Π’Π΅ΠΌΡ ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ β ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° 5-11 ΠΊΠ»Π°ΡΡ. Π’Π°Π±Π»ΠΈΡΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
Π’Π°Π±Π»ΠΈΡΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π² Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ΅ Π½ΡΠΆΠ½Π° Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΄Π° ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ. ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΠΌΡΡΠ» ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Π°ΡΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠΏΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Β«ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡΒ», ΡΠΎ, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΡΠ°Π·, Π±Π΅ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ, ΠΌΡ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ Π½Π° ΡΡΡΠΏΠ΅Π½ΡΠΊΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Β«Π±ΡΡΡΡΡΡΒ», ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°, ΠΎΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΌΡ Π±Π΅ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π±Π΅ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΎΡ y(x) ΠΏΠΎ x, ΠΌΡ ΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ y Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ x, Π° Π±Π΅ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΎΡ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ y Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ x, ΠΌΡ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΡΡΠΊΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
Π‘ΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅
Π§ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΏΡΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅, ΠΌΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΡ s ΠΏΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ β ΡΡΠΎ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ. ΠΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ β ΡΡΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°, Ρ
Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠ·ΡΡΡΠ°Ρ Π±ΡΡΡΡΠΎΡΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΡ Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. Π ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΈ β Π½ΠΈΡΡΠΎ ΠΈΠ½ΠΎΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠΊΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠΊΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ β ΡΡΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°, Ρ
Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠ·ΡΡΡΠ°Ρ Π±ΡΡΡΡΠΎΡΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΈ.
ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π½Π°Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅: , ΡΠΎ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΡΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΈΠ· ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ
ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²ΡΠ²Π°ΡΡΡ Π½Π° ΡΠΆΠ΅ Π²ΡΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡΡ
Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΡ
Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
ΡΡΠΈΡ
ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ.
Π₯Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΠΊΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Π΅Π΅ ΡΠΌΡΡΠ»
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠ·ΡΠ΅Ρ Π±ΡΡΡΡΠΎΡΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ°.
Π’Π°Π±Π»ΠΈΡΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΡΡ Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠ° ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. Π ΡΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΡΡΠ²ΡΡΡΡ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅ΠΉ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΎΡ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΠΎ ΠΏΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅ ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΡΡ Ρ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅ΠΉ β Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π·Π½Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π±ΡΠ°ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Π΅ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ Π² ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅.
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ
β ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° | ΠΠ°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° | ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ |
1 | ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ | , Π‘-ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½Π°Ρ |
2 | ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠΌΠΌΡ | .![]() |
3 | ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ | , Π‘ β ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½Π°Ρ |
4 | ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ x | |
5 | ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ | |
6 | ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ | |
7 | ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ |
Π’Π°Π±Π»ΠΈΡΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΡ ΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π΄Π»Ρ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ.
ΠΠΎΠΌΠ΅Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ | ΠΠ°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ | ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ | Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ |
1 | ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΠΏΠΎ x | ||
2 | ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ a | ||
3 | ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠΎ x Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ n | ||
4 | ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ | ||
5 | ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ a Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ x | ||
6 | ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ e Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ x | ||
7 | ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° | ||
8 | ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° | ||
9 | ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° | ||
10 | ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° | ||
11 | ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π°ΡΠΊΡΠΈΠ½ΡΡΠ° | ||
12 | ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° | ||
13 | ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π°ΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° | ||
14 | ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° |
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1
ΠΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ: .
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
ΠΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ 2 Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΠΌΠΌΡ. Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ:
ΠΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ 3 Β«ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠΎ x Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ nΒ» (Ρ Π½Π°Ρ Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ 2).
ΠΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ 3 ΠΈ 4.
ΠΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Β«ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»ΡΒ»
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ: .
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
ΠΠ°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ, ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ 6.
Β Β
Β Β
Β Β
Β Β
ΠΡΠ²Π΅Ρ:
Β Β
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: Π·Π΄Π΅ΡΡ Π²ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ, ΠΌΡ Π²ΠΎΠ·ΡΠΌΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΈΠ· ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ .
ΠΡΠ²Π΅Ρ:
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 4
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΠ΄Π΅ΡΡ ΠΌΡ ΡΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π½Π΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, Π° ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΈ Π±ΡΠ°ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΌΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ 8 ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
Π΄Π»Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ.
Β Β
Β Β
ΠΡΠ²Π΅Ρ:
Β Β
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 5
ΠΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅ΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ , Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: Π£ Π½Π°Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΌ ΡΡΠΎΠΈΡ Π½Π΅ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ , Π° ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ.
Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΌΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π²ΠΈΠ΄Π° .
ΠΠΎΠ·ΡΠΌΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ:
Β Β
Β Β
ΠΡΠ²Π΅Ρ:
Β Β
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 6
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ΅Π»Π°, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ°Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΈΡ Π΅Π³ΠΎ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Π° ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌ
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ΅Π»Π° β ΡΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ²Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠ°Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΈΠΈ ΠΏΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ: . ΠΌ/Ρ.
ΠΠ°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ΅Π»Π°:
Β Β
Β Β
ΠΡΠ²Π΅Ρ: 3 ΠΌ/Ρ.
ΠΡΠ°ΠΊ, ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π΄Π°ΡΡ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π±ΡΠ°ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΡΡΡ , ΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ.
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ: ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ, ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ
- Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ
- ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠΌΠΌΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
- ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Ρ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ
- ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
- ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π²ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
- ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
- ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ
ΠΏ.

ΠΏ.2. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠΌΠΌΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ \(h(x)\), ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΡΠΌΠΌΡ Π΄Π²ΡΡ
Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ: \(h(x)=f(x)+g(x)\). ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π΅Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΈΠ· ΠΎΠ±ΡΠ΅Π³ΠΎ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ°.
ΠΡΡΡΡ \(\triangle x\) – Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ°. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ \(h(x)\): \begin{gather*} \triangle h=h(x+\triangle x)-h(x)=(f(x+\triangle x)+g(x+\triangle x))-(f(x)+g(x))=\\ =(f(x+\triangle x)-f(x))+(g(x+\triangle x)-g(x))=\triangle f+\triangle g \end{gather*} Π³Π΄Π΅ \(\triangle f\) ΠΈ \(\triangle g\) – ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ-ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ
.
ΠΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ: \begin{gather*} h'(x)=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle h}{\triangle x}=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle f+\triangle g}{\triangle x}= \lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle f}{\triangle x}+\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle g}{\triangle x}=f'(x)+g'(x) \end{gather*} ΠΠ»ΠΈ: \(\left(f(x)+g(x)\right)’=f'(x)+g'(x)\)
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠΌΠΌΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ : $$ \left(f(x)+g(x)\right)’=f'(x)+g'(x) $$
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:
\(\left(x^2+\frac1x\right)’=(x^2)’+\left(\frac1x\right)’=2x-\frac{1}{x^2}\)
ΠΏ.

ΠΏ.4. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ \(h(x)\), ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ
Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ: \(h(x)=f(x)\cdot g(x)\). ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π΅Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΈΠ· ΠΎΠ±ΡΠ΅Π³ΠΎ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ°.
ΠΡΡΡΡ \(\triangle x\) – Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ°. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ \(h(x)\): \begin{gather*} \triangle h=h(x+\triangle x)-h(x)=(f(x+\triangle x)\cdot g(x+\triangle x))-(f(x)\cdot g(x)) \end{gather*} ΠΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ: \begin{gather*} \triangle f=f(x+\triangle x)-f(x)\Rightarrow f(x+\triangle x)=\triangle f+f(x)\\ \triangle g=g(x+\triangle x)-g(x)\Rightarrow g(x+\triangle x)=\triangle g+g(x) \end{gather*} ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ: \begin{gather*} \triangle h=(\triangle f+f(x))\cdot (\triangle g+g(x))-f(x)\cdot g(x)=\\ =\triangle f\cdot \triangle g+\triangle f\cdot g(x)+f(x)\cdot \triangle g+f(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x)=\\ =\triangle f\cdot \triangle g+\triangle f\cdot g(x)+f(x)\cdot \triangle g \end{gather*} ΠΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ: \begin{gather*} h'(x)=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle h}{\triangle x}=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle f\cdot \triangle g+\triangle f\cdot g(x)+f(x)\cdot\triangle g}{\triangle x}=\\ =\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\left(\frac{\triangle f}{\triangle x}\cdot\frac{\triangle g}{\triangle x}\right)+\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle f}{\triangle x}\cdot g(x)+f(x)\cdot\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle g}{\triangle x}=\\ =f'(x)\cdot g'(x)\cdot 0+f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x) \end{gather*} ΠΠ»ΠΈ: \(\left(f(x)\cdot g(x)\right)’=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\)
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΡΠΌΠΌΠ΅ Π΄Π²ΡΡ
ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ
:
ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π° Π²ΡΠΎΡΡΡ ΠΏΠ»ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ: $$ \left(f(x)\cdot g(x)\right)’=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x) $$
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:
\( (x^2\sqrt{x})’=(x^2)’\cdot\sqrt{x}+x^2\cdot (\sqrt{x})’=2x\sqrt{x}+\frac{x^2}{2\sqrt{x}}=x\sqrt{x}\left(2+\frac12\right)=\frac52x\sqrt{x} \)
ΠΏ.

Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ \(h(x)\), ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π²ΡΡ
Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ: \(h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\). ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π΅Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΈΠ· ΠΎΠ±ΡΠ΅Π³ΠΎ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ°.
ΠΡΡΡΡ \(\triangle x\) – Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ°. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ \(h(x)\): \begin{gather*} \triangle h=h(x+\triangle x)-h(x)=\frac{f(x+\triangle x)}{g(x+\triangle x)}-\frac{f(x)}{g(x)} \end{gather*} ΠΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ: \begin{gather*} \triangle f=f(x+\triangle x)-f(x)\Rightarrow f(x+\triangle x)=\triangle f+f(x)\\ \triangle g=g(x+\triangle x)-g(x)\Rightarrow g(x+\triangle x)=\triangle g+g(x) \end{gather*} ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ: \begin{gather*} \triangle h=\frac{\triangle f+f(x)}{\triangle g+g(x)}-\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\triangle f\cdot g(x)+f(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot \triangle g-f(x)\cdot g(x)}{\left(\triangle g+g(x)\right)\cdot g(x)}=\\ =\frac{\triangle f\cdot g(x)-f(x)\cdot \triangle g}{\left(\triangle g+g(x)\right)\cdot g(x)}=\frac{\triangle f\cdot g(x)-f(x)\cdot \triangle g}{g(x+\triangle x)\cdot g(x)} \end{gather*} ΠΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ: \begin{gather*} h'(x)=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle h}{\triangle x}=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle f\cdot g(x)-f(x)\cdot \triangle g}{\triangle x\cdot g(x+\triangle x)\cdot g(x)}=\\ =\frac{\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\left(\frac{\triangle f}{\triangle x}\cdot g(x)\right)-\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\left(f(x)\cdot\frac{\triangle g}{\triangle x}\right)}{g(x+0)\cdot g(x)}=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)} \end{gather*} ΠΠ»ΠΈ: \( \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)} \)
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π²ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΡΠ°Π²Π½Π° Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ:
Π² ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π° Π²ΡΠΎΡΡΡ ΠΌΠΈΠ½ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ, Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Π΅ β ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ: $$ \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)} $$
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:
\begin{gather*} \left(\frac{3x+2}{x^2}\right)’=\frac{(3x+2)’\cdot x^2-(3x+2)\cdot (x^2)’}{(x^2)^2}=\frac{3x^2-(3x+2)\cdot 2x}{x^4}=\\ =\frac{3x^2-6x^2-4x}{x^4}=\frac{-3x^2-4x}{x^4}=-\frac{x(3x+4)}{x^4}=-\frac{3x+4}{x^3} \end{gather*}
ΠΏ.

ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ (Π² ΠΊΠ°ΡΡΠΈΠ½ΠΊΠ°Ρ )
ΠΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ, ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΈ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π² ΡΠΆΠ°ΡΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ β Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΠ°ΠΆΠ΄Π°Ρ ΠΊΠ°ΡΡΠΈΠ½ΠΊΠ° ΡΠ½Π°Π±ΠΆΠ΅Π½Π° ΡΡΡΠ»ΠΊΠΎΠΉ Π½Π° ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΡΠΌ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»Π°.
ΠΠ°Π»Π΅Π΅ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ Π³Π»Π°Π²Π½ΡΠ΅ ΠΊΠ°ΡΡΠΈΠ½ΠΊΠΈ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π° Β«ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅Β». ΠΠ° Π½ΠΈΡ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ ΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ. ΠΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ½Π°Π±ΠΆΠ΅Π½ΠΎ Π·Π°Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΊΠΎΠΌ, ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈ ΡΡΡΠ»ΠΊΠΎΠΉ Π½Π° ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΡΠΌ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»Π°. ΠΡΠΎΠΉΠ΄Ρ ΠΏΠΎ ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΡΠ»ΠΊΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅, ΠΏΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Ρ ΠΊΠ°ΡΡΠΈΠ½ΠΊΠΈ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΠ²Π΅ΠΆΠΈΡΡ Π² ΠΏΠ°ΠΌΡΡΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ, ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½ΡΠ΅ Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ .
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ β ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°
ΠΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌ ΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅. ΠΠ°Π½Ρ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
ΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»Ρ Π²ΡΡΡΠΈΡ
ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ².
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
Π‘ΡΡΠ°Π½ΠΈΡΠ° ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠΈΡ ΡΡΡΠ»ΠΊΠΈ Π½Π° 51 ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ .
Π€ΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ» ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ
ΠΠ° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅ ΠΈΠ· ΠΌΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΌΠ³Π½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½Π°Ρ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. Π£ΡΠΊΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΈ ΠΏΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, ΠΈΠ»ΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π΅Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΠΏΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΡΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΠ³Π½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½Π°Ρ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΠΏΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅. ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ , ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΡΠΏΡΠ°Π²Π° ΠΈ ΡΠ»Π΅Π²Π°. ΠΠ΅ΠΌΠΌΠ° ΠΎΠ± ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ .
ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ β ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅. ΠΠ°ΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΡΡΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, Π·Π°Π²ΠΈΡΡΡΠΈΡ
ΠΎΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ
ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ
. ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌ: ΠΎΠ± ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΈ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ; ΠΎ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ» ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ
ΠΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΡΡΠ»Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. ΠΡΡΠ²Π»Π΅Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π° Ρ ΡΠ³Π»ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ, ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅. ΠΠ°Π½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ, ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΎ Π΅Π΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½Ρ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΈ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ.
ΠΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΈ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»Ρ ΠΊ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΠΈ ΠΊ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅. ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΠΈ. Π£Π³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΠΊΡΠΈΠ²ΡΠΌΠΈ. ΠΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ. ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ Π½Π° ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΠΈ, ΠΈ Π½Π° Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΊΡΠΈΠ²ΡΠΌΠΈ.
ΠΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π» ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Π΅Π³ΠΎ ΡΡΡΡ ΠΈ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ». ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ Π°ΡΠΈΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ
ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² ΠΈ ΠΈΠ½Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»Π°.
Π’Π°Π±Π»ΠΈΡΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
ΠΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π° ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π΄Π»Ρ ΠΎΠ±ΡΡΠ°ΡΡΠΈΡ ΡΡ ΡΡΡΠ΄Π΅Π½ΡΠΎΠ². ΠΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. ΠΠ°Π½Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ.
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ – ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
Π ΠΊΡΠ°ΡΠΊΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π΄Π°Π½Ρ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ (ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ). Π‘ΡΡΠ»ΠΊΠΈ Π½Π° ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΡΠΌ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°.
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ (ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΡ)
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠΉ (ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΡ). ΠΡΠ½Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠΉ Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ . ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ.
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
ΠΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π° ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. ΠΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΠΎ ΡΠ°Π·ΠΎΠ±ΡΠ°Π½Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ.
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΠΎ ΡΠ°Π·ΠΎΠ±ΡΠ°Π½Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ.
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΠ΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡΠ° Π΄Π»Ρ n-ΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
ΠΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΠ΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡΠ° Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ n-ΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. ΠΠ°Π½ΠΎ Π΅Π΅ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ. Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ n-Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°.
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ. ΠΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΠΎ ΡΠ°Π·ΠΎΠ±ΡΠ°Π½Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
ΠΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½Ρ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΈ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Π΄Π²ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ . ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ .
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
ΠΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
ΠΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ.
ΠΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ
ΠΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.
ΠΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎ-ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎ-ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΡΠ²ΠΎΠ΄ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. ΠΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΠΎ ΡΠ°Π·ΠΎΠ±ΡΠ°Π½Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎ-ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π²ΡΡΡΠΈΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ² ΡΠ²Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π²ΡΡΡΠΈΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ² ΡΠ²Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. ΠΠ°Π½Ρ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ n-Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°.
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠΌ
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠΌ. ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ. ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ, Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°.
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π΅ΡΠ²Π½ΠΎ
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π΅ΡΠ²Π½ΠΎ. ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ. ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ, Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°.
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ (Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»)
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΈ ΠΈΡ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄
ΠΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΈ ΡΡΡΠ»ΠΊΠΈ Π½Π° ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΡ Ρ ΠΈΡ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ. ΠΠ°Π½Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π²ΡΡΡΠΈΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ².
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π° ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π°Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°Ρ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ.
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ a
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΠΈ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄ ΡΠΎΡΠΌΡΠ» ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ a. ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΎΡ ln 2x, ln 3x ΠΈ ln nx. ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° n-Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΈΠ½Π΄ΡΠΊΡΠΈΠΈ.
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ e Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ x ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΠΈ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄ ΡΠΎΡΠΌΡΠ» ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ (e Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ x) ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ (a Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ x). ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
ΠΎΡ e^2x, e^3x ΠΈ e^nx. Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
Π²ΡΡΡΠΈΡ
ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ².
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ (ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΈ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ)
ΠΡΠ²ΠΎΠ΄ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ (x Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ a). Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΎΡ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ ΠΈΠ· x. Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π²ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°. ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ .
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
ΠΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΠΈ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄ ΡΠΎΡΠΌΡΠ». ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ Π²ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° Π΄Π»Ρ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ°.
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ°: (sin x)β²
ΠΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΠΈ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° – sin(x). ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΎΡ sin 2x, ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° Π² ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ΅ ΠΈ ΠΊΡΠ±Π΅. ΠΡΠ²ΠΎΠ΄ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° n-Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°.
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ°: (cos x)β²
ΠΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΠΈ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° – cos(x). ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΎΡ cos 2x, cos 3x, cos nx, ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° Π² ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ΅, Π² ΠΊΡΠ±Π΅ ΠΈ Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ n. Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° n-Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°.
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ°: (tg x)β²
ΠΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° – tg(x). ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
ΠΎΡ tg 2x, tg 3x ΠΈ tg nx. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° n-Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° ΠΏΠΎ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΡΠΌ tg(x).
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ°: (ctg x)β²
ΠΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° – ctg(x). ΠΠ°Π½Π° ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° n-Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° ΠΏΠΎ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΡΠΌ ctg(x). ΠΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Ρ ΡΠ΅ΠΊΡΡΡΠ΅Π½ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.
ΠΡΠ²ΠΎΠ΄ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
ΠΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΈ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄ ΠΈΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ». Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄Π°Π½Ρ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π²ΡΡΡΠΈΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ². Π‘ΡΡΠ»ΠΊΠΈ Π½Π° ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΡ Ρ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΡΠΌ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄Π° ΡΠΎΡΠΌΡΠ».
ΠΡΠ²ΠΎΠ΄ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π°ΡΠΊΡΠΈΠ½ΡΡΠ° (arcsin x)β² ΠΈ Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° (arccos x)β²
ΠΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° Π°ΡΠΊΡΠΈΠ½ΡΡΠ° (arcsin x)β² ΠΈ Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° (arccos x)β². ΠΠ»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄ Π΄Π°Π½ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ.
ΠΡΠ²ΠΎΠ΄ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π²ΡΡΡΠΈΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ² Π°ΡΠΊΡΠΈΠ½ΡΡΠ° (arcsin x) ΠΈ Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° (arccos x)
ΠΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
Π²ΡΡΡΠΈΡ
ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ² Π°ΡΠΊΡΠΈΠ½ΡΡΠ° (arcsin x). Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
Π°ΡΠΊΡΠΈΠ½ΡΡΠ° Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ, ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ ΠΏΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ n-Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ ΠΈ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ. ΠΠ°Π½Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ² ΠΈ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΡ
ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ². ΠΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ n-Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π°ΡΠΊΡΠΈΠ½ΡΡΠ°.
ΠΡΠ²ΠΎΠ΄ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π°ΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° (arctg x)β² ΠΈ Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° (arcctg x)β²
ΠΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° Π°ΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° (arctg x)β² ΠΈ Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° (arcctg x)β². ΠΠ»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄ Π΄Π°Π½ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ.
ΠΡΠ²ΠΎΠ΄ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π²ΡΡΡΠΈΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ² Π°ΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° (arctg x) ΠΈ Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° (arcctg x)
ΠΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π²ΡΡΡΠΈΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ² Π°ΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° (arctg x) ΠΈ Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° (arcctg x). ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ Π΄Π°Π½Ρ Π² Π΄Π²ΡΡ Π²ΠΈΠ΄Π°Ρ – Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ x ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π°ΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ (Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ). ΠΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΎΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΎ ΠΏΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°.
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y 4. ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
ΠΠ°ΡΠ°: 10.05.2015
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ.

Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΎΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΎΡΠ²ΠΎΠΈΡΡ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΡΠΈ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ:
2. ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ.
3. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
ΠΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π² ΡΠ°ΠΊΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ΅. ΠΡΠΎ Π½Π°ΠΌΡΠΊ.)
Π Π°Π·ΡΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ, Π½Π΅ΠΏΠ»ΠΎΡ ΠΎ Π±Ρ Π΅ΡΡ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ΅). Π ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ, ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΡΡ Ρ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅ΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ – Π΄ΠΎΡΡΡΠΏΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π² ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠΎΠΊΠ΅. ΠΠ΄Π΅ΡΡ ΠΆΠ΅ ΠΌΡ Π·Π°ΠΉΠΌΡΠΌΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ.
ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ – ΡΡΠΎ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. ΠΠΎΠ»Π΅Π΅ Π·Π° ΡΡΠΈΠΌ ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½ΠΎΠΌ Π½ΠΈΡΠ΅Π³ΠΎ Π½Π΅ ΠΊΡΠΎΠ΅ΡΡΡ. Π’.Π΅. Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ “Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ” ΠΈ “ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ” – ΡΡΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ ΡΠΎ ΠΆΠ΅.
ΠΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ “ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ” ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΡΡ ΠΊ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ Π°ΡΠΈΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΉ. Π’Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ ΠΈΠ·Π±Π΅ΠΆΠ°ΡΡ ΠΊΠ°ΡΠΈ Π² Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²Π΅.
Π‘ΠΎΡΡΠ΅Π΄ΠΎΡΠΎΡΠΈΠΌΡΡ ΠΈ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ Π²ΡΠ΅-Π²ΡΠ΅-Π²ΡΠ΅ Π°ΡΠΈΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ. ΠΡ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅). Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (ΡΡΠΌΠΌΠ°), Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ (ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ), ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅) ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ (ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ΅). ΠΠΎΡ ΠΎΠ½ΠΈ, ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ:
Π ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠΊΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ ΠΏΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ» Π½Π° ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅ Π°ΡΠΈΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ
Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ. Π― Π½Π΅ ΠΎΠ±ΡΡΠΈΡΠ°Π»ΡΡ.) ΠΡΠΎΡΡΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ 4 – ΡΡΠΎ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° 3. ΠΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ Π½Π°ΡΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠΏΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠΌΡΡΠ» Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ (ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΡ!) Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ.
ΠΠΎΠ΄ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ U ΠΈ V ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ°Π·ΡΠΌΠ΅Π²Π°ΡΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅-ΡΠΎ (ΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎ Π»ΡΠ±ΡΠ΅!) ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ U(x) ΠΈ V(x).
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ². Π‘Π½Π°ΡΠ°Π»Π° – ΡΠ°ΠΌΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ΅.
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y=sinx – x 2
ΠΠ΄Π΅ΡΡ ΠΌΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ 2. ΠΡΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ, ΡΡΠΎ sinx – ΡΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ U , Π° x 2 – ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ V. ΠΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ:
y” = (sinx – x 2)” = (sinx)”- (x 2)”
Π£ΠΆΠ΅ Π»ΡΡΡΠ΅, ΠΏΡΠ°Π²Π΄Π°?) ΠΡΡΠ°Π»ΠΎΡΡ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΎΡ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° ΠΈΠΊΡΠ°. ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ . ΠΡΠΎΡΡΠΎ ΠΈΡΠ΅ΠΌ Π² ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅ Π½ΡΠΆΠ½ΡΠ΅ Π½Π°ΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ (sinx ΠΈ
y” = (sinx)” – (x 2)” = cosx – 2x
ΠΠΎΡ ΠΈ Π²ΡΠ΅ Π΄Π΅Π»Π°. ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ 1 Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΠΌΠΌΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Π΅Ρ ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅. nx. Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
Π²ΡΡΡΠΈΡ
ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ².
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΠ°ΠΌΠΎΠΉ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ΅ (ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ e Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ x ΡΠ°Π²Π½Π° e Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ x):
(1) (e x )β²
= e x
.
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ a
ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΠ°ΠΌΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΎΡ a
:
(2) .
ΠΡΠ²ΠΎΠ΄ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ, e Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ x
ΠΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ° – ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Ρ e
,
ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ:
ΠΠ΄Π΅ΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ, ΡΠ°ΠΊ ΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ. ΠΠ°Π»Π΅Π΅ ΠΌΡ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (1) ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ.
ΠΡΠ²ΠΎΠ΄ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ, e
Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ x
:
y = e x
.
ΠΡΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ
.
ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ x
.
ΠΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ:
(3) .
ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ²Π΅ΡΡΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΊ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΌ ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ. ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠ½Π°Π΄ΠΎΠ±ΡΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ°ΠΊΡΡ:
Π)
(4) ;
Π) Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° :
(5) ;
Π) ΠΠ΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΡΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² Π΄Π»Ρ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ:
(6) .
ΠΠ΄Π΅ΡΡ – Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» ΠΈ ΡΡΠΎΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅Π½.
Π) ΠΠ½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π°:
(7) .
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠΈ ΡΠ°ΠΊΡΡ ΠΊ Π½Π°ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ (3). ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ (4):
;
.
Π‘Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΡ .
Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ;
.
Π ΡΠΈΠ»Ρ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ,
.
ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠΈ ,
.
Π ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ:
.
Π‘Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΡ .
Π’ΠΎΠ³Π΄Π° .
ΠΡΠΈ ,
.
Π ΠΌΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:
.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° (5):
.
Π’ΠΎΠ³Π΄Π°
.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ (6). ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½, ΡΠΎ:
ΠΠ΄Π΅ΡΡ ΠΌΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈΡΡ Π²ΡΠΎΡΡΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ (7). Π’ΠΎΠ³Π΄Π°
.
Π’Π΅ΠΌ ΡΠ°ΠΌΡΠΌ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (1) ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ.
ΠΡΠ²ΠΎΠ΄ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π²ΡΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (2) ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ a
.
ΠΡ ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΈ .
Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ
(8)
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ
.
ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (8). ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°
.
;
.
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΌΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (8) ΠΊ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄Ρ:
.
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ Π²ΡΡΡΠΈΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ² ΠΎΡ e Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ x
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ Π²ΡΡΡΠΈΡ
ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ². Π‘Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ:
(1) .
ΠΡ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ (14) ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΠ°ΠΌΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ (14). ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΡ (1), ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°:
;
.
ΠΡΡΡΠ΄Π° Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ n-Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΈΡΡ
ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ:
.
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ Π²ΡΡΡΠΈΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ² ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ a
:
.
ΠΡ Π½Π°ΡΠ»ΠΈ Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°:
(15) .
ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΡ (15), ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°:
;
.
.
ΠΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΠΈ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° – sin(x). ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΎΡ sin 2x, ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° Π² ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ΅ ΠΈ ΠΊΡΠ±Π΅. ΠΡΠ²ΠΎΠ΄ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° n-Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°.
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ x ΠΎΡ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° x ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΡ x:
(sin
x)β² = cos
x
.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ
ΠΠ»Ρ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄Π° ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ°, ΠΌΡ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:
.
Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΡΠΎΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π», Π½Π°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ²Π΅ΡΡΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΊ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠΌ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π°ΠΌ, ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΌ ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ. ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π·Π½Π°ΡΡ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°.
(1) ;
2) ΠΠ΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ:
(2) ;
3) Π’ΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ .

(3) ;
4) Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ²:
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΈ , ΡΠΎ
(4) .
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΊ Π½Π°ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ. Π‘Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΠΌ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅
.
ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ
(3) .
Π Π½Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅
;
.
Π’ΠΎΠ³Π΄Π°
;
;
;
.
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΡ .
ΠΡΠΈ ,
.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» (1):
Π‘Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ ΡΠ°ΠΊΡΡ ΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΡ ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ (2):
.
ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ, Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π²ΡΡΠ΅, ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡ, ΡΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ (4):
.
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π°.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π½Π°Ρ
ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
ΠΎΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΡ
ΡΠΈΠ½ΡΡ. ΠΡ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΎΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ:
y = sin 2x; y = sin 2
x
ΠΈ y = sin 3
x
.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΎΡ sin 2x .
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
Π‘Π½Π°ΡΠ°Π»Π° Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΎΡ ΡΠ°ΠΌΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ:
(2x)β² = 2(x)β² = 2 Β· 1 = 2.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ .
.
ΠΠ΄Π΅ΡΡ .
ΠΡΠ²Π΅Ρ
(sin 2x)β² = 2 cos 2x.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΎΡ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° Π² ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ΅:
y = sin 2
x
.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΠΈΡΡ
ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π² Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠ½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅:
.
ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΎΡ ΡΠ°ΠΌΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ:
.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
.
ΠΠ΄Π΅ΡΡ .
ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½Ρ ΠΈΠ· ΡΠΎΡΠΌΡΠ» ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°
.
ΠΡΠ²Π΅Ρ
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΎΡ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° Π² ΠΊΡΠ±Π΅:
y = sin 3
x
.
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ Π²ΡΡΡΠΈΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ²
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΎΡ sin x ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡΠ°Π·ΠΈΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:
.
ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ :
.
ΠΠ΄Π΅ΡΡ .
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅
(5) .
ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ ΡΡΠΎ, ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΈΠ½Π΄ΡΠΊΡΠΈΠΈ.
ΠΡ ΡΠΆΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΠ»ΠΈ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ , ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° (5) ΡΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²Π°.
ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° (5) ΡΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²Π° ΠΏΡΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ . ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΈΠ· ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° (5) Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π»Ρ .
ΠΡΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (5) ΠΏΡΠΈ :
.
ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ:
.
ΠΠ΄Π΅ΡΡ .
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΌΡ Π½Π°ΡΠ»ΠΈ:
.
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π°.
ΠΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ ΠΎΡΡΡΠΊΠ°Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.
Π ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ ΠΎΠ± ΠΎΡΡΡΠΊΠ°Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Ρ ΡΠ°ΠΌΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΡ (ΠΈ Π½Π΅ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΡΡ ) ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΠΏΠΎΡΠ²ΠΈΠ»ΠΈΡΡ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ. ΠΠ΅ΡΠ²ΡΠΌΠΈ Π½Π° Π½ΠΈΠ²Π΅ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΠΎΡΡΡΠ΄ΠΈΠ»ΠΈΡΡ ΠΡΠ°Π°ΠΊ ΠΡΡΡΠΎΠ½ (1643-1727) ΠΈ ΠΠΎΡΡΡΠΈΠ΄ ΠΠΈΠ»ΡΠ³Π΅Π»ΡΠΌ ΠΠ΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ (1646-1716).
ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π² Π½Π°ΡΠ΅ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Π½Π΅ Π½Π°Π΄ΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡ ΡΠΏΠΎΠΌΡΠ½ΡΡΡΠΉ Π²ΡΡΠ΅
ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΊ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ°, Π° Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π»ΠΈΡΡ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ
ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅ΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ. ΠΠ»Ρ Π½Π°Ρ
ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ΄Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΡ
ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΉ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ.
Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ , Π½Π°Π΄ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ ΡΡΡΠΈΡ Π° ΡΠ°Π·ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΡ Π½Π° ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠΌΠΈ (ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΌΠΌΠ°, ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ΅) ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Ρ ΡΡΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΠ°Π»Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π² ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ , Π° ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΈ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ – Π² ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°Ρ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ. Π’Π°Π±Π»ΠΈΡΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π΄Π°Π½Ρ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ Π΄Π²ΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ².
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ· ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ» Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π²ΡΡΡΠ½ΡΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠΌΠΌΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π΅ΡΡΡ ΡΡΠΌΠΌΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, Ρ. Π΅.
ΠΠ· ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π²ΡΡΡΠ½ΡΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ “ΠΈΠΊΡΠ°” ΡΠ°Π²Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅, Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° – ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΡ. ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΈ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ΠΌ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ:
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠΌΠΌΡ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ Ρ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ, Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠ½Π΅ΡΡΠΈ Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ° Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡΡ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΡ, ΠΎΡΠΊΡΠ΄Π° ΡΡΠΎ Π±Π΅ΡΡΡΡΡ, ΠΎΠ½ΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ,
ΠΏΡΠΎΡΡΠ½ΡΡΡΡΡ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Ρ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅ΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉΡΠΈΠΌΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ. Π Π½ΠΈΠΌ ΠΌΡ ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΡΡΠΌΠΎ ΡΠ΅ΠΉΡΠ°Ρ.
Π’Π°Π±Π»ΠΈΡΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
1. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΡ (ΡΠΈΡΠ»Π°). ΠΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° (1, 2, 5, 200…), ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π΅ΡΡΡ Π² Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΡΠ΅Π³Π΄Π° ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ. ΠΡΠΎ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΡ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΠ°ΡΡΠΎ | |
2. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ. Π§Π°ΡΠ΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ “ΠΈΠΊΡΠ°”. ΠΡΠ΅Π³Π΄Π° ΡΠ°Π²Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅. ΠΡΠΎ ΡΠΎΠΆΠ΅ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΡ Π½Π°Π΄ΠΎΠ»Π³ΠΎ | |
3. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ. Π ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΠΏΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²ΡΠ²Π°ΡΡ Π½Π΅ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ. | |
4. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ -1 | |
5. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ | |
6. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° | |
7. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° | |
8. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° | |
9. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° | |
10. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π°ΡΠΊΡΠΈΠ½ΡΡΠ° | |
11.![]() | |
12. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π°ΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° | |
13. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° | |
14. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° | |
15. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ | |
16. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ | |
17. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ |
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ
1. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ | |
2. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ | |
2a. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ | |
3. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ | |
4. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ |
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ 1. ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ , ΡΠΎ Π² ΡΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
ΠΏΡΠΈΡΡΠΌ
Ρ. Π΅. ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠΌΠΌΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΡΠ°Π²Π½Π° Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
ΡΡΠΈΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ.
Π‘Π»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠ΅. ΠΡΠ»ΠΈ Π΄Π²Π΅ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ Π½Π° ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅, ΡΠΎ ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΡΠ°Π²Π½Ρ , Ρ.Π΅.
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ 2. ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ , ΡΠΎ Π² ΡΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎ ΠΈ ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΏΡΠΈΡΡΠΌ
Ρ.Π΅. ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΡΡΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ.
Π‘Π»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠ΅ 1. ΠΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΡ Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ :
Π‘Π»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠ΅ 2. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ Π½Π° Π²ΡΠ΅ ΠΎΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π΄Π»Ρ ΡΡΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ:
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ 3. ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΠΈ , ΡΠΎ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎ ΠΈ ΠΈΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ u/v , ΠΏΡΠΈΡΡΠΌ
Ρ. Π΅. ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π²ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΡΠ°Π²Π½Π° Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ, ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π΅ΡΡΡ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΈ ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ, Π° Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΠΏΡΠ΅ΠΆΠ½Π΅Π³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ.
ΠΠ΄Π΅ ΡΡΠΎ ΠΈΡΠΊΠ°ΡΡ Π½Π° Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΠ°Ρ
ΠΡΠΈ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π² ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ°Ρ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ ΡΡΠ°Π·Ρ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ» Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² Π½Π° ΡΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ – Π² ΡΡΠ°ΡΡΠ΅ “ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ” .
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅. Π‘Π»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ Π½Π΅ ΠΏΡΡΠ°ΡΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΡ (ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ, ΡΠΈΡΠ»ΠΎ) ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ Π² ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ! Π ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ Π΅Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ, Π° Π² ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΎΠ½Π° Π²ΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΡΡ Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ . ΠΡΠΎ ΡΠΈΠΏΠΈΡΠ½Π°Ρ ΠΎΡΠΈΠ±ΠΊΠ°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π° Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΡΠ°ΠΏΠ΅ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ , Π½ΠΎ ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅ΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΆΠ΅ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ- Π΄Π²ΡΡ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π½ΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² ΡΡΠ΅Π΄Π½ΠΈΠΉ ΡΡΡΠ΄Π΅Π½Ρ ΡΡΠΎΠΉ ΠΎΡΠΈΠ±ΠΊΠΈ ΡΠΆΠ΅ Π½Π΅ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ.
Π Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ Π²Π°Ρ ΠΏΠΎΡΠ²ΠΈΠ»ΠΎΡΡ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ u “v , Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ u – ΡΠΈΡΠ»ΠΎ,
Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, 2 ΠΈΠ»ΠΈ 5, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΠ°, ΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π²ΡΡ
ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π½ΡΠ»Ρ (ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ ΡΠ°Π·ΠΎΠ±ΡΠ°Π½ Π² ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅ 10).
ΠΡΡΠ³Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΠ°Ρ ΠΎΡΠΈΠ±ΠΊΠ° – ΠΌΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΠΎΡΠ²ΡΡΠ΅Π½Π° ΠΎΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ°ΡΡΡ. ΠΠΎ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡΠΈΡΡΡΡ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ.
ΠΠΎ Ρ ΠΎΠ΄Ρ Π½Π΅ ΠΎΠ±ΠΎΠΉΡΠΈΡΡ Π±Π΅Π· ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π±ΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΎΡΠΊΡΡΡΡ Π² Π½ΠΎΠ²ΡΡ ΠΎΠΊΠ½Π°Ρ ΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΈΡ ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ ΡΠΎ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΡΠΌΠΈ ΠΈ ΠΊΠΎΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΈ ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Ρ Π΄ΡΠΎΠ±ΡΠΌΠΈ .
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΡ ΠΈΡΠ΅ΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π΄ΡΠΎΠ±Π΅ΠΉ ΡΠΎ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΡΠΌΠΈ ΠΈ ΠΊΠΎΡΠ½ΡΠΌΠΈ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄ Π²ΡΠΎΠ΄Π΅ , ΡΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠΉΡΠ΅ Π½Π° Π·Π°Π½ΡΡΠΈΠ΅ “ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠΌΠΌΡ Π΄ΡΠΎΠ±Π΅ΠΉ ΡΠΎ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΡΠΌΠΈ ΠΈ ΠΊΠΎΡΠ½ΡΠΌΠΈ “.
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄ ΠΠ°ΠΌΠΈ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° Π²ΡΠΎΠ΄Π΅ , ΡΠΎ ΠΠ°ΠΌ Π½Π° Π·Π°Π½ΡΡΠΈΠ΅ “ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ”.
ΠΠΎΡΠ°Π³ΠΎΠ²ΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ – ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°ΡΡΠΈ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ: Π²ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅,
Π° Π΅Π³ΠΎ ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ – ΡΡΠΌΠΌΡ, Π²ΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ
ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ
ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠΈΡ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ. ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ: ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΡΡΠΈΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ:
ΠΠ°Π»Π΅Π΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΠΌΠΌΡ: ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠΌΠΌΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΡΠ°Π²Π½Π° Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. Π Π½Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΡΡΠΌΠΌΠ΅ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ ΡΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΡΡ. Π ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΡΡΠΌΠΌΠ΅ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ ΠΈ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ, ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠ°Π²Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅, ΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΡ (ΡΠΈΡΠ»ΠΎ), ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ. ΠΡΠ°ΠΊ, “ΠΈΠΊΡ” Ρ Π½Π°Ρ ΠΏΡΠ΅Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ, Π° ΠΌΠΈΠ½ΡΡ 5 – Π² Π½ΠΎΠ»Ρ. ΠΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΌ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ “ΠΈΠΊΡ” ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ Π½Π° 2, ΡΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ Π΄Π²ΠΎΠΉΠΊΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ Π½Π° ΡΡ ΠΆΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ “ΠΈΠΊΡΠ°”. ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ :
ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ Π² ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ΠΌ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π²ΡΠ΅ΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ:
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 4. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΡ Π½Π°Ρ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ. ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ:
ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π²ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΡΠ°Π²Π½Π° Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ, ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π΅ΡΡΡ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΈ
ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ, Π° Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΠΏΡΠ΅ΠΆΠ½Π΅Π³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ. ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ:
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ Π² ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ ΠΌΡ ΡΠΆΠ΅ Π½Π°ΡΠ»ΠΈ Π² ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅ 2. ΠΠ΅ Π·Π°Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΠ²Π»ΡΡΡΠ΅Π΅ΡΡ Π²ΡΠΎΡΡΠΌ ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ Π² ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ Π² ΡΠ΅ΠΊΡΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅ Π±Π΅ΡΡΡΡΡ ΡΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΡΡ:
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΡ ΠΈΡΠ΅ΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π½Π°Π΄ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Π³Π΄Π΅ ΡΠΏΠ»ΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π½Π°Π³ΡΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ ΠΈ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π΅ΠΉ, ΠΊΠ°ΠΊ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, , ΡΠΎ Π΄ΠΎΠ±ΡΠΎ ΠΏΠΎΠΆΠ°Π»ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π½Π° Π·Π°Π½ΡΡΠΈΠ΅ “ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠΌΠΌΡ Π΄ΡΠΎΠ±Π΅ΠΉ ΡΠΎ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΡΠΌΠΈ ΠΈ ΠΊΠΎΡΠ½ΡΠΌΠΈ” .
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅ ΠΠ°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ·Π½Π°ΡΡ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠ², ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠ², ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄ Π²ΡΠΎΠ΄Π΅ , ΡΠΎ ΠΠ°ΠΌ Π½Π° ΡΡΠΎΠΊ “ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ” .
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 5. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ – ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΡ ΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΠ»ΠΈΡΡ Π² ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ . ΠΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ½ΠΎΠΌΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ:
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 6. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ΅, Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ – ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ. ΠΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΠΈΠ»ΠΈ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ»ΠΈ Π² ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅ 4, ΠΈ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ½ΠΎΠΌΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ:
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΈΠ·Π±Π°Π²ΠΈΡΡΡΡ ΠΎΡ Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ Π² ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ Π½Π° .
ΠΠΎΠΈΡΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΎΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ β ΡΠ°ΡΡΠ°Ρ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ°, Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΠ°ΡΡΡ Π² Π²ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅. ΠΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎ-ΡΠ°Π·Π½ΠΎΠΌΡ: Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ, Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ, ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, Π²Π·ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ, Π½ΠΎ Π²ΡΠ΅ ΡΡΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΈ ΠΈ ΡΠ΅ ΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ. ΠΡΠ²Π°ΡΡ, ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ, ΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΡ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ
Π½Π°Ρ
ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ Π»ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΎΠ² Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ. ΠΠ° Π½Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ΅ΡΠ²ΠΈΡΠ΅ ΡΠ°ΠΉΡ Ρ Π²Π°Ρ Π΅ΡΡΡ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ
, ΡΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΎΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ
Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Π½Π° Π½Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ΅ΡΠ²ΠΈΡΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π° ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΠΎΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Π΄Π°ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π²Π°ΠΌ Π½Π΅ ΡΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ²ΠΈΡΡ. Π ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° Π²Π΅ΡΠ½ΡΠΉ Π½Π° 100% ΠΈ ΠΈΡΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅Ρ ΠΎΡΠΈΠ±ΠΊΠΈ. ΠΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ
ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡ Π½Π°Ρ
ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π° Π½Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°ΠΉΡΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΡΡ
ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Ρ
. ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π½Π°Ρ
ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ ΡΠΏΡΠ°Π²Π° ΠΎΡ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΠΈ Β«Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅Β». ΠΡΠ±Π΅ΡΠΈΡΠ΅ Π»ΡΠ±ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΈΠ· ΡΠΏΠΈΡΠΊΠ° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ², ΠΎΠ½Π° Π°Π²ΡΠΎΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡΡ Π² ΠΏΠΎΠ»Π΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡΠ΅ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΡ Β«Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅Β». ΠΡ ΡΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΠ°Π³ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π²Π°ΡΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π° Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ. ΠΡΠ΅ΠΈΠΌΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π° ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½. ΠΠ°ΠΆΠ΅ Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²Ρ Π·Π½Π°Π΅ΡΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅, ΡΡΠΎΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π±ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π½Π΅ΠΌΠ°Π»ΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΈ ΡΠΈΠ». Π‘Π΅ΡΠ²ΠΈΡ ΡΠ°ΠΉΡ ΠΏΡΠΈΠ·Π²Π°Π½ ΠΈΠ·Π±Π°Π²ΠΈΡΡ Π²Π°Ρ ΠΎΡ ΡΡΠΎΠΌΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ
ΠΈ Π΄ΠΎΠ»Π³ΠΈΡ
Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ
ΠΊ ΡΠΎΠΌΡ ΠΆΠ΅ Π²Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ Π΄ΠΎΠΏΡΡΡΠΈΡΡ ΠΎΡΠΈΠ±ΠΊΡ. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Ρ Π½Π°Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ Π½Π°ΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΠΈ Β«Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅Β» ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ Π²Π²ΠΎΠ΄Π° Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΉΡ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ ΡΠ΅ΠΌ, ΠΊΡΠΎ Ρ
ΠΎΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΈ ΡΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π°Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈ ΡΠ±Π΅Π΄ΠΈΡΡΡΡ Π² ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π΄ΠΎΠΏΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ Π² Π½Π΅ΠΌ ΠΎΡΠΈΠ±ΠΊΡ. ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ Π»ΠΈΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ Ρ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠΌ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΡΠ΅ΡΠ²ΠΈΡΠ°.
ΠΡΠ»ΠΈ Π²Ρ Π½Π΅ Ρ
ΠΎΡΠΈΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
, Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌΠΈ Π½Π°Ρ
ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π·Π°Π±ΠΈΡΠ°Π΅Ρ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, ΡΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠΉΡΠ΅ Π½Π°Ρ ΡΠ΅ΡΠ²ΠΈΡ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ. ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅ΠΈΠΌΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π° Π½Π°ΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ°ΠΉΡΠ° Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠ΅ΡΠ²ΠΈΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΠΎΡΡΠΎΡΡ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ
ΠΎΠ΄ΠΈΡ Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π±ΡΡΡΡΠΎ (Π² ΡΡΠ΅Π΄Π½Π΅ΠΌ 5 ΡΠ΅ΠΊΡΠ½Π΄) ΠΈ Π·Π° Π½Π΅Π³ΠΎ Π½Π΅ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π½ΠΈΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠ»Π°ΡΠΈΡΡ, – ΡΠ΅ΡΠ²ΠΈΡ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎ Π±Π΅ΡΠΏΠ»Π°ΡΠ½ΡΠΉ. ΠΡ Π²Π°Ρ Π½Π΅ ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ
ΡΠ΅Π³ΠΈΡΡΡΠ°ΡΠΈΠΉ, Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΎΠ² e-mail ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΈΡ
ΠΏΠ΅ΡΡΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΡ
Π΄Π°Π½Π½ΡΡ
. ΠΡΠ΅, ΡΡΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ β Π²Π²Π΅ΡΡΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΈ Π½Π°ΠΆΠ°ΡΡ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΡ Β«Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅Β». Π§ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ β ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π΅. ΠΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΡΡΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΡ β ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ Π½Π°Ρ
ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. ΠΠΎΠ²ΠΎΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅, Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π°Π΄ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ, Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ β ΡΡΠΎ ΡΠΆΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ. ΠΠ»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅, Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ x Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΡΠΈΡ
ΠΎΠΌ Π² ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΌ Π²Π΅ΡΡ
Π½Π΅ΠΌ ΡΠ³Π»Ρ Π½Π°Π΄ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΡΡΠΈΡ
ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΠ»Ρ Π½Π°Ρ
ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π²Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠ½Π°Π΄ΠΎΠ±ΠΈΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΡ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π΅Π΅ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ΄ ΡΡΠΊΠΎΠΉ, ΡΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π½Π΅ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π·Π½Π°ΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΠ΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ Π½Π°ΡΠΈΠΌ ΡΠ΅ΡΠ²ΠΈΡΠΎΠΌ, Π³Π΄Π΅ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½, Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π²Π²Π΅ΡΡΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π² ΠΏΡΠ΅Π΄Π½Π°Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π΄Π»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π΅. ΠΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±ΡΡΡ x ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ Π½Π΅ΠΌΡ. ΠΡΠ»ΠΈ Π½Π°Π΄ΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ Π²ΡΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ, ΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ. ΠΠ°ΠΊ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½. Π£ΠΆΠ΅ Π΄Π°Π²Π½ΠΎ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π½Ρ ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
Π΄Π»Ρ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ (ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΉ) ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ β Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠ΅ Π΄Π΅Π»ΠΎ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΡΠΎ ΡΡΠΎ ΡΠΆΠ΅ Π½Π΅ ΡΡΠΈΠ²ΠΈΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° ΠΈ ΠΎΠ½Π° ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅Ρ Π½Π΅ΠΌΠ°Π»ΠΎ ΡΡΠΈΠ»ΠΈΠΉ ΠΈ Π·Π°ΡΡΠ°Ρ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ.
2-3t + 7$, Π³Π΄Π΅ $x(t)$ β ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ° Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ $t$. Π ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° $12$?
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
1. Π‘ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ β ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ $x(t)$, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
$v(t) = x'(t) = 1,5Β·2t -3 = 3t -3$
2. Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ, Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ $t$ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π±ΡΠ»Π° ΡΠ°Π²Π½Π° $12$, ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ ΠΈ ΡΠ΅ΡΠΈΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:
$3t-3 = 12$
$3t = 15$
$t = 5$
ΠΡΠ²Π΅Ρ: $5$
ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ» ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ
ΠΠ°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, Π½Π΅ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΡΡΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ $y = kx + b$, Π³Π΄Π΅ $k$ β ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ. ΠΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ $k$ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΡ ΡΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΡΠΈ $ΠΡ $.
$k = tgΞ±$
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ $f(x)$ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ $Ρ _0$ ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ $k$ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅:
$f'(x_0) = k$
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ:
$f'(x_0) = k = tgΞ±$
ΠΠ° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ $f(x)$ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ $k > 0$. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ $k > 0$, ΡΠΎ $f'(x_0) = tgΞ± > 0$. Π£Π³ΠΎΠ» $Ξ±$ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ $ΠΡ
$ ΠΎΡΡΡΡΠΉ.
ΠΠ° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ $f(x)$ ΡΠ±ΡΠ²Π°Π΅Ρ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ $k < 0$, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, $f'(x_0) = tgΞ± < 0$. Π£Π³ΠΎΠ» $Ξ±$ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΡΠΈ $ΠΡ $ ΡΡΠΏΠΎΠΉ.
ΠΠ° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ $f(x)$ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Π° ΠΎΡΠΈ $ΠΡ $, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ $k = 0$, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, $f'(x_0) = tg Ξ± = 0$. Π’ΠΎΡΠΊΠ° $x_0$, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ $f ‘(x_0) = 0$, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠΎΠΌ.
ΠΠ° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΡΠ½ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ $y=f(x)$ ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΊ ΡΡΠΎΠΌΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ, ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄ΡΠ½Π½Π°Ρ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Ρ Π°Π±ΡΡΠΈΡΡΠΎΠΉ $x_0$. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ $f(x)$ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ $x_0$.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
ΠΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΊ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, $f'(x_0) = tg Ξ± > 0$
ΠΠ»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ $f'(x_0)$, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ ΡΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΡΠΈ $ΠΡ
$. ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠΌ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ Π΄ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° $ΠΠΠ‘$.
ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ ΡΠ³Π»Π° $ΠΠΠ‘$. (Π’Π°Π½Π³Π΅Π½ΡΠΎΠΌ ΠΎΡΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ³Π»Π° Π² ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΠ° ΠΊ ΠΏΡΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡ.)
$tg BAC = {BC}/{AC} = {3}/{12}= {1}/{4}=0,25$
$f'(x_0) = tg ΠΠΠ‘ = 0,25$
ΠΡΠ²Π΅Ρ: $0,25$
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠΎΠ² Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠ±ΡΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ:
ΠΡΠ»ΠΈ $f'(x) > 0$ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ΅, ΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ $f(x)$ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ Π½Π° ΡΡΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ΅.
ΠΡΠ»ΠΈ $f'(x) < 0$ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ΅, ΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ $f(x)$ ΡΠ±ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π½Π° ΡΡΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ΅.
ΠΠ° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ $y = f(x)$. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΡΡΠ΅Π΄ΠΈ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ $Ρ _1,Ρ _2,Ρ _3β¦Ρ _7$ ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°.
Π ΠΎΡΠ²Π΅Ρ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈΡΠ΅ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
ΠΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Ρ, Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ $f (x)$ ΡΠ±ΡΠ²Π°Π΅Ρ. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ, Π²ΡΠ΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π½Π° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Ρ, Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ±ΡΠ²Π°Π΅Ρ.
Π Π²ΡΠ΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΡ
ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π°Ρ
Π½Π°Ρ
ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ $Ρ
_2, Ρ
_4$. Π ΠΎΡΠ²Π΅Ρ Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΠΈΡ
ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ $2$.
ΠΡΠ²Π΅Ρ: $2$
ΠΡΠ°ΠΊΡΠΈΠΊΠ°: ΡΠ΅ΡΠ°ΠΉ 7 Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΎΠ²ΠΎΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΡ ΠΠΠ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ (ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ)
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉΠΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» Π’ΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π³ΠΈΠ±Π° Π’ΠΎΡΠΊΠΈ ΡΠ°Π·ΡΡΠ²Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈΠΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Ρ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ΠΡΠ΅Π΄Π΅Π» ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π»Ρ
ΠΡΠ»ΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ z=f(x,y), ΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡΠΎΠΌ. Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΠΎΡΠΌΠ»ΡΠ΅ΡΡΡ Π² ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠ΅ Word.
- Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½
- ΠΠΈΠ΄Π΅ΠΎΠΈΠ½ΡΡΡΡΠΊΡΠΈΡ
- Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ
f(x) =
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Π° Π² Π½Π΅ΡΠ²Π½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡF(x,y) =
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Π° Π² ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡx =
y =
Π£ΠΏΡΠΎΡΠ°ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΠ°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ Π²ΡΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π²Π²ΠΎΠ΄Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π² ΡΠ²Π½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ
β‘ x^2/(x+2)cos2(2x+Ο)
β‘ (cos(2*x+pi))^2
β‘ x+(x-1)^(2/3)
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π²Π²ΠΎΠ΄Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π² Π½Π΅ΡΠ²Π½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ
β‘ x^2/(1+y)cos2(2x+y)
β‘ (cos(2*x+y))^2
β‘ 1+(x-y)^(2/3)
ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Π° Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ y2-x=cos(y)
, ΡΠΎ Π΅Π΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΠ°ΠΊ: y^2-x-cos(y). (2/3)
ΠΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ Ρ ΡΡΠΈΠΌ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡΠΎΠΌ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅:
Π’ΠΎΡΠΊΠΈ ΡΠ°Π·ΡΡΠ²Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ²
ΠΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ
ΠΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π΄Π²ΡΡ
ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ
ΠΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΠΎΠ²
Π’Π°Π±Π»ΠΈΡΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
- (xΞ±)β = Ξ± xΞ±-1
- = 1/2x1/2 =
- (ax)β = axΒ·lna
- (ex)β = ex
- (sinx)β = cosx
- (cosx)β = -sinx
- (shx)β = chx
- (chx)β = shx
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅:
β Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΈΠ½ΡΡ
β Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ
β Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ
β Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ
ΠΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ, ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡ ΠΈΠ· Π΅Π΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ?
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1.
y=cos4x
.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠ½Π΅ΡΠ½Π΅ΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ Π·Π΄Π΅ΡΡ ΡΠ»ΡΠΆΠΈΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ: cos(x) Π²ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π² ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ. ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΡ ΡΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΌΡ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡ cos(x), ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ
(cos4x)β²cos x = 4cos4-1x = 4cos3x
Π½ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΎΡΠ½ΡΠΉ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ cos(x) β ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ ; ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΎΡ cos(x) ΠΏΠΎ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ . Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ
yβ²x = (cos4x)β²cos xΒ·(cosx)β²x = 4Β·cos3xΒ·(-sin x) = -4Β·cos3xΒ·sin x
ΠΡΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π½Π΅Ρ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ Π² ΡΠ°ΠΊΠΈΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΡΡ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΡ . Π Π΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΡΠ°Π·Ρ, ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π² ΡΠΌΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΎΡΠ½ΡΠ΅ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
.
.
Π Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ , Π΅ΡΠ»ΠΈ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
y = (u(x))v(x)
, ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΡΠΉ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ. Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ
.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 4. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y=xex
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
;
.
ΠΡΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½ΠΎΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ
ΠΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½ΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ°Ρ . Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ .- ΠΠ°Ρ
ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠΎΠ² ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π»ΡΡΡ ΠΏΡΠΈΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊ Π½ΡΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:
f'(x)=0
.ΠΡΠΎΡ ΡΡΠ°ΠΏ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠΌ Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ.
- ΠΠ½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ x0 ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
- ΠΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ ΠΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π»Ρ.
- Π ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ f(x) ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΎΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ F(x).
- ΠΡΠΈ ΠΎΡΡΡΠΊΠ°Π½ΠΈΠΈ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅.
- Π ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π΅ ΠΡΡΡΠΎΠ½Π° Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡΠ΄Π΅Π»ΡΡΡ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
ΠΠ°Π΄Π°ΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΈ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π½ΠΈΠ·Ρ ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΡ Π² ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ Disqus.
ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π·Π°ΡΠ²ΠΊΡ Π½Π° ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡ Π² ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΈΡ
Π·Π°Π΄Π°Ρ Ρ Π½Π°ΡΠΈΡ
ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠ΅Π½Π½ΡΡ
ΠΏΠ°ΡΡΠ½Π΅ΡΠΎΠ² (Π·Π΄Π΅ΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ Π·Π΄Π΅ΡΡ).
3.3 ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°ΡΠΈΠΈ. Π Π°ΡΡΠ΅Ρ, ΡΠΎΠΌ 1
Π¦Π΅Π»ΠΈ ΠΎΠ±ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ
- 3.3.1
Π‘ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΡΠΉΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΠ΅, ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΠ΅ ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°.
- 3.3.2 ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅.
- 3.3.3 ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠΉΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ.
- 3.3.4 ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠΉΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
- 3.3.5 Π Π°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ Π½Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Ρ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠΌΠΈ.
- 3.3.6 ΠΠ±ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
ΠΠ°Ρ
ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π΄Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΈ, Π΄Π»Ρ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠΎΠΌ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΠ°Π½Π΅Π΅ ΠΌΡ ΠΎΠ±Π½Π°ΡΡΠΆΠΈΠ»ΠΈ, ΡΡΠΎ ddx(x)=12xddx(x)=12x, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡ, Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°ΡΡΠΈΠΉ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π°. ΠΡΠΎΡΠ΅ΡΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΠΈ ddx(x3)ddx(x3) Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ, Ρ
ΠΎΡΡ ΠΈ ΠΏΠΎΡ
ΠΎΠΆ, Π½ΠΎ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½. Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΌΡ ΡΠ°Π·ΡΠ°Π±Π°ΡΡΠ²Π°Π΅ΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π½Π°Ρ
ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠΉΡΠΈ ΡΡΠΎΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡ. ΠΠ°ΡΠ½Π΅ΠΌ Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ².
ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f(x)=cf(x)=c ΠΈ g(x)=xng(x)=xn, Π³Π΄Π΅ nn β Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΡΡΠΎΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π±Π»ΠΎΠΊΠ°ΠΌΠΈ, ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΡΡΠΎΡΡΡΡ Π²ΡΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Ρ ΠΈ ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΡΡΡΠ΅ΠΊΡΠΈΠ²Π½ΠΎ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΎΠ² ΠΈ ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, Π½Π΅ ΠΏΡΠΈΠ±Π΅Π³Π°Ρ ΠΊ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΌΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° ΡΠ°Π·ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄Π»Ρ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΠΈΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ.
ΠΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ
Π‘Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΌΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, f(x)=c.f(x)=c. ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ f(x)=cf(x)=c, ΡΠ°ΠΊ ΠΈ f(x+h)=c,f(x+h)=c, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΉ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ:
fβ²(x)=limhβ0f(x+h)βf(x)h=limhβ0cβch=limhβ00h=limhβ00=0.fβ²(x)=limhβ0f(x+ h)βf(x)h=limhβ0cβch=limhβ00h=limhβ00=0.
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ. Π Π½Π΅ΠΌ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ; ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ Π³ΠΎΡΠΈΠ·ΠΎΠ½ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ, Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ 0,0. ΠΡ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ΅.
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° 3.2
ΠΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ
ΠΡΡΡΡ cc β ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΠ°.
ΠΡΠ»ΠΈ f(x)=c,f(x)=c, ΡΠΎ fβ²(x)=0.fβ²(x)=0.
Π ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π°Π»ΡΡΠ΅ΡΠ½Π°ΡΠΈΠ²Ρ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²ΡΡΠ°Π·ΠΈΡΡ ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ
ddx(c)=0.ddx(c)=0.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3.17
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ f(x)=8.f(x)=8.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΡΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠ°Π³ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°:
fβ²(x)=0.fβ²(x)=0.
ΠΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ-ΠΏΡΠΎΠΏΡΡΠΊΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠ½ΠΊΡ 3.11
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ g(x)=β3.g(x)=β3.
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΠΈΠ»Ρ
ΠΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΈ, ΡΡΠΎ
ddx(x2)=2xandddx(x1/2)=12xβ1/2.ddx(x2)=2xandddx(x1/2)=12xβ1/2.
Π ΡΡΠΎΡ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ Π²Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΡΠ°Π·Π²ΠΈΡΠΈΡ ΡΠ°Π±Π»ΠΎΠ½Π° Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
ΡΠΎΡΠΌΡ ddx(xn).ddx(xn). ΠΡ ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Π΅ΠΌ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ» ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
ΠΏΡΡΠ΅ΠΌ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄Π° f(x)=xnf(x)=xn, Π³Π΄Π΅ nn β Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ. ΠΡ ΡΠ°Π·ΡΠ°Π±Π°ΡΡΠ²Π°Π΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠΏΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΏΠΎΡΡΠ°ΠΏΠ½ΠΎ, Π½Π°ΡΠΈΠ½Π°Ρ Ρ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ
ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π΅ΠΉ. ΠΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅ ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π°, ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ ddx(x3).ddx(x3). ΠΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡΠΎΡ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ ΡΠ΅Ρ
Π½ΠΈΠΊΠ°, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΠ°Ρ Π² ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, ΠΏΠΎ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Ρ ΡΠ°ΠΊΠ°Ρ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΡΠ΅Ρ
Π½ΠΈΠΊΠ°, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΠ°Ρ Π΄Π»Ρ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Π° ΠΎΠ±ΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3.18
ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ x3x3
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ddx(x3).ddx(x3).
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ddx(x3)=limhβ0(x+h)3βx3h=limhβ0x3+3x2h+3xh3+h4βx3hΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΡΠ»Π΅Π½ Π² ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ (x+h)3 ΡΠ°Π²Π΅Π½ x3, Π° Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠ»Π΅Π½ ΡΠ°Π²Π΅Π½ 3x2h. ΠΡΠ΅ ΠΎΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅Π½Ρ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ h, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π² Π΄Π²Π° ΡΠ°Π·Π° Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅.=limhβ03x2h+3xh3+h4hΠΠ° ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ°Π³Π΅ x3ΡΠ»Π΅Π½Ρ Π±ΡΠ»ΠΈ ΠΎΡΠΌΠ΅Π½Π΅Π½Ρ, ΠΎΡΡΠ°Π»ΠΈΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ»Π΅Π½Ρ, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ h.=limhβ0h(3×2+3xh+h3)hΠΡΠ½Π΅ΡΠΈΡΠ΅ ΠΈΠ· ΠΎΠ±ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ h.=limhβ0( 3×2+3xh+h3) ΠΠΎΡΠ»Π΅ ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ h Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΡΠ»Π΅Π½, Π½Π΅ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΠΉ Π΅Π³ΠΎ3×2. =3×2, ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΊ 0.ddx(x3)=limhβ0(x+h)3βx3h=limhβ0x3+3x2h+3xh3+h4β x3hΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΡΠ»Π΅Π½ Π² ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ (x+h)3 ΡΠ°Π²Π΅Π½ x3, Π° Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠ»Π΅Π½ ΡΠ°Π²Π΅Π½ 3x2h. ΠΡΠ΅ ΠΎΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅Π½Ρ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ h, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π² Π΄Π²Π° ΡΠ°Π·Π° Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅.=limhβ03x2h+3xh3+h4h limhβ0h(3×2+3xh+h3)hΠΡΠ½Π΅ΡΠΈΡΠ΅ Π·Π° ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠΈ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ h.=limhβ0(3×2+3xh+h3)0019
ΠΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ-ΠΏΡΠΎΠΏΡΡΠΊΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠ½ΠΊΡ 3.12
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ddx(x4).ddx(x4).
ΠΠ°ΠΊ ΠΌΡ ΡΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π΄ΡΡΠ° Π½Π°Ρ
ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° f(x)=xnf(x)=xn ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΏΠΎΡ
ΠΎΠΆΠ°. Π₯ΠΎΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΎ Π½Π΅ΡΠ°Π·ΡΠΌΠ½ΠΎ Π΄Π΅Π»Π°ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠΈΠ΅ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΡΡ
ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ², Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ f(x)=x3,f(x)=x3 ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΠΏΡΠΈ xx ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡΡ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ ΠΏΡΠΈ x2x2 Π² ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Π° ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΠΏΡΠΈ xx Π² ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π° 1. Π‘Π»Π΅Π΄ΡΡΡΠ°Ρ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ
ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ
ΡΠ΅Π»ΡΡ
ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π΅ΠΉ x.x. Π‘ΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π΅ΠΌ ΠΌΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΠΈΠΌ ΡΡΠΎΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ Π½Π° ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ΅Π»ΡΠ΅ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ. ΠΠΎΠ·ΠΆΠ΅ ΠΌΡ ΡΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½Π΅Π½ΠΎ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° Π½Π° ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ xx, Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ x. x. ΠΠΌΠ΅ΠΉΡΠ΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρ, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π½Π΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ
ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΠ° Π²ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π² ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, f(x)=3x.f(x)=3x.
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° 3.3
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΠΈΠ»Ρ
ΠΡΡΡΡ nn β ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ. ΠΡΠ»ΠΈ f(x)=xn,f(x)=xn, ΡΠΎ
fβ²(x)=nxnβ1.fβ²(x)=nxnβ1.
Π ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π°Π»ΡΡΠ΅ΡΠ½Π°ΡΠΈΠ²Ρ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²ΡΡΠ°Π·ΠΈΡΡ ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ
ddxxn=nxnβ1.ddxxn=nxnβ1.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ
ΠΠ»Ρ f(x)=xnf(x)=xn, Π³Π΄Π΅ nn β Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΌΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ
fβ²(x)=limhβ0(x+h)nβxnh.fβ²(x)=limhβ0(x+h)nβxnh.
ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ (x+h)n=xn+nxnβ1h+(n2)xnβ2h3+(n3)xnβ3h4+β¦+nxhnβ1+hn, ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ (x+h)n=xn+nxnβ1h+(n2) xnβ2h3+(n3)xnβ3h4+β¦+nxhnβ1+hn,
ΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ
(x+h)nβxn=nxnβ1h+(n2)xnβ2h3+(n3)xnβ3h4+β¦+nxhnβ1+hn.(x+h)nβxn=nxnβ1h+(n2)xnβ 2h3+(n3)xnβ3h4+β¦+nxhnβ1+hn.
ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅ ΠΎΠ±Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ Π½Π° Ρ :
(x+h)nβxnh=nxnβ1h+(n2)xnβ2h3+(n3)xnβ3h4+β¦+nxhnβ1+hnh. (x+h)nβxnh=nxnβ1h+(n2)xnβ 2h3+(n3)xnβ3h4+β¦+nxhnβ1+hnh.
ΠΡΠ°ΠΊ,
(x+h)nβxnh=nxnβ1+(n2)xnβ2h+(n3)xnβ3h3+β¦+nxhnβ2+hnβ1.(x+h)nβxnh=nxnβ1+( n2)xnβ2h+(n3)xnβ3h3+β¦+nxhnβ2+hnβ1.
ΠΠ°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ,
fβ²(x)=limhβ0(nxnβ1+(n2)xnβ2h+(n3)xnβ3h3+β¦+nxhnβ1+hn)=nxnβ1.fβ²(x)=limhβ0( nxnβ1+(n2)xnβ2h+(n3)xnβ3h3+β¦+nxhnβ1+hn)=nxnβ1.
β‘
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3.19
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f(x)=x10f(x)=x10, ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Ρ n=10,n=10, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ
fβ²(x)=10×10β1=10×9.fβ²(x)=10×10β1=10×9.
ΠΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ-ΠΏΡΠΎΠΏΡΡΠΊΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠ½ΠΊΡ 3.13
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ f(x)=x7.f(x)=x7.
Π‘ΡΠΌΠΌΠ°, ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°
ΠΡ Π½Π°Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π½Π°ΡΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΡΡΠΌΠΌ, ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΡ
ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. Π’Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡΠΈ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅ Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ, ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°, ΠΎΠ±Π»Π΅Π³ΡΠ°ΡΡΠΈΠ΅ Π½Π°Ρ
ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΌΡ ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Π΅ΠΌ, Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΡ. ΠΡΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΡΠ΅Π·ΡΠΌΠΈΡΡΡΡΡΡ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ΅.
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° 3.4
Π‘ΡΠΌΠΌΠ°, ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°
ΠΡΡΡΡ f(x)f(x) ΠΈ g(x)g(x) β Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, kk β ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΠ°. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΡΠΌΠΌΡ. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠΌΠΌΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ff ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ gg ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ff ΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ g.g.
ddx(f(x)+g(x))=ddx(f(x))+ddx(g(x));ddx(f(x)+g(x))=ddx(f(x) )+ddx(g(x));
ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ
Π΄Π»Ρ j(x)=f(x)+g(x),jβ²(x)=fβ²(x)+gβ²(x).forj(x)=f(x)+g(x),j β²(Ρ )=fβ²(Ρ )+gβ²(Ρ ).
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ g ΡΠ°ΠΊΠ°Ρ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ f ΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ g:g:
ddx(f(x)βg(x ))=ddx(f(x))βddx(g(x));ddx(f(x)βg(x))=ddx(f(x))βddx(g(x));
, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ
Π΄Π»Ρ j(x)=f(x)βg(x),jβ²(x)=fβ²(x)βgβ²(x).forj(x)=f(x)β g(x),jβ²(x)=fβ²(x)βgβ²(x).
ΠΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΡ k , ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f , ΡΠ°Π²Π½ΠΎ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΠ΅, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ:
ddx(kf(x))=kddx(f(x));ddx(kf(x))=kddx(f (ΠΠΊΡ));
, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ
forj(x)=kf(x),jβ²(x)=kfβ²(x).forj(x)=kf(x),jβ²(x)=kfβ²(x) .
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ
ΠΠ΄Π΅ΡΡ ΠΌΡ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΡΡΠΌΠΌ. ΠΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΡΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ.
ΠΠ»Ρ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ f(x)f(x) ΠΈ g(x),g(x) ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ j(x)=f(x)+g(x).j(x)=f(x)+ Π³(Ρ ). ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ
jβ²(x)=limhβ0j(x+h)βj(x)h.jβ²(x)=limhβ0j(x+h)βj(x)h.
ΠΡΡΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ j(x+h)=f(x+h)+g(x+h)j(x+h)=f(x+h)+g(x+h) ΠΈ j(x)=f (x)+g(x),j(x)=f(x)+g(x), ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ
jβ²(x)=limhβ0(f(x+h)+g(x+h))β(f(x)+g(x))h.jβ²(x)=limhβ0(f(x +h)+g(x+h))β(f(x)+g(x))h.
ΠΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡ ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π³ΡΡΠΏΠΏΠΈΡΠΎΠ²ΡΠ²Π°Ρ ΡΠ»Π΅Π½Ρ, ΠΌΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ
jβ²(x)=limhβ0(f(x+h)βf(x)h+g(x+h)βg(x)h).jβ²(x)=limhβ0(f( Ρ
+h)βf(x)h+g(x+h)βg(x)h).
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ ΡΡΠΌΠΌ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² ΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ
jβ²(x)=limhβ0(f(x+h)βf(x)h)+limhβ0(g(x+h)βg(x)h)=fβ²(x)+g β²(x).jβ²(x)=limhβ0(f(x+h)βf(x)h)+limhβ0(g(x+h)βg(x)h)=fβ²( Ρ )+g'(Ρ ).
β‘
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3.20
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ g(x)=3x2g(x)=3×2 ΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΡΠ΅ Π΅Π΅ Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ f(x)=x2.f(x)=x2.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΡΠΌΡΡ: (2x)=6x.
ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ f(x)=x2f(x)=x2 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ fβ²(x)=2x,fβ²(x)=2x, ΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ g(x)g(x) Π² 3 ΡΠ°Π·Π° Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f(x).f(x). ΠΡΠ° Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΡΠ²ΡΠ·Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° Π½Π° ΡΠΈΡ. 3.18.
Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ 3.18 ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ g(x)g(x) Π² 3 ΡΠ°Π·Π° Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ f(x).f(x).
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3.21
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ» ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ f(x)=2×5+7.f(x)=2×5+7.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ°ΡΠ½Π΅ΠΌ Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΠΌΠΌΡ Π΄Π²ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, Π·Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΡ
ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π΅ΠΉ. Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π»ΡΡΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΡ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, ΠΌΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΠ΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡΠ° Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ:
fβ²(x)=ddx(2×5+7)=ddx(2×5)+ddx(7)ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΡΠΌΠΌ.=2ddx(x5)+ddx(7)ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠ΅ ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ.=2(5×4) +0ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½Ρ.=10×4.Simplify.fβ²(x)=ddx(2×5+7)=ddx(2×5)+ddx(7)ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΡΠΌΠΌΡ.=2ddx(x5)+ddx( 7) ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠ΅ ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ. = 2 (5×4) + 0 ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ. = 10×4. Π£ΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡΡ.
ΠΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ-ΠΏΡΠΎΠΏΡΡΠΊΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠ½ΠΊΡ 3.14
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ f(x)=2×3β6×2+3.f(x)=2×3β6×2+3.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3,22
ΠΠ°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ f(x)=x2β4x+6f(x)=x2β4x+6 ΠΏΡΠΈ x=1.x=1.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ, Π½Π°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΈ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½. Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΡ, Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅
f(1)=12β4(1)+6=3.f(1)=12β4(1)+6=3.
ΠΡΠΎ Π΄Π°Π΅Ρ Π½Π°ΠΌ ΡΠΎΡΠΊΡ (1,3).(1,3). ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ 1 ΡΠ°Π²Π΅Π½ fβ²(1),fβ²(1), ΠΌΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° Π½Π°ΠΉΡΠΈ fβ²(x).fβ²(x). ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ
fβ²(x)=2xβ4fβ²(x)=2xβ4
, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π²Π΅Π½ fβ²(1)=β2.fβ²(1)=β2. ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠΎΡΠΊΠΈ-Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π°, ΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄
yβ3=β2(xβ1).yβ3=β2(xβ1).
ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ
y=β2x+5.y=β2x+5.
ΠΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ-ΠΏΡΠΎΠΏΡΡΠΊΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠ½ΠΊΡ 3.15
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ f(x)=3×2β11f(x)=3×2β11 ΠΏΡΠΈ x=2.x=2. ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠΉΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°-Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½.
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠ°
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ ΠΈΠ·ΡΡΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΈΡΡΡΠΏΠΈΡΡ ΠΊ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ
Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ
ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ». ΠΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. Π₯ΠΎΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡΡΡ Π·Π°ΠΌΠ°Π½ΡΠΈΠ²ΡΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
, Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΡΡΠΎΠΌΡ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡ. Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΡ, ΠΏΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΌΡ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠΎΡ ΡΠ°Π±Π»ΠΎΠ½, ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f(x)=x2,f(x)=x2, ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠ°Π²Π½Π° fβ²(x)=2xfβ²(x)=2x, Π° Π½Π΅ ddx(x) Β· ddx (Ρ
)=1Β·1=1.ddx(x)Β·ddx(x)=1Β·1=1.
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° 3,5
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠ°
ΠΡΡΡΡ f(x)f(x) ΠΈ g(x)g(x) β Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°
ddx(f(x)g(x))=ddx(f(x))Β·g(x)+ddx(g(x))Β·f(x).ddx(f(x)g(x ))=ddx(f(x))Β·g(x)+ddx(g(x))Β·f(x).
Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ
, Π΅ΡΠ»ΠΈ j(x)=f(x)g(x), ΡΠΎ jβ²(x)=fβ²(x)g(x)+gβ²(x)f(x).ifj(x )=f(x)g(x), ΡΠΎΠ³Π΄Π° jβ²(x)=fβ²(x)g(x)+gβ²(x)f(x).
ΠΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π° Π²ΡΠΎΡΡΡ ΠΏΠ»ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ
ΠΠ°ΡΠ½Π΅ΠΌ Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΡΠΎ f(x)f(x) ΠΈ g(x)g(x) β Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. Π ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π²ΠΎΠΌ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Π° Π½Π°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠΎΡ ΡΠ°ΠΊΡ, ΡΡΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ g(x)g(x) Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ°, ΠΎΠ½Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½Π°. Π ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΌΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡ ΡΠ°ΠΊΡ, ΡΡΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ g(x)g(x) Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½Π°, limhβ0g(x+h)=g(x). limhβ0g(x+h)=g(x).
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊ j(x)=f(x)g(x),j(x)=f(x)g(x), ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ
jβ²(x)=limhβ0f(x+h)g(x+h)βf(x)g(x)h.jβ²(x)=limhβ0f(x+h)g(x+h) βf(x)g(x)h.
ΠΠΎΠ±Π°Π²Π»ΡΡ ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Ρ f(x)g(x+h)f(x)g(x+h) Π² ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅, ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ
jβ²(x)=limhβ0f(x+h)g(x+h)βf(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)βf(x)g( x)h.jβ²(x)=limhβ0f(x+h)g(x+h)βf(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)βf(x)g (Ρ )Ρ.
ΠΠΎΡΠ»Π΅ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π° ΡΡΠΌΠΌ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΉ
jβ²(x)=limhβ0(f(x+h)g(x+h)βf(x)g(x+h)h)+limhβ0(f(x)g(x+h) )βf(x)g(x)h).jβ²(x)=limhβ0(f(x+h)g(x+h)βf(x)g(x+h)h)+limh β0(f(x)g(x+h)βf(x)g(x)h).
ΠΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ
jβ²(x)=limhβ0(f(x+h)βf(x)hΒ·g(x+h))+limhβ0(g(x+h)βg(x)hΒ·f (x)).jβ²(x)=limhβ0(f(x+h)βf(x)hΒ·g(x+h))+limhβ0(g(x+h)βg(x )hΒ·f(x)).
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΡΡΡ g(x),g(x), ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΎΡ f(x)f(x) ΠΈ g(x),g(x) ΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ, ΠΌΡ ΠΏΡΠΈΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠ°,
jβ²(x)=fβ²(x)g(x)+gβ²(x)f(x). jβ²(x)=fβ²(x)g(x)+gβ²(x)f( ΠΠΊΡ).
β‘
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3,23
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅
ΠΠ»Ρ j(x)=f(x)g(x),j(x)=f(x)g(x) ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠΉΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ jβ² (2)jβ²(2) Π΅ΡΠ»ΠΈ f(2)=3,fβ²(2)=β4,g(2)=1,f(2)=3,fβ²(2)=β4,g( 2)=1 ΠΈ gβ²(2)=6.gβ²(2)=6.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ j(x)=f(x)g(x),jβ²(x)=fβ²(x)g(x)+gβ²(x)f(x),j(x)=f(x )g(x),jβ²(x)=fβ²(x)g(x)+gβ²(x)f(x), ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ,
jβ²(2)=fβ²(2)g(2 )+gβ²(2)f(2)=(β4)(1)+(6)(3)=14.jβ²(2)=fβ²(2)g(2)+gβ²(2) f(2)=(β4)(1)+(6)(3)=14.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3,24
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ°ΠΌ
ΠΠ»Ρ j(x)=(x2+2)(3×3β5x),j(x)=(x2+2)(3×3β5x) Π½Π°ΠΉΡΠΈ jβ²(x)j β²(x), ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΡΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ, ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° Π½Π°ΠΉΠ΄Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΡ Π΅Π³ΠΎ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ ΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΠΌ f(x)=x2+2f(x)=x2+2 ΠΈ g(x)=3×3β5x,g(x)=3×3β5x, ΡΠΎ fβ²(x)=2xfβ²(x) =2x ΠΈ gβ²(x)=9×2β5. gβ²(x)=9×2β5. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ,
jβ²(x)=fβ²(x)g(x)+gβ²(x)f(x)=(2x)(3×3β5x)+(9×2β5)(x2+2). jβ²(x)=fβ²(x)g(x)+gβ²(x)f(x)=(2x)(3×3β5x)+(9×2β5)(x2+2).
Π£ΠΏΡΠΎΡΠ°Ρ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ
jβ²(x)=15×4+3×2β10.jβ²(x)=15×4+3×2β10.
ΠΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΠΈ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ j(x)=3×5+x3β10xj(x)=3×5+x3β10x ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, jβ²(x)=15×4+3×2β10.jβ²(x)=15×4 +3×2β10.
ΠΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ-ΠΏΡΠΎΠΏΡΡΠΊΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠ½ΠΊΡ 3.16
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠΉΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ j(x)=2×5(4×2+x).j(x)=2×5(4×2+x).
Π§Π°ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ
Π Π°Π·ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Π² ΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ² ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΌΡ ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. ΠΠ°ΠΊ ΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ, ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ; ΡΠΊΠΎΡΠ΅Π΅, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π½Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Π΅, ΠΌΠΈΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Π΅, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π½Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π² ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅, ΠΈ Π²ΡΠ΅ ΡΡΠΎ Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡΡ Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Π΅. Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π»ΡΡΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΡ, ΠΏΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΌΡ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ Π²Π·ΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ , ΠΈΠΌΠ΅ΠΉΡΠ΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρ, ΡΡΠΎ
ddx(x2)=2x,notddx(x3)ddx(x)=3×21=3×2. ddx(x2)=2x,notddx(x3)ddx(x)=3×21=3×2.
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° 3,6
Π§Π°ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ
ΠΡΡΡΡ f(x)f(x) ΠΈ g(x)g(x) β Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°
ddx(f(x)g(x))=ddx(f(x))Β·g(x)βddx(g(x))Β·f(x)(g(x))2.ddx( f(x)g(x))=ddx(f(x))Β·g(x)βddx(g(x))Β·f(x)(g(x))2.
Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ
, Π΅ΡΠ»ΠΈ j(x)=f(x)g(x), ΡΠΎ jβ²(x)=fβ²(x)g(x)βgβ²(x)f(x)(g(x ))2.Π΅ΡΠ»ΠΈ j(x)=f(x)g(x), ΡΠΎ jβ²(x)=fβ²(x)g(x)βgβ²(x)f(x)(g(x))2 .
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΏΠΎΡ ΠΎΠΆΠ΅ Π½Π° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π·Π΄Π΅ΡΡ ΠΎΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΡΠ΅Π½ΠΎ. ΠΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠΎ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3,25
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠΉΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ k(x)=5x24x+3.k(x)=5x24x+3.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΡΡΡΡ f(x)=5x2f(x)=5×2 ΠΈ g(x)=4x+3.g(x)=4x+3. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, fβ²(x)=10xfβ²(x)=10x ΠΈ gβ²(x)=4.gβ²(x)=4. ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡ Π² ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, ΠΌΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ
kβ²(x)=fβ²(x)g(x)βgβ²(x)f(x)(g(x))2=10x(4x+3)β 4(5×2)(4x+3)2.kβ²(x)=fβ²(x)g(x)βgβ²(x)f(x)(g(x))2=10x(4x+3) β4(5×2)(4x+3)2.
Π£ΠΏΡΠΎΡΠ°Ρ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ
kβ²(x)=20×2+30x(4x+3)2.kβ²(x)=20×2+30x(4x+3)2.
ΠΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ-ΠΏΡΠΎΠΏΡΡΠΊΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠ½ΠΊΡ 3.17
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ h(x)=3x+14xβ3.h(x)=3x+14xβ3.
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄Π° xkxk, Π³Π΄Π΅ kk β ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° 3,7
Π Π°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΌΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ
ΠΡΠ»ΠΈ kk β ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΡΠΎ
ddx(xk)=kxkβ1.ddx(xk)=kxkβ1.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ
ΠΡΠ»ΠΈ kk β ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡ n=βk,n=βk, ΡΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ n Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ΅Π»ΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ Ρ k=βn.k=βn. ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π΄Π»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° n,xβn=1xn,n,xβn=1xn, ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΠ² f(x)=1f(x)=1 ΠΈ g(x)=xn. g (Ρ
)=Ρ
ΠΏ. Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ fβ²(x)=0fβ²(x)=0 ΠΈ gβ²(x)=nxnβ1.gβ²(x)=nxnβ1. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ,
ddx(xβn)=0(xn)β1(nxnβ1)(xn)2.ddx(xβn)=0(xn)β1(nxnβ1)(xn)2.
Π£ΠΏΡΠΎΡΠ°Ρ, ΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ
ddx(xβn)=βnxnβ1x2n=βnx(nβ1)β2n=βnxβnβ1.ddx(xβn)=βnxnβ1x2n=βnx(nβ1)β 2n=-nx-n-1.
ΠΠ°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ k=βn,k=βn, ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠΎΠΉ ΠΌΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ
ddx(xk)=kxkβ1.ddx(xk)=kxkβ1.
β‘
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3,26
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΌΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ddx(xβ4).ddx(xβ4).
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ Ρ k=β4,k=β4, ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ
ddx(xβ4)=β4xβ4β1=β4xβ5.ddx(xβ4)=β4x β4β1=β4xβ5.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3,27
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠΉΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΎΡ f(x)=6×2.f(x)=6×2.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡΡΡ Π·Π°ΠΌΠ°Π½ΡΠΈΠ²ΡΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ
ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΈ ΡΡΠΎ, ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ, Π½Π΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π½Π΅ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΡΠΌ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π³ΠΎΡΠ°Π·Π΄ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΏΠΈΡΠ°Π² Π΅Π΅ ΠΊΠ°ΠΊ f(x)=6xβ2.f(x)=6xβ2.
fβ²(x)=ddx(6×2)=ddx(6xβ2)ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ6x2as6xβ2.=6ddx(xβ2)ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠ΅ ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ.=6(β2xβ3)ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΌΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π»Ρ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡx-2.=-12x-3Π£ΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡΡ.f'(x)=ddx(6×2)=ddx(6x-2)ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ6×2ΠΊΠ°ΠΊ6x-2.=6ddx(x-2)ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠ΅ ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ.=6(-2x- 3) ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠΉΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΌΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ x-2.=-12x-3Π£ΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡΡ.
ΠΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ-ΠΏΡΠΎΠΏΡΡΠΊΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠ½ΠΊΡ 3.18
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΎΡ g(x)=1x7g(x)=1×7, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ.
ΠΠ±ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ» Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°ΡΠΈΠΈ
ΠΠ°ΠΊ ΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΠΈΠ· ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² Π² ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅, ΡΠ΅Π΄ΠΊΠΎ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ Π½Π°ΠΌ ΠΏΡΠΈΡ
ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΠ° ΡΡΠΎΠΌ ΡΡΠ°ΠΏΠ΅, ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½ΠΈΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΠΎΠ·ΠΆΠ΅ ΠΌΡ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠΈΠΌΡΡ Ρ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ» Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ. Π₯ΠΎΡΠΎΡΠ΅Π΅ ΡΠΌΠΏΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΏΡΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ
ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ», ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π² ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ΅, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΡ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΌΡ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3,28
ΠΠ±ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ» Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ
ΠΠ»Ρ k(x)=3h(x)+x2g(x),k(x)=3h(x)+x2g(x) Π½Π°ΠΉΡΠΈ kβ²(x).kβ²(x) .
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΡΠΌΠΌ, ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.
kβ²(x)=ddx(3h(x)+x2g(x))=ddx(3h(x))+ddx(x2g(x)) ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΡΠΌΠΌ.=3ddx(h(x))+ (ddx(x2)g(x)+ddx(g(x))x2) ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½Ρ ΠΊ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ3h(x) ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡx2g(x).=3hβ²(x)+2xg(x)+g β²(x)x2kβ²(x)=ddx(3h(x)+x2g(x))=ddx(3h(x))+ddx(x2g(x)) ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΡΠΌΠΌ.=3ddx(h(x) )+(ddx(x2)g(x)+ddx(g(x))x2) ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½Ρ Π΄Π»Ρ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ3h(x) ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡx2g(x). =3hβ²(x)+2xg(x) +gβ²(x)x2
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3,29
Π Π°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠ°
ΠΠ»Ρ k(x)=f(x)g(x)h(x),k(x)=f(x)g(x)h(x) Π²ΡΡΠ°Π·ΠΈΡΡ kβ²(x )kβ²(x) ΡΠ΅ΡΠ΅Π· f(x),g(x),h(x),f(x),g(x),h(x) ΠΈ ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π΄ΡΠΌΠ°ΡΡ ΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ k(x)k(x) ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f(x)g(x)f(x)g(x) ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ h(x).h(x). Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ k(x)=(f(x)g(x))Β·h(x).k(x)=(f(x)g(x))Β·h(x). Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ,
kβ²(x)=ddx(f(x)g(x))Β·h(x)+ddx(h(x))Β·(f(x)g(x)) ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ off(x)g(x)andh(x).=(fβ²(x)g(x)+gβ²(x)f(x))h(x)+hβ²(x)f(x) g(x)ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ tof(x)g(x).=fβ²(x)g(x)h(x)+f(x)gβ²(x)h(x)+f(x) g(x)hβ²(x).Simplify.kβ²(x)=ddx(f(x)g(x))Β·h(x)+ddx(h(x))Β·(f(x)g( x)) ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ off(x)g(x)andh(x).=(fβ²(x)g(x)+gβ²(x)f(x))h(x)+h β²(x)f(x)g(x)ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ tof(x)g(x).=fβ²(x)g(x)h(x)+f(x)gβ²(x)h (x)+f(x)g(x)hβ²(x). Π£ΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡΡ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3.30
Π‘ΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ
ΠΠ»Ρ h(x)=2x3k(x)3x+2,h(x)=2x3k(x)3x+2 Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ).
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΡΠ° ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π΄ΡΡΠ° ΡΠΈΠΏΠΈΡΠ½Π° Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
hβ²(x)=ddx(2x3k(x))Β·(3x+2)βddx(3x+2)Β·(2x3k(x))(3x+2)2ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ.=(6x2k(x )+kβ²(x)Β·2×3)(3x+2)β3(2x3k(x))(3x+2)2ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈddx(2x3k(x)).Useddx(3x+2)=3. =β6x3k(x)+18x3k(x)+12x2k(x)+6x4kβ²(x)+4x3kβ²(x)(3x+2)2Simplify.hβ²(x)=ddx(2x3k(x))Β·( 3x+2)βddx(3x+2)Β·(2x3k(x))(3x+2)2ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ .=(6x2k(x)+kβ²(x)Β·2×3)(3x+2)β3 (2x3k(x))(3x+2)2ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊ findddx(2x3k(x)).Useddx(3x+2)=3.=β6x3k(x)+18x3k(x)+12x2k(x)+ 6x4kβ²(x)+4x3kβ²(x)(3x+2)2Π£ΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡΡ.
ΠΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ-ΠΏΡΠΎΠΏΡΡΠΊΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠ½ΠΊΡ 3.19
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ddx(3f(x)β2g(x)).ddx(3f(x)β2g(x)).
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3.31
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π³Π΄Π΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π³ΠΎΡΠΈΠ·ΠΎΠ½ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ xx, Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ f(x)=x3β7×2+8x+1f(x)=x3β7×2+8x+1 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π³ΠΎΡΠΈΠ·ΠΎΠ½ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ xx, Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ
f(x)f(x) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π³ΠΎΡΠΈΠ·ΠΎΠ½ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ, ΠΌΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ fβ²(x)=0. fβ²(x)=0. ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ
fβ²(x)=3×2β14x+8=(3xβ2)(xβ4),fβ²(x)=3×2β14x+8=(3xβ2)(xβ4),
ΠΌΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ (3xβ2)(xβ4)=0.(3xβ2)(xβ4)=0. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π³ΠΎΡΠΈΠ·ΠΎΠ½ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ x=23x=23 ΠΈ x=4x=4, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅.
Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ 3.19 ΠΡΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π³ΠΎΡΠΈΠ·ΠΎΠ½ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π½Π° x = 2/3 ΠΈ x = 4.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3,32
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΈ
ΠΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ° Π½Π° ΠΎΡΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ tt ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ s(t)=tt2+1.s(t)=tt2+1. ΠΠ°ΠΊΠΎΠ²Π° Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ΅Π»Π°?
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ v(0)=sβ²(0),v(0)=sβ²(0), Π½Π°ΡΠ½Π΅ΠΌ Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ sβ²(t)sβ²(t), ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ :
Ρ β²(t)=1(t2+1)β2t(t)(t2+1)2=1βt2(t2+1)2.sβ²(t)=1(t2+1)β2t(t) (t2+1)2=1βt2(t2+1)2.
ΠΠΎΡΠ»Π΅ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ v(0)=1.v(0)=1.
ΠΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ-ΠΏΡΠΎΠΏΡΡΠΊΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠ½ΠΊΡ 3.

ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ xx, Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ f(x)=4×2β3x+2f(x)=4×2β3x+2 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ, ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ y=2x+3.y=2x+3 .
Π‘ΡΡΠ΄Π΅Π½ΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡ
Π’ΡΠΈΠ±ΡΠ½Ρ Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ-1
ΠΠ²ΡΠΎΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»ΡΠ½ΡΠ΅ Π³ΠΎΠ½ΠΊΠΈ Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ-1 ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΠ²Π»Π΅ΠΊΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ²Π»Π΅ΠΊΠ°ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π·ΡΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ. ΠΠΈΠ·Π°ΠΉΠ½Π΅ΡΡ ΡΡΠ°ΡΡ Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ-1 Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ ΠΎΠ±Π΅ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΡΡ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ Π½Π° ΡΡΠΈΠ±ΡΠ½Π°Ρ Π²ΠΎΠΊΡΡΠ³ ΡΡΠ°ΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΈΡ Π·ΡΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π°Π²ΡΠΎΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»ΡΠ½ΡΠ΅ Π³ΠΎΠ½ΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΠΎΠΏΠ°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ, ΠΈ ΡΠΎΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π±Π΅Π·ΠΎΠΏΠ°ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π’ΡΠΈΠ±ΡΠ½Ρ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡΡΡΡ ΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π·ΡΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Π²Π΅ΡΠ³Π°Π»ΠΈΡΡ ΠΎΠΏΠ°ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π² ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΏΠΎΡΠ΅ΡΠΈ Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ ΡΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π°Π²ΡΠΎΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»Π΅ΠΌ (ΡΠΈΡ. 3.20).
Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ 3.20 Π’ΡΠΈΠ±ΡΠ½Π° ΡΡΠ΄ΠΎΠΌ Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΡΠΎΠΉ Circuit de Barcelona-Catalunya, ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΡΠ°ΠΌ, Π³Π΄Π΅ Π·ΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠΌ Π½ΠΈΡΠ΅Π³ΠΎ Π½Π΅ ΡΠ³ΡΠΎΠΆΠ°Π΅Ρ.
**********
ΠΠ΅Π·ΠΎΠΏΠ°ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½Π° Π½Π° ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ
. ΠΡΠ»ΠΈ Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π½Π΅Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Π΄Π»ΠΈΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄ Π²Ρ
ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π² ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡ, Π°Π²ΡΠΎΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠ·Π½ΡΡΡ Ρ Π³ΠΎΠ½ΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΡΡ. ΠΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΊ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΎΠΌΡ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅Π΄Π»ΡΠ΅Ρ Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅Π»Ρ. ΠΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡΡΡ ΠΏΠΎΡΠ΅ΡΡΠ΅Ρ ΡΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΌΠ°ΡΠΈΠ½Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡΡΡ Π²ΡΠ»Π΅ΡΠ΅ΡΡ Ρ ΡΡΠ°ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π³ΠΎΠ½ΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΡΡ.
ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Π²Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅ Π½ΠΎΠ²ΡΡ ΡΡΠ°ΡΡΡ Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ-1. ΠΠ΄ΠΈΠ½ ΡΡΠ°ΡΡΠΎΠΊ ΠΏΡΡΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ f(x)=x3+3×2+xf(x)=x3+3×2+x (ΡΠΈΡ. 3.21). Π’Π΅ΠΊΡΡΠΈΠΉ ΠΏΠ»Π°Π½ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅Ρ ΡΡΡΠΎΠΈΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΡΡΠΈΠ±ΡΠ½ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ ΠΈ Π²ΠΎΠΊΡΡΠ³ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡΠ°. ΠΠ»Π°Π½ΠΈΡΡΠ΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄Π½ΠΈΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ» ΡΡΠΈΠ±ΡΠ½Ρ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡΡΡΡ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ (β1,9,2.8).(β1.9,2.8). ΠΡ Ρ ΠΎΡΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ, ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ Π»ΠΈ ΡΡΠ° Π»ΠΎΠΊΠ°ΡΠΈΡ ΠΎΠΏΠ°ΡΠ½ΠΎΡΡΡ Π΄Π»Ρ Π·ΡΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΏΠΎΡΠ΅ΡΡΠ΅Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»Ρ Π½Π°Π΄ Π°Π²ΡΠΎΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»Π΅ΠΌ.
Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ 3.21 (a) ΠΠ΄ΠΈΠ½ ΡΡΠ°ΡΡΠΎΠΊ Π±Π΅Π³ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π΄ΠΎΡΠΎΠΆΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ f(x)=x3+3×2+x.f(x)=x3+3×2+x. (b) ΠΠ΅ΡΠ΅Π΄Π½ΠΈΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ» ΡΡΠΈΠ±ΡΠ½Ρ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ (β1.9, 2.8).(β1.9, 2.8).
- Π€ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ, ΡΡΠΎ Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ, ΡΠΊΠΎΡΠ΅Π΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ, ΠΏΠΎΡΠ΅ΡΡΡΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»Ρ Π½Π°Π΄ ΡΠ²ΠΎΠΈΠΌΠΈ Π°Π²ΡΠΎΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠΈ Π²Ρ
ΠΎΠ΄Π΅ Π² ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅, Π³Π΄Π΅ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π²Π΅Π½ 1.
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ (x,y)(x,y) ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π²ΠΎΠ·Π»Π΅ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡΠ°.
- ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅.
- Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ, ΡΠ³ΡΠΎΠΆΠ°ΡΡ Π»ΠΈ Π·ΡΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ Π² ΡΡΠΎΠΌ ΡΡΠ΅Π½Π°ΡΠΈΠΈ, Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ x -ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, Π³Π΄Π΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Π΅Ρ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ y=2.8.y=2.8. ΠΠ΅Π·ΠΎΠΏΠ°ΡΠ½ΠΎ Π»ΠΈ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΡΡΠ° ΡΠΎΡΠΊΠ° ΡΠΏΡΠ°Π²Π° ΠΎΡ ΡΡΠΈΠ±ΡΠ½Ρ? ΠΠ»ΠΈ Π·ΡΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ Π² ΠΎΠΏΠ°ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ?
- Π§ΡΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΏΠΎΡΠ΅ΡΡΠ΅Ρ ΡΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π½ΡΡΠ΅, ΡΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠ»Π°Π½ΠΈΡΡΡΡ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ? ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΡΠ΅ΡΡΠ΅Ρ ΡΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ (β2,5,0,625).(β2,5,0,625). ΠΠ°ΠΊΠΎΠ² Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅?
- ΠΡΠ»ΠΈ Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΡΠ΅ΡΡΠ΅Ρ ΡΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΎ Π² ΡΠ°ΡΡΠΈ 4, Π·ΡΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ Π² Π±Π΅Π·ΠΎΠΏΠ°ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ?
- Π‘ΠΎΡ ΡΠ°Π½ΠΈΡΡ ΡΠ΅ΠΊΡΡΠΈΠΉ Π΄ΠΈΠ·Π°ΠΉΠ½ ΡΡΠΈΠ±ΡΠ½ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΠΈΠ±ΡΠ½Ρ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΡ?
Π Π°Π·Π΄Π΅Π» 3.3 Π£ΠΏΡΠ°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΡ
ΠΠ»Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ ΡΠΏΡΠ°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ fβ²(x)fβ²(x) Π΄Π»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
106.
f(x)=x7+10f(x)=x7+10
107.
f(x)=5×3βx+1f(x)=5×3βx+1
108.
f(x)=4×2β7xf(x)=4×2β7x
109.
f(x)=8×4+9×2β1f(x)=8×4+9×2β1
110.
f(x)=x4+2xf(x)=x4+2x
111.
f(x)=3x(18×4+13x+1)f(x)=3x(18×4+13x+1)
112.
f(x)=(x+2)(2×2β3)f(x)=(x+2)(2×2β3)
113.
f(x)=x2(2×2+5×3)f(x)=x2(2×2+5×3)
114.
f(x)=x3+2×2β43f(x)=x3+2×2β43
115.
f(x)=4×3β2x+1x2f(x)=4×3β2x+1×2
116.
f(x)=x2+4×2β4f(x)=x2+4×2β4
117.
f(x)=x+9×2β7x+1f(x)=x+9×2β7x+1
ΠΠ»Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ
ΡΠΏΡΠ°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ T(x)T(x) ΠΊ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅. ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠΉΡΠ΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ.
118.
[T] y=3×2+4x+1y=3×2+4x+1 Π² (0,1)(0,1)
119.
[T] y=2×2+1y=2×2+1 Π² (1,3)(1,3)
120.
[T] y=2xxβ1y=2xxβ1 Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ (β1,1)(β1,1)
121.
[T] y=2xβ3x2y=2xβ3×2 Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ (1,β1)(1,β1)
ΠΠ»Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ ΡΠΏΡΠ°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f(x)f(x) ΠΈ g(x)g(x) ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ x.x. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ h(x).h(x).
122.
h(x)=4f(x)+g(x)7h(x)=4f(x)+g(x)7
123.
Ρ(Ρ )=x3f(Ρ )Ρ(Ρ )=x3f(Ρ )
124.
h(x)=f(x)g(x)2h(x)=f(x)g(x)2
125.
h(x)=3f(x)g(x)+2h(x)=3f(x)g(x)+2
ΠΠ»Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ ΡΠΏΡΠ°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ f(x)f(x) ΠΈ g(x)g(x) ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ ΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ, ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΠΌΠΈ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅. ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠΉΡΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΡΡ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ Π΄Π»Ρ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΠ° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ .
Ρ Ρ | 11 | 22 | 33 | 44 |
Ρ(Ρ )Ρ(Ρ ) | 33 | 55 | β2β2 | 00 |
Π³(Ρ )Π³(Ρ ) | 22 | 33 | β4β4 | 66 |
f'(x)f'(x) | β1β1 | 77 | 88 | β3β3 |
Π³'(Ρ )Π³'(Ρ ) | 44 | 11 | 22 | 99 |
126.
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ hβ²(1)hβ²(1), Π΅ΡΠ»ΠΈ h(x)=xf(x)+4g(x).h(x)=xf(x)+4g(x).
127.
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ hβ²(2)hβ²(2), Π΅ΡΠ»ΠΈ h(x)=f(x)g(x).h(x)=f(x)g(x).
128.
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ hβ²(3)hβ²(3), Π΅ΡΠ»ΠΈ h(x)=2x+f(x)g(x).h(x)=2x+f(x)g(x).
129.
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ hβ²(4)hβ²(4), Π΅ΡΠ»ΠΈ h(x)=1x+g(x)f(x).h(x)=1x+g(x)f(x).
Π ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ ΡΠΏΡΠ°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠΉΡΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΉ ΡΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡ.
130.
ΠΡΡΡΡ h(x)=f(x)+g(x).h(x)=f(x)+g(x). ΠΠ°ΠΉΡΠΈ
- Ρ'(1),Ρ'(1),
- Ρ'(3),Ρ'(3) ΠΈ
- Ρ'(4).Ρ'(4).
131.
ΠΡΡΡΡ h(x)=f(x)g(x).h(x)=f(x)g(x). ΠΠ°ΠΉΡΠΈ
- Ρ'(1),Ρ'(1),
- Ρ'(3),Ρ'(3) ΠΈ
- Ρ'(4).Ρ'(4).
132.
ΠΡΡΡΡ h(x)=f(x)g(x). h(x)=f(x)g(x). ΠΠ°ΠΉΡΠΈ
- Ρ'(1),Ρ'(1),
- Ρ'(3),Ρ'(3) ΠΈ
- Ρ'(4).Ρ'(4).
ΠΠ»Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ ΡΠΏΡΠ°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ
- ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ f'(a),f'(a) ΠΈ
- Π½Π°ΡΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f(x)f(x) ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ x=a.x=a.
133.
[Π’] f(x)=2×3+3xβx2,a=2f(x)=2×3+3xβx2,a=2
134.
[Π’] f(x)=1xβx2,a=1f(x)=1xβx2,a=1
135.
[Π’] f(x)=x2βx12+3x+2,a=0f(x)=x2βx12+3x+2,a=0
136.
[Π’] f(x)=1xβx2,a=β1f(x)=1xβx2,a=β1
137.
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ f(x)=2×3+4×2β5xβ3f(x)=2×3+4×2β5xβ3 Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ x=β1.x=β1.
138.
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ f(x)=x2+4xβ10f(x)=x2+4xβ10 ΠΏΡΠΈ x=8. x=8.
139.
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ f(x)=(3xβx2)(3βxβx2)f(x)=(3xβx2)(3βxβx2) ΠΏΡΠΈ x= 1.Ρ =1.
140.
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΡ Π½Π° Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ f(x)=x3f(x)=x3 ΡΠ°ΠΊΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠΎΡΠΊΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ xx, ΡΠ°Π²Π½ΡΡ 6.
141.
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΠΊΡ P(3,3)P(3,3) ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ f(x)=6xβ1.f(x)=6xβ1.
142.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Π²ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π½Π° Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ f(x)=x3+x2βxβ1f(x)=x3+x2βxβ1, Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ
- ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ Π³ΠΎΡΠΈΠ·ΠΎΠ½ΡΠ°Π»ΡΠ½Π°
- ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ β1,β1.
143.
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ, ΡΡΠΎ f(1)=5,fβ²(1)=3f(1)=5,fβ²(1)=3 ΠΈ fβ³(1)=β6.fβ³(1) =-6.
144.
ΠΠ²ΡΠΎΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»Ρ, Π΄Π²ΠΈΠΆΡΡΠΈΠΉΡΡ ΠΏΠΎ Π°Π²ΡΠΎΡΡΡΠ°Π΄Π΅ Ρ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΠΏΡΠΎΠ΅Ρ
Π°Π» s(t)=t3β6t2+9ts(t)=t3β6t2+9t ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ² Π·Π° tt ΡΠ΅ΠΊΡΠ½Π΄.
- ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ Π² ΡΠ΅ΠΊΡΠ½Π΄Π°Ρ , ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π°Π²ΡΠΎΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° 0.
- ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΡΡΠΊΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Π²ΡΠΎΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»Ρ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½Π° 0.
145.
[T] Π‘Π΅Π»ΡΠ΄Ρ, ΠΏΠ»ΡΠ²ΡΡΠ°Ρ ΠΏΠΎ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, ΠΏΡΠΎΡΠ»Π° s(t)=t2t2+2s(t)=t2t2+2 ΡΡΡΠΎΠ² Π·Π° tt ΡΠ΅ΠΊΡΠ½Π΄.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ΅Π»Π΅Π΄ΠΊΠΈ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ½Π° ΠΏΡΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ 3 ΡΠ΅ΠΊΡΠ½Π΄Ρ.
146.
ΠΠΎΠΏΡΠ»ΡΡΠΈΡ Π² ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΎΠ½Π°Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ½ΡΡ ΠΊΠ°ΠΌΠ±Π°Π» Π² ΠΡΠ»Π°Π½ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌ ΠΎΠΊΠ΅Π°Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ P(t)=8t+30,2t2+1, P(t)=8t+30,2t2+1, Π³Π΄Π΅ tt ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ΡΡΡ Π² Π³ΠΎΠ΄Π°Ρ .
- ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠΎΠΏΡΠ»ΡΡΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΌΠ±Π°Π».
- ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅ P'(10)P'(10) ΠΈ ΠΊΡΠ°ΡΠΊΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠΏΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΉΡΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ.
147.
[T] ΠΠΎΠ½ΡΠ΅Π½ΡΡΠ°ΡΠΈΡ Π°Π½ΡΠΈΠ±ΠΈΠΎΡΠΈΠΊΠ° Π² ΠΊΡΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΠΊΠ΅ tt ΡΠ°ΡΠΎΠ² ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ C(t)=2t2+tt3+50,C(t)=2t2+tt3+50, Π³Π΄Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ΡΡΡ ΠΠ Π² ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°Ρ Π½Π° Π»ΠΈΡΡ ΠΊΡΠΎΠ²ΠΈ.
- ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ C(t).
C(t).
- ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ t=8,12,24,t=8,12,24 ΠΈ 36,36.
- ΠΡΠ°ΡΠΊΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΠΈΡΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅ΡΠ΅ ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²Π° ΡΠ°ΡΠΎΠ².
148.
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π·Π°ΡΡΠ°Ρ ΠΊΠ½ΠΈΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ·Π΄Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Π° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ C(x)=x3+2x+3×2, C(x)=x3+2x+3×2, Π³Π΄Π΅ x β ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΊΠ·Π΅ΠΌΠΏΠ»ΡΡΠΎΠ² ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ Π² ΡΡΡΡΡΠ°Ρ , Π° C β ΡΡΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡΡ ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ Π² Π΄ΠΎΠ»Π»Π°ΡΠ°Ρ . ΠΡΠ΅Π½ΠΈΡΠ΅ Cβ²(2)Cβ²(2) ΠΈ ΠΎΠ±ΡΡΡΠ½ΠΈΡΠ΅ Π΅Π³ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
149.
[T] Π‘ΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ Π²ΡΠ΅ΠΌΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ³ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΡΡΡΠΎΠ½Π° ΡΠΈΠ»Π° FF ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΡΠ΅Π»Π°ΠΌΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΡ m1m1 ΠΈ m2m2 ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ F=Gm1m2d2,F=Gm1m2d2, Π³Π΄Π΅ GG β Π³ΡΠ°Π²ΠΈΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½Π°Ρ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½Π°Ρ, Π° dd β ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠ΅Π»Π°ΠΌΠΈ.
- ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ G, m1 ΠΈ m2 G, m1 ΠΈ m2 ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΠ»Ρ FF Π½Π° ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΈ d.d.
- ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΠ»Ρ FF Ρ Π³ΡΠ°Π²ΠΈΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠΉ G=6,67Γ10-11G=6,67Γ10-11 ΠΠΌ2/ΠΊΠ³2, ΠΠΌ2/ΠΊΠ³2 Π½Π° Π΄Π²ΡΡ
ΡΠ΅Π»Π°Ρ
ΠΌΠ°ΡΡΠΎΠΉ 1000 ΠΊΠ³ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ Π½Π° ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΈ 10 ΠΌ Π΄ΡΡΠ³ ΠΎΡ Π΄ΡΡΠ³Π°.
6.3 ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ | ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠΈΠΉ 6.2 ΠΡΠ»ΠΈΡΠΈΠ΅ ΠΎΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏΠΎΠ² | Π‘Π»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΉ 6.4 Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ |
6.3 ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ (EMCH7)
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈΠ· ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏΠΎΠ² ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅Ρ Π΄Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΎΡΠΈΠ±ΠΈΡΡΡΡ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠΎΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏΡ Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ», ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠΏΡΠΎΡΠ°ΡΡ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ
ΠΡΠ»ΠΈΡΠΈΠ΅ ΠΎΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏΠΎΠ² Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΌ:
\(Π΅\Π²Π»Π΅Π²ΠΎ(Ρ \Π²ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ)=Ρ \)
- 9{3}\)
\(Π΅\Π²Π»Π΅Π²ΠΎ(Ρ \Π²ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ)=\ΡΡΠ°ΠΊΡΠΈΡ{1}{Ρ }\)
\(Π΅\Π²Π»Π΅Π²ΠΎ(Ρ \Π²ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ)=-\ΡΡΠ°ΠΊΡΠΈΡ{2}{Ρ }\)
ΠΠ°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ:
\(Π΅\Π²Π»Π΅Π²ΠΎ(Ρ \Π²ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ)\) \({f}’\Π²Π»Π΅Π²ΠΎ(Ρ \Π²ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ)\) \(Ρ \) 9{3}\) \(\frac{1}{x}\) \(-\frac{2}{x}\) - ΠΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ Π»ΠΈ Π²Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ? 9{n-1}, \text{ Π³Π΄Π΅ } n \in \mathbb{R}
\text{ ΠΈ } n \ne 0.
\]
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΡ ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ.
\[\frac{d}{dx}\left[k\right]= 0\]ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΡ, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π½Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½Π°Ρ, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
\[\frac{d}{dx}\left[k \cdot f\left(x\right) \right]=k \frac{d}{dx}\left[ Π΅\Π²Π»Π΅Π²ΠΎ(Ρ \Π²ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ) \Π²ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ]\]ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠΌΠΌΡ ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ .
\[\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]=\frac{d}{dx}\left[f\left(x \ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎ) \right] + \frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]\]ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΠ°Π·Π½ΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ .
\[\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right) – g\left(x\right)\right]=\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right) \right] – \frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]\] 9{\ Π³ΠΈΠ΄ΡΠΎΡΠ°Π·ΡΡΠ²Π° {3} {2}}} \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ{Π²ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*}ΠΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ:
- ΠΡΠ»ΠΈ Π² Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΠ΅ Π½Π΅ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ, ΡΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄Π»Ρ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°ΡΠΈΠΈ.
ΠΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠΈΠ΅ Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏΠΎΠ²:
- ΠΡΠ»ΠΈ Π² Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΠ΅ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ
ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏΠΎΠ². 9{2}-5x+6}{x-2}\\
& = \ Π³ΠΈΠ΄ΡΠΎΡΠ°Π·ΡΡΠ² {(Ρ
-3)(Ρ
-2)}{Ρ
-2}\\
& = Ρ
-3\\
f'(x) & = \text{1}
\end{align*}
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ \({f}’\left(y\right)\), Π΅ΡΠ»ΠΈ \(f\left(y\right)=\sqrt{y}\).
{-\frac{1}{2}}\\ & = \frac{1}{2\sqrt{y}} \end{Π²ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*} 9{2}} \end{align*}
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ \(\frac{dy}{dx}\), Π΅ΡΠ»ΠΈ \(x=2y+3\).
Π‘Π΄Π΅Π»Π°ΡΡ \(y\) ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΌΠ΅ΡΠΎΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ \(y\) ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ \(Ρ \).
\Π½Π°ΡΠ°ΡΡ{Π²ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°ΡΡ*} y & = \frac{1}{2}x – \frac{3}{2} \\ \ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ \frac{dy}{dx}& = \frac{1}{2} \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ{Π²ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*} 9{\ Π³ΠΈΠ΄ΡΠΎΡΠ°Π·ΡΡΠ²Π° {3} {2}}} \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ{Π²ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*}
ΠΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠΈΠΉ
6.
2 ΠΡΠ»ΠΈΡΠΈΠ΅ ΠΎΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏΠΎΠ²
ΠΠ³Π»Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π‘Π»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΉ
6.4 Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ
2.1: ΠΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ β ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° LibreTexts
- ΠΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π΅ ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅
- Π‘ΠΎΡ ΡΠ°Π½ΠΈΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ PDF
- ΠΠ΄Π΅Π½ΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΎΡ ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΡ
- 4299
- ΠΡΡΡΡ ΠΠΎΠ»ΠΊΠΈΠ½Ρ, ΠΡΠ²ΠΈΠ΄ ΠΡΡΠΈΠ½ ΠΈ Π‘ΡΠΈΠ²Π΅Π½ Π¨Π»ΠΈΠΊΠ΅Ρ
- ΠΠΎΡΡΠ΄Π°ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΡΠ½ΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈΡΠ΅Ρ ΠΡΠ°Π½Π΄-ΠΡΠ»Π»ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ScholarWorks @ ΠΠΎΡΡΠ΄Π°ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΡΠ½ΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈΡΠ΅Ρ ΠΡΠ°Π½Π΄-ΠΡΠ»Π»ΠΈ
- ΠΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡ Π°Π»ΡΡΠ΅ΡΠ½Π°ΡΠΈΠ²Π½ΡΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ?
- ΠΠ°ΠΊ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ ΡΡΡΡΠΊΡΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ \(f (x)\), ΡΡΠΎΠ±Ρ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄Π»Ρ \(f'(x)\)? 9ΠΠΊΡ\)?
- ΠΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ \(y = f (x)\), ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ \(y = k f (x)\), Π³Π΄Π΅ \(k\) – ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΠ°?
- ΠΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ \(y = f (x)\) ΠΈ \(y = g(x)\), ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ \(y = f (x) + g(x)\) ?
Π¦Π΅Π»ΠΈ ΠΎΠ±ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ
Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΌΡ ΡΡΡΠ΅ΠΌΠΈΠΌΡΡ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΡ ΠΈΠ΄Π΅ΠΈ, ΠΏΠΎΡΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌΠΈ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΠΌΠΈ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ:
Π Π³Π»Π°Π²Π΅ 1 ΠΌΡ ΡΠ°Π·ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Π»ΠΈ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΌΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ \(f’\) ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ \(f\) ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅Ρ ΠΌΠ³Π½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ \(f\) ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊ \(x\), Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ \(y = f (x)\) ΠΏΡΠΈ Π»ΡΠ±ΠΎΠΌ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ \(x\). ΠΠ° ΡΠ΅Π³ΠΎΠ΄Π½ΡΡΠ½ΠΈΠΉ Π΄Π΅Π½Ρ ΠΌΡ ΡΠΎΡΡΠ΅Π΄ΠΎΡΠΎΡΠΈΠ»ΠΈΡΡ Π³Π»Π°Π²Π½ΡΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ Π½Π° ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠΏΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ, Π² ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ΠΊΡΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π² ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ΅Π΄Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ Π·Π½Π°ΡΠΈΠΌΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ. Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅, ΠΌΡ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π»ΠΈΡΡ Π½Π° ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.
Π ΡΡΠΎΠΉ Π³Π»Π°Π²Π΅ ΠΌΡ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ
\[f'(x) = \lim_{hβ0} f (x + h) β f (x) h ,\]
ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΊ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ°Π±Π»ΠΎΠ½Π°ΠΌ ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡΡ Π½Π°ΠΌ Π±ΡΡΡΡΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄Π»Ρ \(f'(x)\) Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄Π»Ρ \(f (x)\) Π±Π΅Π· Π½Π΅ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π°. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΌΡ ΡΠΆΠ΅ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ \(f (x) = x\), ΡΠΎ ΠΎΡΡΡΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ \(f'(x) = 1\). Π₯ΠΎΡΡ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ²Π΅ΡΠ΄ΠΈΡΡ ΡΡΠΎ, ΠΌΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΡΠΎ Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ \(f (x)\) ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ Ρ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ΠΎΠΌ 1 ΠΏΡΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ \(x\).
ΠΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· Π½Π°ΡΠΈΡ ΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ β ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΡΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ 9.2\), ΡΡΠΎ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΡΡ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· \(f'(x)\), ΠΈ ΠΌΡ ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ \(f'(x) = 2x\). ΠΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ Π΄ΡΠΌΠ°Π΅ΠΌ ΠΎΠ± ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ \(y\) ΠΈ \(x\), ΠΌΡ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ \(y\) ΠΏΠΎ \(x\) ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»ΠΎΠΌ
\[\ frac { d y } { d x }\]
, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΌΡ ΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ Β«dee-y dee-xΒ». ΠΡΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΈΠ· ΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°ΠΊΡΠ°, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π° Ρ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ΠΎΠΌ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ \(\frac {\Delta y} {\Delta x}\). ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ Ρ ΠΎΡΡ ΠΌΡ ΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ \(\frac {\Delta y} {\Delta x}\) ΠΊΠ°ΠΊ Β«ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ \(y\) ΠΏΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ \(x\)Β», Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»Π° \(\frac { d y } { d x }\), ΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΡΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ», Π° Π½Π΅ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ 92\), Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° \(\frac { d y } { d x }=2x\).
ΠΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΌΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½Ρ Π½ΠΎΡΠ°ΡΠΈΠΈ \(\frac { d y } { d x }\) Π΄Π»Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄Π°ΡΠΈ ΠΈΠ½ΡΡΡΡΠΊΡΠΈΠΈ Π²Π·ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΎΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΠΏΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.
{ 2 } \right] = 2 x \). 9{ 2 } }.\]
Π Π΄Π°Π»ΡΠ½Π΅ΠΉΡΠ΅ΠΌ ΠΌΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΡΡ Π½Π°Π΄ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π°ΡΠ΅Π³ΠΎ Π½Π°Π±ΠΎΡΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π±ΡΡΡΡΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ
ΠΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΠ΅, ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΈ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
ΠΠΎΠΊΠ° ΡΡΠΎ ΠΌΡ Π·Π½Π°ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π΄Π»Ρ Π΄Π²ΡΡ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΡ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΎΠ² ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ: ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΈ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. ΠΠ»Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ \(f (x) = c\) β ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΡΠΎ Π΅Π΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ Π³ΠΎΡΠΈΠ·ΠΎΠ½ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ Ρ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΠΌ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ΠΎΠΌ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, \(\frac {d} {d x} [c] = 0\). ΠΠΎΠ΄ΡΡΠΎΠΆΠΈΠΌ ΡΡΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ. 9{nβ1}\).
ΠΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΉ ΡΠ°Π· ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠΈΠΌΡΡ ΠΊ ΡΠ°Π·ΠΌΡΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡΠΌ ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΉ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π΅ΡΠ΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΡΠΈΠΏ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π½Π°ΠΌ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½Π°. ΠΠΎΠΊΠ° ΠΌΡ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π±Π΅Π· ΠΎΠ±ΡΡΡΠ½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ; ΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ, ΠΏΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ, Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΈΠ· ΡΠΏΡΠ°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π°, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΡ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠΈΠΌΡΡ Ρ Π³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΡΡΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΏΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ, Π² ΠΏΡΠ΅Π΄Π²Π°ΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΠΏΡΠ°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΈ 2.
2.
ΠΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
ΠΠΊΡ\). ΠΠ°ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ», ΡΡΠΎ ΡΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΡΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.Π‘Π»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅ ΡΠΏΡΠ°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡ Π²Π°ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ΅Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΡ ΡΠΈΠΏΠΎΠ² ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΡΠΏΠΎΠΌΡΠ½ΡΡΡΡ Π²ΡΡΠ΅.
Activity \(\PageIndex{1}\)
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠΉΡΠ΅ ΡΡΠΈ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡΡ Π²ΡΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. ΠΠ»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΠΎΠΌΠ΅ΡΠΈΠ² ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π΅Π΅ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²Π°ΠΌ Π΄Π°Π½Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ \(h(z)\), Π²Ρ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Β«\(h ‘(z) =\)Β» ΠΈΠ»ΠΈ Β«\(\frac { d h } { d z } = \) Β» ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°ΡΡΡ Π²Π°ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ°. 9{ 3 } }\)
ΠΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΠ΅ ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈ ΡΡΠΌΠΌΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
ΠΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ, Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ½ΡΡΠ²ΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌΠΈ ΠΌΡ ΡΡΠ°Π»ΠΊΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌΡΡ Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅, Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ, ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΡ, ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π² ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ. Π ΡΡΠΎΠΌ ΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ
ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ
ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π°Ρ
ΠΌΡ Π½Π°ΡΡΠΈΠΌΡΡ Π±ΡΡΡΡΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΠΊ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΌΡ Ρ
ΠΎΡΠ΅Π»ΠΈ Π±Ρ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π·ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΠΊ 92 β 9,\]
, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΡΠΎΡΡΠΎΡΡΡΡ ΠΈΠ· ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΡ ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΈ ΡΡΠΌΠΌ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π΅ΠΉ \(t\). Π‘ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠ΅Π»ΡΡ ΠΌΡ ΡΠ°Π·ΡΠ°Π±Π°ΡΡΠ²Π°Π΅ΠΌ Π΄Π²Π° Π½ΠΎΠ²ΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°: ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΡΠΌΠΌΡ .
ΠΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌ, Ρ Π½Π°Ρ Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ \(y = f (x)\), ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½Π°. ΠΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ \(y = k f (x)\) ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π° Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ? ΠΠ°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΡ \(k\), ΠΌΡ Π²Π΅ΡΡΠΈΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΡΠ³ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π² \(|k|\) ΡΠ°Π· (ΠΈ ΠΎΡΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· \(y = 0\), Π΅ΡΠ»ΠΈ \(k < 0\)). ΠΡΠΎ Π²Π΅ΡΡΠΈΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π»ΠΈΡΠ΅Ρ Π½Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ°, Π΄Π΅Π»Π°Ρ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ \(y = k f (x)\) Π² \(k\) ΡΠ°Π· Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΊΡΡΡΡΠΌ, ΡΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ \(y = f (x)\). Π‘ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π·ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠΎ, ΠΏΠΎ ΡΡΡΠΈ, ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π° ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ \(k\), ΠΌΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ \(k\). Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ 9{β3 }).\]
ΠΠ°Π»Π΅Π΅ ΠΌΡ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ
ΠΎΠ΄ΠΈΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ Π±Π΅ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠΌΠΌΡ Π΄Π²ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. ΠΡΠ»ΠΈ Ρ Π½Π°Ρ Π΅ΡΡΡ \(y = f (x)\) ΠΈ \(y = g(x)\), ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ Π½ΠΎΠ²ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ \(y = (f + g)(x)\), Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠ² Π²ΡΡ
ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ Π΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ Π΄Π²Π΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ: \(( f + g)(x) = f (x) + g(x)\). ΠΡΠΎ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ Π½Π΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΊ ΡΠΎΠΌΡ, ΡΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠΌΠΌΠΎΠΉ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π΄Π²ΡΡ
ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, Π½ΠΎ ΠΈ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠΌΠΌΠΎΠΉ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ΠΎΠ² ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, 3 , ΠΌΡ ΠΏΡΠΈΡ
ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ ΡΡΠΌΠΌ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
: 9{ \ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ } ( Ρ
) \) .
ΠΡΡΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ, ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΡΠΌΠΌ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΡ Π½Π°ΠΌ, ΡΡΠΎ Β«ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠΌΠΌΡ Π΅ΡΡΡ ΡΡΠΌΠΌΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Β». ΠΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΡ Π½Π°ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΡΠ°Π·, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ Π±Π΅ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠΌΠΌΡ Π΄Π²ΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±ΡΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌ. ΠΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ
\[y = ( f βg)(x) = f (x)βg(x) \textit{ ΠΊΠ°ΠΊ y} = f (x)+(β1 Β· g (x)),\]
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΡΠΌΠΌ ΠΈ ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡΡ Π½Π°ΠΌ, ΡΡΠΎ
\[\dfrac{d}{dx} [ f (x) + (β1 Β· g(x))] = f ‘(Ρ ) – g ‘(Ρ ),\] 9{ – 4 }.\]
Activity \(\PageIndex{2}\)
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠΉΡΠ΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΡ
, ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΡΡ
ΠΈ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ Ρ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΈ ΡΡΠΌΠΌΡ Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ. ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΌΡ Π΅ΡΠ΅ Π½Π΅ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ
ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ» Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. ΠΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π²Π°ΠΌ, Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, ΠΏΡΠΈΠ΄Π΅ΡΡΡ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Ρ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ, ΠΏΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅ ΡΠ΅ΠΌ Π²Ρ ΡΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΆΠ΅Π»Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. Π ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΏΠΎΠΌΠ΅ΡΠ°ΠΉΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π²Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΡΠ΅, Π΅Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅ΠΌ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ \(f'(x)\), \(h ‘(z)\), \(d r / d t\) ΠΈ Ρ. Π΄. 9{ 2 } – Π° + 12 \)
Π’ΠΎΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ Π½Π°Ρ Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π±ΡΡΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΎΡΡΡΠΏΠ°, ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡΡΠΈΠ΅ Π½Π°ΠΌ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅, ΠΌΡ Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΉ ΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠ·ΡΠΊ. Π§Π°ΡΡΠΎ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ Β«Π²Π·ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ \(f\)Β», ΠΌΡ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ Β«Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ \(f\)Β». ΠΡΠ° ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠ° ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π° Ρ ΠΈΠ΄Π΅Π΅ΠΉ Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π΄Π»Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»Π°: Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅, ΠΌΡ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ \(f\) Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ°, ΡΡΠΎ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½ΠΎ Ρ ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ \(f\) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ .
ΠΠΎ ΠΌΠ΅ΡΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ Π²ΡΠ΅ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ ΠΈ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Π΅ΠΌ Ρ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΡΡΠΊΡΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΡΡΡΠ΅ΠΌΠΈΡΡΡΡ ΠΊ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π½ΠΈΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΉ ΠΊΠ°ΡΡΠΈΠ½Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΌΡ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ. ΠΠ΄Π΅ΡΡ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ±ΡΠΈΡ
Π½Π°Π±Π»ΡΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΡ
Π½Π° ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°Ρ
, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Ρ Π½Π°Ρ Π΅ΡΡΡ Π΄ΠΎ ΡΠΈΡ
ΠΏΠΎΡ. ΠΠΎ-ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ
, ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ, ΠΈ ΡΡΠΎ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΈΡΡ
ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ 9{ z } \ln ( 2 ) \), ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ.
ΠΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, Ρ ΠΎΡΡ Π² Π½Π°ΡΡΠΎΡΡΠ΅Π΅ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΌΡ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ Π°ΠΊΡΠ΅Π½Ρ Π½Π° ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π±ΡΡΡΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ» Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π±Π΅Π· Π½Π΅ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π°, ΠΌΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ Π±ΡΡΡ ΡΠ²Π΅ΡΠ΅Π½Ρ, ΡΡΠΎ Π½Π΅ ΡΠΏΡΡΠΊΠ°Π΅ΠΌ ΠΈΠ· Π²ΠΈΠ΄Ρ ΡΠΎΡ ΡΠ°ΠΊΡ, ΡΡΠΎ ΡΠΎΡ ΡΠ°Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π²ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΌΡ ΡΠ°Π·ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Π»ΠΈ Π² Π³Π»Π°Π²Π΅ 1. Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΡΠ°Π·, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ, ΡΡΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅Ρ ΠΌΠ³Π½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π² Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ. Π ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΌ ΡΠΏΡΠ°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π°ΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π΅ΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΡΠΎ ΡΠ°Π·ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Π½Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Ρ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌΠΈ ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π²ΡΠΌΠΈ ΠΏΠ΅ΡΡΠΏΠ΅ΠΊΡΠΈΠ²Π°ΠΌΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΌΡ ΠΈΠ·ΡΡΠ°Π»ΠΈ Π² Π³Π»Π°Π²Π΅ 1.
Activity \(\PageIndex{3}\)
Π ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ
Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΏΡΠ΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π΅ΡΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ Π΄Π»Ρ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ° Π½Π° ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π²ΡΠ΅ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΡ ΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΡ
. {t} + 32\), Π³Π΄Π΅ \(t\) ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ΡΡΡ Π² Π΄Π½ΡΡ
. 9{ 2 } – a + 12 \) Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅, Π³Π΄Π΅ \(a = β1\).
Π Π΅Π·ΡΠΌΠ΅
Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΌΡ ΡΡΠΎΠ»ΠΊΠ½ΡΠ»ΠΈΡΡ ΡΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌΠΈ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΈΠ΄Π΅ΡΠΌΠΈ:
- ΠΠ»Ρ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ \(y = f (x)\) ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²ΡΡΠ°Π·ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΎΡ f Π² Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ : \(f ‘(x)\), \(\ frac {d f } {d x } \) , \(\ frac {d y } {d x } \) ΠΈ \(\ frac {d } {d x } [ f ( x ) ] \). 9{ \ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ } ( Ρ ) \].
________
1 Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΌΡ Π½Π΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΠΌ Β«Π΄ΠΈ-ΠΈ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ Π΄ΠΈ-ΠΈΠΊΡΒ».
2 ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ², ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.
3 ΠΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΡΠΌΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.
ΠΡΠ° ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΠ° ΠΏΠΎΠ΄ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ 2.1: Elementary Derivative Rules ΡΠ°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ Π»ΠΈΡΠ΅Π½Π·ΠΈΠ΅ΠΉ CC BY-SA 4.0 ΠΈ Π±ΡΠ»Π° ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π½Π°, ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½Π° ΠΈ/ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΡΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π° ΠΡΡΡΡ ΠΠΎΠ»ΠΊΠΈΠ½ΡΠΎΠΌ, ΠΡΠ²ΠΈΠ΄ΠΎΠΌ ΠΡΡΠΈΠ½ΠΎΠΌ ΠΈ Π‘ΡΠΈΠ²Π΅Π½ΠΎΠΌ Π¨Π»ΠΈΠΊΠ΅ΡΠΎΠΌ (ScholarWorks @Grand Valley State University) ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΠΉ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅Π½Ρ. ΡΡΠΎ Π±ΡΠ»ΠΎ ΠΎΡΡΠ΅Π΄Π°ΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ Π² ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠΈ ΡΠΎ ΡΡΠΈΠ»Π΅ΠΌ ΠΈ ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΠ»Π°ΡΡΠΎΡΠΌΡ LibreTexts; ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½Π°Ρ ΠΈΡΡΠΎΡΠΈΡ ΡΠ΅Π΄Π°ΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π΄ΠΎΡΡΡΠΏΠ½Π° ΠΏΠΎ Π·Π°ΠΏΡΠΎΡΡ.
- ΠΠ°Π²Π΅ΡΡ
- ΠΡΠ»Π° Π»ΠΈ ΡΡΠ° ΡΡΠ°ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎΠΉ?
- Π’ΠΈΠΏ ΠΈΠ·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ
- Π Π°Π·Π΄Π΅Π» ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΠ°
- ΠΠ²ΡΠΎΡ
- ΠΠΊΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅
- ΠΠΈΡΠ΅Π½Π·ΠΈΡ
- CC BY-SA
- ΠΠ΅ΡΡΠΈΡ Π»ΠΈΡΠ΅Π½Π·ΠΈΠΈ
- 4,0
- ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΡ TOC
- Π½Π΅Ρ
- Π’Π΅Π³ΠΈ
- ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ
- ΡΠΈΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ
- ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ@https://activecalculus.
org/single
- ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΡΠΌΠΌΡ
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° – Π§ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°ΡΠΈΠΈ? ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΠΏΠΎΠ² ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. ΠΡΠ΅ ΡΡΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π² ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠΌ Π²ΡΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ ΠΈΠ· Β«ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏΠ°Β» (ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ). ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π° Π·Π°ΡΡΡΠ΄Π½Π΅Π½ΠΎ, ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°, Π²ΡΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΈΠ· ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π°, ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ Π΄Π»Ρ ΡΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠ° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°ΡΠΈΠΈ.
ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ Ρ ΠΈΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠΌΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°ΠΌΠΈ.
1. | Π§ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°? |
2. | ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°ΡΠΈΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ |
3. | ΠΠ°ΠΆΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° |
4. | Π’Π°Π±Π»ΠΈΡΠ° ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ» Π΄Π΅ΡΠΈΠ²Π°ΡΠΈΠ²ΠΎΠ² |
5.![]() | Π§Π°ΡΡΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΡΠ΅ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΡ ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°Ρ |
Π§ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°?
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π² ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΉ ΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΠΏΠΎΠ² ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΡΠ°ΠΊΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈ Ρ. Π΄. ΠΠ΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°:
- Π‘ΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ
- ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΡΠΌΠΌΡ/ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ
- ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠ°
- Π§Π°ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ
- Π¦Π΅ΠΏΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ
ΠΡΠ΅ ΡΡΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΈΠ· ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f(x) (ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· f'(x)) Π·Π°Π΄Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ:Β f'(x) = limβββ [ f(x + h) – f(x)] / h. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y = f(x) Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ f'(x) (ΠΈΠ»ΠΈ) dy/dx (ΠΈΠ»ΠΈ) d/dx (f(x)) ΠΈ Π΄Π°Π΅Ρ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π² ΡΠΈΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅. ΠΠ½ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ. ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΈΠ·ΡΡΠΈΠΌ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ» Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ
ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π°Ρ
.
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°ΡΠΈΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ» Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΠΏΠΎΠ² ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. ΠΡΠ»ΠΈ Π²Ρ Ρ ΠΎΡΠΈΡΠ΅ ΡΠ²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°, Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡΠ΅ Π½Π° ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΡΡ ΡΡΡΠ»ΠΊΡ.
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ β ΡΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΠΎΠΉ, Π° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ β ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ. Π ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠΌ Π΅ΡΡΡ Π΄Π²Π° ΡΠΈΠΏΠ° ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ: e x ΠΈ a x , Π³Π΄Π΅ Β«eΒ» β ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΠΉΠ»Π΅ΡΠ°, Π° Β«aΒ» β Π»ΡΠ±Π°Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΠ°. ΠΡ ΡΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ.
- ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ e x ΡΠ°Π²Π½Π° d/dx (e x ) = e x .
- ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ x ΡΠ°Π²Π½Π° d/dx (a x ) = a x ln a.
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ (ΡΡΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ). Ρ. Π΅. ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄ log a x (ΠΈΠ»ΠΈ) ln x. ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π½Π°Ρ
ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
ΡΡΠΈΡ
Π΄Π²ΡΡ
Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅:
- ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ log a x is, d/dx (log a x) = 1 / (x ln a)
- ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ ln x ΡΠ°Π²Π½Π° d/dx (ln x) = 1/x.
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
Π£ Π½Π°Ρ Π΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ: sin, cos, tan, csc, sec ΠΈ cot. ΠΠΎΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ.
- ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ sin x ΡΠ°Π²Π½Π° d/dx (sin x) = cos x
- ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ cos x ΡΠ°Π²Π½Π° d/dx (cos x) = – sin x
- ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ tan x is, d/dx (tan x) = sec 2 x
- ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ csc x is, d/dx (csc x) = – csc x cot x
- ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ sec x ΡΠ°Π²Π½Π° d/dx (sec x) = sec x tan x
- ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ cot x is, d/dx (cot x) = – csc 2 x
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ 6 ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ
ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ
Π²ΡΡΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΠΌ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌ. ΠΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ
ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΠ Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°ΡΡ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ
ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ
/ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ
ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. ΠΠΎΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°:
- ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° d/dx (sin -1 x) = 1/β(1-x 2 )
- ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΡΠ°Π²Π½Π° d/dx (cos -1 x) = -1/β(1-x 2 )
- ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ°, d/dx (ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ -1 Ρ ) = 1/(1 + Ρ 2 )
- ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΡΠ°, d/dx (csc -1 x) = -1/ [x β(x 2 – 1) ], x β 1, -1, 0
- ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΊ, d/dx (ΡΠ΅ΠΊ -1 x) = 1/[x β(x 2 – 1) ], x β 1, -1, 0
- ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΡΠΎΠ²Π°ΡΠΊΠΈ, d/dx (ΠΊΡΠΎΠ²Π°ΡΠΊΠ° -1 Ρ ) = -1/(1 + Ρ 2 )
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ 6 Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ
6 ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌ. ΠΠ°ΠΆΠ΄Π°Ρ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, Π·Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ Π±ΡΠΊΠ²Π° Β«hΒ», ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅ΠΉ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ. ΠΠΎΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ.
- ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ sh x ΡΠ°Π²Π½Π° d/dx (sinh x) = ch x
- ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ch x is, d/dx (ch x) = sh x
- ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° x is, d/dx (tanh x) = sech 2 x
- ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ csch x is, d/dx (csch x) = – csch x coth x
- ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ sech x is, d/dx (sech x) = – sech x tanh x
- ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ coth x is, d/dx (coth x) = – csch 2 x
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
ΠΠΌΠ΅ΡΡΡΡ ΡΠ½ΠΎΠ²Π° 6 ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡ 6 Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌ. ΠΠΎΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ .
- ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ sin -1 x is, d/dx (sinh -1 x) = 1/β(1+x 2 )
- ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ch -1 x is, d/dx (ch -1 x) = 1/β(x 2 -1), x>1
- ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ tanh -1 x is, d/dx (tanh -1 x) = 1/(1-x 2 ), |x|<1
- ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ csch -1 x is, d/dx (csch -1 x) = -1/ [ |x| β(1-x 2 ) ], x β 0
- ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ sech -1 x is, d/dx (sech -1 x) = -1/[xβ(1-x 2 ) ], 0 < x < 1
- ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ coth -1 x is, d/dx (coth -1 x) = 1/(1-x 2 ), |x|>1
ΠΠ°ΠΆΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°
ΠΠ΄Π΅ΡΡ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ
, ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΡΠΌΠΌ, ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ Ρ. Π΄., ΠΈ ΡΡΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ
ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΉ Π²ΡΡΠ΅ΡΠΏΠΎΠΌΡΠ½ΡΡΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°.
Π‘ΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
Π‘ΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΡ d/dx (x n ) = n Β· x n – 1 . ΠΠΎΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°.
- d/dx (x 2 ) = 2x 2 – 1 = 2x
- Π΄/Π΄ (Π³ 5 ) = 5Π³ 5 – 1 = 5Π³ 4
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ Π΄Π²Π΅ Π²Π΅ΡΠΈ:
- ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ x ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅Π±Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° 1, Ρ. Π΅. d/dx (x) = 1,
ΠΡΠΎ ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ, ΡΡΠΎ
d/dx (x) = d/dx (x 1 ) = 1 x 1-1 = 1x 0 = 1, - ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ°Π²Π½Π° 0, Ρ. Π΅. d/dx (c) = 0, , Π³Π΄Π΅ ‘c’ β ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΠ° (ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ ).
ΠΡΠΎ ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ, ΡΡΠΎ
d/dx (c) = d/dx (c x 0 ) = c d/dx (x 0 ) = c (0 x 0-1 ) = 0
ΠΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΌΡ Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π»ΠΈ Π·Π΄Π΅ΡΡ Β«ΡΒ» Π²Π½Π΅ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠΈΡ? ΠΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ
ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΈΠ·-Π·Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°.
ΠΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠ΅ ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
ΠΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠ΅ ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΡ, ΡΡΠΎ d/dx (c f(x)) = c d/dx (f(x)) . ΠΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΠ° ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΡΠΎ ΡΡΠ° ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΠ° Π½Π΅ ΡΡΠ°ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π² ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠ΅ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΈ Π²ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:
- d/dx (2x 3 ) = 2 d/dx(x 3 ) = 2(3x 2 ) = 6x 2
- d/dx (4x) = 4 d/dx (x) = 4 d/dx (x) = 4(1) = 4.
ΠΠΎΡ Π΄Π²Π° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΈΠ·Π±Π΅ΠΆΠ°ΡΡ ΠΏΡΡΠ°Π½ΠΈΡΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΠ° ΡΡΠ°ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π² Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ.
- d/dx (4 + x) = d/dx (4) + d/dx (x) = 0 + 1 = 0
- Π΄/Π΄Ρ (4Ρ ) = 4 Π΄/Π΄Ρ (Ρ ) = 4(1) = 4
ΠΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΌΡ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ d/dx Π½Π° 4 ΠΈ x Π½Π° d/dx (4 + x) Π·Π΄Π΅ΡΡ? ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π½Π° ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, ΡΡΠΎΡΡΠ΅Π΅ Π·Π° ΡΡΠΈΠΌ.
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΡΠΌΠΌΡ/ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
ΠΡΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π³Π»Π°ΡΠΈΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ ΠΏΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌ Π² ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΡΡΠΌΠΌΡ/ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ. Ρ. Π΅. d/dx (f(x) Β± g(x)) = d/dx (f(x)) Β± d/dx (g(x)). ΠΠΎΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°.
- Π΄/Π΄Ρ (Ρ 3 + Ρ 2 ) = d/dx (x 3 ) + d/dx (x 2 ) = 3x 2 + 2x
- d/dx (x 3 – x 2 ) = d/dx (x 3 ) – d/dx (x 2 ) = 3x 2 – 2x
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. Π’Π°ΠΌ Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΎ d/dx (f(x)) Β· g(x)) = f(x) d/dx (g(x)) + g(x) d/dx (f(x)). ΠΡΡΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ, ΡΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ (uv)’ = u v’ + v u’. ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΡ ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π½Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Ρ .
- d/dx (x sin x) = x d/dx (sin x) + sin x d/dx (x) = x cos x + sin x (1) = x cos x + sin x
- d/dx (x 2 ln x) = x 2 d/dx (ln x) + ln x d/dx (x 2 ) = x 2 (1/x) + ln x (2x ) = Ρ + 2Ρ ln Ρ
Π§Π°ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
Π§Π°ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ, Π³Π΄Π΅ ΠΈ ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ, ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ. {2}}\). ΠΡΡΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ, ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ
Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΡ d/dx (u/v) = (v u’ – u v’) / v 2 . ΠΠΎΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ².
- d/dx (x / sin x) = [sin x d/dx (x) – x d/dx (sin x)] / (sin x) 2 = (sin x – x cos x) / sin 2 Ρ .
- d/dx (x / ln x) = [ln x d/dx (x) – x d/dx (ln x)] / (ln x) 2 = (ln x – x(1/x)) / ( ln x) 2 = (ln x – 1) / (ln x) 2 .
Π¦Π΅ΠΏΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
Π¦Π΅ΠΏΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π»Ρ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΠΈΠ»ΠΈ, Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ, ΡΠ΅ΠΏΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π²Π½ΡΡΡΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π΄Π»Ρ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°ΡΠΈΠΈ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΠΊΠ°ΠΊ sin (x 2 ), ln (2x + 1), tan (ln x) ΠΈ Ρ. Π΄. Π¦Π΅ΠΏΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π³Π»Π°ΡΠΈΡ: d/dx (f(g(x)) = f ‘(g(x)) Β· g'(x ΠΡΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΌΡ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ», ΠΏΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½Π΅ΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:
- d/dx (sin (x 2 )) = cos (x 2 ) Β· d/dx (x 2 ) = 2x cos (x 2 )
- d/dx (tan (ln x)) = sec 2 (ln x) Β· d/dx (ln x) = sec 2 (ln x)/x 9{-1}(1)\right]}\) .
- ΠΠ°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π²Π΅Π½ f ‘(x)
- ΠΠ°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈΒ β 1/f ‘(x)
- ΠΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
- ΠΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ
- ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ
- ΠΠ΅ΡΠ²Π½ΠΎΠ΅ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅
- ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΡΠΌΠΌΡ: (u + v) ‘= u’ + v’
- ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ: (u – v) ‘= u’ – v’
- ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ: (uv)’ = u v’ + v u’
- ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ: (u/v)’ = (vu’ – uv’)/v 2
- d/dx (e x ) = e x
- d/dx (e x ) = a e x
- (sin x)’ = cos x
- (cos x)’ = – sin x
- (ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ Ρ )’ = 9 ΡΠ΅ΠΊ.1337 2 Ρ
- (csc x)’ = – csc x Π΄Π΅ΡΡΠΊΠ°Ρ ΠΊΡΠΎΠ²Π°ΡΠΊΠ° x
- (ΡΠ΅ΠΊ Ρ )’ = ΡΠ΅ΠΊ Ρ ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ Ρ
- (ΠΊΡΠΎΠ²Π°ΡΠΊΠ° x)’ = – csc 2 x
- ΠΠ°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠΎΠ² ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠΎΠ².
- ΠΠΎΠΈΡΠΊ ΠΊΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ.
- ΠΠ°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π³ΠΈΠ±Π°.
- ΠΠ°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ³Π½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ.
- ΠΠ°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»ΠΎΠ² Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π½ΠΈΡ/ΡΠ±ΡΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
- d/dx (log x) = 1 / (x ln 10)
- d/dx (ln x) = 1/x
- $A$ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΡΠ΅ΠΌ Π²Π·ΡΡΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ , ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ .
- $B$ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΡΠ΅ΠΌ Π²Π·ΡΡΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ , ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ Π² Π²Π΅ΡΡ Π½Π΅ΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ.
- $\ln x$ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° $x>0$.
- $\cos x>0$ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° $\displaystyle -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$.
- Π‘ΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
- ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΡ (Π’Π΅ΠΎΡΠΈΡ)
- ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΡ (ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ)

Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ f -1 (1), ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ f -1 (1) = x β 1 = f(x ) β 1 = x 3 – 7 β x 3 = 8 β x = 2.
ΠΡΠ°ΠΊ, f -1 (1) = 2 … (2)
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ f ‘(x) = 3x 2 – 0 = 3x 2 .
Π’ΠΎΠ³Π΄Π° f'(f -1 (1)) = f'(2) (ΠΈΠ· (2))
= 3(2) 2
= 12
ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡ ΡΡΠΎ Π² (1):
(f -1 )(1) = 1/12.
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΠΈ
ΠΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ y = f(x) β ΡΡΠΎ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΊΠ°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅. ΠΠΎΡΠΌΠ°Π»Ρ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ β ΡΡΠΎ ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½Π°Ρ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ. ΠΠ°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Ρ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.
Π’Π°Π±Π»ΠΈΡΠ° ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ» Π΄Π»Ρ Π΄Π΅ΡΠΈΠ²Π°ΡΠΈΠ²ΠΎΠ²
Π ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄Π»Ρ Π΄Π΅ΡΠΈΠ²Π°ΡΠΈΠ²ΠΎΠ².
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π² x | ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ |
---|---|
Ρ (ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½Π°Ρ) | 0 |
Ρ | 1 |
x Π½Π΅Ρ | Ρ Π½-1 |
Π΅ Ρ | Π΅ Ρ |
Π° Ρ | Π² x Π² |
Π±ΡΠ΅Π²Π½ΠΎ Π° x | 1/(Ρ Π²ΠΏ) |
Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Ρ | 1/Ρ |
sin x | cos Ρ |
ΡΠΎΠ· Ρ | – Π³ΡΠ΅Ρ Ρ |
ΠΆΠ΅Π»ΡΠΎΠ²Π°ΡΠΎ-ΠΊΠΎΡΠΈΡΠ½Π΅Π²ΡΠΉ x | ΡΠ΅ΠΊ 2 x |
csc x | – csc x Π΄Π΅ΡΡΠΊΠ°Ρ ΠΊΡΠΎΠ²Π°ΡΠΊΠ° x |
ΡΠ΅ΠΊ x | ΡΠ΅ΠΊ x ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ x |
ΠΠ΅ΡΡΠΊΠ°Ρ ΠΊΡΠΎΠ²Π°ΡΠΊΠ° x | – csc 2 Ρ |
Π³ΡΠ΅Ρ -1 x | 1/β(1-x 2 ) |
ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ -1 Ρ | -1/β(1-x 2 ) |
ΡΡΠΆΠ΅Π²Π°ΡΠΎ-ΠΊΠΎΡΠΈΡΠ½Π΅Π²ΡΠΉ -1 x | 1/(1 + Ρ 2 ) |
csc -1 x | -1/ [Ρ β(Ρ 2Β – 1) ] |
ΡΠ΅ΠΊ -1 x | 1/ [Ρ β(Ρ 2Β – 1) ] |
Π΄Π΅ΡΡΠΊΠ°Ρ ΠΊΡΠΎΠ²Π°ΡΠΊΠ° -1 x | -1/(1 + Ρ 2 ) |
ΠΠΎΡ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ° Ρ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡΡ Π½Π°Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ.
ΠΠ°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° | ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°ΡΠΈΠΈ | 9{-1}(Π°)\ΡΠΏΡΠ°Π²Π°]}\)
---|
βΠ‘ΡΡΠ»ΠΊΠΈ ΠΏΠΎ ΡΠ΅ΠΌΠ΅:
Π§Π°ΡΡΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΡΠ΅ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΡ ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°Ρ
Π§ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ?
Π§Π΅ΡΡΡΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° :
ΠΠ°ΠΊ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ?
ΠΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ 1/2. Ρ. Π΅. βx ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ x 1/2 , ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠΎ. ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΡΠΎ, d/dx (βx) = d/dx (x 1/2 ) = (1/2) x -1/2 = 1/(2βx).
Π§ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°ΡΠΈΠΈ?
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ (ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ) Π² ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΈ β ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ . Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΈ Ρ. Π΄. ΠΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, Ρ Π½Π°Ρ Π΅ΡΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΈ Ρ. Π΄.
Π§ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ e?
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°, Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°ΡΡΠΈΠ΅ Β«eΒ», ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅:
Π§ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠΈΠ³Π³Π΅Ρ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ» Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°ΡΠΈΠΈ?
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π² ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ β ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ
ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
ΠΎΡ sin x, cos x, tan x, csc x, sec x ΠΈ cot x. ΠΠ½ΠΈ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ²Ρ:
ΠΠ°ΠΊΠΎΠ²Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»?
ΠΠΎΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ» Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ.
Π§ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°?
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°, Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°ΡΡΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ:
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ΅Ρ ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ β Krista King Math
ΠΠ°ΠΊ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠΈΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠ° Ρ Π΄Π²ΡΡ Π΄ΠΎ ΡΡΠ΅Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ β ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ Π½Π°ΠΌ Π²Π·ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΠ°ΠΌΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π²ΡΡ
Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΡ Π½Π°ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΠΏΠ°
???y=f(x)g(x)???
Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π²ΡΠ³Π»ΡΠ΄Π΅ΡΡ ΡΠ°ΠΊ:
???\frac{dy}{dx}=f\prime(x)g(x)+f(x)g\prime(x)???
ΠΠΎ ΡΡΠΎ Π΄Π΅Π»Π°ΡΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π½Π°ΡΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ΅ΠΌ Π΄Π²ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ? Π ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ°ΡΠΈΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π½Π°ΡΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ
???y=f(x)g(x)h(x)???
, ΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π²ΡΠ³Π»ΡΠ΄ΠΈΡ ΡΠ°ΠΊ:
???\frac{dy}{dx}=f\prime(x)g(x)h(x)+f(x)g\prime(x)h( Ρ )+f(x)g(x)h\prime(x)???
ΠΡΠΈΠ²Π΅Ρ! Π― ΠΡΠΈΡΡΠ°.
Π― ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΠΊΡΡΡΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡ Π²Π°ΠΌ Π² ΡΡΠ΅Π±Π΅ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅. Π§ΠΈΡΠ°ΡΡ Π΄Π°Π»Π΅Π΅.
ΠΡ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π±ΡΠ»Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΠ΅Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, Π° Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π±ΡΠ»Π° ΡΡΠΌΠΌΠΎΠΉ ΡΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΡΠ»ΠΈ Π±Ρ Π½Π°ΡΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π±ΡΠ»Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π±ΡΠ»Π° Π±Ρ ΡΡΠΌΠΌΠΎΠΉ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ.
ΠΠ°ΠΊ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡΠ΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ Π±Π΅ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΌΡ Π±Π΅ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π·Π° ΡΠ°Π·, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ Π½Π° Π΄Π²Π΅ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΠΈΡΡ
ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π±ΡΡΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΌ, ΠΌΡ Π±Π΅ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΎΡ ???f(x)??? ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ Π΅Π΅ Π½Π° ???g(x)??? ΠΈ ???h(x)???, ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΠ² ΡΡΠΈ Π΄Π²Π° ΠΊΠ°ΠΊ Π΅ΡΡΡ. ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ ΠΌΡ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ ΠΊ ΡΡΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΎΡ ???g(x)???, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ Π½Π° ???f(x)??? ΠΈ ???Ρ(Ρ
)??? ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ Π΅ΡΡΡ. ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠΈΡΡ ΡΡΡ ΡΡ
Π΅ΠΌΡ, Π²Π·ΡΠ² ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΈ ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΠ² ΠΎΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π² ΠΏΠΎΠΊΠΎΠ΅, Π΄Π»Ρ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π±ΡΠ»ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΎ Π² Π½Π°ΡΠ΅ΠΉ ΠΈΡΡ
ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ΅.
ΠΠ»ΡΠ΄Ρ Π½Π° ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ
???y=f(x)g(x)h(x)j(x)???
ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°Π²Π½Π°
???\frac{dy}{dx}=f\prime(x)g(x)h(x)j(x)+f(x)g\prime(x)h( Ρ )j(x)+f(x)g(x)h\prime(x)j(x)+f(x)g(x)h(x)j\prime(x)???
ΠΠΈΠ΄Π΅ΠΎΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ΅Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
9{13}\ΡΠΏΡΠ°Π²Π°)\cdot\Big[12\sin{4x}\cos{5x}??????+2\sin{4x}\cos{5x}???
???+x\sin{4x}\cos{5x}???
???-5x\sin{4x}\sin{5x}???
???+4x\cos{4x}\cos{5x}\Big]???
ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΠ΅ Π΄ΠΎΡΡΡΠΏ ΠΊ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΌΡ ΠΊΡΡΡΡ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ 1
ΠΠ°ΡΠ°ΡΡ
ΠΠ·ΡΡΠ°ΠΉΡΠ΅ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΡΠΡΠΈΡΡΠ° ΠΠΈΠ½Π³ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°, ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½, ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΠΊΡΡΡ, ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°, ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ , ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅, ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ , ΡΡΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ΅Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
0 Π»Π°ΠΉΠΊΠΎΠ²ΠΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ: ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ
ΠΠΎΠ³Π΄Π° Π΄Π΅Π»ΠΎ Π΄ΠΎΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ Π΄ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ , ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΡΠΌΠΏΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π·Π²ΡΡΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΊ: Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠΉ , ΠΈ Π² ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΡΡΡ ΠΊ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ , ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π½Π°Ρ , ΠΈ Π² ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ Π΅Π΅ ΡΠ΅ΠΊΡΡΡΠΈΠ²Π½ΠΎ Β β ΡΠ°Π·Π±ΠΈΠ² Π΅Π΅ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ Π΅Π΅ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΠ΅ Β ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΡΠ΄ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ» .
Π ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅, ΡΠ΅ ΠΈΠ· Π½Π°Ρ, ΠΊΡΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π°-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΠΈΡΠ°Π» ΡΡΠ΅Π±Π½ΠΈΠΊ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌΡ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Ρ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π» ΠΊΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, ΡΠΆΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡ Ρ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ½ΡΡΠ²ΠΎΠΌ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π½Π΅ ΡΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠΈ, ΠΈΠ· ΡΡΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»:
ΠΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ
ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ $cf$ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅ $I$ ΠΈ $f$ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° Π½Π° $I$, ΡΠΎ $\displaystyle (cf)’=cf’$ Π½Π° $I$. {r-1}$ Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ
$x \in \mathbb{R}$ . Π ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° $r$ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ $1$ (ΠΈ 9{r-1}$ Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ
$x \ne 0$.
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΡΠΌΠΌ
ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ $f+g$ ΠΊΠΎΡΡΠ΅ΠΊΡΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π΅ $I$, ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ $f$ ΠΈ $g$ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΏΠΎ Π½Π° $I$, ΡΠΎ $\displaystyle (f+ g)’ = f’ + g’$ Π½Π° $I$.
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ
ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ $f-g$ ΠΊΠΎΡΡΠ΅ΠΊΡΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π΅ $I$, ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ $f$ ΠΈ $g$ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ -Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠΈ Π½Π° $I$, ΡΠΎ $\displaystyle (f-g)’ = f’ β g’$ Π½Π° $I$.
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ
ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ $fg$ ΠΊΠΎΡΡΠ΅ΠΊΡΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π΅ $I$, Π³Π΄Π΅ $f$ ΠΈ $g$ ΡΠ°Π²Π½Ρ 9{-1}(x)]} \qquad (x \in I) \end{align*}
(ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΌ. Π² ΡΡΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΡΡΠ²Π΅ ΠΏΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΎΠ± ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ )
ΠΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΡΡΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ΅ΠΌ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°Π±ΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π»ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ½ΡΡΠ²Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡΠΎΠ»ΠΊΠ½ΡΡΡΡΡ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ ΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π½Π° Π½Π°Ρ ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡΡΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ , ΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠ΅Π³ΠΎ-ΡΠΎ Π΅ΡΠ΅ Π½Π΅ Ρ Π²Π°ΡΠ°Π΅Ρ, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ:
Π ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΡΡΠ΅Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ?
ΠΠ΄Π΅ΡΡ, ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΊΠ°Π·ΠΊΠ° Π½Π΅ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ²ΡΡΠ²ΠΎ Π±Π΅Π·ΠΎΡΠ»Π°Π³Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Π΅ΠΌ ΠΈΠ³ΡΠ°ΡΡ Ρ ΠΈΠ΄Π΅Π΅ΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ , Π²ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠΈ Π·Π°ΠΊΠ°Π½ΡΠΈΠ²Π°Ρ ΡΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠ°Π·ΡΠ°Π±Π°ΡΡΠ²Π°Π΅ΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠ΅Π»ΠΈ. g (A+B)$, Π³Π΄Π΅:
ΠΠ° ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅, Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π²ΡΠΈΡΡ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΠ²ΠΎΠΈΡΡ ΠΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ Ρ ΠΎΡΠΎΡΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ ΡΡΠΎ Ρ Π§Π°ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ β ΠΈ ΡΡΠΎ Π½Π΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡ ΡΠΆΠ΅ ΠΎ ΡΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π½ΠΎΠ²ΡΠΉ ΠΌΠΈΡ ΠΎΠ½ ΠΎΡΠΊΡΡΠ²Π°Π΅Ρ Π΄Π»Ρ Π½Π°ΡΠΈΡ ΡΠ°Π½Π°ΡΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ !
Π’ΡΠ°Π΄ΠΈΡΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ , Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΠ»ΠΎ Π±Ρ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ±Π΅Π³Π½ΡΡΡ ΠΊ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ , Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ base-e Β ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Π‘ ΠΏΠΎΡΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ ΠΎΠ±Π° ΡΡΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Ρ
ΠΎΠ΄Π° Π² ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠΌ ΡΡΡΠ°ΡΠ΅Π»ΠΈ β Π½Π΅ ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ΡΠΌΠ΅ΡΡΠ½Ρ ΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΠΎ ΡΠ΅Π±Π΅, Π° ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠΆΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ»ΠΈΡΡ Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄Π° ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ. x$ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π·Π΄Π΅ΡΡ: 9{\, ββ\ln x}$, ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ:
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· $I$ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ, ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡΠ΅Π΅ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΠΌ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌ. Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ
\begin{align*}I \stackrel{df}{=} \left\{ x \in \mathbb{R_+} \mathrel{\Big|} -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} \,\, (\mathrm{mod \ } 2\pi ) \right\} \end{align*}
{\, ββ\ln x}}$ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ. ΠΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ ΠΊΡΡΡΠΎ. ΠΠ΅ΡΠ½ΠΎ? ΠΠ°. ΠΡΠΎ Π±ΡΠ»ΠΎ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π±ΠΎΡΠΎΠΌ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»ΠΎΠ², Π½ΠΎ, Π½Π°Π΄Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΈΠ»Π»ΡΡΡΡΠΈΡΡΠ΅Ρ, ΠΏΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΡΠ΅Π½Π½ΡΠΌ Π°ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΌ Π² Π½Π°ΡΠ΅ΠΌ Π°ΡΡΠ΅Π½Π°Π»Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ» . Π ΡΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΡΠΎΡ ΠΏΠΎΠ΄Ρ
ΠΎΠ΄ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡΡΡ ΠΈΠ·Π»ΠΈΡΠ½ΠΈΠΌ , Π΄Π»Ρ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ½ΠΎ Π²ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡΡ
Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π²Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Π½ΡΡΡΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡΡ ΠΎΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΡΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΡΠΌ.
ΠΠΎΠΌΠΈΠΌΠΎ Π°Π²ΡΠΎΠΌΠ°ΡΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠ° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ β ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½ΠΈΡΡΠ΅Ρ Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΡΡΠ°Π΄ΠΈΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌΠΈ β ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ²ΠΎΡΠΈΡΡ ΡΡΠ΄Π΅ΡΠ° Ρ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π·ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠ°Π½Π΅Π΅ Π±ΡΠ»ΠΈ ΡΠ»ΠΈΡΠΊΠΎΠΌ ΠΏΡΠ³Π°ΡΡΠΈΠΌΠΈ / ΡΡΠΎΠΌΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ β Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΠ΅, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π½Π°ΠΌ ΡΡΡΠ΄Π½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π² ΡΠΈΠΏΠΈΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΡΠ΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌΡ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Ρ. π
Π Π»ΡΠ±ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΎΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΠΌΡΡ Π½Π° ΡΡΠΎΠΌ ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ° Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΡΠΈΠΌ. ΠΠ»Ρ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ ΠΊΠ°ΡΡΠΈΠ½Ρ Π²ΠΎΡ ΠΠ½ΡΠ΅ΡΠ°ΠΊΡΠΈΠ²Π½Π°Ρ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ° Π‘ΡΠΌΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΌΡ ΠΎΠ±Π½Π°ΡΡΠΆΠΈΠ»ΠΈ Π΄ΠΎ ΡΠΈΡ ΠΏΠΎΡ:
1111111111111111111111111111111111111111111111. ΠΠΠΠ ΠΠΠΠΠ¬ΠΠ«Π ΠΠ ΠΠΠΠΠ¬ΠΠ«Π |
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΡΠΌΠΌΡ |
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ |
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ | 2 9{\, ββ\ln x} )} \right]β = $ Π²Ρ Π·Π½Π°Π΅ΡΠ΅
ΠΠΎΡΠΎΡΠ΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡ, Π½Π΅ΡΠΌΠΎΡΡΡ Π½Π° ΡΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ, ΠΎΠ½ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΌΠΎΡΠ½ΡΠΌ ΠΈΠ½ΡΡΡΡΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π² Π½Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ.