Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа
Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕГЛАВА I. § 1. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ § 2. СЛОЖЕНИЕ И ЗАКОНЫ СЛОЖЕНИЯ § 3.  ВЫЧИТАНИЕ§ 4. УМНОЖЕНИЕ И ЗАКОНЫ УМНОЖЕНИЯ § 6. ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ § 7. ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА § 8. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ § 9. ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНОЕ СООТВЕТСТВИЕ § 10. ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА § 11. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ § 12. НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ Контрольные вопросы ГЛАВА II § 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ § 2. ПРАВИЛЬНЫЕ И НЕПРАВИЛЬНЫЕ ДРОБИ § 3. ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ДРОБИ § 4. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ § 5. УМНОЖЕНИЕ ДРОБЕЙ § 6. ДЕЛЕНИЕ ДРОБЕЙ § 7. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ § 8. ОБРАЩЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБИ В ОБЫКНОВЕННУЮ И ОБЫКНОВЕННОЙ В ДЕСЯТИЧНУЮ. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДРОБИ § 9. ОТНОШЕНИЕ. ПРОПОРЦИЯ § 10. СВОЙСТВА ПРОПОРЦИИ § 11. ПРОЦЕНТ. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ § 12. ДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА НА ЧАСТИ, ПРЯМО И ОБРАТНО ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ДАННЫМ ЧИСЛАМ ГЛАВА III § 1. КООРДИНАТНАЯ ПРЯМАЯ § 2. МНОЖЕСТВО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ § 3. МНОЖЕСТВО РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 4. МОДУЛЬ ЧИСЛА § 5.  СРАВНЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ§ 6. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 7. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 8. ВОЗВЕДЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ В СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ Контрольные вопросы ГЛАВА IV § 1. СВОЙСТВА СТЕПЕНИ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ § 2. ЧИСЛОВЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 3. ВЫРАЖЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ § 5. ОДНОЧЛЕНЫ § 6. МНОГОЧЛЕНЫ § 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СУММЫ И РАЗНОСТИ МНОГОЧЛЕНОВ § 8. УМНОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА ОДНОЧЛЕН И МНОГОЧЛЕНА НА МНОГОЧЛЕН § 9. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ СПОСОБОМ ВЫНЕСЕНИЯ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ § 10. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ СПОСОБОМ ГРУППИРОВКИ § 11. ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ Контрольные вопросы ГЛАВА V § 1. ДРОБЬ § 2. ЦЕЛЫЕ И ДРОБНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 3. ТОЖДЕСТВЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СУММЫ И РАЗНОСТИ ДВУХ ДРОБЕЙ § 4. ТОЖДЕСТВЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ЧАСТНОГО ДВУХ ДРОБЕЙ § 5. СТЕПЕНЬ ДРОБИ Контрольные вопросы ГЛАВА VI § 1.  § 2. РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ О ЧИСЛЕ. МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 3. КОРЕНЬ СТЕПЕНИ ИЗ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА § 4. АЛГОРИТМ ИЗВЛЕЧЕНИЯ КВАДРАТНОГО КОРНЯ ИЗ ЧИСЛА § 5. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ § 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ КОРНЕЙ § 7. СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ И ДРОБНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ Контрольные вопросы ГЛАВА VII § 1. УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ § 2. ПОНЯТИЕ О РАВНОСИЛЬНОСТИ УРАВНЕНИЙ § 3. СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ РАВЕНСТВ И ТЕОРЕМЫ О РАВНОСИЛЬНОСТИ УРАВНЕНИЙ § 4. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, СОДЕРЖАЩЕЕ ПАРАМЕТР ГЛАВА VIII § 1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ § 2. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ § 3. МОНОТОННОСТЬ ФУНКЦИИ § 4. ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ § 5. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ § 6. ПРОМЕЖУТКИ ЗНАКОПОСТОЯНСТВА И КОРНИ ФУНКЦИИ Контрольные вопросы ГЛАВА IX § 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ § 2. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ГРАФИК § 3.  КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ГРАФИК§ 4. ФУНКЦИЯ y=k/x И ЕЕ ГРАФИК § 5. ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ГРАФИК Контрольные вопросы ГЛАВА X § 1. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 3. ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ § 4. УРАВНЕНИЕ СО МНОГИМИ ПЕРЕМЕННЫМИ § 5. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Контрольные вопросы ГЛАВА XI § 1. НЕРАВЕНСТВА § 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕРАВЕНСТВ § 3. ДЕЙСТВИЯ С НЕРАВЕНСТВАМИ § 4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕРАВЕНСТВ § 5. НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ПЕРЕМЕННУЮ § 6. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ И КВАДРАТНЫХ НЕРАВЕНСТВ Контрольные вопросы ГЛАВА XII § 1. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ § 2. НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ § 3. РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИХ ПЕРЕМЕННУЮ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ § 4. РЕШЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ ПРОМЕЖУТКОВ Контрольные вопросы ГЛАВА XIII § 1. ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ § 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ § 4.  СУММА БЕСКОНЕЧНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ ПРИ |q|Контрольные вопросыГЛАВА XIV § 1. ГРАДУСНОЕ ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВЫХ ВЕЛИЧИН § 2. РАДИАННОЕ ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВЫХ ВЕЛИЧИН § 3. СИНУС И КОСИНУС ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА § 4. ТАНГЕНС И КОТАНГЕНС ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА. СЕКАНС И КОСЕКАНС ЧИСЛА а § 5. ОСНОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА § 6. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Контрольные вопросы ГЛАВА XV § 1. ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ § 2. ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ § 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СУММУ § 5. ФОРМУЛЫ СУММЫ И РАЗНОСТИ ОДНОИМЕННЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ § 6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПОЛОВИННОГО АРГУМЕНТА § 7. ВЫРАЖЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ЧЕРЕЗ ТАНГЕНС ПОЛОВИННОГО АРГУМЕНТА Контрольные вопросы ГЛАВА XVI § 1. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ y = sin(x) И ЕЕ ГРАФИК § 2. СВОЙСТВА ФУНКЦИ И у = cos(x) И ЕЕ ГРАФИК § 3. СВОЙСТВА ФУНКЦИ И у=tg(x) И ЕЕ ГРАФИК § 4.  СВОЙСТВА ФУНКЦИ И y=ctg(x) И ЕЕ ГРАФИККонтрольные вопросы ГЛАВА XVII § 1. АРКСИНУС И АРККОСИНУС § 2. АРКТАНГЕНС И АРККОТАНГЕНС Контрольные вопросы ГЛАВА XVIII § 1. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВИДА cos(x)=а § 2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВИДА sin(x)=a § 3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВИДА tg(х)=а § 4. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, ПРИВОДИМЫХ К КВАДРАТНОМУ § 5. РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ § 6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ, РЕШАЕМЫЕ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ СЛОЖЕНИЯ, ПОНИЖЕНИЯ СТЕПЕНИ § 7. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Контрольные вопросы ГЛАВА XIX § 1. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ ВИДА sin(х) > а, sin(х) § 2. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ ВИДА cos(x) > a, cos(x) § 3. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ ВИДА tg(х) > a, tg(х) § 4. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ § 1. ПРИРАЩЕНИЕ АРГУМЕНТА И ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ § 2.  ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ§ 3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ § 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ § 5. ПРОИЗВОДНАЯ СУММЫ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ, ЧАСТНОГО § 6. ПРОИЗВОДНАЯ СТЕПЕННОЙ И СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ § 7. ПРОИЗВОДНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Контрольные вопросы ГЛАВА XXI § 1. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К НАХОЖДЕНИЮ ПРОМЕЖУТКОВ МОНОТОННОСТИ ФУНКЦИИ § 2. КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ФУНКЦИИ, ЕЕ МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ § 4. ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ НАИМЕНЬШЕГО И НАИБОЛЬШЕГО ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ Контрольные вопросы ГЛАВА XXII § 1. ФОРМУЛЫ ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ § 2. КАСАТЕЛЬНАЯ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ § 3. СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ В ДАННЫЙ МОМЕНТ ВРЕМЕНИ § 4. ГРАФИКИ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ Контрольные вопросы ГЛАВА XXIII § 1. ПОТЕРЯННЫЕ И ПОСТОРОННИЕ КОРНИ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ (НА ПРИМЕРАХ) § 2. ПОСТОРОННИЕ КОРНИ ИРРАЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ (НА ПРИМЕРАХ) § 3. РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 4. РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ Контрольные вопросы ГЛАВА XXIV § 1.  § 2. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 3. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА § 4. СИСТЕМЫ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ Контрольные вопросы ГЛАВА XXV § 1. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ § 2. ПОНЯТИЕ ЛОГАРИФМА § 3. СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ § 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ, ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК § 5. ТЕОРЕМЫ О ЛОГАРИФМЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ, ЧАСТНОГО И СТЕПЕНИ. ФОРМУЛА ПЕРЕХОДА К НОВОМУ ОСНОВАНИЮ § 6. ДЕСЯТИЧНЫЕ ЛОГАРИФМЫ И ИХ СВОЙСТВА § 7. ЛОГАРИФМИРОВАНИЕ И ПОТЕНЦИРОВАНИЕ Контрольные вопросы ГЛАВА XXVI § 1. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ § 2. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА § 4. ПРОИЗВОДНЫЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ И ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИЙ. ЧИСЛО e Контрольные вопросы ГЛАВА XXVII § 1. ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИ § 2. ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ПЕРВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИ § 3. ТРИ ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПЕРВООБРАЗНЫХ § 4. КРИВОЛИНЕЙНАЯ ТРАПЕЦИЯ И ЕЕ ПЛОЩАДЬ Контрольные вопросы ГЛАВА XXVIII § 1.  ФОРМУЛА НЬЮТОНА—ЛЕЙБНИЦА§ 2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ § 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛА § 4. МЕХАНИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ПРИЛОЖЕНИЕ Введение 1. Задачи на движение 2. Задачи на совместную работу 3. Задачи на планирование 4. Задачи на зависимость между компонентами арифметических действий 5. Задачи на проценты 6. Задачи на смеси (сплавы) 7. Задачи на разбавление |
§3. Основные правила интегрирования
I. .
II. .
III. Если , то.
Неопределенный интеграл – это множество функций и равенства I и II надо понимать как совпадение множеств. Например, равенство I означает следующее: чтобы получить элементы множества , надо каждый элемент множества умножить на число .Правило III можно доказать так: . Тогда
,
т.
е.
.
Отметим, что правило III “работает” только тогда, когда вместо переменной интегрирования фигурирует линейная функция :
,
но . Для этого интегралаправильный ответ имеет вид: .
Замечание. Правило III есть весьма частный случай замены переменной (см. следующий параграф).
§4. Основные методы интегрирования
I Непосредственное интегрирование
Так принято называть вычисление интегралов с помощью таблицы основных интегралов, правил интегрирования и тождественных преобразований подынтегральной функции.
Примеры.
1.
.
2.
.
Можно предложить и другой способ:
.
Ответы
по форме различны, но формулы тригонометрии
позволяют доказать их тождественность.
3. .
4.Частный случай формулы 14 из §2:
.
5.Один полезный прием:
.
II Метод замены переменной
Существуют две реализации этого метода: 1) в качестве новой переменной интегрирования рассматриваем некоторую функцию , которая фигурирует в подынтегральном выражении; 2) переменную интегрированиязаменяем специально подобранной функцией.
II.1 Подведение под знак дифференциала
Теорема 1. Пусть известно, что . Тогда, если функция– непрерывно-дифференцируема, то
. (1)
Доказательство. Первое условие теоремы означает, что .
Применяя правило дифференцирования сложной функции, получим
,
что и доказывает (1).
Чтобы
воспользоваться этой теоремой на
практике, необходимо вычленить в
подынтегральной функции производную
некоторой функции, объединить эту
производную с дифференциалом переменной
интегрирования и сделать замену.
После
вычисления интеграла вернуться к
исходной переменной интегрирования.
Примеры.
6.
.
Замечание 1. Замену такого типа можно производить и без подведения под знак дифференциала.
7.
.
8.
.
Сразу отметим здесь, что такой простой заменой не всегда удается избавить-
ся от иррациональности (попробуйте сами, заменив в числителе на).
Замечание 2. Приведем две формулы, которые часто встречаются и их
лучше запомнить как табличные:
,
.
II.2 Метод подстановки
Теорема
2. Пусть требуется вычислить интеграл
и пусть– непрерывно-дифференцируемая функция,
имеющая обратную.
Тогда, если
, (2)
то
. (3)
Доказательство. Равенство (2) означает, что . Тогда
.
Сравнение начала и конца этой цепочки равенств и доказывает равенство (3).
Пример.
9.
=
.
Ответ можно упростить, если учесть формулу синуса двойного угла:
.
III Интегрирование по частям
Теорема 3. Если и– непрерывно-дифференци-руемые функции, то справедлива формула
. (4)
Доказательство вытекает из правила дифференцирования
произведения:
.
Проинтегрируем обе части этого равенства
и учтем одно из свойств неопределенного
интеграла:
,
,
отсюда и следует формула интегрирования по частям (3).
При практическом применении этого метода подынтегральное выражение надо разбить в произведение таким образом, чтобы функциявычислялась просто, а интеграл в правой части (4) был бы проще исходного.
Примеры.
10.
.
.
Замечание 3. Если при вычислении интеграла взять другую первообразную, например, получим тот же результат:
.
Замечание
4. Область применения этого метода в
основном исчерпывается интегралами
вида
,
где– многочлен, а– это: 1) показательные, тригонометрическиеи гипербо-лические функции; 2)
логарифмические и обратные тригонометрические
функции.
При этом в качествев случае 1) берем многочлен, а в случае
2)– логарифмы и аркфункции. Отметим,
что в случае 2) «многочлен» может
содержать степени переменной с
ненатуральными показателями.
Примеры.
12.
.
13.
.
Мы пришли к уравнению , из которого
получаем
.
14.Для интеграла путем двукратного интегриро-
вания по частям можно получить уравнение
,
из которого находим
.
Аналогичным образом можно найти интегралы
, , .
интеграционных правил – что такое интеграционные правила? Примеры
Интегральные правила используются для простого вычисления интеграла. На самом деле интеграл от функции f(x) — это функция F(x) такая, что d/dx (F(x)) = f(x).
Например, d/dx (x 2 ) = 2x и, следовательно, ∫ 2x dx = x 2 + C, т. е. интегрирование — это процесс, обратный дифференцированию. Но нельзя (не легко) каждый раз применять обратный процесс дифференцирования для вычисления интегралов. Правила интеграции очень помогли бы в этом отношении.
Давайте посмотрим, каковы правила интеграции различных функций вместе с примерами.
| 1. | Что такое правила интеграции? |
| 2. | Основные правила интеграции |
| 3. | Правила интегрирования тригонометрических функций |
| 4. | Правила интегрирования обратных тригонометрических функций |
| 5. | Правила интеграции специальных функций |
| 6. | Правило интеграции ILATE |
| 7. | Правила замещения метода интеграции |
8. | Правила интегрирования с использованием неполных дробей |
| 9. | Правила интеграции FTC |
| 10. | Часто задаваемые вопросы о правилах интеграции |
Что такое правила интеграции?
Правила интеграции — это правила, используемые для интеграции различных типов функций. Мы видели, что ∫ 2x dx = x 2 + C, поскольку d/dx (x 2 ) = 2x. Это можно получить с помощью степенного правила интегрирования, которое гласит: ∫x n dx = x n+1 /(n+1) + C, где ‘C’ — постоянная интегрирования (которую мы добавляем после интеграла любую функцию). Используя это правило, ∫ 2x dx = 2 [x 1+1 /(1+1) ]+ C = 2 (x 2 /2) + C = x 2 + C и мы получили тот же ответ. Теперь вы, возможно, поняли важность правил интеграции. Существуют различные типы интегральных правил, и наиболее часто используемые из них перечислены ниже:
Основные правила интеграции
Вот основные правила интегрирования, каждое из которых может быть проверено путем дифференцирования результата.
Если вы хотите увидеть, как выводится каждое из этих правил, нажмите на соответствующие ссылки.
- Степенное правило интегрирования:
- Интеграл от 1 равен ∫ 1 dx = x + C.
- Интеграл от e x равен, ∫ e x dx = e x + C
- Интеграл от x равен ∫ a x dx = a x / ln a + C
- Интеграл от 1/x равен ∫ 1/x dx = ln |x| + С
Кроме того, мы используем следующие свойства интегралов, когда вместо подынтегральной функции стоит сумма/разность членов.
- ∫ [f(x)+g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx
- ∫ [f(x)-g(x)] dx = ∫ f(x) dx – ∫ g(x) dx
- ∫ a f(x) dx = ∫ f(x) dx + C, где a — константа
Правила интегрирования тригонометрических функций
Существует 6 тригонометрических функций: sin, cos, tan, csc, sec и cot. Вот правила интегрирования всех этих тригонометрических функций:
- Интеграл от sin x равен ∫ sin x dx = -cos x + C.
- Интеграл от cos x равен ∫ cos x dx = sin x + C.
- Интеграл от tan x равен ∫ tan x = ln (sec x) + C (или) -ln |(cos x)+C
- Интеграл csc x равен ∫ cosec x dx = ln |cosec x – cot x| + C (или) – ln |cosec x + cot x| + С (или) пер | загар (x/2) | + С
- Интеграл от sec x равен ∫ sec x dx = ln |sec x + tan x| + C (или) (1/2) ln | (1 + sin x) / (1 – sin x) (или) ln | загар [(x/2) + (π/4)] | + С
- Интеграл от cot x равен ∫ cot x dx = ln |sin x| + С
Помимо этих, есть и другие правила, которые включают в себя комбинацию тригонометрических функций.
- ∫ сек 2 x dx = tan x + C
- ∫ cosec 2 x dx = -cot x + C
- ∫ сек x.tan x dx = сек x + C
- ∫ косек х . раскладушка x dx = -cosec x + C
Правила интегрирования обратных тригонометрических функций
Существует 6 обратных тригонометрических функций: arcsin (sin -1 ), arccos (cos -1 ), arctan (tan -1 ), arccsc (csc -1 ), arcsec (sec -1 ) и arccot (cot -1 ).
Вот правила интегрирования этих обратных тригонометрических функций.
- ∫ sin -1 x dx = x sin -1 x + √(1 – x 2 ) + C
- ∫ cos -1 x dx = x cos -1 x – √(1 – x²) + C
- ∫ тангенс -1 x dx = x тангенс -1 x – ½ ln |1+x 2 | + С
- ∫ csc -1 x dx = x csc -1 x + ln |x + √(x 2 – 1)| + С
- ∫ сек -1 x dx = x сек -1 x – ln |x + √(x 2 – 1)| + С
- ∫ раскладушка -1 x dx = x раскладушка -1 x + ½ ln |1+x 2 | + С
На самом деле нам не нужно запоминать эти правила, вместо этого мы можем применить правило интегрирования по частям, чтобы быстро получить каждое из них.
Помимо этих, у нас есть несколько других правил интегрирования, которые включают обратные тригонометрические функции:
- ∫1/√(1 – x 2 ). dx = sin -1 x + C
- ∫ 1/(1 – x 2 ).dx = -cos -1 x + C
- ∫ 1/x√(x 2 – 1).dx = сек -1 x + C
- ∫ 1/x√(x 2 – 1).dx = -cosec -1 x + C
- ∫1/(1 + x 2 ).dx = тангенс -1 x + C
- ∫ 1/(1 +x 2 ).dx = -cot -1 x + C
dx = sin -1 x + CЭти правила напрямую выводятся из производных обратных триггерных функций.
Правила интеграции специальных функций
Помимо правил, которые мы видели в предыдущих разделах, у нас есть некоторые правила интегрирования, которые используются для интегрирования некоторых специальных типов рациональных функций, где знаменатель включает квадраты. Они следующие:
- ∫1/ (x 2 – a 2 ) dx = (1/2a) log|(x-a)/(x+a)| +С
- ∫1/ (a 2 – x 2 ) dx = (1/2a) log|(a+x)/(a-x)| +С
- ∫ 1/ √(x 2 + a 2 ) dx = log |x + √(x 2 + a 2 )|+C
- ∫1/ √(x 2 – a 2 ) dx = log |x + √(x 2 – a 2 )|+C
- ∫1/ (a 2 + x 2 ) dx = (1/a) tan -1 (х/д) + C
- ∫ 1/ √(a 2 – x 2 ) dx = sin -1 (x/a) +C
Существуют и другие правила интегрирования, в которых используются квадратные корни подынтегральных выражений.
- ∫√(a 2 – x 2 ).dx = x/2 · √(a 2 – x 2 ) + a 2 /203 – 90 а + С
- ∫√(x 2 + a 2 ).dx = x/2 · √(x 2 + a 2 ) + a 2 /2 · log |x + √(x 2 + a 2 )| + С
- ∫√(x 2 – a 2 ).dx = x/2 · √(x 2 – a 2 ) – a 2 /2 · log |x + √(x – а 2 )| + С
Эти 3 правила можно получить, используя метод подстановки интегрирования.
Правило интеграции ILATE
Правило интегрирования ILATE используется в процессе интегрирования по частям. Это применяется для интеграции произведения любых двух различных типов функций. Правило интегрирования по частям гласит:
- ∫ у дв = ув – ∫ в ду
Но когда у нас есть произведение функций u × dv, мы не можем понять, какая функция должна быть u, а какая — dv.
В этом случае мы используем правило ILATE, где:
- I : Обратные тригонометрические функции
- L: Логарифмические функции
- А: Алгебраические функции
- T: Тригонометрические функции
- E: экспоненциальные функции
Первая функция “u” должна быть выбрана в соответствии с приведенным выше порядком функций с учетом первого приоритета функции, которая появляется первой в приведенном выше списке. Это правило также иногда называют LIATE. Это правило используется для интегрирования обратных тригонометрических функций (как упоминалось в одном из предыдущих разделов) и логарифмических функций. Одним из наиболее важных применений этого правила интегрирования является интеграл от ln x, то есть ∫ ln x dx = x ln x – x + C. Мы можем вывести это правило следующим образом:
∫ ln x dx = ∫ ln x · 1 dx
Здесь ln x — логарифмическая функция, а 1 — алгебраическая функция. Таким образом, используя порядок ILATE, ln x должна быть первой функцией u.
т. е.
пусть u = ln x и dv = 1. Тогда
du = (1/x) dx и v = ∫ 1 dx = x.
По правилу интегрирования по частям dx = x ln x – ∫ 1 dx = x ln x – x + C.
Таким образом, всякий раз, когда нет прямого правила для интегрирования функции и есть только одна функция для интегрирования, примите вторую функцию равной 1 и примените интегрирование по правилу частей.
Правила подстановки Метод интеграции
Когда ни одно из вышеперечисленных правил интегрирования не может быть применено, и если какая-то часть подынтегрального выражения является производной от другой части подынтегрального выражения, то используется метод подстановки. В этом методе:
- Предположим, что часть подынтегрального выражения равна u.
- Найти ду.
- Полностью переведите данный интеграл через u.
- Затем выполните интеграцию по одному из вышеуказанных правил.
- Подставьте обратно значение u в результат.
Пример: Найдите интеграл от ∫ 2x sin x 2 dx.
Решение:
Пусть x 2 = dx. Тогда 2x dx = du.
∫ 2x sin x 2 dx = ∫ sin u du
= – cos u + C
= – cos x 2 + C
Используя этот метод подстановки, мы можем вывести несколько других правил интегрирования как следует:
- ∫ f ‘(x) / f(x) dx = ln |f(x)| + С
- ∫ f ‘(x) / √(f(x)) dx = 2√[f(x)] + C
- ∫ sin ax dx = (1/a) (- cos ax) + C ;
∫ cos ax dx = (1/a) (sin ax) + C;
∫ 1/(ax + b) dx = (1/a) ln |ax + b| и т. д. (аналогичные правила можно вывести и для других функций)
Правила интегрирования с использованием неполных дробей
Чтобы проинтегрировать рациональную функцию, мы сначала разобьем ее на частичные дроби, используя одно из следующих правил, а затем применим правило ∫ 1/(ax + b) dx = (1/a) ln |ax + b| + C для интегрирования каждой частичной дроби. Чтобы узнать больше об интегрировании неполными дробями, нажмите здесь.
Пример: Найдите интеграл ∫ (4x + 1) / [ (x – 2) (x + 1)] dx.
Решение:
Разложив приведенную выше дробь на неполные, получим: (4x + 1) / [ (x – 2) (x + 1)] = 3 / (x – 2) + 1 / ( х + 1).
Интеграл с обеих сторон,
∫ (4x + 1) / [ (x – 2) (x + 1)] dx = ∫ [3 / (x – 2) + 1 / (x + 1)] dx
Теперь применим правило ∫ 1/(ax + b) dx = (1/a) ln |ax + b| для каждой из фракций:
∫ (4x + 1) / [ (x – 2) (x + 1)] dx = 3 ln |x – 2| + пер |х + 1| + тел.
Правила интеграции FTC
FTC (Фундаментальная теорема исчисления) содержит два правила, которые помогают при интегрировании. Первое правило используется для нахождения производной неопределенных интегралов, тогда как второе правило используется для вычисления определенных интегралов.
- FTC 1: d/dx ∫ a x f(t) dt = f(x)
- ФТК 2: ∫ а b f(t) dt = F(b) – F(a), где F(x) = ∫ a b f(x) dx
Пример: Найти d/dx ∫ 2 x sin t 2 dt.
Решение:
Здесь f(t) = sin t 2 и a = 2. По первой основной теореме исчисления имеем:
d/dx ∫ a x 9000 t) dt = f(x)
d/dx ∫ 2 x sin t 2 dt = f(x) = sin x 2 .
Важные замечания по правилам интегрирования:
- Постоянная интегрирования (C) должна добавляться к каждому результату неопределенного интеграла.
- Постоянная интегрирования не появляется в результате определенного интеграла.
- Примените правило LIATE для объединения произведения двух разных типов функций.
- Для интегрирования частных функций в большинстве случаев полезен метод подстановки.
☛ Похожие темы:
- Калькулятор интегралов
- Расчетный калькулятор
- Калькулятор производных
Часто задаваемые вопросы о правилах интеграции
Каковы важные правила интеграции?
Правила интеграции — это правила, используемые для интеграции функции.
Наиболее важные правила интегрирования следующие:
- ∫ x n dx = x n+1 /(n+1) + C
- ∫ е х dx = е х + С
- ∫ (1/x) dx = ln |x| + С
- ∫ a x dx = a x / ln a + C
- ∫ 1 дх = х + С
Что такое УФ правило интегрирования?
Правило интегрирования UV также известно как правило интегрирования произведения (или) правило интегрирования по частям. Это правило гласит:
∫ u dv = uv – ∫ v du
Здесь первая функция ‘u’ выбирается по правилу ILATE.
Как получить правила интеграции?
Мы знаем, что интеграция — это обратный процесс интеграции. Итак, чтобы найти интеграл функции, просто подумайте, производная от какой функции дает данную функцию. Например, чтобы вывести правило интегрирования для ∫ cos x dx, просто подумайте, «производная какой функции является cos x», тогда ответ может быть получен как sin x. Просто добавьте константу интегрирования, и тогда мы получим ∫ cos x dx = sin x + C.
Однако все правила интегрирования не могут быть получены так просто. Для сложных функций вы можете обратиться ко всей этой странице.
Что такое правило интегрирования трапеций?
Правило интегрирования трапеций используется для нахождения приближенного значения интеграла на определенном интервале [a, b] путем деления интервала на равные n подинтервалов с конечными точками a = x 0 < x 1 < х 2 < х 3 <…..<х n = б. Правило гласит:
b ∫ₐ f(x) dx = h/2 (f(x₀) + 2f(x₁) + 2f(x₂)) + … + f(x n )), где h = (b – a)/n.
Что такое правило интеграции Симпсона?
Мы используем правило интегрирования Симпсона для аппроксимации интеграла b ∫ₐ f(x) dx путем деления [a, b] на n подынтервалов, где a = x 0 < x 1 < x 2 < х 3 <…..<х н = б. Правило гласит:
b ∫ₐ f(x) dx = h/3 (f(x₀) + 4f(x₁) + 2f(x₂)) + .
.. + f(x n )), где h = (b – a)/n.
Что такое правило интеграции средней точки?
Используя правило средней точки интегрирования, мы можем аппроксимировать определенный интеграл b ∫ₐ f(x) dx по правилу ∑ i=1 n h f(x i * ), где h = (b – a)/n и x i * – середина интервала [x i-1 , x i ]. Здесь a = x 0 < x 1 < x 2 < x 3 <…..
Что такое правило обратной степени интегрирования?
Степенное правило обычно относится к степенному правилу дифференцирования, которое гласит d/dx (x n ) = n x n-1 . Используя это, d/dx [x n+1 /(n+1)] = x n и, следовательно, ∫ x n dx = x n+1 /(n+1) + C. Это правило называется степенным правилом интегрирования.
Правила интеграции | Изучение и решение вопросов
Интеграция — это метод объединения различных частей в единое целое. Интеграция — это просто обратный процесс дифференциации. Мы используем интегрирование в математике для нахождения площадей, объемов и т. д. Площадь области, ограниченной графиком функций, определяется и вычисляется с помощью интегрирования.
Правила интегрирования основных функций
У нас есть несколько правил интегрирования, чтобы найти интеграл более сложных функций, чем только известные. Эти правила можно прочитать в разделах ниже. Помимо этих правил, существует ряд интегральных формул, которыми можно заменить интегральную форму.
Различные типы функций имеют разные правила интеграции. Давайте рассмотрим некоторые основные правила интеграции для некоторых основных функций, таких как:
1. Постоянная функция 92+C$
Где C — интегральная постоянная.
Методы интегрирования
В некоторых случаях визуального осмотра недостаточно для определения интеграла функции.
Существуют и другие способы получения интеграла от функции, приведенной к стандартной форме. Ниже перечислены другие методы:
Метод разложения
Интегрирование путем замены
Интегрирование с использованием частичных дробей
Интегрирование по частям
Метод разложения
В этом методе мы разлагаем сложную функцию в виде суммы или разности простых функций. Например, 2sinA.cosB можно разложить как $\sin(A+B)-\sin(A-B)$.
Интегрирование путем замены
Этот метод известен как метод правила обратной цепочки и u-подстановка. В этом методе мы преобразуем сложный интеграл к стандартной форме с помощью замены.
Например, $\int 2x\cos(x^2+5)dx$ 92+5)+C$
Где C – интегральная постоянная.