ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ: ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

Π’Π΅ΠΌΡ‹ школьной ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ β€” ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° 5-11 класс. Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π² Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½Π° для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ ряда Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅ интСрпрСтируСтся ΠΊΠ°ΠΊ Β«ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния», Ρ‚ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π·, бСря ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ, ΠΌΡ‹ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ Π½Π° ΡΡ‚ΡƒΠΏΠ΅Π½ΡŒΠΊΡƒ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Β«Π±Ρ‹ΡΡ‚Ρ€ΡƒΡŽΒ», Ρ‡Π΅ΠΌ Ρ‚Π°, ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΡ‹ Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ. НапримСр, бСря ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ y(x) ΠΏΠΎ x, ΠΌΡ‹ фактичСски Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ y Π² зависимости ΠΎΡ‚ измСнСния ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ x, Π° бСря ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ скорости измСнСния ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ y Π² зависимости ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ x, ΠΌΡ‹ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ускорСниС.

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

НапримСр, ΠΏΡ€ΠΈ использовании ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅, ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ производная расстояния s ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ β€” это ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ. ΠŸΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ β€” это Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ·ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ быстроту измСнСния расстояния Π² зависимости ΠΎΡ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. А производная скорости β€” Π½ΠΈΡ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ½ΠΎΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ускорСниС, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ускорСниС β€” это Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ·ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ быстроту измСнСния скорости.
ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ производная находится ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅: , Ρ‚ΠΎ бСсконСчноС количСство Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΡƒΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡŽΡ‚ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ диффСрСнцирования, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… элСмСнтарных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°ΡΡΡŒ Π½Π° ΡƒΠΆΠ΅ Π²Ρ‹Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… выраТСниях для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… этих элСмСнтарных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

Π₯арактСристика ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Π΅Π΅ смысл

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ быстроту измСнСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² зависимости ΠΎΡ‚ измСнСния Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°.

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ с ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠ° Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… элСмСнтарных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π ΡƒΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΡΡ‚Π²ΡƒΡΡΡŒ этой Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ΠΉ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Но ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ с Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ΠΉ β€” Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ прСдставим Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования

β„– правилаНазваниС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ диффСрСнцирования
1ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ постоянной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, Π‘-постоянная
2ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ суммы.
3ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ произвСдСния постоянной Π½Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, Π‘ β€” постоянная
4ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ x
5ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ
6ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ дСлСния Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ
7ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… простых ΠΈ слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… для элСмСнтарных ΠΈ для слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

НомСр формулыНазваниС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ элСмСнтарныС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈΠ‘Π»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
1ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΏΠΎ x
2ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ логарифмичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ основанию a
3ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠΎ x Π² стСпСни n
4ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня
5ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ a Π² стСпСни x
6ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ e Π² стСпСни x
7ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ синуса
8ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ косинуса
9ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ тангСнса
10ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ котангСнса
11ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ арксинуса
12ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ арккосинуса
13ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ арктангСнса
14ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ арккотангСнса

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1

ΠŸΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡΡΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌΠΈ диффСрСнцирования, Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: .

РСшСниС:

ΠœΡ‹ использовали ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ 2 диффСрСнцирования суммы. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ слагаСмого:

По Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ 3 «производная ΠΏΠΎ x Π² стСпСни nΒ» (Ρƒ нас Π² стСпСни 2).

По ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ диффСрСнцирования 3 ΠΈ 4.

По ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ диффСрСнцирования «производная постоянной Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽΒ»

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ: .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2

Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

РСшСниС:

Находим ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ, ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡΡΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ диффСрСнцирования 6.

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:

Β  Β 

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3

Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

РСшСниС: здСсь всС просто, ΠΌΡ‹ возьмСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΈΠ· Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ….

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4

НайдитС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

РСшСниС: Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, Π° ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΈ Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ 8 Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… для слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

Β  Β 

Β  Β 

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:

Β  Β 

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5

ΠŸΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡΡΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌΠΈ диффСрСнцирования ΠΈ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…, Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

РСшСниС: Π£ нас слоТная функция, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ стоит Π½Π΅ просто , Π° квадратная функция.

Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π²ΠΈΠ΄Π° .

Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

Β  Β 

Β  Β 

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:

Β  Β 

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 6

НайдитС ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅Π»Π°, Ссли траСктория Π΅Π³ΠΎ двиТСния Π·Π°Π΄Π°Π½Π° ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌ

РСшСниС: ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅Π»Π° β€” это пСрвая производная Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ: . ΠΌ/с.

Находим ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅Π»Π°:

Β  Β 

Β  Β 

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 3 ΠΌ/с.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ простых, ΠΈ слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования: Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

  1. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ диффСрСнцирования
  2. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ суммы Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ
  3. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с постоянным ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ
  4. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ
  5. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ частного Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ
  6. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ стСпСнной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
  7. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

ΠΏ.

2)\ ‘=2x\). ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ \(f'(1)=2\cdot 1=2\)

ΠΏ.2. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ суммы Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Рассмотрим Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ \(h(x)\), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ суммы Π΄Π²ΡƒΡ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ: \(h(x)=f(x)+g(x)\). НайдСм Π΅Ρ‘ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΈΠ· ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΠ°.
ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ \(\triangle x\) – Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ \(h(x)\): \begin{gather*} \triangle h=h(x+\triangle x)-h(x)=(f(x+\triangle x)+g(x+\triangle x))-(f(x)+g(x))=\\ =(f(x+\triangle x)-f(x))+(g(x+\triangle x)-g(x))=\triangle f+\triangle g \end{gather*} Π³Π΄Π΅ \(\triangle f\) ΠΈ \(\triangle g\) – приращСния ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ-слагаСмых.
Π˜Ρ‰Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ: \begin{gather*} h'(x)=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle h}{\triangle x}=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle f+\triangle g}{\triangle x}= \lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle f}{\triangle x}+\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle g}{\triangle x}=f'(x)+g'(x) \end{gather*} Или: \(\left(f(x)+g(x)\right)’=f'(x)+g'(x)\)

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ суммы Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…: $$ \left(f(x)+g(x)\right)’=f'(x)+g'(x) $$

НапримСр:
\(\left(x^2+\frac1x\right)’=(x^2)’+\left(\frac1x\right)’=2x-\frac{1}{x^2}\)

ΠΏ.

2\)

ΠΏ.4. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Рассмотрим Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ \(h(x)\), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ: \(h(x)=f(x)\cdot g(x)\). НайдСм Π΅Ρ‘ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΈΠ· ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΠ°.
ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ \(\triangle x\) – Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ \(h(x)\): \begin{gather*} \triangle h=h(x+\triangle x)-h(x)=(f(x+\triangle x)\cdot g(x+\triangle x))-(f(x)\cdot g(x)) \end{gather*} ΠŸΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ: \begin{gather*} \triangle f=f(x+\triangle x)-f(x)\Rightarrow f(x+\triangle x)=\triangle f+f(x)\\ \triangle g=g(x+\triangle x)-g(x)\Rightarrow g(x+\triangle x)=\triangle g+g(x) \end{gather*} ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ: \begin{gather*} \triangle h=(\triangle f+f(x))\cdot (\triangle g+g(x))-f(x)\cdot g(x)=\\ =\triangle f\cdot \triangle g+\triangle f\cdot g(x)+f(x)\cdot \triangle g+f(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x)=\\ =\triangle f\cdot \triangle g+\triangle f\cdot g(x)+f(x)\cdot \triangle g \end{gather*} Π˜Ρ‰Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ: \begin{gather*} h'(x)=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle h}{\triangle x}=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle f\cdot \triangle g+\triangle f\cdot g(x)+f(x)\cdot\triangle g}{\triangle x}=\\ =\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\left(\frac{\triangle f}{\triangle x}\cdot\frac{\triangle g}{\triangle x}\right)+\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle f}{\triangle x}\cdot g(x)+f(x)\cdot\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle g}{\triangle x}=\\ =f'(x)\cdot g'(x)\cdot 0+f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x) \end{gather*} Или: \(\left(f(x)\cdot g(x)\right)’=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\)

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС Π΄Π²ΡƒΡ… слагаСмых:
производная ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ плюс пСрвая функция Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ:
$$ \left(f(x)\cdot g(x)\right)’=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x) $$

НапримСр:
\( (x^2\sqrt{x})’=(x^2)’\cdot\sqrt{x}+x^2\cdot (\sqrt{x})’=2x\sqrt{x}+\frac{x^2}{2\sqrt{x}}=x\sqrt{x}\left(2+\frac12\right)=\frac52x\sqrt{x} \)

ΠΏ.

5. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ частного Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Рассмотрим Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ \(h(x)\), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ частного Π΄Π²ΡƒΡ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ: \(h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\). НайдСм Π΅Ρ‘ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΈΠ· ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΠ°.
ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ \(\triangle x\) – Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ \(h(x)\): \begin{gather*} \triangle h=h(x+\triangle x)-h(x)=\frac{f(x+\triangle x)}{g(x+\triangle x)}-\frac{f(x)}{g(x)} \end{gather*} ΠŸΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ: \begin{gather*} \triangle f=f(x+\triangle x)-f(x)\Rightarrow f(x+\triangle x)=\triangle f+f(x)\\ \triangle g=g(x+\triangle x)-g(x)\Rightarrow g(x+\triangle x)=\triangle g+g(x) \end{gather*} ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ: \begin{gather*} \triangle h=\frac{\triangle f+f(x)}{\triangle g+g(x)}-\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\triangle f\cdot g(x)+f(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot \triangle g-f(x)\cdot g(x)}{\left(\triangle g+g(x)\right)\cdot g(x)}=\\ =\frac{\triangle f\cdot g(x)-f(x)\cdot \triangle g}{\left(\triangle g+g(x)\right)\cdot g(x)}=\frac{\triangle f\cdot g(x)-f(x)\cdot \triangle g}{g(x+\triangle x)\cdot g(x)} \end{gather*} Π˜Ρ‰Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ: \begin{gather*} h'(x)=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle h}{\triangle x}=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle f\cdot g(x)-f(x)\cdot \triangle g}{\triangle x\cdot g(x+\triangle x)\cdot g(x)}=\\ =\frac{\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\left(\frac{\triangle f}{\triangle x}\cdot g(x)\right)-\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\left(f(x)\cdot\frac{\triangle g}{\triangle x}\right)}{g(x+0)\cdot g(x)}=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)} \end{gather*} Или: \( \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)} \)

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ частного Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ:
Π² числитСлС производная ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ минус пСрвая функция Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ, Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ – ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:
$$ \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)} $$

НапримСр:
\begin{gather*} \left(\frac{3x+2}{x^2}\right)’=\frac{(3x+2)’\cdot x^2-(3x+2)\cdot (x^2)’}{(x^2)^2}=\frac{3x^2-(3x+2)\cdot 2x}{x^4}=\\ =\frac{3x^2-6x^2-4x}{x^4}=\frac{-3x^2-4x}{x^4}=-\frac{x(3x+4)}{x^4}=-\frac{3x+4}{x^3} \end{gather*}

ΠΏ.

2=\frac12 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0\\ x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right. \end{gather*} ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: \(\left\{0;\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\right\}\)

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (Π² ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ°Ρ…)

ΠŸΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡ‚ΡΡ опрСдСлСния, Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹, свойства ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ вычислСний ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π² сТатом Π²ΠΈΠ΄Π΅ – Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. КаТдая ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° снабТСна ссылкой Π½Π° страницу с ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°.

Π”Π°Π»Π΅Π΅ приводятся Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠΈ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π° Β«ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅Β». На Π½ΠΈΡ… ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Ρ‹ основныС понятия ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ диффСрСнцирования. КаТдоС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ снабТСно Π·Π°Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΊΠΎΠΌ, описаниСм ΠΈ ссылкой Π½Π° страницу с ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°. ΠŸΡ€ΠΎΠΉΠ΄Ρ ΠΏΠΎ этой ссылкС ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π΅Π³ΠΎ примСнСния. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅, просматривая ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠΈ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΠ²Π΅ΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π² памяти основныС понятия, связанныС с вычислСниСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ….

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ основныС понятия

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ – опрСдСлСния, Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΈ свойства

ΠŸΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡ‚ΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ, Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌ ΠΈ свойств ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. Π”Π°Π½Ρ‹ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ вычислСний ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… элСмСнтарных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. РассмотрСны ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Ρ‹ Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… порядков.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…

Π‘Ρ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π° содСрТит ссылки Π½Π° 51 ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ….

ЀизичСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ

На ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΈΠ· ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠΈ показываСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ мгновСнная ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ двиТСния Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. УскорСниС Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ скорости ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π΅Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. Аналогичным ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, мгновСнная ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния любой физичСской Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ этой Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠžΠ΄Π½ΠΎΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ справа ΠΈ слСва. Π›Π΅ΠΌΠΌΠ° ΠΎΠ± односторонних ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ….

Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ – ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ свойства

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. Π’Π°ΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ понятия диффСрСнцируСмости для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, зависящих ΠΎΡ‚ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌ: ΠΎΠ± эквивалСнтности диффСрСнцируСмости ΠΈ сущСствованиСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ; ΠΎ нСпрСрывности Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

ГСомСтричСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· гСомСтричСского смысла ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. ВыявлСно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ связана с ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² рассматриваСмой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. Π”Π°Π½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΎ Π΅Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. РассмотрСны случаи, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° производная Ρ€Π°Π²Π½Π° бСсконСчности.

ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΈ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

УравнСния ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΠΈ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΠΈ. Π£Π³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ. ΠŸΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ аналитичСской Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π½Π° составлСния ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΠΈ, ΠΈ Π½Π° вычислСниС ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ.

ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π΅Π³ΠΎ ΡΡƒΡ‚ΡŒ ΠΈ гСомСтричСский смысл. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ арифмСтичСских свойств ΠΈ инвариантности Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Π°.

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… элСмСнтарных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»Π΅Π½Π° Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… элСмСнтарных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ для ΠΎΠ±ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ студСнтов. ΠŸΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡΡ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π”Π°Π½Ρ‹ основныС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования.

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования – основныС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…

Π’ ΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π΄Π°Π½Ρ‹ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования (Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…). Бсылки Π½Π° страницы с ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌ описаниСм Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ постоянной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (константы)

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ постоянной (константы). ВынСсСниС постоянной Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, составлСнной ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ суммы ΠΈ разности Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ суммы ΠΈ разности Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ примСнСния этой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ примСнСния этой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ†Π° для n-ΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

ΠŸΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ†Π° для вычислСния n-ΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π”Π°Π½ΠΎ Π΅Π΅ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ двумя способами. РассмотрСн ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ n-Π³ΠΎ порядка.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ двумя способами. ΠŸΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ диффСрСнцирования частного.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠŸΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠŸΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ рассмотрСны случаи, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° слоТная функция зависит ΠΎΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° случай ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ….

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ примСнСния Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠŸΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… с ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠŸΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠŸΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ примСнСния этой Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹.

ВычислСниС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ логарифмичСской ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ

ΠŸΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ логарифмичСской ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

ВычислСниС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… стСпСнно-ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ стСпСнно-ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для вычислСния Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. ΠŸΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… стСпСнно-ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… порядков явных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

РассмотрСны ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… порядков явных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π”Π°Π½Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… n-Π³ΠΎ порядка.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ парамСтричСским способом

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ парамСтричСским способом. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ примСнСния этой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ, Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅Π³ΠΎ порядка.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ нСявно

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ нСявно. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ примСнСния этой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ, Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅Π³ΠΎ порядка.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ элСмСнтарных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ (Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»)

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ основных элСмСнтарных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΈΡ… Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ основных элСмСнтарных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ ссылки Π½Π° страницы с ΠΈΡ… Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ. Π”Π°Π½Ρ‹ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… порядков.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ элСмСнтарных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… элСмСнтарных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ основываСтся Π½Π° ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π°Ρ… вычислСния ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°Ρ… диффСрСнцирования.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΏΠΎ основанию a

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΈ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΏΠΎ основанию a. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚ ln 2x, ln 3x ΠΈ ln nx. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° n-Π³ΠΎ порядка ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ матСматичСской ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ e Π² стСпСни x ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΈ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ экспонСнты (e Π² стСпСни x) ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (a Π² стСпСни x). ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚ e^2x, e^3x ΠΈ e^nx. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… порядков.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ стСпСнной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (стСпСни ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ)

Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ стСпСнной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (x Π² стСпСни a). РассмотрСны ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈΠ· x. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ стСпСнной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Ρ‹ΡΡˆΠ΅Π³ΠΎ порядка. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ….

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΈ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ». ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ΡΡˆΠ΅Π³ΠΎ порядка для синуса ΠΈ косинуса.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ синуса: (sin x)β€²

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΈ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ синуса – sin(x). ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚ sin 2x, синуса Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ ΠΈ ΠΊΡƒΠ±Π΅. Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ синуса n-Π³ΠΎ порядка.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ косинуса: (cos x)β€²

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΈ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ косинуса – cos(x). ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚ cos 2x, cos 3x, cos nx, косинуса Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅, Π² ΠΊΡƒΠ±Π΅ ΠΈ Π² стСпСни n. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ косинуса n-Π³ΠΎ порядка.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ тангСнса: (tg x)β€²

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»Π΅Π½ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ тангСнса – tg(x). ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚ tg 2x, tg 3x ΠΈ tg nx. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ тангСнса n-Π³ΠΎ порядка Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° ΠΏΠΎ стСпСням tg(x).

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ котангСнса: (ctg x)β€²

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»Π΅Π½ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ котангСнса – ctg(x). Π”Π°Π½Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ котангСнса n-Π³ΠΎ порядка Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° ΠΏΠΎ стСпСням ctg(x). ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ этого ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° связаны Ρ€Π΅ΠΊΡƒΡ€Ρ€Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.

Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ ΠΈΡ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ». Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄Π°Π½Ρ‹ выраТСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… порядков. Бсылки Π½Π° страницы с Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ».

Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… арксинуса (arcsin x)β€² ΠΈ арккосинуса (arccos x)β€²

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»Π΅Π½ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ порядка арксинуса (arcsin x)β€² ΠΈ арккосинуса (arccos x)β€². Для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Π΄Π°Π½ двумя способами.

Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… порядков арксинуса (arcsin x) ΠΈ арккосинуса (arccos x)

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»Π΅Π½ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… порядков арксинуса (arcsin x). Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… арксинуса Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅Π³ΠΎ, Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ пятого порядка. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ n-Π³ΠΎ порядка выраТаСтся Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ. Π”Π°Π½Ρ‹ уравнСния для ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² ΠΈ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΡ… коэффициСнтов. Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ n-Π³ΠΎ порядка арккосинуса Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ арксинуса.

Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… арктангСнса (arctg x)β€² ΠΈ арккотангСнса (arcctg x)β€²

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»Π΅Π½ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ порядка арктангСнса (arctg x)β€² ΠΈ арккотангСнса (arcctg x)β€². Для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Π΄Π°Π½ двумя способами.

Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… порядков арктангСнса (arctg x) ΠΈ арккотангСнса (arcctg x)

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»Π΅Π½ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… порядков арктангСнса (arctg x) ΠΈ арккотангСнса (arcctg x). ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π΄Π°Π½Ρ‹ Π² Π΄Π²ΡƒΡ… Π²ΠΈΠ΄Π°Ρ… – Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡƒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ x ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· арктангСнс (арккотангСнс). ВычислСны ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΎ пятого порядка.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y 4. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…


Π”Π°Ρ‚Π°: 10.05.2015

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ любой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΎΡΠ²ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ всСго Ρ‚Ρ€ΠΈ понятия:

2. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования.

3. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

ИмСнно Π² Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ порядкС. Π­Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌΡ‘ΠΊ.)

РазумССтся, Π½Π΅ΠΏΠ»ΠΎΡ…ΠΎ Π±Ρ‹ Π΅Ρ‰Ρ‘ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ прСдставлСниС ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅). О Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ производная, ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ с Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… – доступно рассказано Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΆΠ΅ ΠΌΡ‹ займёмся ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌΠΈ диффСрСнцирования.

Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ – это опСрация нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π·Π° этим Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ΠΎΠΌ Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ Π½Π΅ кроСтся. Π’.Π΅. выраТСния “Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ” ΠΈ “ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ” – это ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅.

Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ “ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования” относится ΠΊ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ‚ арифмСтичСских ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ. Π’Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ‚ ΠΈΠ·Π±Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ каши Π² Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²Π΅.

БосрСдоточимся ΠΈ вспомним всС-всС-всС арифмСтичСскиС ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ. Π˜Ρ… Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅). Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (сумма), Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ (Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ), ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅) ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ (частноС). Π’ΠΎΡ‚ ΠΎΠ½ΠΈ, ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования:

Π’ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ ΠΏΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ арифмСтичСских дСйствия. Π― Π½Π΅ обсчитался.) ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ 4 – это элСмСнтарноС слСдствиС ΠΈΠ· ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° 3. Но ΠΎΠ½ΠΎ Π½Π°ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ популярно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ смысл Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ (ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ!) Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ.

Под обозначСниями U ΠΈ V ΠΏΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ΅Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅-Ρ‚ΠΎ (ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅!) Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ U(x) ΠΈ V(x).

Рассмотрим нСсколько ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ². Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° – самыС простыС.

Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=sinx – x 2

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²ΡƒΡ… элСмСнтарных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ 2. Π‘ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ sinx – это функция U , Π° x 2 – функция V. ИмССм ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ:

y” = (sinx – x 2)” = (sinx)”- (x 2)”

Π£ΠΆΠ΅ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅, ΠΏΡ€Π°Π²Π΄Π°?) ΠžΡΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚ синуса ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° икса. Для этого сущСствуСт Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ ΠΈΡ‰Π΅ΠΌ Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Π½Π°ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (sinx ΠΈ

x 2 ), смотрим, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρƒ Π½ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ записываСм ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚:

y” = (sinx)” – (x 2)” = cosx – 2x

Π’ΠΎΡ‚ ΠΈ всС Π΄Π΅Π»Π°. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ 1 диффСрСнцирования суммы Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅. nx. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… порядков.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ экспонСнты Ρ€Π°Π²Π½Π° самой экспонСнтС (производная e Π² стСпСни x Ρ€Π°Π²Π½Π° e Π² стСпСни x):
(1) (e x )β€² = e x .

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с основаниСм стСпСни a Ρ€Π°Π²Π½Π° самой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΎΡ‚ a :
(2) .

Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ экспонСнты, e Π² стСпСни x

ЭкспонСнта – это ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ основаниС стСпСни Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ числу e , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ являСтся ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ:

.
Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числом. Π”Π°Π»Π΅Π΅ ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ (1) ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ экспонСнты.

Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ экспонСнты

Рассмотрим экспонСнту, e Π² стСпСни x :
y = e x .
Π­Ρ‚Π° функция ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° для всСх . НайдСм Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ x . По ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ, производная являСтся ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ:
(3) .

ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅ΠΌ это Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ свСсти Π΅Π³ΠΎ ΠΊ извСстным матСматичСским свойствам ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ. Для этого Π½Π°ΠΌ понадобятся ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ„Π°ΠΊΡ‚Ρ‹:
А)

Бвойство экспонСнты :
(4) ;
Π‘) Бвойство Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° :
(5) ;
Π’) ΠΠ΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΈ свойство ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² для Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:
(6) .
Π—Π΄Π΅ΡΡŒ – нСкоторая функция, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ сущСствуСт ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΈ этот ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅Π½.
Π“) Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°:
(7) .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ эти Ρ„Π°ΠΊΡ‚Ρ‹ ΠΊ Π½Π°ΡˆΠ΅ΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρƒ (3). Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ свойство (4):
;
.

Π‘Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ подстановку . Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ; .
Π’ силу нСпрСрывности экспонСнты,
.
ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΈ , . Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:
.

Π‘Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ подстановку . Π’ΠΎΠ³Π΄Π° . ΠŸΡ€ΠΈ , . И ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:
.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ свойство Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° (5):
. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°
.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ свойство (6). ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ сущСствуСт ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π΅Π½, Ρ‚ΠΎ:

.
Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ воспользовались Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ (7). Π’ΠΎΠ³Π΄Π°
.

Π’Π΅ΠΌ самым ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ (1) ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ экспонСнты.

Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π²Ρ‹Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ (2) ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с основаниСм стСпСни a . ΠœΡ‹ считаСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ . Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция
(8)
ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° для всСх .

ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ (8). Для этого Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ свойствами ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° .
;
.
Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ (8) ΠΊ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌΡƒ Π²ΠΈΠ΄Ρƒ:
.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… порядков ΠΎΡ‚ e Π² стСпСни x

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… порядков. Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° рассмотрим экспонСнту:

(14) .
(1) .

ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ производная ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (14) Ρ€Π°Π²Π½Π° самой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (14). ДиффСрСнцируя (1), ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅Π³ΠΎ порядка:
;
.

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ производная n-Π³ΠΎ порядка Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½Π° исходной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:
.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… порядков ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ рассмотрим ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ с основаниСм стСпСни a :
.
ΠœΡ‹ нашли Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ порядка:
(15) .

ДиффСрСнцируя (15), ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅Π³ΠΎ порядка:
;
.

ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡŽ исходной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° . ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ производная n-Π³ΠΎ порядка ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄:
.

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΈ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ синуса – sin(x). ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚ sin 2x, синуса Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ ΠΈ ΠΊΡƒΠ±Π΅. Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ синуса n-Π³ΠΎ порядка.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ x ΠΎΡ‚ синуса x Ρ€Π°Π²Π½Π° косинусу x:
(sin x)β€² = cos x .

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ

Для Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ синуса, ΠΌΡ‹ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:
.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ этот ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π», Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ свСсти Π΅Π³ΠΎ ΠΊ извСстным Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π°ΠΌ, свойствам ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ. Для этого Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ свойства.

1) Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°:
(1) ;
2) ΠΠ΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косинус:
(2) ;
3) ВригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ . Нам понадобится ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°:
(3) ;
4) Бвойство ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ²:
Если ΠΈ , Ρ‚ΠΎ
(4) .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ эти ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΊ Π½Π°ΡˆΠ΅ΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρƒ. Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅ΠΌ алгСбраичСскоС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅
.
Для этого ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ
(3) .
Π’ нашСм случаС
; . Π’ΠΎΠ³Π΄Π°
;
;
;
.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ сдСлаСм подстановку . ΠŸΡ€ΠΈ , . ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» (1):

.

Π‘Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ ΠΆΠ΅ подстановку ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ свойство нСпрСрывности (2):
.

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹, вычислСнныС Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚, Ρ‚ΠΎ примСняСм свойство (4):

.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ синуса Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π°.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

Рассмотрим простыС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, содСрТащих синус. ΠœΡ‹ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ:
y = sin 2x; y = sin 2 x ΠΈ y = sin 3 x .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1

Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ sin 2x .

РСшСниС

Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ самой простой части:
(2x)β€² = 2(x)β€² = 2 Β· 1 = 2.


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ .
.
Π—Π΄Π΅ΡΡŒ .

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚

(sin 2x)β€² = 2 cos 2x.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2

Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ синуса Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅:
y = sin 2 x .

РСшСниС

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΡ…ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ понятном Π²ΠΈΠ΄Π΅:
.
НайдСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ самой простой части:
.
ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

.
Π—Π΄Π΅ΡΡŒ .

МоТно ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈΠ· Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°
.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3

Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ синуса Π² ΠΊΡƒΠ±Π΅:
y = sin 3 x .

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… порядков

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ sin x ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ порядка ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· синус ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:
.

НайдСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ :

.
Π—Π΄Π΅ΡΡŒ .

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅

sin x ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Π΅Π³ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Π½Π° . Π’ΠΎΠ³Π΄Π° производная n-Π³ΠΎ порядка ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:
(5) .

Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ это, примСняя ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ матСматичСской ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

ΠœΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ , Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° (5) справСдлива.

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° (5) справСдлива ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ . Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ· этого слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° (5) выполняСтся для .

Π’Ρ‹ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ (5) ΠΏΡ€ΠΈ :
.
Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ это ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, примСняя ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ диффСрСнцирования слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

.
Π—Π΄Π΅ΡΡŒ .
Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΌΡ‹ нашли:
.

Если ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ , Ρ‚ΠΎ эта Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ (5).

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π°.

ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡ отыскания ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ называСтся Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.

Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΎΠ± отыскании ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Ρƒ самых простых (ΠΈ Π½Π΅ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ простых) Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ приращСния ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡŽ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° появились Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΌΠΈ Π½Π° Π½ΠΈΠ²Π΅ нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΡ‚Ρ€ΡƒΠ΄ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ Исаак ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½ (1643-1727) ΠΈ Π“ΠΎΡ‚Ρ„Ρ€ΠΈΠ΄ Π’ΠΈΠ»ΡŒΠ³Π΅Π»ΡŒΠΌ Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ† (1646-1716).

ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π² нашС врСмя, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ любой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π½Π΅ Π½Π°Π΄ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡ‚ΡŒ упомянутый Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ приращСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡŽ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°, Π° Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ лишь Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌΠΈ диффСрСнцирования. Для нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌ.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ , Π½Π°Π΄ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ ΡˆΡ‚Ρ€ΠΈΡ…Π° Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ простыС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌΠΈ дСйствиями (ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, сумма, частноС) связаны эти Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π”Π°Π»Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ элСмСнтарных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…, Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… произвСдСния, суммы ΠΈ частного – Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°Ρ… диффСрСнцирования. Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования Π΄Π°Π½Ρ‹ послС ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ… Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ².

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

РСшСниС. Из ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» диффСрСнцирования выясняСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ производная суммы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π΅ΡΡ‚ΡŒ сумма ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Ρ‚. Π΅.

Из Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… выясняСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ производная “икса” Ρ€Π°Π²Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅, Π° производная синуса – косинусу. ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ эти значСния Π² сумму ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅ΠΌΡƒΡŽ условиСм Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2. Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

РСшСниС. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ суммы, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ слагаСмоС с постоянным ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ, Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ вынСсти Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

Если ΠΏΠΎΠΊΠ° Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‚ вопросы, ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° Ρ‡Ρ‚ΠΎ бСрётся, ΠΎΠ½ΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, ΠΏΡ€ΠΎΡΡΠ½ΡΡŽΡ‚ΡΡ послС ознакомлСния с Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠΌΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌΠΈ диффСрСнцирования. К Π½ΠΈΠΌ ΠΌΡ‹ ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ прямо сСйчас.

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… простых Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

1. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ константы (числа). Π›ΡŽΠ±ΠΎΠ³ΠΎ числа (1, 2, 5, 200…), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ВсСгда Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ трСбуСтся ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ часто
2. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ нСзависимой ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ. Π§Π°Ρ‰Π΅ всСго “икса”. ВсСгда Ρ€Π°Π²Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅. Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°Π΄ΠΎΠ»Π³ΠΎ
3. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ стСпСни. Π’ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ.
4. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π² стСпСни -1
5. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня
6. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ синуса
7. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ косинуса
8. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ тангСнса
9. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ котангСнса
10. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ арксинуса
11. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ арккосинуса
12. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ арктангСнса
13. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ арккотангСнса
14. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°
15. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ логарифмичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
16. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ экспонСнты
17. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования

1. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ суммы ΠΈΠ»ΠΈ разности
2. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ произвСдСния
2a. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ выраТСния, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° постоянный ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ
3. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ частного
4. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ 1. Если Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ , Ρ‚ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹ ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Ρ‘ΠΌ

Ρ‚. Π΅. производная алгСбраичСской суммы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° алгСбраичСской суммС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… этих Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

БлСдствиС. Если Π΄Π²Π΅ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° постоянноС слагаСмоС, Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ , Ρ‚.Π΅.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ 2. Если Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ , Ρ‚ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠΎ ΠΈ ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅

ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Ρ‘ΠΌ

Ρ‚.Π΅. производная произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· этих Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ.

БлСдствиС 1. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΡΠ½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π½ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ :

БлСдствиС 2. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ произвСдСния Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· сомноТитСлСй Π½Π° всС ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅.

НапримСр, для Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ:

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ 3. Если Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΈ , Ρ‚ΠΎ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠΎ ΠΈ ΠΈΡ… частноС u/v , ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Ρ‘ΠΌ

Ρ‚. Π΅. производная частного Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ знамСнатСля Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ числитСля ΠΈ числитСля Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ знамСнатСля, Π° Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½Π΅Π³ΠΎ числитСля.

Π“Π΄Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… страницах

ΠŸΡ€ΠΈ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ произвСдСния ΠΈ частного Π² Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ… всСгда трСбуСтся ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ сразу нСсколько ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» диффСрСнцирования, поэтому большС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² Π½Π° эти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ – Π² ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ “ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ произвСдСния ΠΈ частного Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ” .

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅. Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚ Π½Π΅ ΠΏΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ константу (Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, число) ΠΊΠ°ΠΊ слагаСмоС Π² суммС ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ постоянный ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ! Π’ случаС слагаСмого Π΅Ρ‘ производная Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Π° Π² случаС постоянного мноТитСля ΠΎΠ½Π° выносится Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…. Π­Ρ‚ΠΎ типичная ошибка, которая встрСчаСтся Π½Π° Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ этапС изучСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…, Π½ΠΎ ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡƒΠΆΠ΅ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… ΠΎΠ΄Π½ΠΎ- двухсоставных ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² срСдний студСнт этой ошибки ΡƒΠΆΠ΅ Π½Π΅ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ‚.

А Ссли ΠΏΡ€ΠΈ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ произвСдСния ΠΈΠ»ΠΈ частного Ρƒ вас появилось слагаСмоС u v , Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ u – число, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, 2 ΠΈΠ»ΠΈ 5, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ константа, Ρ‚ΠΎ производная этого числа Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, всё слагаСмоС Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ (Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ случай Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π½ Π² ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ 10).

Другая частая ошибка – мСханичСскоС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ простой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ посвящСна ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡ. Но сначала Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ простых Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

По Ρ…ΠΎΠ΄Ρƒ Π½Π΅ ΠΎΠ±ΠΎΠΉΡ‚ΠΈΡΡŒ Π±Π΅Π· ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. Для этого ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π² Π½ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… ΠΎΠΊΠ½Π°Ρ… пособия ДСйствия со стСпСнями ΠΈ корнями ΠΈ ДСйствия с дробями .

Если Π’Ρ‹ ΠΈΡ‰Π΅Ρ‚Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ со стСпСнями ΠΈ корнями, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ Π²Ρ€ΠΎΠ΄Π΅ , Ρ‚ΠΎ слСдуйтС Π½Π° занятиС “ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ суммы Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ со стСпСнями ΠΈ корнями “.

Если ΠΆΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Π’Π°ΠΌΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° Π²Ρ€ΠΎΠ΄Π΅ , Ρ‚ΠΎ Π’Π°ΠΌ Π½Π° занятиС “ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ простых тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ”.

ΠŸΠΎΡˆΠ°Π³ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ – ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3. Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

РСшСниС. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌ части выраТСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: всё Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ прСдставляСт ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π° Π΅Π³ΠΎ сомноТитСли – суммы, Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· слагаСмых содСрТит постоянный ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ диффСрСнцирования произвСдСния: производная произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· этих Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ:

Π”Π°Π»Π΅Π΅ примСняСм ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ диффСрСнцирования суммы: производная алгСбраичСской суммы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° алгСбраичСской суммС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… этих Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π’ нашСм случаС Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ суммС Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ слагаСмоС со Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ минус. Π’ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ суммС Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ ΠΈ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡƒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ, производная ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅, ΠΈ константу (число), производная ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, “икс” Ρƒ нас прСвращаСтся Π² Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ, Π° минус 5 – Π² ноль. Π’ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ “икс” ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ Π½Π° 2, Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π²ΠΎΠΉΠΊΡƒ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ Π½Π° Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ “икса”. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ значСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…:

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π² сумму ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅ΠΌΡƒΡŽ условиСм Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ всСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4. Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

РСшСниС. ΠžΡ‚ нас трСбуСтся Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ частного. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ диффСрСнцирования частного: производная частного Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ знамСнатСля Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ числитСля ΠΈ числитСля Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ знамСнатСля, Π° Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½Π΅Π³ΠΎ числитСля. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ сомноТитСлСй Π² числитСлС ΠΌΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ нашли Π² ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ 2. НС Π·Π°Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅Π΅ΡΡ Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ сомноТитСлСм Π² числитСлС Π² Ρ‚Π΅ΠΊΡƒΡ‰Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ бСрётся со Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ минус:

Если Π’Ρ‹ ΠΈΡ‰Π΅Ρ‚Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π½Π°Π΄ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π³Π΄Π΅ сплошноС Π½Π°Π³Ρ€ΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈ стСпСнСй, ΠΊΠ°ΠΊ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, , Ρ‚ΠΎ Π΄ΠΎΠ±Ρ€ΠΎ ΠΏΠΎΠΆΠ°Π»ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° занятиС “ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ суммы Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ со стСпСнями ΠΈ корнями” .

Если ΠΆΠ΅ Π’Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ большС ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… синусов, косинусов, тангСнсов ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ Π²Ρ€ΠΎΠ΄Π΅ , Ρ‚ΠΎ Π’Π°ΠΌ Π½Π° ΡƒΡ€ΠΎΠΊ “ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ простых тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ” .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5. Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

РСшСниС. Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· сомноТитСлСй ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… – ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· нСзависимой ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, с ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΡ‹ ознакомились Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…. По ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ диффСрСнцирования произвСдСния ΠΈ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΌΡƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 6. Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

РСшСниС. Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ частноС, Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ – ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· нСзависимой ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ. По ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ диффСрСнцирования частного, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ»ΠΈ Π² ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ 4, ΠΈ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΌΡƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠ·Π±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π² числитСлС, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π° .

Поиск ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ матСматичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ называСтся Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ матСматичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ – частая Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°, Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‰Π°ΡΡΡ Π² Π²Ρ‹ΡΡˆΠ΅ΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅. Π“ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎ-Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠΌΡƒ: Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ, Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ, ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ, Π½ΠΎ всС это ΠΎΠ΄Π½ΠΈ ΠΈ Ρ‚Π΅ ΠΆΠ΅ понятия. Π‘Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚, ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, ΠΈ слоТныС задания, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ всСго лишь ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ. На нашСм сСрвисС сайт Ρƒ вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‚ элСмСнтарных, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ ΠΎΡ‚ слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΡ… аналитичСского Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Π½Π° нашСм сСрвисС ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π° практичСски ΠΎΡ‚ любой матСматичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π΄Π°ΠΆΠ΅ самой слоТной, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π²Π°ΠΌ Π½Π΅ смогли Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ сСрвисы. А ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ всСгда Π²Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ Π½Π° 100% ΠΈ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ ошибки. ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ происходит процСсс нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π° нашСм сайтС ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°Ρ…. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ находятся справа ΠΎΡ‚ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΠΈ «РСшСниС». Π’Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΈΠ· списка ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ², ΠΎΠ½Π° автоматичСски подставится Π² ΠΏΠΎΠ»Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΡƒ «РСшСниС». Π’Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ пошаговоС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ваша производная Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π° Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ. ΠŸΡ€Π΅ΠΈΠΌΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½. Π”Π°ΠΆΠ΅ Ссли Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅, этот процСсс ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΌΠ°Π»ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΈ сил. БСрвис сайт ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π²Π°Π½ ΠΈΠ·Π±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ вас ΠΎΡ‚ ΡƒΡ‚ΠΎΠΌΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ Π΄ΠΎΠ»Π³ΠΈΡ… вычислСний, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΊ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΆΠ΅ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π΄ΠΎΠΏΡƒΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΊΡƒ. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Ρƒ нас вычисляСтся ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ Π½Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΠΈ «РСшСниС» послС Π²Π²ΠΎΠ΄Π° Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ сайт ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‚Π΅ΠΌ, ΠΊΡ‚ΠΎ Ρ…ΠΎΡ‡Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ свои умСния Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ матСматичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΄ΠΎΠΏΡƒΡ‰Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π² Π½Π΅ΠΌ ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΊΡƒ. Для этого достаточно лишь ΡΡ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚ΡŒ свой ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ с Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ вычислСний ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-сСрвиса. Если Π²Ρ‹ Π½Π΅ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…, с ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌΠΈ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π·Π°Π±ΠΈΡ€Π°Π΅Ρ‚ достаточно Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, Ρ‚ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ наш сСрвис вмСсто Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ† ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ прСимущСства нашСго сайта Π² сравнСнии с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ сСрвисами состоят Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ вычислСниС происходит Ρƒ нас ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ быстро (Π² срСднСм 5 сСкунд) ΠΈ Π·Π° Π½Π΅Π³ΠΎ Π½Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠ»Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, – сСрвис Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ бСсплатный. ΠžΡ‚ вас Π½Π΅ потрСбуСтся Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… рСгистраций, Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΎΠ² e-mail ΠΈΠ»ΠΈ своих ΠΏΠ΅Ρ€ΡΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ…. ВсС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ – ввСсти Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΈ Π½Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΡƒ «РСшСниС». Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ производная. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ – основноС понятиС Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ матСматичСском Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π΅. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ этому процСссу – ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ извСстной ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. Говоря ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅, Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ являСтся дСйствиСм Π½Π°Π΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ, Π° производная – это ΡƒΠΆΠ΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ дСйствия. Для вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ x замСняСтся числСнным Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈ вычисляСтся Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ производная ΡˆΡ‚Ρ€ΠΈΡ…ΠΎΠΌ Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΌ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅ΠΌ ΡƒΠ³Π»Ρƒ Π½Π°Π΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΡˆΡ‚Ρ€ΠΈΡ… ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Для нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ элСмСнтарной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Π°ΠΌ понадобится Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π΅Π΅ всСгда ΠΏΠΎΠ΄ Ρ€ΡƒΠΊΠΎΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования, поэтому Ρ€Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ нашим сСрвисом, Π³Π΄Π΅ вычисляСтся производная ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½, достаточно Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ввСсти Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Π½Π°Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ для этого ΠΏΠΎΠ»Π΅. АргумСнтом Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ x пСрСмСнная, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ ΠΏΠΎ Π½Π΅ΠΌΡƒ. Если Π½Π°Π΄ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚. Как вычисляСтся производная ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½. Π£ΠΆΠ΅ Π΄Π°Π²Π½ΠΎ созданы ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… для элСмСнтарных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, поэтому Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ элСмСнтарной (простой) матСматичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ – довольно простоС Π΄Π΅Π»ΠΎ. Однако ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° трСбуСтся Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ слоТной матСматичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‚ΠΎ это ΡƒΠΆΠ΅ Π½Π΅ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° ΠΈ ΠΎΠ½Π° ΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΌΠ°Π»ΠΎ усилий ΠΈ Π·Π°Ρ‚Ρ€Π°Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. 2-3t + 7$, Π³Π΄Π΅ $x(t)$ β€” ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ $t$. Π’ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½Π° $12$?

РСшСниС:

1. Π‘ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ – это производная ΠΎΡ‚ $x(t)$, поэтому Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

$v(t) = x'(t) = 1,5Β·2t -3 = 3t -3$

2. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ, Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ $t$ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π±Ρ‹Π»Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° $12$, составим ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

$3t-3 = 12$

$3t = 15$

$t = 5$

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: $5$

ГСомСтричСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ

Напомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой, Π½Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ осям ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ $y = kx + b$, Π³Π΄Π΅ $k$ – ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ коэффициСнт прямой. ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ $k$ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ тангСнсу ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямой ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ оси $ΠžΡ…$.

$k = tgΞ±$

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ $f(x)$ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ $Ρ…_0$ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ коэффициСнту $k$ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅:

$f'(x_0) = k$

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ равСнство:

$f'(x_0) = k = tgΞ±$


На рисункС ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ $f(x)$ возрастаСт, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, коэффициСнт $k > 0$. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ $k > 0$, Ρ‚ΠΎ $f'(x_0) = tgΞ± > 0$. Π£Π³ΠΎΠ» $Ξ±$ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ $ΠžΡ…$ острый.


На рисункС ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ $f(x)$ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, коэффициСнт $k < 0$, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, $f'(x_0) = tgΞ± < 0$. Π£Π³ΠΎΠ» $Ξ±$ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ оси $ΠžΡ…$ Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΠΉ.


На рисункС ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ $f(x)$ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° оси $ΠžΡ…$, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, коэффициСнт $k = 0$, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, $f'(x_0) = tg Ξ± = 0$. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° $x_0$, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ $f ‘(x_0) = 0$, называСтся экстрСмумом.

На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΡ‘Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ $y=f(x)$ ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ этому Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ, провСдённая Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ с абсциссой $x_0$. НайдитС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ $f(x)$ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ $x_0$.


РСшСниС:

ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ возрастаСт, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, $f'(x_0) = tg Ξ± > 0$

Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ $f'(x_0)$, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ тангСнс ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ оси $ΠžΡ…$. Для этого достроим ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Π΄ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° $АВБ$.


НайдСм тангСнс ΡƒΠ³Π»Π° $ВАБ$. (ВангСнсом острого ΡƒΠ³Π»Π° Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ называСтся ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Ρƒ.)

$tg BAC = {BC}/{AC} = {3}/{12}= {1}/{4}=0,25$

$f'(x_0) = tg ВАБ = 0,25$

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: $0,25$

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ примСняСтся для нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΎΠ² возрастания ΠΈ убывания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

Если $f'(x) > 0$ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅, Ρ‚ΠΎ функция $f(x)$ возрастаСт Π½Π° этом ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅.

Если $f'(x) < 0$ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅, Ρ‚ΠΎ функция $f(x)$ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° этом ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅.

На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ $y = f(x)$. НайдитС срСди Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ $Ρ…_1,Ρ…_2,Ρ…_3…х_7$ Ρ‚Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°.

Π’ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π·Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ количСство Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ.


РСшСниС:

ΠžΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ значСниям ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρ‹, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… функция $f (x)$ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π½Π° рисункС ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρ‹, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… функция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚.


Π’ Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°Ρ… находятся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ $Ρ…_2, Ρ…_4$. Π’ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ напишСм ΠΈΡ… количСство $2$.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: $2$

ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ°: Ρ€Π΅ΡˆΠ°ΠΉ 7 Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Ρ‹ Π•Π“Π­ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ (ΠΏΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ)

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉΠ­ΠΊΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΡƒΠΌΡ‹ функцииНайти ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π° Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈΠ˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρ‹ возрастания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Асимптоты Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π”ΠΈΡ„ уравнСния ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Лопиталя

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=f(x) Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x0 называСтся ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ приращСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡŽ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΏΡ€ΠΈ стрСмлСнии послСднСго ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ (см. ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€).
Если Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… z=f(x,y), Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ. РСшСниС оформляСтся Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ Word.
  • РСшСниС ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½
  • ВидСоинструкция
  • Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ°ΡŽΡ‚
Ѐункция Π·Π°Π΄Π°Π½Π° Π² явном Π²ΠΈΠ΄Π΅

f(x) =

Ѐункция Π·Π°Π΄Π°Π½Π° Π² нСявном Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

F(x,y) =

Ѐункция Π·Π°Π΄Π°Π½Π° Π² парамСтричСском Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

x =

y =

Π£ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ
ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Π²Π²ΠΎΠ΄Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π² явном Π²ΠΈΠ΄Π΅

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹
≑ x^2/(x+2)
cos2(2x+Ο€) ≑ (cos(2*x+pi))^2
≑ x+(x-1)^(2/3)

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Π²Π²ΠΎΠ΄Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π² нСявном Π²ΠΈΠ΄Π΅

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹
≑ x^2/(1+y)
cos2(2x+y) ≑ (cos(2*x+y))^2
≑ 1+(x-y)^(2/3)

Если функция Π·Π°Π΄Π°Π½Π° Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ y2-x=cos(y), Ρ‚ΠΎ Π΅Π΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ: y^2-x-cos(y). (2/3)

ВмСстС с этим ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅:
Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

РСшСниС ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ²

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ исчислСния

ЭкстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…

ВычислСниС ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΎΠ²

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…

  1. (xΞ±)’ = Ξ± xΞ±-1
  2. = 1/2x1/2 =
  3. (ax)’ = axΒ·lna
  4. (ex)’ = ex
  5. (sinx)’ = cosx
  6. (cosx)’ = -sinx
  7. (shx)’ = chx
  8. (chx)’ = shx

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅:
– гипСрболичСский синус
– гипСрболичСский косинус
– гипСрболичСский тангСнс
– гипСрболичСский котангСнс

Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ, исходяя ΠΈΠ· Π΅Π΅ опрСдСлСния?

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=cos4x.
РСшСниС.
Π’Π½Π΅ΡˆΠ½Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ здСсь слуТит стСпСнная функция: cos(x) возводится Π² Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ. ДиффСрСнцируя эту ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΌΡƒ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρƒ cos(x), ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ
(cos4x)β€²cos x = 4cos4-1x = 4cos3x
Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ cos(x) – функция нСзависимой ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ…; поэтому Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ cos(x) ΠΏΠΎ нСзависимой ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ… . Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ
yβ€²x = (cos4x)β€²cos xΒ·(cosx)β€²x = 4Β·cos3xΒ·(-sin x) = -4Β·cos3xΒ·sin x
ΠŸΡ€ΠΈ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π΅Ρ‚ нСобходимости Π² Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… записях. Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ слСдуСт ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ сразу, прСдставляя ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π² ΡƒΠΌΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2. Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
.


.
Π’ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… случаях, Ссли, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = (u(x))v(x), ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ произвСдСния большого числа сомноТитСлСй, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Ρ‚Π°ΠΊ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΉ способ логарифмичСского диффСрСнцирования.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3. Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
.
РСшСниС.
ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ логарифмичСского диффСрСнцирования. Рассмотрим Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ

Учитывая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ , Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Но , ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π°
.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4. Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=xex
РСшСниС.
;
.

ΠŸΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½ΠΎΠ΅ использованиС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ

ВычислСниС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ…. Рассмотрим Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ распространСнныС ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ….
  1. НахоТдСниС экстрСмумов Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²Π»ΡΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ: f'(x)=0. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ этап являСтся основным для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ исчислСния.
  2. Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x0 позволяСт Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
  3. ΠžΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… позволяСт Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ Лопиталя.
  4. Π’ матСматичСской статистикС ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ распрСдСлСния f(x) ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ распрСдСлСния F(x).
  5. ΠŸΡ€ΠΈ отыскании частного Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния трСбуСтся Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅.
  6. Π’ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π΅ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π° с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ свои вопросы ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ замСчания ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π½ΠΈΠ·Ρƒ страницы Π² Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ Disqus.
МоТно Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ заявку Π½Π° ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ своих Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Ρƒ Π½Π°ΡˆΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ°Ρ€Ρ‚Π½Π΅Ρ€ΠΎΠ² (здСсь ΠΈΠ»ΠΈ здСсь).

3.3 ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΈ. РасчСт, Ρ‚ΠΎΠΌ 1

Π¦Π΅Π»ΠΈ обучСния

  • 3.3.1 Π‘Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ постоянныС, постоянныС ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ стСпСнныС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°.
  • 3.3.2 ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° суммы ΠΈ разности, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅.
  • 3.3.3 Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ произвСдСния для нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ произвСдСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.
  • 3.3.4 Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ для нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ частного Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
  • 3.3.5 РаспространитС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ стСпСни Π½Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ показатСлями.
  • 3.3.6 ΠžΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ полиномиальной ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

НахоТдСниС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ опрСдСлСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π΄Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΈ, для Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, довольно слоТным процСссом. НапримСр, Ρ€Π°Π½Π΅Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΎΠ±Π½Π°Ρ€ΡƒΠΆΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ddx(x)=12xddx(x)=12x, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ процСсс, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния Π½Π° сопряТСнноС ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ вычислСниСм ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°. ΠŸΡ€ΠΎΡ†Π΅ΡΡ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ для ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ ddx(x3)ddx(x3) с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ опрСдСлСния, хотя ΠΈ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆ, Π½ΠΎ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТСн. Π’ этом Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΌΡ‹ Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠΉΡ‚ΠΈ этот процСсс. НачнСм с основ.

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°

Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x)=cf(x)=c ΠΈ g(x)=xng(x)=xn, Π³Π΄Π΅ nn β€” Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Π±Π»ΠΎΠΊΠ°ΠΌΠΈ, ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… строятся всС ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΈ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ эффСктивно Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΎΠ² ΠΈ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π½Π΅ прибСгая ΠΊ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ сначала Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для диффСрСнцирования этих основных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ

Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΌΡ‹ примСняСм ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ постоянной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, f(x)=c.f(x)=c. Для этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ f(x)=cf(x)=c, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ f(x+h)=c,f(x+h)=c, поэтому ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚:

fβ€²(x)=limhβ†’0f(x+h)βˆ’f(x)h=limhβ†’0cβˆ’ch=limhβ†’00h=limhβ†’00=0.fβ€²(x)=limhβ†’0f(x+ h)βˆ’f(x)h=limhβ†’0cβˆ’ch=limhβ†’00h=limhβ†’00=0.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ диффСрСнцирования постоянных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ называСтся постоянным ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ. Π’ Π½Π΅ΠΌ говорится, Ρ‡Ρ‚ΠΎ производная постоянной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ; Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ постоянная функция прСдставляСт собой Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ линию, Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния постоянной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 0,0. ΠœΡ‹ повторяСм это ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 3.2

ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ cc β€” константа.

Если f(x)=c,f(x)=c, Ρ‚ΠΎ fβ€²(x)=0.fβ€²(x)=0.

Π’ качСствС Π°Π»ΡŒΡ‚Π΅Ρ€Π½Π°Ρ‚ΠΈΠ²Ρ‹ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ это ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ

ddx(c)=0.ddx(c)=0.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3.17

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ постоянного ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°

НайдитС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ f(x)=8.f(x)=8.

РСшСниС

Π­Ρ‚ΠΎ одношаговоС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°:

fβ€²(x)=0.fβ€²(x)=0.

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎ-пропускной ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ 3.11

НайдитС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ g(x)=βˆ’3.g(x)=βˆ’3.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ силы

ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

ddx(x2)=2xandddx(x1/2)=12xβˆ’1/2.ddx(x2)=2xandddx(x1/2)=12xβˆ’1/2.

Π’ этот ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ развития шаблона для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ ddx(xn).ddx(xn). ΠœΡ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Π΅ΠΌ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ диффСрСнцирования стСпСнных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄Π° f(x)=xnf(x)=xn, Π³Π΄Π΅ nn β€” Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число. ΠœΡ‹ Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… этого Ρ‚ΠΈΠΏΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ поэтапно, начиная с Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… стСпСнСй. ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ ΡΡ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ этого Π²ΠΈΠ΄Π°, рассмотрим частный случай ddx(x3).ddx(x3). Когда ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΉΠ΄Π΅ΠΌ этот Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠ°, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΠ°Ρ Π² этом случаС, ΠΏΠΎ сущСству такая ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠ°, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΠ°Ρ для Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ случая.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3.18

Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ x3x3

Найти ddx(x3).ddx(x3).

РСшСниС

ddx(x3)=limhβ†’0(x+h)3βˆ’x3h=limhβ†’0x3+3x2h+3xh3+h4βˆ’x3hΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ Π² Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ (x+h)3 Ρ€Π°Π²Π΅Π½ x3, Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 3x2h. ВсС ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ содСрТат стСпСни h, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π² Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π° большС.=limhβ†’03x2h+3xh3+h4hНа этом шагС x3Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½Ρ‹, ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΠΈΡΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹, содСрТащиС h.=limhβ†’0h(3×2+3xh+h3)hВынСситС ΠΈΠ· ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ мноТитСля h.=limhβ†’0( 3×2+3xh+h3) ПослС сокращСния ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ мноТитСля h СдинствСнный Ρ‡Π»Π΅Π½, Π½Π΅ содСрТащий Π΅Π³ΠΎ3×2. =3×2, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ 0.ddx(x3)=limhβ†’0(x+h)3βˆ’x3h=limhβ†’0x3+3x2h+3xh3+h4βˆ’ x3hΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ Π² Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ (x+h)3 Ρ€Π°Π²Π΅Π½ x3, Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 3x2h. ВсС ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ содСрТат стСпСни h, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π² Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π° большС.=limhβ†’03x2h+3xh3+h4h limhβ†’0h(3×2+3xh+h3)hВынСситС Π·Π° скобки ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ h.=limhβ†’0(3×2+3xh+h3)0019

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎ-пропускной ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ 3.12

Найти ddx(x4).ddx(x4).

Как ΠΌΡ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Π° нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° f(x)=xnf(x)=xn ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ°. Π₯отя часто Π½Π΅Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ½ΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Ρ‹ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ², Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ f(x)=x3,f(x)=x3 ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ xx становится коэффициСнтом ΠΏΡ€ΠΈ x2x2 Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Π° ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ xx Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ Π½Π° 1. Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ стСпСни выполняСтся для всСх ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… стСпСнСй x.x. Π‘ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ распространим этот Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ стСпСни. ПозТС ΠΌΡ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ распространСно сначала Π½Π° Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ стСпСни xx, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ стСпСни x. x. Π˜ΠΌΠ΅ΠΉΡ‚Π΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρƒ, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π½Π΅ примСняСтся ΠΊ функциям, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… константа возводится Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, f(x)=3x.f(x)=3x.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 3.3

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ силы

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ nn β€” Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число. Если f(x)=xn,f(x)=xn, Ρ‚ΠΎ

fβ€²(x)=nxnβˆ’1.fβ€²(x)=nxnβˆ’1.

Π’ качСствС Π°Π»ΡŒΡ‚Π΅Ρ€Π½Π°Ρ‚ΠΈΠ²Ρ‹ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ это ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ

ddxxn=nxnβˆ’1.ddxxn=nxnβˆ’1.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ

Для f(x)=xnf(x)=xn, Π³Π΄Π΅ nn β€” Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ

fβ€²(x)=limhβ†’0(x+h)nβˆ’xnh.fβ€²(x)=limhβ†’0(x+h)nβˆ’xnh.

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ (x+h)n=xn+nxnβˆ’1h+(n2)xnβˆ’2h3+(n3)xnβˆ’3h4+…+nxhnβˆ’1+hn, ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ (x+h)n=xn+nxnβˆ’1h+(n2) xnβˆ’2h3+(n3)xnβˆ’3h4+…+nxhnβˆ’1+hn,

ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

(x+h)nβˆ’xn=nxnβˆ’1h+(n2)xnβˆ’2h3+(n3)xnβˆ’3h4+…+nxhnβˆ’1+hn.(x+h)nβˆ’xn=nxnβˆ’1h+(n2)xnβˆ’ 2h3+(n3)xnβˆ’3h4+…+nxhnβˆ’1+hn.

Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠ±Π΅ части Π½Π° Ρ‡ :

(x+h)nβˆ’xnh=nxnβˆ’1h+(n2)xnβˆ’2h3+(n3)xnβˆ’3h4+…+nxhnβˆ’1+hnh. (x+h)nβˆ’xnh=nxnβˆ’1h+(n2)xnβˆ’ 2h3+(n3)xnβˆ’3h4+…+nxhnβˆ’1+hnh.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ,

(x+h)nβˆ’xnh=nxnβˆ’1+(n2)xnβˆ’2h+(n3)xnβˆ’3h3+…+nxhnβˆ’2+hnβˆ’1.(x+h)nβˆ’xnh=nxnβˆ’1+( n2)xnβˆ’2h+(n3)xnβˆ’3h3+…+nxhnβˆ’2+hnβˆ’1.

НаконСц,

fβ€²(x)=limhβ†’0(nxnβˆ’1+(n2)xnβˆ’2h+(n3)xnβˆ’3h3+…+nxhnβˆ’1+hn)=nxnβˆ’1.fβ€²(x)=limhβ†’0( nxnβˆ’1+(n2)xnβˆ’2h+(n3)xnβˆ’3h3+…+nxhnβˆ’1+hn)=nxnβˆ’1.

β–‘

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3.19

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ стСпСнного ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°

НайдитС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x)=x10f(x)=x10, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ² стСпСнноС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ.

РСшСниС

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ стСпСнноС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ с n=10,n=10, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ

fβ€²(x)=10×10βˆ’1=10×9.fβ€²(x)=10×10βˆ’1=10×9.

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎ-пропускной ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ 3.13

НайдитС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ f(x)=x7.f(x)=x7.

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ°, Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ постоянныС мноТСствСнныС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°

ΠœΡ‹ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ наши ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования, рассматривая ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ сумм, разностСй ΠΈ постоянных ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π’Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ с функциями, ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°, ΠΎΠ±Π»Π΅Π³Ρ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΡ‹ складываСм, Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ Π½Π° константу. Π­Ρ‚ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Ρ€Π΅Π·ΡŽΠΌΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 3.4

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ°, Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ постоянныС мноТСствСнныС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ f(x)f(x) ΠΈ g(x)g(x) β€” Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, kk β€” константа. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° выполняСтся ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ суммы. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ суммы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ff ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ gg Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ff ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ g.g.

ddx(f(x)+g(x))=ddx(f(x))+ddx(g(x));ddx(f(x)+g(x))=ddx(f(x) )+ddx(g(x));

Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ

для j(x)=f(x)+g(x),jβ€²(x)=fβ€²(x)+gβ€²(x).forj(x)=f(x)+g(x),j β€²(Ρ…)=fβ€²(Ρ…)+gβ€²(Ρ…).

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ разности. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ разности Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ g такая ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ f ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ g:g:

ddx(f(x)βˆ’g(x ))=ddx(f(x))βˆ’ddx(g(x));ddx(f(x)βˆ’g(x))=ddx(f(x))βˆ’ddx(g(x));

, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ

для j(x)=f(x)βˆ’g(x),jβ€²(x)=fβ€²(x)βˆ’gβ€²(x).forj(x)=f(x)βˆ’ g(x),jβ€²(x)=fβ€²(x)βˆ’gβ€²(x).

ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠ΅ мноТСствСнноС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ константы k , ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ f , Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ константС, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ:

ddx(kf(x))=kddx(f(x));ddx(kf(x))=kddx(f (Икс));

, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ

forj(x)=kf(x),jβ€²(x)=kfβ€²(x).forj(x)=kf(x),jβ€²(x)=kfβ€²(x) .

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° сумм. ΠžΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‚ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ.

Для Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ f(x)f(x) ΠΈ g(x),g(x) ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ j(x)=f(x)+g(x).j(x)=f(x)+ Π³(Ρ…). Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ

jβ€²(x)=limhβ†’0j(x+h)βˆ’j(x)h.jβ€²(x)=limhβ†’0j(x+h)βˆ’j(x)h.

ΠŸΡƒΡ‚Π΅ΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ j(x+h)=f(x+h)+g(x+h)j(x+h)=f(x+h)+g(x+h) ΠΈ j(x)=f (x)+g(x),j(x)=f(x)+g(x), ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ

jβ€²(x)=limhβ†’0(f(x+h)+g(x+h))βˆ’(f(x)+g(x))h.jβ€²(x)=limhβ†’0(f(x +h)+g(x+h))βˆ’(f(x)+g(x))h.

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ ΠΈ пСрСгруппировывая Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹, ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ

jβ€²(x)=limhβ†’0(f(x+h)βˆ’f(x)h+g(x+h)βˆ’g(x)h).jβ€²(x)=limhβ†’0(f( Ρ…+h)βˆ’f(x)h+g(x+h)βˆ’g(x)h).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ сумм для ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ

jβ€²(x)=limhβ†’0(f(x+h)βˆ’f(x)h)+limhβ†’0(g(x+h)βˆ’g(x)h)=fβ€²(x)+g β€²(x).jβ€²(x)=limhβ†’0(f(x+h)βˆ’f(x)h)+limhβ†’0(g(x+h)βˆ’g(x)h)=fβ€²( Ρ…)+g'(Ρ…).

β–‘

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3.20

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° постоянного мноТитСля

НайдитС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ g(x)=3x2g(x)=3×2 ΠΈ сравнитС Π΅Π΅ с ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ f(x)=x2.f(x)=x2.

РСшСниС

ΠœΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ стСпСни Π½Π°ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ: (2x)=6x.

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ f(x)=x2f(x)=x2 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ fβ€²(x)=2x,fβ€²(x)=2x, ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ производная g(x)g(x) Π² 3 Ρ€Π°Π·Π° большС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x).f(x). Π­Ρ‚Π° взаимосвязь ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° Π½Π° рис. 3.18.

Рисунок 3.18 ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ g(x)g(x) Π² 3 Ρ€Π°Π·Π° большС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ f(x).f(x).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3.21

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ основных ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…

НайдитС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ f(x)=2×5+7.f(x)=2×5+7.

РСшСниС

НачнСм с примСнСния ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования суммы Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π·Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‚ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования постоянных ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ диффСрСнцирования стСпСнСй. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования, ΠΌΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ обозначСния Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ†Π° Π²ΠΎ всСм Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ:

fβ€²(x)=ddx(2×5+7)=ddx(2×5)+ddx(7)ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ сумм.=2ddx(x5)+ddx(7)ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ постоянноС ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ.=2(5×4) +0ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ стСпСни ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ констант.=10×4.Simplify.fβ€²(x)=ddx(2×5+7)=ddx(2×5)+ddx(7)ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ суммы.=2ddx(x5)+ddx( 7) ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ постоянноС ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ. = 2 (5×4) + 0 ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ стСпСни ΠΈ постоянноС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ. = 10×4. Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ.

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎ-пропускной ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ 3.14

НайдитС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ f(x)=2×3βˆ’6×2+3.f(x)=2×3βˆ’6×2+3.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3,22

НахоТдСниС уравнСния ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ

НайдитС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ f(x)=x2βˆ’4x+6f(x)=x2βˆ’4x+6 ΠΏΡ€ΠΈ x=1.x=1.

РСшСниС

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΈ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ, вычислитС

f(1)=12βˆ’4(1)+6=3.f(1)=12βˆ’4(1)+6=3.

Π­Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ (1,3).(1,3). ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ 1 Ρ€Π°Π²Π΅Π½ fβ€²(1),fβ€²(1), ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ сначала Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ fβ€²(x).fβ€²(x). Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ

fβ€²(x)=2xβˆ’4fβ€²(x)=2xβˆ’4

, поэтому Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ fβ€²(1)=βˆ’2.fβ€²(1)=βˆ’2. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ-Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π°, ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄

yβˆ’3=βˆ’2(xβˆ’1).yβˆ’3=βˆ’2(xβˆ’1).

ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ

y=βˆ’2x+5.y=βˆ’2x+5.

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎ-пропускной ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ 3.15

НайдитС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ f(x)=3×2βˆ’11f(x)=3×2βˆ’11 ΠΏΡ€ΠΈ x=2.x=2. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°-Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Π°

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ основныС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΡΡ‚ΡƒΠΏΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТных ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ». ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ исслСдуСт ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π₯отя ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π·Π°ΠΌΠ°Π½Ρ‡ΠΈΠ²Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ производная произвСдСния являСтся ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…, Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ суммы ΠΈ разности, ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ произвСдСния Π½Π΅ слСдуСт этому ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Ρ†Ρƒ. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΌΡ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ этот шаблон, рассмотрим Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ f(x)=x2,f(x)=x2, производная ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° fβ€²(x)=2xfβ€²(x)=2x, Π° Π½Π΅ ddx(x) Β· ddx (Ρ…)=1Β·1=1.ddx(x)Β·ddx(x)=1Β·1=1.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 3,5

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Π°

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ f(x)f(x) ΠΈ g(x)g(x) β€” Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°

ddx(f(x)g(x))=ddx(f(x))Β·g(x)+ddx(g(x))Β·f(x).ddx(f(x)g(x ))=ddx(f(x))Β·g(x)+ddx(g(x))Β·f(x).

Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ

, Ссли j(x)=f(x)g(x), Ρ‚ΠΎ jβ€²(x)=fβ€²(x)g(x)+gβ€²(x)f(x).ifj(x )=f(x)g(x), Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° jβ€²(x)=fβ€²(x)g(x)+gβ€²(x)f(x).

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ производная произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ плюс производная Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ

НачнСм с прСдполоТСния, Ρ‡Ρ‚ΠΎ f(x)f(x) ΠΈ g(x)g(x) β€” Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π’ ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²ΠΎΠΌ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π΅ этого Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‚ Ρ„Π°ΠΊΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ g(x)g(x) Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠ°, ΠΎΠ½Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π°. Π’ частности, ΠΌΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‚ Ρ„Π°ΠΊΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ g(x)g(x) Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π°, limhβ†’0g(x+h)=g(x). limhβ†’0g(x+h)=g(x).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊ j(x)=f(x)g(x),j(x)=f(x)g(x), ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ

jβ€²(x)=limhβ†’0f(x+h)g(x+h)βˆ’f(x)g(x)h.jβ€²(x)=limhβ†’0f(x+h)g(x+h) βˆ’f(x)g(x)h.

Добавляя ΠΈ вычитая f(x)g(x+h)f(x)g(x+h) Π² числитСлС, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ

jβ€²(x)=limhβ†’0f(x+h)g(x+h)βˆ’f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)βˆ’f(x)g( x)h.jβ€²(x)=limhβ†’0f(x+h)g(x+h)βˆ’f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)βˆ’f(x)g (Ρ…)Ρ‡.

ПослС раздСлСния этого частного ΠΈ примСнСния Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π° сумм для ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² производная становится Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ

jβ€²(x)=limhβ†’0(f(x+h)g(x+h)βˆ’f(x)g(x+h)h)+limhβ†’0(f(x)g(x+h) )βˆ’f(x)g(x)h).jβ€²(x)=limhβ†’0(f(x+h)g(x+h)βˆ’f(x)g(x+h)h)+limh β†’0(f(x)g(x+h)βˆ’f(x)g(x)h).

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ

jβ€²(x)=limhβ†’0(f(x+h)βˆ’f(x)hΒ·g(x+h))+limhβ†’0(g(x+h)βˆ’g(x)hΒ·f (x)).jβ€²(x)=limhβ†’0(f(x+h)βˆ’f(x)hΒ·g(x+h))+limhβ†’0(g(x+h)βˆ’g(x )hΒ·f(x)).

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ g(x),g(x), ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚ f(x)f(x) ΠΈ g(x),g(x) ΠΈ примСняя ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹, ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Π°,

jβ€²(x)=fβ€²(x)g(x)+gβ€²(x)f(x). jβ€²(x)=fβ€²(x)g(x)+gβ€²(x)f( Икс).

β–‘

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3,23

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° произвСдСния ΠΊ функциям Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅

Для j(x)=f(x)g(x),j(x)=f(x)g(x) ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ произвСдСния, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ jβ€² (2)jβ€²(2) Ссли f(2)=3,fβ€²(2)=βˆ’4,g(2)=1,f(2)=3,fβ€²(2)=βˆ’4,g( 2)=1 ΠΈ gβ€²(2)=6.gβ€²(2)=6.

РСшСниС

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ j(x)=f(x)g(x),jβ€²(x)=fβ€²(x)g(x)+gβ€²(x)f(x),j(x)=f(x )g(x),jβ€²(x)=fβ€²(x)g(x)+gβ€²(x)f(x), ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,

jβ€²(2)=fβ€²(2)g(2 )+gβ€²(2)f(2)=(βˆ’4)(1)+(6)(3)=14.jβ€²(2)=fβ€²(2)g(2)+gβ€²(2) f(2)=(βˆ’4)(1)+(6)(3)=14.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3,24

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° произвСдСния ΠΊ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ°ΠΌ

Для j(x)=(x2+2)(3×3βˆ’5x),j(x)=(x2+2)(3×3βˆ’5x) Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ jβ€²(x)j β€²(x), примСняя ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ произвСдСния. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡŒΡ‚Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚, сначала найдя ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ диффСрСнцируя Π΅Π³ΠΎ.

РСшСниС

Если ΠΌΡ‹ установим f(x)=x2+2f(x)=x2+2 ΠΈ g(x)=3×3βˆ’5x,g(x)=3×3βˆ’5x, Ρ‚ΠΎ fβ€²(x)=2xfβ€²(x) =2x ΠΈ gβ€²(x)=9×2βˆ’5. gβ€²(x)=9×2βˆ’5. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ,

jβ€²(x)=fβ€²(x)g(x)+gβ€²(x)f(x)=(2x)(3×3βˆ’5x)+(9×2βˆ’5)(x2+2). jβ€²(x)=fβ€²(x)g(x)+gβ€²(x)f(x)=(2x)(3×3βˆ’5x)+(9×2βˆ’5)(x2+2).

Упрощая, ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ

jβ€²(x)=15×4+3×2βˆ’10.jβ€²(x)=15×4+3×2βˆ’10.

Для ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΈ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ j(x)=3×5+x3βˆ’10xj(x)=3×5+x3βˆ’10x ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, jβ€²(x)=15×4+3×2βˆ’10.jβ€²(x)=15×4 +3×2βˆ’10.

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎ-пропускной ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ 3.16

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ произвСдСния для получСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ‚ j(x)=2×5(4×2+x).j(x)=2×5(4×2+x).

ЧастноС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ

Π Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π² ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ произвСдСния, ΠΌΡ‹ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ рассмотрим Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ частных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Как ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹, производная частного Π½Π΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ частноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…; скорСС, это производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² числитСлС, умноТСнная Π½Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅, минус производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅, умноТСнная Π½Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² числитСлС, ΠΈ всС это дСлится Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΌΡ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ просто Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ частноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…, ΠΈΠΌΠ΅ΠΉΡ‚Π΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

ddx(x2)=2x,notddx(x3)ddx(x)=3×21=3×2. ddx(x2)=2x,notddx(x3)ddx(x)=3×21=3×2.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 3,6

ЧастноС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ f(x)f(x) ΠΈ g(x)g(x) β€” Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°

ddx(f(x)g(x))=ddx(f(x))Β·g(x)βˆ’ddx(g(x))Β·f(x)(g(x))2.ddx( f(x)g(x))=ddx(f(x))Β·g(x)βˆ’ddx(g(x))Β·f(x)(g(x))2.

Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ

, Ссли j(x)=f(x)g(x), Ρ‚ΠΎ jβ€²(x)=fβ€²(x)g(x)βˆ’gβ€²(x)f(x)(g(x ))2.Ссли j(x)=f(x)g(x), Ρ‚ΠΎ jβ€²(x)=fβ€²(x)g(x)βˆ’gβ€²(x)f(x)(g(x))2 .

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΅ Π½Π° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° произвСдСния, поэтому здСсь ΠΎΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡƒΡ‰Π΅Π½ΠΎ. ВмСсто этого ΠΌΡ‹ примСняСм это Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ для нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3,25

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ k(x)=5x24x+3.k(x)=5x24x+3.

РСшСниС

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ f(x)=5x2f(x)=5×2 ΠΈ g(x)=4x+3.g(x)=4x+3. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, fβ€²(x)=10xfβ€²(x)=10x ΠΈ gβ€²(x)=4.gβ€²(x)=4. ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ Π² Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ

kβ€²(x)=fβ€²(x)g(x)βˆ’gβ€²(x)f(x)(g(x))2=10x(4x+3)βˆ’ 4(5×2)(4x+3)2.kβ€²(x)=fβ€²(x)g(x)βˆ’gβ€²(x)f(x)(g(x))2=10x(4x+3) βˆ’4(5×2)(4x+3)2.

Упрощая, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ

kβ€²(x)=20×2+30x(4x+3)2.kβ€²(x)=20×2+30x(4x+3)2.

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎ-пропускной ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ 3.17

НайдитС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ h(x)=3x+14xβˆ’3.h(x)=3x+14xβˆ’3.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ для Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° стСпСни для нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄Π° xkxk, Π³Π΄Π΅ kk β€” ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 3,7

Π Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ мощности

Если kk β€” ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число, Ρ‚ΠΎ

ddx(xk)=kxkβˆ’1.ddx(xk)=kxkβˆ’1.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ

Если kk β€” ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡƒΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ n=βˆ’k,n=βˆ’k, Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ n Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ числом с k=βˆ’n.k=βˆ’n. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ числа n,xβˆ’n=1xn,n,xβˆ’n=1xn, Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, установив f(x)=1f(x)=1 ΠΈ g(x)=xn. g (Ρ…)=Ρ…ΠΏ. Π’ этом случаС fβ€²(x)=0fβ€²(x)=0 ΠΈ gβ€²(x)=nxnβˆ’1.gβ€²(x)=nxnβˆ’1. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ,

ddx(xβˆ’n)=0(xn)βˆ’1(nxnβˆ’1)(xn)2.ddx(xβˆ’n)=0(xn)βˆ’1(nxnβˆ’1)(xn)2.

Упрощая, ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

ddx(xβˆ’n)=βˆ’nxnβˆ’1x2n=βˆ’nx(nβˆ’1)βˆ’2n=βˆ’nxβˆ’nβˆ’1.ddx(xβˆ’n)=βˆ’nxnβˆ’1x2n=βˆ’nx(nβˆ’1)βˆ’ 2n=-nx-n-1.

НаконСц, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ k=βˆ’n,k=βˆ’n, подстановкой ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ

ddx(xk)=kxkβˆ’1.ddx(xk)=kxkβˆ’1.

β–‘

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3,26

ИспользованиС Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° мощности

НайдитС ddx(xβˆ’4).ddx(xβˆ’4).

РСшСниС

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ стСпСни с k=βˆ’4,k=βˆ’4, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ

ddx(xβˆ’4)=βˆ’4xβˆ’4βˆ’1=βˆ’4xβˆ’5.ddx(xβˆ’4)=βˆ’4x βˆ’4βˆ’1=βˆ’4xβˆ’5.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3,27

ИспользованиС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ мощности ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° постоянного мноТитСля

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ постоянного мноТитСля, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ f(x)=6×2.f(x)=6×2.

РСшСниС

ΠœΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π·Π°ΠΌΠ°Π½Ρ‡ΠΈΠ²Ρ‹ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ для нахоТдСния этой ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΈ это, ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ. Однако Π³ΠΎΡ€Π°Π·Π΄ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ эту Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, сначала пСрСписав Π΅Π΅ ΠΊΠ°ΠΊ f(x)=6xβˆ’2.f(x)=6xβˆ’2.

fβ€²(x)=ddx(6×2)=ddx(6xβˆ’2)ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ6x2as6xβˆ’2.=6ddx(xβˆ’2)ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ постоянноС ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ.=6(βˆ’2xβˆ’3)Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ мощности для Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒx-2.=-12x-3Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ.f'(x)=ddx(6×2)=ddx(6x-2)ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ6×2ΠΊΠ°ΠΊ6x-2.=6ddx(x-2)ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ постоянноС ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ.=6(-2x- 3) Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ мощности, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ x-2.=-12x-3Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ.

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎ-пропускной ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ 3.18

НайдитС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ g(x)=1x7g(x)=1×7, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ стСпСни.

ОбъСдинСниС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΈ

Как ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² Π² этом Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅, Ρ€Π΅Π΄ΠΊΠΎ случаСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ приходится ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ диффСрСнцирования, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. На этом этапС, комбинируя ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ любой полиномиальной ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ПозТС ΠΌΡ‹ встрСтимся с Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТными комбинациями ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» диффСрСнцирования. Π₯ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠ΅Π΅ эмпиричСскоС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ», состоит Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Π² порядкС, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΌ порядку, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΌΡ‹ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3,28

ОбъСдинСниС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» диффСрСнцирования

Для k(x)=3h(x)+x2g(x),k(x)=3h(x)+x2g(x) Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ kβ€²(x).kβ€²(x) .

РСшСниС

Для нахоТдСния этой ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ трСбуСтся ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ сумм, ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ постоянного ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ произвСдСния.

kβ€²(x)=ddx(3h(x)+x2g(x))=ddx(3h(x))+ddx(x2g(x)) ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ сумм.=3ddx(h(x))+ (ddx(x2)g(x)+ddx(g(x))x2) ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ мноТитСля констант ΠΊ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡŽ3h(x) ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ произвСдСния ΠΊ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡŽx2g(x).=3hβ€²(x)+2xg(x)+g β€²(x)x2kβ€²(x)=ddx(3h(x)+x2g(x))=ddx(3h(x))+ddx(x2g(x)) ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ сумм.=3ddx(h(x) )+(ddx(x2)g(x)+ddx(g(x))x2) ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ мноТитСля констант для диффСрСнцирования3h(x) ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ произвСдСния для диффСрСнцированияx2g(x). =3hβ€²(x)+2xg(x) +gβ€²(x)x2

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3,29

Π Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Π°

Для k(x)=f(x)g(x)h(x),k(x)=f(x)g(x)h(x) Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ kβ€²(x )kβ€²(x) Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· f(x),g(x),h(x),f(x),g(x),h(x) ΠΈ ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅.

РСшСниС

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π΄ΡƒΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ k(x)k(x) ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x)g(x)f(x)g(x) ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ h(x).h(x). Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ k(x)=(f(x)g(x))Β·h(x).k(x)=(f(x)g(x))Β·h(x). Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ,

kβ€²(x)=ddx(f(x)g(x))Β·h(x)+ddx(h(x))Β·(f(x)g(x)) ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ произвСдСния ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ off(x)g(x)andh(x).=(fβ€²(x)g(x)+gβ€²(x)f(x))h(x)+hβ€²(x)f(x) g(x)ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ произвСдСния tof(x)g(x).=fβ€²(x)g(x)h(x)+f(x)gβ€²(x)h(x)+f(x) g(x)hβ€²(x).Simplify.kβ€²(x)=ddx(f(x)g(x))Β·h(x)+ddx(h(x))Β·(f(x)g( x)) ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ произвСдСния ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ off(x)g(x)andh(x).=(fβ€²(x)g(x)+gβ€²(x)f(x))h(x)+h β€²(x)f(x)g(x)ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ произвСдСния tof(x)g(x).=fβ€²(x)g(x)h(x)+f(x)gβ€²(x)h (x)+f(x)g(x)hβ€²(x). Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3.30

Π‘ΠΎΡ‡Π΅Ρ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° частного ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° произвСдСния

Для h(x)=2x3k(x)3x+2,h(x)=2x3k(x)3x+2 Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ).

РСшСниС

Π­Ρ‚Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Π° Ρ‚ΠΈΠΏΠΈΡ‡Π½Π° для нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

hβ€²(x)=ddx(2x3k(x))Β·(3x+2)βˆ’ddx(3x+2)Β·(2x3k(x))(3x+2)2ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.=(6x2k(x )+kβ€²(x)Β·2×3)(3x+2)βˆ’3(2x3k(x))(3x+2)2ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ произвСдСния, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈddx(2x3k(x)).Useddx(3x+2)=3. =βˆ’6x3k(x)+18x3k(x)+12x2k(x)+6x4kβ€²(x)+4x3kβ€²(x)(3x+2)2Simplify.hβ€²(x)=ddx(2x3k(x))Β·( 3x+2)βˆ’ddx(3x+2)Β·(2x3k(x))(3x+2)2ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ частных.=(6x2k(x)+kβ€²(x)Β·2×3)(3x+2)βˆ’3 (2x3k(x))(3x+2)2ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ произвСдСния ΠΊ findddx(2x3k(x)).Useddx(3x+2)=3.=βˆ’6x3k(x)+18x3k(x)+12x2k(x)+ 6x4kβ€²(x)+4x3kβ€²(x)(3x+2)2Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ.

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎ-пропускной ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ 3.19

Найти ddx(3f(x)βˆ’2g(x)).ddx(3f(x)βˆ’2g(x)).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3.31

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π³Π΄Π΅ функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ значСния xx, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… f(x)=x3βˆ’7×2+8x+1f(x)=x3βˆ’7×2+8x+1 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ.

РСшСниС

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ значСния xx, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… f(x)f(x) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ, ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ fβ€²(x)=0. fβ€²(x)=0. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ

fβ€²(x)=3×2βˆ’14x+8=(3xβˆ’2)(xβˆ’4),fβ€²(x)=3×2βˆ’14x+8=(3xβˆ’2)(xβˆ’4),

ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ (3xβˆ’2)(xβˆ’4)=0.(3xβˆ’2)(xβˆ’4)=0. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… x=23x=23 ΠΈ x=4x=4, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅.

Рисунок 3.19 Π­Ρ‚Π° функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π½Π° x = 2/3 ΠΈ x = 4.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3,32

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ скорости

ПолоТСниС ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° Π½Π° оси ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ tt опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ s(t)=tt2+1.s(t)=tt2+1. Какова Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅Π»Π°?

РСшСниС

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ v(0)=sβ€²(0),v(0)=sβ€²(0), Π½Π°Ρ‡Π½Π΅ΠΌ с нахоТдСния sβ€²(t)sβ€²(t), примСняя ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ частных:

с β€²(t)=1(t2+1)βˆ’2t(t)(t2+1)2=1βˆ’t2(t2+1)2.sβ€²(t)=1(t2+1)βˆ’2t(t) (t2+1)2=1βˆ’t2(t2+1)2.

ПослС вычислСния ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ v(0)=1.v(0)=1.

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎ-пропускной ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ 3.

20

НайдитС значСния xx, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ f(x)=4×2βˆ’3x+2f(x)=4×2βˆ’3x+2 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ прямой y=2x+3.y=2x+3 .

БтудСнчСский ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚

Π’Ρ€ΠΈΠ±ΡƒΠ½Ρ‹ Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹-1

ΠΠ²Ρ‚ΠΎΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π³ΠΎΠ½ΠΊΠΈ Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹-1 ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΡƒΠ²Π»Π΅ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π»Π΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ мноТСство Π·Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ. Π”ΠΈΠ·Π°ΠΉΠ½Π΅Ρ€Ρ‹ трасс Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹-1 Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΎΠ±Π΅ΡΠΏΠ΅Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ достаточноС пространство Π½Π° Ρ‚Ρ€ΠΈΠ±ΡƒΠ½Π°Ρ… Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ трассы для размСщСния этих Π·Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ. Однако Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π³ΠΎΠ½ΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ опасными, ΠΈ сообраТСния бСзопасности ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ пСрвостСпСнноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π’Ρ€ΠΈΠ±ΡƒΠ½Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Ρ€Π°ΡΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π·Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Π²Π΅Ρ€Π³Π°Π»ΠΈΡΡŒ опасности Π² случаС ΠΏΠΎΡ‚Π΅Ρ€ΠΈ Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ управлСния Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»Π΅ΠΌ (рис. 3.20).

Рисунок 3.20 Π’Ρ€ΠΈΠ±ΡƒΠ½Π° рядом с прямой трассой Circuit de Barcelona-Catalunya, располоТСнная Ρ‚Π°ΠΌ, Π³Π΄Π΅ зритСлям Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ Π½Π΅ ΡƒΠ³Ρ€ΠΎΠΆΠ°Π΅Ρ‚.

**********

Π‘Π΅Π·ΠΎΠΏΠ°ΡΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ особСнно Π²Π°ΠΆΠ½Π° Π½Π° ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π°Ρ…. Если Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ нСдостаточно замСдлится ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Π²Ρ…ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π² ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚, Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ·Π½ΡƒΡ‚ΡŒ с Π³ΠΎΠ½ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΉ трассы. ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ это просто ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Ρƒ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ замСдляСт водитСля. Но Ссли Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ потСряСт ΡƒΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, машина ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π²Ρ‹Π»Π΅Ρ‚Π΅Ρ‚ΡŒ с трассы ΠΏΠΎ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π³ΠΎΠ½ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΉ трассы.

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Π²Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚Π΅ Π½ΠΎΠ²ΡƒΡŽ трассу Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹-1. Один участок ΠΏΡƒΡ‚ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ f(x)=x3+3×2+xf(x)=x3+3×2+x (рис. 3.21). Π’Π΅ΠΊΡƒΡ‰ΠΈΠΉ ΠΏΠ»Π°Π½ прСдусматриваСт ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ±ΡƒΠ½ вдоль ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ прямой ΠΈ Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ части ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π°. ΠŸΠ»Π°Π½ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π½ΠΈΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Ρ‚Ρ€ΠΈΠ±ΡƒΠ½Ρ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°ΡΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (βˆ’1,9,2.8).(βˆ’1.9,2.8). ΠœΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, прСдставляСт Π»ΠΈ эта локация ΠΎΠΏΠ°ΡΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ для Π·Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ, Ссли Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ потСряСт ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ Π½Π°Π΄ Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»Π΅ΠΌ.

Рисунок 3.21 (a) Один участок Π±Π΅Π³ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π΄ΠΎΡ€ΠΎΠΆΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ f(x)=x3+3×2+x.f(x)=x3+3×2+x. (b) ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π½ΠΈΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Ρ‚Ρ€ΠΈΠ±ΡƒΠ½Ρ‹ располоТСн Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… (βˆ’1.9, 2.8).(βˆ’1.9, 2.8).

  1. Π€ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ, скорСС всСго, ΠΏΠΎΡ‚Π΅Ρ€ΡΡŽΡ‚ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ Π½Π°Π΄ своими автомобилями ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ Π² ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Π³Π΄Π΅ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 1. НайдитС (x,y)(x,y) ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π²ΠΎΠ·Π»Π΅ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π°.
  2. НайдитС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅.
  3. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, ΡƒΠ³Ρ€ΠΎΠΆΠ°ΡŽΡ‚ Π»ΠΈ Π·Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ Π² этом сцСнарии, Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ x -ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π³Π΄Π΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ пСрСсСкаСт линию y=2.8.y=2.8. БСзопасно Π»ΠΈ находится эта Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° справа ΠΎΡ‚ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ±ΡƒΠ½Ρ‹? Или Π·Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ Π² опасности?
  4. Π§Ρ‚ΠΎ, Ссли Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ потСряСт ΡƒΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π½ΡŒΡˆΠ΅, Ρ‡Π΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠ»Π°Π½ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ? ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ тСряСт ΡƒΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (βˆ’2,5,0,625).(βˆ’2,5,0,625). Каков Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅?
  5. Если Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ тСряСт ΡƒΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ описано Π² части 4, Π·Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ Π² бСзопасности?
  6. Π‘ΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅ΠΊΡƒΡ‰ΠΈΠΉ Π΄ΠΈΠ·Π°ΠΉΠ½ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ±ΡƒΠ½ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ±ΡƒΠ½Ρ‹ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ?

Π Π°Π·Π΄Π΅Π» 3.3 УпраТнСния

Для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ fβ€²(x)fβ€²(x) для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

106.

f(x)=x7+10f(x)=x7+10

107.

f(x)=5×3βˆ’x+1f(x)=5×3βˆ’x+1

108.

f(x)=4×2βˆ’7xf(x)=4×2βˆ’7x

109.

f(x)=8×4+9×2βˆ’1f(x)=8×4+9×2βˆ’1

110.

f(x)=x4+2xf(x)=x4+2x

111.

f(x)=3x(18×4+13x+1)f(x)=3x(18×4+13x+1)

112.

f(x)=(x+2)(2×2βˆ’3)f(x)=(x+2)(2×2βˆ’3)

113.

f(x)=x2(2×2+5×3)f(x)=x2(2×2+5×3)

114.

f(x)=x3+2×2βˆ’43f(x)=x3+2×2βˆ’43

115.

f(x)=4×3βˆ’2x+1x2f(x)=4×3βˆ’2x+1×2

116.

f(x)=x2+4×2βˆ’4f(x)=x2+4×2βˆ’4

117.

f(x)=x+9×2βˆ’7x+1f(x)=x+9×2βˆ’7x+1

Для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ T(x)T(x) ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ графичСский ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ.

118.

[T] y=3×2+4x+1y=3×2+4x+1 Π² (0,1)(0,1)

119.

[T] y=2×2+1y=2×2+1 Π² (1,3)(1,3)

120.

[T] y=2xxβˆ’1y=2xxβˆ’1 Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (βˆ’1,1)(βˆ’1,1)

121.

[T] y=2xβˆ’3x2y=2xβˆ’3×2 Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (1,βˆ’1)(1,βˆ’1)

Для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x)f(x) ΠΈ g(x)g(x) ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹ΠΌΠΈ функциями для всСх x.x. НайдитС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ h(x).h(x).

122.

h(x)=4f(x)+g(x)7h(x)=4f(x)+g(x)7

123.

Ρ‡(Ρ…)=x3f(Ρ…)Ρ‡(Ρ…)=x3f(Ρ…)

124.

h(x)=f(x)g(x)2h(x)=f(x)g(x)2

125.

h(x)=3f(x)g(x)+2h(x)=3f(x)g(x)+2

Для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ f(x)f(x) ΠΈ g(x)g(x) ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹ΠΌΠΈ функциями со значСниями, ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ для расчСта ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ….

Ρ…Ρ… 11 22 33 44
Ρ„(Ρ…)Ρ„(Ρ…) 33 55 βˆ’2βˆ’2 00
Π³(Ρ…)Π³(Ρ…) 22 33 βˆ’4βˆ’4 66
f'(x)f'(x) βˆ’1βˆ’1 77 88 βˆ’3βˆ’3
Π³'(Ρ…)Π³'(Ρ…) 44 11 22 99

126.

НайдитС hβ€²(1)hβ€²(1), Ссли h(x)=xf(x)+4g(x).h(x)=xf(x)+4g(x).

127.

НайдитС hβ€²(2)hβ€²(2), Ссли h(x)=f(x)g(x).h(x)=f(x)g(x).

128.

НайдитС hβ€²(3)hβ€²(3), Ссли h(x)=2x+f(x)g(x).h(x)=2x+f(x)g(x).

129.

НайдитС hβ€²(4)hβ€²(4), Ссли h(x)=1x+g(x)f(x).h(x)=1x+g(x)f(x).

Π’ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… упраТнСниях ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ рисунок, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅, Ссли ΠΎΠ½ΠΈ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚.

130.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ h(x)=f(x)+g(x).h(x)=f(x)+g(x). Найти

  1. Ρ‡'(1),Ρ‡'(1),
  2. Ρ‡'(3),Ρ‡'(3) ΠΈ
  3. Ρ‡'(4).Ρ‡'(4).

131.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ h(x)=f(x)g(x).h(x)=f(x)g(x). Найти

  1. Ρ‡'(1),Ρ‡'(1),
  2. Ρ‡'(3),Ρ‡'(3) ΠΈ
  3. Ρ‡'(4).Ρ‡'(4).

132.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ h(x)=f(x)g(x). h(x)=f(x)g(x). Найти

  1. Ρ‡'(1),Ρ‡'(1),
  2. Ρ‡'(3),Ρ‡'(3) ΠΈ
  3. Ρ‡'(4).Ρ‡'(4).

Для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ

  1. ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ f'(a),f'(a) ΠΈ
  2. Π½Π°Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x)f(x) ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x=a.x=a.

133.

[Π’] f(x)=2×3+3xβˆ’x2,a=2f(x)=2×3+3xβˆ’x2,a=2

134.

[Π’] f(x)=1xβˆ’x2,a=1f(x)=1xβˆ’x2,a=1

135.

[Π’] f(x)=x2βˆ’x12+3x+2,a=0f(x)=x2βˆ’x12+3x+2,a=0

136.

[Π’] f(x)=1xβˆ’x2,a=βˆ’1f(x)=1xβˆ’x2,a=βˆ’1

137.

НайдитС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ f(x)=2×3+4×2βˆ’5xβˆ’3f(x)=2×3+4×2βˆ’5xβˆ’3 Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x=βˆ’1.x=βˆ’1.

138.

НайдитС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ f(x)=x2+4xβˆ’10f(x)=x2+4xβˆ’10 ΠΏΡ€ΠΈ x=8. x=8.

139.

НайдитС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ f(x)=(3xβˆ’x2)(3βˆ’xβˆ’x2)f(x)=(3xβˆ’x2)(3βˆ’xβˆ’x2) ΠΏΡ€ΠΈ x= 1.Ρ…=1.

140.

НайдитС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ f(x)=x3f(x)=x3 Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ пСрСсСчСния xx, Ρ€Π°Π²Π½ΡƒΡŽ 6.

141.

НайдитС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ P(3,3)P(3,3) ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ f(x)=6xβˆ’1.f(x)=6xβˆ’1.

142.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ всС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ f(x)=x3+x2βˆ’xβˆ’1f(x)=x3+x2βˆ’xβˆ’1, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ…

  1. ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°
  2. ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ βˆ’1,βˆ’1.

143.

НайдитС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ f(1)=5,fβ€²(1)=3f(1)=5,fβ€²(1)=3 ΠΈ fβ€³(1)=βˆ’6.fβ€³(1) =-6.

144.

ΠΠ²Ρ‚ΠΎΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»ΡŒ, двиТущийся ΠΏΠΎ автострадС с Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ…Π°Π» s(t)=t3βˆ’6t2+9ts(t)=t3βˆ’6t2+9t ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² Π·Π° tt сСкунд.

  1. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ врСмя Π² сСкундах, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ автомобиля Ρ€Π°Π²Π½Π° 0.
  2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ускорСниС автомобиля, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Π° 0.

145.

[T] БСльдь, плывущая ΠΏΠΎ прямой, ΠΏΡ€ΠΎΡˆΠ»Π° s(t)=t2t2+2s(t)=t2t2+2 Ρ„ΡƒΡ‚ΠΎΠ² Π·Π° tt сСкунд.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ сСлСдки, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ‚ 3 сСкунды.

146.

ΠŸΠΎΠΏΡƒΠ»ΡΡ†ΠΈΡ Π² ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΎΠ½Π°Ρ… полярных ΠΊΠ°ΠΌΠ±Π°Π» Π² АтлантичСском ΠΎΠΊΠ΅Π°Π½Π΅ модСлируСтся Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ P(t)=8t+30,2t2+1, P(t)=8t+30,2t2+1, Π³Π΄Π΅ tt измСряСтся Π² Π³ΠΎΠ΄Π°Ρ….

  1. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΠΏΡƒΠ»ΡΡ†ΠΈΡŽ ΠΊΠ°ΠΌΠ±Π°Π».
  2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ P'(10)P'(10) ΠΈ ΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΡ€Π΅Ρ‚ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚.

147.

[T] ΠšΠΎΠ½Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡ Π°Π½Ρ‚ΠΈΠ±ΠΈΠΎΡ‚ΠΈΠΊΠ° Π² ΠΊΡ€ΠΎΠ²ΠΎΡ‚ΠΎΠΊΠ΅ tt часов послС ввСдСния опрСдСляСтся Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ C(t)=2t2+tt3+50,C(t)=2t2+tt3+50, Π³Π΄Π΅ измСряСтся КК Π² ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°Ρ… Π½Π° Π»ΠΈΡ‚Ρ€ ΠΊΡ€ΠΎΠ²ΠΈ.

  1. НайдитС ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния C(t). C(t).
  2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния для t=8,12,24,t=8,12,24 ΠΈ 36,36.
  3. ΠšΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ происходит ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ увСличСния количСства часов.

148.

Ѐункция Π·Π°Ρ‚Ρ€Π°Ρ‚ ΠΊΠ½ΠΈΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ·Π΄Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° опрСдСляСтся Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ C(x)=x3+2x+3×2, C(x)=x3+2x+3×2, Π³Π΄Π΅ x β€” количСство экзСмпляров ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ Π² тысячах, Π° C β€” ΡΡ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ Π² Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€Π°Ρ…. ΠžΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ Cβ€²(2)Cβ€²(2) ΠΈ ΠΎΠ±ΡŠΡΡΠ½ΠΈΡ‚Π΅ Π΅Π³ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅.

149.

[T] Богласно Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ всСмирного тяготСния ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π° сила FF ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Ρ‚Π΅Π»Π°ΠΌΠΈ постоянной массы m1m1 ΠΈ m2m2 опрСдСляСтся Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ F=Gm1m2d2,F=Gm1m2d2, Π³Π΄Π΅ GG β€” гравитационная постоянная, Π° dd β€” расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ‚Π΅Π»Π°ΠΌΠΈ.

  1. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ G, m1 ΠΈ m2 G, m1 ΠΈ m2 ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ константами. Найти ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния силы FF Π½Π° расстоянии d.d.
  2. Найти ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния силы FF с Π³Ρ€Π°Π²ΠΈΡ‚Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ постоянной G=6,67Γ—10-11G=6,67Γ—10-11 Нм2/ΠΊΠ³2, Нм2/ΠΊΠ³2 Π½Π° Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚Π΅Π»Π°Ρ… массой 1000 ΠΊΠ³ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ Π½Π° расстоянии 10 ΠΌ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π°.

6.3 ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования | Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ исчислСниС

ΠŸΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΠΉ

6.2 ΠžΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠΎΠ²

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ

6.4 Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ

6.3 ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования (EMCH7)

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠ· ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠΎΠ² Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅Ρ‚ Π΄Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… вычислСний ΠΈ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ. Однако ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ этот ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΡ‹ для получСния ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ», ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°ΡŽΡ‚ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования

  1. ΠžΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠΎΠ² Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ:

    1. \(Π΅\Π²Π»Π΅Π²ΠΎ(Ρ…\Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ)=Ρ…\)

    2. 9{3}\)

    3. \(Π΅\Π²Π»Π΅Π²ΠΎ(Ρ…\Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ)=\фракция{1}{Ρ…}\)

    4. \(Π΅\Π²Π»Π΅Π²ΠΎ(Ρ…\Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ)=-\фракция{2}{Ρ…}\)

  2. Π—Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ:

    \(Π΅\Π²Π»Π΅Π²ΠΎ(Ρ…\Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ)\) \({f}’\Π²Π»Π΅Π²ΠΎ(Ρ…\Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ)\)
    \(Ρ…\) 9{3}\)
    \(\frac{1}{x}\)
    \(-\frac{2}{x}\)
  3. ΠœΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π»ΠΈ Π²Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ? 9{n-1}, \text{ Π³Π΄Π΅ } n \in \mathbb{R} \text{ ΠΈ } n \ne 0. \]
  4. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ константы Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

    \[\frac{d}{dx}\left[k\right]= 0\]
  5. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ константы, умноТСнная Π½Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, Ρ€Π°Π²Π½Π° постоянная, умноТСнная Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

    \[\frac{d}{dx}\left[k \cdot f\left(x\right) \right]=k \frac{d}{dx}\left[ Π΅\Π²Π»Π΅Π²ΠΎ(Ρ…\Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ) \Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ]\]
  6. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ суммы Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ….

    \[\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]=\frac{d}{dx}\left[f\left(x \ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ) \right] + \frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]\]
  7. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ разности Ρ€Π°Π²Π½Π° Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ….

    \[\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right) – g\left(x\right)\right]=\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right) \right] – \frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]\] 9{\ Π³ΠΈΠ΄Ρ€ΠΎΡ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π° {3} {2}}} \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*}

    Когда ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования:

    • Если Π² вопросС Π½Π΅ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ, Ρ‚ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° для Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΈ.

    Когда ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ с использованиСм ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠΎΠ²:

    • Если Π² вопросС ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ использованиС ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠΎΠ². 9{2}-5x+6}{x-2}\\ & = \ Π³ΠΈΠ΄Ρ€ΠΎΡ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π² {(Ρ…-3)(Ρ…-2)}{Ρ…-2}\\ & = Ρ…-3\\ f'(x) & = \text{1} \end{align*}

      Найти \({f}’\left(y\right)\), Ссли \(f\left(y\right)=\sqrt{y}\). {-\frac{1}{2}}\\ & = \frac{1}{2\sqrt{y}} \end{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*} 9{2}} \end{align*}

      Найти \(\frac{dy}{dx}\), Ссли \(x=2y+3\).

      Π‘Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ \(y\) ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ \(y\) ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ \(Ρ…\).

      \Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ*} y & = \frac{1}{2}x – \frac{3}{2} \\ \поэтому \frac{dy}{dx}& = \frac{1}{2} \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*} 9{\ Π³ΠΈΠ΄Ρ€ΠΎΡ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π° {3} {2}}} \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*}

      ΠŸΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΠΉ

      6. 2 ΠžΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠΎΠ²

      ОглавлСниС

      Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ

      6.4 Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ

      2.1: Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… β€” ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° LibreTexts

      1. ПослСднСС обновлСниС
      2. Π‘ΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ PDF
    • Π˜Π΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΎΡ€ страницы
      4299
      • ΠœΡΡ‚ΡŒΡŽ Болкинс, Дэвид ΠžΡΡ‚ΠΈΠ½ ΠΈ Π‘Ρ‚ΠΈΠ²Π΅Π½ Π¨Π»ΠΈΠΊΠ΅Ρ€
      • ГосударствСнный унивСрситСт Π“Ρ€Π°Π½Π΄-Вэлли Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ScholarWorks @ ГосударствСнный унивСрситСт Π“Ρ€Π°Π½Π΄-Вэлли

      Π¦Π΅Π»ΠΈ обучСния

      Π’ этом Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΌΡ‹ стрСмимся ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ΄Π΅ΠΈ, ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ вопросами:

      • КакиС ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π°Π»ΡŒΡ‚Π΅Ρ€Π½Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Π΅ обозначСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ?
      • Как ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ структуру Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ \(f (x)\), Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ для \(f'(x)\)? 9Икс\)?
      • Если ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ \(y = f (x)\), ΠΊΠ°ΠΊ вычисляСтся производная \(y = k f (x)\), Π³Π΄Π΅ \(k\) – константа?
      • Если ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ \(y = f (x)\) ΠΈ \(y = g(x)\), ΠΊΠ°ΠΊ вычисляСтся производная \(y = f (x) + g(x)\) ?

      Π’ Π³Π»Π°Π²Π΅ 1 ΠΌΡ‹ Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π»ΠΈ понятиС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ производная \(f’\) Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ \(f\) измСряСт ΠΌΠ³Π½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния \(f\) ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊ \(x\), Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ \(y = f (x)\) ΠΏΡ€ΠΈ любом Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ \(x\). На сСгодняшний дСнь ΠΌΡ‹ ΡΠΎΡΡ€Π΅Π΄ΠΎΡ‚ΠΎΡ‡ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΡ€Π΅Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ графичСски ΠΈΠ»ΠΈ, Π² контСкстС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π² физичСской срСдС, ΠΊΠ°ΠΊ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌΠΎΠΉ скорости измСнСния. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ фактичСски Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, ΠΌΡ‹ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ полагались Π½Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

      Π’ этой Π³Π»Π°Π²Π΅ ΠΌΡ‹ исслСдуСм, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ

      \[f'(x) = \lim_{hβ†’0} f (x + h) βˆ’ f (x) h ,\]

      ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ интСрСсным шаблонам ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‚ Π½Π°ΠΌ быстро Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ для \(f'(x)\) Π½Π° основС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для \(f (x)\) Π±Π΅Π· нСпосрСдствСнного использования опрСдСлСния ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°. НапримСр, ΠΌΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли \(f (x) = x\), Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт \(f'(x) = 1\). Π₯отя ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ΄Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΈΡ‚ΡŒ это, ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ \(f (x)\) являСтся Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ с Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ΠΎΠΌ 1 ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ \(x\). Одна ΠΈΠ· Π½Π°ΡˆΠΈΡ… Ρ†Π΅Π»Π΅ΠΉ β€” ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ стандартныС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, скаТСм, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ 9.2\), Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· \(f'(x)\), ΠΈ ΠΌΡ‹ пишСм \(f'(x) = 2x\). Π­ΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎ, Ссли ΠΌΡ‹ большС Π΄ΡƒΠΌΠ°Π΅ΠΌ ΠΎΠ± ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ \(y\) ΠΈ \(x\), ΠΌΡ‹ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ \(y\) ΠΏΠΎ \(x\) символом

      \[\ frac { d y } { d x }\]

      , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΡ‹ Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ Β«dee-y dee-xΒ». Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ исходит ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ производная связана с Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ΠΎΠΌ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ измСряСтся ΠΊΠ°ΠΊ \(\frac {\Delta y} {\Delta x}\). ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ хотя ΠΌΡ‹ Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌ \(\frac {\Delta y} {\Delta x}\) ΠΊΠ°ΠΊ Β«ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ \(y\) ΠΏΠΎ ΡΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ с ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ \(x\)Β», для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ символа \(\frac { d y } { d x }\), ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ символ, Π° Π½Π΅ частноС Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ 92\), напишСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ производная Ρ€Π°Π²Π½Π° \(\frac { d y } { d x }=2x\).

      ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΌΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ Π½ΠΎΡ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈ \(\frac { d y } { d x }\) для ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°Ρ‡ΠΈ инструкции Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΏΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ. { 2 } \right] = 2 x \). 9{ 2 } }.\]

      Π’ дальнСйшСм ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π°Π΄ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ нашСго Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ быстро Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ

      ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΡΠ½Π½Ρ‹Π΅, стСпСнныС ΠΈ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

      Пока Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… для Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹Ρ… классов Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ: постоянных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ стСпСнных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Для ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли \(f (x) = c\) β€” постоянная функция, Ρ‚ΠΎ Π΅Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ прСдставляСт собой Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ линию с Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ΠΎΠΌ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, \(\frac {d} {d x} [c] = 0\). ΠŸΠΎΠ΄Ρ‹Ρ‚ΠΎΠΆΠΈΠΌ это ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ. 9{nβˆ’1}\).

      Когда ΠΌΡ‹ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π· обратимся ΠΊ Ρ€Π°Π·ΠΌΡ‹ΡˆΠ»Π΅Π½ΠΈΡΠΌ ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΉ основных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Ρ‚ΠΈΠΏ основной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π½Π°ΠΌ извСстна. Пока ΠΌΡ‹ просто Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ это ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π±Π΅Π· объяснСния ΠΈ обоснования; ΠΌΡ‹ рассмотрим, ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ это ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ, Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΈΠ· ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ этого Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π°, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΡ‹ встрСтимся с графичСским объяснСниСм Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ, Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Π²Π°Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΈ 2. 2.

      Π­ΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

      Икс\). Как Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ», это сильно мСняСт Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

      Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ вашС ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… основных Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, упомянутых Π²Ρ‹ΡˆΠ΅.

      Activity \(\PageIndex{1}\)

      Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° для опрСдСлСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ свой ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ обозначСния, ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠ² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π΅Π΅ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. НапримСр, Ссли Π²Π°ΠΌ Π΄Π°Π½Π° функция \(h(z)\), Π²Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Β«\(h ‘(z) =\)Β» ΠΈΠ»ΠΈ Β«\(\frac { d h } { d z } = \) Β» ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ вашСго ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π°. 9{ 3 } }\)

ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΡΠ½Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ суммы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, с ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΌΡ‹ сталкиваСмся Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТны, Ρ‡Π΅ΠΌ просто константы, ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ основаниС, Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ. Π’ этом ΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π°Ρ… ΠΌΡ‹ научимся быстро Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, построСнной ΠΊΠ°ΠΊ алгСбраичСская комбинация основных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. НапримСр, ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚Π΅Π»ΠΈ Π±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ полиномиальной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΠΊ 92 βˆ’ 9,\]

, которая прСдставляСт собой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, ΡΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‰ΡƒΡŽ ΠΈΠ· постоянных ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ сумм стСпСнСй \(t\). Π‘ этой Ρ†Π΅Π»ΡŒΡŽ ΠΌΡ‹ Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ Π΄Π²Π° Π½ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°: постоянноС мноТСствСнноС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ суммы .

Допустим, Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ функция \(y = f (x)\), Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ извСстна. Как производная \(y = k f (x)\) связана с ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ исходной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ? Напомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π½Π° константу \(k\), ΠΌΡ‹ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ растягиваСм Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π² \(|k|\) Ρ€Π°Π· (ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅ΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· \(y = 0\), Ссли \(k < 0\)). Π­Ρ‚ΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ растяТСниС влияСт Π½Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°, дСлая Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ \(y = k f (x)\) Π² \(k\) Ρ€Π°Π· Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΊΡ€ΡƒΡ‚Ρ‹ΠΌ, Ρ‡Π΅ΠΌ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ \(y = f (x)\). Π‘ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ это, ΠΏΠΎ сути, ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π½Π° коэффициСнт \(k\), ΠΌΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ мСняСм Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π° коэффициСнт \(k\). Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ 9{βˆ’3 }).\]

Π”Π°Π»Π΅Π΅ ΠΌΡ‹ исслСдуСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ происходит, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ сумму Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Если Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ \(y = f (x)\) ΠΈ \(y = g(x)\), ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½ΠΎΠ²ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ \(y = (f + g)(x)\), Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠ² Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π΄Π²Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: \(( f + g)(x) = f (x) + g(x)\). Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΊ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ являСтся суммой Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π΄Π²ΡƒΡ… извСстных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π½ΠΎ ΠΈ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ являСтся суммой Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ΠΎΠ² извСстных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, 3 , ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ сумм для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…: 9{ \ простоС число } ( Ρ… ) \) .

Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ сумм Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π½Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ «производная суммы Π΅ΡΡ‚ΡŒ сумма ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…Β». Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π½Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π·, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ сумму Π΄Π²ΡƒΡ… Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹ΠΌ. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ

\[y = ( f βˆ’g)(x) = f (x)βˆ’g(x) \textit{ ΠΊΠ°ΠΊ y} = f (x)+(βˆ’1 Β· g (x)),\]

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ сумм ΠΈ ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° постоянного ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ вмСстС говорят Π½Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

\[\dfrac{d}{dx} [ f (x) + (βˆ’1 Β· g(x))] = f ‘(Ρ…) – g ‘(Ρ…),\] 9{ – 4 }.\]

Activity \(\PageIndex{2}\)

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° для постоянных, стСпСнных ΠΈ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ вмСстС с ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌΠΈ постоянного мноТитСля ΠΈ суммы для вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ нСзависимой ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π΅Ρ‰Π΅ Π½Π΅ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» диффСрСнцирования произвСдСния ΠΈΠ»ΠΈ частного Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π°ΠΌ, Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, придСтся сначала Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ алгСбраичСскиС вычислСния с ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ΅ функциями, ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ Π²Ρ‹ смоТСтС ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° для вычислСния ΠΆΠ΅Π»Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. Π’ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ случаС ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π²Ρ‹ вычисляСтС, Π΅Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅ΠΌ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ обозначСния, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ \(f'(x)\), \(h ‘(z)\), \(d r / d t\) ΠΈ Ρ‚. Π΄. 9{ 2 } – Π° + 12 \)

    Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° быстрого доступа, ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π½Π°ΠΌ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅, ΠΌΡ‹ Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ простой ΠΈ ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡ‚ΠΊΠΈΠΉ язык. Часто вмСсто Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Β«Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ \(f\)Β», ΠΌΡ‹ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ просто Β«Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ \(f\)Β». Π­Ρ‚Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ° связана с ΠΈΠ΄Π΅Π΅ΠΉ наличия ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ для Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π°: Ссли производная сущСствуСт Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, ΠΌΡ‹ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \(f\) Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠ°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ связано с Ρ‚Π΅ΠΌ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \(f\) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ .

    По ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ всС большС ΠΈ большС Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅ΠΌ с алгСбраичСской структурой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ созданию ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½Ρ‹ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ нСсколько ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ… наблюдСний, основанных Π½Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°Ρ…, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎ сих ΠΏΠΎΡ€. Π’ΠΎ-ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ…, производная любой полиномиальной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ полиномиальной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ, ΠΈ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ мСньшС стСпСни исходной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. НапримСр, Ссли 9{ z } \ln ( 2 ) \), которая Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ являСтся ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ.

    ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, хотя Π² настоящСС врСмя ΠΌΡ‹ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ Π°ΠΊΡ†Π΅Π½Ρ‚ Π½Π° ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ быстрых ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» для нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π±Π΅Π· нСпосрСдствСнного использования опрСдСлСния ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°, ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ упускаСм ΠΈΠ· Π²ΠΈΠ΄Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‚ Ρ„Π°ΠΊΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сохраняСтся всС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΡ‹ Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π»ΠΈ Π² Π³Π»Π°Π²Π΅ 1. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π·, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ вычисляСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ, эта производная измСряСт ΠΌΠ³Π½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния исходной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π² любой Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ. Π’ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π°ΠΌ прСдлагаСтся ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° с Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹ΠΌΠΈ пСрспСктивами, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π»ΠΈ Π² Π³Π»Π°Π²Π΅ 1.

    Activity \(\PageIndex{3}\)

    Π’ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… вопросов прСдлагаСтся ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ для ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π° Π½Π° ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹Π΅ вопросы ΠΎ функциях. {t} + 32\), Π³Π΄Π΅ \(t\) измСряСтся Π² днях. 9{ 2 } – a + 12 \) Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Π³Π΄Π΅ \(a = βˆ’1\).

  1. Π’ Ρ‡Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ (задаСтся Π² (a)) ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ (задаСтся Π² (c))?

    РСзюмС

    Π’ этом Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΌΡ‹ ΡΡ‚ΠΎΠ»ΠΊΠ½ΡƒΠ»ΠΈΡΡŒ со ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ идСями:

    • Для Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ \(y = f (x)\) ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ f Π² Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… обозначСниях: \(f ‘(x)\), \(\ frac {d f } {d x } \) , \(\ frac {d y } {d x } \) ΠΈ \(\ frac {d } {d x } [ f ( x ) ] \). 9{ \ простоС число } ( Ρ… ) \].

    ________

    1 Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΡ‹ Π½Π΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ Β«Π΄ΠΈ-ΠΈ вмСсто Π΄ΠΈ-икс».

    2 ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ постоянного ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ слСдствиС свойств ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ², ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

    3 Подобно ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ постоянного ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ сумм ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ слСдствиС свойств ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² с использованиСм ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ опрСдСлСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.


    Π­Ρ‚Π° страница ΠΏΠΎΠ΄ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ 2.1: Elementary Derivative Rules распространяСтся ΠΏΠΎΠ΄ Π»ΠΈΡ†Π΅Π½Π·ΠΈΠ΅ΠΉ CC BY-SA 4.0 ΠΈ Π±Ρ‹Π»Π° создана, ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½Π° ΠΈ/ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΡƒΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π° ΠœΡΡ‚ΡŒΡŽ Болкинсом, Дэвидом ΠžΡΡ‚ΠΈΠ½ΠΎΠΌ ΠΈ Π‘Ρ‚ΠΈΠ²Π΅Π½ΠΎΠΌ Π¨Π»ΠΈΠΊΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ (ScholarWorks @Grand Valley State University) Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· исходный ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Π΅Π½Ρ‚. это Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π΄Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ Π² соотвСтствии со стилСм ΠΈ стандартами ΠΏΠ»Π°Ρ‚Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ LibreTexts; подробная история рСдактирования доступна ΠΏΠΎ запросу.

    1. НавСрх
      • Π‘Ρ‹Π»Π° Π»ΠΈ эта ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎΠΉ?
      1. Вип издСлия
        Π Π°Π·Π΄Π΅Π» ΠΈΠ»ΠΈ страница
        Автор
        АктивноС исчислСниС
        ЛицСнзия
        CC BY-SA
        ВСрсия Π»ΠΈΡ†Π΅Π½Π·ΠΈΠΈ
        4,0
        ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ страницу TOC
        Π½Π΅Ρ‚
      2. Π’Π΅Π³ΠΈ
        1. постоянноС мноТСствСнноС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ
        2. силовоС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ
        3. источник@https://activecalculus. org/single
        4. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ суммы

      ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° – Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΈ? ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

      ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ для различСния Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. ВсС эти ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Π² основном Π²Ρ‹Π²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ ΠΈΠ· Β«ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ с использованиСм ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠ°Β» (ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ). ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ использованиС опрСдСлСния ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π° Π·Π°Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½Π΅Π½ΠΎ, ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°, Π²Ρ‹Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΈΠ· опрСдСлСния ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°, ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹ для упрощСния процСсса Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΈ.

      Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ посмотрим ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° вмСстС с ΠΈΡ… Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π°ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠΌΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ.

      1. Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°?
      2. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ
      3. Π’Π°ΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°
      4. Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» Π΄Π΅Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ²
      5. Часто Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ вопросы ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°Ρ…

      Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°?

      ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Π² исчислСнии ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ для нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΊΠ°ΠΊ стСпСнныС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, логарифмичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ Ρ‚. Π΄. НСкоторыС Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°:

      • Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ
      • ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ суммы/разности
      • ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Π°
      • ЧастноС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ
      • Π¦Π΅ΠΏΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ

      ВсС эти ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈΠ· ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ опрСдСлСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, согласно ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x) (ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· f'(x)) задаСтся ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ:Β f'(x) = limβ‚•β†’β‚€ [ f(x + h) – f(x)] / h. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = f(x) записываСтся ΠΊΠ°ΠΊ f'(x) (ΠΈΠ»ΠΈ) dy/dx (ΠΈΠ»ΠΈ) d/dx (f(x)) ΠΈ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π² фиксированной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. Он Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» диффСрСнцирования Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π°Ρ….

      ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

      Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ посмотрим ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» диффСрСнцирования Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Если Π²Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°, Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ ссылку.

      ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

      ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция β€” это функция, основаниС ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ являСтся константой, Π° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни β€” ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ. Π’ основном Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° Ρ‚ΠΈΠΏΠ° ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ: e x ΠΈ a x , Π³Π΄Π΅ Β«eΒ» β€” число Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°, Π° Β«aΒ» β€” любая константа. ΠœΡ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

      • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ e x Ρ€Π°Π²Π½Π° d/dx (e x ) = e x .
      • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ x Ρ€Π°Π²Π½Π° d/dx (a x ) = a x ln a.

      ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° логарифмичСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

      ЛогарифмичСская функция Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ (рядовой ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ). Ρ‚. Π΅. ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ log a x (ΠΈΠ»ΠΈ) ln x. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… этих Π΄Π²ΡƒΡ… логарифмичСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅:

      • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ log a x is, d/dx (log a x) = 1 / (x ln a)
      • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ ln x Ρ€Π°Π²Π½Π° d/dx (ln x) = 1/x.

      ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

      Π£ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΡŒ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ: sin, cos, tan, csc, sec ΠΈ cot. Π’ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

      • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ sin x Ρ€Π°Π²Π½Π° d/dx (sin x) = cos x
      • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ cos x Ρ€Π°Π²Π½Π° d/dx (cos x) = – sin x
      • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ tan x is, d/dx (tan x) = sec 2 x
      • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ csc x is, d/dx (csc x) = – csc x cot x
      • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ sec x Ρ€Π°Π²Π½Π° d/dx (sec x) = sec x tan x
      • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ cot x is, d/dx (cot x) = – csc 2 x

      ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

      БущСствуСт 6 ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ тригономСтричСским функциям. ΠŸΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ НЕ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… тригономСтричСских/ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π’ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°:

      • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ синуса d/dx (sin -1 x) = 1/√(1-x 2 )
      • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ арккосинуса Ρ€Π°Π²Π½Π° d/dx (cos -1 x) = -1/√(1-x 2 )
      • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ тангСнса, d/dx (тангСнс -1 Ρ…) = 1/(1 + Ρ… 2 )
      • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ коэффицСнта, d/dx (csc -1 x) = -1/ [x √(x 2 – 1) ], x β‰  1, -1, 0
      • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ сСк, d/dx (сСк -1 x) = 1/[x √(x 2 – 1) ], x β‰  1, -1, 0
      • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠΈ, d/dx (ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° -1 Ρ…) = -1/(1 + Ρ… 2 )

      ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… гипСрболичСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

      БущСствуСт 6 гипСрболичСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… 6 тригономСтричСским функциям. КаТдая тригономСтричСская функция, Π·Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ слСдуСт Π±ΡƒΠΊΠ²Π° Β«hΒ», являСтся ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ гипСрболичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ. Π’ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ гипСрболичСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

      • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ sh x Ρ€Π°Π²Π½Π° d/dx (sinh x) = ch x
      • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ch x is, d/dx (ch x) = sh x
      • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ тангСнса x is, d/dx (tanh x) = sech 2 x
      • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ csch x is, d/dx (csch x) = – csch x coth x
      • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ sech x is, d/dx (sech x) = – sech x tanh x
      • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ coth x is, d/dx (coth x) = – csch 2 x

      ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… гипСрболичСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

      Π˜ΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ΡΡ снова 6 ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… гипСрболичСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ 6 гипСрболичСским функциям. Π’ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° нахоТдСния ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ….

      • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ sin -1 x is, d/dx (sinh -1 x) = 1/√(1+x 2 )
      • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ch -1 x is, d/dx (ch -1 x) = 1/√(x 2 -1), x>1
      • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ tanh -1 x is, d/dx (tanh -1 x) = 1/(1-x 2 ), |x|<1
      • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ csch -1 x is, d/dx (csch -1 x) = -1/ [ |x| √(1-x 2 ) ], x β‰  0
      • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ sech -1 x is, d/dx (sech -1 x) = -1/[x√(1-x 2 ) ], 0 < x < 1
      • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ coth -1 x is, d/dx (coth -1 x) = 1/(1-x 2 ), |x|>1

      Π’Π°ΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°

      Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ произвСдСния, ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ частных, ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ сумм, ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ разности ΠΈ Ρ‚. Π΄., ΠΈ эти ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ для Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΉ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡƒΠΏΠΎΠΌΡΠ½ΡƒΡ‚Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ посмотрим Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°.

      Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…

      Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ d/dx (x n ) = n Β· x n – 1 . Π’ΠΎΡ‚ нСсколько ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² примСнСния этого ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°.

      • d/dx (x 2 ) = 2x 2 – 1 = 2x
      • Π΄/Π΄ (Π³ 5 ) = 5Π³ 5 – 1 = 5Π³ 4

      Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ это ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π΄Π²Π΅ Π²Π΅Ρ‰ΠΈ:

      • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ x ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ самого сСбя Ρ€Π°Π²Π½Π° 1, Ρ‚. Π΅. d/dx (x) = 1,
        Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ
        d/dx (x) = d/dx (x 1 ) = 1 x 1-1 = 1x 0 = 1,
      • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ постоянной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° 0, Ρ‚. Π΅. d/dx (c) = 0, , Π³Π΄Π΅ ‘c’ β€” константа (это ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ называСтся постоянным ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ ).
        Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ
        d/dx (c) = d/dx (c x 0 ) = c d/dx (x 0 ) = c (0 x 0-1 ) = 0

      ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΌΡ‹ написали здСсь «с» Π²Π½Π΅ различия? Π­Ρ‚ΠΎ происходит ΠΈΠ·-Π·Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°.

      ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠ΅ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…

      ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠ΅ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ d/dx (c f(x)) = c d/dx (f(x)) . Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли константа умноТаСтся Π½Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, Ρ‚ΠΎ эта константа Π½Π΅ участвуСт Π² процСссС диффСрСнцирования ΠΈ Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚. НапримСр:

      • d/dx (2x 3 ) = 2 d/dx(x 3 ) = 2(3x 2 ) = 6x 2
      • d/dx (4x) = 4 d/dx (x) = 4 d/dx (x) = 4(1) = 4.

      Π’ΠΎΡ‚ Π΄Π²Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠ·Π±Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡƒΡ‚Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° константа участвуСт Π² Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ.

      • d/dx (4 + x) = d/dx (4) + d/dx (x) = 0 + 1 = 0
      • Π΄/Π΄Ρ… (4Ρ…) = 4 Π΄/Π΄Ρ… (Ρ…) = 4(1) = 4

      ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΌΡ‹ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ d/dx Π½Π° 4 ΠΈ x Π½Π° d/dx (4 + x) здСсь? Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ посмотрим Π½Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, стоящСС Π·Π° этим.

      ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ суммы/разности ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…

      Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ гласит, Ρ‡Ρ‚ΠΎ процСсс диффСрСнцирования ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ распрСдСлСн ΠΏΠΎ функциям Π² случаС суммы/разности. Ρ‚. Π΅. d/dx (f(x) Β± g(x)) = d/dx (f(x)) Β± d/dx (g(x)). Π’ΠΎΡ‚ нСсколько ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² примСнСния этого ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°.

      • Π΄/Π΄Ρ… (Ρ… 3 + Ρ… 2 ) = d/dx (x 3 ) + d/dx (x 2 ) = 3x 2 + 2x
      • d/dx (x 3 – x 2 ) = d/dx (x 3 ) – d/dx (x 2 ) = 3x 2 – 2x

      ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ произвСдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…

      ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ произвСдСния ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ для нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π’Π°ΠΌ написано d/dx (f(x)) Β· g(x)) = f(x) d/dx (g(x)) + g(x) d/dx (f(x)). Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, это ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ (uv)’ = u v’ + v u’. ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ это ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π½Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°Ρ….

      • d/dx (x sin x) = x d/dx (sin x) + sin x d/dx (x) = x cos x + sin x (1) = x cos x + sin x
      • d/dx (x 2 ln x) = x 2 d/dx (ln x) + ln x d/dx (x 2 ) = x 2 (1/x) + ln x (2x ) = Ρ… + 2Ρ… ln Ρ…

      ЧастноС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…

      ЧастноС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… состоит Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Π³Π΄Π΅ ΠΈ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ. {2}}\). Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ частных Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ d/dx (u/v) = (v u’ – u v’) / v 2 . Π’ΠΎΡ‚ нСсколько ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ².

      • d/dx (x / sin x) = [sin x d/dx (x) – x d/dx (sin x)] / (sin x) 2 = (sin x – x cos x) / sin 2 Ρ….
      • d/dx (x / ln x) = [ln x d/dx (x) – x d/dx (ln x)] / (ln x) 2 = (ln x – x(1/x)) / ( ln x) 2 = (ln x – 1) / (ln x) 2 .

      Π¦Π΅ΠΏΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…

      Π¦Π΅ΠΏΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ для диффСрСнцирования слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΈΠ»ΠΈ, Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, Ρ†Π΅ΠΏΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ для нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, которая находится Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. НапримСр, Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ для Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΊΠ°ΠΊ sin (x 2 ), ln (2x + 1), tan (ln x) ΠΈ Ρ‚. Π΄. Π¦Π΅ΠΏΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ гласит: d/dx (f(g(x)) = f ‘(g(x)) Β· g'(x Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ просто ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ», ΠΏΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ НапримСр:

      • d/dx (sin (x 2 )) = cos (x 2 ) Β· d/dx (x 2 ) = 2x cos (x 2 )
      • d/dx (tan (ln x)) = sec 2 (ln x) Β· d/dx (ln x) = sec 2 (ln x)/x
      • 9{-1}(1)\right]}\) . .. (1)

        Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ f -1 (1), ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ f -1 (1) = x β‡’ 1 = f(x ) β‡’ 1 = x 3 – 7 β‡’ x 3 = 8 β‡’ x = 2.

        Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, f -1 (1) = 2 … (2)

        Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ f ‘(x) = 3x 2 – 0 = 3x 2 .

        Π’ΠΎΠ³Π΄Π° f'(f -1 (1)) = f'(2) (ΠΈΠ· (2))
        = 3(2) 2
        = 12

        ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ это Π² (1):
        (f -1 )(1) = 1/12.

        ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΠΈ

        ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ линия ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ y = f(x) β€” это линия, которая касаСтся ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. ΠΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ – это прямая, пСрпСндикулярная ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ. Наклоны ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

        • Наклон ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ f ‘(x)
        • Наклон Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ линии – 1/f ‘(x)

        Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» для Π΄Π΅Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ²

        Π’ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° для Π΄Π΅Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ².

        Ѐункция Π² x ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ
        с (постоянная) 0
        Ρ… 1
        x Π½Π΅Ρ‚ Ρ… Π½-1
        Π΅ Ρ… Π΅ Ρ…
        Π° Ρ… Π² x Π²
        Π±Ρ€Π΅Π²Π½ΠΎ Π° x 1/(Ρ… Π²ΠΏ)
        Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Ρ… 1/Ρ…
        sin x cos Ρ…
        соз Ρ… – Π³Ρ€Π΅Ρ… Ρ…
        ΠΆΠ΅Π»Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΎ-ΠΊΠΎΡ€ΠΈΡ‡Π½Π΅Π²Ρ‹ΠΉ x сСк 2 x
        csc x – csc x дСтская ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° x
        сСк x сСк x тангСнс x
        ДСтская ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° x – csc 2 Ρ…
        Π³Ρ€Π΅Ρ… -1 x 1/√(1-x 2 )
        ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ -1 Ρ… -1/√(1-x 2 )
        Ρ€Ρ‹ΠΆΠ΅Π²Π°Ρ‚ΠΎ-ΠΊΠΎΡ€ΠΈΡ‡Π½Π΅Π²Ρ‹ΠΉ -1 x 1/(1 + Ρ… 2 )
        csc -1 x -1/ [Ρ… √(Ρ… 2Β  – 1) ]
        сСк -1 x 1/ [Ρ… √(Ρ… 2Β  – 1) ]
        дСтская ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° -1 x -1/(1 + Ρ… 2 )

        Π’ΠΎΡ‚ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° с Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌΠΈ диффСрСнцирования, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡŽΡ‚ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

        9{-1}(Π°)\справа]}\)
        НазваниС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΈ

        β˜›Π‘ΡΡ‹Π»ΠΊΠΈ ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅:

        • ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…
        • ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ
        • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹
        • НСявноС Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅

        Часто Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ вопросы ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°Ρ…

        Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ основных ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…?

        Π§Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ основных ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° :

        • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ суммы: (u + v) ‘= u’ + v’
        • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ разности: (u – v) ‘= u’ – v’
        • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ произвСдСния: (uv)’ = u v’ + v u’
        • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° частного: (u/v)’ = (vu’ – uv’)/v 2

        Как ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° для нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня?

        ΠœΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ стСпСни 1/2. Ρ‚. Π΅. √x ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ x 1/2 , ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ стСпСни, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ это. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ это, d/dx (√x) = d/dx (x 1/2 ) = (1/2) x -1/2 = 1/(2√x).

        Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΈ?

        ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования (Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ извСстныС ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…) Π² исчислСнии β€” это ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ для нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…. Π‘ΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ произвСдСния, ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ стСпСни ΠΈ Ρ‚. Π΄. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования для нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… логарифмичСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ Ρ‚. Π΄.

        Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… e?

        ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Β«eΒ», ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅:

        • d/dx (e x ) = e x
        • d/dx (e x ) = a e x

        Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³Π³Π΅Ρ€ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΈ?

        ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования Π² Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ β€” это Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚ sin x, cos x, tan x, csc x, sec x ΠΈ cot x. Они Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹:

        • (sin x)’ = cos x
        • (cos x)’ = – sin x
        • (тангСнс Ρ…)’ = 9 сСк.1337 2 Ρ…
        • (csc x)’ = – csc x дСтская ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° x
        • (сСк Ρ…)’ = сСк Ρ… тангСнс Ρ…
        • (ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° x)’ = – csc 2 x

        ΠšΠ°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ примСнСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»?

        Π’ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» диффСрСнцирования.

        1. НахоТдСниС максимумов ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠ².
        2. Поиск критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ.
        3. НахоТдСниС Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π°.
        4. НахоТдСниС ΠΌΠ³Π½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ скорости измСнСния.
        5. НахоТдСниС ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ² возрастания/убывания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

        Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°?

        ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹:

        • d/dx (log x) = 1 / (x ln 10)
        • d/dx (ln x) = 1/x

        ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ произвСдСния для Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ β€” Krista King Math

        Как Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Π° с Π΄Π²ΡƒΡ… Π΄ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

        ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ произвСдСния β€” это ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ позволяСт Π½Π°ΠΌ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, которая сама являСтся ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π²ΡƒΡ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ произвСдСния Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π½Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ производная уравнСния Ρ‚ΠΈΠΏΠ°

        ???y=f(x)g(x)???

        Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹Π³Π»ΡΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ:

        ???\frac{dy}{dx}=f\prime(x)g(x)+f(x)g\prime(x)???

        Но Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, Ссли наша функция являСтся ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ? Π’ этой ситуации, Ссли наша функция

        ???y=f(x)g(x)h(x)???

        , Ρ‚ΠΎ производная выглядит Ρ‚Π°ΠΊ:

        ???\frac{dy}{dx}=f\prime(x)g(x)h(x)+f(x)g\prime(x)h( Ρ…)+f(x)g(x)h\prime(x)???

        ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Ρ‚! Π― ΠšΡ€ΠΈΡΡ‚Π°.

        Π― создаю ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-курсы, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‡ΡŒ Π²Π°ΠΌ Π² ΡƒΡ‡Π΅Π±Π΅ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅. Π§ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π°Π»Π΅Π΅.

        ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ исходная функция Π±Ρ‹Π»Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π° Π΅Π΅ производная Π±Ρ‹Π»Π° суммой Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ. Если Π±Ρ‹ наша функция Π±Ρ‹Π»Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, производная Π±Ρ‹Π»Π° Π±Ρ‹ суммой Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ.

        Как Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ произвСдСния, ΠΌΡ‹ Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π·Π° Ρ€Π°Π·, умноТая Π½Π° Π΄Π²Π΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ исходныС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ, ΠΌΡ‹ Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ ???f(x)??? ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ Π΅Π΅ Π½Π° ???g(x)??? ΠΈ ???h(x)???, оставив эти Π΄Π²Π° ΠΊΠ°ΠΊ Π΅ΡΡ‚ΡŒ. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ добавляСм ΠΊ этому ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ ???g(x)???, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π½Π° ???f(x)??? ΠΈ ???Ρ‡(Ρ…)??? оставили ΠΊΠ°ΠΊ Π΅ΡΡ‚ΡŒ. ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠΈΡ‚ΡŒ эту схСму, взяв ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ оставив ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π² ΠΏΠΎΠΊΠΎΠ΅, для Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ количСства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, сколько Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΎ Π² нашСй исходной Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅.

        Глядя Π½Π° ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ являСтся ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

        ???y=f(x)g(x)h(x)j(x)???

        производная Ρ€Π°Π²Π½Π°

        ???\frac{dy}{dx}=f\prime(x)g(x)h(x)j(x)+f(x)g\prime(x)h( Ρ…)j(x)+f(x)g(x)h\prime(x)j(x)+f(x)g(x)h(x)j\prime(x)???

        Π’ΠΈΠ΄Π΅ΠΎΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ примСнСния ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° произвСдСния для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

        9{13}\справа)\cdot\Big[12\sin{4x}\cos{5x}???

        ???+2\sin{4x}\cos{5x}???

        ???+x\sin{4x}\cos{5x}???

        ???-5x\sin{4x}\sin{5x}???

        ???+4x\cos{4x}\cos{5x}\Big]???

        ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ доступ ΠΊ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΌΡƒ курсу исчислСния 1

        ΠΠ°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ

        Π˜Π·ΡƒΡ‡Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒΠšΡ€ΠΈΡΡ‚Π° Кинг ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°, ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½, ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-курс, ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°, ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ произвСдСния, ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ произвСдСния для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…, ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅, ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…, Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ произвСдСния для Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

        0 Π»Π°ΠΉΠΊΠΎΠ²

        Π­ΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ: тСория ΠΈ прилоТСния

        Когда Π΄Π΅Π»ΠΎ Π΄ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π΄ΠΎ расчСта ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…, сущСствуСт эмпиричСскоС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π·Π²ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ: Π»ΠΈΠ±ΠΎ функция являСтся Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠΉ , ΠΈ Π² этом случаС ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… , ΠΈΠ»ΠΈ функция составная , ΠΈ Π² этом случаС ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Π΅ рСкурсивно Β β€” Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΠ² Π΅Π΅ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π΅Π΅ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Β Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ряд ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» .

        Π’ самом Π΄Π΅Π»Π΅, Ρ‚Π΅ ΠΈΠ· нас, ΠΊΡ‚ΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π°-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π» ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊ ΠΏΠΎ матСматичСскому Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Ρƒ ΠΈΠ»ΠΈ посСщал курс матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, ΡƒΠΆΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡ‹ с Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²ΠΎΠΌ, Ссли Π½Π΅ со всСми, ΠΈΠ· этих ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»:

        ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ

        Если функция $cf$ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ $I$ ΠΈ $f$ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠ° Π½Π° $I$, Ρ‚ΠΎ $\displaystyle (cf)’=cf’$ Π½Π° $I$. {r-1}$ для всСх $x \in \mathbb{R}$ . Π’ случаС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° $r$ мСньшС $1$ (ΠΈ 9{r-1}$ для всСх $x \ne 0$.

        ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ сумм

        Если функция $f+g$ ΠΊΠΎΡ€Ρ€Π΅ΠΊΡ‚Π½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ $I$, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ $f$ ΠΈ $g$ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎ Π½Π° $I$, Ρ‚ΠΎ $\displaystyle (f+ g)’ = f’ + g’$ Π½Π° $I$.

        ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ разности

        Если функция $f-g$ ΠΊΠΎΡ€Ρ€Π΅ΠΊΡ‚Π½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ $I$, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ $f$ ΠΈ $g$ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ -Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹ΠΌΠΈ Π½Π° $I$, Ρ‚ΠΎ $\displaystyle (f-g)’ = f’ – g’$ Π½Π° $I$.

        ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ произвСдСния

        Если функция $fg$ ΠΊΠΎΡ€Ρ€Π΅ΠΊΡ‚Π½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ $I$, Π³Π΄Π΅ $f$ ΠΈ $g$ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 9{-1}(x)]} \qquad (x \in I) \end{align*}

        (подробности см. Π² руководствС ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ ΠΎΠ± ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ )

        По большСй части эти ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ достаточно для ΠΎΠ±Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, с ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ‚ΠΎΠ»ΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΡŒΡΡ. Однако, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ смотрим Π½Π° наш Ρ€Π΅ΠΏΠ΅Ρ€Ρ‚ΡƒΠ°Ρ€ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ , ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‡Π΅Π³ΠΎ-Ρ‚ΠΎ Π΅Ρ‰Π΅ Π½Π΅ Ρ…Π²Π°Ρ‚Π°Π΅Ρ‚, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ:

        А ΠΊΠ°ΠΊ насчСт Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, построСнных с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ возвСдСния Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ?

        Π—Π΄Π΅ΡΡŒ, подсказка Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ чувство Π±Π΅Π·ΠΎΡ‚Π»Π°Π³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Π΅ΠΌ ΠΈΠ³Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ с ΠΈΠ΄Π΅Π΅ΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ стСпСни , впослСдствии заканчивая Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ для этой Ρ†Π΅Π»ΠΈ. g (A+B)$, Π³Π΄Π΅:

        • $A$ получаСтся ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ взятия ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ стСпСни , ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ основания .
        • $B$ получаСтся ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ взятия ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎ основанию , ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ с ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ стСпСни Π² Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅ΠΉ части.

        На самом Π΄Π΅Π»Π΅, Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π²ΡˆΠΈΡΡŒ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΠ²ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ЭкспонСнтноС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ это с Частным ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ β€” ΠΈ это Π½Π΅ говоря ΡƒΠΆΠ΅ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΡ€ ΠΎΠ½ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ для Π½Π°ΡˆΠΈΡ… Ρ„Π°Π½Π°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ исчислСния !

        Π’Ρ€Π°Π΄ΠΈΡ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ стСпСнной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π΅Π³Π½ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΊ логарифмичСскому Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡŽ , Π»ΠΈΠ±ΠΎ стандартизации base-e Β ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Π‘ появлСниСм ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° экспонСнты ΠΎΠ±Π° эти ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄Π° Π² основном устарСли β€” Π½Π΅ ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ нСумСстны сами ΠΏΠΎ сСбС, Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΡƒΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ»ΠΈΡΡŒ Π²ΠΎ врСмя Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° экспонСнты. x$ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ здСсь: 9{\, ​​\ln x}$, ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ:

        1. $\ln x$ опрСдСляСтся Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° $x>0$.
        2. $\cos x>0$ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° $\displaystyle -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$.

        Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ссли ΠΌΡ‹ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· $I$ мноТСство, ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΠΌ ограничСниям. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ

        \begin{align*}I \stackrel{df}{=} \left\{ x \in \mathbb{R_+} \mathrel{\Big|} -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} \,\, (\mathrm{mod \ } 2\pi ) \right\} \end{align*}

        {\, ​​\ln x}}$ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ производная. Π”ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΊΡ€ΡƒΡ‚ΠΎ. Π’Π΅Ρ€Π½ΠΎ?

        Π”Π°. Π­Ρ‚ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π±ΠΎΡ€ΠΎΠΌ символов, Π½ΠΎ, надСюсь, это ΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚, ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ экспонСнты ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ†Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΌ Π² нашСм арсСналС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» . Π’ Ρ‚ΠΎ врСмя ΠΊΠ°ΠΊ для простой стСпСнной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ этот ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒΡΡ излишним , для Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ Π²ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Ρ… Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ стСпСнных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π²Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ становится ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ экспонСнты являСтся Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ.

        Помимо Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ процСсса диффСрСнцирования стСпСнных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ экспонСнты β€” особСнно ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ Ρ‚Ρ€Π°Π΄ΠΈΡ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌΠΈ β€” ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ чудСса с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния использования Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π½Π΅Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΈ слишком ΠΏΡƒΠ³Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ / ΡƒΡ‚ΠΎΠΌΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ β€” Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Ρ‚Π΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π°ΠΌ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π² Ρ‚ΠΈΠΏΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΌ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΠΎ матСматичСскому Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Ρƒ. πŸ™‚

        Π’ любом случаС, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ остановимся Π½Π° этом ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ° Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‡ΠΈΠΌ. Для ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡ‚Ρ‹ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½Ρ‹ Π²ΠΎΡ‚ Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½Π°Ρ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° Π‘ΡƒΠΌΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΎΠ±Π½Π°Ρ€ΡƒΠΆΠΈΠ»ΠΈ Π΄ΠΎ сих ΠΏΠΎΡ€:

        • Π‘Ρ‚Π°Π½Π΄Π°Ρ€Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…
        • ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ показания (ВСория)
        • ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ показания (ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹)

        2 9{\, ​​\ln x} )} \right]’ = $ Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ
        1111111111111111111111111111111111111111111111. ΠΠ•ΠŸΠ ΠΠ’Π˜Π›Π¬ΠΠ«Π™ ΠŸΠ ΠΠ’Π˜Π›Π¬ΠΠ«Π™
        ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ суммы
        ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ разности

        ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ произвСдСния

        ΠšΠΎΡ€ΠΎΡ‡Π΅ говоря, нСсмотря Π½Π° Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ экспонСнты ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ нСизвСстно, ΠΎΠ½ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΌΠΎΡ‰Π½Ρ‹ΠΌ инструмСнтом диффСрСнцирования Π² нашСм распоряТСнии.

    ΠžΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ