Порядок дифференциального уравнения определяется: Найти вид общего решения дифференциального уравнения. Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача коши

48. Определение дифференциального уравнения. Порядок дифференциального уравнения.

  Уравнение вида F (x, y (x), y ‘ (x), …, y (n)(x)) = 0, где x — независимая действительная переменная, y (x) — искомая функция, называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Порядком дифференциального уравнения называется максимальный порядок производной, входящей в уравнение.

Общим решением дифференциального уравнения ( называется такое его решение: y= φ ( x,C1,C2 ,…,Cn ), которое содержит столько независимых произвольных постоянных C1,C2 ,…,Cn , каков порядок этого уравнения.

Если общее решение задано в неявном виде Ф( x, y,C ,C ,…,Cn ) =0 , то его называют общим интегралом. 49. Решение дифференциального уравнения. Общее решение. Частное решение.

Решением дифференциального уравнения называется функция y=f(x), которая при подстановке в уравнение превращает его в тождество.

Общее решение дифференциального уравнения — это соотношение вида y = y(x,C1,C2,C3,. ..Cn), зависящее от n произвольных постоянных.

Частное решение дифференциального уравнения — это общее решение при заданных значениях постоянных C1,C2,C3,…Cn.

Дифференциальные уравнения виданазывают уравнениями с разделенными переменными. Уравнение, которое приводится в видуназывается дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. График функцииy=f(x) называется интегральной кривой. 51. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Методы решения.

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

Два метода решения указанных уравнений:

Общее решение диффференциального уравнения выражается в виде: гдеC − произвольная постоянная.

Данный метод аналогичен предыдущему подходу. Сначала необходимо найти общее решение однородного уравнения: Общее решение однородного уравнения содержит постоянную интегрирования C. Далее мы заменяем константу C на некоторую (пока еще неизвестную) функцию C(x). Подставляя это решение в неоднородное дифференциальное уравнение, можно определить функцию C(x).Если, кроме дифференциального уравнения, задано также начальное условие в форме y(x0) = y0, то такая задача называется задачей Коши. Решение задачи Коши не содержит произвольной константы C. Ее конкретное числовое значение определяется подстановкой общего решения уравнения в заданное начальное условие y(x0) = y0.

52. Дифференциальные уравнения высших порядков. Определения. Все  дифференциальные   уравнения   порядка   выше  первого называют  дифференциальными   уравнениями высших   порядков .Общий вид: 53. Уравнения 2-го порядка, приводимые к уравнениям 1-го порядка. В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в виде гдеF − заданная функция указанных аргументов. Если дифференциальное уравнение можно разрешить относительно второй производной y”, то его можно представить в следующем явном виде: В частных случаях функцияf в правой части может содержать лишь одну или две переменных. Такие неполные уравнения включают в себя 5 различных типов:

С помощью определенных подстановок эти уравнения можно преобразовать в уравнения первого порядка. В случае произвольных дифференциальных уравнений второго порядка, их порядок можно понизить, если эти уравнения обладают определенной симметрией. Ниже мы обсудим 2 типа таких уравнений (случаи 6 и 7): 1)Функция

F(x, y, y’, y”) является однородной функцией аргументов y, y’, y”;2)Функция F(x, y, y’, y”) является точной производной функции первого порядка Ф(x, y, y’). 54. Линейные однородные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. 

Пусть линейное однородное уравнение имеет вид где a1,a2 ,…,an – некоторые действительные числа. Уравнение (14.8) называется линейным однородным уравнением n–го порядка с постоянными коэффициентами.55. Неоднородные линейные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Линейное неоднородное уравнение данного типа имеет вид: где p, q − постоянные числа (которые могут быть как действительными, так и комплексными). Для каждого такого уравнения можно записать соответствующее однородное уравнение: Общее решение неоднородного уравнения является суммой общего решения y0(x) соответствуюшего однородного уравнения и частного решения y1(x) неоднородного уравнения:Методы решения.1) Метод вариации постоянных . Если общее решение y0 ассоциированного однородного уравнения известно, то общее решение неоднородного уравнения можно найти, используя метод вариации постоянных. 2)Метод неопределенных коэффициентов . Правая часть f(x) неоднородного дифференциального уравнения часто представляет собой многочлен, экспоненциальную или тригонометрическую функцию, или некоторую комбинацию указанных функций. В этом случае решение удобнее искать с помощью метода неопределенных коэффициентов. Данный метод работает лишь для ограниченного класса функций в правой части, таких как 1.

2. где Pn(x) и Qm(x) − многочлены степени n и m, соответственно.

Порядок – дифференциальное уравнение – Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Cтраница 1

Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком производной, содержащейся в этом уравнении.  [1]

Порядок дифференциальных уравнений

определяется числом независимых переменных состояния. Формально порядок дифференциальных уравнений можно определить как разность между числом переменных состояния, входящих в уравнение схемы, и числом зависимых переменных состояния.  [2]

Порядок дифференциального уравнения с частными производными обычно не выше второго, количество уравнений – не больше числа звеньев.  [3]

Порядок дифференциального уравнения будет равен этому числу минус число независимых узлов ( п), в которых сходятся ветви, содержащие в себе индуктивности и емкости, и минус число независимых контуров ( пн), составленных только из емкостей или индуктивностей.

 [4]

Порядок дифференциального уравнения и величины его постоянных коэффициентов полностью определяются статическими и динамическими параметрами элементов системы и ее структурной схемой.  [5]

Порядок дифференциального уравнения, описывающего динамику следящей системы компенсатора, в большинстве случаев оказывается сравнительно невысоким – не выше 2 – 4 порядка. Он определяется порядком уравнений усилителя, двигателя и применяемых корректирующих цепей. Все используемые компенсационные элементы ( см. главу II) являются безынерционными динамическими звеньями.  [6]

График изме – как показано на 1 – 7, то в каждой точке.  [7]

Порядок дифференциального уравнения – это наивысший порядок входящих в него производных, определяемый числом раз дифференцирования зависимой переменной. Существуют уравнения более высокого порядка.  [8]

Порядок дифференциального уравнения и постоянная времени теплового чувствительного элемента зависит от его формы, конструкции, теплоемкости его материала и условий теплообмена между поверхностью датчика – 1 средой.  [9]

Порядок дифференциального уравнения о частными производными обычно не вышо второго, количество уравнений – не больше числа звеньев.  [10]

Порядок дифференциального уравнения, описывающего переходный процесс в электрической цепи, в общем случае не равен полному числу катушек индуктивности и конденсаторов в цени. Последовательно ( или параллельно) включенные катушки индуктивности можно объединить в одну, также как и соответствующим образом включенные конденсаторы. Однако и после такого объединения число катушек и конденсаторов может превышать порядок дифференциального уравнения. Действительно, если к некоторому узлу подходят ветви, каждая из которых включает в себя катушку индуктивности ( в этом случае, как говорят, имеется 13-сечение), то ток одной из катушек можно выразить через токи других катушек из уравнения первого закона Кирхгофа, составленного для этого узла.

Аналогично из уравнения второго закона Кирхгофа, записанного для контура, содержащего конденсаторы ( если такие контуры, называемые СЯ-кон-турами, имеются), можно исключить напряжение одного из конденсаторов, выразив его через напряжения других конденсаторов.  [11]

Порядок дифференциальных уравнений чувствительности равен порядку исходного уравнения.  [12]

Порядок дифференциального уравнения равновесия цепи зависит от числа реактивных элементов и их размещения в цепи.  [13]

Если порядок дифференциального уравнения и вид его правой части известны, то для определения коэффициентов а, можно воспользоваться другим методом.  [14]

Повышение порядка дифференциального уравнения, как известно, усложняет его решение. Поэтому является целесообразным максимально упростить уравнение, понизить его порядок, не искажая, конечно, существенно физическую сущность анализируемого процесса. В каждом отдельном случае необходимо тщательно проанализировать относительное влияние каждого члена уравнения на протекание переходного процесса, особенно с точки зрения обеспечения устойчивости системы. Однако можно сделать и общие рекомендации, пользуясь которыми в ряде случаев можно значительно упростить дифференциальное уравнение системы.  [15]

Страницы:      1    2    3    4

Порядок и степень дифференциального уравнения

LearnPracticeDownload

Порядок и степень дифференциального уравнения помогают решить дифференциальное уравнение. Дифференциальные уравнения можно сравнить с полиномиальными выражениями, а порядок и степень дифференциального уравнения помогают узнать шаги, необходимые для решения дифференциального уравнения, и количество возможных решений дифференциального уравнения.

Давайте узнаем больше о том, как найти порядок и степень дифференциального уравнения, с примерами и часто задаваемыми вопросами.

1.	Как найти порядок и степень дифференциального уравнения?
2.	Порядок дифференциального уравнения
3.	Степень дифференциального уравнения
4.	Примеры порядка и степени дифференциального уравнения
5.	Практические вопросы по порядку и степени дифференциального уравнения
6.	Часто задаваемые вопросы о порядке и степени дифференциального уравнения

Как найти порядок и степень дифференциального уравнения?

Порядок и степень дифференциального уравнения помогают нам определить тип и сложность дифференциального уравнения. Подобно полиномиальному уравнению, дифференциальное уравнение имеет дифференциал зависимой переменной относительно независимой переменной, и здесь порядок и степень дифференциального уравнения помогают найти решения дифференциального уравнения.

Порядок дифференциального уравнения можно определить, сначала определив производные в данном выражении дифференциального уравнения. Различные производные в дифференциальном уравнении следующие.

• Первая производная:dy/dx или y’
• Вторая производная: d ² y/dx ² или y”
• Третья производная: d ³ y/dx ³ , или y”’
• n-я производная: d ⁿ y/dx ⁿ или y ^{””…..n раз}

Далее, самая старшая производная, присутствующая в дифференциальном уравнении, определяет порядок дифференциального уравнения, а показатель степени старшей производной представляет собой степень дифференциального уравнения. Подобно полиномиальному уравнению от переменной x, дифференциальное уравнение имеет производные зависимой переменной по производным независимой переменной.

Давайте теперь разберемся с каждым порядком дифференциальных уравнений и степенью дифференциального уравнения.

Порядок дифференциального уравнения

Порядок дифференциального уравнения — это наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение. Рассмотрим следующие дифференциальные уравнения:

dy/dx = e ^x , (d ⁴ y/dx ⁴ ) + y = 0, (d ³ y/dx ³ ) 1 ^{x 2 (d 2 y/dx 2 ) + xdy/dx + 3= 0}

В приведенных выше примерах дифференциальных уравнений старшие производные имеют первый, четвертый и третий порядок соответственно.

Дифференциальное уравнение первого порядка

Как видно из первого примера, это дифференциальное уравнение первого порядка, степень которого равна 1. Все линейные уравнения в виде производных имеют первый порядок. Оно имеет только первую производную, такую ​​как dy/dx, где x и y — две переменные, и представляется как: dy/dx = f(x, y) = y’

Дифференциальное уравнение второго порядка

Уравнение, которое включает производную второго порядка, является дифференциальным уравнением второго порядка. Он представлен как; d/dx(dy/dx) = d ² у/дх ² = f”(x) = у”

Степень дифференциального уравнения

Степень дифференциального уравнения — это наивысшая степень производной высшего порядка в дифференциальном уравнении. Степень дифференциального уравнения всегда является положительным целым числом. Сначала необходимо определить порядок дифференциального уравнения, а затем можно определить степень дифференциального уравнения. Степень дифференциального уравнения сравнима со степенью переменной в полиномиальном выражении. Вот несколько примеров дифференциальных уравнений.

• 7 (D ⁴ Y/DX ⁴ ) ³ + 5 (D ² Y/DX ² ) ⁴ + 9 (DY/DX) ⁸ + 11 = 0 = 0.
• (dy/dx) ² + (dy/dx) – Cos ³ x = 0
• (d ² у/дх ² ) + х(ду/дх) ³ = 0

В приведенных выше дифференциальных уравнениях степени уравнений равны три, два и один соответственно.

Похожие темы

Следующие темы помогут лучше понять порядок дифференциальных уравнений.

• Производные
• Дифференциальное уравнение
• Формула дифференциальных уравнений
• Основная теорема исчисления
• Неопределенный интеграл
• Линейное дифференциальное уравнение

 

Пример порядка и степени дифференциального уравнения

1. Пример 1: Найдите порядок и степень следующих дифференциальных уравнений.

   (а). 4(d ³ у/дх ³ ) – (d ² у/дх ² ) ³ + 5(dy/дх) + 4 = 0

   (б). 7 (D ⁴ Y/DX ⁴ ) ² + 5 (D ² Y/DX ² ) ⁴ + 9 (DY/DX) ⁸ + 11 = 0 0003

   (DY/DX) ⁸ + 11 = 0 0003

   (DY/DX) в). 3(d ² y/dx ² ) + x(dy/dx) ³ = 0

   (д). (у”’) ² + х ² (у’) ³ – 2х + 11 = 0

   (д). (dy/dx) ² + (dy/dx) – Cos ³ x = 0

   Решение:

   (а). Дифференциальное уравнение имеет порядок три и степень один.

   (б). Дифференциальное уравнение имеет четвертый порядок и вторую степень.

   (с). Это дифференциальное уравнение второго порядка и первой степени.

   (б). Дифференциальное уравнение третьего порядка и второй степени.

   (с). Дифференциальное уравнение имеет первый порядок и вторую степень.

перейти к слайду

Отличное обучение в старшей школе с использованием простых подсказок

Увлекаясь зубрежкой, вы, скорее всего, забудете понятия. С Cuemath вы будете учиться визуально и будете удивлены результатами.

Забронировать бесплатный пробный урок

Практические вопросы по порядку и степени дифференциального уравнения

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о порядке и степени дифференциального уравнения

Как найти порядок и степень дифференциального уравнения?

Порядок дифференциального уравнения можно определить, определив наибольшую производную, которую можно найти в дифференциальном уравнении. А степень дифференциального уравнения есть степень этой производной высшего порядка в дифференциальном уравнении. Проверим порядок и степень дифференциального уравнения на следующих примерах дифференциальных уравнений.

dy/dx = e ^x , (d ⁴ y/dx ⁴ ) + y = 0, (d ³ y/dx ³ ) 60 + 9 d x ³ ) 60 + 9 d 1 2 9006 ² y/dx ² ) + xdy/dx + 3= 0

В этих дифференциальных уравнениях дифференциальные уравнения первого порядка – первая степень, четвертого порядка – первая степень и третьего порядка – вторая степень соответственно.

Что такое порядок и степень дифференциального уравнения?

Степень дифференциального уравнения – это степень старшей производной, присутствующей в уравнении. Сначала нужно определить порядок дифференциального уравнения, чтобы найти степень дифференциального уравнения. Чтобы найти степень дифференциального уравнения, нам нужно иметь положительное целое число в качестве индекса каждой производной.

Как узнать, является ли дифференциальное уравнение дифференциальным уравнением первого или второго порядка?

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет степень, равную 1. Все линейные уравнения в виде производных имеют первый порядок. Он имеет только первую производную dy/dx. А уравнение, в которое входит производная второго порядка, является дифференциальным уравнением второго порядка. Он представлен как; d/dx(dy/dx) = d ² y/dx ² = f”(x) = y”

В чем разница между порядком и степенью дифференциального уравнения?

Порядок дифференциального уравнения отличается от степени дифференциального уравнения. Порядок дифференциального уравнения — это наивысшая производная в дифференциальном уравнении, а степень дифференциального уравнения — это степень этой старшей производной в дифференциальном уравнении. Прежде чем найти степень дифференциального уравнения, необходимо определить порядок дифференциального уравнения.

Рабочие листы по математике и
наглядный учебный план

Значение и способы нахождения

Порядок и степень дифференциального уравнения помогают определить меры, необходимые для решения дифференциального уравнения, и количество возможных решений дифференциального уравнения. В этой статье о порядке и степени дифференциальных уравнений мы постараемся узнать об определении и о том, как найти степень и порядок дифференциального уравнения с примерами.

Уравнение, включающее производную или производные зависимой переменной относительно независимой переменной или переменных, в математике называется дифференциальным уравнением. Порядок, а также степень дифференциального уравнения необходимы для объяснения различных фактов о дифференциальном уравнении.

Порядок дифференциального уравнения

Порядок дифференциального уравнения обозначается как порядок старшей производной зависимой переменной относительно независимой переменной, связанной с заданным дифференциальным уравнением. Дифференциальное уравнение — это математическое уравнение, которое связывает некоторую функцию через ее производные. Рассмотрим приведенные ниже примеры, чтобы понять разницу между уравнением и дифференциальным уравнением.

\(х+у=8\)

9х\)

Старшая производная уравнения имеет 1-й порядок, следовательно, порядок дифференциального уравнения равен единице.

Узнайте о дифференциальном уравнении в этом видео!

Дифференциальное уравнение первого порядка

Порядок старшей производной в состоянии дифференциальных уравнений первого порядка равен единице (1). Это означает, что решение линейных дифференциальных уравнений с порядком 1 называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Математически представляется как:

\(\frac{dy}{dx}+Ay=B\)

Здесь A и B обозначают либо константы, либо функции независимой переменной. Говорят, что все линейные уравнения в системе производных имеют первый порядок. 93+4\right)y=\frac{x}{4}\)

Отсюда можно сделать вывод, что дифференциальное уравнение первого порядка будет иметь только первую производную, такую ​​как dy/dx, где x и y обозначают две переменные. Математически представляется как: \(\frac{dy}{dx}=f\left(x,y\right)=y’\).

Узнайте больше об интегральном исчислении здесь.

Дифференциальное уравнение второго порядка

Как можно понять из названия; когда порядок старшей производной уравнения равен двум (2), то такое уравнение называется дифференциальным уравнением второго порядка. Общее представление дифференциального уравнения второго порядка: 92}+\влево(4x\вправо)y=2\).

В приведенном выше примере старшая производная имеет второй порядок. Следовательно, можно сказать, что это дифференциальное уравнение второго порядка.

Степень дифференциального уравнения

В реальном сценарии функции выражают некоторые физические величины, а их производные обозначают скорость изменения функции по отношению к независимым переменным. Мы можем разделить дифференциальные уравнения несколькими способами, самый простой из них — на основе порядка и степени дифференциального уравнения. В предыдущем заголовке мы узнали о порядке, давайте теперь узнаем о степени дифференциального уравнения. 92+y=9\)

Для приведенного выше уравнения показатель степени старшей производной равен единице, а представленное дифференциальное уравнение является полиномиальным уравнением от производных. Следовательно, степень этого уравнения равна единице.

Когда степень не определена?

Степень любого заданного дифференциального уравнения может быть получена, если оно представлено в виде многочлена; напротив, степень не может быть определена. Это означает, что не всегда возможно найти степень данного дифференциального уравнения.

Рассмотрим пример; \(\frac{dy}{dx}=\sin(x+y)\). Здесь степень равна 1, однако для дифференциального уравнения \(\sin\left(\frac{dy}{dx}\right)=x+y\) степень не указывается. Такие типы дифференциальных уравнений можно увидеть с другими функциями тригонометрии, а именно с тангенсом, косинусом и так далее.

Узнайте больше о логарифмических функциях здесь.

Как найти порядок и степень дифференциальных уравнений?

Для получения порядка и степени дифференциальных уравнений должны быть выполнены следующие условия:

• Все компоненты производной в уравнении не должны содержать дробных степеней (положительных или отрицательных).
• Производные не должны входить ни в какую дробь.
• Коэффициент любого члена, содержащего производную высшего порядка, должен быть просто функцией x, y или любой производной более низкого порядка.

Если какое-либо из перечисленных выше условий не удовлетворяется дифференциальным уравнением, то сначала следует привести уравнение к виду, когда оно удовлетворяет всем предыдущим условиям. В случае ДУ, где дифференциальный коэффициент присутствует в скобках какой-либо другой функции как составной, то изначально постарайтесь сделать ее как можно более простой. 92}\right) \)и соответствующий показатель степени относительно старшей производной для уравнения равен 1. Следовательно, степень этого уравнения равна единице. Итак, теперь мы знаем, как найти степень дифференциального уравнения. Степень любого дифференциального уравнения всегда является положительным целым числом.

Кроме того, узнайте о приложениях дифференциальных уравнений.

Ключевые выводы о порядке и степени дифференциальных уравнений

Для изучения степени дифференциального уравнения важно, чтобы дифференциальное уравнение было полиномиальным уравнением от производных, т. е. y′, y″, y ″′ и т. д. Ниже приведены некоторые важные моменты по теме:

• Дифференциальное уравнение, включающее производные зависимой переменной только по одной независимой переменной, объявляется обыкновенным дифференциальным уравнением. {\prime}\) 9{\ простое \ простое \ простое \ cdots \ cdots п} \).

Решенные примеры порядка и степени дифференциального уравнения

Из этой статьи вы узнаете, что самая старшая производная, существующая в дифференциальном уравнении, определяет порядок уравнения, а показатель степени старшей производной описывает степень дифференциальное уравнение. Давайте теперь попрактикуемся еще в нескольких примерах, связанных с порядком и степенью.

Решено Пример 1: Найдите порядок и степень данного дифференциального уравнения. 92}\)). Таким образом, порядок дифференциального уравнения равен 2, а соответствующая степень равна 1.

Мы надеемся, что приведенная выше статья о порядке и степени дифференциальных уравнений поможет вам понять и подготовиться к экзамену. Оставайтесь с нами в приложении Testbook, чтобы получать больше обновлений по связанным с математикой темам и другим подобным предметам. Кроме того, обратитесь к серии тестов, доступных для проверки ваших знаний по нескольким экзаменам.

Порядок и степень дифференциальных уравнений Часто задаваемые вопросы

Q.1 Как найти порядок и степень дифференциального уравнения?

Ответ 1 Степень и порядок дифференциального уравнения выражаются показателем степени и степенью производной старшего порядка в данном дифференциальном уравнении.

Q.2 Какова степень дифференциального уравнения?

Ответ 2 Степень данного уравнения выражает наивысшую степень, в которую возводится любая переменная в уравнении. Например, уравнение 1-й степени используется для описания уравнения, в котором наивысшая степень любой переменной равна «единице».

Q.3 Как определить порядок дифференциального уравнения?

Ответ 3 Порядок дифференциального уравнения подразумевает наивысшую производную, которую оно имеет.

Q.4 Что вы подразумеваете под дифференциальными уравнениями 1-го порядка и 1-й степени?

Ответ 4 Дифференциальное уравнение первого порядка и первой степени может быть математически представлено как \(\frac{dy}{dx}+Ay=B\).