Правила умножения матрицы на матрицу: Умножение матрицы на матрицу и умножение матрицы на число

Умножение матрицы на матрицу и умножение матрицы на число

Главная » Линейная алгебра » Умножение матрицы на матрицу и умножение матрицы на число

Автор Ольга Андрющенко На чтение 7 мин. Просмотров 6.7k. Опубликовано 10 октября 2021

Как умножить матрицу на матрицу и как умножить матрицу на число — обсуждаем на примерах с решением и объяснением. Произведение матрицы на число и произведение матрицы на матрицу просто и на примерах.

Содержание

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы на число называется такая матрица , каждый элемент которой равен , то есть, если

,

то

.

Правило умножения матрицы на число

Умножение матрицы на число — есть умножение на это число всех элементов матрицы.

Рассмотрим умножение матрицы на число на примере:

Пример 1

Умножьте матрицу на число .

Решение: Чтобы умножить матрицу на число 2, нужно умножить на это число каждый элемент матрицы. Итак, получим:

.

Пример 2

Найдите матрицу, противоположную матрицу .

Решение: Чтобы найти противоположную матрицу надо умножить исходную матрицу на .

.

Пример 3

Даны матрицы и . Вычислите .

Решение:

.

Умножение матрицы на матрицу

Чтобы умножить матрицу на матрицу необходимо умножать последовательно каждый элемент каждой строки первой матрицы на каждый элемент каждого столбца второй матрицы и сумму этих произведений записать в соответствующем элементе матрицы-произведения.

Давайте рассмотрим умножение матрицы на матрицу на примере. Пусть нам нужно умножить две квадратные матрицы и .

,

Умножением матрицы на матрицу называется матрица:

.

Таким образом, получаем:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Правило умножения матрицы на матрицу

Чтобы получить элемент надо все элементы -й строки матрицы A умножить на соответствующие элементы -го столбца матрицы B и полученные произведения сложить.

Рассмотрим умножение матрицы на матрицу на примерах.

Пример 1

Найдите произведение матриц:

 и .

Решение:

Находим произведение матриц .

Таким образом, для прямоугольных матриц правило умножения матрицы на матрицу такое же, как и для квадратных матриц.

Пример 2

Найдите произведение AB, если

, .

Решение:

.

Мы смогли найти произведение AB, однако, мы не сможем найти произведение BA.

Правила умножения матриц

Не все матрицы можно перемножать, для того, чтобы произведение матриц было возможным, необходимо соблюдение следующих правил:

Умножение матрицы A на матрицу B имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.

В результате умножения двух прямоугольных матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько строк в первой матрице, и столько столбцов, сколько столбцов во второй матрице.

Свойства умножения матриц

Рассмотрим умножение двух матриц и . Найдем произведение и произведение , а затем сравним эти произведения.

;

.

Очевидно, что . Таким образом, для произведения матриц переместительный закон не выполняется. Однако, два других закона умножения, сочетательный закон и распределительный закон выполняются:

 — сочетательный закон умножения,

 — распределительный закон.

Из школьного курса математики известно, что произведение двух отличных от нуля чисел равно отличному от нуля числу. Однако при умножении двух ненулевых матриц можно получить нулевую матрицу, смотрите:

Возьмем две матрицы и . Найдем произведение этих матриц:

Вот такими удивительными свойствами обладает умножение матриц.

Читайте еще статьи про матрицы:

Умножение матрицы на матрицу и умножение матрицы на число

Главная » Линейная алгебра » Умножение матрицы на матрицу и умножение матрицы на число

Автор Ольга Андрющенко На чтение 7 мин. Просмотров 6.7k. Опубликовано 10 октября 2021

Как умножить матрицу на матрицу и как умножить матрицу на число — обсуждаем на примерах с решением и объяснением. Произведение матрицы на число и произведение матрицы на матрицу просто и на примерах.

Содержание

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы на число называется такая матрица , каждый элемент которой равен , то есть, если

,

то

.

Правило умножения матрицы на число

Умножение матрицы на число — есть умножение на это число всех элементов матрицы.

Рассмотрим умножение матрицы на число на примере:

Пример 1

Умножьте матрицу на число .

Решение: Чтобы умножить матрицу на число 2, нужно умножить на это число каждый элемент матрицы. Итак, получим:

.

Пример 2

Найдите матрицу, противоположную матрицу .

Решение: Чтобы найти противоположную матрицу надо умножить исходную матрицу на .

.

Пример 3

Даны матрицы и . Вычислите .

Решение:

.

Умножение матрицы на матрицу

Чтобы умножить матрицу на матрицу необходимо умножать последовательно каждый элемент каждой строки первой матрицы на каждый элемент каждого столбца второй матрицы и сумму этих произведений записать в соответствующем элементе матрицы-произведения.

Давайте рассмотрим умножение матрицы на матрицу на примере. Пусть нам нужно умножить две квадратные матрицы и .

,

Умножением матрицы на матрицу называется матрица:

.

Таким образом, получаем:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Правило умножения матрицы на матрицу

Чтобы получить элемент надо все элементы -й строки матрицы A умножить на соответствующие элементы -го столбца матрицы B и полученные произведения сложить.

Рассмотрим умножение матрицы на матрицу на примерах.

Пример 1

Найдите произведение матриц:

 и .

Решение:

Находим произведение матриц .

Таким образом, для прямоугольных матриц правило умножения матрицы на матрицу такое же, как и для квадратных матриц.

Пример 2

Найдите произведение AB, если

, .

Решение:

.

Мы смогли найти произведение AB, однако, мы не сможем найти произведение BA.

Правила умножения матриц

Не все матрицы можно перемножать, для того, чтобы произведение матриц было возможным, необходимо соблюдение следующих правил:

Умножение матрицы A на матрицу B имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.

В результате умножения двух прямоугольных матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько строк в первой матрице, и столько столбцов, сколько столбцов во второй матрице.

Свойства умножения матриц

Рассмотрим умножение двух матриц и . Найдем произведение и произведение , а затем сравним эти произведения.

;

.

Очевидно, что . Таким образом, для произведения матриц переместительный закон не выполняется. Однако, два других закона умножения, сочетательный закон и распределительный закон выполняются:

 — сочетательный закон умножения,

 — распределительный закон.

Из школьного курса математики известно, что произведение двух отличных от нуля чисел равно отличному от нуля числу. Однако при умножении двух ненулевых матриц можно получить нулевую матрицу, смотрите:

Возьмем две матрицы и . Найдем произведение этих матриц:

Вот такими удивительными свойствами обладает умножение матриц.

Читайте еще статьи про матрицы:

Умножение матриц – объяснение и примеры

Есть $ 3 $ общих операций с матрицами. Это:

• Сложение матриц
• Вычитание матриц
• Умножение матриц

Сложение матриц и вычитание матриц являются простыми операциями. Подробнее о сложении матриц можно прочитать здесь, а о вычитании матриц здесь.

Умножение матриц имеет типы $ 2 $:

• Скалярное умножение
• Умножение матриц

Скалярное умножение не очень сложно и просто. Тем не менее, умножение матриц может быть поначалу немного пугающим. После прочтения этого урока он станет таким же простым, как и другие операции с матрицами.

Давайте взглянем на определение умножения матриц:

Умножение матриц — это операция, которая включает умножение матрицы на скаляр или умножение двух матриц вместе (после выполнения определенных условий).

Этот урок покажет, как умножать матрицы, умножать матрицы $ 2 \times 2 $, умножать матрицы $ 3 \times 3 $, умножать другие матрицы, и смотреть, определено ли умножение матриц, и некоторые свойства умножения матриц.

Как перемножать матрицы

Чтобы перемножить две матрицы вместе, нам сначала нужно убедиться, что количество столбцов 1-й матрицы равно количеству строк 2-й матрицы. Если они не равны , то умножение матриц равно undefined .

Если они равны, мы можем перемножить матрицы $2$ вместе. Полученная матрица будет иметь размерность, равную количеству строк 1-й матрицы и количеству столбцов 2-й матрицы.

Если первая матрица имеет размерность $ a \times b $ , а размерность второй матрицы $ m \times n $, то для умножения матриц определено , число столбцов первой матрицы ($ b $ )  должно равняться количество строк второй матрицы ($m$). Результирующая матрица будет иметь размеры $a\times n$.

Чтобы умножить двух$-матрицы, нам нужно понять скалярное произведение . Рассмотрим две матрицы $ 1 \times 3 $, показанные ниже:

$  \begin{bmatrix} { 1 }  & { 2 } & 1  \end {bmatrix} $

$ \begin{bmatrix} { 2 }  & { 0 } & 4  \end {bmatrix} $

Чтобы взять его скалярное произведение, мы умножаем каждый соответствующий элемент матриц $ 2 $ друг на друга и получаем сумму. Показано ниже:

$ = (1)(2) + (2)(0) + (1)(4) = 2 + 0 + 4 = 6 $

Обратите внимание, что скалярное произведение — это только число! Помните, что для существования скалярного произведения обе матрицы должны иметь одинаковое количество элементов! Следовательно, количество столбцов первой матрицы должно равняться количеству строк второй матрицы, когда мы перемножаем $2$-матрицы. Мы увидим это в ближайшее время.

Шаги для умножения двух матриц

1. Проверить, равно ли количество столбцов первой матрицы количеству строк второй матрицы . Если это так, мы можем выполнить умножение матриц. Если нет, операция undefined . Обратите внимание, что результирующая матрица будет иметь размерность, равную номеру строки первой матрицы и номеру столбца второй матрицы.
2. Возьмем скалярное произведение первой строки первой матрицы на первый столбец второй матрицы. Поместите ответ в первую строку, заполнитель первого столбца результирующей матрицы.
3. Возьмем скалярное произведение 9{th} $ столбец результирующей матрицы.

Как умножать матрицы 2 x 2

Рассмотрим матрицы $ A $ и $ B $, показанные ниже:

$  A = \begin{bmatrix} { 1 }  & { 3 } \\ 1 & { – 2 }  \end {bmatrix} $

$  B = \begin{bmatrix} { 0 }  & { – 3 } \\ 1 & { 1 }  \end {bmatrix} $

Обе матрицы $ A $ и $ B $ $ 2 \times 2 $ матрицы. Мы будем следовать описанным выше шагам, чтобы выполнить умножение между матрицей $A$ и матрицей $B$. Поскольку номер столбца первой матрицы равен номеру строки второй матрицы, мы можем продолжить и выполнить умножение. Процесс показан ниже:

$ A \times B = \begin{bmatrix} { 1 }  & { 3 } \\ 1 & { – 2 }  \end {bmatrix} \times \begin{bmatrix} { 0 } & { – 3 } \\ 1 & { 1 }  \end {bmatrix} $

$ =\begin{bmatrix} { (1)(0) + (3)(1) }  & { (1)(-3 ) + (3)(1) } \\ { (1)(0) + (- 2 )(1)} & { (1)(-3) + (-2)(1) }  \end {bmatrix} $

$ =\begin{bmatrix} { 3 }  & { 0 } \\ { – 2 } & { – 5 }  \end {bmatrix} $

Таким образом,

$ A \times B =\begin{bmatrix} { 3 }  & { 0 } \\ { – 2 } & { – 5 }  \end {bmatrix} $

Процесс умножения матриц $ 3 \times 3 $ аналогичен. Мы рассмотрим это ниже.

Как перемножить матрицы 3 x 3

Рассмотрим матрицы $ A $ и $ B $, показанные ниже:

$  A = \begin{bmatrix} { 1 }  & { 3 } & { – 1 } \\ 1 & { – 2 } & 0 \\ 1 & { – 1 } & 2  \end {bmatrix} $

$  B = \begin{bmatrix} { – 2 }  & { 6 } & { 0 } \\ 1 & { – 5 } & 1 \\ 0 & { – 1 } & { – 4 }  \end {bmatrix} $

Обе матрицы $A$ и $B$ являются матрицами размера $3\times 3$. Мы будем следовать описанным выше шагам, чтобы выполнить умножение между матрицей $A$ и матрицей $B$. Поскольку номер столбца первой матрицы равен номеру строки второй матрицы, мы можем продолжить и выполнить умножение. Процесс показан ниже:

$ A \times B = \begin{bmatrix} { 1 }  & { 3 } & { – 1 } \\ 1 & { – 2 } & 0 \\ 1 & { – 1 } & 2  \ end {bmatrix} \times \begin{bmatrix} { – 2 }  & { 6 } & { 0 } \\ 1 & { – 5 } & 1 \\ 0 & { – 1 } & { – 4 }  \end {bmatrix} $

$ =\begin{bmatrix} { (1)(-2) + (3)(1) + (-1)(0) }  & { (1)(6) + (3)(-5) + (- 1)(-1) } & { (1)(0) + (3)(1) + (-1)(-4) } \\ { (1)(-2) + (-2)(1) + (0)(0) } & { (1)(6) + (-2)(-5) + (0)(-1) } & { (1)(0) + (-2)(1) + (0)(-4) } \\ {(1)(-2) + (-1)(1) + (2)(0)} & { (1)(6) + (-1)(- 5) + (2)(-1) } & {(1)(0) + (-1)(1) + (2)(-4) }  \end {bmatrix} $

$ =\begin{bmatrix} { 1 }  & { – 8 } & { 7 } \\ { – 4 } & { 16 } & { – 2 } \\ { – 3 } & {9} & { – 9 }  \end {bmatrix} $

Таким образом,

$ A \times B =\begin{bmatrix} { 1 }  & { – 8 } & { 7 } \\ { – 4 } & { 16 } & { – 2 } \\ { – 3 } & {9} & { – 9 }  \end {bmatrix} $

Умножение матриц разной размерности

Мы рассмотрели умножение только квадратных матриц (например, $ 2 \times 2 $ матрицы на другую матрица $2\times 2$ и матрица $3\times 3$ с еще одной матрицей $3\times 3$).

Что, если обе перемножаемые матрицы имеют разный порядок?

Не проблема! Просто проверьте , если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы . Если они есть, мы следуем шагам, описанным выше, и умножаем матрицы $2$. Также помните, что результирующая размерность матрицы будет равна $a\times n$, где $a$ — количество строк первой матрицы, а $n$ — количество столбцов второй матрицы . Мы рассмотрим пример позже.

Правила умножения матриц

Мы рассмотрим $ 5 $ свойства умножения матриц. Они приведены в таблице, приведенной ниже ($A$ и $B$ — матрицы $n\times n$, $I$ — единичная матрица $n\times n$, а $0$ — $n\times n$ $ нулевая матрица):

Теперь давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы прояснить наше понимание умножения матриц.

Пример 1

Прокомментируйте, можно ли перемножать следующие матрицы. Если да, то какова будет размерность результирующей матрицы?

1. Матрица $2\times 2$ с другой матрицей $2\times 2$
2. Матрица $1\times 4$ с матрицей $4\times 1$
3. Матрица $3\times 3$ с матрицей $2 \times 3 $ matrix

Решение

Напомним, что если номер столбца первой матрицы равен номеру строки второй матрицы, то две матрицы можно перемножить. Результирующая матрица будет иметь размерность $a\timesb$, где $a$ — количество строк первой матрицы, а $b$ — количество столбцов второй матрицы.

1. Да, обе матрицы можно перемножать и результирующая матрица будет иметь размерность $ 2 \times 2 $.
2. Да, обе эти матрицы можно перемножить, и результирующая матрица будет иметь порядок 1. Это будет матрица $ 1 \times 1$.
3. Нет, эти две матрицы нельзя перемножить, так как количество столбцов первой матрицы ($3$) не равно количеству строк второй матрицы ($2$). Умножение матриц между этими $2$ матрицами не определено.

Пример 2

Умножение матрицы $ A $ и матрицы $ B $, показанных ниже:

$  A = \begin{bmatrix} { 0 }  & { – 3 } \\ 2 & { 0 }  \ end {bmatrix} $

$  B = \begin{bmatrix} { 1 }  & { 1 } \\ 5 & { – 2 }  \end {bmatrix} $

Решение

Обе матрицы $ A $ и $ B $ являются $ 2 \times 2 $ матрицами. Поскольку номер столбца первой матрицы равен номеру строки второй матрицы, мы можем продолжить и выполнить умножение. Процесс показан ниже:

$ A \times B = \begin{bmatrix} { 0 }  & { – 3 } \\ 2 & { 0 }  \end {bmatrix} \times \begin{bmatrix} { 1 } & { 1 } \\ 5 & { – 2 }  \end {bmatrix} $

$ =\begin{bmatrix} { (0)(1) + (-3)(5) }  & { (0)(1 ) + (-3)(-2) } \\ { (2)(1) + (0 )(5)} & { (2)(1) + (0)(-2) }  \end {bmatrix} $

$ =\begin{bmatrix} { -15 }  & { 6 } \\ { 2 } & { 2 }  \end {bmatrix} $

Пример 3

Умножьте матрицу $ \begin{bmatrix} { 3 }  & { 2 } \\ { 1 } & { -4 }  \end {bmatrix} $ на единичную матрицу $ 2 \times 2 $. Какое свойство матричного умножения он иллюстрирует?

Решение

Выполним указанное умножение, используя правила умножения матриц:

$  \begin{bmatrix} { 3 }  & { 2 } \\ { 1 } & { -4 }  \end {bmatrix} \times \begin{ bmatrix} { 1 }  & { 0 } \\ 0 & 1  \end {bmatrix} $

$ =\begin{bmatrix} { (3)(1) + (2)(0) }  & { (3)( 0) + (2)(1) } \\ { (1)(1) + (-4)(0)} & { (1)(0) + (-4)(1) }  \end {bmatrix} $

$ =\begin{bmatrix} { 3}  & { 2 } \\ { 1 } & {-4 }  \end {bmatrix} $

Результирующая матрица равна исходной матрице. Эта задача иллюстрирует мультипликативную идентичность умножения матриц.

Теперь ваша очередь решить несколько задач.

Практические вопросы

1. Прокомментируйте, можно ли умножать следующие матрицы. Если да, то какова будет размерность результирующей матрицы?

   1. Матрица $3\times 1$ с матрицей $1\times 4$
   2. Матрица $4\times 4$ с другой матрицей $4\times 4$
   3. Матрица $2\times 4$ с матрицей $3 \times 4 $ matrix
2. Для двух матриц, показанных ниже, $ AB = BA $ ?

   $  A = \begin{bmatrix} { 1 }  & { 0 } \\ 3 & { 0 }  \end {bmatrix} $

   $  B = \begin{bmatrix} { 1 }  & {-1 } \\ 0 & { 1 }  \end {bmatrix} $

3. Умножить матрицу $C$ и матрицу $D$, показанную ниже:

   $  C = \begin{bmatrix} { 1 }  & { – 4 } & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ -1 & 2 & -1  \end {bmatrix} $

   $  D = \begin{ bmatrix} { 0 }  & 1 & 7\\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & { 0 } & 2  \end {bmatrix} $

1.  

Ответы

1. Напомним, что если номер столбца первой матрицы равен номеру строки второй матрицы, две матрицы можно перемножить. Результирующая матрица будет иметь размерность $a\timesb$, где $a$ — количество строк первой матрицы, а $b$ — количество столбцов второй матрицы.

   1. Да, обе матрицы можно перемножать, и результирующая матрица будет иметь размерность $ 3 \times 4 $.
   2. Да, обе эти матрицы можно перемножить, и результирующая матрица будет иметь порядок 4. Это будет матрица $ 4 \times 4$.
   3. Нет, эти две матрицы нельзя перемножить, так как количество столбцов первой матрицы ($4$) не равно количеству строк второй матрицы ($3$). Умножение матриц между этими $2$ матрицами не определено.
2. Сначала найдем $ AB $:

   $  \begin{bmatrix} { 1 }  & { 0 } \\ 3 & { 0 }  \end {bmatrix} \times \begin{bmatrix} { 1 }  & { -1 } \\ 0 & { 1 }  \end {bmatrix} $

   $ =\begin{bmatrix} { (1)(1) + (0)(0) }  & { (1)(-1) + (0)(1) } \\ { (3)(1) + (0)(0)} & { (3)(-1) + (0)(1) }  \end {bmatrix} $

   $ =\begin{bmatrix} {1}  & {-1} \\ {3} & {-3}  \end {bmatrix} $

   Следовательно,
   $ A \times B =\begin{bmatrix} {1}  & {-1} \\ {3} & {-3}  \end {bmatrix} $

   Теперь найдем $ BA $:

   $  \begin{bmatrix} { 1 }  & { -1 } \\ 0 & { 1 }  \end {bmatrix} \times \begin{bmatrix} { 1 }  & { 0 } \\ 3 & { 0 }  \end {bmatrix} $

   $ =\begin{bmatrix} { (1)(1) + (-1)(3) }  & { (1)(0) + ( -1)(0) } \\ { (0)(1) + (1)(3)} & { (0)(0) + (1)(0) }  \end {bmatrix} $

   $ = \begin{bmatrix} {-2}  & {0} \\ {3} & {0}  \end {bmatrix} $

   Следовательно,
   $ B \times A =\begin{bmatrix} {-2}  & { 0} \\ {3} & {0}  \end {bmatrix} $

   Таким образом, мы видим, что $ AB \neq BA $. Умножение матриц не коммутативно!

    

3. Перемножим две матрицы $ 3 \times 3 $, следуя шагам умножения матриц. Показано ниже:

   $ C \times D = \begin{bmatrix} { 1 }  & { – 4 } & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ -1 & 2 & -1  \end {bmatrix} \times \begin {bmatrix} { 0 }  & 1 & 7\\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & { 0 } & 2  \end {bmatrix} $

   $ =\begin{bmatrix} { (1)(0) + (-4)(1) + (1)(1) }  & { (1)(1) + (-4)(-1) + (1)(0) } & { (1)(7) + (-4)(-1) + (1)(2) } \\ { (1)(0) + (2)(1) + (3)(1) } & { (1)(1) + ( 2)(-1) + (3)(0)} & { (1)(7) + (2)(-1) + (3)(2)} \\ {(-1)(0) + ( 2)(1) + (-1)(1)} & {(-1)(1) + (2)(-1) + (-1)(0)} & {(-1)(7) + (2)(-1) + (-1)(2) }  \end {bmatrix} $

   $ =\begin{bmatrix} {-3}  & {5} & 13 \\ 5 & {-1} & {11} \\ 1 & {-3} & {-11}  \end {bmatrix} $

   Таким образом,

   $ C \times D =\begin{bmatrix} {-3}  & {5} & 13 \\ 5 & {-1} & {11} \\ 1 & {-3} & {- 11}  \end {bmatrix} $

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Умножение матриц: определение и правила

Клэр хочет знать, что произойдет, если она возьмет вектор, который начинается в начале координат и заканчивается в (1, 1), и повернет его против часовой стрелки 90 ^или о происхождении. А также, что происходит с вектором, когда она увеличивает его в 3 раза.

Это можно сделать физически, нарисовав вектор на графическом листе, обведя его на кальке и повернув кальку 90 ^o против часовой стрелки. Для масштабирования мы могли бы использовать линейку, чтобы увеличить вектор в три раза.

Но есть более простой способ сделать это с помощью умножения матриц!

Мы представляем вектор, который начинается в начале координат (0, 0) и заканчивается в (1, 1), матрицей порядка 2 × 1, где первая строка задает x-компоненту, а вторая строка задает y-компоненту как 11.

Чтобы повернуть этот вектор на 90 ^o против часовой стрелки, мы просто умножаем матрицу вращения, которая равна 0-110, на матрицу 11, и это дает нам результирующий вектор. Для масштабирования вектора мы просто умножаем матрицу 11 на скаляр 3.

В этой статье мы узнаем, как выполнить умножение двух матриц и как умножить матрицу на скаляр.

Как умножить матрицу на скаляр?

Чтобы умножить скаляр на матрицу, мы просто умножаем каждый элемент матрицы на скаляр.

В приведенном выше примере, когда нам нужно масштабировать вектор с коэффициентом 3, нам нужно было умножить скаляр 3 на матрицу 11. Для этого нам просто нужно умножить каждый элемент матрицы на скаляр. В этом случае результатом снова будет матрица 33.

В общем, если нам нужно умножить скаляр, скажем, u, на матрицу A=abcd, мы получим

uA=u×abcd=u×au× бу×ку×д.

1. Умножив скаляр 4 на матрицу 363340, мы получим 4×34×63×64×34×44×0=12241812160.

2. Если матрица A=123494567, то 2A=2×12×22×32×42×92×42×52×62×7=2468188101214.

Как перемножить две матрицы?

В отличие от сложения и вычитания матриц, мы не требуем, чтобы матрица имела один и тот же порядок для выполнения умножения матриц. Однако количество столбцов первой матрицы должно быть равно количеству строк второй матрицы. Это условие совместимости, которое необходимо проверить для выполнения матричного умножения.

Для выполнения умножения двух матриц проверка совместимости заключается в том, что количество столбцов первой матрицы должно быть равно количеству строк второй матрицы.

Матрицы A=124864304,B=356 имеют порядок 3×3 и 1×3 соответственно.

Мы можем умножить матрицу B на A, записанную как BA, так как количество столбцов B и количество строк A одинаковы.

Однако мы не можем умножить A на B, записанное как AB, так как количество столбцов в A равно 3, а количество строк в B равно 1, что не одно и то же.

Также важно отметить, что AB≠BA. Это отличается от умножения целых чисел, где 2×3=3×2=6. При умножении матриц важен порядок, в котором перемножаются матрицы. Как видно из этого примера, мы можем сделать BA, но не AB.

Рассмотрим две матрицы A и B с порядками m×n и p×q. Предположим, мы хотим перемножить их, где A — первая матрица, а B — вторая матрица, тогда

• по тесту на совместимость, количество столбцов в A = количеству столбцов в B, то есть n = p;
• порядок матрицы AB будет равен количеству строк в A × количеству столбцов в B, то есть m × q;
• Элемент в строке i и столбце j матрицы AB находится путем суммирования произведения всех элементов строки i матрицы A на соответствующие элементы столбца j матрицы B.

Рассмотрим две матрицы A=24 ,В=57.

Порядок этих матриц 1×2 и 2×1 соответственно.

Шаг 1: Выполните тест на совместимость.

Мы можем найти AB, поскольку количество столбцов в A = количеству строк в B = 2.

Шаг 2: Найдите порядок матрицы произведения.

Матрица AB будет иметь то же количество строк, что и A, и такое же количество столбцов, как B. В этом случае порядок AB будет 1×1.

Шаг 3: Найдите элементы матрицы произведения

.

AB=2457=_

Единственный элемент матрицы AB можно получить, умножив элементы первой строки A24 на соответствующие элементы первого столбца B57 и сложив результаты.

То есть (2×5)+(4×7)=10+28=38.

Это причина проверки совместимости. Количество элементов в каждой строке A будет таким же, как количество элементов в каждом столбце B. Таким образом, произведение AB = 38.

Теперь найдем BA для того же примера.

Шаг 1: Выполните тест на совместимость.

Совместимость для этого умножения состоит в том, что количество столбцов B = количеству строк A = 1.

Шаг 2: Найдите порядок матрицы произведения.

Порядок матрицы BA = количество строк B × количество столбцов A = 2×2.

Шаг 3: Найдите элементы матрицы произведения .

BA=5724=____

Элемент в строке 1 и столбце 1 BA находится путем умножения соответствующих элементов первой строки B5 на первый столбец A2. В этом случае, поскольку у нас есть только один элемент, мы имеем 5×2=10.

Элемент в строке 1 и столбце 2 БА находится путем умножения соответствующих элементов первой строки B5 на второй столбец A4. То есть 5×4=20.

Элемент в строке 2 и столбце 1 BA находится путем умножения соответствующих элементов второй строки B7 на первый столбец A2. То есть 7×2=14.

Аналогично t элемент в строке 2 и столбце 2 из ВА =7×4=28. Следовательно, матрица BA равна 10201428.

В общем, рассмотрим две матрицы A=abcd,B=efgh.

Шаг 1: Выполните тест на совместимость.

Количество столбцов A = количеству строк B = 2, поэтому мы можем найти AB.

Шаг 2: Найдите порядок матрицы произведения.

Результирующая матрица имеет то же количество строк, что и A, и такое же количество столбцов, как B. В этом случае порядок AB будет 2×2.

Шаг 3: Найдите элементы матрицы произведений .

Элемент в строке 1 и столбце 1 таблицы AB находится из первой строки строки Aab и первого столбца таблицы Beg. Умножаем соответствующие элементы и складываем результаты. То есть (а×е)+(б×г).

Элемент в строке 1 и столбце 2 таблицы AB определяется из первой строки таблицы Aab и второго столбца таблицы Bfh. То есть (a×f)+(b×h).

Аналогично находим остальные элементы матрицы и получаем

AB=abcdefgh=(a×e)+(b×g)(a×f)+(b×h)(c×e)+(d×g)(c×f)+(d×h) .

Мы хотим найти произведение матриц AB

A=123246,B=124635.

Решение

Шаг 1 – Проверка совместимости: количество столбцов A = количество строк B = 3.

Шаг 2 – Порядок матрицы произведения:

количество строк A ×количество столбцов B = 2×2.

Шаг 3 – Нахождение элементов матрицы произведения:

Элемент в строке 1 и столбце 1 AB получается из

123 и 143 как (1×1)+(2×4)+(3×3)=18.

Элемент в строке 1 и столбце 2 AB получается из

123 и 265 как (1×2)+(2×6)+(3×5)=29.

Аналогично получаем остальные элементы AB. Следовательно,

АВ=18293658.

Учитывая A=20131440-2,B=1230-214-10, найдите матрицу AB.

Решение

Шаг 1 – Проверка совместимости: количество столбцов A = количество строк B = 3.