Правила вычисления производной: Правила вычисления производных - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

2+1}.$$

3) $ y-x=\varepsilon\sin y $

Решение.

$$\frac{d}{dx}(y-x-\varepsilon\sin y)=0\Rightarrow\,\, y’-1-\varepsilon\cos y\cdot y’=0 \Rightarrow y’=\,\frac{1}{1-\varepsilon\cos y}.$$

Содержание

Вычисление производных. Правила дифференцирования. Алгебра, 10 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Главные формулы производной Сложность: лёгкое	1
2.	Угловой коэффициент касательной Сложность: лёгкое	1
3.	Производная многочлена Сложность: лёгкое	3
4.	Производная функции, состоящей из слагаемых Сложность: лёгкое	8
5.	Нахождение функции по производной Сложность: среднее	1
6.	Производная произведения функций в данной точке Сложность: среднее	2
7.	Производная частного функций в данной точке Сложность: среднее	2
8.	Производная тригонометрических функций Сложность: среднее	1
9.	Производная сложной функции Сложность: среднее	2
10.	Производная сложной тригонометрической функции Сложность: среднее	2
11.	Производная третьего порядка Сложность: среднее	1
12.	Производная функции в данной точке Сложность: среднее	2
13.	Вычисление аргумента функции Сложность: сложное	3
14.	Производная сложной функции в неравенстве Сложность: сложное	1

Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями

Содержание:

Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями

Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями. Она у меня есть. Теорема 3. Определим функции y = A \(x) и y2 = A2 (x) в окрестности точки x∈K и получим производную в самой точке x, а их сумму A (x)+ / 2 (x), ke X производные, далее (Формула (9. , напомним, что существование производной означает непрерывность функции, таким образом、 Фактически мы получаем Um Du2=, y ’= 2, то есть формулу<sup class=»reg»>®</sup>U2.

Формула (9.17) также была доказана. если вспомнить c ’=(см. Пример 9.1 из§ 1), то результат 1 следует сразу же после(9.16), а результат 2 сразу же получается математической индукцией из формул(9.15) и(9.18). Я не уверен. Замечание. Вы можете установить соответствующее свойство производной инфинитива, используя свойство бесконечного предела, связанного с арифметической операцией функции (см.§ 5.1).Например, если существует конечная производная y1 (x) и бесконечная (Для некоторых кодов) является производной от y2 (x), а функция y (x)= y-Dx)+ y2 (x) в x имеет бесконечную производную того же знака. Например, если У2(х)= + то, Г ’(Х)= + го. На самом деле, отель Du = Du1 + Du2.Так.

Если функция имеют производные в точке x, то их линейные комбинации также имеют производные в этой точке. . обратная функция togba X = / 1(Y) является необязательной для тонера Y = /(x).
Смотрите также:
Предмет математический анализ
Правила вычисления производных – презентация онлайн
Правила вычисления
производных
2. Производная функции
Производная функции
Производные функций
Постоянный множитель можно выносить
за знак производной.
Cu
C (u )
Пример:
(2×3)’ = 2 · (x3)’ = 2 · 3×2 = 6×2.
Очевидно, элементарные функции можно складывать
друг с другом, умножать, делить — и многое другое.
Так появятся новые функции, уже не особо
элементарные, но тоже дифференцируемые
по определенным правилам.
Производная суммы и разности
Пусть даны функции f(x) и g(x), производные которых нам
известны. К примеру, можно взять элементарные функции,
которые рассмотрены выше. Тогда можно найти
производную суммы и разности этих функций:
1.
2.
(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’
Строго говоря, в алгебре не существует понятия
«вычитание». Есть понятие «отрицательный элемент».
Поэтому разность f − g можно переписать как сумму
f + (−1) · g, и тогда останется лишь одна формула —
производная суммы.
Пример:
Задача. Найти производные функций:
1. f(x) = x2 + sin x;
2. g(x) = x4 + 2×2 − 3.
Решение.
1. Функция f(x) — это сумма двух элементарных
функций, поэтому:
f ’(x) = (x2 + sin x)’ = (x2)’ + (sin x)’ = 2x + cos x;
2. Аналогично рассуждаем для функции g(x). Только
там уже три слагаемых (с точки зрения алгебры):
g ’(x) = (x4 + 2×2 − 3)’ = (x4 + 2×2 + (−3))’ =
= (x4)’ + (2×2)’ + (−3)’ = 4×3 + 4x + 0 .
Математика — наука логичная, поэтому многие
считают, что если производная суммы равна
сумме производных, то производная произведения
равна произведению производных. А вот фиг вам!
Производная произведения считается совсем
по другой формуле. А именно:
(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’
Формула несложная, но ее часто забывают. И не только
школьники, но и студенты. Результат — неправильно
решенные задачи.
Пример:
•Задача. Найти производные функций:
• f(x) = x3 · cos x;
•g(x) = (x2 + 7x − 7) · ex.
Решение. Функция f(x) представляет собой произведение
двух элементарных функций, поэтому все просто:
• f ’(x) = (x3 · cos x)’ = (x3)’ · cos x + x3 · (cos x)’ =
= 3×2 · cos x + x3 · (− sin x) =
= x2 · (3cos x − x · sin x).
• g ’(x) = ((x2 + 7x − 7) · ex)’ = (x2 + 7x − 7)’ · ex + (x2 + 7x − 7) · (ex)’ =
= (2x + 7) · ex + (x2 + 7x − 7) · ex =
= ex · (2x + 7 + x2 + 7x −7) =
= (x2 + 9x) · ex .
Производная частного
Если есть две функции f(x) и g(x), причем g(x) ≠ 0
на интересующем нас множестве, можно
f(x)
определить новую функцию h(x) =
. Для такой
g(x)
функции тоже можно найти производную:
Пример:
Найти производные функций:
Решение. В числителе и знаменателе каждой дроби стоят
элементарные функции, поэтому все, что нам нужно —
это формула производной частного:
По традиции, разложим числитель на множители —
это значительно упростит ответ:
13.
Производная сложной функции f(g(x))’ = f'(g(x))·g'(x)
Прежде всего, обратим внимание на
запись f(g(x))’. Здесь у нас две функции – f и g,
причем функция g , образно говоря, вложена в
функцию f.
Функция такого вида (когда одна функция
вложена в другую) и называется сложной
функцией.
Функция f называется внешней функцией, а
функция g – внутренней (или вложенной)
функцией.
14. Пример:
Найти производную функции:
Что такое производная. правила вычисления производных.
Рекомендую обратить внимание на третью группу функций в этой таблице производных. Производная степенной функции – одна из самых употребительных формул, если только не самая употребительная! Намёк понятен?) Да, таблицу производных желательно знать наизусть. Кстати, это не так трудно, как может показаться. Попробуйте решать побольше примеров, таблица сама и запомнится!)
Найти табличное значение производной, как вы понимаете, задание не самое трудное. Поэтому очень часто в подобных заданиях встречаются дополнительные фишки. Либо в формулировке задания, либо в исходной функции, которой в таблице – вроде и нету…
1. Найти производную функции y = x³
Такой функции в таблице нет. Но есть производная степенной функции в общем виде (третья группа). В нашем случае n=3. Вот и подставляем тройку вместо n и аккуратно записываем результат:
Вот и все дела.
2. Найти значение производной функции y = sinx в точке х = 0.
Это задание означает, что надо сначала найти производную от синуса, а затем подставить значение х = 0 в эту самую производную. Именно в таком порядке! А то, бывает, сразу подставляют ноль в исходную функцию… Нас же просят найти не значение исходной функции, а значение её производной. Производная, напомню – это уже новая функция.
По табличке находим синус и соответствующую производную:
Это и будет ответ.
3. Продифференцировать функцию:
Что, внушает? ) Такой функции в таблице производных и близко нет.
Напомню, что продифференцировать функцию – это просто найти производную этой функции. Если забыть элементарную тригонометрию, искать производную нашей функции достаточно хлопотно. Таблица не помогает…
Но если увидеть, что наша функция – это косинус двойного угла, то всё сразу налаживается!
Да-да! Запомните, что преобразование исходной функции до дифференцирования вполне допускается! И, случается, здорово облегчает жизнь. По формуле косинуса двойного угла:
Т.е. наша хитрая функция есть не что иное, как y = cosx. А это – табличная функция. Сразу получаем:
Ответ: y’ = – sin x.
Пример для продвинутых выпускников и студентов:
4. Найти производную функции:
Такой функции в таблице производных нет, разумеется. Но если вспомнить элементарную математику, действия со степенями… То вполне можно упростить эту функцию. Вот так:
А икс в степени одна десятая – это уже табличная функция! Третья группа, n=1/10. Прямо по формуле и записываем:
Вот и всё. Это будет ответ.
Правила дифференцирования.
Чтобы найти производную от любой функции, надо освоить всего три понятия:
2. Правила дифференцирования.
3. Производная сложной функции.
Дифференцирование – это операция нахождения производной. Более за этим термином ничего не кроется. Т.е. выражения “найти производную функции” и “продифференцировать функцию” – это одно и то же.
Выражение “правила дифференцирования” относится к нахождению производной от арифметических операций. Такое понимание очень помогает избежать каши в голове.
Сосредоточимся и вспомним все-все-все арифметические операции. Их четыре). Сложение (сумма), вычитание (разность), умножение (произведение) и деление (частное). Вот они, правила дифференцирования:
В табличке приведено пять правил на четыре арифметических действия. Просто правило 4 – это элементарное следствие из правила 3. Но оно настолько популярно, что имеет смысл записать (и запомнить!) его как самостоятельную формулу.
Под обозначениями U и V подразумеваются какие-то (совершенно любые!) функции U(x) и V(x).

Рассмотрим несколько примеров. Сначала – самые простые.
Найти производную функции y=sinx – x²
Здесь мы имеем разность двух элементарных функций. Применяем правило 2. Будем считать, что sinx – это функция U, а x² – функция V. Имеем полное право написать:
y’ = (sinx – x²)’ = (sinx)’- (x²)’
Уже лучше, правда?) Осталось найти производные от синуса и квадрата икса. Для этого существует таблица производных. Просто ищем в таблице нужные нам функции (sinx и x²), смотрим, какие у них производные и записываем ответ:
y’ = (sinx)’ – (x²)’ = cosx – 2x
Вот и все дела. Правило 1 дифференцирования суммы работает точно так же.
А если у нас несколько слагаемых? Ничего страшного. ) Разбиваем функцию на слагаемые и ищем производную от каждого слагаемого независимо от остальных. Например:
Найти производную функции y=sinx – x²+cosx – x +3
Смело пишем:
y’ = (sinx)’ – (x²)’ + (cosx)’ – (x)’ + (3)’
Опять лезем в таблицу, находим там производные синуса, квадрата икса, косинуса, чистого икса и тройки. Что, тройки нет в таблице!? Ну да.) Тройка – постоянная величина, в таблице обозначена буквой “С”. Производная любой постоянной величины равна нулю. Можно сразу записать ответ:
y’ = cosx – 2x – sinx – 1
Как видим, первые два правила дифференцирования просты и безотказны.)

Переходим к примерам на правило 3. Производная произведения чуть посложнее, да…) Главное здесь – увидеть в исходной функции, что взять за U, а что – за V. Например:
Найти производную функции y=sinx · cosx.
Здесь всё очевидно. sinx – это U, cosx – это V. Пишем прямо по правилу:
y’ = (sinx)’ ·cosx + sinx · (cosx)’ = cosx·cosx – sinx·sinx = cos²x – sin²x
Вот здесь, частенько, возникает вопрос: оставить результат, как есть, или преобразовывать и упрощать дальше? Ответ зависит исключительно от задания и пожеланий преподавателя.) Производную мы уже нашли. Обычно, если упрощение простое и очевидное, его нужно сделать. В нашем случае получилась формула косинуса двойного угла. Можно написать ответ:
y’ = cos²x – sin²x = cos2x
Рассмотрим следствие из правила 3, т.е. правило 4. Эта формула получается прямо из производной для умножения функций. Если y=CU, где С – какое-то постоянное число, а U – любая функция, то:
y’ =(C·U)’ = C’·U + C·U’ = 0·U + C·U’ = C·U’
Словами говорят, что постоянную можно вынести из под знака производной.
Это маленькая, но очень полезная формулка. Позволяет делать кучу действий в уме. Например, по этому правилу все производные от выражений, типа 5х, 3,4х, -2х и так далее, сразу же превращаются в постоянные числа:
(5х)’ = 5·(x)’ = 5·1 = 5
(-2х)’ = -2·(x)’ = -2·1 = -2
Ну, вы поняли.) Пример посложнее:
Найти производную функции y=5sinx – 3x².
Если расписывать подробно, получится вот так:
y’ = (5sinx – 3x²)’ = (5sinx)’- (3x²)’
В скобках – произведения функций (постоянное число – тоже функция!). К первой и второй скобкам надо бы использовать правило 3, но сокращённый вариант (правило 4) – куда приятнее! Просто выносим числа за знак производной:
y’ = (5sinx)’- (3x²)’ = 5(sinx)’- 3(x²)’
Далее находим в таблице значения производных и результат просто умножаем на эти числа:
y’ = 5(sinx)’- 3(x²)’ = 5cosx – 3·2x = 5cosx – 6x

Переходим к производной частного. Правило 5 – самое злое, да…) Расписывать да считать подольше приходится. Но… тут уж ничего не поделаешь. Против законов математики протестовать глупо.) Хотя, в качестве бонуса, помогу.) Расскажу, чуть ниже, о случаях, когда эту формулу применять не надо. Так как есть более простые варианты. А сейчас – пример:
Найти производную функции
Расписываю по правилу 5. Подробно, со всеми скобочками и штрихами:
Берём производные (они табличные) в правой части:
Приводим к приличному виду:
Если требуется дальнейшее упрощение, можно в числителе вынести икс за скобки и сократить с иксом в знаменателе. Получим ответ:
Вот мы и рассмотрели, как находить производные функций с помощью правил дифференцирования.

Разумеется, сумма, разность, частное и произведение могут комбинироваться в самых разных сочетаниях. Например:
Продифференцировать функцию:
y=(x²+2) · (x³-4)
Здесь под функцией U скрывается выражение (x²+2), а под функцией V – выражение (x³-4). Расписываем прямо по правилу:
y’ = (x²+2)’ · (x³-4) + (x²+2) · (x³-4)‘
Теперь нужно довести дело до конца, т.е. вычислить производные от скобок. Штрих поставить – не означает “взять производную”…) В первых скобках будет сумма функций:
(x²+2)’ = (x²)’ + 2′ = 2x
Во вторых – разность функций:
(x³-4)‘ = (x³)’ – 4′ = 2x
Можно записать ответ:
y’ = 2х · (x³-4) + (x²+2) · 3x²
Упрощаем, т.е. перемножаем и приводим подобные:
y’ = 2x⁴-8х + 3x⁴+6x² = 5x⁴+6x²–8х
Вот и всё. Достаточно производную от злой функции расписать подробно, со всеми скобочками и штрихами, по подходящему правилу. Затем последовательно брать производные от скобочек. Всё и получится.

Всё просто, но… могут случиться и сюрпризы. Попадётся, например, вот такое задание:
Найти производную функции y=x³· sinx · cosx.
Здесь у нас умножаются три функции. Нет подходящего правила. Ничего страшного. Нас спасут… скобочки!) Мы вправе превратить умножение трёх функций в произведение двух, чтобы правило 3 в дело запустить. Просто возьмём за U и V то, что нам нужно. Например, пусть
U=x³· sinx
Тогда
V = cosx
Выделим эти U и V скобочками в исходной функции:
y=(x³· sinx) · (cosx).
Скобки никак не меняют исходную функцию, можно брать производную по правилу 3:
y’=((x³· sinx) · (cosx))’= (x³· sinx)‘· (cosx)+(x³· sinx) · (cosx)’
Теперь видно, что в скобках (x³· sinx)‘ у нас опять произведение функций. Но уже двух, что попроще.) Можно расписать производную этих скобок отдельно. Теперь за U у нас пойдёт x³, а за V – sinx:
(x³· sinx)’ = (x³)’ · sinx +x³· (sinx)’= 3x²· sinx + x³· cosx
Вот практически и всё. Возвращаемся к исходной функции и вставляем наш результат промежуточного дифференцирования на своё место. Сразу же и производную от косинуса во втором слагаемом возьмём:
y’= (3x²· sinx + x³· cosx) · cosx + (x³· sinx) · (-sinx)
Производную нашли. Если требуется, перемножаем скобки и записываем ответ:
y’= 3x²· sinx · cosx + x³· cos²x – x³· sin²x
Замечу, что в этом примере U и V можно было выбрать по другому. За U взять x³, а за V – sinx · cosx. Это без разницы. Результат будет тот же самый.
Теперь – заслуженный бонус к правилу 5. В примерах постоянно приходится дифференцировать дроби. Что огорчает.) Но, если в знаменателе дроби – постоянное число, правила 5 можно избежать! Действия с дробями гласят, что деление можно заменить на умножение. Вот так:
Это даёт возможность вместо правила 5 использовать куда более простое и удобное правило 4. Например:
Найти производную функции:
В процессе дифференцирования слегка преобразуем исходную функцию. Превратим деление в умножение:
Вот так. Арифметика из младших классов ещё никому не мешала!)
Кстати, преобразование исходной функции перед дифференцированием вполне возможно и, иногда, очень помогает. Скажем, производная от функции:
берётся достаточно хлопотно. Таблицы производных и правил дифференцирования здесь недостаточно. Это сложная функция. Но если её преобразовать до дифференцирования, пример решается в уме.
В конце урока дам советы по облегчению жизни при дифференцировании.)

Практические советы:
1. Перед дифференцированием смотрим, нельзя ли упростить исходную функцию.
2. В замороченных примерах расписываем решение подробно, со всеми скобочками и штрихами.
3. При дифференцировании дробей с постоянным числом в знаменателе, превращаем деление в умножение и пользуемся правилом 4.

«Правила вычисления производных» | Методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему:
ОТКРЫТЫЙ УРОК
Предмет: Алгебра
Класс: десятый
Преподаватель: Агабабаян М. М.
Тема “Правила вычисления производных”
Мне повезло в том, что эта тема одна из моих любимых, т. к. она охватывает многие области науки:
Например, в физике.
1. При решении каких задач применяется производная?
Ответ при решении задач на нахождении мгновенной
скорости при неравномерном движении тела.
2. А что такое мгновенная скорость?
Ответ Скорость в момент времени t.
3. А как его найти?
Ответ Находим √ ср. = , а если ∆ t очень мало, то число к которому стремится √ ср. и называется мгновенной скоростью.
На партах рисунки, на которых изображено свободное падение тела. Его движение неравномерное. Здесь вы видите схему вычисления мгновенной скорости в момент времени t, применяя производную.
Мы несколько раз уже использовали слово “ производная “.
1. Так, кто скажет определение производной функции в точке?
Ответ: Производной функции в точке Х0 называется число к которому стремится разностное отношение .
2. А что означает ∆Х и ∆f ?
Ответ: ∆Х = x – x0, a ∆f = f ( x ) – f (x0 )
3. Как вы объясните производную с геометрической точки зрения?
Ответ: Это tg угла ( f ) наклона касательной, произведенной в точке x0 с положительным направлением оси Х.
4. Как называется операция нахождения производной ?
Ответ: дифференцированием.
5. Кто нам расскажет алгоритм (схему) вычисления производной?
Ответ: а) Находим ∆f по формуле ∆f = f ( x ) – f (x0 )
б) Находим разностное отношение
в) Находим число, к которому стремится , когда
∆Х→0.
Мы упомянули две задачи: физическую, где находим V мГн. как производную средней скорости и геометрическую, где производная функции является тангенсом угла наклона касательной с положительным направлением оси х.
Есть еще другие задачи, где необходимо использовать производную;
Например: При решение квадратного уравнения ах2 +вх+с = 0 количество корней определяем с помощью дискриминанта. А если нам потребуется определить количество корней уравнения вида Какими формулами можно здесь воспользоваться? Тут и нам поможет производная. На это мы не будем останавливаться, т.к. при изучении дальнейших тем, вы вернетесь к этой задаче.
Мы вернемся к нашей теме и вспомним правила нахождения производных:
(U+V)1
(UV)1
()1
(CU)1   C ▪
()1
(X n)1   n ▪
– Все эти правила вы видите на 4 древе формул ( плакат – дерево формул )
– Мы вроде забыли о предыдущей домашней работе, хотя я этот вопрос не задала с
определенной целю. Так как …?
( Т. е. после блиц вопросов может и не будет вопросов по домашней работе).
– А все – таки остались ли у кого то сомнения по повод домашней работы? Если есть, то
поясним силами учеников.
– А теперь посмотрим, умеете ли вы пользоваться справочником?
На доске примеры на вычисление производных (приложение № 1)
1. ( )1 = +
2. ( x 20 ) 1 = 20 x 21 –
3. ( x1 – 3x ) 1 = x – 3 –
4. ( x – ) 1 = 1+ –
5. ( x – ) 1 = 1 – –
6. ( 2×2 – x ) 1 = 4x – 1 –
7. ( -5 x2 – 2x ) 1 = 10x – 2 –
8. ( ) 1 = 2 – 2
Внимательно изучите решение и дайте ответ: И или Л данное высказывание?
– Воспользуемся кодированием информации в памяти @ВМ и по аналогии попробуем закодировать ответы.
– Как закодируем И, и как Л и что у нас получится?
А получится 10001101.
– А теперь запишем число, классная работа и выполним задание 212 (г), 213 (в)
Перейдем к следующему заданию:
Посмотрите внимательно!
На доске на одних листочках функции, а на других выберите пары соответственных функций и ее производной.
Оставшиеся задания на дом (творческие) и № 212,213 дополнить, хотя большинство этих заданий было охвачено в примерах но И и Л .
Подведем итог: В связи с тем, что вы будете сдавать экзамен по математике в форме ЕГЭ, где есть задания и на вычисление производной, подытожим применении правил вычисления производных небольшим тестированием (тест прилагается )
I вар. – задание № 1, 2, 3, 4, 5
II вар. – задание № 6, 7, 8, 9
Если останется время, провести устную контрольную работу по примерам из приложения 2.
Приложение 2
а) F ( x ) = 4x g ( x ) = 3
б) F ( x ) = 5x y ( x ) = ( 15 – x )
в) F ( x ) = 2x + 1 ) y ( x ) = x2
г) F ( x ) = g ( x ) = x3
д) F ( x ) = 3x y ( x ) =
F1 / F1 ( x ) , g1 ( x ) , ( f + g ) 1 ( f ▪ g )1 (   )
Позвольте вам предложить на досуг еще одно задание на применение производной.
Вы знаете способы разложения на множители многочлена.
А это – с применением производной!!!
1. Разложить на множители выражение
x ( y2 – z2 ) + y ( z2 – x2 ) + z ( x2 – y2 ).
Считая х переменной, а y и z – постоянными фиксированными ( параметрами ) и
обозначая заданное выражение через f ( x ), будем иметь
f 1 ( х ) = y2 – z2 – 2xy + 2xz = 2x ( z – y ) + y2 – z2 = ( y – z ) ( y + z – 2x ).
Поэтому
f = ( y – z ) ( ( y + z ) x – x2 ) + C,
где С – постоянная, т. е. в данном случае – выражение, зависящее от параметров y, z.
Для нахождения С в равенстве
x ( y2 – z2 ) + y ( z2 – x2 ) + z ( x2 – y2 ) = ( y – z ) ( ( y + z ) x – x2 ) + C
положим х = 0; тогда
y z2 – zy2 = С
и получим
f = ( y – z ) ( ( y + z – x ) x – yz )= – ( y – z ) ( x2 – ( y + z ) x + yz )= – ( y – z ) ( x – y ) ( x – z )
Отметим, что разложение на множители квадратного трехчлена при последнем
Преобразовании, очевидно на основании теоремы Виета.
1. 2×17 2.    3. 4×3 + 7x
4. x3 + 5 5.
6×5 – 10x 34×16 12×2 + 7 2x – 1
–    x4 12×3 – 5 3×2 +
Состав функций
«Композиция функций» применяет одну функцию к результатам другой:
Результат f () отправляется через g ()
Записано: (g º f) (x)
Что означает: g (f (x))
Пример:
f (x) = 2x + 3 и g (x) = x ²
“x” – это просто заполнитель . Во избежание путаницы назовем его просто “ввод”:
f (ввод) = 2 (ввод) +3
г (ввод) = (ввод) ²
Начнем:
(g º f) (x) = g (f (x))
Сначала мы применяем f, затем применяем g к этому результату:
(g º f) (x) = (2x + 3) ²
Что, если мы поменяем местами порядок f и g?
(f º g) (x) = f (g (x))
Сначала мы применяем g, затем применяем f к этому результату:
(f º g) (x) = 2x ² +3
Получаем другой результат!
Когда мы меняем порядок, результат редко бывает одинаковым.
Так что будьте осторожны, какая функция будет первой.
Символ
Обозначение композиции – маленький кружок:
(g º f) (x)
Это , а не , а заполненная точка: (g · f) (x), так как это означает, что умножить на .
Самостоятельная композиция
Мы даже можем составить функцию сама с собой!
Пример:
f (x) = 2x + 3
(f º f) (x) = f (f (x))
Сначала мы применяем f, затем применяем f к этому результату:
(f º f) (x) = 2 (2x + 3) +3 = 4x + 9
Мы могли бы обойтись без красивой диаграммы:
(f º f) (x) = f (f (x))
= е (2x + 3)
= 2 (2x + 3) +3
= 4x + 9
Домены
До сих пор это было легко, но теперь мы должны рассмотреть Домены функций.
Домен – это набор всех значений , которые входят в функцию.
Функция должна работать для всех значений, которые мы ей даем, поэтому зависит от нас, , чтобы убедиться, что мы получили правильный домен!
Пример: домен для √x (квадратный корень из x)
У нас не может быть квадратного корня из отрицательного числа (если мы не используем мнимые числа, но это не так), поэтому мы должны исключить отрицательных чисел:
Область √x – все неотрицательные действительные числа
На числовой прямой это выглядит так:
В нотации конструктора множеств записано:
{x | x ≥ 0}
Или, используя обозначение интервала, это:
[0, + ∞)
Важно правильно оформить домен, иначе мы получим плохие результаты!
Область составной функции
Мы должны получить для обоих Доменов правильно (составная функция и – первая использованная функция).
При выполнении, например, (g º f) (x) = g (f (x)):
Убедитесь, что мы получили домен для f (x) right,
Затем также убедитесь, что g (x) получает правильный домен
Пример:
f (x) = √x и g (x) = x ²
Область f (x) = √x – все неотрицательные действительные числа
Область g (x) = x ² – это все действительные числа
Составная функция:
(g º f) (x) = g (f (x))
= (√x) ²
= х
Итак, «x» обычно имеет Домен всех действительных чисел…
… но поскольку это составная функция , мы должны также учитывать f (x) ,
Таким образом, домен состоит из неотрицательных вещественных чисел
Почему оба домена?
Ну, представьте, что функции – это машины … первый плавит отверстие пламенем (только для металла), второй просверливает отверстие немного больше (работает с деревом или металлом):
То, что мы видим в конце, – это просверленное отверстие, и мы можем подумать, что «это должно работать для дерева или металла ».
Но если мы поместим дрова в g º f, то первая функция f разожжет огонь и сожжет все дотла!
Поэтому важно то, что происходит «внутри машины».
Функция разложения
Мы можем пойти другим путем и разбить функцию на набор других функций.
Пример:
(x + 1 / x) ²
Эту функцию можно выполнить с помощью этих двух функций:
f (х) = х + 1 / х
г (х) = х ²
И получаем:
(g º f) (x) = g (f (x))
= г (х + 1 / х)
= (х + 1 / х) ²
Это может быть полезно, если исходная функция слишком сложна для работы.
Сводка
«Функциональная композиция» применяет одну функцию к результатам другой.
(g º f) (x) = g (f (x)) , сначала примените f (), затем примените g ()
Мы также должны соблюдать область определения первой функции
Некоторые функции можно разделить на две (или более) более простые функции.
Правило мощности
Правило мощности, одно из наиболее часто используемых производных правил, гласит:
Производная x ⁿ : nx ^{(n − 1)}
Пример: Какая производная от x
²?
Для x ² мы используем правило мощности с n = 2:
Производная от x ² = 2x ⁽²⁻¹⁾
= 2x ¹
= 2x
Ответ: производная x ² – это 2x
“Производное от” может быть показано с помощью этой маленькой “тире”: ’
Используя эту метку, мы можем записать Правило мощности следующим образом:
f ’(x ⁿ) = nx ^{(n − 1)}
Пример: Какая производная от x
³?
f ’(x ³) = 3x ³⁻¹ = 3x ²
“Производная от” также может быть представлена как д dx
Пример: Что такое
д dx (1 / х)?
1 / x также x ^-1
Использование правила мощности с n = −1 :
д dx x ⁿ = nx ^{n − 1}
д dx x ^-1 = −1x ^-1−1 = −x ^-2
Как помнить

“умножить на мощность
, затем уменьшить мощность на 1″
Короткий стол
Вот правило мощности с некоторыми примерными значениями. Видите узор?
f f ’(x ⁿ) = nx ^{(n − 1)} f ’
x 1x ⁽¹⁻¹⁾ = x ⁰ 1
x ² 2x ⁽²⁻¹⁾ = 2x ¹ 2x
x ³ 3x ⁽³⁻¹⁾ = 3x ² 3x ²
x ⁴ 4x ⁽⁴⁻¹⁾ = 4x ³ 4x ³
и т. Д…
А для отрицательных показателей:
x ^-1 −1x ⁽⁻¹⁻¹⁾ = −x ^-2 −x ^-2
x ^-2 −2x ⁽⁻²⁻¹⁾ = −2x ^-3 −2x ^-3
x ^-3 −3x ⁽⁻³⁻¹⁾ = −3x ^-4 −3x ^-4
и т. Д…
Правило произведения в исчислении: формулы и примеры – видео и стенограмма урока
Иногда студенты думают, что производная произведения функций должна быть произведением производных. Это неверно, и Правило произведения d / dx (f (x) g (x)) = f ‘(x) g (x) + f (x) g’ (x) приводит к правильной производной. В приведенных ниже задачах покажите, что результат, полученный с помощью правила продукта, совпадает с результатом, полученным сначала при распределении, а затем с использованием правила мощности.Затем покажите, что производная продукта не равна произведению производных. То есть показать, что d / dx (f (x) g (x)) ≠ f ‘(x) g’ (x).
Проблемы
1) d / dx (x2 + x) (3x + 5)
2) d / dx (2×3 + 2x + 5) (x2 – 3x)
3) d / dx (1/2 x – 3/4) (x4)
4) d / dx (x5 – 3×2) (2x + 7×3)
Решения
1) d / dx (x2 + x) (3x + 5)
Используя правило произведения d / dx (f (x) g (x)) = f ‘(x) g (x) + f (x) g’ (x), имеем
(x2 + x) ‘(3x + 5) + (x2 + x) (3x + 5)’
(2x + 1) (3x + 5) + (x ^ 2 + x) (3)
6×2 + 10x + 3x + 5 + 3×2 + 3x
9×2 + 16x + 5
Если сначала распределить, нам нужно найти производную d / dx (3×3 + 5×2 + 3×2 + 5x) = d / dx (3×3 + 8×2 + 5x) = 9×2 + 16x + 5
Эти два ответа совпадают. Если вместо этого мы просто возьмем произведение производных, у нас будет
d / dx (x2 + x) d / dx (3x + 5) = (2x + 1) (3) = 6x + 3, что не совпадает с ответом.
2) d / dx (2×3 + 2x + 5) (x2 – 3x)
Используя правило произведения, производная
(2x ‘(x2 – 3x) + (2×3 + 2x + 5) (x2 – 3x)’
(6×2 + 2) (x2 – 3x) + (2×3 + 2x + 5) (2x – 3)
6×4 – 18×3 + 2×2 – 6x + 4×4 – 6×3 + 4×2 – 6x + 10x – 15
10×4 – 24×3 + 6×2 – 2x – 15
Сначала нам нужно найти производную
d / dx (2×5 – 6×4 + 2×3 – 6×2 + 5×2 – 15x) = d / dx (2×5 – 6×4 + 2×3 – x2 – 15x) = 10×4 – 24×3 + 6×2 – 2x – 15
Эти два ответа эквивалентны.Но продукт производных равен
(2×3 + 2x + 5) ‘(x2 – 3x)’ = (6×2 + 2) (2x – 3) = 12×3 – 18×2 + 4x – 6
, что не то же самое.
3) d / dx (1/2) x – (3/4) (x4)
Используя правило произведения, мы имеем производную
(1/2) x – (3/4) ‘(x4) + ((1/2) x – (3/4) (x4)’
(1/2) (x4) + (1/2 x – 3/4) (4×3)
1/2 x4 + 2×4 – 3×3
5/2 x4 – 3×3
Распределяя сначала, мы находим производную
d / dx (1/2 x5 – 3/4 x4) = 5/2 x4 – 3×3
Эти ответы эквивалентны. Если бы мы вместо этого сделали произведение производных, у нас было бы
(1/2 x – 3/4) ‘(x4)’ = (1/2) (4×3) = 2×3
, что не совпадает с ответом.
4) d / dx (x5 – 3×2) (2x + 7×3)
Используя правило продукта, мы имеем
(x5 – 3×2) ‘(2x + 7×3) + (x5 – 3×2) (2x + 7×3)’
(5×4 – 6x) (2x + 7×3) + (x5 – 3×2) (2 + 21×2%)
10×5% + 35×7 – 12×2 – 42×4 + 2×5 + 21×7 – 6×2 – 63×4
56×7 + 12×5 – 105×4 – 18×2
Распределение сначала, у нас есть производная
d / dx (2×6 + 7×8 – 6×3 – 21×5) = 12×5 + 56×7 – 18×2 – 105×4 = 56×7 + 12×5 – 105×4 – 18×2
Эти два ответа совпадают.Использование неправильной техники нахождения произведения производных дает
(x5 – 3×2) ‘(2x + 7×3)’ = (5×4 – 6x) (2 + 21×2) = 10×4 + 105×6 -12x – 126×3
, что не является правильным ответом.
Приведенные выше примеры показывают, что для получения правильной производной (которая соответствует ответу, полученному путем распределения и последующего использования правила мощности), необходимо использовать правило произведения.
Производный инструмент
Производный инструмент
Определение производного инструмента
Дана производная функции f ( x ) в точке и обозначается
Некоторые базовые производные инструменты
В таблице ниже u , v и w являются функциями переменной х . a , b , c и n – константы (с некоторыми ограничениями всякий раз, когда они применяются). обозначить натуральный логарифмический function и e естественная основа для. Напомним, что .
Правило цепочки
Последняя формула
известна как формула цепного правила. Его можно переписать как
Другая аналогичная формула дается
Производная обратной функции
Обратной функцией y ( x ) является функция x ( y ), мы имеем
Производные тригонометрических функций и их обратные
Напомним определения тригонометрических функций
Производная экспоненциальной и логарифмической функций

Напомним определение функции логарифма с основанием a > 0 (с ):
Производная гиперболических функций и их обратных
Напомним определения тригонометрических функций
Производные высшего порядка
Пусть y = f ( x ). У нас есть:
В некоторых книгах также используются следующие обозначения для высших производных. использовал:
Формула высшей производной для продукта: Формула Лейбница
где находятся биномиальные коэффициенты. Например, у нас есть
[Дифференциальные уравнения] [Геометрия] [Алгебра] [Тригонометрия] [Исчисление] [Комплексные переменные] [Матричная алгебра] Домашняя страница S.O.S MATHematics
Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем С.ОПЕРАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ. Математика CyberBoard.
Авторские права 1999-2021 MathMedics, LLC. Все права защищены.
Свяжитесь с нами
Math Medics, LLC. – П.О. Box 12395 – El Paso TX 79913 – США
пользователей онлайн за последний час
3.1 Формулы дифференцирования
3.1 Формулы дифференцирования
3.
1 Формулы дифференциации
Следующие правила позволяют нам находить алгебраические формулы для производной наиболее дифференцируемых функций мы умеем записывать.
3.1.1 Производная постоянной функции
, г. для любой постоянной c Доказательство 1
3.1.2 Производная от функции идентичности
Доказательство 2
3.1.3 Правило суммы
Доказательство правила сумм
Пример правила сумм
3.1.4 Правило продукта
В частности
Подтверждение правила продукта
Пример правила продукта
3.1.5 Правило цепочки
y = f (u), u = g (x), f и g дифференцируемы.
Затем
Пример цепного правила
Доказательство цепного правила
3.1.6 Неявная дифференциация
Предположим, что функция f (x) определяется уравнением: g (f (x), x) = 0, а не по явной формуле.
Тогда g является функцией двух переменных, x и f.
Таким образом, g может измениться, если f изменяется, а x – нет, или если x изменяется, а f – нет.
Пусть изменение g, возникающее из-за изменения df, в f и отсутствия в x, будет a (f, x) df, и пусть изменение в g от изменения, dx, в x, а не в f, равно b (f, x).
Полное изменение g должно равняться нулю, поскольку g является константой (0), что дает нас
a (f, x) df + b _{(f, x) dx = 0}
или
Комментарий к неявной дифференциации
Примеры неявного дифференцирования
3.1.7 Правило частного
В частности,
Доказательство правила частного
Пример правила частного
3.1.8 Правило силы
для любая степень n, целая, рациональная или иррациональная.
следовательно,
означает
Правило доказательства силы
Пример правила мощности
Найти производную, используя правила для производных финансовых инструментов?
Здесь вам нужно использовать 3 правила:
Правило продукта
Правило мощности
Правило цепочки
Принимая деривативы, вы всегда хотите работать извне. 2) #
Надеюсь, что это поможет 🙂
Онлайн-калькулятор производных с шагами
Онлайн-калькулятор вычислит производную любой функции, используя общие правила дифференцирования (правило произведения, правило частного, правило цепочки и т. Д.), С указанными шагами. Он может обрабатывать полиномиальные, рациональные, иррациональные, экспоненциальные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические, гиперболические и обратные гиперболические функции. Кроме того, при необходимости он оценит производную в данной точке.Он также поддерживает вычисление первой, второй и третьей производных до 10.
Связанный калькулятор: Калькулятор неявной дифференциации с шагами
Ваш ввод
Найдите $$$ \ frac {d} {dx} \ left (x \ sin {\ left (x \ right)} \ right) $$$. {n – 1} $$$ с $$$ n = 1 $$$, другими словами, $$$ \ frac {d} {dx} \ left ( x \ right) = 1 $$$:
$$ x \ frac {d} {dx} \ left (\ sin {\ left (x \ right)} \ right) + \ sin {\ left (x \ right )} \ color {red} {\ left (\ frac {d} {dx} \ left (x \ right) \ right)} = x \ frac {d} {dx} \ left (\ sin {\ left (x \ right)} \ right) + \ sin {\ left (x \ right)} \ color {red} {\ left (1 \ right)} $$
Производная синуса равна $$$ \ frac {d} {dx} \ left (\ sin {\ left (x \ right)} \ right) = \ cos {\ left (x \ right)} $$$ :
$$ x \ color {красный} {\ left (\ frac {d} {dx} \ left (\ sin {\ left (x \ right)} \ right) \ right)} + \ sin {\ left (x \ right)} = x \ color {red} {\ left (\ cos {\ left (x \ right)} \ right)} + \ sin {\ left (x \ right)} $$
Таким образом, $ $$ \ frac {d} {dx} \ left (x \ sin {\ left (x \ right)} \ right) = x \ cos {\ left (x \ right)} + \ sin {\ left (x \ справа)} $$$.
Ответ
$$$ \ frac {d} {dx} \ left (x \ sin {\ left (x \ right)} \ right) = x \ cos {\ left (x \ right)} + \ sin {\ left (x \ right)} $$$ A
.

f	f ’(x ⁿ) = nx ^{(n − 1)}	f ’
x	1x ⁽¹⁻¹⁾ = x ⁰	1
x ²	2x ⁽²⁻¹⁾ = 2x ¹	2x
x ³	3x ⁽³⁻¹⁾ = 3x ²	3x ²
x ⁴	4x ⁽⁴⁻¹⁾ = 4x ³	4x ³
и т. Д…

А для отрицательных показателей:
x ^-1	−1x ⁽⁻¹⁻¹⁾ = −x ^-2	−x ^-2
x ^-2	−2x ⁽⁻²⁻¹⁾ = −2x ^-3	−2x ^-3
x ^-3	−3x ⁽⁻³⁻¹⁾ = −3x ^-4	−3x ^-4
и т. Д…

Вычисление производных. Правила дифференцирования. Алгебра, 10 класс: уроки, тесты, задания.

Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями

Содержание:

Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями

Правила вычисления производных – презентация онлайн

2. Производная функции

13.

14. Пример:

Что такое производная. правила вычисления производных.

«Правила вычисления производных» | Методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему:

Состав функций

Пример:

Символ

Самостоятельная композиция

Пример:

Домены

Пример: домен для √x (квадратный корень из x)

Область составной функции

Пример:

Почему оба домена?

Функция разложения

Пример:

Сводка

Правило мощности

Пример: Какая производная от x

Пример: Какая производная от x

Пример: Что такое

Как помнить

Короткий стол

Правило произведения в исчислении: формулы и примеры – видео и стенограмма урока

Проблемы

Решения

Производный инструмент

Определение производного инструмента

Некоторые базовые производные инструменты

Производная обратной функции

Производные тригонометрических функций и их обратные

Производная экспоненциальной и логарифмической функций

Производная гиперболических функций и их обратных

Производные высшего порядка

Формула высшей производной для продукта: Формула Лейбница

3.1 Формулы дифференцирования

3.

3.1.1 Производная постоянной функции

3.1.2 Производная от функции идентичности

3.1.3 Правило суммы

3.1.4 Правило продукта

3.1.5 Правило цепочки

3.1.6 Неявная дифференциация

3.1.7 Правило частного

3.1.8 Правило силы

Найти производную, используя правила для производных финансовых инструментов?

Онлайн-калькулятор производных с шагами

Ваш ввод

Ответ

Оставить комментарий Отменить ответ