение дифференциально-алгебраических уравнений. Издательство EMS, Цюрих, Швейцария.
Rabier P.J .; Райнбольдт W.C. (2002) Теоретический и численный анализ дифференциально-алгебраических уравнений. Справочник по численному анализу, Vol. VIII, 183-540, Handb. Нумер. Anal., VIII, Северная Голландия, Амстердам.
Риаза Р. (2008), Дифференциально-алгебраические системы: аналитические аспекты и приложения схем, World Scientific, Сингапур.
Внешние ссылки
См. Также
Динамические системы, численный анализ, устойчивость, уравнения жесткой задержки
Типы дифференциальных уравнений 1-го порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение, содержащее функцию и ее первую производную. В уравнении не появляются высшие производные. Вот разбивка некоторых конкретных типов DE первого порядка:
Дерево обыкновенных дифференциальных уравнений. Точные дифференциальные уравнения не включены.
Отдельно:
Разделимое дифференциальное уравнение может быть записано в форме
Стандартный метод решения ДУ этого типа – разделение переменных.
Подкатегория разделимых дифференциальных уравнений – это автономных дифференциальных уравнений. Это DE, где независимая переменная не входит в уравнение.
Автономный DE может быть записан в форме.
автономных DE иногда называют инвариантными во времени .
Линейный:
Линейное DE первого порядка – это такое, которое может быть записано в форме:
Здесь и приведены функции независимой переменной.
Существует несколько методов решения линейных ДУ первого порядка:
Интегрирующий коэффициент
Изменение параметров
Неопределенные коэффициенты (работает, если является константой)
Важной подкатегорией линейных DE являются Однородные DE. Это линейные DE, где. DE является линейным и однородным первого порядка, если его можно записать в форме:
Обратите внимание, что линейная однородная ДУ первого порядка также разделима, поэтому ее можно решить, используя метод разделения переменных.
Точное:
Точное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение, которое можно записать в форме:
Где и являются такие функции, что
Неявное общее решение точного ДУ первого порядка может быть записано в форме, где функция имеет свойство, и.
Прочие:
Единственные другие типы ДУ первого порядка, которые решаются аналитически, могут быть сведены к одному из вышеперечисленных типов посредством какой-то умной замены.
По большей части решение данной DE не может быть выражено в терминах элементарных функций. Существует множество способов справиться с этими типами, большинство из которых включает либо решение приближенного уравнения, либо приближение решения уравнения.
Нравится:
Нравится Загрузка…
Связанные
Дифференциальное уравнение второго порядка: теоремы о колебаниях и приложения
Дифференциальные уравнения второго порядка используются в самых разных приложениях в физике, математике и технике. В статье установлены необходимые и достаточные условия осцилляции решений полулинейных дифференциальных уравнений второго порядка с запаздыванием вида в предположении. Рассмотрены два случая для и, где и – частные двух положительных нечетных целых чисел.Приведены два примера, показывающих эффективность и применимость результата.
1. Введение
Дифференциальным уравнениям (ДУ) уделяется много внимания, и это область активных исследований среди ученых и инженеров [1–8]. DE обладают способностью формулировать множество сложных явлений в различных областях, таких как биология, механика жидкости, физика плазмы, механика жидкости и оптика; выведено много точных и численных схем, например [9–15]. Дифференциальные уравнения второго порядка появляются в моделях, а также в физических приложениях, таких как гидродинамика, электромагнетизм, акустические колебания и квантовая механика, биологические, физические и химические явления, оптимизация, математика сетей и динамические системы (см. [16–24] ).
В этой статье мы рассматриваем дифференциальное уравнение, где и являются частным двух положительных нечетных целых чисел, а функции являются непрерывными и удовлетворяют условиям, изложенным ниже: (A1),,. (A2),; , для всех ; не равно нулю тождественно ни в каком интервале. (A3) с. (A4) существование дифференцируемой функции такой, что при.
В [25, 26] Бакулкову и Джурина рассмотрели и получили критерии осцилляции решений (2), используя методы сравнения, когда,, и.В той же методике Джурина и Дзурина [27] исследовали колебательное поведение решений (2) при предположениях и. В [28] Bohner et al. исследовали колебательное поведение решений (2) при,, и. Grace et al. [29] изучали колебательное поведение (2) при и и и. В [30] Али исследовал колебательное поведение решений уравнения (2) при предположениях и. Карпуз и Сантра [31] изучали колебательное поведение с учетом допущений и для различных диапазонов нейтрального коэффициента.
Для дальнейшей работы над осцилляцией этого типа уравнений мы отсылаем читателей к ссылкам. Отметим, что в большинстве работ рассматриваются только достаточные условия, и лишь немногие рассматривают как необходимые, так и достаточные условия. Следовательно, цель данной работы – установить как необходимые, так и достаточные условия для колебания решений (1) без использования сравнения и техники Риккати. В данной статье мы ограничиваем наше внимание исследованием (1), которое включает класс функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа.
Замечание 1. Если область не указана явно, предполагается, что все функциональные неравенства, рассматриваемые в этой статье, в конечном итоге выполняются, т.е. они выполняются для всех достаточно больших.
2. Необходимые и достаточные условия
Лемма 1. Пусть выполнено (A1) – (A3), и это в конечном итоге положительное решение (1). Тогда существуют и такие, что для.
Доказательство. Позвольте быть в конечном итоге положительное решение (1). Тогда по (A1) существует такое, что и для всех.Из (1) следует, что, следовательно, не возрастает при. Далее мы покажем, что это положительно. От противного, предположим, что в определенное время. Использование that не является тождественным нулем на любом интервале, и согласно (6) существует такое, чтоRecall является частным двух положительных нечетных целых чисел. Тогда, интегрируя от до, мы имеем По (A3) правая часть приближается; тогда, . Это противоречие с тем, что. Поэтому для всех. Поскольку неравенство не возрастает, мы получаем интеграцию этого неравенства от до и его использование непрерывно, поскольку существует положительная константа такая, что выполняется (4).
Так как положительно и не возрастает, существует и неотрицательно. Интегрируя (1) от до, мы имеем Предел, как, мы получаем Тогда, Поскольку интегрирование приведенного выше неравенства дает Поскольку подынтегральное выражение положительно, мы можем увеличить нижний предел интегрирования от до, а затем использовать определение для получения, что дает (5).
Теорема 1. Предположим, что существует константа, частное двух положительных нечетных целых чисел, такая что.
Если выполнены (A1) – (A3), то каждое решение (1) является колебательным тогда и только тогда, когда
Доказательство. Напротив, мы предполагаем, что это в конечном итоге положительное решение. Итак, лемма 1 верна, и тогда существует такое, что где, вычисляя производную от, мы имеем Таким образом, неотрицательна и не возрастает. Поскольку из (A2) следует, что не может быть тождественно нулем ни на каком интервале; таким образом, не может быть тождественно нулем и не может быть постоянным на любом интервале. Следовательно, для. Вычисляя производную, мы интегрируем (21) из в и, используя это, у нас есть Далее, мы находим нижнюю оценку правой части (25), не зависящую от решения. В силу (4) и (19) имеем Since is неувеличивающийся, и отсюда следует, что возвращаясь к (22), имеем Since, согласно (17) правая часть приближается как. Это противоречит (25) и завершает доказательство достаточности окончательно положительных решений.
С окончательно отрицательным решением можно поступить аналогичным образом, введя переменные.
Далее, мы показываем часть необходимости с помощью контрапозитивного аргумента. Если (17) не выполняется, то для каждого существует такое, что для всех. Мы определяем множество непрерывных функций. Мы определяем оператор на by Обратите внимание, что когда является непрерывным, также непрерывным на.Если – неподвижная точка, т.е., то является решением (1).
Во-первых, оценим снизу. По (A3) мы имеем Теперь, оценим сверху. Ибо у нас есть. Тогда по (26), Следовательно, отображается в.
Далее мы находим фиксированную точку для дюйма. Определим последовательность функций в рекуррентным соотношением. Обратите внимание, что для каждого фиксированного, мы имеем. Используя математическую индукцию, мы можем показать это. Следовательно, последовательность поточечно сходится к функции. Используя теорему о мажорируемой сходимости Лебега, мы можем показать, что это неподвижная точка в.Это показывает, что в предположении (26) существует неколебательное решение, не сходящееся к нулю. Это завершает доказательство.
Теорема 2. Предположим, что существует константа, частное двух положительных нечетных целых чисел, такая что. Если (A1) – (A4) выполняются и не убывают, то каждое решение (1) является колебательным тогда и только тогда, когда
Доказательство. Напротив, мы предполагаем, что это окончательное положительное решение, которое не сходится к нулю. Используя те же рассуждения, что и в лемме 1, существует такое, что и положительна и не возрастает.Поскольку, увеличивается для. Используя (34) и (13), имеем для. От невозрастания и имеем Мы используем это в левой части (35). Затем, разделив и возведя обе стороны к власти, мы имеем for. Умножая левую часть на и интегрируя от до, получаем левую часть, так как при интегрировании имеем В правой части (38), мы используем это, чтобы заключить, что (32) влечет правую часть сторона приближается, как, противоречие.Следовательно, решение не может быть в конечном итоге положительным.
Для окончательно отрицательных решений мы используем ту же замену переменных, что и в теореме 1, и действуем, как указано выше.
Чтобы доказать необходимость, предположим, что (32) не выполняется, и получим окончательно положительное решение, не сходящееся к нулю. Если (32) не выполняется, то для каждого существует такое, что мы определяем множество непрерывных функций. Затем мы определяем оператор. Обратите внимание, что если является непрерывным, то также непрерывно в точке. Также обратите внимание, что если, то является решением (1).
Во-первых, оценим снизу. Пусть, у нас есть, о.
Теперь оценим сверху. Позволять . Тогда, согласно (40), мы имеем Следовательно, отображается в. Чтобы найти фиксированную точку для in, мы определяем последовательность функций с помощью рекуррентного отношения. Обратите внимание, что для каждого фиксированного значения мы имеем. Используя математическую индукцию, мы можем доказать это. Следовательно, сходится поточечно к функции из. Тогда, является неподвижной точкой и положительным решением уравнения (1). Доказательство завершено.
Пример 1. Рассмотрим дифференциальные уравнения Здесь,,,, и.Ибо у нас есть. Для проверки (17) имеем Итак, все условия теоремы 1 выполнены, а значит, все решения (45) являются колебательными или сходятся к нулю.
Пример 2. Рассмотрим дифференциальные уравнения Здесь,,, и. Ибо у нас есть. Для проверки (32) имеем Итак, все условия теоремы 2 выполнены. Таким образом, все решения (47) колеблются или сходятся к нулю.
3. Заключение
Целью данной работы является установление необходимых и достаточных условий колебания решения полулинейного дифференциального уравнения второго порядка.