Правила функции производной: Правила нахождения производных, формулы и примеры

Графики функции, производной, первообразной – Умскул Учебник

На этой странице вы узнаете

• Где проходит граница между теплом и холодом? 
• Почему успех фильма не всегда зависит от наличия экшн-сцен?
• Чем кофе похож на функцию, ее первообразную и производную?  

Многие из нас чем-то похожи на родителей. Не являясь их точной копией, мы перенимаем определенные черты. То же самое происходит и с графиками. О том, какие особенности “наследуют” друг у друга графики функции, производной и первообразной, поговорим в статье. 

Связь графика функции и производной

Подготовим карандаши и линейки, мы начинаем погружение в мир графиков. Почему графики — это круто? Они дают нам наглядное представление о функции. Мы можем проанализировать ее, не прибегая к сложным формулам и трудоемким вычислениям. 

Воспринимать визуальную информацию всегда легче. А графики — это как раз визуальное описание функции.  

Возьмем график произвольной функции. 

Прежде чем приступать к дальнейшему изучению материала, рекомендуем ознакомиться с «Определением и графиком функции», а также «Производной».

Мы точно видим, на каких промежутках график будет возрастать, а на каких убывать. Если представить, что мы пойдем по направлению оси х, то график будет возрастать на подъемах в горку и убывать на спусках с нее. Отметим промежутки возрастания зеленым фоном, а промежутки убывания красным. 

В зеленых промежутках производная будет положительна, а в красных отрицательна. Пока что просто запомним этот факт. 

Обратим внимание на границы между зелеными и красными зонами. В этих точках функция будет менять свой знак с положительного на отрицательный или обратно. Такие точки называются точками экстремума. 

Экстремум — это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции на заданном отрезке. 

Точки экстремума — точки, в которых достигается экстремум.  

В точках экстремума производная равна 0.

Теперь попробуем построить примерный график производной. Для начала опустим точки экстремума. Где они будут лежать на графике производной? На оси х. 

Вспомним, что в точках экстремума производная функции будет равна 0. Пусть график будет задан 

y = f'(x), тогда в точках экстремума получаем y = 0. Это и есть ось х. 

Так мы получили целых 9 точек, через которые пройдет производная. Осталось провести через них примерный график. 

Вспомним, что:

• производная положительна на промежутках возрастания функции;
• производная отрицательна на промежутках убывания функции. 

Как понять, что все точки на графике производной будут положительны или отрицательны? Достаточно посмотреть на то, с какой стороны от оси х они располагаются. 

Положительные значения всегда будут лежать выше оси х. Это связано со значением y: значения функции будут положительны при положительных значениях у, и отрицательны при отрицательных значениях у.  

Где проходит граница между теплом и холодом?  Можно представить, что ось х — это полюс, который разделяет тропики и льды. Над осью х всегда будет светить солнце, а температура будет положительной. А вот под осью х всегда будут льды и снега, и температура — отрицательной.  Следовательно, знак производной на ее графике будет совпадать со знаком температуры в тропиках или льдах.

Итак, как нам нарисовать график производной? На зеленых участках ее график будет лежать над осью х, а на красных участках — под ней. 

Подведем итоги:

• В точках экстремума функции график производной будет проходить через ось х.
• На промежутках возрастания функции график производной будет лежать выше оси х.
• На промежутках убывания функции график производной будет лежать ниже оси х.  

Эти зависимости можно отследить на любых графиках функции и ее производной. 

Если провести обратные рассуждения, то по графику производной можно восстановить примерный график функции. В этом случае:

• В точках, где график производной пересекает ось х, будут лежать точки экстремума. При этом если в точке производная меняет значение с положительного на отрицательное, то это точка максимума, а если с отрицательного на положительное, то это точка минимума. 
• На промежутках, где график производной будет лежать выше оси х, функция будет возрастать. 
• На промежутках, где график производной будет лежать ниже оси х, функция будет убывать. 

Разберем несколько примеров, где можно применить эти знания. 

Пример 1. На рисунке изображен график функции f(x) и отмечены пять точек на оси абсцисс: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅. В скольких из этих точек производная функции отрицательна?

Решение. Производная отрицательна на промежутках убывания функции. Отметим такие промежутки. 

В точках, которые попали в эти промежутки, производная отрицательная. Всего таких точек 2.

Ответ: 2

Пример 2. На рисунке изображен график функции y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-5; 3). Найдите точку максимума функции f(x).

Решение. Точки экстремума на графике производной лежат на оси х. На данном графике таких точки две: x = -2, x = 2. 

Точка максимума — это точка, в которой производная меняет знак с положительного на отрицательный. По графику определяем, что это точка x = -2.

Ответ: -2

Почему успех фильма не всегда зависит от наличия экшн-сцен? Представим, что мы составили графики “Заинтересованность зрителей фильмом” и “Наличие в фильме экшн-сцен”. Совпадут ли эти графики? Скорее всего, нет.  Экшн-сцены могут вызывать интерес у зрителей, равно как и романтические сцены или смешные повороты сюжета. Получается, что наличие экшн-сцен и заинтересованность фильмом — это разные величины в кинематографе, хотя и связаны между собой.  Также и графики производной и функции: они зависят друг от друга, но иллюстрируют совсем разные свойства функции, поэтому сильно отличаются.

Связь графика функции и первообразной

Мы разобрались, как связаны графики функции и ее производной. Есть ли связь между графиком функции и «Первообразной»?

Вспомним один важный факт: если взять производную от первообразной, то получим функцию. 

F'(x) = f(x)

Похоже на функцию и ее производную, верно? На самом деле, ситуации ничем не отличаются. 

В этом случае изначальной функцией будет первообразная, а ее производной — функция. Для наглядности составим таблицу. 

	Было	Взяли производную	Стало
Функция и производная	f(x)	f'(x)	f'(x)
Функция и первообразная	F(x)	F'(x)	f(x)

Получается, для функции и первообразной будут действовать почти те же правила, что и для функции и ее производной.  

При решении заданий с графиками первообразной достаточно проанализировать уравнение F'(x) = f(x). Рассмотрим несколько примеров. 

Пример 3. На рисунке изображен график функции y = F(x) — одной из первообразных функции f(x) и отмечены шесть точек на оси абсцисс x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆. В скольких из этих точек функция f(x) отрицательна? 

Решение. Поскольку F'(x) = f(x), то функция f(x) будет отрицательна в тех же точках, в которых будет отрицательна F'(x). 

Поскольку на графике изображена функция y = F(x), то ее производная будет отрицательна на промежутках убывания функции. Отметим их красным. 

В эти промежутки попадают 3 из 6 точек.  

Ответ: 3. 

Пример 4. На рисунке изображен график функции y = F(x) — одной из первообразных функции f(x), определенной на интервале (-6; 7). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [-5; 4].  

Решение. Вспомним, что F'(x) = f(x). Тогда если f(x) = 0, то и F'(x) = 0. Следовательно, на заданном промежутке нужно найти точки экстремума. 

Отметим заданный промежуток красными линиями. На промежутке всего 9 точек экстремума, значит, в 9 точках f(x) будет равна 0. 

Ответ: 9

Чем кофе похож на функцию, ее первообразную и производную?  Представим, что в качестве функции у нас выступают кофейные зерна. Тогда производная — то, что мы получаем в результате их переработки — это вкусный напиток.  Из чего получаются сами кофейные зерна? Их собирают с кофейного дерева. То есть зерна будут производной от кофейного дерева, а кофейное дерево — это первообразная.  Так мы можем отследить следующую цепочку: кофейное дерево → кофейные зерна → кофе. И эта цепочка наглядно иллюстрирует связь первообразной, функции и ее производной.

Фактчек

• Графики функции, производной и первообразной связаны между собой.  
• В точках экстремума функции график производной будет проходить через ось х.
• На промежутках возрастания функции график производной будет лежать выше оси х.
• На промежутках убывания функции график производной будет лежать ниже оси х. 
• Для решения задач с первообразной необходимо вспомнить, что F'(x) = f(x). Любой график можно проанализировать с помощью этого уравнения также, как анализируются графики функции и ее производной. 

Проверь себя

Задание 1. 
На каких промежутках будет производная функции будет положительна?

1. На промежутках убывания функции.
2. На промежутках возрастания функции.
3. В точках экстремума.
4. Невозможно определить по графику. 

Задание 2. 
На каких промежутках производная функции будет отрицательна?

1. На промежутках возрастания функции.
2. На промежутках убывания функции.
3. В точках экстремума.
4. Невозможно определить по графику. 

Задание 3. 
На рисунке изображен график производной функции f(x), на котором отмечена точка. Чем будет являться эта точка для функции f(x)? 

1. Точка максимума функции.
2. Точка минимума функции.
3. Любая произвольная точка на функции.
4. Невозможно определить по графику. 

Задание 4. 
Выберите верный вариант:

1. F(x) = f'(x)
2. F(x) = f(x)
3. F'(x) = f'(x)
4. F'(x) = f(x)

Ответы: 1. — 2 2. — 2 3. — 1 4. — 4

1 Производная функции

Понятие производной функции является одним из основных в математике и широко применяется в различных областях науки и техники.

Производной функции y=f(x) в точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю произвольным образом.

.

Процедура отыскания производной называется дифференцированием функции.

Справедливы следующие правила дифференцирования:

1. (с) =0 2. (u+v) =u +v 3. (uv) =u v+uv

4. (сu) = сu 5. .

На основе этого определения могут быть выведены формулы для производных основных элементарных функций:

1. , в частности: ;

2. , в частности: ;

3. , в частности: ;

4. ; 5. ;

6. ; 7. ;

8. ; 9. ;

10. ; 11. .

Особый интерес представляет производная сложной функции.

Если у=f(u), где u= , тогда у .

Пример 1 Найти производную функции: .

Решение.

Используя правило дифференцирования сложной функции, а также формулу нахождения производной степенной функции, получим:

.

Пример 2 Найти производную функции .

Решение.

Воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций и формулами нахождения производной от показательной и логарифмической функции.

= = = =

= .

Пример 3 Найти производную функции: .

Используем правило дифференцирования дроби и формулы нахождения производной от и степенной функции.

=

Пример 4 Найти производную функции: .

Решение.

При нахождении производной неявно заданной функции продифференцируем обе части уравнения по переменной , имея в виду, что есть функция от и выразим из полученного линейного относительно уравнения.

Если функция задана параметрическими уравнениями, то ее производная по переменной находится по формуле .

Пример 5 Найти производную функции:

Решение.

Поскольку , , то

.

Пример 6 Найти производную функции: .

Решение.

Применим метод логарифмического дифференцирования, для чего логарифмируем заданное выражение по основанию « », потом дифференцируем и находим у .

.

Дифференцируем:

=

=

Находим из полученного уравнения у :

.

0. Вопросы для самопроверки

1. Что называется производной функции?

1. Каковы правила нахождения производных от суммы, произведения, дроби, от постоянной величины?

2. Как найти производную сложной функции?

3. Правило дифференцирования функции, заданной неявно.

4. В чем заключается метод логарифмического дифференцирования?

2 Приложение производной к исследованию функции и построению ее графика

Методы дифференциального исчисления позволяют исследовать функции и строить их графики.

Так, по знаку первой производной в интервале можно определить возрастание (убывание) функции, делать выводы о наличии или отсутствии экстремума функции. По знаку второй производной выделяем интервалы выпуклости (вогнутости) графика функции и точки перегиба ее графика.

Справедливы следующие теоремы:

1. Если функция дифференцируема на интервале и для , то эта функция возрастает (убывает) на интервале .

2. Если дифференцируемая функция = имеет экстремум в точке х , то ее производная в этой точке равна нулю: .

3. Если непрерывная функция = дифференцируема в некоторой -окрестности критической точки х и при переходе через нее (слева направо) производная меняет знак с плюса на минус, то х – точка максимума; с минуса на плюс, то х – точка минимума.

4. Если функция = во всех точках интервала имеет отрицательную вторую производную, то график функции в этом интервале выпуклый верх; если , то график выпуклый вниз.

5. Если вторая производная при переходе через точку х , в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой х – точка перегиба.

Построение графика функции значительно облегчается, если известны его асимптоты.

Различают 2 вида асимптот:

а) Вертикальные, существующие в точках разрыва второго рода. Их уравнения имеют вид .

б) Наклонные: , где

, .

В частности, при наклонная асимптота становится горизонтальной и имеет уравнение .

При исследовании функции и построении ее графика полезно воспользоваться следующей схемой:

1. Найти область определения функции.

2. Найти точки пересечения графика с осями координат, если это возможно.

3. Найти асимптоты графика функции.

4. Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции.

5. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции.

На основании полученного исследования построить график.

Пример 7 Исследовать функцию и построить ее график:

.

Решение.

1. Область определения.

.

2. Асимптоты графика:

а) вертикальная

б) наклонная , где

.

3. Найдем производную функции.

; ; .

.

Определим знак производной в промежутках:

	( )	-2	-2, 4	4	(4, 10)	10	(10, + )
	+	0	–	не сущ.		0	+
		max				min

4. Найдем вторую производную функции.

	( )	4	(4, + )
	–	не сущ.	+

Точек перегиба графика функции нет.

П о результатам исследования построим график функции.

{\arctan{x}}$

спросил 3 года, 6 месяцев назад

Изменено 3 года, 6 месяцев назад

Просмотрено 786 раз

$\begingroup$

Я работаю над некоторыми старыми выпускными экзаменами по математике 1 класса в университете. Есть несколько вопросов «найди производную», и хотя обычно я довольно хорошо с ними справляюсь, я получил неправильный ответ на один, согласно wolfram alpha. 9{g(x)}\cdot g'(x)\ .$$

$\endgroup$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

Правила дифференциации | Brilliant Math & Science Wiki

Содержание

• Основные свойства производных
• Производные полиномов (степенное правило)
• Производные тригонометрических функций
• Производные экспоненциальных функций
• Производные логарифмических функций
• Правило цепи
• Правило продукта
• Частное правило
• Обратные функции
• Решение проблем с правилами дифференциации — основное
• Решение задач по правилам дифференциации — средний уровень
• Правила дифференциации – Решение проблем – Продвинутый уровень

Получение производных функций следует нескольким основным правилам:

• умножение на константу: (c⋅f(x))′=c⋅f′(x) \big(c\cdot f(x)\big)’ = c \cdot f'(x) (c⋅f(x))′=c⋅f′(x) 9{n-1} dxd​xn=n⋅xn−1

  Основная статья: Дифференциация тригонометрических функций

  Основные тригонометрические производные можно увидеть в таблице ниже: ) f′(x) sin⁡x \sin x sinx cos⁡x \cos x cosx cos⁡x \cos x cosx −9 x0xsin -xsin загар⁡x \загар x загарx 9Икс. \ _\площадь \end{выровнено} f′(x)​=3(ex)′=3ex. □​​

  Основная статья: Дифференциация логарифмических функций

  Какова производная следующей логарифмической функции:

  f(x)=ln⁡x+x? f(x) = \ln x + x ?f(x)=lnx+x?

  ---

  У нас есть

  f′(x)=(ln⁡x)′+x′=1x+1. □ \begin{выровнено} f'(x) &= (\ln x)’ +x’ \\ &= \frac{1}{x} + 1. \ _\квадрат \end{выровнено} f′(x)​=(lnx)′+x′=x1​+1. □​​

  Какова производная следующей логарифмической функции: 92 + 7} = \фракция{1}{10}. \ _\квадрат(f−1)′(10)=f′(f−1(10))1​=f′(1)1​=3⋅12+71​=101​. □​

  Если f(x+y)=f(x)+f(y)+xy f(x+y) = f(x) + f(y) + xy f(x+y)=f(x)+f (y)+xy и f′(0)=2,f’(0)=2,f′(0)=2, что такое f′(2)?f'(2)?f′(2)?

  ---

  Замена x=0x=0x=0 и y=0y=0y=0 в f(x+y)=f(x)+f(y)+xy, f(x+y) = f(x) + f(y) + xy ,f(x+y)=f(x)+f(y)+xy, мы получаем значение f(0)f(0)f(0) следующим образом:

  f(0)=f(0)+f(0)+0  ⟹  f(0)=0. f(0) = f(0) + f(0) + 0 \ подразумевает f(0) = 0 .f(0)=f(0)+f(0)+0⟹f(0)=0.

  Таким образом,

  f′(2)=lim⁡h→0f(2+h)−f(2)h=lim⁡h→0f(2)+f(h)+2h−f(2)h=lim⁡h→ 0(f(h)h+2)=lim⁡h→0(f(0+h)−f(0)h+2)=f′(0)+2=2+2=4. □ \begin{выровнено} f'(2) &= \lim_{h\стрелка вправо 0} \frac{f(2+h)-f(2)}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(2) + f(h) + 2h – f(2)}{h} \\ &= \lim_{h \стрелка вправо 0} \left ( \frac{f(h)}{h}+2\right ) \\ &= \lim_{h \стрелка вправо 0} \left ( \frac{f(0+h)-f(0)}{h}+2\right ) \\ &= f'(0) + 2 \\ &= 2+2 \\ &= 4. \ _\квадрат \end{выровнено} f′(2)​=h→0lim​hf(2+h)−f(2)​=h→0lim​hf(2)+f(h)+2h−f(2)​ =h→0lim​(hf(h)​+2)=h→0lim​(hf(0+h)−f(0)​+2)=f′(0)+2=2+2=4. □​​ 92-x.F((F(x)+x)k)=(F(x)+x)2−x.

  Значение F(1)F(1)F(1) таково, что конечное число возможных числовых значений F′(1)F’(1)F′(1) может быть определено исключительно из приведенного выше Информация. Максимальное значение kkk такое, что F′(1)F’(1)F′(1) является целым числом, может быть выражено как ab\frac{a}{b}ba​, где aaa и bbb взаимно простые целые числа.