Правило Лопиталя—Бернулли | это… Что такое Правило Лопиталя—Бернулли?
В математическом анализе правилом Лопита́ля называют метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 0 / 0 и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Содержание
|
Точная формулировка
Правило говорит, что если функции f(x) и g(x) обладают следующим набором условий:
- или ;
- ;
- в проколотой окрестности a;
- Если g(x) и f(x) — дифференцируемы в проколотой окрестности a,
тогда существует . При этом теорема верна и для других баз (для указанной будет приведено доказательство).
История
Доказательство
Отношение бесконечно малых
Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (т. н. неопределённость вида ).
Поскольку мы рассматриваем функции f и g только в правой проколотой полуокрестности точки a, мы можем непрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть f(a) = g(a) = 0.
Возьмём некоторый x из рассматриваемой полуокрестности и применим к отрезку теорему Коши. По этой теореме получим:
- ,
но f(a) = g(a) = 0, поэтому .
Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через
- для конечного предела и
- для бесконечного,
что является определением предела отношения функций.
Отношение бесконечно больших
Докажем теорему для неопределённостей вида .
Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен A. Тогда, при стремлении x к a справа, это отношение можно записать как A + α, где α — O(1). Запишем это условие:
- .
Зафиксируем t из отрезка и применим теорему Коши ко всем x из отрезка :
- , что можно привести к следующему виду:
- .
Для x, достаточно близких к
Значит, этот множитель равен 1 + β, где β — бесконечно малая функция при стремлении x к a справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение , что и в определении для α:- .
Получили, что отношение функций представимо в виде (1 + β)(A + α), и . По любому данному можно найти такое , чтобы модуль разности отношения функций и
Если же предел A бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то
- .
В определении β будем брать ; первый множитель правой части будет больше 1/2 при x, достаточно близких к a, а тогда .
Для других баз доказательства аналогичны приведённым.
Примеры
Здесь можно применить правило Лопиталя 3 раза, а можно поступить иначе. Можно разделить и числитель, и знаменатель на x в наибольшей степени(в нашем случае x3).
В этом примере получается:- ;
- при a > 0.
В этом примере получается:(Только если числитель и знаменатель ОБА стремятся или к 0; или к ; или к .)
Правило Лопиталя—Бернулли | это… Что такое Правило Лопиталя—Бернулли?
В математическом анализе правилом Лопита́ля называют метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 0 / 0 и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Содержание
|
Точная формулировка
- или ;
- ;
- в проколотой окрестности a;
- Если g(x) и f(x) — дифференцируемы в проколотой окрестности a,
тогда существует .
При этом теорема верна и для других баз (для указанной будет приведено доказательство).
История
Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован Лопиталем в его сочинении «Анализ бесконечно малых», изданном в 1696 году. В предисловии к этому сочинению Лопиталь указывает, что без всякого стеснения пользовался открытиями Лейбница и братьев Бернулли и «не имеет ничего против того, чтобы они предъявили свои авторские права на все, что им угодно». Иоганн Бернулли предъявил претензии на все сочинение Лопиталя целиком и в частности после смерти Лопиталя опубликовал работу под примечательным названием «Усовершенствование моего опубликованного в „Анализе бесконечно малых“ метода для определения значения дроби, числитель и знаменатель которой иногда исчезают», 1704.
Доказательство
Отношение бесконечно малых
Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (т. н. неопределённость вида ).
Поскольку мы рассматриваем функции f и
Возьмём некоторый x из рассматриваемой полуокрестности и применим к отрезку теорему Коши. По этой теореме получим:- ,
но f(a) = g(a) = 0, поэтому .
Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через A, из полученного равенства выводим:
- для конечного предела и
- для бесконечного,
что является определением предела отношения функций.
Отношение бесконечно больших
Докажем теорему для неопределённостей вида .
Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен A. Тогда, при стремлении x к a справа, это отношение можно записать как A + α, где α — O(1). Запишем это условие:
- .
Зафиксируем t из отрезка и применим теорему Коши ко всем x из отрезка :
- , что можно привести к следующему виду:
- .
Для x, достаточно близких к a, выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как f(t) и g(t) — константы, а f(x
Значит, этот множитель равен 1 + β, где β — бесконечно малая функция при стремлении x к a справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение , что и в определении для α:- .
Получили, что отношение функций представимо в виде (1 + β)(A + α), и . По любому данному можно найти такое , чтобы модуль разности отношения функций и A был меньше , значит, предел отношения функций действительно равен A.
Если же предел A бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то
- .
В определении β будем брать ; первый множитель правой части будет больше 1/2 при x, достаточно близких к a, а тогда .
Для других баз доказательства аналогичны приведённым.
Примеры
Здесь можно применить правило Лопиталя 3 раза, а можно поступить иначе. Можно разделить и числитель, и знаменатель на x в наибольшей степени(в нашем случае x3). В этом примере получается:- ;
- при a > 0.
В этом примере получается:(Только если числитель и знаменатель ОБА стремятся или к 0; или к ; или к .)
Правило Лопиталя | математика | Британика
- Развлечения и поп-культура
- География и путешествия
- Здоровье и медицина
- Образ жизни и социальные вопросы
- Литература
- Философия и религия
- Политика, право и правительство
- Наука
- Спорт и отдых
- Технология
- Изобразительное искусство
- Всемирная история
- Этот день в истории
- Викторины
- Подкасты
- Словарь
- Биографии
- Резюме
- Популярные вопросы
- Обзор недели
- Инфографика
- Демистификация
- Списки
- #WTFact
- Товарищи
- Галереи изображений
- Прожектор
- Форум
- Один хороший факт
- Развлечения и поп-культура
- География и путешествия
- Здоровье и медицина
- Образ жизни и социальные вопросы
- Литература
- Философия и религия
- Политика, право и правительство
- Наука
- Спорт и отдых
- Технология
- Изобразительное искусство
- Всемирная история
- Britannica объясняет
В этих видеороликах Britannica объясняет различные темы и отвечает на часто задаваемые вопросы. - Britannica Classics
Посмотрите эти ретро-видео из архивов Encyclopedia Britannica. - #WTFact Видео
В #WTFact Britannica делится некоторыми из самых странных фактов, которые мы можем найти. - На этот раз в истории
В этих видеороликах узнайте, что произошло в этом месяце (или любом другом месяце!) в истории. - Demystified Videos
В Demystified у Britannica есть все ответы на ваши животрепещущие вопросы.
- Студенческий портал
Britannica — лучший ресурс для учащихся по ключевым школьным предметам, таким как история, государственное управление, литература и т. д. - Портал COVID-19
Хотя этот глобальный кризис в области здравоохранения продолжает развиваться, может быть полезно обратиться к прошлым пандемиям, чтобы лучше понять, как реагировать сегодня. - 100 женщин
Britannica празднует столетие Девятнадцатой поправки, выделяя суфражисток и политиков, творящих историю. - Britannica Beyond
Мы создали новое место, где вопросы находятся в центре обучения. Вперед, продолжать. Просить. Мы не будем возражать. - Спасение Земли
Британника представляет список дел Земли на 21 век. Узнайте об основных экологических проблемах, стоящих перед нашей планетой, и о том, что с ними можно сделать! - SpaceNext50
Britannica представляет SpaceNext50. От полёта на Луну до управления космосом — мы изучаем широкий спектр тем, которые подпитывают наше любопытство к космосу!
Содержание
- Введение
Краткие факты
- Связанный контент
Правило Лопиталя? … подумайте еще раз!
17 марта отмечается годовщина одной из самых однобоких сделок в истории математики.
До появления компаний и колледжей, нанимавших математиков, одним из немногих способов заработать деньги для математика была работа дворянина. Вы можете зарабатывать себе на жизнь репетиторством, консультированием по финансам, исследованием земель или чем-то еще, связанным с числами.
В конце 17 века великий математик Иоганн Бернулли искал способ заработать деньги, занимаясь любимым делом — математикой. Входит маркиз де Л’Опиталь. Л’Оспиталь был дворянином, увлекавшимся математикой, в частности исчислением, которое в то время находилось в зачаточном состоянии. И он знал, что Иоганн работал с Готфридом Лейбницем над развитием исчисления.
Однако, в отличие от великих, Лопиталю не хватало навыков, необходимых для понимания тонкостей этой новой области исчисления. Итак, у него появилась идея. Если бы он нанял Бернулли в качестве своего рода консультанта по математике, Бернулли был бы готов помочь L’Hospital с любыми трудностями, с которыми он мог столкнуться.
Итак, 17 марта 1694 года маркиз де Л’Оспиталь и Иоганн Бернулли вступили в финансовые отношения, в соответствии с которыми Л’Оспиталь выплачивал Бернулли годовую зарплату за то, чтобы он был доступен в качестве консультанта по математике.
Бернулли отвечал на любые вопросы, которые могли возникнуть у L’Hospital, и, самое главное, отправлял любые новые математические открытия непосредственно в L’Hospital, не объявляя об этих открытиях миру. По сути, Лопиталь полагал, что он должен иметь какое-то право собственности на идеи Бернулли, поскольку именно он платил Бернулли за исследования в области математики. Другими словами, любые великие прорывы будут приписываться Больнице, а не Бернулли. Звучит странно? Это было. Но вспомни времена. Получить оплачиваемую работу математика было практически невозможно. Поэтому Бернулли видел в этом свою единственную возможность зарабатывать на жизнь как математик.
Каков был результат этой договоренности? Одна из первых книг по математическому анализу… Analyze des infiniment petits… написанная… подождите… L’Hospital! В книгу вошли многие идеи Бернулли. Однако, поскольку автором был Лопиталь, его считали математиком, сделавшим открытия.
Так вот, Лопиталь прекрасно знал, что он, по сути, «воровал» идеи других математиков, поэтому он включил в книгу следующее утверждение: «Я бесплатно использовал их открытия, так что я откровенно возвращаю им все, что им угодно претендовать на свои права».