Правила взятия производной: Правила вычисления производных

Правила вычисления производных

Используй поиск, чтобы найти научные материалы и собрать список литературы

База статей справочника включает в себя статьи написанные экспертами Автор24, статьи из научных журналов и примеры студенческих работ из различных вузов страны

Правила нахождения производных сводятся к умению применять формулы основных алгебраических действий над функциями. К правилам относятся:

1. Правило производной суммы
$$y’ = (fx_1 + fx_2 + \dots + fx_n)’ = (fx’_1+fx’_2+\dots +fx’_n)$$
2. Правило производной разности
$$y’ = (fx_1 – fx_2 – \dots – fx_n)’ = (fx’_1-fx’_2-\dots -fx’_n)$$
3. Производная произведения
$$y’ = (fx_1 \cdot fx_2 \cdot \dots \cdot fx_n) = fx’_1 fx_2 fx_3 \dots fx_n + fx_1 fx’_2 fx_3 \dots fx_n + \dots + fx_1 fx_2 fx_3 \dots fx’_n$$
4. Производная частного
\[y’=\left(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)} \right)^{{‘} } =\frac{f\left(x\right)^{{‘} } g\left(x\right)-g\left(x\right)^{{‘} } f\left(x\right)}{g^{2} \left(x\right)} \]

Пример 1

Вычислить по правилу разности производную

\[y=x^{3} -2\sqrt[{3}]{x} -4e^{x} -\ln x\]

Решение. {3} } \]

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 10.12.2021

Выполнение любых типов работ по математике

Решение задач по комбинаторике на заказ Решение задачи Коши онлайн Математика для заочников Контрольная работа на тему числовые неравенства и их свойства Контрольная работа на тему умножение и деление рациональных чисел Контрольная работа на тему действия с рациональными числами Дипломная работа на тему числа Курсовая работа на тему дифференциальные уравнения Контрольная работа на тему приближенные вычисления Решение задач с инвариантами

Подбор готовых материалов по теме

Дипломные работы Курсовые работы Выпускные квалификационные работы Рефераты Сочинения Доклады Эссе Отчеты по практике Решения задач Контрольные работы

Читать статью можно без ограничений.

Однако для копирования и использования текста нужно зарегистрироваться в экосистеме Автор24. Это бесплатно.

699 экспертов, которые помогали студентам с темой

«Особенности управления распределительными центрами в деятельности розничной торговой организации»

право и юриспруденция …

право и юриспруденция

Обратиться за помощью

作业有问题吗？

Author24 会帮助你！

中文客服帮你下单

关注我们的微信公众号
获得中文服务

. Правила вычисления производных // Образовательный портал «Справочник». — Дата последнего обновления статьи: 10.12. 2021. — URL https://spravochnick.ru/matematika/proizvodnaya_i_differencial/pravila_vychisleniya_proizvodnyh/ (дата обращения: 09.10.2022).

Добавлено в буфер обмена

Производная y f x. Правила вычисления производных

Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием. Производную приходится находить в ряде задач курса математического анализа. Например, при отыскании точек экстремума и перегиба графика функции.

Как найти?

Чтобы найти производную функции нужно знать таблицу производных элементарных функций и применять основные правила дифференцирования :

1. Вынос константы за знак производной: $$ (Cu)” = C(u)” $$
2. Производная суммы /разности функций: $$ (u \pm v)” = (u)” \pm (v)” $$
3. Производная произведения двух функций: $$ (u \cdot v)” = u”v + uv” $$
4. Производная дроби : $$ \bigg (\frac{u}{v} \bigg)” = \frac{u”v – uv”}{v^2} $$
5. Производная сложной функции : $$ (f(g(x)))” = f”(g(x)) \cdot g”(x) $$

Примеры решения

Пример 1

Найти производную функции $ y = x^3 – 2x^2 + 7x – 1 $

Решение

Производная суммы/разности функций равна сумме/разности производных: $$ y” = (x^3 – 2x^2 + 7x – 1)” = (x^3)” – (2x^2)” + (7x)” – (1)” = $$ Используя правило производной степенной функции $ (x^p)” = px^{p-1} $ имеем: $$ y” = 3x^{3-1} – 2 \cdot 2 x^{2-1} + 7 – 0 = 3x^2 – 4x + 7 $$ Так же было учтено, что производная от константы равна нулю. 2 – 4x + 7 $$

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная – одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того – это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило – если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Операция отыскания производной называется дифференцированием.

В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).

Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.

Чтобы найти производную , надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного – в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.

Пример 1. Найти производную функции

Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.

Из таблицы производных выясняем, что производная “икса” равна единице, а производная синуса – косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:

Пример 2. Найти производную функции

Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:

Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.

Таблица производных простых функций

1. Производная константы (числа). Любого числа (1, 2, 5, 200…), которое есть в выражении функции. Всегда равна нулю. Это очень важно помнить, так как требуется очень часто
2. Производная независимой переменной. Чаще всего “икса”. Всегда равна единице. Это тоже важно запомнить надолго
3. Производная степени. В степень при решении задач нужно преобразовывать неквадратные корни.
4. Производная переменной в степени -1
5. Производная квадратного корня
6. Производная синуса
7. Производная косинуса
8. Производная тангенса
9. Производная котангенса
10. Производная арксинуса
11. Производная арккосинуса
12. Производная арктангенса
13. Производная арккотангенса
14. Производная натурального логарифма
15. Производная логарифмической функции
16. Производная экспоненты
17. Производная показательной функции

Правила дифференцирования

1. Производная суммы или разности
2. Производная произведения
2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель
3. Производная частного
4. Производная сложной функции

Правило 1.

Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

причём

т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны , т.е.

Правило 2. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

причём

т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной :

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

Например, для трёх множителей:

Правило 3. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

Где что искать на других страницах

При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные – в статье “Производная произведения и частного функций ” .

Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных.

Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u “v , в котором u – число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

Другая частая ошибка – механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями .

Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие “Производная суммы дробей со степенями и корнями “.

Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие “Производные простых тригонометрических функций”.

Пошаговые примеры – как найти производную

Пример 3. Найти производную функции

Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители – суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, “икс” у нас превращается в единицу, а минус 5 – в ноль. Во втором выражении “икс” умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную “икса”. Получаем следующие значения производных:

Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:

А проверить решение задачи на производную можно на .

Пример 4. Найти производную функции

Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:

Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:

Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие “Производная суммы дробей со степенями и корнями” .

Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок “Производные простых тригонометрических функций” .

Пример 5. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых – квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн .

Пример 6. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим частное, делимое которого – квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на .

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо – в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ – раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности – включая административные, технические и физические – для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

На этом занятии мы будем учиться применять формулы и правила дифференцирования.

Примеры. Найти производные функций.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Применяем правило I , формулы 4, 2 и 1 . Получаем:

y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x 6 -2x+5. Решаем аналогично, используя те же формулы и формулу 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Применяем правило I , формулы 3, 5 и 6 и 1.

Применяем правило IV , формулы 5 и 1 .

В пятом примере по правилу I производная суммы равна сумме производных, а производную 1-го слагаемого мы только что находили (пример 4 ), поэтому, будем находить производные 2-го и 3-го слагаемых, а для 1-го слагаемого можем сразу писать результат.

Дифференцируем 2-ое и 3-е слагаемые по формуле 4 . Для этого преобразуем корни третьей и четвертой степеней в знаменателях к степеням с отрицательными показателями, а затем, по 4 формуле, находим производные степеней.

Посмотрите на данный пример и полученный результат. Уловили закономерность? Хорошо. Это означает, что мы получили новую формулу и можем добавить ее в нашу таблицу производных.

Решим шестой пример и выведем еще одну формулу.

Используем правило IV и формулу 4 . Получившиеся дроби сократим.

Смотрим на данную функцию и на ее производную. Вы, конечно, поняли закономерность и готовы назвать формулу:

Учим новые формулы!

Примеры.

1. Найти приращение аргумента и приращение функции y=x 2 , если начальное значение аргумента было равно 4 , а новое –4,01 .

Решение.

Новое значение аргумента х=х 0 +Δx . Подставим данные: 4,01=4+Δх, отсюда приращение аргумента Δх =4,01-4=0,01. Приращение функции, по определению, равно разности между новым и прежним значениями функции, т.е. Δy=f (х 0 +Δх) – f (x 0). Так как у нас функция y=x 2 , то Δу =(х 0 +Δx) 2 — (х 0) 2 =(х 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 — (х 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Ответ: приращение аргумента Δх =0,01; приращение функции Δу =0,0801.

Можно было приращение функции найти по-другому: Δy =y (х 0 +Δx) -y (х 0)=у(4,01) -у(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Найти угол наклона касательной к графику функции y=f (x) в точке х 0 , если f “(х 0) = 1 .

Решение.

Значение производной в точке касания х 0 и есть значение тангенса угла наклона касательной (геометрический смысл производной). Имеем: f “(х 0) = tgα = 1 → α = 45°, так как tg45°=1.

Ответ: касательная к графику данной функции образует с положительным направлением оси Ох угол, равный 45° .

3. Вывести формулу производной функции y=x n .

Дифференцирование — это действие нахождения производной функции.

При нахождении производных применяют формулы, которые были выведены на основании определения производной, так же, как мы вывели формулу производной степени: (x n)” = nx n-1 .

Вот эти формулы.

Таблицу производных легче будет заучить, проговаривая словесные формулировки:

1. Производная постоянной величины равна нулю.

2. Икс штрих равен единице.

3. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.

4. Производная степени равна произведению показателя этой степени на степень с тем же основанием, но показателем на единицу меньше.

5. Производная корня равна единице, деленной на два таких же корня.

6. Производная единицы, деленной на икс равна минус единице, деленной на икс в квадрате.

7. Производная синуса равна косинусу.

8. Производная косинуса равна минус синусу.

9. Производная тангенса равна единице, деленной на квадрат косинуса.

10. Производная котангенса равна минус единице, деленной на квадрат синуса.

Учим правила дифференцирования .

1. Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных слагаемых.

2. Производная произведения равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго.

3. Производная «у», деленного на «вэ» равна дроби, в числителе которой “у штрих умноженный на «вэ» минус «у, умноженный на вэ штрих», а в знаменателе — «вэ в квадрате».

4. Частный случай формулы 3.

Учим вместе!

Страница 1 из 1 1

Правила дифференцирования функций.

Лекция № 3.

Тема: «Производная и дифференциал».

Основные вопросы:

1. Приращение аргумента, приращение функции

2. Правила дифференцирования функций.

3. Таблица производных.

4. Производные от сложных функций.

5. Производные высших порядков.

6. Некоторые примеры применения производной в алгебре, геометрии и физике.

Приращение аргумента, приращение функции.

П

0

усть функция у= f(х) определена в точке х₀ и некоторой ее окрестности, придадим точке х₀ приращение Δх и получим точку х₀+Δх, значение функции в этой точке – f(х₀+Δх). Разность значений f (х₀+Δх) – f(х₀) называется приращением функции, обозначается приращение функции Δf или Δу, т.е. Δf=f(х₀+Δх) – f(х₀). Рис. 1

у Рис.1

У = f(х)

Δу

Δх

х

х₀ х₀ + Δх

Производная функция у = f(х), в точке х₀ определяется как предел отношения приращения функции Δу к приращению аргумента Δх, при стремлении Δх к нулю. f `(x₀) = lim (Δf/Δx). Этот предел будет иметь конечное значение, если только и числитель стремиться к нулю (приращение функции Δf→0).

Производная имеет смысл скорости изменения какого – либо показателя. Дифференциал определяется как главная линейная часть приращения функции. Дифференциал показывает, как изменялась бы величина, если бы скорость ее изменения была бы постоянной. Дифференциал для функции у=f(х) обозначается через dy или df. Вычисляется он по формуле dy=f `(x)dx, где f ` (x) – производная функция f(x), а dx – число равное приращению независимой переменной (аргумента) ∆х.

Для вычисления производной выведены правила нахождения производной и таблицы производных элементарных функций. Функция, имеющая производную в точке х, называется дифференцируемой в этой точке. Если функция имеет производную в каждой точке интервала, то она называется дифференцируемой в интервале.

Пусть U(х) и V(х) дифференцируемы в точке х.

1. (U(x) + V(x))` = U`(x) + V`(x)

2. (U(x) * V(x))` = U`(x) * V`(x) + V`(x) * U`(x)

3. (C*U(x))` = CU`(x), C – const

4. (U(x) / V(x))` = [U`(x) * V(x) – V`(x) * U(x)]/ V²(x)

Таблица производных.

1. C` = 0, C – const.

2. x` = 1

3. (x^α)` = α x^{α – 1}, α Є R

4. (a^x)` = a^x lnx, a>0 , a≠1

5. (ln x)` = 1/x

6. (sin x)` = cos x

7. (cos x)` = – sin x

8. (tg x)` = 1/(cos x)²

9. (ctg x)` = – 1/(sin x)²

10. (arcsin x)` = 1/²)

11. (arccos x)` = – 1/ ²)

12. (arctg x)` = 1/(1 + x²)

13. (arcctg x)` = – [1/(1 + x²)]

правила для нахождения дифференциала можно написать самим, умножив соответствующее правило взятия производной на dx.

Например: d sinx = (sinx)`dx = cosx dx.

Пример 1. Найти приращение функции f(x) = x², если х = 1, ∆х = 0,1

Решение: f(х) = х², f(х+∆х) = (х+∆х)²

Найдем приращение функции ∆f = f(x+∆x) – f(x) = (x+∆x)² – x² = x²+2x*∆x+∆x² – x² = 2x*∆x + ∆x²/

Подставим значения х=1 и ∆х= 0,1, получим ∆f = 2*1*0,1 + (0,1)² = 0,2+0,01 = 0,21

Пример 2. Найти производную функции f(x) = x², в произвольной точке х по определению производной, т.е. не используя таблицу производных.

Р

∆x→0

ешение: (х²)` = lim ∆f / ∆х

Из первого примера ∆f = 2x*∆x+∆x², подставим, получим

(

∆x→0

∆x→0

∆x→0

x²)` = lim ∆f / ∆х = lim (2x*∆x+∆x²)/∆x = lim [∆x (2х + ∆х)]/ ∆x = 2x

Пример 3. у = 1-х, Найти ∆у при х=2, ∆ = 0,1

Решение: у(х) = 1-х, у(х+∆х) = 1 – (х+∆х),

∆у = у (х+∆х) – у(х) = 1-х – ∆х – (1 – х) = 1-х – ∆х – 1 + х = – ∆х

при х = 2, ∆х = 0,1 ∆у = -∆х = -0,1.

Пример 4. Найти производную от функции у=3х⁴ – 2х² + 1.

Решение у` = 3*4х³ – 2*2х + 0 = 12х³ – 4х.

Пример 5. Найти производную от функции у = x² *℮^х.

Решение: у` = (x<sup>2</sup>)` *℮^х + x² *(℮^х)` = 2x ℮^х + x² *℮^х ln℮

ln ℮ = log_℮℮ = 1. y` = 2x℮^x + x² * ℮^x

Пример 6. У = х/(х²+1). Найти у`.

Решение у` = [1*(х²+1) – х*2х] / (х²+1)² = [х²+1 – 2х²] / (x² +1)² = (1-x²) / (x²+1)²

Производные от сложных функций.

2 ln2 * 2xdx

Производные высших порядков.

Пусть мы нашли от функции у = f(х) ее производную у` = f `(х). Производная от этой производной и называется производной второго порядка от функции f(х) и обозначается у“ или f “ (х) или (d²y) / (dx²). Аналогично определяются и обозначаются: производная третьего порядка у“` = f “`(x) = (d³y) / (dx³).

производная четвертого порядка у^IV = f ^IV(x) = (d⁴y) / (dx⁴).

производная n-oго порядка у⁽ⁿ⁾ = f ⁽ⁿ⁾(x) = (d ⁿy) / (dxⁿ).

Пример: у = 5х⁴ – 3х³ + 2х – 2. Найти у“.

Решение. Находим в начале первую производную: у` = 20х³ – 9х² +2, потом вторую от первой производной: у“ = 60х² – 18х.

Пример. y=хsinx. Найти у“`.

Решение. y` = sinx + xcosx

y“ = cosx + cosx – x sinx = 2cosx – x sinx

y“` = -2sinx – sinx – x cosx = -3sinx – x cosx.

производных правил | нул

В исчислении производную можно рассматривать как мгновенную скорость изменения; то есть, насколько количество изменяется в данной точке. Давайте подробнее рассмотрим, как мы можем легко дифференцировать функцию, используя некоторые полезные правила.

Дифференциация — это метод вычисления скорости изменения зависимой переменной y по отношению к изменению независимой переменной x. Эта скорость изменения называется производной y по x. Существует множество различных обозначений для обозначения «взять производную от». Связь между y и x обычно обозначается f(x), а ее производная обычно обозначается как f'(x) или y’ или dy/dx. Определение производной дано:

 

— длительная процедура, используемая для оценки производной функции. К счастью, были разработаны более простые методы, помогающие быстрее оценивать деривативы.

Степенное правило

Если n — любое действительное число, то d _{(x ⁿ )   =} n x ^{n-1 9001 .
DX
Также помните, что производные константы равны нулю: d (c) = 0.
DX}

Обратите внимание, что правило суммы и разности:

(просто примените правило мощности к каждому члену в функции отдельно).

Пример: Найдите производную

Решение:

Сначала перепишите функцию так, чтобы все переменные x имеют показатель степени в числителе:

Теперь применим правило степени к функции:

Наконец, упростим вашу производную:

Правило произведения

Мы уже знаем, как найти

производная суммы или разности функций, а произведение двух функций? Произведение двух функций — это когда две функции перемножаются. Если f и g оба дифференцируемы, то правило произведения гласит:

Пример: Найдите производную h(x) = (3x + 1)(8x ⁴ +5x).

Решение:

Используя приведенную выше формулу, пусть f(x) = (3x+1) и пусть g(x) = (8x ⁴ + 5x).

Теперь найдите

Наконец, примените правило произведения, используя приведенную выше формулу:

Правило отношения ). Если

F и g оба являются дифференцируемыми, то тогда коэффициенты правила:

Пример: Найдите производную

Решение:

Использование вышеуказанной формы, пусть f (x) = =

. (3x-4) и пусть g(x) = (2x ² -1).

Теперь найдите

Наконец, примените правило отношения, используя приведенную выше формулу: (g(x)), то F дифференцируема и к F ‘ можно применить цепное правило, которое определяется как F ‘(x) = f ‘(g(x))g ‘(x)

Пример: Найдите производную F(x) = (3x ⁴ + 2x ² -7) ⁵ .

Решение:

Используя приведенную выше формулу, пусть g(x) = (3x ⁴ + 2x ² – 7) и пусть f(x) = (x) ⁵ .

Теперь найдите f ‘(x) и g ‘(x):  f ‘(x) = 5x ⁴ и g ‘(x) = 12x ³ + 4x – 0

Итак, если f ‘( x) = 5x ⁴ , тогда составная функция f ‘(g(x)) = 5(3x ⁴ + 2x ² – 7) ⁴

Наконец, примените цепное правило, используя приведенную выше формулу: F ‘(x) = f ‘(g(x))g ‘(x)

F ‘(x) )  = 5(3x ⁴ + 2x ^2  -7) ^4  (12x ^3  + 4x)

Правила дифференциации

Правила дифференциации

Хотя можно вычислить производные, используя определение производная как предел, слишком много работы, если вы различать что-либо сложное. Эффективнее развивать набор из правил дифференцирования для использования в качестве ярлыки.

Прежде чем мы начнем, несколько комментариев. Во-первых, глупо запомнить правила. Вы должны изучить их, выполняя примеры.

Во-вторых, вычисление производных — это навык — это что-то вы учитесь, практикуясь. Вы не можете научиться различать, наблюдая инструктор делает примеры. Так как вам нужно будет вычислить производные практически во всех курсах математического анализа, которые вы изучаете, это стоит научиться делать хорошо сейчас, чтобы избежать горя в будущем.

С другой стороны, вы должны смотреть на вещи в перспективе. Исчисление не просто вопрос вычисления производных и интегралов. Вычисления приобретают смысл, когда они используются для выполнения вещи: вычислить скорость изменения, найти максимумы и минимумы, определить площади или объемы и так далее.

Тот факт, что калькуляторы и компьютеры могут выполнять арифметические действия, не имеет значения. означают, что людям не нужно изучать арифметику. Определенное количество вычисления необходимы для того, чтобы развить интуицию для числа.

Точно так же тот факт, что компьютерные программы могут вычислять производные и интегралы не означает, что людям не нужно научиться различать или интегрировать. Я не думаю, что вы можете иметь полное понимание того, что такое производная если у вас есть никогда не вычислял несколько производных. Однако в какой-то момент вы можете захотеть использовать компьютер для выполнения уродливых вычислений, точно так же, как вы используете калькулятор, чтобы сделать арифметику.

Я проиллюстрирую правила дифференцирования несколькими примерами. В В этих примерах я буду писать ” ” для производной по x.

1. ( Производная константы ) Производная константы равно 0.

Это имеет смысл, потому что константа не меняется, и производная дает скорость изменения.

Таким образом,

Доказательства производных правил зависят от свойств, которые мы доказали для пределы. Я приведу доказательства некоторых правил в качестве примера.

Доказательство. (Производная константы) В этом случае, , где c – константа. Это означает, что выход f равен c, , независимо от того, что на входе . Следовательно, также. затем

2. ( Правило силы ), если n не равно нулю целое число.

Это правило называется Power Rule , потому что оно расскажет вам, как дифференцировать мощность переменной. На словах ты «уменьшить мощность» и уменьшить мощность на 1.

---

Пример.

Обратите внимание, что n может быть любым ненулевым действительным числом:

---

Доказательство. (Правило мощности) Я просто рассмотрю случай, когда n — целое положительное число. доказательство будет использовать Биномиальная формула , которую я приведу ниже. Позволять . затем

Если , это выходит к

Это то же самое, что и , поэтому формула работает. Так что предположим.

Напомним, что ( n factorial ) является произведением целых чисел от 1 до n:

Биномиальная формула говорит

Следовательно,

Далее делим на ч:

Так как все члены, кроме первого, обращаются в 0, потому что они содержат положительные степени h. Следовательно,

Я упростил дробь, написав

Если n — отрицательное целое число, вы можете использовать результат для положительных значений. силы вместе с Частным правилом . За более общие полномочия, самый простой способ доказать правило мощности состоит в том, чтобы выразить как . Этот требует знания правил дифференцирования для и , а также цепочки Правило.

3. ( Умножение на константы ).

Это правило говорит о том, что константы могут быть “вытащены”, когда вы дифференцировать. Другой способ думать об этом состоит в том, что константа просто “сидит там”, а то, что он умножает, получает дифференцированный.

Не путайте это правило с первым правилом — производной от константа равна 0. В этой ситуации константа была “по саму себя». В этой ситуации константа что-то умножает.

Пример. Вычислить .

По степенному правилу и правилу умножения на константы

Имея некоторый опыт, большинство людей просто перемножат 8 и 10. в их головах и написать «80» в один прием.

---

Пример. Я расскажу о триггерных функциях позже, и я покажу это

Вычислить .

---

Вторая производная от f является производной по отношению к х. Он обозначен. Таким образом,

Аналогично, третья производная есть производная от второй. производная и так далее:

Пример. Вычислить первое, второе и третье производные от .

---

Определение. Функция имеет вертикальную касательную в точке if f непрерывна в точке a и

Пример. Показать, что имеет вертикальную касательную в .

у меня есть, так что

Таким образом, график имеет вертикальную касательную в точке . Картина:

---

Определение. Функция имеет вершину в точке a, если f непрерывный в a и:

а) подходит с одной стороны а.

б) подходит с другой стороны а.

Пример. Показать, что имеет острие в .

у меня есть, так что

Таким образом, имеет острие в . Вот график:

---

4. ( Сумма ) Производная суммы есть сумма производных:

---

Пример. Вычислить .

Рекомендуется писать как (и вообще писать как ). Таким образом, вы можно увидеть мощность числа для применения правила мощности.

---

5. ( Правило продукта )

Приведенная выше формула представляет собой традиционный способ изложения этого правила. Однако, если вы пытаетесь запомнить это правило, полезно запомнить его таким образом, чтобы было легко повторять , и так далее. что заявление говорит вам, что делать . Вот что я хотел предложить.

Я напишу «D», что означает «производная». затем правило

Это облегчает чтение , и получается так: «Первый раз производная от второго плюс второй умножить на производную от первого.” — или, может быть: «первый-D-второй-плюс второй-D-первый» для краткости.

Дело в том, что с помощью «первого» и «второго» вместо случайных символов, таких как «u» и «v» (a популярный выбор), формулировка правила говорит вам, что сделать .

---

Пример. Вычислить .

Примечание. В таких задачах вам не нужно умножать ответы. если вас об этом не попросят.

---

На следующем рисунке показано, почему правило продукта работает.

Если я изменю на небольшую сумму и на небольшую сумма изменения продукта

Однако последний член представляет собой произведение двух малых чисел, т. е. очень мало по сравнению с двумя другими терминами. я могу пренебречь это, и я получаю

Теперь разделите на, чтобы перейти к скорости изменения. Вот формальное доказательство с использованием пределов.

Доказательство. (Правило продукта)

Я приведу следующее правило в форме, повторите , как я сделал с правилом продукта.

6. ( Частное правило )

Некоторые люди предпочитают «привет» и «ло». Выбирайте сами.

---

Пример. (а) Вычислить .

(б) Вычислить.

(а)

(b) Если либо верх, либо низ — это просто число , то это лучше , а не , чтобы использовать правило частного. Если номер находится на внизу можно разделить:

Теперь я отмечу, что если число находится сверху, вы можете использовать

Вы не должны запоминать эту формулу; это частный случай правила цепочки , о котором я расскажу позже. Но в Если вы хотите попробовать, вот пример:

---

Иногда бывает полезно выразить правила дифференцирования с помощью «простое» обозначение. Вот правила для сумм, произведений, и частные:

(а) (Суммы) .

(б) (Продукты)

(c) (Частные) .

Пример. Предположим, что f и g дифференцируемы функции, удовлетворяющие

а) Найдите .

(б) Найдите .

(а)

(б)

---

Я получил производную, пытаясь найти наклон касательной линия к кривой. Вот несколько примеров, в которых применяется правила дифференцирования к задачам на касательные.

---

Пример. Найдите уравнение касательной линии, к которым проходят через точку .

Ось X явно является одной из таких касательных. Его уравнение такое.

Чтобы найти другую касательную, пусть будет точкой касания. Наклон касательной линия есть ; когда , .

С другой стороны, линия проходит через и , поэтому ее наклон равен . приравнять два выражения для наклона и решить для c:

дает ось x, о которой я знаю уже. дает; так как линия проходит через , ее уравнение

---

Пример. В какой точке(ах) начинается график имеют горизонтальную касательную?

Горизонтальная линия имеет наклон 0. Поскольку производная дает наклон касательной, я найду производную и приравняю ее к 0:

Понятно, когда. , так что есть горизонтальная касательная в точке .

---

Пример. Найдите уравнение прямой, которая перпендикулярно графику в точке .

Быть перпендикулярно графику — это то же самое, что быть перпендикулярным к касательной линии. Наклон касательной определяется выражением производная, то есть. Следовательно, при тангенс имеет наклон . 2$$

И у меня всегда такая проблема, я не знаю, какое правило использовать в первую очередь. Спасибо.

• исчисление
• производные

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Нельзя просто

вывести содержимое скобок

, потому что деривативы так не работают. Скорость изменения продукта $AB$ при изменении $A$ и $B$ не является просто произведением скорости изменения $A$ и $B$. Правильный способ расчета — правило произведения. 93+3$. Тогда ваш $f$ $$ f(x) = g(x)h(x)$$ Итак, правило продукта говорит $$ f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x). $$ Второе, что вы написали, будет эквивалентно $$ f'(x) = g'(x)h'(x) $$ и это просто не то, как работает производная.

$\endgroup$

$\begingroup$

Написано так, как в вашем вопросе $f(x)$ является произведением двух функций. 2+3$$ Написано так, что $f$ можно распознать как сумма функций. Тогда пришло время использовать правило $(u(x)+v(x))’=u'(x)+v'(x)$

. с продуктом здесь с суммированием?».

Далее, вообще не существует правила, утверждающего, что $(u(x)v(x))’=u'(x)v'(x)$. Так что, если это «правило» является частью вашего багажа, вы должны немедленно его выбросить!

$\endgroup$

$\begingroup$

Вы можете использовать правило $(uv)’ = u’v+uv’$. 93 + 8x$$

2) Примените правило произведения и упростите, как вы это сделали, и вы получите тот же ответ, что и в первом варианте.

Обратите внимание, что производная продукта НЕ является продуктом производных.

Существует только одно правило произведения, и оно таково: производная произведения есть производная первой функции, умноженная на оригинал второй функции, плюс производная второй функции, умноженная на оригинал первой функции.

$\endgroup$

$\begingroup$ 92$ и правый термин константа, $3$.

---

Чтобы дифференцировать выражение, вы сначала дифференцируете произведение, и правило попросит вас предоставить производные от факторов.

Чтобы дифференцировать левый множитель, вы применяете правило для суммы, которое попросит вас дифференцировать члены.

И так далее.

---

На самом деле вы следуете порядку приоритета между операторами и скобками.

$\endgroup$

$\begingroup$

Для любой непостоянной функции $g(x)$. Когда мы умножаем $g(x)$ на константу (константа становится коэффициентом), мы умножаем наклоны повсюду на линии на коэффициент. Например, $y=2x$ имеет наклон $y=x$, умноженный на $2$.

Однако брать производную от коэффициента, усиливающего скорость изменения, не имеет смысла. Даже при изменении коэффициента относительно $x$ (Множитель уже не будет константой или коэффициентом, но умножение все равно происходит), это все равно не имеет смысла.